第02讲 二次函数的图象和性质2 复习讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第02讲 二次函数的图象和性质2 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1.学习顶点式的概念，掌握把一般式化为顶点式的方法； 2.由之前探索的各种特殊形式的二次函数的图象和性质，拓展到一般式形式的二次函数的图象性质； 3.学习待定系数法求函数解析式的方法，能灵活选用合适的解析式形式. ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 二次函数的顶点式 考点卡片 1.配方： ①提取二次项系数； ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方； ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项; ④化简：去掉中括号. 2.结论：二次函数通过配方成可以化成顶点式，由此得到二次函数对称轴为，顶点坐标为． 典例分析 1. 用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 2. 将抛物线向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线，则原抛物线的顶点坐标是__________ 3. 求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值． 4. 已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 考点二 y=ax²+bx+c的图象和性质 考点卡片 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 最值 当时， 当时，= 增减性 时，y随x增大而减小. 时，y随x增大而增大. 时，y随x增大而增大. 时，y随x增大而减小. 开口大小 越大，开口越小 典例分析 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与y轴的交点为 6. 对二次函数y＝x2＋2x＋3的性质描述正确的是（    ） A．该函数图象的对称轴在y轴左侧 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．函数图象开口朝下 D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴 7. 已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是  (　　) A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 8. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B．C． D． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④．正确结论的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 11. 二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________；二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________． 12. 已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 13. 当时，二次函数的最小值为15，则的值为_______ 14. 已知抛物线的对称轴为，且过点，求m、n的值． 15. 对于二次函数： (1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ (2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标； (3)当x取何值时，y随着x的增大而减小． 考点三 待定系数法求函数解析式 考点卡片 知识点1 二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－m）2＋k（a、m、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 知识点2 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（m，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－m）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 典例分析 16. 用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)二次函数的图象经过点，，． (2)二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点． (3)二次函数的图象与x轴的交点为，，且经过点． 17. 已知二次函数的图象经过点（－1，－5），（0，－4）和（1，1）.求这个二次函数的解析式. 18. 已知是关于的二次函数，与的对应值如下表所示： 的值 的值 (1)求关于的二次函数表达式． (2)求出表中的值． 19. 已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式． 20. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 21. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴． 22. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式． 23. 已知抛物线与x轴交于点，对称轴是直线，且过点，求抛物线的解析式． 24. 已知一次函数与二次函数的图像都过点，二次函数的对称轴是直线，请求出一次函数和二次函数的解析式． ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2. 抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定为（　　） A．0 B．6 C． D． 3. 对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．对称轴为直线 B．一定经过点 C．当时，y随x增大而增大 D．当，时，． 4. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 5. 若抛物线（）经过，两点，则抛物线的对称轴为（    ） A． B． C． D． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 8. 已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10. 二次函数的图象开口向_______，顶点坐标_______，当时y的取值范围的是_______． 11. 若二次函数的图象经过原点，则m的值为________． 12. 抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则________， ________． 13. 已知二次函数、且有、则、按从大到小的顺序排列为________． 14. 已知二次函数，当时，函数的最大值为______． 15. 已知，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为 _____． 16. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是_____米． 17. 根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)其图象经过，，三点； (2)其图象顶点为，且经过． 18. 已知抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值的范围． 19. 已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 20. 已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出图象与轴的交点、的坐标； (3)为何值时，； (4)当________时，随的增大而减少． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 22. 已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 学科网（北京）股份有限公司 $年 浙教版九年级上册预习讲义（数学）》 级 第02讲二次函数的图象和性质2 模块 课程目标 ☆课程目标☆ 1,学习顶点式的概念，掌握把一般式化为顶点式的方法； 2由之前探索的各种特殊形式的二次函数的图象和性质，拓展到一般式形式的二次函数的图象性质； 3.学习待定系数法求函数解析式的方法，能灵活选用合适的解析式形式 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 考点一二次函数的顶点式 一般式化顶点式的步骤 内容导 考点二二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 开口方向、开口大小、增减性、对称性和最值等 二次函数的一般式、顶点式和交点式 考点三待定系数法求函数解析式 待定系数法的步骤 模块三 考点剖析 ☆考点剖析☆ 考点一二次函数的顶点式 考点卡片 1.配方： y=ax2+bx+c(a≠0) =a(r+总x+周 a) ①提取二次项系数； =+x+份-（份+ ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方； =a+ 4a2 ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项： ttac-bz =a(r+)}2 4a ④化简：去掉中括号 2结论：二次画数y=a2+br+ca≠0)道过配方成可以化成项点式y=a(x++如， 由此得到二 4a 次西载对称轴为x=一品顶点坐标为（一品产）， 2a1 典例分析 1.用配方法将二次函数y=x2+8x-9化为y=x-在)》+k的形式为(） A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-25 【答案】D 【详解】解：y=x2+8x-9=x2+8x+16-9-16=(x+4)2-25: 故选D. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 2.将抛物线y=Qx2+bx+c(a≠0)向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y=-2x2-4x+ 5,则原抛物线的顶点坐标是 【答案】(3,10) 【详解】新抛物线为y=-2x2-4x+5=-2(x2+2x)+5=-2(x2+2x+1)+5+2=-2(x+1)2+7; ∴.原抛物线为y=-2(x+1-4)2+7+3=-2(x-3)2+10; .原抛物线的顶点坐标为(3,10)， 故答案为：(3,10). 3.求二次函数y=2x2+8x-6的对称轴、顶点坐标和最值. 【答案】对称轴x=-2,顶点坐标(-2，-14)，最小值为-14 【详解】解：×y=2x2+8x-6=2(x+2)2-14, 对称轴为直线x=一2，顶点坐标为(-2，-14)， 又：a=2>0,“该二次函数有最小值，最小值为-14. 4.已知二次函数y=x2-4x+3. (1)用配方法将其化为y=a(x-m)2+k的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标. 【答案】(1)y=(x-2)2-1；(2)抛物线与x轴的交点是(1,0)，(3,0)，与y轴交点是(0,3) 【详解】(1)解：y=x2-4x+3 =(x2-4x+4)-1 =(x-2)2-1: (2)解：当y=0时，x2-4x+3=0,解得：x1=3,x2=1: 当x=0时，y=3, 故抛物线与x轴的交点是(1,0)，(3,0)，与y轴交点是(0,3) 考，点二y=ax2+bx+c的图象和性质 考点卡片 a>0 a<0 b 2a y=ax2+bx+c (a>0) 图象 0 y=ax2+bx+c x=-2a (a<0) 开口方向 向上 向下 对称轴 b x=-2a 顶点坐标 b 4ac-b2 （-2a4a 最值 当X= 时，y最小 .4ac-b2 2 4a 当x=一 会时，y绿大=a。四 4a x<-2时，y随×增大而减小 x<-时，y随x增大而增大 增减性 2a 2a x>- 时，y随义增大而增大 2a x>- 时，y随x增大而减小 开口大小 la叫越大，开口越小 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 典例分析 5.对于二次函数y=x2-2x+3的图象，下列说法正确的是() A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1 C.顶，点坐标是(1,2) D.与y轴的交点为(0,2) 【答案】C 【详解】解：a=1>0,二次函数的图象开口向上，故A错误； y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴对称轴是直线x=1,故B错误； 顶点坐标为(1,2)，故C正确； 令x=0,则y=3,.与y轴的交点为(0,3)，故D错误 故选：C 6.对二次函数y=x+2x+3的性质描述正确的是() A.该函数图象的对称轴在y轴左侧B.当x<0时，y随x的增大而减小 C.函数图象开口朝下 D.该函数图象与y轴的交，点位于y轴负半轴 【答案】A 【详解】解：A、y=+2x+3对称轴为x=-2,在y轴左侧，故A符合题意； B、因y=+2x+3对称轴为x=-2,x<-2时y随x的增大而减小，故B不符合题意； Ca=分0，开口向上，故C不符合题意； D、x=0时y=3,即与y轴交，点为(0,3)在y轴正半轴，故D不符合题意； 故选：A. 7.已知二次函数y=-x+2x,当-1<x<a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是() A.a>1 B.-1<a≤1 C.d>0 D.-1<a<2 【答案】B 【详解】试题解析：由题可知，二次函数开口向下，对称轴为x=1,所以在对称轴的左侧，y随x的增 大而增大，那么a≤1，又a>-1，所以取值范围是-1<a≤1. 故本题应选B. 8.已知抛物线y=ax2-2ax+b(a<0)的图象上三个点的坐标分别为A(3y1),B(V2y2),C(-y3),则y1, y2,y3的大小关系为() A.y3<y1<y2B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2D.y1<y2<y3 【答案】A 【详解】解：y=ax2-2ax+b(a<0), 六二次函数的开口向下，对称轴是直线x三-密=1， x>1时，y随x的增大而减小， C点关于直线x=1的对称点是D(y3), 2<3<y<yh<y, 故选：A. 9.二次函数y=ax2+4x+a与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( 22 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】D =2 【详解】解：对称轴为直线x=-生 a>0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点(0，a),一次函数y=ax+a经过第 一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点(0，a), a<0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于，点(0，a),一次函数y=ax+a经过第 二、三、四象限，与y轴正半轴的交于，点(0，a) 故选：D. 10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c<0;②a-b+c>1;③ abc>0;④4a-2b+c<0.正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：根据函数图象，当x1时，a+b+c<0,①正确； 当-1时，y=a-b+c>1,②正确； 抛物线的对称轴为直线x-1,根据对称性可知，当x-2时，y=4a一2b+c>0,④错误； 抛物线开口向下，a<0,对称轴在y轴左侧，a、b同号，b<0,抛物线与y轴交点在正半轴，c>0,所 以，abc>0,③正确； 故选：C 11.二次函数y=2x2-5x+2的对称轴为 顶，点坐标为 -；二次函数y=x-2+2x 的对称轴为 一，顶点坐标为 【答案】 直线x= -) 直线x=-5 (-) 【详解】解：y=22-5x+2的对称轴为直线x=-品=号预点坐标为（得 -55 2即6.0 同理，y=x-2+2的对称轴为直线x=-顶点坐标为(-后，-韵)， 故答案为：直线x=是（仔，-），直线x=-昌（后，-） 12.已知抛物线y=x2-4x+1,当1≤x≤4时，函数值y的取值范围是 【答案】-3≤y≤1 【详解】解：y=x2-4x+1=(x-2)2-3, ∴抛物线的顶点坐标为(2，一3)，开口向上， ∴.当x=2时有最小值是-3： 当x=1时，y=-2, 当x=4时，y=1, ∴当1≤x≤4时，函数值y的取值范围为-3≤y≤1. 13.当a-2≤x≤a时，二次函数y=x2-4x+3的最小值为15，则a的值为 【答案】-2或8 【详解】解：当y=15时，有x2-4x+3=15, 解得：x1=-2,x2=6. 当a-2≤x≤a时，函数有最小值15， a-2=6或a=-2, a=8或a=-2, 故选：-2或8. 23 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 14.已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-3,且过点(0,4)，求m、n的值 【答案】m=-6,n=-4 【详解】解：由题意得=-3，解得m=-6, 把(0,4)代入得，-n=4,解得：n=-4. 15.对于二次函数y=-2x2+8x-8: (1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ (2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标； (3)当x取何值时，y随着x的增大而减小 【答案】(1)开口向下、对称轴为直线x=2、顶点坐标为(2,0)，函数有最大值，最大值为0 2)(2,0)、(0,-8)；3)x>2 【详解】(1)解：y=-2x2+8x-8=-2(x-2)2,-2<0, ∴函数图像开口向下，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,0)， 当x=2时，函数有最大值，最大值为0： (2)把y=0代入解析式，得x=2, ∴.与x轴交于(2,0)： 把x=0代入解析式，得y=-8, ∴.与y轴交于(0，-8)： (3)图像开口向下， ∴在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， 即x>2时，y随着x的增大而减小. 考点三待定系数法求函数解析式 考点卡片 知识点1二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)方 2.顶点式：y=a(×-m)2+k(a、m、k为常数，且a≠0)月 3.交，点式：y=a(x-×)(×-x)(x、x2为抛物线与×轴交点的横坐标，a≠0) 知识点2待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得 到函数表达式 1.二次函数一般式y=ax+bx+c(a≠0)中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若 有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数， 就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解。 2.当已知抛物线的顶，点坐标（m,k)或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y=a(x-m)2 +k. 3.当已知抛物线与x轴交，点坐标时，通常设函数表达式为y=。(x-x)(×-x),其中×、x为抛物线与× 轴交点的横坐标 典例分析 16.用待定系数法求下列二次函数的解析式： (1)二次函数的图象经过点A(1,-7),B(0,-2),C(-2,14) (2)二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2)，且经过点(1，-3)， (3)二次函数的图象与×轴的交点为(1,0)，(3,0)，且经过点(5,5) 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】(1y=x2-6x-2;(2y=-5(x+1)2+2;3y=x-10(x-3) 【详解】(1)解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 把A,B,C三点的坐标分别代入解析式， a+b+c=-7 (a=1 得 c=-2 ,解得b=-6. (4a-2b+c=14(c=-2 故二次函数的解析式为y=x2-6x-2. (2)解：设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2. 把(1，-3)代入解析式，得-3=a(1+1)2+2 解得a=-是 故二次函数的解析式为y=-5(x+1)2+2. (3)解：设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3) 把(5,5)代入解析式，得5=a(5-1)5-3): 解得a=哥 故二次函数的解析式为y=(x-1)(x-3) 17.已知二次函数的图象经过点（-1，-5)，(0，-4)和(1,1).求这个二次函数的解析式 【答案】y=2x2+3x-4 【详解】 设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c, 把(-1，-5)，(0，-4)，(1,1)分别代入， -5=a-b+c (a=2, 得 -4=C, 解这个方程组，得{b=3, 1=a+b+c. c=-4 所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4 18.已知y是关于x的二次函数y=ax2+bx+c,x与y的对应值如下表所示： x的值 -1 035 y的值 0 30m (1)求y关于x的二次函数表达式 (2)求出表中m的值. 【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)-12 【详解】(1)解：设y关于x的二次函数解析式为y=ax2+bx+c, 由表格得点(-1,0)，(0,3)，(3,0)在抛物线上， a-b+c=0 (a=-1 将三点代入抛物线得 c=3,解得{b=2, (9a+3b+c=0（c=3 ·y关于x的二次函数表达式为y=-x2+2x+3； (2)当x=5时，y=-1×25+2×5+3=-12, ÷m=-12. 19.已知二次函数的图象顶点是（一2,3），且过，点（一1,5），求这个二次函数的解析式. 【答案】y=2x2+8x+11 【详解】设二次函数解析式为y=a(x-乃)2+k,图象顶点是(-2,3)， .=-2,k=3, 依题意得：5=a(-1+2)2+3, 解得a=2, ∴y=2(x+2)2+3=2x2+8x+11. 20.已知二次函数的图象经过，点(1，-1)，且顶点坐标为(2，-3)，求此二次函数的解析式. 25 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】y=2(x-2)2-3 【详解】解；二次函数解析式为y=α(x-2)2-3, 把(1，-1)代入y=a(x-2)2-3中得：-1=a(1-2)2-3,解得a=2, .二次函数解析式为y=2(x-2)2-3. 21.将二次函数y=x2一4x+3的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线， 写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴。 【答案】y=x2+4x+5,对称轴为直线x=-2 【详解】解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1 :二次函数y=x2-4x+3的图象向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴新抛物线的表达式为y=(x-2+4)2-1+2=x2+4x+5, 新抛物线的对称轴为直线x=-4=-2. 22.将抛物线y=2x2-4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式 【答案】y=2x2+8x+5 【详解】解：y=2x2-4x+1=2x2-2x+1)-1=2(x-1)2-1, 将其向左平移3个单位得到： y=2(x-1+3)2-1=2(x+2)2-1, 再将y=2(x+2)2-1向下平移2个单位得到： y=2(x+2)2-1-2=2(x+2)2-3=2x2+8x+5. 23.已知抛物线与x轴交于点A(-3,0),对称轴是直线x=-1,且过点(2,4)，求抛物线的解析式. 【答案】y=x2+x-号 5 【详解】解：抛物线与x轴交于点A(-3,0),对称轴是x=-1 “抛物线与×轴的另一个交点是(1,0) ∴设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0) 把(2,4)代入解析式中，得4=a(2+3)(2-1)解得a= “抛物线解析式为y=x+3)(x-1)即y=x2+8x- 5 24.已知一次函数y=-2x+c与二次函数y=Qx2+bx-4的图像都过点A(1,-1),二次函数的对称轴是直 线x=-1,请求出一次函数和二次函数的解析式 【答案】一次函数解析式为y=-2x+1,二次函数的解析式为y=x2+2x-4 【详解】把A1,-1)代入y=-2x+c得-1=-2+c,解得c=1, ∴.一次函数解析式为y=-2x+1; 把，点A(1,-1)代入二次函数y=ax2+bx-4,得 a+b-4=-1 二次函数y=ar2+bx-4的对称轴是直线x=-1-品=-1 a+b-4=-1 解方程组 忘1释份 ∴.二次函数的解析式为y=x2+2x-4. 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1.将抛物线y=x2+4x-1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是() A.(-2,3) B.(-4,-2) C.(0,-2) D.(-2,-4) 【答案】B 【详解】解：抛物线y=x2+4x-1=(x+2)2一5向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 得到的抛物线为y=(x+2+2)2-5+3=(x+4)2-2, 即y=(x+4)2-2,顶点坐标为(-4，-2) 故选：B 26 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 2.抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上，则b的值一定为() A.0 B.6 C.-6 D.±6 【答案】D 【详解】解：抛物线y=x2-bx+9的顶，点在×轴上， ∴x2-bx+9=0只有一个解. ÷b2-4×1×9=0. b2=36. 即b=士6. 故选：D 3.对于二次函数y=ax2-2ax+3(a≠0)，下列说法错误的是(） A.对称轴为直线x=1 B.一定经过点(2,3) C.当x<1时，y随x增大而增大 D.当a>0,n≠1时，an2-2an+3>-a+3. 【答案】C 【详解】解：Ax=-巴=1，“对称轴为直线x=1,结论正确，故不符合题意； 2a By=a(x2-2x)+3,当x2-2x=0时，解得x1=2,x2=0,过定点(2,3)，(0,3)，结论正确，故不符 合题意； C.由于不知道a>0还是a<0,无法判断当x<1时，y随×增大而增大；结论错误，故符合题意； D.当a>0时，∴y骚小=a-2a+3=-a+3,xn+1时，an2-2an+3>-a+3. 故选：C 4.已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： … -4 -2 0 3 5 -24 8 10 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 【答案】D 【详解】解：由题知 (4a-2b+c=-8 (a=-1 c=0 解得{b=2, (9a+3b+c=-3 c=0 所以二次函数的解析式为y=一x2+2x. 因为a=-1<0, 所以抛物线的开口向下，故A选项不符合题意， 因为y=-x2+2x=-(x-1)2+1, 所以当x>1时，y随x的增大而减小.故B选项不符合题意 令y=0得，-x2+2x=0, 解得x1=0,x2=2, 所以抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)和(2,0) 又因为抛物线的顶点坐标为(1,1)， 所以抛物线经过第一、三、四象限，故C选项不符合题意. 因为二次函数解析式为y=-(x-1)2+1, 所以抛物线的对称轴为直线x=1.故D选项特合题意. 故选：D. 5.若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)经过A(1,0),B(3,0)两点，则抛物线的对称轴为（) A.x=1 B.X=2 C.X=3 D.x=4 【答案】B 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【详解】抛物线经过点A(1,0),B(3,0), ∴抛物线的对称轴为直线x=2, 故选：B 6.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+2ax+a的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三，点A(-3,y), B(-1,y2),(3,y3),则y1、y2、y3的大小关系是() A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y3<y1 【答案】B 【详解】解：当x=-3时，y1=9a-6a+a=4a, 当x=-1时，y2=a-2a+a=-2a, 当x=3时，y3=9a+6a+a=16a, 二次函数y=ax2+2ax+a的图象与y轴交于正半轴，a>0, '16a>4a>-2a, y2<y1<y3 故选：B 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax+bx+c的图象可能为() A 【答案】A 【详解】A、由抛物线可知，a<0,x-<0,得b<0,由直线可知，a<0,b<0,故本选项正确： 2a B、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,故本选项错误； C、由抛物线可知，g>0,x-乡>0，得b<0,由直线可知，a>0,b>0,故本选项错误； D、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,故本选项错误 故选A. 8.已知函数y=x2-2x+3,当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是() A.m≥1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.m≤2 【答案】C 【详解】解：y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 抛物线开口向上，对称轴为直线x=1,顶点为(1,2)， 当x=0,y=3,则抛物线与y轴的交点为(0,3)， (0,3)关于x=1的对称点为(2,3)， 如图所示， 34 当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2,1≤m≤2. 故选：C 28 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 9.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1, 下列四个结论：①该图象经过，点(-1,0)；②bc<0;③a-b+c=0;④2a-b=0,其中正确结论的 个数为() x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),对称轴为直线x=1, ∴该图象经过，点(-1,0)；故①正确； 由图象可知：a>0,c<0, b=1, :对称轴为x=一 ∴.b=-2a<0, ∴.bc>0,2a+b=0;故②④错误； :图象经过点(-1,0)： a-b+c=0,故③正确； 故选B. 10.二次函数y=-x2+2x+4的图象开口向，顶点坐标一，当-3<X<2时y的取值范围的 是■ 【答案】下 (1,5)-11<y≤5 【详解】解：y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5, .-1<0,故开口向下； ∴.顶点坐标为(1,5) -3<x<2时，x=1时取得最大值为5， x=-3时取得最小值为y=-(-3-1)2+5=-11, ∴当-3<x<2时y的取值范围的是-11<y≤5. 故答案为：下，(1,5)，-11<y≤5. 11.若二次函数y=mx2+x+m(m-1)的图象经过原，点，则m的值为 【答案】1 【详解】解：二次函数y=mx2+x+m(m-1)的图象经过原点， ∴.m≠0、m(m-1)=0,解得：m=1. 故答案为：1. 12.抛物线y=-3x2+bx+c是由抛物线y=-3x2-6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到 的，则b= ，C= 【答案】-18-20 【详解】解：由题意知，y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, ∴抛物线y=-3x2-6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的抛物线为y=-3(x+3)2+7 -3x2-18x-20, ∴b=-18,c=-20, 故答案为：-18，-20 13.已知二次函数y=2-x+m、且有A(、y)、B(1、y2)C(-、y3)则y1、y2y3按从大到小的 顺序排列为 【答案】y2=y3>y1 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【详解】解：“二次函数y=x2-x+m, 1 “抛物线开口向上，X对称轴=一 当x=时，y1值最小 当x=1时，y2=1-+m=+m 当x=-时，为=(-2+号×+m=+m, ∴y2=y3>y1 故答案为：y2=y3>y1: 14.已知二次函数y=x2-4x-5,当-2≤x≤3时，函数的最大值为 【答案】7 【详解】解：由二次函数的表达式为y=x2-4x-5可知， 鹅物线开口向上，对称轴为直线x=-品=-士=2 所以当x=2时，函数取得最小值，且y=2×2-4×2-5=-9 则当x=-2时，y=4+4×2-5=7 当x=3时，y=9-4×3-5=-8 在-2≤x≤3中，函数的最大值为7， 故答案为：7 15.已知A(x1,n),B(x2,n)是抛物线y=x2+bx+3上不同的两点，若点(x1+x2,m)也在抛物线上，则m 的值为 【答案】3 【详解】解：~A(x1,n),B(x2,n)是抛物线y=x2+bx+3上不同的两，点， A(x1,n),B(x2,n)关于抛物线y=x2+bx+3的对称轴对称， -黄授 2 x1+x2=-b, 点(x1+x2,m),即(-b,m)在抛物线上， ∴m=b2+b·(-b)+3=3. 故答案为：3. 16.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米)与小球的运动时间t(秒)之间的关系式是五=一3(t- 2)2+12(0≤t≤4)，则小球运动中的最大高度是米. 【答案】12 【详解】解：元=-3(t-2)2+12(0≤t≤4)，a=-3<0, ∴.当t=2时，h有最大值，为=12， ∴.小球运动中的最大高度是12米 故答案为：12. 17.根据下列条件，求二次函数的解析式 (1)其图象经过(0,2)，(-1,0)，(2,0)三点； (2)其图象顶，点为(-1,4)，且经过(2，-5). 【答案】(1)y=-x2+x+2;(2)y=-x2-2x+3 【详解】(1)解：其图象经过(-1,0)，(2,0)， ∴.设y=a(x+1)(x-2): 图象经过(0,2)， .a(0+1)(0-2)=2, .∴.a=-1. .y=-1(x+1)(x-2), y=-x2+x+2; 30 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 (2)解：其图象顶点为(-1,4)， .设y=a(x+1)2+4 图象经过(2，-5)， .a(2+1)2+4=-5, .a=-1. y=-(x+1)2+4, y=-x2-2x+3. 18.已知抛物线的顶点坐标为M(2,-5),与y轴交于点A(0,3) (1)求抛物线的解析式； (2)当0≤x≤5时，求y的取值的范围. 【答案】(1y=2(x-2)2-5;(2)-5≤y≤13 【详解】(1)解：抛物线的顶点坐标为M(2,一5)， 设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2-5, 又：抛物线与y轴交于点A(0,3), 3=a(0-2)2-5, 解得a=2, 故抛物线的解析式为：y=2(x-2)2-5; (2)解：y=2(x-2)2-5,0≤x≤5， 当x=2时，y有最小值-5， 当x=0时，y=3, 当x=5时，y=2×32-5=13, y的取值的范围是：-5≤y≤13. 19.已知二次函数y=-x2+mx+n. (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为y轴，求m的值. 【答案】0)二次函数的对称轴为x=受，顶点坐标为（侣受+n:2m=-2 【详解】(1)解：配方：y=-x2+mx+n=-(x2-mx)+n =-2-mr+(°-(]+n=-(x-}+买+n 所以二次函数的对称轴为x=受预点坐标为（侣受+n小 (2)由题意得：平移后的二次函教表达式为y=-(x-罗-1)+四+n-2, 所以对称轴为x=罗+1， 因为平移后的二次函数对称轴是y轴， 所以9+1=0， 解得m=-2. 20.已知：二次函数y=-x2+x+4. (1)通过配方，将其写成y=a(x-m)2+k的形式； (2)求出图象与x轴的交，点A、B的坐标： (3)x为何值时，y<0; (4)当x时，y随x的增大而减少， 【答案】0y=-c-12+32A点坐标为(4,0)，B点坐标为(-2,0：3)x<-2或x>4:④x>1 【详解】(1)解：y=-x2+x+4 y=c-20+4 1 1 =-2x-2x+1)+4+2 31 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 =-y+号 1 (2)解：-x2+x+4=0 x2-2x-8=0 (x-4)(x+2)=0 X1=4,x2=-2 .A点坐标为(4,0)，B点坐标为(-2,0)： (3)解：根据二次函数的解析式可知， a=-号<0，抛物线开口向下， 由(2)得抛物线与x轴的交点分别为(-2,0)，(4,0) 根据图象的性质可得， 当x<-2或x>4时，y<0. (4)解：y=-x-12+可知，抛物线的顶点坐标为(1，)。 a=-<0,抛物线开口向下， .当x>1时，y随x的增大而减少 21.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=a(x-3)2-1经过点(4，-2) (1)求该抛物线的表达式： (2)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点 【答案】(1)y=-(x-3)2-1;(2)1 【详解】(1)解：将(4，-2)代入y=a(x-3)2-1得，a×(4-3)2-1=-2, 解得：a=-1, 该抛物线的表达式为y=-(x-3)2-1; (2)解：~y=-(x-3)2-1,该抛物线的顶点为(3，-1)， 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上，顶点纵坐标应为0， “将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点， 故答案为：1. 22.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过，点A(0,3),B(2,3),C(-1,0) (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； … 。。 (3)关于该二次函数，下列说法正确的有」 ①图象开口朝下，顶，点为(1,4)： ②当x≤1时，y随x增大而减小； ③当0<x<3时，y的取值范围为0<y<4; ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6. 32 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 九 级 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)见解答 (3)①④ 【详解】(1)解：由题意得： c=3 4a+2b+c=3, (a-b.+c=0 (a=-1 解得： b=2, (c=3 则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3; (2)解：取点补全表格为： -1 0 1 2 3 y 0 3 如图， y个 1 --上----- --r--- H-- F--r--- ----- （3)解：①a=-1,则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为(1,4)，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线x=1,则当x≤1时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当0<x<3时，y的取值范围为0<y≤4，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积=×(3+1)×3=6，故④正确，符合题意； 故答案为：①④. 33