第05讲 第二章 概率 复习讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第05讲 概率 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1.学习各种事件的概念，并能判断每一个事件各种结果的可能性； 2.学习用表格法或者树状图法列出事件所有可能的方法，并进一步利用概率公式计算概率； 3.体会频率和概率之间的关系，用频率估计概率并解决问题。 ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 事件的可能性 考点卡片 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件； 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件 必然事件和不可能事件统称确定性事件. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做不确定事件或随机事件； 典例分析 1. 下列事件中，是随机事件的是（     ） A．明天下雨 B．15个人中至少有两个人出生在同月 C．三角形内角和为180° D．太阳从西方升起 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A．一名射击运动员射击一次，中靶 B．彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票必有15张中奖 C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数 D．一个三角形，其任意两边之和大于第三边 3. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（    ） A．确定事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 4. 一个不透明的盒子中装有3个黑球，5个白球，2个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列说法正确的是（　　） A．摸出黑色球的可能性最大 B．摸出白色球的可能性最大 C．摸出红色球的可能性最大 D．摸出黑色、白色、红色球的可能性一样大 5. 已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 6. 有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 7. 下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； (3)掷一次骰子，向上一面的点数是； (4)过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； (5)太阳从西边落下． 考点二 用树状图或表格求概率 考点卡片 1.概率：事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示，事件A发生的概率记为， 。 当A是必然事件时， 2.概率公式：如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n）,那么事件A发生的概率为 3.当事件可能出现的结果较多时，为了方便和直观，常常用树状图或表格列出所有可能的结果，找出事件A可能发生的所有的结果，再利用概率公式求概率． 例题说明： 连续掷两枚质地均匀的硬币，估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件发生的概率。分别用树状图和表格列出所有可能的结果： 由此共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，其中 “两枚正面朝上”的结果有1种，所以概率是； “两枚反面朝上”的结果有1种，所以概率是； “一枚正面朝上、一枚反面朝上”的结果有2种，所以概率是. 典例分析 8. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 9. 不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（   ） A． B． C． D．1 10. 三张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等腰三角形、直角梯形．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是轴对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 11. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 12. 一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　） A． B． C． D． 13. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（    ） A． B． C． D． 14. 如图所示，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（   ） A． B． C． D． 15. 如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 16. 盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是________． 17. 一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 18. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 19. 如图，一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成10个扇形，分别标有数字，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜． (1)上述游戏规则公平吗？请你说说理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据． 20. 琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果． (1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______； (2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率． 21. 如图，有四张大小、形状、质地完全相同的卡片A，B，C，D，其正面分别画有等边三角形、圆、矩形、菱形．将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取一张卡片，取出的卡片正面所画的图形是轴对称图形是 事件；（填“不可能”“随机”或“必然”） (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，求取出的两张卡片正面所画的图形都是中心对称图形的概率． 考点三 用频率估计概率 考点卡片 频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 频率与概率的区别与联系： 事件的频率与概率都是度量事件发生的可能性大小的特征数． 频率是一个实验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值，因此只能近似的反应事件出现的可能性大小．概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，只能取唯一的值，所以它能精确的反应事件发生的可能性大小． 典例分析 22. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 23. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 _______．①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 … 频率 … 24. 在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在左右，则a的值约为_____． 25. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为______． 26. 对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数 10 50 100 150 200 命中次数 4 25 65 90 120 命中率 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？ (3)估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分． 27. 某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 28. 某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据： 抽奖总次数次 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299 中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30 (1)填空：_________，________． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1） 29. 经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 30. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 31. 某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 2. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（    ） A． B． C． D． 3. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（    ） A． B． C． D． 4. 某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（    ） A． B． C． D． 5. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　） A． B． C． D．1 6. “铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（    ） A． B． C． D． 7. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（    ） A． B． C． D． 8. 我们把十位上数字比百位和个位上数字都大的三位数称为“”型数，如586，352等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为（　　） A． B． C． D． 9. 如图，一个可以自由转动的转盘等分为4个扇形．转动两次，转盘停止时指针均指向区域的概率是（   ）． A． B． C． D． 10. 从甲地到乙地有三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时的频数 公交车用时 线路 合计 45 265 167 23 500 59 151 166 124 500 50 50 122 278 500 早高峰期间，乘坐哪条线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大（    ） A．线路 B．线路 C．线路 D．不能确定 11. 有一个正五边形（如图所示的正五边形）的小花园，每个顶点处各有一个花坛，已知花坛中已经种植了凌霄，花坛中已经种植了三角梅，在剩余三个花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花坛中只能种植一种花卉），则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 12. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有________棵树木可以成活． 13. 一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有_______个红色小球． 14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是__________． 15. 造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是________     16. 从三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为______． 17. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，分为红、蓝、绿、黄四种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．自由转动转盘两次，两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的概率是_________． 18. 小云和小南两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了四个小球，分别标有数字，2，，4，这些小球除数字外其余都相同，搅匀后，小云从中任意摸出一个小球，记录小球上的数字后放回、搅匀，小南再从中任意摸出一个小球，记录数字． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果； (2)若摸出的两个小球上的数字之和是正数小云获胜；否则，小南获胜，请你说明谁获胜的概率大？ 19. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 20. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ； (2)求任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，求出要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 21. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 22. 一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表 摸球次数 白球频率 (1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于　　　（精确到）左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是　　　． (2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列表法或树状图求摸到个蓝球、个白球的概率． 23. 端午节期间，小峰一家人准备选取苏州拙政园（记为）、狮子林（记为）、寒山寺（记为）、西园寺（记为）中的部分景点去游玩． (1)若选取一个景点，则选中拙政园的概率是__________； (2)若选取两个景点，求恰好选中拙政园、狮子林的概率． 24. 三张卡片正面分别写有，除正面的数字不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，取出的卡片上的数字为负数的概率是______； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，利用画树状图或列表的方法求两次取出的卡片上的数字之积为正数的概率． 25. 如图，在甲、乙两个不透明的口袋内，分别有大小、材质完全相同的若干个小球，其中甲袋内的小球上分别标有数字，，4，6乙袋内的小球上分别标有数字，，6．把小华从甲袋内任意摸出的一个小球上的数字记作，把小强从乙袋内任意摸出的一个小球上的数字记作．若，都是方程的解，则小华获胜；若，都不是方程的解，则小强获胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求小华获胜的概率； (2)这个游戏对小华和小强公平吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 第05讲概率 模块 课程目标 ☆课程目标☆ 1,学习各种事件的概念，并能判断每一个事件各种结果的可能性； 2.学习用表格法或者树状图法列出事件所有可能的方法，并进一步利用概率公式计算概率； 3.体会频率和概率之间的关系，用频率估计概率并解决问题。 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件 考点一事件的可能性 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 内容 概率的概念和计算公式 考点二用树状图或表格求概率 表格法和树状图法 航 频率是一个实验值，概率是一个理论值 考点三用频率估计概率 实验次数无限增大时，频率逐步稳定于概率 模块三 考点剖析 ☆考，点剖析☆ 考点一事件的可能性 考点卡片 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件； 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件 必然事件和不可能事件统称确定性事件， 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做不确定事件或随机事件； 典例分析 1.下列事件中，是随机事件的是() A.明天下雨 B.15个人中至少有两个人出生在同月 C.三角形内角和为180 D.太阳从西方升起 【答案】A 【详解】解：A、明天下雨，是随机事件，故A符合题意； B、15个人中至少有两个人出生在同月，是必然事件，故B不符合题意； C、一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故C不符合题意； D、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，故D不符合题意； 故选：A. 6 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 2.下列事件为必然事件的是（) A.一名射击运动员射击一次，中靶 B.彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票必有15张中奖 C.掷一枚质地均匀的骰子，掷出的，点数是质数 D.一个三角形，其任意两边之和大于第三边 【答案】D 【详解】解：A、一名射击运动员射击一次，中靶，是随机事件，故A不符合题意； B、彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票不一定有15张中奖，故B不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数，是随机事件，故C不符合题意： D、一个三角形，其任意两边之和大于第三边，是必然事件，故D符合题意： 故选：D 3.事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是() A.确定事件B.随机事件 C.必然事件 D.不可能事件 【答案】B 【详解】：任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上是随机事件， 故选：B 4.一个不透明的盒子中装有3个黑球，5个白球，2个红球，它们除颜色外都相同.若从中任意摸出一个球， 则下列说法正确的是（) A.摸出黑色球的可能性最大 B.摸出白色球的可能性最大 C.摸出红色球的可能性最大 D.摸出黑色、白色、红色球的可能性一样大 【答案】B 【详解】盒中共有黑球3个、白球5个、红球2个，总数为3+5+2=10个 “摸到黑球的可能性为品，摸到白球的可能性品=克摸到红球的可能性品=青 >品>小摸出白色球的可能性最大 故选B. 5.已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个.若从中任意摸一个球，要使摸到 的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少()个， A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【详解】解：要使摸到的黄球的可能性大，一黄球的数量要多于白球的数量， 袋子里白球和黄球共10个，∴袋子里至少装6个黄球； 故选B. 6.有5张数字卡片（如下图)，倒扣着混放在一起，每次反过来1张，记下数字后再放回去和其他卡片混合. 回☒⑤☑⑨ (1)每次翻开的数字有种可能 (2)如果翻开的数字大于5，翻开的卡片有 种可能，可能是一 （3)翻开的数字卡片大于5和小于5的可能性 【答案】527或9相等 【详解】解：(1)每次翻开的数字有5种可能； (2)如果翻开的数字大于5，翻开的卡片有2种可能，可能是7或9： (3)翻开的数字卡片大于5和小于5的可能性相等； 故答案为：5,2,7或9，相等. 7.下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)在一个标准大气压下，通常水加热到100℃时沸腾： (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； (3)掷一次骰子，向上一面的点数是5； 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 (4)过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； (⑤)太阳从西边落下. 【答案】(1)必然事件；(2)随机事件；(3)随机事件；(4)不可能事件；（⑤）必然事件 【详解】(1)解：“在一个标准大气压下，通常水加热到100℃时沸腾”是必然事件； (2)解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件； (3)解：“掷一次骰子，向上一面的点数是5”是随机事件； (4)解：在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， “.“过直线外一，点，作出两条不同的直线与这条直线平行”是不可能事件； (5)解：“太阳从西边落下”是必然事件. 考点二用树状图或表格求概率 考点卡片 1概率：事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示，事件A发生的概率记为P(A), 0≤P(A)≤1。 当A是必然事件时，P(A)=1;当A是不可能事件时，P（A)=0. 2概率公式：如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n,事件A包含其中的结果数 为m(m≤n),那么事件A发生的概率为 P(A)= 3.当事件可能出现的结果较多时，为了方便和直观，常常用树状图或表格列出所有可能的结果，找出事件A 可能发生的所有的结果，再利用概率公式求概率 例题说明： 连续掷两枚质地均匀的硬币，估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事 件发生的概率。分别用树状图和表格列出所有可能的结果： 第一枚硬币 第二枚硬币 所有可能出现的结果 正 (正，正) 第二枚硬币 (正，反) 第一枚硬币 开始 正 反 (反，正) 正 (正，正) (正，反) 反 (反，正) (反，反) (反，反) 由此共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，其中 “两枚正面朝上”的结果有1种，所以概率是导 “两枚反面朝上”的结果有1种，所以概率是子 “一枚正面朝上、一枚反面朝上”的结果有2种，所以概率是导= 典例分析 8.9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数.现将卡片背面朝上，从中任意抽出 张，正面的数是奇数的概率为（) A B.月 C.5 D. 【答案】D 【详解】从9张卡片中任意抽出一张，正面的数有1~9共9种可能 其中为奇数的情况有1、3、5、7、9共5种，所以正面的数是奇数的概率P=司 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 故选：D 9.不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，恰好是 红球的概率为（) A B.月 c. D.1 【答案】A 【详解】解：袋子中共有3个小球，其中红球有1个，摸出一个球是红球的概率是号 故选：A 10.三张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等腰三角形、直角梯形.在看不见图形的条件下任 意摸出1张，这张卡片上的图形是轴对称图形的概率是() A君 B司 C.1 D. 【答案】D 【详解】解：线段、等腰三角形是轴对称图形，共2个，在看不见图形的条件下任意摸出1张， 这张卡片上的图形是轴对称国形的概率是号 故选：D 11.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从中随机摸出一个小球，记下颜色 后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为() B. C.7 D. 【答案】C 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，∴两次摸出的都是红球的概率为号=是 故选：C 12.一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同.晓君同学从袋中任意摸出1个 球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球.两人都摸到红球的概率是(） A.0 1 B. 2 25 c. D.后 【答案】A 【详解】解：根据题意画树状图如下： 开始 晓君 晓静红黄黄黄红黄黄黄红红黄黄红红黄黄红红黄黄 由树状图知，共有20种等可能的情况数，其中两人都摸到红球的有2种，则两人都摸到红球的概率是忌=马 20=10 故选：A 13.现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d,t,I的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a,e, 的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同)，若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一 张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是() A. B C. D. 【答案】A 【详解】解：将所有结果列表格如下： 70 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 声母 韵母 d da de di t ta te ti la le i 所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率为号 故选：A 14.如图所示，随机闭合开关K1,K2,K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为() A. 6 B.月 C. D. 【答案】C 【详解】解：画树状图，如图所示： 开始 K K3 K2 K3 KI K3 KI K2 一共有6种等可能的情况，其中能让两盏灯泡同时发光的情况有2种， 则P(能让两盏灯泡L1,L2同时发光)= 故选：C 15.如图，连接正六边形ABCDEF的对角线BE,CE,交对角线AD于点M,N.一只蚂蚁在正六边形内随机 爬行，则它停留在阴影部分的概率是() F A月 C. D品 【答案】D 【详解】解：作如图所示连接， F B 设△NDE的面积为a,则正六边形ABCDEF的面积为12a,阴影的面积为7a, 那么，一只妈蚁在正六边形内随机爬行，则它停智在阴影部分的概率是品=品 7 故选：D 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 16.盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2,3,4,5，从中随机抽出1张后 不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是 【答案】 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 开始 第一次 4 个 第二次345245 235234 所有可能出现的结果567578679789 由树状图得：共有12种等可能结果，两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种， 两次物到卡片上的数字之和为偶数的概率为音= 故答案为：青 17.一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是」 (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方 法，求2次都摸到白球的概率 【答案】(1)22)2 716 【详解】(1)解：由题意，共有1+3=4个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中 摸到红球的情况只有1种 “摸到红球的概率是子； (2)根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B,C,D表示，画出如下的树状图： 开始 第一次摸球 D 第二次摸球ABCD AB C D AB C D AB C D 由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， 所以2次都摸到白球的概率为 16 18.某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技” (分别记作A,B,C,D,E)共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同 的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同. (门)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为」 (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀 后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随 机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率。 【答案】0片，2月 【详解】(1)解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， 将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 故答案为： (2)解：依题意，画树状图如下所示： 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 开始 B D 代 ABCDE ABCDE ABCDEABCDE ABCDE ∴.一共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有20种， 这两个小组研究方向不同的概率=碧=专 19.如图，一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成10个扇形，分别标有数字1~10，指针的位置固定，转 动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指 向右边的扇形，小明和小杰用这个转盘进行猜数游戏，游戏规则为：如果指针所指的数字大于6，那 么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获胜 ()上述游戏规则公平吗？请你说说理由： (2)为了能使游戏更为公平，请你设计一种对小明、小杰都公平的游戏规则，并说说你的设计依据. 【答案】(1)上述游戏规则不公平，理由见解析；(2)见解析 【详解】(1)解：上述游戏规则不公平，理由如下： 因为转盘被等分成10个扇形，其中指针所指的数字大于6有4种可能，指针所指的数字小于6有5种可能 所以，P(小明获胜)=品=系P(小杰获胜)=品=克国为号+行所以上述游戏规则不公平； (2)解：规则：如果指针所指的数字不小于6，那么小明获胜，如果指针所指的数字小于6，那么小杰获 胜.（答案不唯一） 依据：转盘被等分成10个扇形，其中指针所指的数字不小于6有5种可能，指针所指的数字小于6有5种 可能， 所以，P(小明获胜)=品=克P(小杰获胜)三品=克因为克所以上迷游戏规则公平 20.琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和 好朋友分享糖果。 (1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是 (2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率， 【答案】片：2呢 【详解】(1)P4奶味=1÷4=京故答案为： (2)用Q,、Q,表示巧克力味的，N表示牛奶味的，S表示水果味的，列表如下： 糖果味道 Q Q N Q Qq, QN QS Q QQ QN QS W NQ, NQ NS s SQ, SQ, SN 共2种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒都是巧克力味的概率为： P两金巧克力*=品=君 73 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 21.如图，有四张大小、形状、质地完全相同的卡片A,B,C,D,其正面分别画有等边三角形、圆、矩形、 菱形.将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀. (门)从盒子中抽取一张卡片，取出的卡片正面所画的图形是轴对称图形是 事件；（填“不可能”“随机” 或“必然”) (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，求取出的两张卡片正面所画的图形都是中心对称图形的概率。 A B 【答案】(1)必然；(2明 【详解】(1)解：根据题意可得A,B,C,D这四张卡片上的图形均为轴对称图形， “从盒子中抽取一张卡片，取出的卡片正面所画的图形是轴对称图形是必然事件， 故答案为：必然 (2)解：根据题意可得A,B,C,D这四张卡片上的图形B,C,D为中心对称图形， 画树状图为： 开始 B B C D A C D A B D 共有12种等可能的结果数，取出的两张卡片图形都是中心对称图形的结果为6种，分别为B,C;B,D: C,B;C,D;D,B;D,C; “取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是：台-号 考点三用频率估计概率 考点卡片 频率估计概率 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此可以通过 大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 频率与概率的区别与联系： 事件的频率与概率都是度量事件发生的可能性大小的特征数. 频率是一个实验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值，因此只能近似的反应事件出现的 可能性大小.概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，只能取唯一的值，所以它能精确的反应事件发 生的可能性大小 典例分析 22.如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少 她采取了以下的办法：用一个长为5，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随 地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入 试验结果)，她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 的面积大约为（ 小球落在不规则图案内的频率 ◆频率 0.35 0.3 0.25 050100150200250300350次数 图1 图2 A.2m2 B.5m2 c.6m2 D.7m2 【答案】C 【详解】根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.3，长方形的面积为5×4=20m2, 设不规则图案的面积为xm2, 则易=03， 解得：x=6, “不规则图案的面积大约为6m2 故选：C 23.某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表 格数据的试验可能是· ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子， 掷得朝上的，点数是3的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉 大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃. 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 【答案】②③/③② 【详解】解：根据图中信息得出，实验结果在附近波动0333，利用频率估计概率得到实验的概率为0.333， ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意： ②掷一枚质地均匀的般子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为后=号符合题意： ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为行特合题意； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为号=不符合题 52 意. ∴.符合表格数据的试验可能是②③ 故答案为：②③. 24.在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球 。个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值约为 【答案】8 【详解】解：由题意可得： 5+7+a×100%=25% 解得，a=8, 经检验：α=8是原方程的解，且符合题意， 则a的值约为8. 故答案为8. 25.二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动.如图，在边长为2cm的正 方形区域内利用计算机软件进行随机掷，点模拟实验.经过大量重复实验，发现，点落在黑色部分的频率 稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为cm2 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 ▣▣ 【答案】2.8 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为2×2×0.7=2.8(Cm), 故答案为：2.8. 26.对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数n 10 50 100 150 200 命中次数m 65 0 120 命中率 0.4 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (②)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？ (3)估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分. 【答案】(1)0.5；0.65；0.6；0.6；(2)0.6；(3)54分 【详解】(1)解：投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率分别为： 需=05：%=0.65；0=06：器=06： (2)解：由表格数据知，当投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在0.6附近，所以估计这个运动员3分球投 篮0.6. (3)解：由(2)的结论可知这个运动员投篮30次，命中的次数约为30×0.6=18（次），约能得到18×3=54 (分 2?.某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示 根据试验结果回答下列问题， (1)估计这种玉米种子发芽的概率是」 一（精确到0.1 (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为90%，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少 棵玉米秧苗？ 个发芽频率 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 试验粒数 1002003004005006007008009001000 【答案】(1)0.9：(2)8100棵 【详解】(1)解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为09附近，故估计这 种玉米种子发芽的概率是0.9： (2)解：由题意得：10000×0.9×90%=8100（棵）， ∴.种10000粒该种玉米种子大约可得到8100棵玉米秧苗。 28.某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地 均匀)，下表是活动进行中的一组数据： 6 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 抽奖总次数n/次 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m/次 33 48 Q 240 299 中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30 b (1)填空：a= b= (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率.（精确到01) 【答案】(1)63；0.299 (2)估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是0.3 【详解】(1)解：a=200×0.315=63, b=0=029: (2)解：根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是0.30. 29.经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.交管部门在汽车行驶高峰时 段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为行，向左转和直行的频率均为 (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓 解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整. 【答案】(1)汽车在此左转、右转、直行的车辆各是300辆、400辆、300辆 (2)左转、右转、直行的绿灯亮的时间为27秒，36秒，27秒 【详解】(1)解：汽车在此左转的车辆数为：1000×品=300（辆， 汽车在此右转的车辆数为：1000×2=400（辆）， 汽车在此直行的车辆教为：1000×。=30（辆） 答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是300辆、400辆、300辆. (2)根据频率估计概率的知识，得 :汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒， ∴可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮的时间为30×3×品=27秒， 右转绿灯亮的时间为30×3×三=36（秒）， 直行绿灯亮的时间为30×3×寻=27（秒）， 30.在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖 做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过 大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于025， (1)请估计摸到白球的概率将会接近」 ； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)0.25；(215个；(3)15个 【详解】(1)：大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于0.25， ∴摸到白球的概率接近0.25； 故答案为：0.25； (2)60×0.25=15(个)， 答：盒子里白球有15个； (3)设需要往盒子里再放入x个白球； 极据题客得：- 解得：x=15, 经检验得：x=15为所列方程的解，且符合题意， 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 .x=15, 答：需要往盒子里再放入15个白球 31.某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘.顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次.转 盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券.下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券” 区域的次数m 19 39 55 81 6 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为四 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 减免80券 减免20券 减免60券 减免40券 请根据表格完成以下问题： (1)a= (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计 b的值是（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是 【答案】(1)0.38；(2)195；(3)频率的变化稳定在0.40附近；(4)0.40 【详解1(1)解：a=品=0.38： (2)解：500×0.39=195； (3)解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在0.40附近； (4)解：估计落在“减免20元券”区域的概率是0.40 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性() A.正面朝上的可能性大 B.反面朝上的可能性大 C.相等 D.无法确定 【答案】C 【详解】抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C 2.为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项 目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个.则他们恰好抽到同一个阅 读项目的概率是() A.16 1 C. D. 【答案】D 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为A、B、C、D, 画树状图如下： 78 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 开始 A B C D ABCD ABCDABCD ABCD 一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能， 他们拾好抽到同一个阅读项目的概率是名=》 1 故选：D. 3.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片 如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后， 再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（() 豫剧·花木兰豫剧·七品芝麻官 豫剧·朝阳沟 A. 1 B.吉 c. D青 【答案】D 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C,画树状图如下： 开始 A 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， “两次抽取的卡片图案相同的概率为号=青 故选：D. 4.某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形.每个扇形上都标有数字， 当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上 时，重新转动转盘)的概率是() A. 3 B. 0 5 c. D. 【答案】B 【详解】解：两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘， “指针落在每个数字上的可能性是相同的 依据题意列树状图如下： 开始 转盘1 2 3 转盘234893489348934893489 结果1314181923242829333438394344484953545859 79 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 :从图中可以看出共有20种等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种， “指针都落在奇数上的概率是：0= 41 故选：B 5.如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是() S2 S A.1 C. D.1 【答案】B 【详解】解：把S、S2、S,分别记为A、B、C, 画树状图如下： 开始 B CA CA B 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即ABAC、BA、CA, ÷同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为管=号 故选：B 6.“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游 景点.若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概 率是() A.1 6 B.1 C. D 【答案】D 【详解】解：设铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个景点分别用A、 B、C、D表示，列表如下： A B D A (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“铁人王进喜纪念馆”的结果数有6种， “这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为品=》 故选：D. 80 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 7.某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异.若从以上四名同学中 随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是() A. B青 C. 【答案】A 【详解】解：列表如下， 女1 女2 女3 男 女1 女1，女2 女1，女3 女1，男 女2 女2，女1 女2，女3 女2，男 女3 女3，女1 女3，女2 女3，男 男 男，女1 男，女2 男，女3 共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种， “刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是品= 故选：A. 8.我们把十位上数字比百位和个位上数字都大的三位数称为“A”型数，如586,352等.那么从2,3,4 这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为() A. 9 B. 6 c. D. 【答案】C 【详解】解：2,3,4这三个数可以组成的三位数有234、243、324、342、423、432，共6个，其中是“A" 型数的有243,342，共2个， 从2,3,4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“A”型数的概率为经=了 故选：C 9.如图，一个可以自由转动的转盘等分为4个扇形.转动两次，转盘停止时指针均指向区域A的概率是()， A. c.品 D, 【答案】C 【详解】解：将其余3个扇形即为1、2、3， 列表如下： A 1 2 3 A (A,A) (A,1) (A,2) (A,3) 1 (1,A) (1,1) (1,2) (13) 2 (2,A) (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,A) (3,1) (3,2) (3,3) 由表格可知，共有16种等可能的情况，其中转动两次，转盘停止时指针均指向区域A的情况有1种， :转动两次，转盘停止时指针均指向区城A的概率是。， 故选：C 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 10.从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的 用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分 钟)的数据，统计如下： 公交车用时的频数 公交车用时 30≤t≤35 35≤t≤40 40≤t≤45 45≤t≤50 合计 线路 A 45 265 167 23 500 B 59 151 166 124 500 C 50 50 122 278 500 早高峰期间，乘坐哪条线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大( A.线路A B.线路B C.线路C D.不能确定 【答案】A 【详解】解：由表格得，样本容量相同， .23<124<278, ∴A线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大， 故选：A. 11,有一个正五边形（如图所示的正五边形ABCDE)的小花园，每个顶点处各有一个花坛，已知花坛A中已 经种植了凌霄，花坛B中已经种植了三角梅，在剩余三个花坛中随机种上凤仙花、木槿、月季（每个花 坛中只能种植一种花卉)，则凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是() A B E D A.1 B. 4 c. D.月 【答案】C 【详解】解：花坛A中已经种植了凌霄，花坛B中已经种植了三角梅， “C、D、E种植凤仙花、木槿、月季的可能结果为 ①凤仙花、木槿、月季； ②凤仙花、月季、木槿； ③月季、凤仙花、木槿； ④月季、木槿、凤仙花； ⑤凤仙花、月季、木槿； ⑥凤仙花、木槿、月季； ∴一共有6种等可能结果，凤仙花与木槿两种花卉相邻的结果有4种， ∴凤仙花与木槿两种花卉相邻的概率是生=召， 6=3 故选：C 12.在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽.下表 记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 g 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有 棵树木可以成活」 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】198000 【详解】解：根播抽样的意义可得幼树成活的概率为：（侣+品+ 910 9008 900051 +100000/ ÷4≈0.9， 220000×0.9=198000 故答案为：198000 13.一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个蓝色小球和若千个红色小球.小明通过多次摸取小球的试 验发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.5左右，则盒子中约有 个红色小球 【答案】20 【详解】解：摸取到红色小球的频率稳定在0.5左右， ∴.摸取到红色小球的概率为0.5， 设盒子里有x个红色小球， 由题意，得：x=0.5(x+20), 解得：x=20, 故盒子中约有20个红色小球， 故答案为：20. 14.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有A,B两个格点，在网格的其他格点上任取一点C,恰能使 △ABC为等腰直角三角形的概率是 【答案】 【详解】解：根据题意，一共有7种等可能性，其中能使△ABC为等腰直角三角形的有4种，如图所示： 故使△ABC为等腰直角三角形的概率是号 故答案为： 15.造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明.如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片， 四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两 张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是 造纸术 指南针 火药 印刷术 【答案1片 【详解】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、BC、D表示， 根据题意画图如下： 开始 83 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是“指南针”和“印刷术”的有2种， 则热到的两张卡片拾好是“指南针布“印刷术°的概率是号=言 故答案为： 16.从3,4,5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为 【答案】 【详解】解：画树状图如下： 开始 和7 8 7 由树状图可知，共有6种等结果，其中选出的两个数字之和是偶数的结果有2种， “选出的两个数字之和是偶数的概率为后= 故答案为：司 17.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，分为红、蓝、绿、黄四种颜色，指针 的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置.自由转动转盘两次， 两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）的概率是 黄 红 蓝 蓝 绿 红 【答案】 【详解】解：如图，所有可能性如下： 红1 蓝1 红2 绿 蓝2 黄 红1 红1，红1 蓝1，红1 红2，红1 绿，红1 蓝2，红1 黄，红1 蓝1 红1，蓝1 蓝1，蓝1 红2，蓝1 绿，蓝1 蓝2，蓝1 黄，蓝1 红2 红1，红2 蓝1，红2 红2，红2 绿，红2 蓝2，红2 黄，红2 绿 红1，绿 蓝1，绿 红2，绿 绿，绿 蓝2，绿 黄，绿 蓝2 红1，蓝2 蓝1，蓝2 红2，蓝2 绿，蓝2 蓝2，蓝2 黄，蓝2 黄 红1，黄 蓝1，黄 红2，黄 绿，黄 蓝2，黄 黄，黄 ∴共有36种情况，其中两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、蓝可配成紫色）有 8种， “两次停止后指针（不指向交线）指向的颜色可以配成紫色（红、盖可配成紫色）的概率是品=号 故答案为：号 18.小云和小南两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了四个小球，分别标有数字-1,2，-3,4，这 些小球除数字外其余都相同，搅匀后，小云从中任意摸出一个小球，记录小球上的数字后放回、搅匀， 小南再从中任意摸出一个小球，记录数字 (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果； (2)若摸出的两个小球上的数字之和是正数小云获胜；否则，小南获胜，请你说明谁获胜的概率大？ 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】(1)16种结果见解析 (②)小云获胜的概率大 【详解】(1)解：根据题题意，列表如下， 小云 -1 2 -3 小南 -1 (-1,-1) (2,-1) (-3,-1) (4,-1) 2 (-1,2) (2,2) (-3,2) (4,2) -3 (-1-3) (2,-3) (-3,-3) (4,-3) (-1,4) (2,4) (-3,4) (4,4) 由上表可知，共有16种等可能出现的情况； (2)由(1)中列表可知两个小球上的数字之和为正数的情况有10种，两个小球上的数字之和为负数的情 况有6种， 小云获雕的艇率为碧=号小南获胜的概率为品= 3 16 > .小云获胜的概率大 19.在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球 试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的 一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率严 0.65 0.59 0.63 0.62 a 0.6013 (1)表中a= (2)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 (精确到0.1： (3)估计袋子中有白球个； (④)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为2，则可在袋子中增加 相同的白球个 【答案】(1)0.6025；(2)0.6；(3)20；(4)10 【详解】(1)解：a=只= =0.6025, 故答案为：0.6025. (2)当n很大时，观察摸到黑球的频率m,其数值将会接近0.6， 故答案为：0.6 (3)摸到黑球的频率m约为0.6， 故摸到白球的频率约为(1-0.6). 则估计袋子中有白球50×(1-0.6)=20（个）， 故答案为：20. (4)当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：30-20=10（个）， 此时黑白球均为30个，摸到黑白球的可能性大小均为 故答案为：10. 85 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 20.工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 n的值为 (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率. (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工 被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475,0.95；(2)任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05 (3)估计要在他奖金中扣除42元材料损失费 【详解1(1)解：m=500×095=475,n==095: (2)解：抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， 估计该产品合格的概率为0.95， .∴.估计该产品不合格的概率为1-0.95=0.05 (3)解：2×420×(1-0.95)=42（元）， 即估计要在他奖金中扣除42元材料损失费. 21.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒兵球共40个，某数学兴趣小组做摸球 试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行 中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒兵球的次数m 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率” 0.69 0.68 0.715 0.706 0.70 b (1)①上表中的a= ,b= ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是 ;（精确到0.1) (2)试估计盒子中黄色乒兵球的个数， 【答案】(1)①0.71,0.701；②0.7；(2)盒子中黄色乒兵球的个数大约是28个 【详解1(1)解：①由题意得a=器=0,71b==0701, 故答案为：0.71,0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在07附近， 当n很大时，摸到黄色乒兵球的概率约是0.7， 故答案为：07； (2)解：由(1)可知，摸到黄色乒乓球的概率约是07， ∴盒子中黄色乒兵球的个数=40×0.7=28（个） 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个 22.一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其他都相同.李明将球搅匀后从箱 子中随机摸出1个球，记下颜色后， 再将它放回，不断重复实验. 多次实验结果如表 摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500 白球频率 0.702 0.724 0.731 0.746 0.749 0.751 0.750 (1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 (精确到0.01)左右，从箱子中摸一次估计摸 到蓝球的概率是 (2)从该箱子里随机摸出1个球，不放回，再摸出1个球.用列表法或树状图求摸到1个蓝球、1个白球率. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】(1)0.75,0.25；(2月 【详解】(1)解：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；则摸到蓝球的概率为1-0.75=0.25； 故答案为：0.75,0.25. (2)解：由(1)得摸到白球的概率率为0.75， 所以可估计口袋中白球有4×0.75=3（个），蓝球的个数有1个： 将第一个口袋中3个白球分别记为A1,A2,A3,蓝球记为B,画树状图如下： 开始 A A2 A3 B A2 A:B AA:B A A2B A A2A 共有12种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的情况有6种。 之摸到1个蓝球、1个白球的概率为品= 23.端午节期间，小峰一家人准备选取苏州拙政园（记为Z)、狮子林（记为S)、寒山寺（记为H)西园寺 (记为X)中的部分景，点去游玩. (1)若选取一个景，点，则选中拙政园的概率是」 (2)若选取两个景点，求恰好选中拙政园、狮子林的概率. 【答案】(1)22月 【详解】(1)解：由题意得，共有4种等可能的结果，选中拙政园的结果有1种， “选中拙政国的概率是寻 故答案为：清 (2)解：列表如下： Z S H X (Z,S) (Z,H) (Z,X) (S,Z) (S,H) (S,X) H (H,Z) (H,S) (H,X) X (X,Z) (X,S) (X,H) 由表格可得，共有12种等可能的结果，恰好选中拙政园、狮子林的情况有2种， 恰好选中拙政国、狮子林的概率P=品= 24.三张卡片正面分别写有-3、2、4，除正面的数字不同外，其余均相同。 ()将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，取出的卡片上的数字为负数的概率是 (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，利用画树状图或 列表的方法求两次取出的卡片上的数字之积为正数的概率. 324 【答案】(13：2明 【详解】(1)解：从3个结果中选择，其中负数的有1种结果， “取出的卡片上的数字为负数的概率是号 故答案为： (2)解：列表如下： -3 2 4 -3 (-3,-3) (-3,2) (-3,4) 2 (2,-3) (2,2) (2,4) 4 (4,-3) (4,2) (4,4) 87 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 共有9种等可能的结果，其中两次取出的卡片上的数字之积为正数的结果有5种， “两次取出的卡片上的数字之积为正数的概率为 25.如图，在甲、乙两个不透明的口袋内，分则有大小、材质完全相同的若千个小球，其中甲袋内的小球上 分别标有数字-3，-2,4,6乙袋内的小球上分别标有数字-2，-4,6.把小华从甲袋内任意摸出的 个小球上的数字记作a,把小强从乙袋内任意摸出的一个小球上的数字记作b.若a,b都是方程x2一4x一 12=0的解，则小华获胜；若a,b都不是方程x2-4x-12=0的解，则小强获胜. 甲袋 乙袋 6】 (1)请用画树状图或列表的方法，求小华获胜的概率； (2)这个游戏对小华和小强公平吗？请说明理由. 【答案】1)列表见解析，（②）这个游戏规则不公平，见解析 【详解】(1)解：列表如下 ab -3 -2 4 6 -2 (-3,-2) (-2,-2) (4,-2) (6,-2) -4 (-3,-4) (-2,-4) (4,-4) (6,-4) 6 (-3,6) (-2,6) (4,6) (6,6) 共有12种等可能的结果，其中a,b都是方程x2-4x-12=0的解，共有(-2，-2)，(6，-2)，(-2,6)，(6,6) 这4种结果， P(小华获胜)=2= 41 (2)解：a,b都不是方程x2-4x-12=0的解，共有(-3，-4)，(4，-4)这2种结果， “P(小强茂胜)=后=君 P(小华获胜)>P(小强获胜)， .这个游戏规则不公平 88