专题01 一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系 期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题01一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，会写出一般形式，准确确定二次项系数、一次项系数与常数项。 · 2.掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程特征灵活选择简便解法。 · 3.掌握根的判别式，会利用判别式判断一元二次方程实数根的情况。 · 4.掌握根与系数的关系（韦达定理），能利用韦达定理完成常见代数式变形计算。 · 5.规范解方程书写步骤，检验方程的根，规避常见计算与概念错误。 ✵高频题型梳理 题型1.一元二次方程的定义辨析 题型2.将方程化为一元二次方程一般形式 题型3.利用一元二次方程的定义求参数 题型4.利用一元二次方程的解求参数 题型5.直接开平方法解一元二次方程 题型6.因式分解法解一元二次方程 题型7.配方法解一元二次方程 题型8.配方法的代数式求值与最值应用 题型9.公式法解一元二次方程 题型10.判别式判断一元二次方程根的情况 题型11.根据根的情况求参数取值范围 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.一元二次方程根与系数关系基础计算 题型14.根与系数关系的综合求值 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、一元二次方程的概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 核心判定三要素（缺一不可）：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。 2.一般形式：一元二次方程的一般形式为：。 其中：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 3.特殊形式：在一般形式的基础上，教材包含三类常见特殊形式： ① （不含常数项）； ② （不含一次项）； ③ （不含一次项与常数项）。 4.一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也称为根。 实数范围内，一元二次方程至多有两个实数根。 【重要性质】若是方程的根，则，可直接用于代入计算与参数求解。 知识点二、一元二次方程的四种解法 1.直接开平方法 适用条件：一般地，对于方程的形式。 根的情况：时，方程有两个不相等实数根=﹣,=；当，方程有两个相等实数根==0；时，因为对任意实数x,都有≥0，所以方程无实数根。 2.配方法 适用条件：适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的理论基础，也是代数式变形、求最值的常用方法。 标准步骤：①二次项系数化为1；②移项，将常数项移至等式右侧；③两边加一次项系数一半的平方；④整理为完全平方形式；⑤开平方求解。 3.公式法 公式来源：由配方法推导得出，当时，方程实数根为：。 根的判别式：，判定实数根个数：①，两个不相等实数根；②，两个相等实数根；③，无实数根。 解题步骤：化为一般形式，确定公式中的值；计算判别式判定根的情况；有实数根时代入公式求解。 4.因式分解法 核心原理：若，则或，将二次方程降次为一元一次方程求解。 适用条件：方程移项归零后，左侧可因式分解，包含提公因式、平方差、完全平方、基础十字相乘四类必考形式。 解题步骤：移项使方程右边为零；因式分解；拆分为一次方程；分别求解。 知识点三、四种解法选用原则 1.含完全平方结构的方程，优先使用直接开平方法； 2.可快速因式分解的方程，优先使用因式分解法，解题效率最高； 3.结构复杂、无法简便求解的方程，统一使用公式法； 4.题目指定配方、代数式最值变形题型，必须使用配方法。 知识点四、一元二次方程的根与系数的关系 对于一元二次方程（a≠0），当≥0时，方程有两个实数根,, 则有：=﹣,= 公式常用变形： ✵易错提醒 1. 判断一元二次方程时忽视a≠0，含参数方程未限定二次项系数； 2. 未化为一般形式就确定系数，易出现符号错误； 3. 配方法未先将二次项系数化为 1，或只在等式一侧添加常数； 4. 因式分解法未移项使右侧为 0，直接分解易造成漏根； 5.公式法代入a,b,c 发生符号错误，判别式计算失误。 ✵典例精讲 题型1.一元二次方程的定义辨析 1．下列四个方程中，不是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．写出一个二次项系数为3的关于的一元二次方程________． 3．证明：无论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程． 题型2.将方程化为一元二次方程一般形式 1．关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（     ） A．3， B．3，4 C．3， D．， 2．把一元二次方程化成一般形式是__________． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型3.利用一元二次方程的定义求参数 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 2．若方程是关于的一元二次方程，则________． 3．如图，王师傅要用长的篱笆围成一个面积为的长方形羊圈，该羊圈一面靠墙（墙足够长），求羊圈的长和宽．若设羊圈与墙平行的一边的长为，请列出相应的方程，并说明该方程是不是一元二次方程．若是，请写出二次项系数和一次项系数． 题型4.利用一元二次方程的解求参数 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若是方程的根，则_________． 3．已知关于x的方程的一个解是，求代数式的值． 题型5.直接开平方法解一元二次方程 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是_______． 3．解下列方程： (1)． (2)． 题型6.因式分解法解一元二次方程 1．已知某三角形每条边的长都是方程的根，则该三角形的周长是（） A．6 B．10 C．9 D．12 2．若是关于的方程的一个根，则的值为______． 3．解下列方程： (1)； (2)． 题型7.配方法解一元二次方程 1．若一元二次方程可以通过配方写成的形式，则可以配成（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，将方程左边配成完全平方的形式为_________，方程右边为_______． 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.配方法的代数式求值与最值应用 1．无论，为何值，代数式的值（     ） A．总不大于 B．总不小于 C．可为任何有理数 D．可能为负数 2．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 3．阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． (1)用配方法将因式分解； (2)用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 题型9.公式法解一元二次方程 1．关于的一元二次方程（方程有解）的两个根是（     ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为___________． 3．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（）的求根公式时，对于的情况，她是这样做的： 由于，方程变形为 ，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 ．…第五步 (1)嘉淇的解法从第__________步开始出现错误；事实上，当时，方程（）的求根公式是__________； (2)用配方法解方程：． 题型10.判别式判断一元二次方程根的情况 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A．B． C． D． 2．已知x，y满足，则的最大值为__________． 3．若，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． (1)判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； (2)若代数式存在两个“优值”，且差为，求的值． 题型11.根据根的情况求参数取值范围 1．关于的一元二次方程有两个实数根，则最大的整数为（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_______． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若是正整数，且方程的两个根都是正整数，求的值及这两个根． 题型12.换元法解一元二次方程 1．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．如果，那么的值是________． 3．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解：由方程①，得，． 当时，即，此方程无解； 当时，即，， 原方程的解为， 【解决问题】 (1)在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到_________．（选填“降次”或“消元”）的目的，体现了数学的转化思想； (2)请仿照材料的方法，解下列方程：． 题型13.一元二次方程根与系数关系基础计算 1．已知关于的一元二次方程的两个根为，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若实数a，b满足，且，则的值为_________． 3．【新定义题】若两个不等于的实数，满足，则称为“和谐数对”． (1)判断是否为“和谐数对”，并说明理由； (2)若关于x的方程的两根，构成“和谐数对”，求的值． 题型14.根与系数关系的综合求值 1．如果a、b是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（     ） A．2022 B． C．2026 D． 2．已知是方程的两个实数根，则的值为________． 3．若，是方程的两个根． (1)求和的值． (2)求的值． (3)求的值． ✵分层专项训练 一、单选题 1．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．1 B．3 C． D．3或 3．一元二次方程的左边配成完全平方式后所得的方程为（     ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 5．已知关于x的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m等于_________． 7．对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号表示a、b中的较大数，如：．按照这个规定，方程 的解为____________． 8．直接写出下列方程的解： （1）：________． （2）：________． 三、解答题 9．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．阅读下面的例题：求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 11．已知关于x的一元二次方程， (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)当方程有一个根是0时，求m的值和另一个根． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程，会写出一般形式，准确确定二次项系数、一次项系数与常数项。 2.掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据方程特征灵活选择简便解法。 3.掌握根的判别式，会利用判别式判断一元二次方程实数根的情况。 4.掌握根与系数的关系（韦达定理），能利用韦达定理完成常见代数式变形计算。 5.规范解方程书写步骤，检验方程的根，规避常见计算与概念错误 ✵高频题型梳理 题型1.一元二次方程的定义辨析 题型2.将方程化为一元二次方程一般形式 题型3.利用一元二次方程的定义求参数 题型4.利用一元二次方程的解求参数 题型5.直接开平方法解一元二次方程 题型6.因式分解法解一元二次方程 题型7.配方法解一元二次方程 题型8.配方法的代数式求值与最值应用 题型9.公式法解一元二次方程 题型10.判别式判断一元二次方程根的情况 题型11.根据根的情况求参数取值范围 题型12.换元法解一元二次方程 题型13.一元二次方程根与系数关系基础计算 题型14.根与系数关系的综合求值 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、一元二次方程的概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 核心判定三要素（缺一不可）：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。 2.一般形式：一元二次方程的一般形式为：。 其中：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 3.特殊形式：在一般形式的基础上，教材包含三类常见特殊形式： ① （不含常数项）； ② （不含一次项）； ③ （不含一次项与常数项）。 4.一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也称为根。 实数范围内，一元二次方程至多有两个实数根。 【重要性质】若是方程的根，则，可直接用于代入计算与参数求解。 知识点二、一元二次方程的四种解法 ▲一元二次方程的四种解法遵循由特殊到一般、由简便到通用的编排逻辑，覆盖一元二次方程全部实数求解场景。 1.直接开平方法 适用条件：一般地，对于方程的形式。 根的情况：时，方程有两个不相等实数根=﹣,=；当，方程有两个相等实数根==0；时，因为对任意实数x,都有≥0，所以方程无实数根。 2.配方法 适用条件：适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的理论基础，也是代数式变形、求最值的常用方法。 标准步骤：①二次项系数化为1；②移项，将常数项移至等式右侧；③两边加一次项系数一半的平方；④整理为完全平方形式；⑤开平方求解。 3.公式法 公式来源：由配方法推导得出，当时，方程实数根为：。 根的判别式：，判定实数根个数：①，两个不相等实数根；②，两个相等实数根；③，无实数根。 解题步骤：化为一般形式，确定公式中的值；计算判别式判定根的情况；有实数根时代入公式求解。 4.因式分解法 核心原理：若，则或，将二次方程降次为一元一次方程求解。 适用条件：方程移项归零后，左侧可因式分解，包含提公因式、平方差、完全平方、基础十字相乘四类必考形式。 解题步骤：移项使方程右边为零；因式分解；拆分为一次方程；分别求解。 知识点三、四种解法选用原则 1.含完全平方结构的方程，优先使用直接开平方法； 2.可快速因式分解的方程，优先使用因式分解法，解题效率最高； 3.结构复杂、无法简便求解的方程，统一使用公式法； 4.题目指定配方、代数式最值变形题型，必须使用配方法。 知识点四、一元二次方程的根与系数的关系 对于一元二次方程（a≠0），当≥0时，方程有两个实数根,, 则有：=﹣,= 公式常用变形： ✵易错提醒 1. 判断一元二次方程时忽视a≠0，含参数方程未限定二次项系数； 2. 未化为一般形式就确定系数，易出现符号错误； 3. 配方法未先将二次项系数化为 1，或只在等式一侧添加常数； 4. 因式分解法未移项使右侧为 0，直接分解易造成漏根； 5.公式法代入a,b,c 发生符号错误，判别式计算失误。 ✵典例精讲 题型1.一元二次方程的定义辨析 1．下列四个方程中，不是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项方程化为最简整式形式，再根据一元二次方程的定义判断． 【详解】解：对选项A，展开得，是一元二次方程，不符合题意； 对选项B，左边展开得，移项合并同类项得，是一元二次方程，不符合题意； 对选项C，右边展开得，移项合并同类项得，是一元一次方程，不是一元二次方程，符合题意； 对选项D，展开得，是一元二次方程，不符合题意； 2．写出一个二次项系数为3的关于的一元二次方程________． 【答案】 【分析】根据二次项系数为3的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】解：满足条件的一元二次方程为：（答案不唯一）． 3．证明：无论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程． 【答案】证明：， ∵无论m取何值，都大于0， ∴无论m取何值，二次项系数都不等于， ∴此方程都是一元二次方程． 【详解】略 题型2.将方程化为一元二次方程一般形式 1．关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（     ） A．3， B．3，4 C．3， D．， 【答案】C 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再确定二次项与一次项的系数． 【详解】解：将方程整理为一般形式，得， 二次项系数为，一次项系数为． 2．把一元二次方程化成一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左右两边，再移项合并同类项，整理得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为1． (2)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为1． (3)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． (4)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为． (5)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为5，一次项系数为，常数项为0． (6)一元二次方程的一般形式为，二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∴， 略； （3）解：∵， ∴， 略； （4）略； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， 略； （6）解：∵， ∴， ∴， ∴， 略． 题型3.利用一元二次方程的定义求参数 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义得到，求解获得的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得， ． 2．若方程是关于的一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需要同时满足两个条件： 第一个条件：未知数的最高次数为，即， 解得或； 第二个条件：二次项系数不为，即，解得； 综上，． 3．如图，王师傅要用长的篱笆围成一个面积为的长方形羊圈，该羊圈一面靠墙（墙足够长），求羊圈的长和宽．若设羊圈与墙平行的一边的长为，请列出相应的方程，并说明该方程是不是一元二次方程．若是，请写出二次项系数和一次项系数． 【答案】，该方程是一元二次方程，其二次项系数为1，一次项系数为． 【详解】解：根据题意得，， 将该方程化为一般形式为， 该方程是一元二次方程，其二次项系数为1，一次项系数为． 题型4.利用一元二次方程的解求参数 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，即， ， 故选：B． 2．若是方程的根，则_________． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，得到的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， ∴整理得， ∴． 3．已知关于x的方程的一个解是，求代数式的值． 【答案】1 【分析】根据方程的解的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的解． ∴． ∴． ． 将代入得：原式． 题型5.直接开平方法解一元二次方程 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 2．若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是_______． 【答案】，． 【分析】由根的定义，把代入得，即；新方程可化为，直接开平方得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴方程可化为， 开平方，得， ∴，． 3．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把的常数项移项到右边，再直接开平方解出即可． （2）把的常数项移项到右边，再系数化为“1”，最后直接开平方解出即可． 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， 题型6.因式分解法解一元二次方程 1．已知某三角形每条边的长都是方程的根，则该三角形的周长是（） A．6 B．10 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先求出，得到三角形三边长均为3，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵三角形每条边的长都是方程的根， ∴三角形三边长均为3， ∴周长为． 2．若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】或 【分析】将代入原方程，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是关于的方程的一个根 ∴ 将代入方程得，， ∴， 或 解得或 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 因式分解得 则或 解得，； （2）解： 因式分解得 整理得 则或 解得，． 题型7.配方法解一元二次方程 1．若一元二次方程可以通过配方写成的形式，则可以配成（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程的配方形式得的值与的数量关系，再对目标方程配方代入求解． 【详解】解： ， ∵一元二次方程可以通过配方写成的形式， ∴； ，即． 2．用配方法解一元二次方程时，将方程左边配成完全平方的形式为_________，方程右边为_______． 【答案】 2 【分析】先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得到左边的完全平方和右边的结果． 【详解】解：原方程为 ， 移项得， 一次项系数为，一次项系数一半的平方为， 等式两边同时加，得 ， 整理得，方程左边配成的完全平方为，方程右边为． 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，； （3）解： ，； （4）解： ，． 题型8.配方法的代数式求值与最值应用 1．无论，为何值，代数式的值（     ） A．总不大于 B．总不小于 C．可为任何有理数 D．可能为负数 【答案】B 【分析】观察代数式中含、的二次项与一次项，通过配方转化为非负式与常数的和，进而判断取值范围 【详解】解： ∵，， ∴ 2．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 3．阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． (1)用配方法将因式分解； (2)用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，代数式的最小值为． 【分析】（1）根据配方法，把二次三项式配成完全平方式与常数的差，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取二次项系数，对含的部分配方，利用平方的非负性求出代数式的最小值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ， ， ． 题型9.公式法解一元二次方程 1．关于的一元二次方程（方程有解）的两个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：一元二次方程中，，， ∴， ∴ 2．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为___________． 【答案】 【分析】将题目给出的求根公式与一元二次方程标准求根公式对比，对应得到一般式的系数即可得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的求根公式为将题目给出的式子与标准求根公式对比， 可得：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 代入， 得， 解得， 将代入一元二次方程一般形式， 得该一元二次方程为． 3．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程（）的求根公式时，对于的情况，她是这样做的： 由于，方程变形为 ，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 ．…第五步 (1)嘉淇的解法从第__________步开始出现错误；事实上，当时，方程（）的求根公式是__________； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)四；． (2)，． 【分析】（1）根据平方根的性质，正数开平方需取正负两个值，据此判断错误步骤并推导求根公式． （2）按照配方法的步骤，将方程转化为完全平方式后开方求解． 【详解】（1）解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误． ∵当时，，正数有两个平方根， ∴开方得， ∴求根公式为． （2）解：， ， ， ， ， ，． 题型10.判别式判断一元二次方程根的情况 1．下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】将各方程化为一元二次方程的一般形式，利用根的判别式判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：，，∴无实数根． B选项：将移项整理得，，∴有两个不相等的实数根． C选项：将展开整理得，，∴有两个不相等的实数根． D选项：，，∴有两个不相等的实数根． 2．已知x，y满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，再根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：令， 则代入， 得， ， ， 解得， ， 则的最大值为，则的最大值为． 故答案为：． 3．若，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． (1)判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； (2)若代数式存在两个“优值”，且差为，求的值． 【答案】(1)代数式存在“优值”． 理由：令，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，即该代数式存在“优值”． (2)的值为或． 【分析】（1）根据题意，令，整理得一般形式，计算根的判别式即可； （2）由“优值”得，解得，，根据，得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵代数式存在“优值”， ∴， 整理得， 解得，， ， ， 整理得， 解得． 题型11.根据根的情况求参数取值范围 1．关于的一元二次方程有两个实数根，则最大的整数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为及根的判别式求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得. ∴的取值范围为且， ∴满足条件的最大整数为． 2．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个实数根，可得根的判别式大于等于，确定方程系数后代入建立不等式，解不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴判别式， 其中，，， 代入得， 整理得， 解得． 3．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若是正整数，且方程的两个根都是正整数，求的值及这两个根． 【答案】(1) (2)，两根为2和4 【详解】（1）解：， ∴， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以，解得． （2）解：由求根公式，． 由（1）知，且是正整数，故，或． 当时，，两根不是整数； 当时，，两根不是整数； 当时，，即或，都是正整数，符合要求． 所以，此时原方程为，两个根为和． 题型12.换元法解一元二次方程 1．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 2．如果，那么的值是________． 【答案】 【分析】观察到等式中重复出现，用换元法将原方程转化为一元二次方程求解，再根据平方的非负性舍去不符合题意的解． 【详解】解：设， ∵ ，， ∴ ， ∵， ∴， 展开得， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ 舍去， ∴ ． 3．【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解：由方程①，得，． 当时，即，此方程无解； 当时，即，， 原方程的解为， 【解决问题】 (1)在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到_________．（选填“降次”或“消元”）的目的，体现了数学的转化思想； (2)请仿照材料的方法，解下列方程：． 【答案】(1)降次 (2)， 【详解】（1）略 （2）解：对于方程， 设， 原方程化为， 因式分解得， 解得，， 当时，， 整理得， 因式分解得， 解得，； 当时，， 整理得， ，方程没有实数根， 综上，原方程的解为，． 题型13.一元二次方程根与系数关系基础计算 1．已知关于的一元二次方程的两个根为，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系将已知等式转化为关于的方程，求解后验证方程有实根． 【详解】解：由根与系数的关系得，． ∵， ∴， 解得． 此时，符合题意． 故． 2．若实数a，b满足，且，则的值为_________． 【答案】 / 【分析】，满足同一个一元二次方程，且，可将，看作该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系计算目标式子的值． 【详解】解：∵实数，满足，，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， 故． 3．【新定义题】若两个不等于的实数，满足，则称为“和谐数对”． (1)判断是否为“和谐数对”，并说明理由； (2)若关于x的方程的两根，构成“和谐数对”，求的值． 【答案】(1)不是“和谐数对”， 理由：∵，， ∴，， ∵，不符合“和谐数对”的定义， ∴不是“和谐数对” (2)的值为 【分析】（1）根据“和谐数对”的定义进行求解即可； （2）由题意易得，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由，构成“和谐数对”可知：， ∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 解得． 题型14.根与系数关系的综合求值 1．如果a、b是两个不相等的实数，且满足，那么代数式的值为（     ） A．2022 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】由a、b满足的同结构等式，得二者为方程的不等实根，降次后结合根与系数的关系计算． 【详解】解：由题意可知，，是方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴ ． 将，代入，得 ． 2．已知是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】15 【分析】将代数式化简，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，． ． 3．若，是方程的两个根． (1)求和的值． (2)求的值． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． （2）先将通分，再根据第一问得到的答案代入即可． （3）将展开，化为含有和的式子，再将第一问所得答案代入即可． 【详解】（1）解：原方程为， 则，，， ，是方程的两个根 由一元二次方程根与系数关系可得： ， ． （2）解：， 且，， ， 的值为． （3）解：将展开，得， 变形，得， ，， ， 的值为． ✵分层专项训练 一、单选题 1．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式及方程的化简，将原方程化为一元二次方程的一般形式后匹配选项即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．1 B．3 C． D．3或 【答案】C 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，且． 解，得或． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 3．一元二次方程的左边配成完全平方式后所得的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 移项得， 两边同时加得， 即． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0、根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； ∵一元二次方程有实数根， ∴，整理得，解得， 综上，的取值范围是且． 5．已知关于x的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系将已知等式转化为关于的方程，求解后验证方程有实根． 【详解】解：由根与系数的关系得，，． ， ， 解得． 方程有两个实数根， ． 将代入得，，符合题意． 故选：A． 二、填空题 6．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m等于_________． 【答案】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程求得的可能值，再根据一元二次方程二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到结果． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为， 即，得， 是原方程的一个根， 将代入原方程得 ， 解得或， ∴． 7．对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号表示a、b中的较大数，如：．按照这个规定，方程 的解为____________． 【答案】或 【分析】根据新定义表示两数中较大的数，分、两种情况讨论，去掉符号转化为分式方程求解，检验并舍去不符合范围的根． 【详解】解：①当时，， ， ， ， ∴， ， ； ②当时，， ， ， ， ， ∴； 综上，方程的解为或． 8．直接写出下列方程的解： （1）：________． （2）：________． 【答案】 ， ， 【详解】解：（1）， ， ， ∴或， 解得 ，； （2）， 令，则， ， 或， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴，． 三、解答题 9．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， 解得：， （2）解：， ， ， 即， ， 解得：，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， （4）解：， ， ， 解得：，． 10．阅读下面的例题：求代数式的最小值． 解：． ，， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． 【答案】(1)的最小值为 (2)有最大值，最大值为 【分析】（1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答； （2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到，再利用非负数的性质即可求出最大值． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴代数式的最小值为2； （2）解： ， ， ， ， ∴代数式有最大值，最大值为． 11．已知关于x的一元二次方程， (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)当方程有一个根是0时，求m的值和另一个根． 【答案】(1)的取值范围是且． (2)的值为，方程的另一个根为． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式，求解即可得到m的取值范围； （2）将代入方程求得m的值，再代入原方程求解另一个根即可． 【详解】（1）解： ∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：，解得：， ∴的取值范围是且． （2）解：∵方程有一个根是0， ∴将代入原方程，得， 解得； 将代入原方程，得， 解得，． ∴的值为，方程的另一个根为． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)证明：， 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． (3) 【分析】（1）把代入方程即可解答； （2）计算根的判别式，即可解答； （3）根据根与系数的关系可得，即可解答． 【详解】（1）解：方程有一个根为， ， 解得； （2）略 （3）解：根据根与系数的关系可得，， ∴， 当时，原式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $