专题04 一元二次方程与实际问题 期中复习讲义-2026—2027学年人教版九年级数学上册（12类题型＋分层演练）

九年级数学上册 · 一元二次方程与实际问题 · 配套解析 专题04 一元二次方程与实际问题｜配套解析 2026—2027学年 · 人教版 · 九年级数学上册 · 一元二次方程专题 题型与变式编号对应讲义。先独立完成，再核对每一步的依据；其他合理解法同样成立。 题型01 数字与整数问题 例题｜答案：46。 设十位数字为x，则个位数字为x+2，且x为1至7的整数。 列x(x+2)=24，整理得。 因式分解得(x−4)(x+6)=0，解得x=4或x=−6。 由数位范围取x=4，个位为6，所以原数为46。 变式1｜答案：8和9。 设较小数为x，列x(x+1)=72，得(x−8)(x+9)=0。 x=8或−9；由正整数条件取x=8，所以两数为8、9。 变式2｜答案：6。 设正整数为x，列，得(x−6)(x+7)=0。 解得x=6或−7；舍去−7，故所求为6。 题型02 单循环、双循环与握手 例题｜答案：10队。 设参赛队数为x，x为大于1的整数。 列，整理得。 解得x=10或−9，负值不合队数要求。 所以有10队；检验10×9÷2=45。 变式1｜答案：9队。 设有x队，列x(x−1)=72，得(x−9)(x+8)=0。 取正整数根x=9，所以9队。 变式2｜答案：8人。 设有x人，列，得(x−8)(x+7)=0。 舍去负根，得x=8，即8人。 题型解析｜3—4 题型03 传播轮次与累计数量 例题｜答案：每位知晓者每轮传给7名新对象。 x为非负整数，一轮后共有1+x人。 第二轮所有1+x人再各新增x人，累计为。 列，得1+x=8或−8，即x=7或−9。 舍去负根，得x=7；累计1、8、64人与条件相符。 变式1｜答案：r=6。 设每人每轮新增x人，则累计。 解得x=6或−8，取非负整数根6，所以r=6。 变式2｜答案：p=5。 设p=x，则累计人数为。 列，解得x=5或−6；取x=5。 题型04 平均变化率与基数迭代 例题｜答案：10%。 设增长率为x，x≥0，连续两年后的产量为。 列，得。 解得1+x=1.1或−1.1，即x=0.1或−2.1。 舍去负增长率根，故年平均增长率为10%。 变式1｜答案：10%。 设降价率为x，0<x<1，列。 解得x=0.1或1.9，由范围取x=0.1，即10%。 变式2｜答案：20%。 设r=x≥0，则面积比为，列。 解得x=0.2或−2.2；取x=0.2，即20%。 题型解析｜5—6 题型05 售价、销量与利润 例题｜答案：每件32元或33元。 设提价x元，0≤x≤15且x为整数，则单件利润为10+x，销量为60−4x。 列(10+x)(60−4x)=624，整理得。 解得x=2或3，均在允许范围内。 所以售价为32元或33元；两种方案日利润均为624元。 变式1｜答案：18元。 设降价x元，0≤x≤8，列(8−x)(50+5x)=360。 整理得，解得x=2或−4。 取x=2，所以售价20−2=18元。 变式2｜答案：45元。 设提价x元，0≤x≤10，列(15+x)(80−2x)=1400。 整理得，得x=5或20。 20超出提价上限，故取5，售价为45元。 题型06 工程与工作效率 例题｜答案：甲10天，乙15天。 设甲单独需x天，则乙需x+5天，x>0。 列，同乘6x(x+5)得6(x+5)+6x=x(x+5)。 整理得，解得x=10或−3。 舍去负根，得甲10天、乙15天；检验。 变式1｜答案：甲6天，乙12天。 设甲需x天，列，x>0。 化简得，取正根6，故甲6天、乙12天。 变式2｜答案：甲10本，乙15本。 设甲每小时印x本，乙印x+5本，x>0，列。 化简得，解得x=10或−15，取正根10。 所以甲每小时10本，乙每小时15本。 题型解析｜7—8 题型07 行程与速度变化 例题｜答案：10千米/时。 设静水速度为x千米/时，则x>2，顺、逆流速度为x+2、x−2。 列，整理得。 解得x=10或，由x>2取10。 所以静水速度10千米/时；顺、逆流用时2小时、3小时。 变式1｜答案：12千米/时。 设原速度为x千米/时，x>0，列。 整理得，解得12或−15，故原速度12千米/时。 变式2｜答案：30千米/时。 设原速度x>0，列。 化简得，取正根30，故原速度30千米/时。 题型08 图表信息与模型提取 例题｜答案：24元或30元。 设在20元基础上提价x元，0≤x≤20，则销量为80−4x，单件利润6+x。 列(6+x)(80−4x)=640，得。 解得x=4或10，均满足价格、销量范围。 故售价为24元或30元，两种销量分别64件、40件。 变式1｜答案：9层。 设层数为x，列x(x+1)=90，得(x−9)(x+10)=0。 层数为正整数，故x=9。 变式2｜答案：36元或34元。 设降价x元，0≤x≤20，列(20−x)(50+5x)=1120。 整理得，解得x=4或6，均符合范围。 售价为36元或34元。 题型解析｜9—10 题型09 面积、边框与道路 例题｜答案：1米。 设道路宽x米，0<x<4，保留区长、宽为10−2x、8−2x米。 列(10−2x)(8−2x)=48，整理得。 解得x=1或8；8不在0<x<4内。 所以道路宽1米，保留区为8米×6米，面积48平方米。 变式1｜答案：2米。 设宽为x>0米，外侧正方形边长为6+2x，列。 解得x=2或−8，舍去负根，故道路宽2米。 变式2｜答案：2米。 设宽为x米，0<x<12，保留区为(20−x)米×(12−x)米。 列(20−x)(12−x)=180，得，解得2或30。 由尺寸范围取2，所以通道宽2米。 题型10 动态几何与运动范围（选做） 例题｜答案：4秒。 设时间为x秒，则0≤x≤6，AP=x米，Q到AB的距离BQ=x米。 △APQ面积为，列。 解得x=4或−4，时间不能为负。 x=4满足共同运动范围，所以4秒时面积为8平方米。 变式1｜答案：2秒。 设时间x秒，0≤x≤3，AP=x，BQ=2x，面积为。 列，解得±2，取满足范围的2秒。 变式2｜答案：2秒或4秒。 设时间x秒，0≤x≤6，则AP=x，AQ=6−x。 列，得，解得x=2或4。 两个时刻均在共同运动范围内，均保留。 题型解析｜11—12 题型11 新情境中的规则建模 例题｜答案：6行，36台传感器。 设行数为x，x为正整数，传感器台，控制器共2x台。 列，得(x−6)(x+8)=0。 取正整数根x=6，传感器为台。 检验36+6+6=48，符合设备总数。 变式1｜答案：9个符号。 设符号数为x，x为大于1的整数，第一位有x种、第二位有x−1种选择。 列x(x−1)=72，取正整数根9，所以有9个符号。 变式2｜答案：12项。 设完成x项，则总得分，列。 解得x=±12，由正整数条件取12，即12项。 题型12 新考法：模型辨析与舍根 例题｜答案：宽度为2米；14米超出场地尺寸，应舍去。 设宽度x米，0<x<6；道路面积为。 列，整理得。 解得x=2或14，只有2满足0<x<6。 故道路宽2米；交叉处被重复算一次，所以需减。 变式1｜答案：只保留x=2厘米；x=8不可能形成盒底。 由盒底面积列(12−2x)(8−2x)=32，得(x−2)(x−8)=0。 要形成盒底须0<x<4，所以8不合尺寸条件，取2厘米。 变式2｜答案：x=6；4盏灯是不参与面积建模的信息。 由宽为正得x>2，列(x+4)(x−2)=40。 化简得，解得6或−8，取6。 灯的数量不影响长、宽和面积关系，不参与本题方程。 限时分层演练｜选择、填空解析 第1题｜答案：B 设边长x>0，，舍去−7，得x=7。 第2题｜答案：A 总场数为12×11÷2=66。 第3题｜答案：C 两次增长依次乘1+x，所以方程为。 第4题｜答案：D 合作效率为，等于。 第5题｜答案：B 四周内道路使长、宽各减2x，所以保留面积为(20−2x)(10−2x)。 第6题｜答案：C 单件利润为10+x，销量为40−2x，相乘为总利润。 第7题｜答案：10和11。 设较小数x，x(x+1)=110，取正整数根10，所以两数为10、11。 第8题｜答案：10。 ，取正整数根10。 第9题｜答案：10%。 设降价率x，0<x<1，，取x=0.1。 第10题｜答案：3。 累计为，令其等于13，正整数根为3。 第11题｜答案：2。 设道路宽x>0，，取x=2。 第12题｜答案：6。 时间范围0≤x≤8，三角形面积为；令其为18，合法根为6。 限时演练详解｜第13—14题 第13题（8分） 一个两位数的个位数字比十位大1，两个数字的积为30。求这个两位数。 参考解答｜答案：56。 设十位数字x，则个位x+1，x为1至8的整数。 列x(x+1)=30，得(x−5)(x+6)=0。 解得5或−6，取x=5，个位为6。 所以两位数为56。 第14题（8分） 某体育联赛每两队主、客场各比赛一次，共90场。求参赛队数，并说明不能用单循环公式的理由。 参考解答｜答案：10队。 设x队，则每队与其他x−1队比赛，主客场双循环总场数为x(x−1)。 列x(x−1)=90，得(x−10)(x+9)=0。 队数取正整数10。 每对球队比赛两次，不能只计为一次的。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第15—16题 第15题（8分） 某社区图书共享点第一年服务80人，经过两年同率增长后服务115.2人（按统计平均人数计算，可为小数）。求年平均增长率。 参考解答｜答案：20%。 设年平均增长率x≥0，列。 得，解得x=0.2或−2.2。 取x=0.2，所以年平均增长率20%。 检验80×1.2×1.2=115.2。 第16题（8分） 商品成本10元，售价16元时日销量100件。每降价1元，日销量增加10件，售价不低于成本。若日利润480元，求售价与销量。 参考解答｜答案：售价14元，日销量120件。 设降价x元，0≤x≤6，单件利润6−x，日销量100+10x。 列(6−x)(100+10x)=480，整理得。 解得x=2或−6，由降价条件取2。 售价14元，销量120件，检验(14−10)×120=480。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第17—18题 第17题（8分） 乙独自完成一项工程比甲多用12天，甲、乙合作8天完成。求两人独自完成时间。 参考解答｜答案：甲12天，乙24天。 设甲独自需x天，则乙需x+12天，x>0。 列，去分母得8(x+12)+8x=x(x+12)。 整理得，解得12或−8。 取正根12，因此甲12天、乙24天，且。 第18题（8分） 骑车人行72千米，若速度提高6千米/时，用时减少1小时。求原速度。 参考解答｜答案：18千米/时。 设原速度x千米/时，x>0。 列，整理得。 解得18或−24，舍去负根。 原速度18千米/时；检验原用4小时，提高后用3小时。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 限时演练详解｜第19—20题 第19题（8分） 长18米、宽10米的矩形花园内，四周铺等宽道路后，中央保留区面积84平方米。求道路宽度，并说明另一根为何舍去。 参考解答｜答案：2米，另一根12米超出尺寸限制。 设宽x米，0<x<5，保留区长、宽分别为18−2x、10−2x。 列(18−2x)(10−2x)=84，整理得。 解得x=2或12，由0<x<5只取2。 所以道路宽2米，保留区14米×6米，面积84平方米。 第20题（8分） 长10米、宽8米的矩形场地内，修两条互相垂直且与边平行的等宽道路，剩余区域总面积48平方米。甲列(10−x)(8−x)=48，乙认为不能使用这个方程。判断甲的建模是否正确，并求道路宽。 参考解答｜答案：甲的建模正确，道路宽2米。 设路宽x米，0<x<8。剩余各矩形可拼成边长10−x、8−x的矩形，或由总面积减道路面积得到相同关系。 列(10−x)(8−x)=48，整理得。 解得x=2或16；16超出尺寸范围，故取2。 道路宽2米；道路面积平方米，剩余80−32=48平方米。 评分参考 按题目要求、关键步骤、计算结果与文字结论综合给分；方法合理且过程等价的解法应予认可。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学上册 · 一元二次方程与实际问题 · 讲义 专题04 一元二次方程与实际问题 2026—2027学年 · 人教版 · 九年级数学上册 · 一元二次方程专题 期中复习讲义 6个知识模块 · 12类题型 · 56道讲练题 内容导航 明 · 复习重点 识别题目结构，核对适用条件，解释并检验结论。 记 · 必备知识 审题、设元与相等关系；数位、配对与传播模型；变化率与销售利润；工程、行程与单位统一；面积与动态几何；检验与筛选实际解。 破 · 重难题型 题型01 数字与整数问题 题型02 单循环、双循环与握手 题型03 传播轮次与累计数量 题型04 平均变化率与基数迭代 题型05 售价、销量与利润 题型06 工程与工作效率 题型07 行程与速度变化 题型08 图表信息与模型提取 题型09 面积、边框与道路 题型10 动态几何与运动范围（选做） 题型11 新情境中的规则建模 题型12 新考法：模型辨析与舍根 过 · 分层验收 20题 · 45分钟 · 100分，基础巩固与综合提升配套。 学习目标 1. 能从数位、配对、传播、变化率等情境中找出相等关系，规范列一元二次方程。 2. 能把调价后的利润、销量及工程、行程中的倒数关系统一表达。 3. 能根据图形尺寸与运动规则建立面积方程，说明未知量的实际取值范围。 4. 能检验并筛选实际解，解释模型、单位和舍根理由，辨析建模中的错误。 选做拓展按本校教学进度与学生情况选用。 知识点总结｜1—2 知识点1 审题、设元与相等关系 1. 先确认已知量、所求量、单位与数量之间的关系。 2. 未知量可直接设为所求量，也可选便于列式的中间量。 3. 应用题一般按“设—列—解—验—答”组织，方程的根不一定都是问题的解。 规则示意 若设数量为x，则人数、队数等常要求x为正整数；长度通常要求x>0。 易错警示 只写“x=…”而没有解释x代表什么，容易使方程与结论脱节。 知识点2 数位、配对与传播模型 1. 两位数可表示为10a+b，其中a为1至9的整数，b为0至9的整数。 2. 单循环配对总数为，双循环为n(n−1)。 3. 传播问题要分别确定传播资格、每轮新增人数与累计人数，明确对象不重复等假设。 规则示意 初始1人，每轮全部已有者各新增r人，则两轮累计为；仅上一轮新增者传播时则为。 易错警示 传播模型里的“累计”包括题目规定保留的原有对象，不能只看最后一轮新增量。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 知识点总结｜3—4 知识点3 变化率与销售利润 1. 原量a连续两次同率增长r后为；连续下降为。 2. 总利润=销量×(售价−单位成本)。 3. 调价改变单件利润时，往往也同时改变销量；调价量与最后售价是不同量。 规则示意 原价p，提价x后为p+x；若每提价1元少卖k件，原销量q，则新销量为q−kx。 易错警示 增长率用小数参加运算；销售模型还应检查销量非负、价格和调价区间。 知识点4 工程、行程与单位统一 1. 总工作量看作1时，单独完成用时t，对应效率为。 2. 同一路程s、速度v对应时间；顺流速度为静水速度与水速之和，逆流为差。 3. 含未知量分母时，先限制分母不为0，化为整式方程后还要检验。 规则示意 同做一项工程的两队，若分别需a、b天，则合作效率为；这里a、b均为正。 易错警示 半小时不是0.5分钟；工程与行程都不能把倒数关系看成直接相加。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 知识点总结｜5—6 知识点5 面积与动态几何 1. 矩形面积=长×宽，三角形面积=底×对应高÷2。 2. 四周等宽内道路常使长和宽各减少2x；相邻两侧通道通常各减少x。 3. 运动路程=速度×时间；先求各动点同时在线段上运动的公共时间范围。 规则示意 边长a的正方形外铺宽x的环形道路，外侧边长为a+2x；这里a>0、x>0。 易错警示 图仅帮助理解位置，尺寸关系以题干为准；面积差模型应注意道路交叉的重复计数。 知识点6 检验与筛选实际解 1. 先解所得方程，再根据未知量的正负、整数、尺寸和时间等条件筛选。 2. 若两个根都符合原题，应保留两个方案；若没有根符合，应说明实际无解。 3. 代回原数量关系检验数值与单位，再按题意作答。 规则示意 若道路宽度需满足0<x<4，则方程的根1与8中只能选1；这来自尺寸条件。 易错警示 不能只凭“取正根”完成所有检验；正数也可能超过场地尺寸或运动时间。 我的自查 □ 能复述关键规则 □ 能识别适用条件 □ 能写出规范过程 需要提醒自己的地方：________________________________________________ 题型01 数字与整数问题 方法提炼 1. 先用一个字母表示较小的数、十位数字或题设中的基准数。 2. 把连续、相差、数位等条件写成代数式，并检查整数及数位范围。 典例精讲 一个两位数的个位数字比十位数字大2，两个数字的积为24。求这个两位数。 设十位数字为x，则个位数字为x+2，且x为1至7的整数。 列x(x+2)=24，整理得。 因式分解得(x−4)(x+6)=0，解得x=4或x=−6。 由数位范围取x=4，个位为6，所以原数为46。 结论：46。 举一反三 · 独立练习 变式1 两个连续正整数的积为72，求这两个数。 变式2 一个正整数与它的平方的和是42，求这个正整数。 易错提醒 数字必须在0至9内，十位数字不能为0；整数问题还要核对整数条件。 题型02 单循环、双循环与握手 方法提炼 1. 每两队只赛一场时，场数为；主客场各赛一次时为n(n−1)。 2. 握手若每两人恰好一次，也按无序配对计数，不把同一对重复计算。 典例精讲 若干球队参加单循环赛，每两队恰好比赛一场，共进行了45场。求参赛队数。 设参赛队数为x，x为大于1的整数。 列，整理得。 解得x=10或−9，负值不合队数要求。 所以有10队；检验10×9÷2=45。 结论：10队。 举一反三 · 独立练习 变式1 某联赛采用主客场双循环，每两队比赛两场，共72场。求队数。 变式2 一次聚会中，每两人恰好握手一次，共28次。参加聚会的有多少人？ 易错提醒 先分清每对对象是一次还是两次；单循环不能漏除以2。 题型03 传播轮次与累计数量 方法提炼 1. 先写每轮开始时谁具有传播资格，再确定统计的是新增量还是累计量。 2. 所有接触对象互不重复时，才可直接用题设的固定倍数模型。 典例精讲 最初有1人知晓一条信息。每轮开始时的每位知晓者，均把信息传给x名此前不知晓且互不重复的新对象，原知晓者继续保留信息。两轮后累计64人知晓。求x。 x为非负整数，一轮后共有1+x人。 第二轮所有1+x人再各新增x人，累计为。 列，得1+x=8或−8，即x=7或−9。 舍去负根，得x=7；累计1、8、64人与条件相符。 结论：每位知晓者每轮传给7名新对象。 举一反三 · 独立练习 变式1 最初2人携带某资料。每轮每位已有者都向r名互不重复的新对象发放，已有者也保留，轮与轮均不重复。两轮后共98人持有。求r。 变式2 最初1人发起活动。第1轮他邀请p人；第2轮仅由第1轮新加入的人各邀请p名新成员，所有新成员不重复。两轮后连同发起者共31人。求p。 易错提醒 “全部已有者继续传播”与“仅上一轮新增者传播”对应不同模型，不能混用。 题型04 平均变化率与基数迭代 方法提炼 1. 连续两次按同一变化率变化，后一次以变化后的数量为基数。 2. 增长用1+r，下降用1−r；下降率通常在0与1之间。 典例精讲 某工坊年产量为200件，连续两年按相同增长率增长后达到242件。求年平均增长率。 设增长率为x，x≥0，连续两年后的产量为。 列，得。 解得1+x=1.1或−1.1，即x=0.1或−2.1。 舍去负增长率根，故年平均增长率为10%。 结论：10%。 举一反三 · 独立练习 变式1 一种设备原价400元，连续两次按同一比率降价后为324元，求每次降价率。 变式2 正方形边长增加相同的百分率r后，面积变为原来的1.44倍。求边长增长率。 易错提醒 增长率是小数形式的未知数，答案需改写成百分数；不能把连续两次增长率直接相加。 题型05 售价、销量与利润 方法提炼 1. 总利润=单件利润×销量；调价后的单件利润与销量都应同步更新。 2. 解出调价量后，要检查价格、销量以及题设的整数或调价区间。 典例精讲 一种商品每件成本20元，售价30元时每天售60件；每提价1元，日销量减少4件。提价量x为整数元，且销量非负。若要日利润为624元，求可能的售价。 设提价x元，0≤x≤15且x为整数，则单件利润为10+x，销量为60−4x。 列(10+x)(60−4x)=624，整理得。 解得x=2或3，均在允许范围内。 所以售价为32元或33元；两种方案日利润均为624元。 结论：每件32元或33元。 举一反三 · 独立练习 变式1 商品每件成本12元，售价20元时每天售50件；每降价1元，日销量增加5件。若降价后日利润为360元，且不低于成本，求售价。 变式2 某商品成本25元，原售价40元时每天售80件。每提价1元，销量减少2件，规定提价不超过10元。要日利润1400元，求售价。 易错提醒 题目问售价时，不能把提价量或降价量直接作为售价；合法的两个根都应保留。 题型06 工程与工作效率 方法提炼 1. 工作总量统一看作1时，效率是单独完成时间的倒数。 2. 时间、效率和人数的单位要一致，涉及分母的未知量必须先限定为正。 典例精讲 甲、乙各自完成同一项工程，乙比甲多用5天，两队合作6天完成。求甲、乙各自所需时间。 设甲单独需x天，则乙需x+5天，x>0。 列，同乘6x(x+5)得6(x+5)+6x=x(x+5)。 整理得，解得x=10或−3。 舍去负根，得甲10天、乙15天；检验。 结论：甲10天，乙15天。 举一反三 · 独立练习 变式1 乙完成某工程比甲多用6天，两队合作4天完成。求两队单独完成时间。 变式2 甲打印机每小时比乙少印5本。各印60本时，甲比乙多用2小时。求两台机器每小时各印多少本。 易错提醒 合作时相加的是效率，不能把两人的单独时间直接相加；去分母后仍需检验原式。 题型07 行程与速度变化 方法提炼 1. 路程=速度×时间；同一路程的用时可表示为路程除以速度。 2. 顺流、逆流速度分别为静水速度加、减水流速度；逆流速度必须为正。 典例精讲 一艘船在水流速度2千米/时的河上，顺流、逆流各航行24千米，总用时5小时。求静水速度。 设静水速度为x千米/时，则x>2，顺、逆流速度为x+2、x−2。 列，整理得。 解得x=10或，由x>2取10。 所以静水速度10千米/时；顺、逆流用时2小时、3小时。 结论：10千米/时。 举一反三 · 独立练习 变式1 骑车人行30千米，若速度提高3千米/时，用时减少半小时。求原速度。 变式2 汽车行驶120千米，速度提高10千米/时后少用1小时。求原速度。 易错提醒 半小时要用小时参与计算；静水速度不得小于或等于水流速度。 题型08 图表信息与模型提取 方法提炼 1. 先读清表格中每一列的意义和变化规则，不能只凭几个数猜测。 2. 把表中的变化量翻译成关于未知数的代数式，再按所求目标建方程。 典例精讲 商品每件成本14元。试销表为：售价20、21、22元时，日销量分别80、76、72件。现明确规定，在销量非负的调价范围内，每提价1元销量均减少4件。若日利润要达到640元，求可能售价。 设在20元基础上提价x元，0≤x≤20，则销量为80−4x，单件利润6+x。 列(6+x)(80−4x)=640，得。 解得x=4或10，均满足价格、销量范围。 故售价为24元或30元，两种销量分别64件、40件。 结论：24元或30元。 举一反三 · 独立练习 变式1 储物架第k层固定摆2k个盒子。记录表显示前1、2、3层累计分别2、6、12个，且已知前n层累计为n(n+1)。若共有90个盒子，求层数n。 变式2 商品每件成本20元。表中售价40、38、36元分别对应日销量50、60、70件。已知每降价1元销量增加5件，且售价不低于成本。若日利润1120元，求售价。 易错提醒 有限几个数据本身不能唯一确定变化规律；本题中的固定变化规则应一并使用。 题型09 面积、边框与道路 方法提炼 1. 先用未知宽度表示保留图形的长和宽，特别区分减去一次还是两次宽度。 2. 所得边长须为正；舍根依据来自原图的尺寸范围。 典例精讲 长10米、宽8米的矩形花园内沿四周铺等宽道路，中央保留的矩形面积为48平方米。求道路宽度x。图仅作结构示意。 ( A B C D E F G H 10米 8米 保留区 ) 示意图 设道路宽x米，0<x<4，保留区长、宽为10−2x、8−2x米。 列(10−2x)(8−2x)=48，整理得。 解得x=1或8；8不在0<x<4内。 所以道路宽1米，保留区为8米×6米，面积48平方米。 结论：1米。 举一反三 · 独立练习 变式1 边长6米的正方形花坛外侧铺一圈等宽道路，花坛连道路的总面积为100平方米。求道路宽度。 变式2 长20米、宽12米的矩形场地内，沿一条长边和相邻一条短边各留等宽通道。剩余矩形面积为180平方米。求通道宽度。 易错提醒 四周内铺道路的长、宽均减2x；沿相邻两边留通道则各减x。 题型10 动态几何与运动范围（选做） 方法提炼 1. 把同一时刻的路程统一表示为速度乘时间，并先确定共同运动的时间范围。 2. 利用底乘高或面积差建立面积式；合法根必须同时满足各动点所在的线段范围。 典例精讲 矩形ABCD中，AB=8米，BC=6米。P从A沿AB向B以1米/秒运动，Q同时从B沿BC向C以1米/秒运动；Q到C即共同停止。求运动几秒时△APQ面积为8平方米。图画出某一时刻。 ( A B C D P Q AB=8米 BC=6米 AP=t BQ=t ) 示意图 设时间为x秒，则0≤x≤6，AP=x米，Q到AB的距离BQ=x米。 △APQ面积为，列。 解得x=4或−4，时间不能为负。 x=4满足共同运动范围，所以4秒时面积为8平方米。 结论：4秒。 举一反三 · 独立练习 变式1 矩形ABCD中AB=8米、BC=6米，P从A沿AB以1米/秒运动，Q从B沿BC以2米/秒运动，同时出发，Q到C即共同停止。何时△APQ面积为4平方米？ 变式2 矩形ABCD中AB=8米、AD=6米。P从A沿AB、Q从D沿DA同时以1米/秒运动，Q到A即共同停止。何时△APQ面积为4平方米？ 易错提醒 动点题可能有两个合法时刻；不能只因为根较大就舍去，必须依据运动区间。 题型11 新情境中的规则建模 方法提炼 1. 把陌生名称改写成熟悉的数量关系，严格按题目给出的计数规则。 2. 不同种设备、积分与人数等量不能混为同一量，先读清总量口径。 典例精讲 智能监测区放置n行n列传感器；每行另配1个行控制器，每列另配1个列控制器，三类设备互不兼任。总计48台设备。求传感器的行数及传感器台数。 设行数为x，x为正整数，传感器台，控制器共2x台。 列，得(x−6)(x+8)=0。 取正整数根x=6，传感器为台。 检验36+6+6=48，符合设备总数。 结论：6行，36台传感器。 举一反三 · 独立练习 变式1 一种两位编码允许从n个不同符号中依次选2个，顺序不同算不同编码，两个位置不能重复。已得到72种编码，求n。 变式2 某挑战规定：完成k项任务，每项得k分，再一次性加奖励20分，总得分164分。已知k为正整数，求完成任务数。 易错提醒 新规则必须由题目给定，不能把自己熟悉的旧模型直接套进去。 题型12 新考法：模型辨析与舍根 方法提炼 1. 读出题目要求的是建模、订错还是解释条件，不只写一个数值结果。 2. 通过边长、面积和原题条件检验候选解；用文字说明舍根理由。 典例精讲 长10米、宽6米的矩形区域内铺两条互相垂直且与边平行的等宽道路，交叉部分只计一次，道路总面积28平方米。某同学解得宽度x=2或14米，便把两个答案都保留。请列方程并订正。 ( A B C D E F G H I J K L 10米 6米 交叉道路 ) 示意图 设宽度x米，0<x<6；道路面积为。 列，整理得。 解得x=2或14，只有2满足0<x<6。 故道路宽2米；交叉处被重复算一次，所以需减。 结论：宽度为2米；14米超出场地尺寸，应舍去。 举一反三 · 独立练习 变式1 一张长12厘米、宽8厘米的纸，四角各剪去边长x厘米的正方形，折成无盖盒；盒底面积32平方厘米。有人保留x=2与8两个根。判断并说明理由。 变式2 一个矩形长为(x+4)米、宽为(x−2)米，面积40平方米，另知周边装有4盏灯。求x，并指出灯的数量是否参与建模。 易错提醒 不要为了得到唯一答案而任意舍根；应依据原题的实际范围，也要区分有效信息与干扰信息。 限时分层演练｜基础巩固 姓名：____________ 班级：____________ 得分：____________ 建议用时45分钟，满分100分。解答题写出关键过程，并核对题设条件。 一、选择题（共18分） 1.（3分）正方形面积为49平方厘米，它的边长为多少厘米？ A. −7 B. 7 C. ±7 D. 14 2.（3分）12支球队参加单循环赛，每两队恰好比赛一次，共有多少场？ A. 66 B. 132 C. 72 D. 144 3.（3分）某产值由500万元经连续两年同率增长变为605万元。设年增长率为x，正确方程是（ ）。 A. 500(1+2x)=605 B. C. D. 4.（3分）甲单独完成某工程需x天，乙比甲多4天，两队合作3天完成。正确方程是（ ）。 A. x+(x+4)=3 B. C. D. 5.（3分）长20米、宽10米的矩形场地，内部四周铺等宽道路x米后，中央保留区面积144平方米。正确方程是（ ）。 A. (20−x)(10−x)=144 B. (20−2x)(10−2x)=144 C. D. (20+2x)(10+2x)=144 6.（3分）商品成本15元，售价25元时日售40件，每提价1元少卖2件。提价x元后，日利润的代数式是（ ）。 A. (25+x)(40−2x) B. (10+x)(40+2x) C. (10+x)(40−2x) D. 10(40−2x) 二、填空题（共18分） 7.（3分）两个连续正整数的积为110，这两个数是________。 8.（3分）每两人握手一次，共45次，参加者共有________人。 9.（3分）商品从100元连续两次按同一比率降到81元，每次降价率为________。 10.（3分）最初1人加入活动，第1轮他邀请r人，第2轮仅第1轮新成员各邀请r名不重复的新成员，两轮累计13人。r=________。 11.（3分）边长4米的正方形花坛外侧铺等宽道路，总面积64平方米，道路宽为________米。 12.（3分）矩形ABCD中AB=10米、BC=8米，P从A沿AB、Q从B沿BC同时以1米/秒运动，Q到C即共同停止。________秒时△APQ面积为18平方米。 限时分层演练｜综合提升（1） 13.（8分）一个两位数的个位数字比十位大1，两个数字的积为30。求这个两位数。 14.（8分）某体育联赛每两队主、客场各比赛一次，共90场。求参赛队数，并说明不能用单循环公式的理由。 15.（8分）某社区图书共享点第一年服务80人，经过两年同率增长后服务115.2人（按统计平均人数计算，可为小数）。求年平均增长率。 16.（8分）商品成本10元，售价16元时日销量100件。每降价1元，日销量增加10件，售价不低于成本。若日利润480元，求售价与销量。 限时分层演练｜综合提升（2） 17.（8分）乙独自完成一项工程比甲多用12天，甲、乙合作8天完成。求两人独自完成时间。 18.（8分）骑车人行72千米，若速度提高6千米/时，用时减少1小时。求原速度。 19.（8分）长18米、宽10米的矩形花园内，四周铺等宽道路后，中央保留区面积84平方米。求道路宽度，并说明另一根为何舍去。 20.（8分）长10米、宽8米的矩形场地内，修两条互相垂直且与边平行的等宽道路，剩余区域总面积48平方米。甲列(10−x)(8−x)=48，乙认为不能使用这个方程。判断甲的建模是否正确，并求道路宽。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $