第一章二次函数——实际问题与二次函数复习讲义　2026－2027学年浙教版数学九年级上册

第04讲 实际问题与二次函数 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1.掌握利用二次函数解决实际问题的基本步骤并能够在解决题目时熟练应用。 2.掌握二次函数解决实际问题中的基本类型，利用各类型的解决方法解决问题。 ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 二次函数解决实际问题 考点卡片 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 典例分析 1. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m 2. 如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 _____秒． 3. 如图，小明在距篮筐处跳起投篮，篮球的运动路径为抛物线，球在小明头顶上方处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，并且球被投中．以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求球离地面的高度和距原点的水平距离之间的函数解析式； (2)已知小刚跳离地面时，最高能摸到，则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时，小刚在小明的右边且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球？ 4. 掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 考点二 面积问题 考点卡片 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 典例分析 5. 小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 6. 如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为________． 7. 如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，其中，且．如果新建墙总长15m． (1)设储料场面积为，的长为，则的长为______，的长为______m，与的函数关系式______． (2)当取何值时，才能使储料场的面积最大？ 8. 如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围． 9. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙 （篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 考点三 销售利润问题 考点卡片 总利润＝单利润×数量 现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝原数量－×变化数量（原数量＋×变化数量） 典例分析 10. 若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 11. 某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 12. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 13. 某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 14. 某景区购进、两种纪念品共300件，购进种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件． ①购进4件种纪念品和2件种纪念品需花费36元；购进2件种纪念品和3件种纪念品需花费22元． ②种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，种纪念品的进货价每个降低0.1元． 经销售发现：，两种纪念品的总售价为元，购进种纪念品的件数为件，与之间存在一次函数的关系，如表： 种件数 0 20 50 100 200 总售价 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求与的函数关系； (2)设销售，两种商品所获利总利润为元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由． 考点四 拱桥问题 考点卡片 （1） 建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 （2） 从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 （3） 利用待定系数法求函数表达式。 （4） 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 典例分析 15. 如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 16. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为_____米． 17. 如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 18. 如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 2. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系是．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为；②铅球到达最高点时的高度为；③当铅球的高度为，推出的水平距离为或．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为（   ）米 A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 4. 刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差，与锅的水平距离，锅的半径．若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可能为（提示：，，水平移动距离）（    ） A． B． C． D． 5. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 6. 小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为x cm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（　　） A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．V＝x（20﹣x）（15﹣x） C．V＝4x2（20﹣2x） D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x 7. 某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 8. 如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为2m． ①以拱顶（抛物线顶点）为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为y＝﹣2x2； ②若水面由位置l下降1m，水面宽度为4m； ③若水面由位置l下降2m，水面宽度增加． 以上结论正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 9. 如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为______m． 10. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（单位：m）与足球飞行的时间t（单位：s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是　 　 s． 11. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米．    12. 从地面竖直向上抛出一小球，（秒）后小球的高度（米）适用公式，那么经过______秒后，小球回到地面． 13. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 14. 某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T恤的定价为______元． 15. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m． （1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； （2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，在两车道之间设置宽度为1m的隔离带，且要求货车与隧道内壁AB（A，B）及隔离带水平方向都至少保持0.5m安全距离，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 16. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ (3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？ 17. 如图，以40m/s速度将小球沿着地面成的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间 飞行高度 (1)直接写出小球的飞行高度关于飞行时间的二次函数关系式（不写自变量取值范围）； (2)若小球飞行时间不超过，则小球飞行高度能否达到？若能，求出此时的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 18. 如图，某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃，已知墙AE＝6m，AF＝10m． （1）如图1，若矩形花圃使用的篱笆总长为12m，花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，围成的花圃面积为35m2，求这个花圃较短边的长度； （2）如图2，若矩形花圃使用的篱笆总长为32m，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其余两边BC，CD由剩下的篱笆围成．当篱笆BE的长为多少时，围成的花圃面积最大？求出最大面积，并说明理由． 19. 某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 20. 季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病．某商场的一款空气净化器（如图1）特备畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示： （1）求y与x的函数关系式； （2）某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？ （3）若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 第04讲实际问题与二次函数 模块 课程目标 ☆课程目标☆ 1掌握利用二次函数解决实际问题的基本步骤并能够在解决题目时熟练应用。 2掌握二次函数解决实际问题中的基本类型，利用各类型的解决方法解决问题 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 考点一二次函数解决实际问题 步骤：审、设、列、解、验、答 考点二面积问题 根据实际情境列出面积关于自变量的函数，然后利用函数解决问题 内容导 总利润=单利润×数量 考点三销售利润问题 现单利=原单利十涨价部分（原单利一降价部分】 现数量=原数量士降价部分/医价部分×变化数量 降价涨价基础 考点四拱桥问题 建立合适的坐标系，再列出二次函数解决问题 模块三 考点剖析 ☆考点剖析☆ 考点一二次函数解决实际问题 考点卡片 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系。 ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数. ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式。 ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题. ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论 ⑥答：写出答案。 典例分析 1.如图，以40m/5的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果 不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t（单位：s)之间具有函数关系h=20t- 5t.下列叙述正确的是( A.小球的飞行高度不能达到15m B.小球的飞行高度可以达到25m C.小球从飞出到落地要用时4s D.小球飞出1s时的飞行高度为10m 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】C 【详解】A、当h=15时，15=20t-5t,解得：t=1,t=3, 故小球的飞行高度能达到15m,故此选项错误； B、h=20t-5t=-5(t-2)2+20,故t=2时，小球的飞行高度最大为：20m,故此选项错误； C、h=0时，0=20t-5t,解得：t=0,t=4,.小球从飞出到落地要用时4s,故此选项正确； D、当t=1时，h=15,故小球飞出1s时的飞行高度为15m,故此选项错误； 故选C 2.如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（米） 与飞行时间t(秒）之间满足函数关系五=20t-5t2.则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间 为秒. 【答案】2 【详解】解：=20t-5t2=-5(t-2)2+20, ￥a=-5<0, 当t=2时，危的最大值为20， 即t=2s时，危的值最大， 故答案为：2. 3.如图，小明在距篮筐4处跳起投篮，篮球的运动路径为抛物线，球在小明头顶上方A处出手，在距离篮 筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m,并且球被投中.以小明起跳点0为原点，建立如图所示的平 面直角坐标系 (1)求球离地面的高度y(m)和距原点O的水平距离x()之间的函数解析式； (2)已知小刚跳离地面时，最高能摸到2.7，则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时，小刚在小明的右边 且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球？ B 3.05 4 【答案】(1)y=-(x-2.5)2+3.5；(2)小刚在小明的右边且与小明的距离在0.5米之内能在空中裁住球 【详解】(1)解：在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m, ∴.顶点坐标为(2.5,3.5)， ∴.设抛物线的解析为y=a(x-2.5)2+3.5,把(4,3.05)代入得， 2.25a+3.5=3.05, 解得a=-号 函数解析式为y=-(6x-2.5)2+3.5: (2)解：令y=2.7,则-1(x-2.5)2+3.5=2.7, 解得x=0.5或x=4.5, ∴.小刚在小明的右边且与小明的距离在05米之内能在空中截住球 4.掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为 胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线.设沙包飞行的水平距离为x（单位：m),相对应的飞行高度为y(单 位：m).李华在0处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，M为抛物 线的顶点，已知布慢AB垂直于x轴，且B0=13m,布慢上的目标P与B的距离为0.26米. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）： (2)为了击中目标P,应将布幔向前或后移动多少米？ 39 0.98 0.48 0 B 【答案】0y三-品G-5+0.98:②前移动2m 【详解】(1)解：由题意可知抛物线顶点为(5,0.98) 故可设抛物线的解析式为y=α(x-5)2+0.98, 又抛物线过(0,0.48)， 0.48=a(0-5)2+0.98, a=-动 解析式为y=-六红-52+0,98： (2)当y=0.26时， 即0.26=-0x-52+0.98 x1=-1(舍)，x2=11, 13-11=2m, 应将布幔向前移动2m. 考点二面积问题 考点卡片 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问 题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 典例分析 5.小亮爸爸想用长为80的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成.设 矩形与墙垂直的一边长为xm,面积为ym2,则y与x的函数关系式是（) A.y=80x B.y=80-2x C.y=0 D.y=x(80-2x) 【答案】D 【详解】解：由题意得，y=x(80-2x) 故选：D. 6.如图是一面足够长的墙，用18m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园ABCD,若设AB的长度为xm, 则矩形花园ABCD的面积S(m2)与x(m)的函数解析式为_ D 51 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】S=-3x2+18x 【详解】解：设AB的长度为xm,则BC=(18-3x)m, 由题意得，S=x(18-3x)=-3x2+18x, 故答案为：S=-3x2+18x. 7.如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中AD∥BC,且∠C=90°.如果新建墙BCD总 长15m. (1)设储料场面积为Sm2,DC的长为xm,则BC的长为m,AD的长为m,S与x的函数关系式 (2)当x取何值时，才能使储料场的面积最大？ D 1359 【答案】10(15-x),(15-2x),S=-2x2+15x;2)x=5 【详解】(1)解：新建墙BCD总长15m,DC的长为xm, .BC的长为(15-x)m, 过A作AH⊥BC于H, D AD∥BC, AH⊥AD, 又∠C=90°， ∴.四边形AHCD是矩形， ∴.AD=HC,AH=DC=xm, ∠BAD=135°， .∴.∠BAH=∠BAD-∠DAH=45°， .∠ABH=45°=∠BAH, ∴.BH=AH=xm, ..AD HC BC-BH =(15-2x)m, S=15-2x+15-x):x=-x2+15x, 故答案为：(15-x),(15-2x),S=-x2+15x (2)解：由(1)可知：S=-x2+15x :抛物线开口向下 15 抛物线的对称轴为x=一云=一2育5 ∴.当x=5时，储料场的面积最大 8.如图，一块矩形草地的长为100m,宽为80m,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为×(m)的小路，这时 草坪的面积为y(m)。求y与×的函数关系式，并求出×的取值范围. 52 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】y=×2-180x+8000(0<×<80) 【详解】设中间修筑两条互相垂直的宽为×(m)的小路，草坪的面积为y(m), 根据题意得出：y=100-80-80x-100x+×2=×2-180x+8000(0<×<80) 9.如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF),莱园的一面靠墙MN(39m) （篱笆的宽度忽略不计) (1)菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长AB的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m,求该菜园面积的最大值. M A D 【答案】(1)可能，14m;(2)288平方米 【详解】(1)设AB=xm,则矩形的长(60-3x)m,依题意，得：x(60-3x)=252, 即x2-20x+84=0, 解得：x1=6,x2=14, 当x1=6时，(60-3x)=42m>39m,舍去， 当x2=14时，(60-3x)=18m<39m成立， 答：花园面积可能是252m2,此时边AB的长为14米 (2)AB=xm,则BC=(60-3x)m,依题意，得： S=x(60-3x)=-3x2+60x=-3(x-10)2+300, a=-3<0, ∴当x<10时，y随×的增大而增大， .x≤8， .当x=8时，y最大，最大为288 答：该菜园面积的最大值为288平方米 考点三销售利润问题 考点卡片 总利润=单利润×数量 现单利=原单利+涨价部分（原单利一降价部分） 涨价部分 降价部分 现数量=原数量 ×变化数量（原数量+ 降价基础 ×变化数量) 涨价基础 典例分析 10.若一种服装销售盈利y(万元)与销售数量x(万元)满足函数关系式y=-2x2+4x+5,则盈利() A.最大值为5万元 B.最大值为7万元 C.最小值为5万元 D.最大值为6万元 【答案】B 【详解】解：y=-2x2+4x+5=-2(x-1)2+7 -2<0,“当x=1时， y最大=7（万元）方 故选：B 53 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 11.某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日 销售量增加2件.已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为x (元)，商家每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析式为() A.w=(99-x-50)(200+2x) B.w=(x-50)(200+2x) C.w=(99-x-50)[200+2(99-x)】D.w=(x-50)[200+2(99-x)] 【答案】D 【详解】解：设每件产品售价为x(元)，则日销售量为[200+2(99-x)]件， :每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元， ∴.w=(x-50)[200+2(99-x)1, 故选：D 12.某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现， 每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利 润. 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【详解】解：根据题意得：w=(60-40+30-碧)=-10Gx-5+6250, -10<0, 当x=5时，w有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：60+5=65元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元， 13.某服装大卖场以每件60元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量m(件)与每件的销售价x（元) 之间的函数关系为m=300-3x. (1)当每天的销售量为45件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润 【答案】(1)当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元 (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为80元，最大毛利润为1200元. 【详解】(1)解：当m=45时，45=300-3x, 解得：x=85, 45×(85-60)=1125(元)， 答：当每天的销售量为45件时，销售这种服装的毛利润为1125元； (2)设销售利润为y,根据题意得出y=(x-60)(300-3x)=-3x2+480x-18000=-3(x-80)2+1200 -3<0 ∴.当x=80时，利润最大，最大为：1200 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为80元，最大毛利润为1200 元 14.某景区购进A、B两种纪念品共300件，购进A种纪念品的数量不少于50件，且不超过150件 ①购进4件A种纪念品和2件B种纪念品需花费36元；购进2件A种纪念品和3件B种纪念品需花费22元. ②A种纪念品在购进50件的基础上，每多购进5件，A种纪念品的进货价每个降低0.1元： 经销售发现：A,B两种纪念品的总售价为y元，购进A种纪念品的件数为x件，y与x之间存在一次函数的关 系，如表： A种件数x 20 50 100 200 总售价y 1500 1600 1750 2000 2500 (1)求y与x的函数关系； (2)设销售A,B两种商品所获利总利润为W元，该景区将300件纪念品全部销售后，总利润能否达到1050元？ 如果能，请给出进货方案；如果不能，请说明理由 【答案】(1)y=5x+1500;(2)总利润能达到1050元，购进A,B两种纪念品各150件 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【详解】(1)解：设y与x的函数关系为y=kx+b, 根据表格可得：580=0k+b~解得化。51500 y与x的函数关系为y=5x+1500； (2)解：能达到，方案如下：设A商品的进货单价为a元，B商品的进货单价为b元， 根题毫可得：8十3动二设， 好：628 w=y-(8”动)x-2800-0=c-502+850, “a=茹>0，抛物线开口向上， ×50≤x≤150， 当x=150时，W有最大值，最大值刚好为0(150-50)2+850=1050元， 购进A,B两种纪念品各150件，总利润能达到1050元 考点四拱桥问题 考点卡片 (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 (2)从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 (3)利用待定系数法求函数表达式。 (4)运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 典例分析 15.如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面再上升1.5m,则水面的宽度是多少？ 27 4m A.1m B.1.5m C.2m D.3m 【答案】C 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点， y◆ 55 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 则：O为原点，C(0,2),A(-2,0),B(2,0), 设函数解析式为y=ax2+2,把A点坐标(-2,0)代入得a=-0.5, ∴.抛物线解析式为y=-0.5x2+2, 当水面上升1.5m,通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y=1.5时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把y=1.5代入抛物线解析式得出：1.5=-0.5x2+2, 解得：x=±1， 此时的水面宽度为1+1=2(m), 故选：C 16.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了 苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米.则 离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为米. D 200m 150m 一80m 图① 图② 【答案】40 【详解】 解：以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系： W F D 200m 150m OY A←80m→B衣 A(-40,0),B(40,0),E(0,200), 设抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40),将E(0,200)代入，得： 200=a(0+40)(0-40), 解得：a=- “抛物线的解析式为y=-2+200, 将y=150代入得：-言x+200=150, 解得：x=±20， ·C(-20,150),D(20,150), CD=40米， 故答案为：40 17.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线的一部分， 以，点A为坐标原，点建立平面直角坐标系. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面AB高出3m,当船的宽度小于多少米时，船能 安全穿过桥洞.（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与AB平行） 业 4m 0(40-12m→B不末 【答案】(1y=-(x-6)2+4:(2)6米 【详解】(1)解：根据题意，得抛物线的顶点为(6,4)， 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4, 把(0,0)代入，得36a+4=0, 解得a=- 抛物线的解折式为y=--6)+4 (2)解：当y=3时，-x-6)2+4=3, 解得x1=3,x2=9, ∴当船的宽度小于9一3=6米时，船能安全穿过桥洞。 18.如图所示，有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离OM为3m,跨度AB=6m. ()请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长3m,宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高 可堆放多少米？ M B 【答案】(0)y=-x2；2)这些木板最高可堆放米 【详解】(1)解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标 系， A MI B 设抛物线的函数关系式为y=ax2, 由题意可得B点坐标为(3，一3)： .-3=a×32,解得a=- 抛物线的函数关系式为y=-。x2； (2)解：当x=1时，y=-号×12=- .0M=3, 木板最高可堆放3-=米)。 57 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1.飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数关系式是s=-1.5t2+60t,则飞机着陆后滑行 ()秒才能停下来？ A.10 B.15 C.20 D.30 【答案】C 【详解】解：s=-1.5t2+60t=-1.5(t-20)2+600, 又a=-1.5<0, 当t=20时，s有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来 故选：C 2一名男生推铅球，铅球行选高度以单位：m)与水平距离《单位：m)之间的关系是y=-品x2+号x+号有 下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为10m;②铅球到达最高，点时的高度为2.5m;③当铅球的 高度为1.5m,推出的水平距离为2m或6m.其中，正确结论的个数是（) ● VA A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【评解】解：将y=0代入y=-2+号x+得-+号x+号=0， 解得x1=-2,x2=10,这名男生铅球推出的水平距离为10m,故①正确，符合题意； y=一立2+号x+号=，吉区-4}+3，六铅球到达最高点时的高度为3m,故②错误，不特合题意： 3 当y=15时，-品2+x+=15,解得x,=4-32,4=4+32,故③错误，不符合题意： 故选：B 3.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5, 沿此抛物线篮球可准确落入篮圈.求篮圈中心到地面的距离为()米 ?米 25米0 4米 A.3.5 B.1.5 C. D.3.05 【答案】D 【详解】4-2.5=1.5（米） 抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5 .将x=1.5代入得，y=-0.2×1.52+3.5=3.05. ∴篮圈中心到地面的距离为3.05米 故选：D 58 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 4.刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图，面刚被 削离时与开水锅的高度差=0.45m,与锅的水平距离L=0.3m,锅的半径R=0.5m.若将削出的小 面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度不可 能为（提示：危=29t2,g=10m/s2,水平移动距离s=vot)(） A.2.5m/s B.3m/s c.3.5m/s D.5m/s 【答案】D 【详解】解：由题意得×10t2=0.45, 解得：t1=0.3,t2=-0.3(舍去)， ~要使其落入锅中，·L<S<L+2R, 03<5<13,03<%×03<13,1<%<号 5>号 5m/s不可能； 故选：D 5.园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD,苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用 木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2米宽的门（门不用木栏)，若建成 后所用木栏总长为32米，则长方形ABCD的最大面积为() 墙 D BL C A. 平方米 B.108平方米 C.38平方米 D.9平方米 【答案】D 【详解】解：设苗圃ABCD的一边CD长为x米，面积为y, 根据题意得，y=x(32+2×2-3x)=-3x2+36x=-3(x-6)2+108 :墙最大可用长度为14米 -32+2×2-3x≤14，即x≥号 当x>6时，y随x的增大而减小， 当x=号时，y最大为-3×（侵-6）+108=0平方米 故选：D. 6.小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图)，若剪去四个边长为 xcm的正方形，则盒子的容积V(单位：cm)与x的函数关系式为() 2 A.V=(20-2x）(15-2x) B.V=x(20-x)(15-x) C.V=4x(20-2x) D.V=(20-2x)(15-2x)x 59 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】D 【解答】解：它的四个角都剪去一个边长为￥cm的正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子， .长为(20-2x)cm,宽为(15-2x）cm,高为×cm, .∴.V=(20-2×)(15-2×)x 故选：D 7.某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销.经 调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本.设每本降价x元后，每星期售出此 畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为( A.y=(20-x)(300+10x) B.y=(20-x)(300+20x) C.y=(20-2x)(300+10x） D.y=(20-2x)（300+20x×) 【答案】A 【解答】解：设每本降价×元，则售价为(20-x）元，销售量为(300+10x)本， 根据题意得，y=(20-x)(300+10x), 故选：A. 8.如图，一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在位置1时，拱顶(（拱桥洞的最高点)离水面2m,水面 宽为2m. ①以拱顶（抛物线顶点)为原点建立如图所示平面直角坐标系，则抛物线解析式为y=-2x; ②若水面由位置1下降1m,水面宽度为4m: ③若水面由位置1下降2m,水面宽度增加(2V2-2)m. 以上结论正确的个数是( (1) (2) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解答】解：由题意可设二次函数关系式为y=ax,把点(1，-2)代入得：a=-2, ∴该二次函数的解析式为y=-2x；故①正确； ②根据水面由位置1下降1m,可知：把y=-3代入二次函数解析式得：-3=-2x, 解得：x=土 2 此时水面宽为9×2=V6;故②错误 ③根据水面由位置1下降2m,可知：把y=-4代入二次函数解析式得：-4=-2x, 解得：x=士√2， 水面宽度为2V2, ÷水面宽度增加(2√2-2)m;故③正确 故选：B 9.如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成 抛物线y=-日x2+x+(其中y为垂直高度，x为水平距离，单位：m,则该喷灌架喷出的水流可到 达的最远距离OA为m. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】6. 【详解】解：y三-+x+ 当y=0时，即-言x++2=0, 解得x1=6,x2=-2(不合题意，舍去)， ∴该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离0A=6米 故答案为：6. 10.某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h(单位： m)与足球飞行的时间t(单位：5)之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点 所需的时间是 5. h(m) 2.75 0 0.5 1.1 t(s) 【答案】0.8 【详解】解：足球飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：5)之间具有二次函数关系，根据 函数的图象可得抛物线的对称轴为直线x=05+11=0.8, 函数的开口向下， ∴在x=0.8时，足球到达最高点， 即足球到达最高，点所需的时间是0.85， 故答案为：0.8. 11.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米. LIUL墙 【答案】450 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(60-2x)米， 又墙长为40米， ∴.0<60-2x≤40 .10≤x<30. 莱园的面积=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450, ∴.当x=15时，可围成的莱园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积 是450平方米. 故答案为：450 12.从地面竖直向上抛出一小球，t（秒)后小球的高度五（米）适用公式五=30t-5t2,那么经过 秒后，小球回到地面 【答案】6 【详解】解：~小球抛出后又回到地面时=0， 61 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 0=30t-5t2,即t(30-5t)=0, 解得t1=0(舍去)，t2=6, 经过6秒后，小球回到地面 故答案为：6. 13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm,点P从，点A沿AC向点C以1cm/S的速度运 动，同时点Q从，点C沿CB向点B以2cm/s的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四 边形PABQ的面积最小值为cm2. A B 【答案】15 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm, :AC VAB2 BC2 6cm, 设运动时间为ts(0≤t≤4)，则PC=(6-t)cm,CQ=2tcm, “Sg边形PABQ=SAABC-S△CPQ C·CQ 2 =2×6×8-2(6-)×2t =t2-6t+24 =(t-3)2+15 当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2 故答案为：15. 14.某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量 为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“十一”前一周销售 量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件，若要求销售单价不低于成本，且按 照物价部门规定销售利润率不高于30%，那么当电商获得最大利润时，每件丁恤的定价为元 【答案】52 【详解】解：设销售单价为x元，获利为w元，则降价(60-x)元，每件的盈利(x-40)元，每天可售出[500+ 50(60-x)]=-50x+3500件，根据题意，得w=(x-40)(-50x+3500)=-50x2+5500x-140000= 50(x-55)2+11250. .-50<0. ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且距离对称轴远的函数值越小， :按照物价部门规定销售利润率不高于30%，即售价不能超过30%×40+40=52元， ∴.40≤x≤52， .当x=52时，w取得最大值， 故答案为：52. 15.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高，点C离路面AA, 的距离为8m. (1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式： (2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为7m,宽为4m,如果该隧道内设双向行车道，在两车道之间 设置宽度为1m的隔离带，且要求货车与隧道内壁AB(A,B)及隔离带水平方向都至少保持0.5m安全 距离，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由。 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 y B 0 【答案】(1)该抛物线的画数表达式为一一立+8；(2)货车能安全通过该隧道，理由见解答 【详解】解：(1)由题意得：B(-8,6),C(0.8),B(8,6), 设该抛物线的函数表达式为y=ax+8, 将点B坐标代入得：64a+8=6, 1 解得：=-立 六该抛物线的函数表达式为一32×+8： (2)能，理由如下： 1 7 当×=5时，=-32×25+8=73克>7， ·货车能安全通过该隧道 16.如图，利用一面墙（墙的长度不超过44m),用79m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD,并且与墙平行 的边留有1m宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设AD=xm,矩形的面积为ym2. (1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为600m2? (3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？ 墙 D B 【答案】(1)y=-2x2+80x,18≤x<39.5; (2)当AD=30,AB=20时面积等于600m2; (3)当￥为20m时，矩形的面积最大，最大值为800m2 【详解】(1)解：依题意，∵AD=xm,且篱笆长为79m以及1m宽建造一扇门， ∴.AB=79+1-2x=80-2x(m), y=x(80-2x)=-2x2+80x, 墙的长度不超过44， ∴.1<80-2x≤44， 即18m≤x<39.5m; (2)解：依题意，-2x2+80x=600(18≤x<39.5), x=30,x=10(舍) 当AD=30,AB=20时面积等于600m2; (3)解：y=-2x2+80x, ∴函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值， 则x=-=20在取值范围之内， 把x=20代入y=-2x2+80x,解得y=800, 答：当×为20m时，最大值为800m2. 63 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 17.如图，以40m5速度将小球沿着地面成30°的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑 空气阻力，小球的飞行高度五（单位：)与飞行时间t(单位：s)之间满足二次函数关系.小明在一 次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题. 飞行时间t/S 0 0.5 飞行高度/m 0 8.25 24 (1)直接写出小球的飞行高度五关于飞行时间t的二次函数关系式（不写自变量取值范围)： (2)若小球飞行时间不超过4s,则小球飞行高度能否达到15m?若能，求出此时t的值，若不能，说明理由； (3)当值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 【答案】(1)2=-3t2+18t (2)小球飞行高度能达到15m,此时t=1秒 3)当t值为3秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是27m 【详解】(1)解：由题意可设关于t的二次函数关系式为=at2+bt, 将(0.5,8.25)，(2,24)代入得 2408480,解得：8=1日 .危关于t的二次函数关系式为店=-3t2+18t (2)当=15，-3t2+18t=15, 解得：t1=1,t2=5（舍去 ∴.小球飞行高度能达到15m,此时t=1秒. (3)解：五=-3t2+18t=-3(t-3)2+27 .-3<0 ∴.当t值为3秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是27m 18.如图，某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃，已知墙AE=6m, AF=10m （1)如图1，若矩形花圃使用的篱笆总长为12m,花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，围成的花圃面 积为35m,求这个花圃较短边的长度； (2)如图2，若矩形花圃使用的篱笆总长为32m,花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB 由墙AE和篱笆BE构成，其余两边BC,CD由剩下的篱笆围成.当篱笆BE的长为多少时，围成的花圃 面积最大？求出最大面积，并说明理由。 墙 墙 --D E E 图1 图2 【答案】(1)5m；(2)当篱笆BE的长为6m时，围成的花圃面积最大，最大面积为144m. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【详解】解：(1)设这个花圃较短边的长度为×m, 由题意得，￥(12-x)=35, 整理，得×2-12x435=0, 解得￥=5，为=7， 当×=5时，较长的边为12-5=7，符合题意； 当x=7时，较长的边为12-7=5，不合题意； 故这个花圃较短边的长度为5m; (2)由题意知，矩形花圃的周长为：32+AE+AF=32+6+10=48(m), ∴AB+AD=8=24m, 设篱笆BE的长为xm,则AD=24-AE-BE=24-6-x=18-x(m), ∴.花圃面积S=ABAD=(6+x)(18-x)=-x+12x+108=-（x-6)2+144, ∴.当×=6时，S取最大值，最大值为144， 即当篱笆BE的长为6m时，围成的花圃面积最大，最大面积为144m, 19.某公司营销A,B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系，如图所示 信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.根据以 上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式 (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和 最大，最大利润是多少万元？ 3.6 1.4 913 【答案】(1)y=-0.1x2+1.5x (2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元 【详解】(1)解：(1)由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为y=ax2+bx, 将(1,1.4)，(3,3.6)代入y=ax2+bx,得 {98+06解得8三0 ∴.二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x (2)设购进A产品m吨，购进B产品(10-m)吨，销售A,B两种产品获得的利润之和为W万元.则 w=-0.1m2+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m2+1.2m+3=-0.1(m-6)2+6.6 -0.1<0, .当m=6时，W有最大值6.6. ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A,B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元 20.季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病.某商场的一款 空气净化器（如图1)特备畅销.已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y(台) 与售价￥（元/台)是一次函数关系，如图2所示： (1)求y与x的函数关系式； (2)某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？ (3)若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润 是多少？ 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 台) 950 800-.-.-4-. 0 2540 x(元/台) 图1 图2 【答案】(1)y与x的函数关系式为：y=-10x41200: (2）该空气净化器的售价是60元/台或80元/台； (3)该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元 【详解】解：(1)设y与x之间的函数关系式为：y=kxb, +8860条择：60 k=-10 ∴y与x的函数关系式为：y=-10x+1200; (2)(-10x+1200)(￥-20)=24000， -10×+200x41200×-24000=24000, ×-140x44800=0, (×-60)(×-80)=0, 解得：￥=60，为=80： 答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台； (3)设所获利润为w元， w=(-10x+1200)(×-20) =-10x+200x+1200×-24000 =-10(×-70)2+25000, 某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台， .∴.-10x+1200≥300 解得：x≤90， .当x=70时，w有最大值，w最大=25000（元）】 答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元.