第03讲 二次函数与一元二次方程复习讲义2026-2027学年浙教版数学九年级上册

年 浙教版九年级上册预习讲义（数学）》 级 第03讲二次函数与一元二次方程 模块 课程目标 ☆课程目标☆ 1,学习二次函数图象与×轴交点与方程之间的关系，可以根据方程判断函数图象与×轴交点的个数、坐标等， 也可以根据图象求方程的根； 2学习函数和方程、不等式的关系，能根据图象求方程的解、不等式的解集； 3掌握根据函数图象估计一元二次方程的近似根的方法. 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 图象与x轴交点的横坐标等于函数值为0时方程的解 考点一二次函数图象与x轴 由根的判别式判断二次函数图象与x轴交点的个数 内容导 函数和方程：两个函数交点横坐标<=>联立方程的解 考点二函数和方程、不等式的关系 函数和不等式：交点的左侧或右侧<=>不等式的解集 考点三估计一元二次方程的根 观察函数图象与x轴交点横坐标的大概值求出方程的根 模块三 考点剖析 ☆考点剖析☆ 考点一二次函数图象与×轴 考点卡片 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与×轴的交，点坐标即为令函数值等于0时方程的解，即ax2+bx+c=0 的解。具体如下： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与×轴的交，点坐标 一元二次方程根的情况 a>0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 一元二次方程 轴交于(x1,0),(x2,0)(x1<x2)两点。 ax2+bx+c=0(a≠0) △>0 x2=-b±vb2-4ad 有两个不相等的实数根 a<0 2a 为12=-btvB2-4c 2a a>0 一元二次方程 -2a 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与xax2+bx+c=0(a≠0) △=0 伊 轴交交于（一会，0这一点 有两个相等的实数根 a<0 x1=x2=-2 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 a>0 一元二次方程 △<0 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与×ax2+bx+c=0(a≠0) 轴无交点 在实数范围内无解（或称 a<0 无实数根) 典例分析 1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(-1,0),点B(3,0),则关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=0的根是() A.X1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=-3 C.x=1 D.x=-3 【答案】A 【详解】解：：当y=0时，抛物线y=ax2+bx+c对应的方程为ax2+bx+c=0, 方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标.点A(-1,0)和，点B(3,0)的横坐标分别为-1和3， .关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3, 答案选A 2.小兰画了一个函数y=x+ax+b的图象如图，则关于x的方程x+ax+b=0的解是() 4 3 2 10 2 1235 -1 23 A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4 【答案】D 【详解】解：如图，函数y=x+axtb的图象与x轴交点坐标分别是(-1,0)，(4,0)， ∴关于x的方程x+ax+b=0的解是x-1或x=4. 故选D. 1 2式12345 y 3.如果抛物线的对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点的坐标是(6,0)，那么它与x轴的一个交点的坐标是 () A.(-6,0) B.(-4,0) C.（-2,0) D.(4,0) 【答案】C 【详解】解：·抛物线与x轴的一个交点坐标为(6,0)，对称轴为直线x=2, “抛物线与x轴另一交，点的横坐标为2×2-6=-2，“抛物线与￥轴的另一个交点坐标为（一20）， 故选：C 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 4.下列函数的图象与x只有一个交点的是（) A.y=x2+2x-3 B.y=x2+2x+3 C.y=x2-2x+3 D.y=x2-2x+1 【答案】D 【详解】选项A中b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0,与×轴有2个交点； 选项B中b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,与×轴没有交点； 选项C中b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0,与x轴没有交点； 选项D中b2-4Qc=(-2)2-4×1×1=0,所以选项D的函数图象与×轴只有一个交点， 故选：D, 5.函数y=mx+(m+2)x+m+1的图象与×轴只有一个交点，则m的值为() A.0 B.0或2 C.0或2或-2D.2或-2 【答案】C 【详解】解：函数y=mx+(m+2)x+m+1的图象与×轴只有一个交点， ∴当m=0时，y=2x+1,此时y=0时，×=-0.5，该函数与×轴有一个交点， 当m≠0时，函数y=m×+（m+2)×+m+1的图象与×轴只有一个交点， 则△=(m+2)2-4m(m+1）=0,解得，m,=2,m2=-2, 由上可得，m的值为0或2或-2， 故选：C 6.关于x的二次函数y=x2-3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是() A.k≥ B.k≤号 C.k>9 0.k<号 【答案】D 【详解】解：y=x2-3x+k的图象与x轴有两个不同的交，点， .△=b2-4ac=(-3)2-4k>0, k<是 故选：D。 7.已知抛物线y=x2-6x+m-1,当m时，抛物线与x轴有两个公共点；当m时，抛物 线与x轴有一个公共点；当m时，抛物线与x轴没有公共点. 【答案】<10=10>10 【详解】：抛物线y=x2-6x+m-1, ∴.当△=b2-4ac=(-6)2-4×1×(m-1)=-4m+40>0,即m<10时， 抛物线与x轴有两个公共点； 当△=-4m+40=0,即m=10时，抛物线与x轴有一个公共，点； 当△=-4m+40<0,即m>10时，抛物线与x轴没有公共，点 故答案为：<10，=10，>10. 8.已知二次函数y=x2-(m+2)x+m（m为常数) (1)若该二次函数图像经过(2,1)，求二次函数解析式； (2)求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点； 【答案】(1)y=x2-x-1;(2)见解析；(3)m=±2V2 【详解】(1)解：将(2,1)代入解析式y=x2-(m+2)x+m可得4-2(m+2)+m=1 解得m=-1, 则y=x2-x-1 (2)证明：将y=0代入解析式y=x2-(m+2)x+m可得x2-(m+2)x+m=0 判别式△=(-m-2)2-4m=(m-2)2≥0 一元二次方程x2-(m+2)x+m=0始终有两个解， 即二次函数图像与x轴总有两个交点； 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 9.已知二次函数y=x2-x+m, (1)若该二次函数图象经过点（2,1)，求二次函数的解析式； (2)若该二次函数图象与x轴的两个交点的距离为5，求m的值。 【答案】(1)y=x2-x-1;(2)m=-6 【详解】(1)该二次函数图象经过点（2,1)， 1=22-2+m, m=-1, 二次函数解析式为y=x2-x-1. (2)设x1,x2是二次函数y=x2-x+m的图象与x轴的两个交点的横坐标， 1+x2=-8=1,x1x2==m, 两个交点的距离为5， x1-x2l=5, ·(x1-x2)2=25 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, 12-4m=25, m=-6. 10.如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米. (1)求铅球运行路线的解析式. (2)求铅球出手后经多少秒落地 个h/米 t/秒 【答案】(1)y=-x-4)2+3;2)4+2V6 【详解】(1)解：根据题意可得抛物线的顶点为(4,3)， 设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3, 将点C(0,1)代入，得1=a(0-4)2+3,解得a=- 铅球运行路线的解析式为y=-x-4)+3. (2)令y=0,则-言x-42+3=0, 解得x1=4+2V6,x2=4-2V6(舍去 ∴铅球出手后经4+2V6秒落地 考点二函数和方程、不等式的关系 考点卡片 函数和方程的关系： 两个函数图象交点的横坐标<==>联立两个函数解析式得到的方程的解 函数和不等式的关系： (1)画出两个函数图象的草图； (2)明确两个函数交点的横坐标； (3)交，点的左侧或者右侧，哪个函数图象在上，哪个函数值较大. 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 典例分析 11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+ c=m有实数根，则m的取值范围是 【答案】m≤9 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为(-4,9)， 当x=-4时，函数有最大值为：y=9, :关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根， ∴抛物线y=ax2+bx+c和直线y=m有交点， ∴.m≤9： 故答案为：m≤9。 12.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于A(-3,2),B(1,-2)两点，则关于x的方程 ax2+bx+c=mx+n的解为_ 【答案】x1=-3,x2=1 【详解】解：根据题意，关于x的方程ax2+bx+c=mx+n的解为x1=-3,x2=1, 故答案为：x1=-3,x2=1. 13.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx-c的两个交点坐标分别为A(-2,6),B(1,2),则方程ax2+c=bx较小 的根是 【答案】x=-2 【详解】解：~抛物线y=ax2与直线y=bx-c的两个交点坐标分别为A(-2,6),B(1,2), ∴当x=-2或x=1时，ax2=bx-c, 方程ax2+c=bx的解为x1=-2,x2=1, 方程ax2+c=bx较小的根是x=-2, 故答案为：x=-2. 38 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 14.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是 A.x<2 B.×>-3 C.-3<x<1 D.x<-3或×>1 【答案】C 【详解】试题分析：根据函数图象，写出图象位于×轴上方部分的×的取值范围即可： 抛物线y=ax+bx+c与×轴的交点坐标为(-3,0)(1,0)， .关于×的不等式ax+bx+c>0的解集是-3<×<1 故选：C 15.二次函数y=ar2+3ax+n(a>0)的图象过点（侵，0），则使函数值y>0成立的x的取值范周是(） Ax<-我x>过 B-<x< C.x<0或x> D.0<x< 【答案】A 【详解】解：函数y=ax2+3ax+n(a>0) “画数图像开口向上，对称轴是直线x三一票=- 图像经过点0)以，--+)=-子 “抛物线与￥轴的另一个交点为（二0）， ∴在x轴上方部分，y>0, x<-我x> 故选A. 16.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，当y1>y2时，x的取值范 围是() A.-2<x<1B.x<-2或x>1C.x>-2 D.x<1 【答案】B 【详解】解：根据图象得，二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n相交于两点，两点的横坐标 分别为-2,1， 则当y1>y2时，×的取值范围为x<-2或x>1 故选：B 17.函数y=-x2+2x+3的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程-x2+2x+3=0的两个根为； (2)当y>0时，则x的取值范围为；当-1<x<2时，则变量y的取值范围为； 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 (3)若方程-x2+2x+3=k有实数根，则k的取值范围是 h012片 【答案】(1)x1=-1,x2=3;(2)-1<x<3;0<y≤4；3)k≤4 【详解】(1)解：由图象可得：方程-x2+2x+3=0的两个根为x1=-1,x2=3. 故答案为：X1=-1,x2=3; (2)解：由图象可得：当y>0时，则x的取值范围为-1<x<3, y=-(x-1)2+4, .当x=1时，y=4, ∴.当-1<x<2时，自变量y的取值范0<y≤4. 故答案为：-1<x<3;0<y≤4； (3)解：由图象可得：若方程-x2+2x+3=k有实数根，k取值范围是k≤4. 故答案为：k≤4. 18.如图，已知抛物线y=-2+bx+c和直线=-x+湘交于点A(m)和B(1,m), (1)求m和n的值： (2)求抛物线的对称轴： (3)结合图象直接写出满足y1≥y2的x的取值范围. 【答案】(1)m=-3n=1;2)x=-:(3)-≤x≤1 3 【详解】(1)解：“抛物线y1=-2+bx+c和直线2=-x+相交于点A(m,)和B(1,)。 (-m+=5 5 ,解得： (m=-2, n=1 5 m=-2n=1; (2)解：点A(-三习)和B(1,1)在抛物线1=-+r+c止， 25 b=-3 年b+c=4,解得：c=5” ∴.抛物线解析式为：y1=一x2-3x+5, x=-=- “抛物线的对称轴为：直线x=一影 (3)解：由图象得： 当-≤x≤1时，y12y2 40 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 考点三估计一元二次方程的根 考点卡片 根据函数和方程的关系，我们可以根据二次函数的图象求一元二次方程的根。 例如根据下图可知方程x2-2x-2=0的实数根为：x1≈-0.7，x2≈2.7 也可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根 如x=2时，y<0,x=3时，y>0,所以估计方程的根在2~3之间； 进一步x=2.5时，y<0,所以估计方程的根在2.5~3之间. =x2-2r-2 (-0.7.0 (2.7.0) 2/3 典例分析 19.已知二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0，a,c为常数)，下表给出了自变量x与函数值y的部分对应值. 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 y=ax2-2ax+c 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程αx 2-2ax+c=5的近似解是() A.-0.55和2.55 B.1.45和2.55 C.1.25和2.75 D.-0.75和2.75 【答案】D 【详解】解：y=ax2-2ax+c, 抛物线的对称轴为直线x=-0=1, 2a 观察表格可知，当y=ax2-2ax+c=5时，x在2.7和2.8之间， 根据二次函数的对称性可知，当y=ax2-2ax+c=5时，x还在-0.8和-0.7之间， 故选：D. 20.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两，点分别为A(2.68,0.54),B(2.18,-0.56),则关于 x的方程ax2+bx+c=0的一个根可能是（) 14(2.68,0.54) -10 3 -1止 B(2.18,-0.56) A.2.18 B.2.68 C.-0.56 D.2.45 【答案】D 【详解】解：从函数图象看，y=0的点对应的横坐标在2.18和2.68之间， 而在2.18和2.68之间被选项中的数为2.45， ∴，ax2+bx+c=0的方程的一个根可能为2.45. 故选：D 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 21.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的变量x,y的部分对应值如表： X -3 -2 -1 0 1 y … 13 6 -2 -3 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c=0的一个近似解x1的范围是 【答案】-1<x1<0 【详解】解：根据表格中的数据可知：当x=-1时，y=0且当x=0时，y=-2 一元二次方程ax2+bx+c=0的一个近似解x1的范围是-1<x1<0 故答案为：-1<x1<0. 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1.若y=ax+bx+c的部分图象如图所示，则关于×的方程ax+bx+c=0的另一个解为( X= A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】B 【详解】根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是(3,0)对称轴为x1, ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为(-1,0)， 令y=0,即ax2+bx+c=0, .方程ax2+bx+c=0,的解是x1=-1,x2=3. 即方程的另一解为-1， 故选B 2.如图，是抛物线y=ax2+bx+c的图象，图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,关于x的一元二次方 程ax2+bx+c=0根的情况为() y=ax2+bx+c B A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】A 【详解】解：函数图象开口向下，图象交x轴于，点A、B, ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； 故选：A 3.已知二次函数y=(a-2)x2-2x+1的图象与x轴有交，点，则a的取值范围是（) A.a<2 B.a≤3 C.a<3且a≠2D.a≤3且a≠2 2 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】D 【详解】解：二次函数y=(a-2)x2-2x+1, a-2≠0，即a≠2， :二次函数y=(a-2)x2-2x+1的图象与x轴有交点， .△=(-2)2-4(a-2)≥0， 解得：a≤3， 综上所述，a的取值范围是a≤3且a≠2 故选：D 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方，则a,b,c满足的条件是() A.a>0,b2-4ac>0 B.a>0,b2-4ac<0 C.a<0,b2-4ac<0 D.a<0,b2-4ac>0 【答案】C 【详解】解：二次函教y=ax2+bx+c的图象在x轴的下方， 抛物线开口向下，与x轴无交点， 即a<0,b2-4ac<0, 故选：C 5.如图，点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象上，则方程ax2+bx+ c=0解的一个近似值可能是(） /B2.680.54) -2-10八 12/ 3 4x -1 A (2.18,-0.51) A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45 【答案】D 【详解】解：图象上有两点分别为A(2.18,-0.51人、B(2.68,0.54), 当×=2.18时，y=-0.51；×=2.68时，y=0.54, 当y=0时，2.18<×<2.68， 只有选项D符合， 故选：D 6.下表列出了函数y=ax+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值.根据表中数据，判断一元二次 方程ax+bx4c=0(a≠0)的一个解在哪两个相邻的整数之间() -2 -1 01 2 1 1-2-7 A.1与2之间 B.-2与-1之间 C.-1与0之间 D.0与1之间 【答案】D 【详解】解：当x=0时，y=1,x1时，y-2, 函数在0~1之间由正到负， ∴.一元二次方程ax+bxc=0(a≠0)的一个近似解在0与1之间， 故选：D 43 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 7.二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+c的图像如图所示，则满足ax2+bx<mx的x的取值范 围为() -3 A.-3<x<0B.x<-3或x>0C.x<-3或x>1D.0<x<3 【答案】B 【详解】解：若ax2+bx+c<mx+c,则ax2+bx<mx, 有图像可知，当x<-3或x>0时，二次函数的图像y1=ax2+bx+c在一次函数图像y2=mx+c的下方， 即y1<y2, .当x<-3或x>0时，ax2+bx+c<mx+c, 则当x<-3或x>0时，ax2+bx<mx, 故选：B 8.抛物线y1=Qx2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为(-3,0)，对称轴为直线x= -1,将抛物线y1沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线y2,则当y2<0时，x的取值范 围是() A.-3<x<-1 B.-1<x<1 C.-1<x<3 D.1<x<3 【答案】C 【详解】解：抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(-3,0)，对称轴为直线x=-1, ∴抛物线y1与×轴的另一个交点为(1,0)， 抛物线y1沿着×轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线y2, ∴，抛物线y2与×轴的两个交点坐标为(-1,0)和(3,0) .当y2<0时，×的取值范围是-1<x<3 故选：C 9.抛物线y=一x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示： -2 -1012 0 466 4 … 从上表可知，下列说法中，错误的是( A.抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2,0 B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)】 C.抛物线的对称轴是直线x= D.抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小 44 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】D 【详解】解：根据表格中信息，得： 当x=-2时，y=0,当x=0时，y=6, 点(2,0)，(0,6)在抛物线上，故A、B正确，故本选项不符合题意； 根据表格中信息，得： 当x=-1时，y=4, 当x=2时，y=4, 抛物线的对称轴为x=出=，故C正确，故本选项不特合题意： 2 a=-1<0, 抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故D错误，故本选项符合题意； 故选：D, 10.根据表格估计方程x+2x6其中一个解的近似值。 1.63 1.64 1.65 1.66 x+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x+2x=6的一个解大约是 （精确到0.01) 【答案】1.65 【详解】解：6-5.9696=0.0304,6.0225-6=0.0225 0.0304>0.0225, ∴.6.0225比5.9696更逼近6， .方程x2+2x6的一个解大约是1.65， 故答案为：1.65. 11.若函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点，则c的取值范围是 【答案】c< 【详解】解：函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点， 令y=0,则x2+x+c=0, ∴4=12-4×1×c>0, 解得c< 故答案为：c< 12.如图，过，点(0,1)且平行于x轴的直线与二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的交点坐标为(1,1)，(3,1)， 则不等式ax2+bx+c-1>0的解集为 3 2 - -1F 1八2345x 【答案】x<1或x>3 【详解】解：直线过点(0,1)且平行于x轴， 直线y=1, 直线y=1与二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的交点坐标为(1,1)，(3,1)，且ax2+bx+c-1>0, 即ax2+bx+c>1, x<1或x>3, 故答案为：x<1或x>3. 45 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c,则关于x的方程x2+bx+c=0的解是 3 -2-10 12345 -5 -6 【答案】x1=-1,x2=4 【详解】解：由函数图象可知抛物线y=2+bx+c与x轴交于(-1,0)，(4,0)： 关于x的方程x2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=4, 故答案为：x1=一1，x2=4. 14.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程 x2-3x+m=0的两实数根是 【答案】x1=1,x2=2 【详解】解：：二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数)， 六镇抛物线的对称轴是：×一品=二 又：二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与×轴的一个交点为(1,0)， 根据抛物线的对称性质知，该抛物线与×轴的另一个交点的坐标是(2,0)， ∴关于×的一元二次方程2-3x+m=0的两实数根分别是：×，=1，×，=2， 故答案为×，=1，×=2. 15.已知函数y1=ax2+bx+c与函数y2=kx+b的图象大致如图所示，那么不等式ax2+bx+c<kx+b 的解集是」 -2 【答案】-2<x< 【详解】解：由函数图象可知，不等式ax2+bx+c<kx+b的解集是-2<x< 故答案为：-2<x< 16.二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≥mx+n时，x的取 值范围是」 12343 2 46 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 【答案】-2≤x≤1 【详解】由图象可得：当-2≤x≤1时，二次函数y=ax2+bx+c的图象在一次函数y=mx+n的图象的 上方， ∴.当-2≤x≤1时，ax2+bx+c≥mx+n, 故答案为：-2≤x≤1. 17.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(1，-4)，若抛物线与x轴相交于A,B两，点， 则b= ·AB= 【答案】 -24 【详解】解：y=x2+bx+c中，a=1,顶点坐标为(1，-4)， ∴.抛物线解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3,则b=-2, 令y=0,则x2-2x-3=0, 解得：x1=-1,x2=3 .AB=3-(-1)=4, 故答案为：-2,4. 18.已知二次函数y=(m-1)x2-2mx+m+1.求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点. 【答案】见解析 【详解】解：证明：令y=0, 则△=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0, “该二次函数图象与x轴有两个交点 19.已知二次函数y=x2+4x+k-1. (1)若该函数图象与x轴有两个不同交点，求k范围 (2)若k=1,求当-3<x<0时，该函数y的范围 【答案】(1)k<5;(2)-4≤y<0 【详解】(1)解：二次函数y=x2+4x+k-1与x轴有两个不同交点， .△=42-4×1×(k-1)=20-4k>0, 解得k<5; (2)解：依题意，把k=1代入y=x2+4x+k-1, 得y=x2+4x, 4 六对称轴为直线-2女1=一2 1>0, 开口向上， 在对称轴x=-2处，y有最小值，即y=(-2)+4×(-2)=一4， 把x=-3代入y=x2+4x=9-12=-3, 把x=0代入y=x2+4x=0, ∴.当-3<x<0时，该函数y的范围为-4≤y<0. 20.已知一次函数y1=mx+n(m≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)，下表给出了y1,y2与自变量x 的几组对应值： -2 -1 0 y1 5 4 3 y2 -50 3 4 5 (1)求y2的解析式； (2)直接写出关于x的不等式ax2+bx+c>mx+n的解集 【答案】(1)y2=-x2+2x+3;(2)0<x<3 【详解】(1)解：根据题意，当x=0时，y2=3;当x=2时，y2=3, 年 浙教版九年级上册预习讲义（数学） 级 抛物线顶点为(1,4)， 设该二次函数的解析式为y2=a(x-1)2+4, “当x=0时，y2=3,代入表达式， 六a=-1, “y2=-x2+2x+3: (2)解：当x=3时，y1=y2=0;当x=0时，y1=y2=3, ∴直线与抛物线的交点为(3,0)和(0,3)， 而0<x<3时，y2>y1, .不等式ax2+bx+c>kx+b的解集是0<x<3, 故答案为：0<x<3. 21.乒乓球，作为中国的国球，承载着无数人的荣耀与梦想.现有一台乒乓球发球器，小明通过测量得到球 距离台面的高度y(单位：dm)与球距离发球器出口的水平距离x(单位：dm)的相关数据，发现球从 发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线；从第一次接触台面到第二次接触台面的运 动轨迹近似为一条抛物线L,其运动轨迹的函数关系式为y=-0.05x2+bx-9.6(b为常数)，当球距 离发球器出口的水平距离为16dm时，球距离台面的高度达到最大. ◇ 01 (1)求图中抛物线L的函数关系式； (②)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离。 【答案】(1)y=-0.05x2+1.6x-9.6;(2)24dm 【详解】(1)解：~当球距离发球器出口的水平距离为16dm时，球距离台面的高度达到最大， ∴抛物线L的对称轴为直线x=16, b 即-2x005=16, 解得：b=1.6, 即抛物线L的函数关系式为y=-0.05x2+1.6x-9.6 (2)解：当y=-0.05x2+1.6x-9.6=0时， 整理得x2-32x+192=0, 解得：x1=8,x2=24, 即乒兵球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为24dm 48 第03讲 二次函数与一元二次方程 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1.学习二次函数图象与x轴交点与方程之间的关系，可以根据方程判断函数图象与x轴交点的个数、坐标等，也可以根据图象求方程的根； 2.学习函数和方程、不等式的关系，能根据图象求方程的解、不等式的解集； 3.掌握根据函数图象估计一元二次方程的近似根的方法. ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 二次函数图象与x轴 考点卡片 二次函数的图象与x轴的交点坐标即为令函数值等于0时方程的解，即的解。具体如下： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于两点. 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交交于这一点. 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点. 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 典例分析 1. 抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2. 小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(   ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 3. 如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 4. 下列函数的图象与x轴只有一个交点的是（   ） A． B． C． D． 5. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　） A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣2 6. 关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7. 已知抛物线，当________时，抛物线与轴有两个公共点；当________时，抛物线与轴有一个公共点；当________时，抛物线与轴没有公共点． 8. 已知二次函数（m为常数） (1)若该二次函数图像经过，求二次函数解析式； (2)求证：不论m取何值，该二次函数图像与x轴总有两个交点； 9. 已知二次函数． (1)若该二次函数图象经过点，求二次函数的解析式； (2)若该二次函数图象与轴的两个交点的距离为5，求的值． 10. 如图，铅球的出手点距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米． (1)求铅球运行路线的解析式． (2)求铅球出手后经多少秒落地． 考点二 函数和方程、不等式的关系 考点卡片 函数和方程的关系： 两个函数图象交点的横坐标<==>联立两个函数解析式得到的方程的解 函数和不等式的关系： （1）画出两个函数图象的草图； （2）明确两个函数交点的横坐标； （3）交点的左侧或者右侧，哪个函数图象在上，哪个函数值较大. 典例分析 11. 二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是_______． 12. 如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为_____． 13. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是____________________． 14. 抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是 A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 15. 二次函数的图象过点，则使函数值成立的x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 16. 如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 17. 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 18. 如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 考点三 估计一元二次方程的根 考点卡片 根据函数和方程的关系，我们可以根据二次函数的图象求一元二次方程的根. 例如根据下图可知方程的实数根为： 也可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 如时，,时，，所以估计方程的根在之间； 进一步时，，所以估计方程的根在之间. 典例分析 19. 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 20. 如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 21. 已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 若y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为（　　） A．-2                   B．-1              C．0                   D．1 2. 如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4. 已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 5. 如图，点在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是（    ） A．2.18 B．2.68 C．-0.51 D．2.45 6. 下表列出了函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（    ） x -2 -1 0 1 2 y 1 2 1 -2 -7 A．1与2之间 B．-2与-1之间 C．-1与0之间 D．0与1之间 7. 二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 8. 抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9. 抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶ ．．． 0 1 2 ．．． 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（   ） A．抛物线与 轴的一个交点坐标为 B．抛物线与 轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小 10. 根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是______（精确到0．01） 11. 若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 _____． 12. 如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为______． 13. 如图，已知抛物线，则关于的方程的解是___________．    14. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是________． 15. 已知函数与函数的图象大致如图所示，那么不等式的解集是________． 16. 二次函数和一次函数的图象如图所示，则时，的取值范围是_____________. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则________．________． 18. 已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点． 19. 已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 20. 已知一次函数和二次函数，下表给出了与自变量的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 4 3 2 1 0 … … 0 3 4 3 0 … (1)求的解析式； (2)直接写出关于的不等式的解集． 21. 乒乓球，作为中国的国球，承载着无数人的荣耀与梦想．现有一台乒乓球发球器，小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线；从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线L，其运动轨迹的函数关系式为（b为常数），当球距离发球器出口的水平距离为时，球距离台面的高度达到最大． (1)求图中抛物线L的函数关系式； (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离． 学科网（北京）股份有限公司 $