章节复习一：二次函数优等生讲义（知识梳理典例练习）2026-2027学年浙教版九年级数学上册
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精品
内容正文：
章节复习一：二次函数 优等生讲义
（知识梳理典例练习）2026年浙教版九年级数学上册
参考答案与试题解析
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解二次函数概念，会根据定义求字母系数取值范围
· 掌握二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与性质，会求开口、顶点、对称轴
· 会用待定系数法求二次函数解析式，理解图象平移规律
· 能解决投球、拱桥、利润等实际问题中的二次函数最值
· 会求抛物线与坐标轴交点，能由图象判断系数符号
📚 知识梳理
☆ 1.二次函数的概念
· 形如 y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，a为二次项系数
· 由定义求参数时，须同时满足二次项系数≠0且最高次为2
· 列实际问题关系式时，先找等量关系再写成 y=ax²+bx+c 形式
概念辨析例题：y=(m-1)xm^2+3x-1 是二次函数，求m
答案：m=-1
解析：须 m^2=2 且 m-1≠0，m=±√2 时 m^2=2 不成立；按 m^2=2 不整，按 m^2=2 整数解 m=-1（m=1舍去）
☆ 2.二次函数的图象与性质
· 开口由a定：a>0向上，a<0向下；|a|越大开口越小
· 顶点坐标 ( -b/2a, 4ac-b^2/4a )，对称轴 x=-b/2a
· 增减性：a>0时左减右增；a<0时左增右减
· 抛物线与y轴交于(0,c)，与x轴交点即方程 ax²+bx+c=0 的根
概念辨析例题：y=x²-4x+3 的顶点坐标
答案：(2,-1)
解析：x=-b/2a=2，y=4-8+3=-1，顶点(2,-1)
☆ 3.待定系数法与图象平移
· 已知三点设一般式 y=ax²+bx+c；已知顶点设顶点式 y=a(x-h)²+k
· 已知与x轴两交点设交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂)
· 平移规律：左加右减（针对x）、上加下减（针对整体）
概念辨析例题：抛物线过(0,-3),(2,5),对称轴x=1，求解析式
答案：y=x²-2x-3
解析：设 y=a(x-1)²+k，代入两点解出 a=1,k=-4，展开得 y=x²-2x-3
☆ 4.二次函数实际应用
· 利润问题：利润=(单件售价-单件成本)×销量，配方求最大利润
· 拱桥/投球问题：建系后设顶点式，代入已知点求解析式
· 最值在顶点处或端点处取，须结合自变量取值范围判断
概念辨析例题：商品涨价x元，每件利润(x+10)元，销量(50-5x)件，求最大利润
答案：当x=0时利润最大500元
解析：利润 w=(x+10)(50-5x)=-5x²+250，x=0时w=500最大
📋 知识总结表
项目
公式/结论
说明
对称轴
x=-b/2a
顶点横坐标
顶点纵坐标
4ac-b^2/4a
最值
与y轴交点
(0,c)
c为常数项
与x轴交点
解方程ax²+bx+c=0
Δ>0两交点
平移
左加右减、上加下减
针对x与整体
开口
a>0向上 a<0向下
|a|越大开口越小
⚠️ 核心考点
【考点1】二次函数的概念与列关系式（第1-12题）
· 由定义求参数：二次项系数≠0且最高次指数=2，列不等式与方程
· 列实际问题关系式：先写等量关系再整理为 y=ax²+bx+c
· 识别a、b、c：按降幂排列后对应读出二次项、一次项系数与常数项
1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．
【详解】解：根据题意得，，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．
2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键．
根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可．
【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是，
∴增加后的边长是，面积是，
∴增加的面积，
故选：C．
3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的一次项系数是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的一次项系数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据定义即可得到答案．
【详解】解：
该函数的一次项系数为6
故选：B．
4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
【答案】C
【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
5．（23-24九年级下·四川达州·阶段检测）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为________．
【答案】106
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
将代入解析式求值即可．
【详解】解： ，
当时，，
水的体积为．
故答案为：106．
6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为______．
【答案】2
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义．
根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件．
【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即，
解方程得，
所以或 ，
又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去，
因此．当时，函数为，满足二次函数定义．
故答案为：2．
7．（25-26九年级上·全国·课堂例题）若函数是关于x的二次函数，求m的值．
【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数．
【详解】解：函数是关于x的二次函数，
∴，
解得．
8．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．
【答案】(1)
(2)，纵坐标为的点的横坐标
【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一次函数的定义求参数
【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键．
（1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值．
【详解】（1）解：（1）由题意，得
，且，
解得，
当时，y是x的一次函数；
（2）由题意，得
，且，
解得，
当时，y是x的二次函数，
当时，，
解得，
纵坐标为64的点的横坐标．
9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据二次函数的定义求参数、求自变量的值或函数值
【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义可得，即可求解；
（2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可．
【详解】（1）解：函数是二次函数，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，二次函数解析式为，
∴当时，．
10．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）已知是关于x的二次函数．
(1)若函数图象有最低点，求k的值；
(2)判断点是否在（1）中的函数图象上．
【答案】(1)
(2)不在
【知识点】y=ax²的图象和性质、根据二次函数的定义求参数
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的定义，二次函数的性质：
（1）根据二次函数的定义可得，则，再由函数有最低点，即二次项系数大于0，据此求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论．
【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
∵函数图象有最低点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得函数解析式为，
当时，，
∴断点不在（1）中的函数图象上．
11．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？
【答案】
解：乙的说法对．理由如下：
对配方可得，
因为无论a取何值，，
所以，
故无论a取何值，该函数一定是二次函数．
【知识点】配方法的应用、二次函数的识别
【分析】本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可．
【详解】略
12．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)
(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键．
（1）根据二次函数的定义，即列式求解即可；
（2）根据二次函数一般式判定即可．
【详解】（1）解：根据二次函数的定义得，
由得，
由得且，
∴．
（2）解：由（1）得：二次函数解析式为，
故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为．
【考点2】二次函数图象与性质（第13-35题）
· 由a、b、c符号判断开口、对称轴位置、与y轴交点位置
· 顶点与对称轴用 x=-b/2a、y=4ac-b^2/4a 计算
· 抛物线上对称两点关于对称轴对称，可由两点横坐标求对称轴
· 由图象判断 abc、b²-4ac、2a+b 等符号时结合特殊点代入
13．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解答本题的关键．
根据题意，抛物线的顶点坐标为，得到对称轴经过点，列出式子，求出答案．
【详解】解：由题意得：
抛物线的顶点坐标为，
对称轴经过点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为： ．
故选：．
14．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标．
【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为，
∴在抛物线中，令，
得，
∴抛物线与轴的交点坐标是．
15．（2025·陕西·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可．
【详解】解：在中：
∵，
∴函数图象开口向下．
∵对称轴为，
∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确，
令代入二次函数得，
则．
∵，
∴，
∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点，
设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为，
又∵，则，
∴
∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
16．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【答案】B
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积．
先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由
得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积．
【详解】解：∵抛物线，
令，则，解得或，
∴；
令，则，
∴．
∵（x轴），
∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C），
∴，
则，A到的距离为，
∴的面积
故选：B．
17．（2026·山西临汾·一模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表：
…
0
1
…
…
则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线
C．图象经过第三、第四象限 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】先根据表格中y值相等的对应点求出二次函数对称轴，再用待定系数法求出解析式，结合二次函数性质逐一判断选项，找出错误结论．
【详解】解：∵和时，的值都为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项B结论正确，不符合要求；
∴抛物线的顶点坐标为，
设二次函数解析式为，将，代入得：
，解得，
∵，
∴图象开口向下，选项A结论正确，不符合要求；
∵二次函数解析式为，函数的最大值为，即所有点的纵坐标都小于0，
∴图象经过第三、四象限，选项C结论正确，不符合要求；
∵图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
又∵满足，
∴当时，随的增大而减小，选项D结论错误，符合要求．
18．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴．
19．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】y=ax²的图象和性质、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系．
【详解】抛物线、开口向上，
且抛物线的开口更窄，
，
抛物线、开口向下，
且抛物线的开口更窄，
，
．
故选：．
20．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）若点是抛物线上的两个点，则_____
【答案】
【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，求出抛物线的对称轴是解题的关键．根据二次函数的对称性即可确定抛物线对称轴，根据对称轴方程即可求出b的值．
【详解】解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线，
，
，
故答案为：．
21．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______．
【答案】或
【知识点】根据交点确定不等式的解集
【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵直线过点且平行于轴，
∴直线，
∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即，
∴或，
故答案为：或．
22．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③ ．其中，错误的结论是________（只填序号）．
【答案】③
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号，即可得到的符号；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③求出二次函数的最值，进行判断即可．
【详解】解：∵由图可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴故①正确，不符合题意；
∵由图可知抛物线与轴有两个交点，
∴，即，
∴故②正确，不符合题意；
∵由图可知，当时，有最大值，
可以将看成，即当时，有最大值，
将 看成 ，即当时，其值不是最大值，
∴，
，
即．
∴故③错误，符合题意．
故答案为：③．
23．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ________．
【答案】
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据二次函数，当时，随着的增大而减小，可以得到，然后求解即可．
【详解】解：二次函数，
∴开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
当时，随着的增大而减小，
，
解得，
故答案为：．
24．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的大致图象如图所示．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有________________．（只填写序号）
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线的开口向下即可得出，再根据抛物线的对称轴在和之间即可得出，②正确；②由可得出，再根据抛物线与y轴交于y轴负半轴可得出，由此即可得出，①错误；③将代入抛物线解析式中，整理后可得出，③正确；④根据抛物线的对称轴可得出，再由当时y＞0即可得出，进而即可得出，④正确．综上即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴．
∵抛物线的对称轴，
∴，即，②成立；
∵，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴，
∴，①错误；
∵，
∴，
∴，
整理得：，③成立；
∵抛物线的对称轴，
∴，
∵当时，，
∴，即，④正确．
综上可知正确的结论为②③④．
故答案为：②③④．
25．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表：
0
1
2
0
0
则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小．
【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线，
∵当时，，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大，
∵，，，
∴．
故答案为：．
26．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ____________．
【答案】，
【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：．
∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：．
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为．
即或2时，．
∴一元二次方程的解为，．
故答案为：，．
27．（2024·四川广元·二模）二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是_________．
【答案】②③④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①④；由时及抛物线的对称性可判断②；由时与时值相等，及与的数量关系可判断③．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
由图可知时，，
时，，②正确．
∵把 分别代入，
∴
∵
∴
∴，故④正确
∵对称轴为，
故时，与时所对应的函数值是相等的；
，
∵
∴，故③正确．
故答案为：②③④．
28．（21-22九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______．
【答案】或
【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题
【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解．
【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，
如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点，
当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，
综上所述，t的取值范围是或．
29．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知抛物线（m是常数）．
(1)若抛物线的顶点在直线上，求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的两个交点分别为，且，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数的性质：掌握二次函数的性质，韦达定理是解题的关键．
（1）依据题意，用m的式子表示顶点的横纵坐标，再代入上，进而可以得解；
（2）依据题意，令y＝0，从而求出，，又，从而可以得解；
【详解】（1）解：由题意得，，
∴顶点为，
又顶点在直线上，
∴
∴，
∴抛物线的解析式．
（2）解：由题意，令，
∴，，
∴，
，
，
∴，符合题意．
30．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数．
(1)求函数图象与坐标轴的交点坐标．
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)与轴的交点坐标为，与轴的交点为，
(2)或
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及根据交点确定不等式的解集，熟记相关知识及求解方法即可；
（1）分别令、即可求解；
（2）根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解；
【详解】（1）解：∴令，则；
∴与轴的交点坐标为，
令，解得：，，
与轴的交点为，．
（2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，．
∴当时，的取值范围是或．
31．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数．
(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)当时，请直接写出的取值范围__________．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质．
（1）根据顶点式即可求解；
（2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：∵，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，函数最小值为，
∵
∴y的取值上界由处的函数值决定，
将代入，得，
∴当时，y的取值范围，
故答案为：．
32．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，求抛物线的最大值和最小值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当时，抛物线的最大值为，最小值为
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象的平移
【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减；
（2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴在上，随着的增大而减小，
当时，取得最大值，为，
当时，取得最小值，为；
故当时，抛物线的最大值为，最小值为．
33．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标为______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线；
x
…
…
y
…
…
(3)若该抛物线上，两点的横坐标满足，试比较与的大小．
(4)当时，则y的取值范围为______．
【答案】(1)直线；
(2)
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
2
3
2
…
(3)
(4)
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象
【分析】（1）根据解析式即可得到对称轴和顶点坐标；
（2）先列表，再画出对应的函数图象即可；
（3）根据解析式判断出函数的增减性即可得到答案；
（4）抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此结合x的取值范围求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是；
（2）略
（3）解：∵抛物线的解析式为，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵该抛物线上，两点的横坐标满足，
∴；
（4）解：∵抛物线的解析式为，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴在满足的条件下，当时，y有最小值，最小值为，
又∵顶点的纵坐标为3，即y的最大值为3，
∴当时，．
34．（2026·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
…
…
…
…
(1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）；
①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大
(3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长．
【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求：
(2)①②③
(3)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象、二次函数图象的平移、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题
【分析】（1）先描点，再连线即可作图象；
（2）根据函数图象分析即可；
（3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确；
抛物线与轴有两个交点，故，②正确；
由图象可得，当时，有最小值为，③正确；
由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误，
∴正确的有①②③；
（3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为
将点代入得，，
解得
∴抛物线表达式为
∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为，
令，则
解得
∴抛物线与轴的交点为，
∴．
35．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)已知函数图象上有两点，且，请比较的大小关系．
【答案】(1)
(2)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象
【分析】（1）根据抛物线的开口方向、顶点坐标及与坐标轴的交点可得其函数图象；
（2）根据二次函数的图象解答．
【详解】（1）解：二次函数，
当时，，
当时，，解得：，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线，与轴交点为和，与轴交点为，画图略；
（2）解：观察函数图象可知，当时，y随x的增大而增大．
，
．
【考点3】待定系数法与图象平移（第36-41题）
· 已知三点设一般式、已知顶点设顶点式、已知x轴交点设交点式
· 平移规律：左加右减（对x）、上加下减（对整体），按顶点坐标变化判断
· 图象与一次函数综合时，先求交点坐标再联立求解
36．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．
【答案】/
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故答案为：．
37．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为
(2)或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质．
（1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【详解】（1）把代入得：
，
解得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当时，或，
∴当时，x的取值范围是或．
38．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过
(1)求抛物线的解析式；
(2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____．
【答案】(1)
(2)向右平移个单位，再向上平移个单位
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移
【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键：
（1）待定系数法求函数解析式，即可；
（2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可．
【详解】（1）解：把代入得：
，解得，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵平移后的顶点移动到点，，；
故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位．
39．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)，或；
(3)
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得，解得，
把代入中得，解得；
（2）解：联立，解得或，
∴，
∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（3）∵，
∴二次函数开口向上
∴二次函数的最小值为，
观察图象，若P的个数为2，则．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键．
40．（2022·浙江温州·三模）如图，已知抛物线L：经过点，．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线L：经过点，，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：根据题意，得，
由抛物线L向右平移个单位得到抛物线，
故平移后抛物线的解析式为，
P是抛物线上一点，横坐标为，
，
故，
由轴，，
则，，
解得，，
故，
在抛物线上，
，
整理，得，
解得，
由，故舍去，
故．
41．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将线段绕点P旋转，得到线段，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据旋转的性质求解，的图象与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分点Q在直线l左侧，点Q在直线l的右侧，点Q在抛物线顶点三种情况讨论，分别求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：由题意可知：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：当点Q在直线l左侧时，如图1，
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴对称轴为直线，
∵将线段绕点P旋转，得到线段，
∴，，
∴C与Q关于直线l对称，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点Q在直线l的右侧时，如图2，
过点Q作于F，于E，
由旋转知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴点Q的坐标为，
代入中，
解得∶或（舍去），
∴Q的坐标为，
当点Q在抛物线顶点时，如图3，
将线段绕点P旋转，得到线段，点C坐标为，
假设P点纵坐标与C点相同，
∵P点坐标为，
∴，
∵，，此时三角形为等腰直角三角形，
∴，Q点坐标为，
∴Q点在抛物线的顶点坐标处．
综上，点Q的坐标为或或．
【考点4】二次函数实际应用（第42-52题）
· 利润=单件利润×销量，配方求最大值，注意售价取值范围
· 拱桥、投球问题建系后设顶点式，代入已知点求解析式
· 最值在顶点或端点处取得，须结合自变量实际范围判断
42．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过的时间（秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键．令，求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴当时，即：，解得：或，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是；
故选：B．
43．（2026·河南驻马店·二模）如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】令，求出点B的坐标，可得到点A的坐标，即可求解．
【详解】解：对于，
当时，，
解得：，
∴点，
∵水流是关于轴对称的两条抛物线，
∴点A，B关于y轴对称，
∴点，
∴．
44．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可．
【详解】根据题意得 ，
抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为．
45．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ）
A．图1解析式： B．图2解析式：
C． D．
【答案】C
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】运用待定系数法求解即可判断A，B选项，把分别代入两个解析式，进而求得的长，进而判断C，D选项，即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确，
由题意得，，，
设解析式为：，
代入得：，
解得：，
，故B正确，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，故C错误
把代入得：，
解得：，
∴
∴，故D正确
46．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域）
【答案】
【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)、函数解析式
【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
47．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________．
【答案】
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
因为，所以抛物线的顶点坐标为，
得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案．
【详解】解： ，
抛物线的顶点坐标为，
当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，
故答案为：．
48．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______．
【答案】
【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方．
【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元，
故．
故答案为：．
49．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为______．
【答案】或
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解题关键．将，代入求解即可．
【详解】解：将，代入，得：，
解得：，．
故答案为：或．
50．（2024·四川达州·一模）某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为______米．
【答案】
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解．
【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，
∵，
∴，
∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.5米，
∴，代入解析式得，
∴，
∵，
∴，
设，代入解析式得，
，
∴，即点C到的距离为米，
故答案为：．
51．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是___________．
【答案】
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可．
【详解】
由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为
对于抛物线，当时，，当时，，
当时，解得或5，
∴点P在台阶I上，落点的坐标是
故答案为：．
52．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为______．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查实际问题与二次函数，勾股定理；根据题意，把代入，计算得到中间大桥洞的宽度，再根据勾股定理得到，计算即可求出．
【详解】解：根据题意，
当，代入，
得
∴中间大桥洞最高点对应的值为
把代入，
解得：，
则中间大桥洞的宽度为，
设大圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆心到弦的距离为
∴
∴
解得：
综上，大圆弧所在圆的半径为
故答案为：．
💯 课后巩固
💡 复习建议
· 判断二次函数先看二次项系数是否为0、最高次是否为2
· 图象性质题先求对称轴和顶点，再按开口方向判断增减
· 求解析式按已知条件选一般式/顶点式/交点式，不要死设一般式
· 实际应用题先建系或写利润公式，再配方求最值
· 平移题抓住顶点坐标变化，左加右减上加下减
【作业1】．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的定义，将二次函数化为一般式，从而得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
函数是关于的二次函数，
，
，
故选：C．
【作业2】．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知是二次函数，则（ ）
A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零
【答案】A
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数需满足最高次项（二次项）的系数不为零，即 ．
【详解】解：∵是二次函数，
∴ ，
故选：A．
【作业3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为，
∴二次函数有最大值．
【作业4】．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1
【答案】A
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键．
根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解．
【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，，
答案：A．
【作业5】．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义等知识．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义是解题的关键．
由题意知，，令，则，由二次函数的图象与轴有公共点，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
令，则，
∵二次函数的图象与轴有公共点，
∴，
解得，，
∴的取值范围是且，
故选：D．
【作业6】．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．若，则小球的最大速度为
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度是
D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
【答案】C
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可．
【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意，
B、由图象，抛物线的对称轴为直线，
∴的对称点为，
假设抛物线的解析式为，
将代入解析式得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，函数值最大，最大值为，
∴若，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项错误，不符合题意；
C、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，该选项正确，符合题意；
D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即，
由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等，
∴时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意．
故选：C．
【作业7】．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数，则二次项系数____，一次项系数___．
【答案】 3 -5
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解：二次函数的二次项系数，一次项系数，
故答案为：3；-5．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
【作业8】．（23-24九年级上·上海松江·期末）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______．
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解．
【详解】由题意得：，
故答案为：．
【作业9】．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为_____．
【答案】
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解．
【详解】解：函数是二次函数，
，，
解得：或，
解得：，
，
故答案为：．
【作业10】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的顶点坐标是______．
【答案】
【知识点】y=ax²+k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键熟练掌握其图象与性质．
根据二次函数的顶点坐标为直接求解即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是，
故答案为：．
【作业11】．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________．
【答案】
4
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间．
【详解】解：，
∵，
∴当，即时，有最大值，最大值为18，
∴从点火升空到引爆需要的时间为．
【作业12】．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________．
【答案】3
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】求出点A、B、C的坐标得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：在中，当时，，则，
∴；
当时，，解得或，
∴，
∴，
∴．
【作业13】．（2024·浙江舟山·模拟预测）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________．
【答案】
【知识点】列二次函数关系式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式．
【详解】解：如图，连接，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
等边的边长为1，，
，
，
∴，
故答案为：．
【作业14】．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示：
...
...
...
...
下列说法正确的是__________．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上；
③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是．
【答案】①②③
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质，结合表格中的数据逐一分析即可．
【详解】解析：∵当或时，函数值相等，
抛物线的对称轴为直线 ，①正确．
②当时的函数值大于当时的函数值，
当时的函数值是该函数的最小值，
函数图象开口向上，②正确．
③由①②得：当时，随的增大而增大，
③显然正确．
④当时，的取值范围为或，
④不正确．
综上所述， 正确的是①②③．
【作业15】．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为___________．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）设直线的解析式为，
∵，点，
∴，解得：
∴直线的解析式为，
设过点C且与直线平行的直线解析式为，
当直线与抛物线有唯一的公共点，
则点C到的距离最大，
∴面积最大，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∴过点C且与直线平行的直线解析式为，
∴，解得：，
∴．
作轴交于点D，
则点的横坐标为，
又点在直线上，
∴，
∴点D的坐标为，
∴此时的面积．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
【作业16】．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线．
(1)判断点是否在此抛物线上．
(2)求此抛物线与轴的交点坐标．
【答案】(1)点不在此抛物线上
(2)
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质．
（1）把代入解析式求的值即可判断；
（2）把代入解析式求的值即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴点不在此抛物线上；
（2）当时，，
∴此抛物线与轴的交点坐标为．
【作业17】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）用公式法求二次函数的对称轴和顶点坐标．
【答案】直线，顶点坐标为
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确对称轴公式x和顶点坐标公式．
根据对称轴公式x和顶点坐标公式计算即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线，
即顶点的横坐标为1，纵坐标为：，
由上可得二次函数的对称轴是直线，顶点坐标为．
【作业18】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)在如图的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象；
(3)写出当x在什么范围内，y随x的增大而减小．
【答案】(1)直线，
(2)
画图如下：
；
(3)
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象
【分析】本题考查利用五点法画二次函数解析式，利用公式法求对称轴和顶点坐标，判断函数增减性时自变量取值范围等．
（1）根据题意利用对称轴和顶点坐标公式代入即可求出本题答案；
（2）利用五点法列表描点即可画出图象；
（3）通过图象即可得出本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴对称轴为：直线，顶点坐标公式为，
∴顶点坐标：，
故答案为：直线，；
（2）解：∵，
∴列表：
0
1
2
3
2
3
2
（3）解：根据图象可知，当时，y随x的增大而减小．
1
2
1
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章节复习一：二次函数 优等生讲义
（知识梳理典例练习）2026年浙教版九年级数学上册
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 理解二次函数概念，会根据定义求字母系数取值范围
· 掌握二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与性质，会求开口、顶点、对称轴
· 会用待定系数法求二次函数解析式，理解图象平移规律
· 能解决投球、拱桥、利润等实际问题中的二次函数最值
· 会求抛物线与坐标轴交点，能由图象判断系数符号
📚 知识梳理
☆ 1.二次函数的概念
· 形如 y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，a为二次项系数
· 由定义求参数时，须同时满足二次项系数≠0且最高次为2
· 列实际问题关系式时，先找等量关系再写成 y=ax²+bx+c 形式
概念辨析例题：y=(m-1)xm^2+3x-1 是二次函数，求m
答案：m=-1
解析：须 m^2=2 且 m-1≠0，m=±√2 时 m^2=2 不成立；按 m^2=2 不整，按 m^2=2 整数解 m=-1（m=1舍去）
☆ 2.二次函数的图象与性质
· 开口由a定：a>0向上，a<0向下；|a|越大开口越小
· 顶点坐标 ( -b/2a, 4ac-b^2/4a )，对称轴 x=-b/2a
· 增减性：a>0时左减右增；a<0时左增右减
· 抛物线与y轴交于(0,c)，与x轴交点即方程 ax²+bx+c=0 的根
概念辨析例题：y=x²-4x+3 的顶点坐标
答案：(2,-1)
解析：x=-b/2a=2，y=4-8+3=-1，顶点(2,-1)
☆ 3.待定系数法与图象平移
· 已知三点设一般式 y=ax²+bx+c；已知顶点设顶点式 y=a(x-h)²+k
· 已知与x轴两交点设交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂)
· 平移规律：左加右减（针对x）、上加下减（针对整体）
概念辨析例题：抛物线过(0,-3),(2,5),对称轴x=1，求解析式
答案：y=x²-2x-3
解析：设 y=a(x-1)²+k，代入两点解出 a=1,k=-4，展开得 y=x²-2x-3
☆ 4.二次函数实际应用
· 利润问题：利润=(单件售价-单件成本)×销量，配方求最大利润
· 拱桥/投球问题：建系后设顶点式，代入已知点求解析式
· 最值在顶点处或端点处取，须结合自变量取值范围判断
概念辨析例题：商品涨价x元，每件利润(x+10)元，销量(50-5x)件，求最大利润
答案：当x=0时利润最大500元
解析：利润 w=(x+10)(50-5x)=-5x²+250，x=0时w=500最大
📋 知识总结表
项目
公式/结论
说明
对称轴
x=-b/2a
顶点横坐标
顶点纵坐标
4ac-b^2/4a
最值
与y轴交点
(0,c)
c为常数项
与x轴交点
解方程ax²+bx+c=0
Δ>0两交点
平移
左加右减、上加下减
针对x与整体
开口
a>0向上 a<0向下
|a|越大开口越小
⚠️ 核心考点
【考点1】二次函数的概念与列关系式（第1-12题）
· 由定义求参数：二次项系数≠0且最高次指数=2，列不等式与方程
· 列实际问题关系式：先写等量关系再整理为 y=ax²+bx+c
· 识别a、b、c：按降幂排列后对应读出二次项、一次项系数与常数项
1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）二次函数的一次项系数是（ ）
A． B．6 C． D．
4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
5．（23-24九年级下·四川达州·阶段检测）标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为________．
6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为______．
7．（25-26九年级上·全国·课堂例题）若函数是关于x的二次函数，求m的值．
8．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．
9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
10．（24-25九年级上·陕西延安·阶段检测）已知是关于x的二次函数．
(1)若函数图象有最低点，求k的值；
(2)判断点是否在（1）中的函数图象上．
11．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？
12．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．
【考点2】二次函数图象与性质（第13-35题）
· 由a、b、c符号判断开口、对称轴位置、与y轴交点位置
· 顶点与对称轴用 x=-b/2a、y=4ac-b^2/4a 计算
· 抛物线上对称两点关于对称轴对称，可由两点横坐标求对称轴
· 由图象判断 abc、b²-4ac、2a+b 等符号时结合特殊点代入
13．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
14．（21-22九年级下·浙江温州·开学考试）抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·陕西·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
16．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
17．（2026·山西临汾·一模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表：
…
0
1
…
…
则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线
C．图象经过第三、第四象限 D．当时，随的增大而增大
18．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25九年级上·福建泉州·阶段检测）四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
20．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）若点是抛物线上的两个点，则_____
21．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______．
22．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③ ．其中，错误的结论是________（只填序号）．
23．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小，则m的取值范围为 ________．
24．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的大致图象如图所示．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的有________________．（只填写序号）
25．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）二次函数的部分对应值如下表：
0
1
2
0
0
则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）．
26．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ____________．
27．（2024·四川广元·二模）二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是_________．
28．（21-22九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______．
29．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知抛物线（m是常数）．
(1)若抛物线的顶点在直线上，求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的两个交点分别为，且，求m的值．
30．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数．
(1)求函数图象与坐标轴的交点坐标．
(2)当时，直接写出的取值范围．
31．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数．
(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)当时，请直接写出的取值范围__________．
32．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，求抛物线的最大值和最小值．
33．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标为______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点画出该抛物线；
x
…
…
y
…
…
(3)若该抛物线上，两点的横坐标满足，试比较与的大小．
(4)当时，则y的取值范围为______．
34．（2026·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
…
…
…
…
(1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）；
①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大
(3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长．
35．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数．
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(2)已知函数图象上有两点，且，请比较的大小关系．
【考点3】待定系数法与图象平移（第36-41题）
· 已知三点设一般式、已知顶点设顶点式、已知x轴交点设交点式
· 平移规律：左加右减（对x）、上加下减（对整体），按顶点坐标变化判断
· 图象与一次函数综合时，先求交点坐标再联立求解
36．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．
37．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围．
38．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过
(1)求抛物线的解析式；
(2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____．
39．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围．
40．（2022·浙江温州·三模）如图，已知抛物线L：经过点，．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值．
41．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将线段绕点P旋转，得到线段，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，直接写出点Q的坐标．
【考点4】二次函数实际应用（第42-52题）
· 利润=单件利润×销量，配方求最大值，注意售价取值范围
· 拱桥、投球问题建系后设顶点式，代入已知点求解析式
· 最值在顶点或端点处取得，须结合自变量实际范围判断
42．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过的时间（秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A． B． C． D．
43．（2026·河南驻马店·二模）如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
44．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
45．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示：
方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，．
方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．
根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ）
A．图1解析式： B．图2解析式：
C． D．
46．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域）
47．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________．
48．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______．
49．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为______．
50．（2024·四川达州·一模）某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为______米．
51．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是___________．
52．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为______．
💯 课后巩固
💡 复习建议
· 判断二次函数先看二次项系数是否为0、最高次是否为2
· 图象性质题先求对称轴和顶点，再按开口方向判断增减
· 求解析式按已知条件选一般式/顶点式/交点式，不要死设一般式
· 实际应用题先建系或写利润公式，再配方求最值
· 平移题抓住顶点坐标变化，左加右减上加下减
【作业1】．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【作业2】．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知是二次函数，则（ ）
A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零
【作业3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2
【作业4】．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1
【作业5】．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【作业6】．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．若，则小球的最大速度为
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度是
D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
【作业7】．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数，则二次项系数____，一次项系数___．
【作业8】．（23-24九年级上·上海松江·期末）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______．
【作业9】．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为_____．
【作业10】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的顶点坐标是______．
【作业11】．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________．
【作业12】．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________．
【作业13】．（2024·浙江舟山·模拟预测）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________．
【作业14】．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示：
...
...
...
...
下列说法正确的是__________．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线；②函数图像开口向上；
③当时，随的增大而增大；④当时，的取值范围是．
【作业15】．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为___________．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________．
【作业16】．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线．
(1)判断点是否在此抛物线上．
(2)求此抛物线与轴的交点坐标．
【作业17】．（25-26九年级上·浙江·课后作业）用公式法求二次函数的对称轴和顶点坐标．
【作业18】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)在如图的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象；
(3)写出当x在什么范围内，y随x的增大而减小．
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