专题01 期中复习压轴17类题型归纳（考试范围：第25章 一元二次方程～第28章 旋转）（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

专题01 期中复习压轴17类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第25章 一元二次方程~第28章 旋转） 【新教材人教版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 1 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 4 【题型3 二次函数系数结论辨析】 6 【题型4 二次函数中参数范围求解】 12 【题型5 反比例与几何图形综合计算】 16 【题型6 反比例函数k几何意义综合】 22 【题型7 旋转规律探究】 27 【题型8 旋转几何线段最值问题】 31 【解答压轴】 36 【题型9 一元二次方程实际应用题】 36 【题型10 一元二次方程与几何图形综合】 41 【题型11 一元二次方程中的新定义问题】 46 【题型12 二次函数线段与面积最值】 52 【题型13 二次函数特殊点存在性探究】 68 【题型14 二次函数的应用】 79 【题型15 反比例函数几何综合大题】 89 【题型16 反比例函数的应用】 98 【题型17 旋转手拉手模型综合探究】 105 【选填压轴】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 【变式1-1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 2027 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求多项式降次，再结合根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵a是方程的实数根， ∴，即， ∵a，b是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， 对所求式子变形得：， 将代入得： 原式 ． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知实数满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】将第二个方程整理得到和满足同一个一元二次方程，结合得到和是该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系代入化简即可得结果． 【详解】解：∵ 代入，得左边， ∴ ， 对两边同时除以， 得， ∵ ，且，即， ∴ 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， 拆分所求式子： ． 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 【例2】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 【答案】 【分析】设两个方程的公共解，代入两个方程联立消元，整理得到关系式，分情况讨论排除不符合条件的结果，即可得到的值． 【详解】解：设两个方程的公共解为，将代入两个方程得： ， 得： 整理得： 因式分解得： 或 当时，两个方程都为，两个方程相同，有两个公共解，不符合题意，舍去； 当时，把代入得： 计算得：，解得 解方程，得，， 解方程，得，， 验证得此时两个方程只有一个公共解，符合题意，因此的值为． 【变式2-1】（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 【变式2-3】（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 【题型3 二次函数系数结论辨析】 【例3】（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴的交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 【变式3-1】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 【变式3-2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 【变式3-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于正半轴，其中：下列四个结论：①；②；③、为抛物线上两点，若满足时，则；④若时，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，抛物线的增减性，一元二次方程根的判别式等解答即可. 【详解】解：∵二次函数与轴交于、两点，与轴交于正半轴，其中， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴, 故①正确； 根据题意，得，1是方程的两个根， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴， ∴ 故②正确； ∵、为抛物线上两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； 故③错误； 当时，则方程变形为，整理，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故有两个不相等的实数根， 故④正确； 综上所述，正确的序号为：①②④． 【题型4 二次函数中参数范围求解】 【例4】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）对于任意实数a，抛物线与x轴至少有一个公共点，则b的取值的范围是______． 【答案】 【分析】根据已知条件可知：一元二次方程有实数根，则，得对任意的实数a都成立，只要求出的最大值，即可得解． 【详解】解：抛物线与x轴至少有一个公共点， 一元二次方程有实数根， ， 对任意的实数a都成立， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图像与系数的关系、配方法求二次函数的最大值是解决此题的关键． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ∴， 解得， 由图可知，当时，直线与新函数的图象有4个公共点． 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得离对称轴越远，函数值越大，根据题意可得点A一定在点B的左侧，那么点A和点B不能同时在对称轴右侧，据此可得，当时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足；当时，则的最小值一定要大于的最大值，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A一定在点B的左侧， 又∵， ∴点A和点B不能同时在对称轴右侧（在对称轴右侧y随x增大而增大，此时必定不满足题意）， ∴， ∴； 当，即时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足； 当时，， ∵要恒成立， ∴的最小值一定要大于的最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图像经过两点．若该二次函数的最大值为，当时，，则的取值的范围为___________． 【答案】/ 【分析】先根据已知推导出：，当时，，即可求出，然后再根据抛物线开口向下，最大值为，得判别式，由此得，综合即可得解． 【详解】解：将代入抛物线表达式得：， 整理得， 并整理得：； ， 把代入并解得：， 故， 当时，， ， 故， 又，该二次函数的最大值为， 方程无实数根， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得与判别式是解答此题的关键． 【题型5 反比例与几何图形综合计算】 【例5】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若．有以下结论：①；②当点的横坐标为3时，四边形是正方形；③当点的纵坐标为9时，点的横坐标为，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及正方形的判定，结合已知条件求出的值，再根据正方形的判定条件判断，最后根据点的坐标求出的横坐标，对三项依次判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：设，， ，在上， ， ∵平行于轴， ∴， 如图，连接，交于点， ， ∵四边形为菱形， ∴，点 ∵平行于轴， ∴轴， ∴， ∵坐标原点为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由菱形的性质并结合图形可得，点、点关于线段对称，点、点关于线段对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴反比例函数的解析式为， 当点的横坐标为3时， 为的中点， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，故②正确； 当点的纵坐标为9时，点的横坐标为， ∵， ∴点的横坐标为，故③错误； 故选：A． 【变式5-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图象上，轴，轴，将四边形的面积分成的两部分，则的面积为________，k的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积，首先根据题意设出，，则，，，然后表示出，，然后利用将四边形的面积分成的两部分列方程求出，延长，交于点E，根据代入可求出k的值． 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数的图像交于A，B两点， ∴设，， ∵点C，D在反比例函数的图像上，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∵将四边形的面积分成的两部分， ∴，即， ∴解得， 如图所示，延长，交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴解得， 经检验，时原方程的解， 故答案为：，． 【变式5-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，在平面直角坐标系内存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是________． 【答案】或或 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，先将点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标；然后结合图象分类讨论以、、、为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的的坐标即可． 【详解】把点代入得：， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得 ． 则． ①如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 点的横坐标为2，，故． 所以． ②如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 点的横坐标为2，，故． 所以． ③如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 即，故． 即，故． 所以． 综上所述，符合条件的点的坐标是：或或． 【题型6 反比例函数k几何意义综合】 【例6】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【变式6-1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 【变式6-2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，已知是反比例函数图象上的一点，在轴上，在轴上，交轴于轴，若，则__________． 【答案】 【分析】连接，根据几何图形面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵反比例函数图象在第一象限，即， ∴． 【变式6-3】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案． 【详解】解：∵点在的图象上， ∴， ∴点， ∵轴，轴，C，D两点在的图象上， ∴四边形是矩形， ∴点，， ∴，，，， ， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【题型7 旋转规律探究】 【例7】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 【变式7-1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【答案】 【分析】．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，即，即，即，即， ， 点与同在一个象限内， 点． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 【变式7-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，求出，，，，，，，，…，由此可得，8次一循环，计算即可得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图，连接， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得：， ∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式， ∴相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，，…， 由此可得，8次一循环， ∵， ∴点的坐标为． 【题型8 旋转几何线段最值问题】 【例8】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，此时在中，， 即的最小值是1， 故选：C． 【变式8-1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，D是上一个动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】如图所示，延长至F使，证明出，可得，得到点E在直线绕点F顺时针旋转的直线上，当时，最小，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长至F使， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴ ∴， ∴， 故点E在直线绕点F顺时针旋转的直线上， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴当时，是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质和垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，得到点E的运动轨迹． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏·寒假作业）如图，在x轴上有，两点，点C为y轴右侧一动点，且．将线段绕点B顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 __ ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，两点之间，线段最短，等边三角形性质等知识﹒以为一边在的上方作等边，连接，根据题意得知，，﹒根据等边三角形性质得到，由旋转的性质得，证明，得到，根据“两点之间，线段最短”得，即可得到当点A，E，D共线时，为最大，最大值是5． 【详解】解：以为一边在的上方作等边，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴﹒ ∵为等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据“两点之间，线段最短”得：， 即 ∴当点A，E，D共线时，为最大，最大值是5． 故答案为：5 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接、，直线交于点．则的最大值为(    ) A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】勾股定理求得，则，过A点作，交的延长线于点E，证明，得出，则为的中点，进而证明，取中点，连接，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，，即可求解． 【详解】解：在中，，，，将绕点顺时针旋转得到， ∴， 如图1，过A点作，交的延长线于点E， 设旋转角，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即为的中点， 如图2，连接， ∵ ∴ ∴如图3，取中点，连接，连接 ∵， ． 【解答压轴】 【题型9 一元二次方程实际应用题】 【例9】（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 【变式9-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，甲组实际工作天数为天，乙组实际工作天数为天，甲提高效率后的天数为天，乙在甲组提高效率后，继续工作的天数为：天，甲组提高效率后的日产量为盒，根据总任务量等于前2天完成量加上甲组提高效率后完成量和乙组后续完成量，建立方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式9-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 【变式9-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 【题型10 一元二次方程与几何图形综合】 【例10】（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 【变式10-1】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)当或时，面积为 (2)存在，时，是等腰直角三角形 (3)当时，． 【分析】(1)利用直角三角形面积公式，把代入得到关于的一元二次方程，解方程，筛选落在取值范围内的，即可解答； (2)直角在点，等腰直角三角形则两条直角边相等，列等式求，判断结果是否在运动时间区间，即可解答； (3) 在中，用勾股定理，建立含方程，求根后舍去负根，验证剩余根是否符合时间范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 点到达终点时间：，点到达终点时间：， 运动时间取值范围：． 四边形是矩形， ， 当的面积为时，， ， 整理得：， ，均符合题意． 当或时，面积为． （2）解：存在，使是等腰直角三角形，理由如下： ，为等腰直角三角形， ， ， 解得， ，符合取值范围． 存在，时，是等腰直角三角形． （3）解：，由勾股定理得： ， ， 解得，（舍去）， ，符合题意． 当时，． 【变式10-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【变式10-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 【题型11 一元二次方程中的新定义问题】 【例11】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． (1)点，，中，不是“完美点”的是________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2026或2028 【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）根据点是“完美点”，得出，即，当时，当时，分别求解即可； （3）根据点是“完美点”，得出，即，分当时，当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，故点是“完美点”； ∵，故点是“完美点”； ∵，故点不是“完美点”； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴， 当时，则，解得或（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴． （3）解：∵点是“完美点”， ∴，即， ∴， 当时，恒成立，则； 当时，，则， ∴， ∴ ． 综上，原式的值为2026或2028． 【变式11-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 【变式11-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 【变式11-3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数 (3)或 【分析】（1）根据定义解答即可． （2）解方程，根据根与系数关系定理解答即可． （3）根据结论，结合方程解的定义解答即可． 本题考查了新定义，根与系数关系定理，方程解的定义，熟练掌握新定义，根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：已知一元二次方程的两根为， 解方程得， 故答案为：； 由方程的两根；，“友好方程”的两根， 则，， 故． 故方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数． 故答案为：互为倒数． （3）解：关于x的方程的两根是． 故方程的两根是， 故方程的两根是， 又， 故， 故是方程的根． 故或， 解得或， 故关于x的方程的两根为或． 【题型12 二次函数线段与面积最值】 【例12】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）过点，，与轴交于点，作直线．点是线段中点，过点的直线且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线下方抛物线上有一点，连接、，与交于点，连接，将线段沿轴平移，在平移过程中记为．当最大时，求周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点，点在延长线上，横坐标为，点是新抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，代入函数解析式求得a、b的值即可； （2）先说明的面积是定值，则要使的面积最大，只需的面积最大即可；如图：过P作于H，过P作于I，设，则，利用割补法可得的面积，再利用二次函数的性质求得最大时p的值，即可确定最大时，点P的坐标；再说明要求周长的最小值，只需求得的最小值，再利用平移和轴对称的性质求最值即可； （3）先求得，新抛物线的解析式为，如图：过G作交y轴于点M， 过C作交于点U，利用平行线的性质和等量代换可知点Q为直线与抛物线在第一象限的交点；再想法求得直线的解析式为，再与新抛物线的解析式联立求解，并选择符合题意的点Q坐标即可；如图：取点M关于的对称点，则，易得点是直线与在第三或第四象限的交点；利用垂直平分线的性质、中点坐标、勾股定理求得，利用待定系数法可得直线的解析式为，再与新抛物线的解析式联立求解，并选择符合题意的点Q坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 过点，， ∴，解得：． ∴抛物线解析式． （2）解：∵抛物线解析式， ∴， ∵点是线段中点， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 如图：过F作于G， ∵， ∴是定值， ∴的面积是定值， ∴要使的面积最大，只需的面积最大即可． 如图：过P作于H，过P作于I， 设，则， ∴，，， ∴的面积为， 整理得：， ∴该函数抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的面积S有最大值， ∴当时，的面积S有最大值，的面积有最大值； ∵，， ∴， ∵将线段沿轴平移，在平移过程中记为， ∴， ∴要求周长的最小值，只需求得的最小值， 如图：将点向上平移一个单位得到点，则， ∴， 如图：作点P关y轴的对称点，连接， 当三点共线时，最小值为,即的最小值为， ∵． ∴的最小值为， ∴周长的最小值． （3）解：由（2）可知直线的解析式为， ∵横坐标为， ∴， ∵直线的解析式为，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，， ∴设新抛物线的解析式为： ， ∵新抛物线经过点， ∴，解得：，（不合题意、舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 如图：过G作交y轴于点M， 过C作交于点U， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即点Q为直线与抛物线在第一象限的交点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴； ∵直线的解析式为， ∴， 如图：取点M关于的对称点，则， ∴，， ∴点是直线与在第三或第四象限的交点， ∵点M关于的对称点， ∴的中点坐标为，且在直线上， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴，整理得：， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【变式12-1】（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 【答案】(1)①② (2) 【分析】 （1）①先根据平移得，再把，分别代入，解得，即； ②算出，则，证明，再求出直线的解析式为，依题意得，解得，，又因为抛物线上的点E的横坐标为m，且，故，故把代入，得； （2）根据二次函数的图象性质，得，，，过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，，再证明，则，又因为的最小值为，即，再结合勾股定理列式计算，得，解得． 【详解】（1）解：①依题意，抛物线与y轴相交于点C， ∴， ∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，点D落在该抛物线上， ∴， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ②由①得，，， ∴， 连接，与y轴相交于点，如图所示： 当时，则， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ 即 ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，代入， 得， 解得， ∴， 依题意得， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得，， ∵抛物线上的点E的横坐标为m，且， ∴， 故把代入，得， 即； （2）解：∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点， ∴， ∴， 令，则， 解得； ∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C， ∴，， ∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D， ∴射线的解析式为 过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，， ∵轴，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵的最小值为 ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴，（舍去） 【变式12-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 【变式12-3】（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设 ，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设 ，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 【题型13 二次函数特殊点存在性探究】 【例13】（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大，此时点 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过P作轴交于E，求出，直线解析式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴设直线解析式为，把，分别代入，得 ， 解得， ∴直线解析式为， 设，其中，过作轴交于，如图 则， ∴， ∴， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，面积最大． 此时，即； （3）解：存在，理由如下： ①当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； ②当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式13-1】（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【变式13-2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 【变式13-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 【题型14 二次函数的应用】 【例14】（26-27九年级·全国·暑假作业）综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 【答案】(1)16，，， (2) (3) 【分析】（1）由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线，的解析式； （2）由和所在抛物线关于点对称可得和，再将代入解析式即可得解； （3）先确定直线与交于最高点时，由此确定此时直线与必有交点，最后再确定和直线有交点时，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，顶点在轴上， ∴即，即， 设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵和关于原点中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：设所在抛物线为， 和所在抛物线关于点对称， ， 且的顶点和顶点也关于点对称， 即， 恰好经过的顶点， ，即， 解得， 在轴左侧， ， 所在抛物线为； （3）解：观察图3可知， 与关于轴对称， 所在抛物线为． 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消去得，即， ， 解得， 当时，和直线必有交点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 由韦达定理，，至少有一负根． 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 由韦达定理，，至少有一正根． 考虑函数，当时，， 则， ∴． 综上所述，的取值范围为． 【变式14-1】（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 问题情境： 某批发市场销售甲、乙两种水果．根据市场调研，甲种水果的销售利润（单位：万元）与销售量x（单位：t）满足一次函数关系，乙种水果的销售利润（单位：万元）与销售量x（单位：t）满足二次函数关系． 通过实践得到以下数据： 销售量x/t 1 2 3 甲种水果的销售利润/万元 0.3 0.6 0.9 乙种水果的销售利润/万元 1.4 2.6 3.6 建立模型： (1)分别求，与x的函数关系式． 问题解决： (2)市场计划在某周内销售甲、乙两种水果共．设乙种水果的销售量为，两种水果的销售利润之和为万元．（两种水果均有销售） ①求关于m的函数关系式，并直接写出m的取值范围； ②当m为何值时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)在（2）的条件下，实际销售过程中要求总利润为6万元，且甲种水果的销售量大于乙种水果的销售量，请直接写出此时乙种水果的销售量． 【答案】(1)； (2)①；②当时，总利润w最大，最大总利润为6.6万元 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①设乙种水果的销售量为，则甲种水果的销售量为，再结合（１）中的解析式求出关于m的函数关系式； ②利用配方法，把一般式化为顶点式，根据顶点式得到最值即可； （3）令，再解方程，结合题意确定的值即可． 【详解】（1）解：设， ，解得， ， ， ，解得， ； （2）解：①设乙种水果的销售量为，则甲种水果的销售量为， 则； ②由①可知， 则当时，总利润w最大，最大总利润为6.6万元； （3）解：令， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 则此时乙种水果的销售量为． 【变式14-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【答案】(1)不能 (2) (3)不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【分析】（1）先根据顶点和出手点求出抛物线解析式，再把篮筐的横坐标代入算出对应高度，对比命中高度区间，得出不能命中篮筐； （2）向前走t米相当于抛物线向右平移，写出平移后的抛物线，把篮筐中心点代入方程求解，结合向前走舍去不满足条件的，得到t的值； （3）保持抛物线形状与出手高度不变，把篮筐水平位置代入解析式算出篮球高度，将算出的高度和的范围对比，判断无法命中；设改变出手高度后的抛物线解析式，再根据命中条件求出m的取值范围，把出手点坐标代入抛物线解析式中，得到的取值范围，即可命中． 【详解】（1）解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 代入出手点， 可得， 解得． 所以抛物线解析式为， 当时，， 因为，不满足， 答：不能命中篮筐． （2）解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为， 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得， 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． （3）解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐． 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【变式14-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 【题型15 反比例函数几何综合大题】 【例15】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不存在，理由如下： 设，即， ∵点E是线段上一动点，点F是线段上一动点， ∴， 在中，， ∴， ∴的周长，的面积， ∵直线将的周长和面积同时平分， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，此时，不符合题意， ∴不存在这样的直线． 【分析】（1）过点D作轴于点G，则，证明，可得，即可得到点D的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，交双曲线于点P，则，证明，可得，从而得到点C、P的坐标，即可求解； （3）设，即，其中， 根据直线将的周长和面积同时平分，可得，，从而得到，可求出m，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点G，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 把点代入中得：， 即， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图，过点C作轴于点H，交双曲线于点P，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点P的纵坐标为7， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为， ∴， 即将正方形沿x轴向左平移1个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； （3）略 【变式15-1】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 【变式15-2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式15-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 【题型16 反比例函数的应用】 【例16】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础． 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡． 材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题： (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，． ①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________； ②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克． (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克， ①请求出关于的函数表达式； ②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克． (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）． 【答案】(1)①；②12.5 (2)①；②40 (3) 【分析】（1）①由平衡式得为定值，设，得，把数值代入可求得K的值，即可求得表达式； ②由题意得，即可求得最小的质量； （2）①根据杠杆平衡原理得，即，代入，克的值，即可求解； ②由变形得，根据y的系数即可解答； （3）先求出物体A真实质量为120克，用100克秤砣时y的值，换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量，偏差则为真实质量与测量值的差． 【详解】（1）解：①由平衡式知，不称重物时左侧为定值， 记常数 ，则 ； ∵克时，， ∴ ， ∴； ②秤砣最大滑动距离为，即，代入， 解得， ∴最小质量为12.5克； （2）解：①称重物时，新增重物质量克， 根据杠杆平衡原理，总平衡式为：​， 整理得， 把，克代入得： ， 化简得； ②由变形得， 则是的一次函数，一次项系数为40，即每增加，对应增加40克； （3）解： 对于， 物体A真实质量为120克（克），用100克秤砣时，代入，得； 换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量满足，代入，得； 偏差为真实质量减测量值：． 【变式16-1】（2025·浙江金华·模拟预测）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【答案】(1)生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要 (2)①，； ②小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗，计算说明如下： 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗． 【分析】（1）根据生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要建立方程组求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②在中，分别求出和时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要． 根据题意得， 解得， 答：生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要； （2）解：①设当时，，当时，， 由题意得，， 解得， ∴，． ②略 【变式16-2】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 【变式16-3】（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究 ，检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 【题型17 旋转手拉手模型综合探究】 【例17】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．    (1)如图1，可得___________；若，则___________． (2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示） (3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；    （2）∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；    （3）当交点F在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴；    当交点F在线段上时，如图4， 同理可得：；    当交点F在线段上时，如图5， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵， ∴； 综上，或．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式17-1】（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 【答案】 【分析】根据三角形的旋转性质得到为等边三角形，再根据手拉手模型证得，最后根据勾股定理逆定理解得是直角三角形，从而得出答案；再多次利用旋转的性质求出的面积，进而求解． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， 在中，， ∴是直角三角形，， ∴． （2）如图所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ， 由（1）知， ∴； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得； 将线段以点为旋转中心逆时针旋转， 同理可求得， ∴， 则． 【变式17-2】（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 (1)如图，在正方形和正方形中，连接，．请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接，．请判断与的数量关系及线段与所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴； (2)解：，线段与所在直线所夹锐角的度数为，理由如下：如图，延长和，并交于点，与交于点， ∵菱形和菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∴线段与所在直线所夹锐角的度数为． 【分析】（1）根据正方形的性质可以间接证明，再运用全等三角形的性质即可求解； （2）延长和，并交于点，与交于点，根据菱形的性质可以间接证明，再运用全等三角形的性质可以推出，，最后根据三角形内角和的定义即可求解． 【变式17-3】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）根据题意，完成以下各题 (1)如图，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，得到了 ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图的划斜线部分，得到了______ ． (2)如图，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．请猜想与的大小关系，求的度数； (3)如图，在和中，，，，，连接，．则与的数量关系为______，直线与直线的夹角为______； (4)如图，和是等腰直角三角形，， ，连接，，是线段的中点，连接若，请你直接写出的长． 【答案】(1)，； (2) (3)；直线与直线的夹角为 (4)2 【分析】（1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． （4）延长到使，连接，证明得，得，进一步证明，再证明即可得出结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）解：延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； （4）解：延长到使，连接． ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴17类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第25章 一元二次方程~第28章 旋转） 【新教材人教版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 1 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 2 【题型3 二次函数系数结论辨析】 2 【题型4 二次函数中参数范围求解】 4 【题型5 反比例与几何图形综合计算】 4 【题型6 反比例函数k几何意义综合】 5 【题型7 旋转规律探究】 7 【题型8 旋转几何线段最值问题】 8 【解答压轴】 9 【题型9 一元二次方程实际应用题】 9 【题型10 一元二次方程与几何图形综合】 11 【题型11 一元二次方程中的新定义问题】 12 【题型12 二次函数线段与面积最值】 13 【题型13 二次函数特殊点存在性探究】 15 【题型14 二次函数的应用】 17 【题型15 反比例函数几何综合大题】 20 【题型16 反比例函数的应用】 22 【题型17 旋转手拉手模型综合探究】 25 【选填压轴】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【变式1-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知实数满足，则的值是___________． 【题型2 一元二次方程中的含参问题】 【例2】（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 【变式2-1】（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 【变式2-3】（25-26九年级下·山东·自主招生）关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【题型3 二次函数系数结论辨析】 【例3】（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【变式3-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于正半轴，其中：下列四个结论：①；②；③、为抛物线上两点，若满足时，则；④若时，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是________（填写序号）． 【题型4 二次函数中参数范围求解】 【例4】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）对于任意实数a，抛物线与x轴至少有一个公共点，则b的取值的范围是______． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图像经过两点．若该二次函数的最大值为，当时，，则的取值的范围为___________． 【题型5 反比例与几何图形综合计算】 【例5】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若．有以下结论：①；②当点的横坐标为3时，四边形是正方形；③当点的纵坐标为9时，点的横坐标为，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式5-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数的图象上，轴，轴，将四边形的面积分成的两部分，则的面积为________，k的值为_______． 【变式5-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，在平面直角坐标系内存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是________． 【题型6 反比例函数k几何意义综合】 【例6】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【变式6-1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级下·河南新乡·期末）如图，已知是反比例函数图象上的一点，在轴上，在轴上，交轴于轴，若，则__________． 【变式6-3】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【题型7 旋转规律探究】 【例7】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式7-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型8 旋转几何线段最值问题】 【例8】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在菱形中，，，对角线，相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连结，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式8-1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，D是上一个动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值是________． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏·寒假作业）如图，在x轴上有，两点，点C为y轴右侧一动点，且．将线段绕点B顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 __ ． 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接、，直线交于点．则的最大值为(    ) A． B．5 C． D． 【解答压轴】 【题型9 一元二次方程实际应用题】 【例9】（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【变式9-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式9-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【变式9-3】（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【题型10 一元二次方程与几何图形综合】 【例10】（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【变式10-1】（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在矩形中，cm，cm．点从点出发，沿边以的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以的速度向点运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在某一时刻，使得是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当为何值时，？ 【变式10-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【变式10-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【题型11 一元二次方程中的新定义问题】 【例11】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． (1)点，，中，不是“完美点”的是________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，求出的值． 【变式11-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【变式11-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【变式11-3】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 【题型12 二次函数线段与面积最值】 【例12】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）过点，，与轴交于点，作直线．点是线段中点，过点的直线且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线下方抛物线上有一点，连接、，与交于点，连接，将线段沿轴平移，在平移过程中记为．当最大时，求周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点，点在延长线上，横坐标为，点是新抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【变式12-1】（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 【变式12-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【题型13 二次函数特殊点存在性探究】 【例13】（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-1】（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式13-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型14 二次函数的应用】 【例14】（26-27九年级·全国·暑假作业）综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 【变式14-1】（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 问题情境： 某批发市场销售甲、乙两种水果．根据市场调研，甲种水果的销售利润（单位：万元）与销售量x（单位：t）满足一次函数关系，乙种水果的销售利润（单位：万元）与销售量x（单位：t）满足二次函数关系． 通过实践得到以下数据： 销售量x/t 1 2 3 甲种水果的销售利润/万元 0.3 0.6 0.9 乙种水果的销售利润/万元 1.4 2.6 3.6 建立模型： (1)分别求，与x的函数关系式． 问题解决： (2)市场计划在某周内销售甲、乙两种水果共．设乙种水果的销售量为，两种水果的销售利润之和为万元．（两种水果均有销售） ①求关于m的函数关系式，并直接写出m的取值范围； ②当m为何值时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)在（2）的条件下，实际销售过程中要求总利润为6万元，且甲种水果的销售量大于乙种水果的销售量，请直接写出此时乙种水果的销售量． 【变式14-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【变式14-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【题型15 反比例函数几何综合大题】 【例15】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A在x轴上，点B在y轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点D． (1)求反比例函数的关系式； (2)求将正方形沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在反比例函数的图象上； (3)若点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在这样的直线，则求出线段的长；若不存在这样的直线，请说明理由． 【变式15-1】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【变式15-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【题型16 反比例函数的应用】 【例16】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础． 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡． 材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题： (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，． ①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________； ②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克． (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克， ①请求出关于的函数表达式； ②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克． (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）． 【变式16-1】（2025·浙江金华·模拟预测）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【变式16-2】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【变式16-3】（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【题型17 旋转手拉手模型综合探究】 【例17】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．    (1)如图1，可得___________；若，则___________． (2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示） (3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明． 【变式17-1】（26-27八年级上·浙江金华·开学考试）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 【变式17-2】（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 (1)如图，在正方形和正方形中，连接，．请判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接，．请判断与的数量关系及线段与所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【变式17-3】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）根据题意，完成以下各题 (1)如图，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，得到了 ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图的划斜线部分，得到了______ ． (2)如图，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．请猜想与的大小关系，求的度数； (3)如图，在和中，，，，，连接，．则与的数量关系为______，直线与直线的夹角为______； (4)如图，和是等腰直角三角形，， ，连接，，是线段的中点，连接若，请你直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $