第06讲 （ 3.1 ） 圆的有关概念 复习讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第06讲 圆的有关概念 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1.学习圆的两种定义，进一步掌握弦、弧、等弧、等圆的概念和表示方法； 2.学习点和圆的三种位置关系，能根据圆的半径和点到圆心的距离判断具体的位置关系； 3.学习确定一个圆的条件以及尺规作图作三角形外接圆的步骤； ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 圆的相关概念 考点卡片 1.圆的定义 ①在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段叫做圆的半径。 ②平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形就是圆，定点就是圆心，定长就是半径。 以为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆” 2.圆的相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦，如弦AC;经过圆心的弦叫作直径,如AB。 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。以A,B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 小于半圆的弧叫做劣弧，劣弧用符号“”和弧两端的字母表示，如图中的劣弧AC记做，读作“弧AC”。大于半圆的弧叫做优弧，半圆和优弧用符号“”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图中以A、C为端点的优弧记做，读做“弧ABC”. 等圆：半圆相等的两个圆叫做等圆。 等弧：能够重合的圆弧称为相等的弧。 典例分析 1. 下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 2. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 下列图形所标记的角中是圆心角的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4. 下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 5. 已知中最长的弦为8，则的半径是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 6. 如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 7. 如图，在 中， （1）半径有：________________． （2）直径有：________________． （3）弦有：________________． （4）劣弧 对应的优弧是_______，它们刚好拼成一个完整的圆． 8. 如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 9. 如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 10. 如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点P，且，，求的度数． 11. 如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 考点二 点和圆的位置关系 考点卡片 平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内. 如下图，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外。 设的半径为，任意一点到圆心的距离为，则有： 点在圆外⟺ ； 点在圆上⟺ ； 点在圆内⟺ . 典例分析 12. 在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（　　） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法确定 13. 如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 14. 如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外 D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 15. 已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 16. 数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 17. 在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18. 如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 19. 如图，在网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中选取9个格点（格线的交点称为格点）．若以点A为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则的取值范围为（　　）    A． B． C． D． 20. 已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 21. 在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 考点三 确定圆的条件 考点卡片 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆的步骤： 步骤1：连接AB,BC 步骤2：分别作线段AB,BC的垂直平分线和,和相交于点O 步骤3：以O为圆心，以OB为半径作圆，即为所求。 典例分析 22. 的圆形镜子的碎片是（ ） A．① B．② C．③ D．均不可能 23. 平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 24. 已知是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则的面积是（    ） A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心坐标是（    ）    A． B． C． D． 26. 如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 27. 已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点______确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 28. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R． 29. 已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 30. 已知，，是的三边长，且． (1)求，，的值； (2)求外接圆的半径． 31. 如图，已知等边△ABC． （1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆； （2）若AB=，求△ABC的外接圆半径R． ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 已知的半径，，则点与的位置关系是（　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 3. 说法正确的是（   ） A．三角形的外心是三角形三条高的交点 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．一个三角形有且只有一个外接圆 D．一个圆有且只有一个内接三角形 4. 如图，是的直径，，，则（    ） A． B． C． D． 5. 如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（     ） A． B． C． D． 6. 若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 8. 如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（   ） A．都不在 B．只有 C． 只有 D． 9. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 10. 已知三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　） A． B． C． D． 11. 到定点的距离等于的点的集合是以________为圆心，________为半径的圆． 12. 已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为______． 13. 下列说法中正确的有______（填序号）． ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆； ④面积相等的两个圆是等圆． 14. 平面直角坐标系内的三个点，，，_______确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 15. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是__．= 16. 如图，在中，，，，点为的中点．现以点为圆心，为半径作圆．若与三角形的三边（包括顶点）有3个公共点，则的值为________． 17. 如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．    18. 如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 19. 某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 20. 如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 21. 已知：如图，△ABC． (1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ； (3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为，求其外接圆的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $浙教版九年级上册预习讲义（数学）》 级 第06讲圆的有关概念 模块 课程目标 ☆课程目标☆ 1学习圆的两种定义，进一步掌握弦、孤、等孤、等圆的概念和表示方法； 2学习点和圆的三种位置关系，能根据圆的半径和点到圆心的距离判断具体的位置关系； 3.学习确定一个圆的条件以及尺规作图作三角形外接圆的步骤； 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 圆的两种定义 考点一圆的相关概念 弦、弧、等圆、等弧的概念 内容 三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内 考点二点和圆的位置关系 判断位置关系的方法 航 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 考点三确定圆的条件 尺规作图作三角形的外接圆的步骤 模块三 考点剖析 ☆考点剖析☆ 考点一圆的相关概念 考点卡片 1.圆的定义 ①在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆。固定 的端点0叫做圆心，线段0P叫做圆的半径。 ②平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形就是圆，定点就是圆心，定长就是半径。 以0为圆心的圆记作“⊙口”，读作“圆0” 2圆的相关概念 弦：连接圆上任意两，点的线段叫作弦，如弦AC:经过圆心的弦叫作直径，如AB。 孤：圆上任意两，点间的部分叫作圆孤，简称孤。以A,B为端点的孤记作AB,读作“圆孤AB”或“孤AB”。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条孤，每一条孤都叫做半圆。 小于半圆的孤叫做劣孤，劣孤用符号“一”和孤两端的字母表示，如图中的劣孤AC记做AC,读作“孤 AC”。大于半圆的孤叫做优孤，半圆和优孤用符号“一”和三个字母表示（孤两端的字母和孤中间的字母）， 如图中以A、C为端点的优孤记做ABC,读做“孤ABC”, 等圆：半圆相等的两个圆叫做等圆。 等孤：能够重合的圆孤称为相等的孤。 0 89 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 典例分析 1.下列条件中，能确定一个圆的是（) A.以点0为圆心 B.以10cm长为半径 C.以点0为圆心，10cm长为半径 D.经过已知点M 【答案】C 【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆； B、只确定圆的半径，不可以确定圆； C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆； D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆； 故选：C 2.下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等孤；④长度相等的两条孤是等孤；⑤ 半圆是孤，但孤不一定是半圆.正确的说法有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】①直径是弦，正确，符合题意； ②弦不一定是直径，错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等孤，正确，符合题意； ④能够完全重合的两条弧是等孤，原命题错误，不符合题意； ⑤半圆是孤，但孤不一定是半圆，正确，符合题意； 正确的有3个， 故选：C 3.下列图形所标记的角中是圆心角的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：第1、2、4个图中所标记的角中是圆心角， 第3个图中角的顶点在圆上，不在圆心，不是圆心角， 故选C 4.下列说法正确的有（） A.经过圆心的线段是直径 B.直径是同一个圆中最长的弦 C.长度相等的两条孤是等孤 D.孤分为优孤和劣孤 【答案】B 【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意； B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的两条孤是等孤，故C不正确，不符合题意； D、孤分为优孤、劣孤和半圆，故D不正确，不符合题意； 故选：B 5.已知⊙0中最长的弦为8，则⊙0的半径是() A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】A 【详解】⊙0中最长的弦为8，∴⊙0的直径为8，故半径为4， 故选A. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 6.如图，在⊙0中，AB是直径，BC是弦，点P是劣孤BC上任意一点.若AB=4,∠B=30°，则AP的长不 可能是( A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【详解】解：AB是⊙O直径， AB是⊙O中最长的弦， AP≤AB, AB=4, ∴AP≤4， ∴只有选项D符合题意， 故选：D 7.如图，在⊙0中， B 0 （1)半径有： (2)直径有： (3)弦有： (4)劣孤BC对应的优孤是 ,它们刚好拼成一个完整的圆 【答案】 OA.OB AB AB,AC,BC BAC 【详解】解：(1)半径有0A,0B: (2)直径有AB; (3)弦有AB,AC,BC: (4)劣孤BC对应的优孤是BAC: 故答案为：OA,OB;AB;AB,AC,BC;BAC 8.如图，在⊙0中，弦有 一，直径有 劣孤有」 优孤有 B 【答案】 AB,AC AC AB,BC CAB,ACB 【详解】解：弦是连接圆上任意两点的线段，图中的弦有：AB,AC; 直径是经过圆心的弦，图中的直径有：AC; 劣孤是小于半圆的孤，“图中的劣孤有：AB,BC 优孤是大于半圆的孤，.图中的优孤有：CAB,ACB. 故答案为：①AB,AC;②AC;③AB,BC;④CAB,ACB 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 9.如图，CD是⊙0的直径，E是⊙0上一点，A为DC延长线上一点，连接AE与⊙0交于点B,且AB=OC, 若∠A=24°，则∠D0E的度数是 C 【答案】72° 【详解】解：连接OB, B D AB=OC,0B=0C,AB=0B,÷∠A0B=∠A=24°， 而∠0BE=∠A+∠A0B,·∠0BE=2∠A=48°， 0B=0E,÷∠0BE=∠E=48°，∠D0E=∠E+∠A=48°+24°=72°. 10.如图，在⊙0中，AB是直径，CD是弦，延长AB,CD相交于，点P,且AB=2DP,∠P=18°，求∠A0C 的度数. 【答案】54° 【详解】解：连接OD, C D AB =2DP,:DP=OD, ∠P=18°，÷∠D0B=∠P=18°，÷∠0DC=36°， 0D=0C,÷∠0CD=∠0DC=36°，÷∠C0D=180°-2×36°=108， ∠C0P=108°+18°=126°，÷∠A0C=180°-126°=54°. 11.如图所示，在四边形ABCD,∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四，点在同一个圆上. 【答案】证明见解析 【详解】证明：连AC,取AC的中点O,连接OB、OD, ∠B=∠D=90°， ∴OB-AC,ODAC.即OB=OA=OC=OD, 2 ∴.A、B、C、D四点在同一圆上. 92 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 考，点二点和圆的位置关系 考点卡片 平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内 如下图，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外。 设⊙O的半径为r,任意一点P到圆心的距离为OP=d,则有： 点P在圆外一d>r; 点P在圆上一d=r; 点P在圆内一d<r 典例分析 12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10,以C为圆心，BC为半径作⊙C,则，点A与⊙C的位 置关系是() A.点A在⊙C内B.点A在⊙C上 C.点A在⊙C外D.无法确定 【答案】A 【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10,·BC=VAB2-AC2=8, AC=6<BC,∴点A在⊙C内， 故选：A 13.如图，已知⊙0的半径为3，平面内有一点到圆心0的距离为4，则该点可能是() P. . 0. A.点P B.点Q C.点M D.点N 【答案】D 【详解】平面内有一点到圆心0的距离为4,4>3.该点在圆外，“，点N符合要求。 故选：D 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB边上的高，AB=4,若圆C是以，点C为圆心， 2为半径的圆，那么下列说法正确的是() A DA c A.点D在圆C上，点A,B均在圆C外B.点D在圆C内，点A,B均在圆C外 C.点A,B,D均在圆C外 D.点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】D 【详解】在Rt△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=×4=2, ·AC=VAB2-BC2=2V3 CD⊥AB,∠ACB=90°，∴.∠BCD=90°-∠B=∠A=30. ∴.BD=BC=1×2=1.÷CD=VBC2-BDz=3 圆C是以，点C为圆心，2为半径的圆， CD=V3<2,BC=2,AC=2W3>2, 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上 故选：D 15.已知⊙0的半径是方程x2-5x-24=0的根，且点A到圆心0的距离为6，则，点A在() A.⊙0上 B.⊙0内 C.⊙0外 D.无法确定 【答案】B 【详解】解：解方程x2-5x-24=0得：x1=8,x2=-3(舍去) ∴.圆O的半径是8， :点A到圆心O的距离为6,6<8，点A在圆O内 故选：B 16.数轴上有点A、点B,点A表示实数6，点B表示实数b,⊙B半径为4，若，点A在⊙B内.则实数b的取值 范围是() A.b<2 B.b>10 C.b<2或b>10D.2<b<10 【答案】D 【详解】解：⊙B半径为4.若点A在⊙B内，∴AB<4, "点A所表示的实数为6，..2<b<10 故选：D. 17.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,D为AB的中点.以A为圆心，r为半径作⊙A,若B C、D三，点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是() A.2.5<r≤4B.2.5<r<4C.2.5≤r≤4D.2.5≤r<4 【答案】A 【详解】在Rt△ABC中，BC=3,AC=4, .AB=VAC2+BC=V42+32=5, :D为AB的中点，六AD=AB= B 由上图可知，当⊙A的半径r=AD=时，点D在⊙A上， 当⊙A的半径r=AC=4时，点C在⊙A上，点D在圆内， 当⊙A的半径r=AB=5时，点B在⊙A上，点C、D在圆内， 当⊙A的半径满足<T≤4时，点D在⊙A内， 当⊙A的半径满足4<r≤5时，点C、D在⊙A内， 当⊙A的半径满足r>5时，点B、C、D在⊙A内， 若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是<r≤4. 故选：A 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,点P是AC边上的一个动点，以点P为圆心，PA 长为半径作圆，若使点C在⊙P内且，点B在⊙P外，则⊙P的半径可以是() A B.2 c号 D 【答案C 【详解】解：设⊙P的半径为x,即AP=x,则PC=AC-PC=4-x, 点C在⊙P内 PC<PA,即4-x<x,解得：x>2, 连接PB, B C 在Rt△PBC中，PB2=PC2+BC2 当PB=PA=x时， 2=4-+32,解得：x=晋 点P是AC边上的-个动点，BC=3,点B在⊙P外，x<日 ∴2<x<吾，结合选项可得⊙P的半径可以是号 5 故选：C 19.如图，在网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中选取9个格点（格线的交点称为格点）。若 以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格，点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为() A.22<r<V17 B.V17<r≤3v2 C.17<r<5 D.5<r<V29 【答案】B 【详解】解：给各点标上字母，如图所示 M 95 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 AB=V22+2z=2W2,AC=AD=V42+1卫=√17， AE=V32+32=3V2,AF=V52+22=V29, AG=AM=AN=V42+32=5, ·√17<r≤3V2时，以A为圆心，T为半径画圆，选取的格点中除，点A外恰好有3个在圆内. 故选：B. 20.已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB的中点为点M. (I)以点C为圆心，3为半径作⊙C,则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作⊙C,使A,B,M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径 r的取值范围是什么？ B M 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内；(2)2.5<r<4 【详解】(1)解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB的中点为，点M, ∴AB=V32+42=5,CM=AB=2.5, :以点C为圆心，3为半径作⊙C, ∴AC=3,则点A在圆上，CM=2.5<3,则点M在圆内，BC=4>3,则，点B在圆外； (2)解：以点C为圆心作⊙C,使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r>2.5, 当至少有一点在⊙C外时，r<4, 故⊙C的半径r的取值范围为：2.5<r<4 21.在矩形ABCD中，AB=6,AD=8. (1)若以A为圆心，8长为半径作⊙A,则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A,使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围 是 【答案】(1)，点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)6<r<10 【详解】(1)解：如图所示，连接AC, D :在矩形ABCD中，AB=6,AD=8, ∴AB=CD=6,AD=BC=8,∠B=90°， ∴.AC=V62+82=10, AB=6<8,∴.点B在⊙A内 AD=8,点D在⊙A上， AC=10>8,∴点C在⊙A外； (2)以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴.⊙A的半径r的取值范围是6<r<10. 96 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 考，点三确定圆的条件 考点卡片 不在同一条直线上的三个，点确定一个圆。 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆 的内接三角形。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆的步骤： 步骤1：连接AB,BC 步骤2：分别作线段AB,BC的垂直平分线l1和l2,l1和l2相交于点O 步骤3：以。为圆心，以○B为半径作圆，即为所求。 h 典例分析 22.的圆形镜子的碎片是（) ② ③ A.① B.② C.③ D.均不可能 【答案】A 【详解】解：第①块出现两条完整的弦， 作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长 故选A. 23.平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为() A.0或3或4B.0或1或3 C.0或1或3或4D.0或1或4 【答案】C 【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直 线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆. 图1 图2 图3 图4 故选：C 97 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 24.已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是( A.32或16 B.32或8 C.8或16 D.24或32 【答案】B 【详解】解：如图①，过A作AD⊥BC于D,则AD必过，点O,连接OB, D ① 在Rt△OBD中，OB=5,BD=4, 由勾股定理得：OD=VOB2-BD2=3,则AD=OA+0D=8, ·S△ABc=BC~AD=32; 如图②， ② 同(1)可求得0D=3,则AD=0A-0D=2,·S△ABC=BCAD=8, 综上，△ABC的面积是32或8， 故选：B 25.如图，在平面直角坐标系x0y中，A3,6),B(1,4),C(1,0),则△ABC外接圆的圆心坐标是（） y B A.（4,2) B.（4,3 c.(5,3 D.(5,2) 【答案】D 【详解】解：如图所示：点P即为所求； B 所以点P的坐标为(5,2) 故选：D, 98 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 26.如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)、B(-2,-2)、C(4,-2),则△ABC外接圆半径的长 A.32 B.2V3 C.√10 D.13 【答案】D 【详解】解：设△ABC的外心为M, :B(-2,-2)、C(4,-2),M必在直线x=-2=1上， 2 由图可知，线段AC的垂直平分线经过，点(1,0)，·M(1,0), 如图，过点M作MD⊥BC于点D,连接MB, Rt△MBD中，MD=2,BD=3, 由勾股定理得：MB=VMD2+BD=V22+3=V13,即△ABC外接圆半径的长为V13 故选D. 27.已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,-1)、B(-2,5)、C(4,-6),则A、B、C这三个点确 定一个圆（填“可以”或“不可以” 【答案】可以 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b, 起4-D、B-25)代入得，色年，解得，传=子。 所以直线AB的解析式为y=-2x+1, 当x=4时，y=-2x+1=-8+1=-7≠-6，所以点C(4,-6)不在直线AB上， 即点A、B、C不在同一条直线上，所以过A、B、C这三个，点能确定一个圆 故答案为：可以 28.尺规作图，将图中的破轮子复原，已知孤上三点A,B,C. （1)画出该轮的圆心； （2)若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm,腰AB=10cm,求圆片的半径R. B 【答案】(1)如图所示见解析；(2)圆片的半径尺为5cm 【详解】(1)如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心； 99 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 (2)AO,OB,BC=16cm,.'BD=8cm,.AB=10cm,.'AD=6cm, 设圆片的半径为R,在Rt△BOD中，OD-(R-6)cm, R2-8+(R-6),解得：R-5cm,圆片的丰径R为cm 29.已知，点A,B和直线1，作一个圆，使它经过，点A和，点B,并且圆心在直线1上. (1)当直线I与直线AB不垂直时，可作几个圆？ (2)当直线I与直线AB垂直但不经过AB的中，点时，可作几个圆？ （3)当直线I是线段AB的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】(1)1个；(2)0个；(3)无数个. 【详解】解：(1)如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线I只有1个交 点， 图1 .当直线I与直线AB不垂直时，只能作1个圆； (2)如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线I没有个交点， 图2 ·当直线I与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆： (3)如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线I重合，即直线I上所有点 均可作为经过A,B的圆的圆心， 0 0 10 图3 ·当直线1是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆。 100 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 30.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0. (1)求a,b,c的值； (2)求△ABC外接圆的半径， 【答案】(1)a=3,b=4,c=5;(2)△ABC外接圆的半径是2.5. 【详解】(1)解：a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0 ∴.a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0 即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,.a=3,b=4,c=5; (2)解：a=3,b=4,c=5;∴a2+b2=c2 ∴△ABC是直角三角形，且c为斜边， 如图所示，取Rt△ABC斜边AB上的中点，D,则CD即为△ABC外接圆的半径 AD =IAB=3 31.如图，已知等边△ABC (1)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆； (2)若AB4V3,求△ABC的外接圆半径R. 【答案】(1)答案见解析；(2)4. 【详解】解：(1)如图所示：⊙O即为所求； (2)当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点.连接AO,CO. :△ABC是正三角形，AF1BC,LFAC∠BAC=30°，CF-BC-=2V3, A0=C0,LAC0=30°，∠0CF=60°-30°=30°，0F-0C, 设OC=2x,则OF=×,∴×+(2V3)2=(2x)2, 解得：×=2或=-2（舍），∴.R=2OF=4. 101 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1.下列说法：①直径是弦；②半圆是孤；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条孤是等孤；⑤在 同圆中任意两条直径都互相平分.其中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：①根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一 概念，所以①正确； ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条孤都叫半圆，所以半圆是孤.所以②正确； ③半径相等的两个圆是等圆；正确； ④能够完全重合的两条孤是等孤，长度相等的两条孤不一定是等孤，所以④错误： ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，所以⑤正确； .符合题意的是①②③⑤，共4个.故选：D. 2.已知⊙0的半径r=3,P0=V10,则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外D.不能确定 【答案】C 【详解】解：0P=V10>V9=3,,点P与⊙0的位置关系是点在圆外. 故选：C 3.说法正确的是（） A.三角形的外心是三角形三条高的交点B.三角形的外心到三角形三边的距离相等 C.一个三角形有且只有一个外接圆 D.一个圆有且只有一个内接三角形 【答案】C 【详解】解：A、三角形的外心是三边垂直平分线的交，点，故错误； B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，因而外心到三个顶点的距离相等，故错误； C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故一个三角形有且只有一个外接圆，正确； D、一个圆有无数个内接三角形，故错误。 故选：C 4.如图，AB是⊙0的直径，AC=CD,∠A0C=50°，则∠B0D=() A.40° B.50° C.80 D.1009 【答案】C 【详解】解：A0=C0=D0,AC=CD,∴△A0C兰△C0D,.∠C0D=∠A0C=50°， .AB是⊙0的直径，∴.∠B0D=180°-50°-50°=80° 故选：C 5.如图，∠A0B=50°，点C在射线0B上，CD IOA.,以点C为圆心，OC长为半径画弧，交射线CD于点E, 连接OE.则∠AOE的大小为() A ◇ A.50 B.25 C.130° D.1009 102 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】B 【详解】解：CD IOA,∴.∠AOE=∠CE0, OC=OE,∴∠C0E=∠CE0,∴.∠C0E=∠A0E, ∠A0B=50°，.∠C0E=∠A0E=∠A0B=25°， 6.若A,B是半径为4的⊙O上的两个点，则弦AB的长不可能是（) A.2 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解：圆的半径为4，圆的直径为8， :AB是半径为4的圆的一条弦， .0<AB≤8， ∴.弦AB的长不可能是10. 故选：D, 7.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A(0,4),B(-4,4),C(-6,2)都在⊙M上，则⊙M的半径为() A.25-2 B.2 C.25 D.2W5+2 【答案】C 【详解】解：如图所示，分别作AC、BC的垂直平分线，其交点即为，点M,M,点的坐标为(-2,0)， 点A的坐标为(0,4)， ∴⊙M的半径为V22+4平=2V5, 故选：C B M述o 8.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼 中在该5G基站覆盖范围内的是（) 以 300m 400m 500m A.A,B,C都不在 B.只有BC 只有A,C D.A,B,C 【答案】D 【详解】解：AB=300m,BC=400m,AC=500m, ∴.AB2+BC2=AC2, 103 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 ∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°， 取AC中点D,连接BD,则BD=;AC=250m, 以，点D为圆心，300m长为半径画圆，如图所示： R 300m 400m D 500m 由图可知，点A、B、C都在⊙D内，∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内， 故选：D. 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4,则这个三角形的外接圆的直径是（) A.8 B43 C. D.4 3 【答案】C 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， 4 ∠B=30°，AC=2AB, 根据勾股定理得：BC2+AC2=AB2,即4+(（传AB)2=AB, 解得：AB=这个三角衫的外接国的直径是 故选：C 10.已知三点M(1,2),N(3,-3),P(x,y)可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是() A.(-1,7) B.(1,-3) C.(-3,5) D.(3,5) 【答案】A 【详解】解：设直线MN的解析式为y=kx+b,则 ∫k+b=2 =-5 3k+b=-3,解得 5 A、当x=-1,y=- ×(-1)+号=7，故(-1,7刀在直线MN上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意： B、当x=1,y=-×1+=2≠-3，故(1，-3)不在直线MN上，根据不在同一直线上的三点确定一个圆 得(1，-3)与M(1,2),N(3,-3)可以确定一个圆，故本选项不符合题意； C、x=-3,y=-×(-3)+=12≠5，同理，故本选项不符合题意； 2 D、当x=3,y=- -×3+9=-3≠5，同理，故本选项不符合题意； 故选：A. 11.到定点0的距离等于2cm的，点的集合是以 为圆心， 为半径的圆 【答案】点0,2cm 【详解】根据圆的定义可知，到定点O的距离等于2cm的点的集合是以点O为圆心，2cm为半径的圆. 故答案为点O,2cm. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 12.已知点P为平面内一点，若点P到⊙0上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙0的半径为 【答案】3或2 【详解】解：当P在圆内，直径长度为5+1=6，半径为3， 当P在圆外，直径长度为5-1=4，半径为2， ∴⊙0的半径为3或2. 故答案为：3或2. 13.下列说法中正确的有」 (填序号) ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条孤一定是等孤；③半径相等的两个圆是等圆： ④面积相等的两个圆是等圆. 【答案】①③④ 【详解】解：①直径是圆中最大的弦，故正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条孤一定是等孤，故错误； ③半径相等的两个圆是等圆，故正确； ④面积相等的两个圆半径相等，则两个圆是等圆，故正确； 故答案为：①③④. 14.平面直角坐标系内的三个点A(4,-3),B(0,-3),C(2,-3),确定一个圆，（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【详解】解：A(4,-3),B(0,-3),C(2,-3),在y=-3这条直线上， .三个点A(4,-3),B(0,-3),C(2,-3)不能确定一个圆. 故答案为：不能 15.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CDLAB,垂足为D,已知CD=4,OD-3,求AB的长是. B D 【答案】10 【详解】解：连接OC, B :CD⊥AB,垂足为D,CD=4,OD=3,0C=V0D2+CD7=V32+4平=5，AB=2OC=10 故答案为：10. 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点0为AB的中点.现以，点0为圆心，T为半径 作圆.若⊙0与三角形的三边（包括顶点)有3个公共，点，则r的值为 A C B 【答案】3或5 105 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【详解】解：∠ACB=90°，AC=8,BC=6, ∴AB=V62+82=10, 作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别为D,E,连接OC, A C E B 点0为AB的中点，∠ACB=90°，0C=0A=0B=3AB=5, ∴AD=CD,BE=CE,∴OD=BC=3,OE=AC=4, 当r=3时，⊙0与三角形的三边有3个公共点： 当r=5时，⊙0恰好经过三角形的三个顶点； 故答案为：3或5. 17.如图所示，在△ABC中，CE,BD分别是AB,AC边上的高，求证：B,C,D,E四，点在同一个圆上. A E 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图所示，取BC的中点F,连接DF,EF. BD,CE是△ABC的高， ∴.△BCD和△BCE都是直角三角形 ∴.DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线， .∴.DF=EF=BF=CF ∴E,B,C,D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上。 B F C 18.如图，，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA,OB分别交小圆于，点C,D,求证：AB∥CD 【答案】见解析 【详解】证明：~OC=OD, 106 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 ÷∠0CD=∠0DC ÷∠0CD=180°-∠0)， 0A=OB ·∠OAB=∠OBA 六∠0AB=2(180°-∠0)， ·∠OCD=∠OAB, AB∥CD 19.某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘 的圆心和半径.（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：(1)在圆上取两条弦AB,AC; (2)分别作AB,AC的垂直平分线，交于一点O 则点O就是所求的圆心 (3)连接OA,则OA就是这个圆的半径 20.如图，平面直角坐标系中有一个△ABC (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心O,并写出圆心坐标是； (2)判断，点E(2,0)与⊙0的位置关系，说明理由； (3)△ABC最小覆盖圆的半径为 6 5 32 B -9123456文 【答案】(1)0(1,5)，图见解析；(2)，点E(2,0)在圆外；(3)V10 【详解】(1) y个 6 4 3 2 A升 B -923456x 分别作AB,BC边的垂直平分线，相交于点O(1,5) 107 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 (2）0(1,5),E(2,0),∴.0E=V26 由图可得：A(-1,1),∴.0A=V20,∴.0E>0A,∴点E(2,0)在圆外； (3)取AC中点P,连接0P, △ABC最小覆盖圆的半径为PC的长， V 6 5 3 P A B -1923456x ∴PC=V12+3=V10 21.已知：如图，△ABC (1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在； (3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为√3，求其外接圆的面积. A 【答案】(1)见解析；(2)斜边中点；(3)12π 【详解】(1)解：如图所示，圆O即是△ABC的外接圆. (2)解：如图，直角三角形ABC,作斜边AB上的中线CD,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知， CD=AD=BD,即D为直角三角形ABC的外接圆圆心， 故答案为：斜边中点 D B (3)解：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，OD⊥BC于D,OD-V3, 连接OB, OD⊥BC, .BD =BC=3. ∴.0B=VBD2+0D2=25, 其外接圆的面积为(2V3)2π=12π， D 108