专题02一元二次方程的应用期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题02一元二次方程的应用期中复习讲义 1.能读懂增长率、传播问题、面积问题、利润问题等典型实际问题，找出题目中的等量关系，列出一元二次方程。 2.掌握列一元二次方程解应用题完整步骤：审、设、列、解、验、答；重点学会检验方程的根是否符合实际意义，舍去不合理解。 3.熟练处理增长率问题，理解平均增长率公式，区分增长、下降两种模型。 4.掌握图形面积类应用题，会用平移法处理道路、边框问题，准确表达图形边长代数式。 5.掌握销售利润问题，理清单件利润、销售量、总利润三者之间的数量关系，建立方程求解。 6.会分析病毒传播、分支问题，理清传播轮次，正确列出方程。 7.辨析易错点：设未知数时注意单位；解出两个根后必须结合现实情境取舍；审题区分 “增长到” 和 “增长了”。 8.提升文字阅读、数学建模能力，规范应用题书写格式，保证答题步骤完整。 题型 考察方向 难度 题型一 传播问题 ★★ 题型二 增长率问题 ★★ 题型三 与图形有关的问题 ★★ 题型四 数字问题 ★★ 题型五 营销问题 ★★★ 题型六 动态几何问题 ★★★★ 题型七 工程问题 ★★★ 题型八 行程问题 ★★★ 题型九 图表信息题 ★★★ 题型十 握手、循环赛问题 ★★ 题型十一 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：列一元二次方程解应用题 通用六步法（必考规范） 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，梳理已知量、未知量，挖掘题干中的等量关系 等量关系通常隐藏在关键语句中，区分条件与问题 ②设 设定未知数，包含直接设元、间接设元；复杂题目可引入辅助未知数（解题过程消去） 设未知数时，带有单位必须标注单位名称 ③列 利用含未知数的代数式表示相关数量，依据等量关系列出一元二次方程 保证方程左右两边计量单位统一 ④解 结合方程形式，选用合适解法求解方程，得到未知数的值 答题中若无特殊要求，可省略详细解方程演算过程 ⑤检 双重检验：①数值是否为方程的解；②检验数值是否符合现实实际意义 一元二次方程常有两个实数根，务必舍去不符合实际的根 ⑥答 规范书写实际问题最终答案 严格遵循 “问什么、答什么”，答案配套对应单位 ⚠️本节最大考点：一元二次方程解出来通常两个根，必须舍去不合题意的根。 知识点02：两类检验的区别 1.数学检验：检验未知数的值是不是所列一元二次方程的根； 2.实际意义检验（重中之重） (1)满足要求：长度、人数、价格、时间等数值＞0； (2)限制要求：数值不能超出题目给定范围； (3)取舍规则：若根为负数、超出取值范围，直接舍去。 补充提醒：分式方程必须检验分母，一元二次方程应用题重点侧重实际意义检验，考试扣分高频点。 知识点03：五大必考应用模型（全书核心，配标准公式） 模型一：增长率 / 下降率问题（考试最高频） 1.适用场景 连续两年、两次、两次以上涨价、降价、增产、减产。 2.核心公式 设：基数为 a，增长率为 x，增长次数 n，最终量 b a(1+x)n=b 下降率公式： a(1-x)n=b 3.关键说明 （1）每年增长率保持不变才可用公式； （2）n 为增长次数（不是年份）； （3）解出 (x>0)，负值舍去。 模型二：面积问题（几何应用题） 1.常见题型 矩形空地修路、边框、花圃、折叠、裁剪、靠墙围栏。 2.解题核心 （1）平移法：小路、过道统一平移到边上，拼成规则矩形； （2）用含 x 的式子表示新长、新宽； （3）根据面积公式列方程。 3.易错点 修路问题：横竖路重叠部分面积不要重复减去。 模型三：传播、分裂、循环问题（病毒、握手、比赛） 1. 病毒传播模型 一人感染，每轮每人感染 x 人，两轮后总感染人数： (1+x)2=总人数 2. 握手 / 单循环比赛模型 n 个人每两人握手一次，总次数： =总次数 3. 双循环（互赠礼物、互发消息） n(n-1)=总次数 模型四：销售利润问题（中考大题必考） 1.核心三大公式 单件利润 = 售价 − 进价 销量变化：涨价减销量、降价增销量 总利润 = 单件利润 销售总量 2.标准模板 设涨价 / 降价 x 元 新售价 = 原售价 x 新单件利润 =原利润 x 新销量 = 原销量变化量 x 代入：总利润 = 新利润 新销量，列二次方程。 模型五：动点几何问题（拔高压轴） 三角形、矩形中动点运动，设运动时间 t， 用 t 表示线段长，利用： 1.面积公式 2.勾股定理 列一元二次方程求解时间。 知识点04：五大模型汇总对比表（预习必背） 题型模型 核心公式 关键取舍原则 增长率问题 a(1+x)n=b 增长率为正，舍去负根 面积道路问题 新长 × 新宽 = 剩余面积 边长必须正数、小于原边长 传播问题 (1+x)2=总数 人数、次数为正整数 握手单循环 =总次数 人数n取正整数 销售利润 总利润 = 单件利润 × 销量 售价、销量、利润均为正数 知识点05：高频易错点汇总（老师重点强调） 易错点 错误表现 正确标准 不验根 两根直接全用 应用题必须舍去负数、超范围、不合理解 增长率乱用 两年增长写成a+2ax 必须用复利公式：a(1+x)2 道路面积重复减 横竖路重叠多减一次 平移法，整体计算不重复 握手比赛公式混淆 单循环双循环公式记反 比赛握手：除以 2；互赠礼物：不除以 2 利润列式错误 销量变化对应错、符号写反 涨价销量减，降价销量加 动点忽略范围 求出时间不看运动区间 时间必须在动点运动范围内 知识点06：各类题型解题口诀 1.增长问题：基数乘括号，次方看次数 2.面积道路：小路平移靠边，长宽重新算 3.传播问题：一轮传一次，平方是两轮 4.握手比赛：单循环要除二，双循环不用除 5.销售利润：利润乘销量，涨价降价看增减 题型一：传播问题 1．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人感染几人？ (2)若不及时控制，按这样的传播速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【答案】(1)每轮感染中平均一个人感染人 (2)216人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮传染中平均一个人感染人； （2）解：经过三轮传染后患甲流的人数为：（人）， 答：三轮传染后患病的共有216人． 2．请根据图片内容，回答下列问题： （假设每轮传染人数相同） (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ (2)按照这样的速度传染，第三轮将新增 名感染者？ 【答案】(1)10人 (2)1210 【分析】（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有名感染者；第二轮传染时这人每人又传染了x人，则第二轮传染了人，列出方程求解即可； （2）根据（1）中的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了x个人． 则可列方程：． 解得，（舍去）． 答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人． （2）解：（名）． 故答案为：1210． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键． 3．2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 【答案】(1)每天平均一个人传染了8人 (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人 【分析】（1）设每天平均一个人传染了x人，根据题意列方程即可解答； （2）根据（1）的数据即可求解； 本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每天平均一个人传染了x人． 由题意得，， 解得：（舍去）． ∴每天平均一个人传染了8人． （2）（人） 答：如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共729人． 题型二：增长率问题 4．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长率保持不变，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？ 【答案】这两年研发投入的平均年增长率为 【分析】设研发投入的平均年增长率为，根据该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设研发投入的平均年增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）． 答：这两年研发投入的平均年增长率为． 5．中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要顾客得到最大实惠，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)涨价5元 【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据“原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同．”列出方程即可； （2）设每盒涨价y元，根据“要保证每天盈利6000元，”列出方程即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 根据题意，得． 解得（舍）． 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒涨价y元， 根据题意，得， 解得， 因为要顾客得到最大实惠， 所以符合题意． 答：涨价5元． 6．为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口罩、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱． (1)已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为______； (2)求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式； (3)若要使该消毒液的售价不高于75元，且厂家一周的进货成本不高于9600元，求每箱售价应为多少元时，获利最多？ 【答案】(1) (2) (3)每箱售价应为70元时，获利最多． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设降价的百分率为x，由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后化简即可； （3）由题意易得，然后由（2）及二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：设降价的百分率为x，由题意得： ， 解得：（舍去）； 故答案为：； （2）解：由题意得： ； （3）解：设周销量为y箱，则，解得， 因为，所以， 解得， 又因为售价不高于75元，所以， 对于二次函数， 其中，对称轴为， 因为对称轴在的左侧， 所以在上随x的增大而减小， 所以当时，W有最大值，， 答：每箱售价应为70元时，获利最多． 题型三：与图形有关的问题 7．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 【答案】道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 8．如图，在宽为、长为的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），余下部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路的宽为 【分析】设道路的宽为，根据平移的性质可知种植草坪的面积等于一个长为，宽为的长方形的面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得，， 整理得 解得或（舍去）， 答：道路的宽为． 9．如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)当时， 的面积为 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； （2）根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； （3）存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 题型四：数字问题 10．小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为，然后根据个位的平方恰好等于该数列出方程求解即可． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为， 由题意得， 解得， ∴十位数字为2或3 ∵而立之年督东吴，“而立之年”指的是三十岁， ∴应舍去， ∴周瑜去世时年龄为36岁． 11．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 【答案】这个最大的数为16 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 12．如图，这是2026年9月的月历表，在此月历表上可以用一个方形框任意圈出4个数（如）． (1)如图，若圈出的4个数中，最小的数，则，______，______．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小明通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数x 【答案】(1)， (2)证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； (3)7 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）略； （3）解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 题型五：营销问题 13．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 14．网络直播为农产品销售开辟了重要渠道，不少果农借助直播带货实现销售转型．河阴石榴是我省极具代表性的特色果品，已知该石榴若按每箱70元销售，平均每天可售出100箱；扣除种植与人工成本后，每箱可获利26元，另外每日需支付直播推广费300元，每箱还需额外支付纸箱打包费2元．经直播大数据统计：每箱石榴售价每降低1元，日销售量就增加10箱．为提升经营收益，果农决定下调售价． (1)设每箱降价元，则每天可以售出__________箱．（用含的代数式表示） (2)若果农希望每日纯利润达到2550元，那么每箱石榴的售价应该定为多少元？ 【答案】(1) (2)每箱石榴的售价应定为61元或65元 【分析】（1）根据降价金额与日销量增加量的关系，结合原销量列代数式； （2）以每日纯利润为等量关系列一元二次方程，求解后计算对应售价． 【详解】（1）解：∵原日均销售量为100箱，每箱降价1元日销售量增加10箱， ∴降价元时，日销售量增加箱 ∴每天可以售出箱； （2）解：由题意，每箱降价元后，扣除种植与人工成本的单箱利润为元，扣除每箱2元的打包费后，单箱实际利润为元，每日需支付固定推广费300元，纯利润为2550元， 列方程得：， 整理得：， 解得：，， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， 均符合下调售价的要求， 答：每箱石榴的售价应该定为61元或65元． 15．广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 【答案】(1)9月试营业期间轮渡票价格为50元/张，摆渡车票价格为20元/张 (2)a的值为30 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张，利用数量总价单价，结合预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值，再将其代入，中，即可求出结论； （2）利用销售总额销售单价销售数量，结合十月份轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设9月试营业期间轮渡票价格为元张，摆渡车票价格为元张， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ，． 答：9月试营业期间轮渡票价格为50元张，摆渡车票价格为20元张； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的值为30． 题型六：动态几何问题 16．如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设t秒后，可使的面积为矩形面积的，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 17．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为；理由如下∶ ，，点P的速度是， 点P到达点B的时间为，点P到达点C的时间为， ，点Q的速度是， 点Q到达点D的时间为． 当点P在上，即时，如图，连接，， 则，的高是， ， 解得，符合题意． 当点P在上，即时，如图， ，， 则． ， 整理得， 解得，，符合题意． 综上所述，当t的值为或3或时，的面积为． 【分析】（1）过点A作于点E，推导出四边形是矩形，进而得到，，，利用勾股定理求得，利用解答即可得解； （2）分两种情况：当点P在上，即时， ；当点P在上，即时， ，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ，， ． ， 四边形是矩形． ，，． ． （2）解：略． 18．如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)当或时，面积为 (2)存在，时，是等腰直角三角形 (3)当时，． 【分析】(1)利用直角三角形面积公式，把代入得到关于的一元二次方程，解方程，筛选落在取值范围内的，即可解答； (2)直角在点，等腰直角三角形则两条直角边相等，列等式求，判断结果是否在运动时间区间，即可解答； (3) 在中，用勾股定理，建立含方程，求根后舍去负根，验证剩余根是否符合时间范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 点到达终点时间：，点到达终点时间：， 运动时间取值范围：． 四边形是矩形， ， 当的面积为时，， ， 整理得：， ，均符合题意． 当或时，面积为． （2）解：存在，使是等腰直角三角形，理由如下： ，为等腰直角三角形， ， ， 解得， ，符合取值范围． 存在，时，是等腰直角三角形． （3）解：，由勾股定理得： ， ， 解得，（舍去）， ，符合题意． 当时，． 题型七：工程问题 19．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，根据题意可得小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 20．甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件 (2)10 【分析】（1）设乙每小时生产个零件，根据甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等列方程求解即可； （2）根据已知信息列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙每小时生产个零件， 由题意得， 解得， 检验：当时，，符合题意， ∴甲每小时生产的零件为（个）， 答：甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件； （2）解：由题意得， 解得，（舍去）， 答：的值为10． 21．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 题型八：行程问题 22．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 24．如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域内（包括边界）都属于台风区．当轮船到点A处时，测得台风中心位于点A的正南方向点B处，且． (1)若轮船自点A按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求多久后轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由； (2)现轮船自点A立即提高船速，向位于北偏东方向相距的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，则船速至少应提高多少（提高的船速取整数，，）? 【答案】(1)会遇到台风，轮船自点A按原速度继续航行，后会遇到台风 (2)船速至少应提高 【分析】（1）设后，轮船行驶到点C处，台风中心运动到点M处时，轮船刚好遇到台风，根据勾股定理列出方程，求出t的值，进行判断即可； （2）设台风中心运动到点E，此时D港开始受影响，连接说明点E位于点A的正南方，过点D作（点G位于点A的正东方），延长，过点E作于点F， 设，根据勾股定理列出方程，解方程得出x的值，先求出台风中心运动的距离，再求出台风中心从点B运动到点E所用的时间，最后求出船速即可． 【详解】（1）解：若轮船自点A按原速度原方向继续航行，在途中会遇到台风． 设后，轮船行驶到点C处，台风中心运动到点M处时，轮船刚好遇到台风，如图所示，连接． 根据题意，得，，． 在中，， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴轮船自点A按原速度继续航行，后会遇到台风． （2）解：设台风中心运动到点E，此时D港开始受影响，连接，则： ， ，， ∴点E位于点A的正南方， 过点D作（点G位于点A的正东方），延长，过点E作于点F，如图所示： 根据题意，得， ，， 设， ． 在中，， 即， 解得：，（舍去）， ∴台风中心运动的距离为： ， ∴台风中心从点B运动到点E所用的时间为： ， ∴此时船速为：， ， ∴船速至少应提高． 题型九：图表信息题 25．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 27．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 【答案】 （1）证明：设中间的数为， ∴ ． （2）29； （3）他的说法不正确 【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论； （2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确． 【详解】（1）略 （2）解：设这五个数中最大数为， 由题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大的数是29． （3）他的说法不正确． 解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14）， 依题意，得：y（y−14）＝120， 解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）． ∵20在第一列， ∴不符合题意， ∴小明的说法不正确． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型十：握手、循环赛问题 28．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2) 解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）略 29．在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 【答案】南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，根据“所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛”建立方程求解即可． 【详解】解：设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛， 由题意得，， 解得：，（舍）， 答：南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛． 30．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 题型十一：其他问题 31．健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 【答案】(1)180米 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米，根据“小明比小华早到6分钟”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小华每分钟跑x米，则小明每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑180米． （2）解：设小明从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从A地到C地锻炼共用60分钟． 32．随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的2个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少万辆，设增加了个工厂． (1)一个工厂每季度的最大产能为____________万辆（用含的代数式表达）； (2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查列代数式、一元二次方程的实际应用，根据题意列出正确的一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程并进行求解，再结合增加产能同时又节省投入成本的条件选择合适的解即可． 【详解】（1）解：∵一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少万辆， ∴一个工厂每季度的最大产能为万辆， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵增加产能同时又节省投入成本， ∴， ∴应该再增加3个工厂． 33．某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出，两块地种植桃树，地共收获桃子；地比地多种棵、共收获桃子，此时，地每棵桃树的产量比地低． (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在地每多种棵桃树，地每棵桃树的平均产量就会减少．如果要使地的总产量比去年增加，且尽量节约成本，那么地应多种多少棵桃树？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系式． （1）设果农去年地种了棵桃树，则地种了棵桃树，地每棵桃树产量为，则地每棵桃树产量为，根据地共收获桃子，列方程求解即可； （2）设地多种棵桃树，则今年桃树数为棵，根据地的产量列方程求解即可． 【详解】（1）解：设果农去年地种了棵桃树，则地种了棵桃树，地每棵桃树产量为，则地每棵桃树产量为， 根据题意得：， 即，解得， （棵）； （棵）； 答：果农去年共种了棵桃树； （2）解：去年地有棵桃树，总产量kg，每棵产量， 今年地总产量增加，即， 设地多种棵桃树，则今年桃树数为棵， 根据题意得：， 整理得， ， 或， 尽量节约成本， ． 答：地应多种棵桃树． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程的应用期中复习讲义 1.能读懂增长率、传播问题、面积问题、利润问题等典型实际问题，找出题目中的等量关系，列出一元二次方程。 2.掌握列一元二次方程解应用题完整步骤：审、设、列、解、验、答；重点学会检验方程的根是否符合实际意义，舍去不合理解。 3.熟练处理增长率问题，理解平均增长率公式，区分增长、下降两种模型。 4.掌握图形面积类应用题，会用平移法处理道路、边框问题，准确表达图形边长代数式。 5.掌握销售利润问题，理清单件利润、销售量、总利润三者之间的数量关系，建立方程求解。 6.会分析病毒传播、分支问题，理清传播轮次，正确列出方程。 7.辨析易错点：设未知数时注意单位；解出两个根后必须结合现实情境取舍；审题区分 “增长到” 和 “增长了”。 8.提升文字阅读、数学建模能力，规范应用题书写格式，保证答题步骤完整。 题型 考察方向 难度 题型一 传播问题 ★★ 题型二 增长率问题 ★★ 题型三 与图形有关的问题 ★★ 题型四 数字问题 ★★ 题型五 营销问题 ★★★ 题型六 动态几何问题 ★★★★ 题型七 工程问题 ★★★ 题型八 行程问题 ★★★ 题型九 图表信息题 ★★★ 题型十 握手、循环赛问题 ★★ 题型十一 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：列一元二次方程解应用题 通用六步法（必考规范） 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，梳理已知量、未知量，挖掘题干中的等量关系 等量关系通常隐藏在关键语句中，区分条件与问题 ②设 设定未知数，包含直接设元、间接设元；复杂题目可引入辅助未知数（解题过程消去） 设未知数时，带有单位必须标注单位名称 ③列 利用含未知数的代数式表示相关数量，依据等量关系列出一元二次方程 保证方程左右两边计量单位统一 ④解 结合方程形式，选用合适解法求解方程，得到未知数的值 答题中若无特殊要求，可省略详细解方程演算过程 ⑤检 双重检验：①数值是否为方程的解；②检验数值是否符合现实实际意义 一元二次方程常有两个实数根，务必舍去不符合实际的根 ⑥答 规范书写实际问题最终答案 严格遵循 “问什么、答什么”，答案配套对应单位 ⚠️本节最大考点：一元二次方程解出来通常两个根，必须舍去不合题意的根。 知识点02：两类检验的区别 1.数学检验：检验未知数的值是不是所列一元二次方程的根； 2.实际意义检验（重中之重） (1)满足要求：长度、人数、价格、时间等数值＞0； (2)限制要求：数值不能超出题目给定范围； (3)取舍规则：若根为负数、超出取值范围，直接舍去。 补充提醒：分式方程必须检验分母，一元二次方程应用题重点侧重实际意义检验，考试扣分高频点。 知识点03：五大必考应用模型（全书核心，配标准公式） 模型一：增长率 / 下降率问题（考试最高频） 1.适用场景 连续两年、两次、两次以上涨价、降价、增产、减产。 2.核心公式 设：基数为 a，增长率为 x，增长次数 n，最终量 b a(1+x)n=b 下降率公式： a(1-x)n=b 3.关键说明 （1）每年增长率保持不变才可用公式； （2）n 为增长次数（不是年份）； （3）解出 (x>0)，负值舍去。 模型二：面积问题（几何应用题） 1.常见题型 矩形空地修路、边框、花圃、折叠、裁剪、靠墙围栏。 2.解题核心 （1）平移法：小路、过道统一平移到边上，拼成规则矩形； （2）用含 x 的式子表示新长、新宽； （3）根据面积公式列方程。 3.易错点 修路问题：横竖路重叠部分面积不要重复减去。 模型三：传播、分裂、循环问题（病毒、握手、比赛） 1. 病毒传播模型 一人感染，每轮每人感染 x 人，两轮后总感染人数： (1+x)2=总人数 2. 握手 / 单循环比赛模型 n 个人每两人握手一次，总次数： =总次数 3. 双循环（互赠礼物、互发消息） n(n-1)=总次数 模型四：销售利润问题（中考大题必考） 1.核心三大公式 单件利润 = 售价 − 进价 销量变化：涨价减销量、降价增销量 总利润 = 单件利润 销售总量 2.标准模板 设涨价 / 降价 x 元 新售价 = 原售价 x 新单件利润 =原利润 x 新销量 = 原销量变化量 x 代入：总利润 = 新利润 新销量，列二次方程。 模型五：动点几何问题（拔高压轴） 三角形、矩形中动点运动，设运动时间 t， 用 t 表示线段长，利用： 1.面积公式 2.勾股定理 列一元二次方程求解时间。 知识点04：五大模型汇总对比表（预习必背） 题型模型 核心公式 关键取舍原则 增长率问题 a(1+x)n=b 增长率为正，舍去负根 面积道路问题 新长 × 新宽 = 剩余面积 边长必须正数、小于原边长 传播问题 (1+x)2=总数 人数、次数为正整数 握手单循环 =总次数 人数n取正整数 销售利润 总利润 = 单件利润 × 销量 售价、销量、利润均为正数 知识点05：高频易错点汇总（老师重点强调） 易错点 错误表现 正确标准 不验根 两根直接全用 应用题必须舍去负数、超范围、不合理解 增长率乱用 两年增长写成a+2ax 必须用复利公式：a(1+x)2 道路面积重复减 横竖路重叠多减一次 平移法，整体计算不重复 握手比赛公式混淆 单循环双循环公式记反 比赛握手：除以 2；互赠礼物：不除以 2 利润列式错误 销量变化对应错、符号写反 涨价销量减，降价销量加 动点忽略范围 求出时间不看运动区间 时间必须在动点运动范围内 知识点06：各类题型解题口诀 1.增长问题：基数乘括号，次方看次数 2.面积道路：小路平移靠边，长宽重新算 3.传播问题：一轮传一次，平方是两轮 4.握手比赛：单循环要除二，双循环不用除 5.销售利润：利润乘销量，涨价降价看增减 题型一：传播问题 1．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人感染几人？ (2)若不及时控制，按这样的传播速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 2．请根据图片内容，回答下列问题： （假设每轮传染人数相同） (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ (2)按照这样的速度传染，第三轮将新增 名感染者？ 3．2023年10月15日，公众号“健康南海”发布公益推文：“家长最关心的5大传染病，专家在线指导预防”，文中指出，“登革热”高发季节为夏秋季，一般为每年的5-11月份，预防“登革热”主要做好防蚊、灭蚊．“登革热”是一种传播速度很快的传染病，云南某市在9月2日发现一位确诊患者，两天后，该市共有81位确诊患者． (1)求每天平均一个人传染了多少人？ (2)如不及时控制，经过第三天传染，该市将有“登革热”患者共多少人？ 题型二：增长率问题 4．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长率保持不变，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？ 5．中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒75元，连续两次降价后每盒48元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利10元，每天可售出500盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少20盒，现该商场要保证每天盈利6000元，且要顾客得到最大实惠，那么每盒应涨价多少元？ 6．为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口罩、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱． (1)已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为______； (2)求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式； (3)若要使该消毒液的售价不高于75元，且厂家一周的进货成本不高于9600元，求每箱售价应为多少元时，获利最多？ 题型三：与图形有关的问题 7．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 8．如图，在宽为、长为的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），余下部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 9．如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 题型四：数字问题 10．小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》；“大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年䍅为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，求周瑜去世时年龄．注：“而立之年”指的是三十岁，两位数表示为（十位数字）+（个位数字）． 11．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答） 12．如图，这是2026年9月的月历表，在此月历表上可以用一个方形框任意圈出4个数（如）． (1)如图，若圈出的4个数中，最小的数，则，______，______．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小明通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数x 题型五：营销问题 13．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 14．网络直播为农产品销售开辟了重要渠道，不少果农借助直播带货实现销售转型．河阴石榴是我省极具代表性的特色果品，已知该石榴若按每箱70元销售，平均每天可售出100箱；扣除种植与人工成本后，每箱可获利26元，另外每日需支付直播推广费300元，每箱还需额外支付纸箱打包费2元．经直播大数据统计：每箱石榴售价每降低1元，日销售量就增加10箱．为提升经营收益，果农决定下调售价． (1)设每箱降价元，则每天可以售出__________箱．（用含的代数式表示） (2)若果农希望每日纯利润达到2550元，那么每箱石榴的售价应该定为多少元？ 15．广阳岛原称广阳坝、广阳洲，位于重庆市南岸区明月山、铜锣山之间，距离市中心11公里，面积6.44平方公里，是长江上游最大的江心绿岛，市政府邀请国内一流的智库力量和设计团队，开展各项规划和城市设计，着力将广阳岛建设成“回归五百年前的生态，引领五十年后的生活”的智创生态城．2022年8月经历重新打造的广阳岛景区重新面对游客开放．游客可以选择从朝天门码头乘轮渡登岛游览或者在岛外乘坐摆渡车进入岛内游玩．据了解，9月试营业期间轮渡票价和摆渡车票价之比为，预计试营业期间一个月登岛观光人数达到18000人，摆渡车票销售总额20万元，轮渡票销售总额是摆渡车票销售总额的两倍． (1)求轮渡票价格和摆渡车票价格每张多少元？ (2)为了庆祝国庆佳节，提升市民生活品质，景区管理处决定，十月份降低轮渡票价和摆渡车票价．轮渡票价在试运行单价的基础上降低（），摆渡车票价比试运行单价降低元，这样轮渡票销售量和九月一样，摆渡车票的销售量比九月减少了，轮渡船票和摆渡车票的销售总额比预计减少了元．求a的值． 题型六：动态几何问题 16．如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 17．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 18．如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 题型七：工程问题 19．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 20．甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 21．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 题型八：行程问题 22．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 23．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 24．如图，一艘轮船以的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域内（包括边界）都属于台风区．当轮船到点A处时，测得台风中心位于点A的正南方向点B处，且． (1)若轮船自点A按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求多久后轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由； (2)现轮船自点A立即提高船速，向位于北偏东方向相距的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，则船速至少应提高多少（提高的船速取整数，，）? 题型九：图表信息题 25．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 26．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 27．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 题型十：握手、循环赛问题 28．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 29．在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 30．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 题型十一：其他问题 31．健康来自运动，运动创造美好生活．某个周末，小明和小华相约一起到万州南滨公园跑步锻炼，小明的跑步速度为小华的倍，若他们同时从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，则小明比小华早到6分钟． (1)求小明每分钟跑多少米？ (2)若到达B地后，小明继续沿着步道跑步到C地，在他从A地到C地整个跑步过程中前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，小明共消耗1050卡路里热量，在从A地到C地整个跑步过程中，小明共用多少分钟？ 32．随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的2个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少万辆，设增加了个工厂． (1)一个工厂每季度的最大产能为____________万辆（用含的代数式表达）； (2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 33．某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出，两块地种植桃树，地共收获桃子；地比地多种棵、共收获桃子，此时，地每棵桃树的产量比地低． (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在地每多种棵桃树，地每棵桃树的平均产量就会减少．如果要使地的总产量比去年增加，且尽量节约成本，那么地应多种多少棵桃树？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $