第1章第3讲二次函数的应用（1.4）专题讲义 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第3讲　二次函数的应用(1.4)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 1 章　二次函数 第 3 讲　二次函数的应用(1.4) (一)函数与方程、不等式的关系 　例题精析 例1 已知一次函数 和二次函数 的自变量和对应函数值如表： 当 时，自变量 x 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 ▸思路点拨　方法一：先看表格，求出一次函数和二次函数的表达式，解出不等式 的解集；方法二：画出两个函数的大致图象，观察符合 的 x 的取值范围。 ▸过程详解　解：方法一：由表可知，(-1,0),(0,1)在一次函数 的图象上，一次函数 由表可知，(-1,0),(1,-4),(3,0)在二次函数 的图象上，二次函数 当 时， 或 . 故选 D. 方法二：如图，由表得出两函数图象的交点坐标为(-1,0),(4,5),∴x>4 或 . 故选 D。 ▸总结升华　画图，读图，从函数的观点看不等式。 　变式训练 1. 如图，抛物线 与双曲线 的交点 A 的横坐标是 1，则关于 x 的不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 例2 已知二次函数 (t eq 0)，方程 的两根分别为 ，方程 的两根分别为 ，判断 m,n,p,q 的大小关系是＿⁠＿⁠＿（用“<”连接）. ▸思路点拨　方法一：用平移函数图象来看所得图象与 x 轴交点的位置；方法二：画出二次函数 的图象，结合图象即可判断出 m,n,p,q 的大小。 ▸过程详解　解：方法一：∵抛物线的表达式是 此抛物线的开口向上，顶点是(). 将此抛物线向下平移 1 个单位可得抛物线 ，向下平移 2 个单位可得抛物线 抛物线 与 x 轴两个交点之间的距离将会大于抛物线 与 x 轴两个交点之间的距离. ∵方程 的两根分别 m,n，且 ，方程 的两根分别为 p,q，且 . 故答案为 . 方法二：二次函数 的图象如图，根据图可知 . 故答案为 。 ▸总结升华　画图，读图，从函数的观点看方程。 　变式训练 2. 设二次函数 的图象与一次函数 的图象交于点()，若函数 的图象与 x 轴仅有一个交点，则（　　） A．a()=d B．a()=d C． D． (二)二次函数与几何图形结合 　例题精析 例3 在平面直角坐标系中，已知抛物线 (a,b 为常数，a>0). (1)若抛物线与 x 轴交于 A(-1,0),B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式. (2)如图，当 时，过点 C(-1,a)、D()分别作 y 轴的平行线，交抛物线于点 M,N，连结 MN,MD. 求证：MD 平分∠CMN. (3)当 时，过直线 上一点 G 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 H. 若 GH 的最大值为 4，求 b 的值. ▸思路点拨　由 GH∥y 轴可知 G,H 横坐标相等，设点 G 的坐标，即可表示出点 H 的坐标. 再由 b 的取值范围，确定点 G 与点 H 的位置关系，因此线段 GH 的长就可以用参数表示，将其转化为二次函数，对二次函数对称轴的范围进行分类讨论并求解。 ▸过程详解　解：(1)分别将点 A(-1,0),B(4,0)代入 ，得 解得 抛物线对应的函数表达式为 (2)连结 CN，如图 当 时，，即点 M(-1,a-2)，当 时，，即点 ⊥CN,∴在 Rt△CMN 中， 平分∠CMN. (3)设 G(m,m-1)，则 H(),. 当 时， 令 ，即 ，解得 点 G 在 H 的上方，如图 2. 设 ，故 ，其对称轴为 ，且 ①当 时，即. 由图 3 可知，当 时，t 取得最大值，为 或 ，解得 或 (舍去)；②当 时，即 ，由图 4 可知，当 时，t 取得最大值，为 ，解得 (舍去). 综上所述，b 的值为-3。 ▸总结升华　解题关键是二次函数的图象与性质，二次函数与方程的关系，结合图形，由点的坐标求线段长，在对称轴不确定情况下，进行分类讨论求解。 　变式训练 3. 如图，二次函数 的图象 与开口向下的二次函数图象 均过点 A(-1,0),B(3,0). (1)求图象 对应的函数表达式. (2)若图象 过点 C(0,6)，点 P 位于第一象限，且在图象 上，直线 l 过点 P 且与 x 轴平行，与图象 的另一个交点为 Q(点 Q 在点 P 左侧)，直线 l 与图象 的交点为 M,N(点 N 在点 M 左侧). 当 时，求点 P 的坐标. 例4 已知抛物线 (1)如图 1，若抛物线图象与 x 轴交于点 A(3,0)，与 y 轴交于点 B(0,-3)，连结 AB. (Ⅰ)求该抛物线所表示的二次函数表达式； (Ⅱ)若 P 是第四象限内抛物线上一动点，过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，与线段 AB 交于点 M，作 PK⊥y 轴于点 K，与线段 AB 交于点 N，求 PM+PN 的最大值. (2)如图 2，直线 与 y 轴交于点 C，同时与抛物线 交于点 D(-3,0)，以线段 CD 为边作菱形 CDFE，使点 F 落在 x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段 CE 没有交点，求 b 的取值范围. ▸思路点拨　(1)(Ⅰ)利用待定系数法求表达式即可解答； (Ⅱ)求出直线 AB 的表达式，设出点 P,M 的坐标，从而表示出 PM+PN，即可求最值. (2)当 时，即 时，表示出点 G 坐标，根据该抛物线与线段 CE 没有交点，则点 G 的纵坐标大于 4，求出 b 的取值范围；当 时，同理可得。 ▸过程详解　解：(1)(Ⅰ)由题意得，； (Ⅱ)B(0,-3),A(3,0),∴直线 AB 的表达式为 ，设点 轴，PK⊥y 轴，当 时，PM+PN 有最大值，其最大值为 (2)如图，∵抛物线 过点 把 代入 ，得 四边形 CDFE 是菱形，. 当 时，即 时，当 时，. ∵该抛物线与线段 CE 没有交点，，当 时，当 时，. ∵抛物线与 CE 没有交点， 综上所述， 或 。 ▸总结升华　解题关键是二次函数的图象与性质，结合图形，由点的坐标求线段长，将求线段最长问题转化为二次函数的最值来解决. 在对称轴不确定情况下，进行分类讨论求解。 　变式训练 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点，抛物线 经过 A,B 两点，并与 x 轴交于另一点 C(点 C 在点 A 的右侧)，P 是抛物线上一动点. (1)求抛物线的表达式及点 C 的坐标. (2)若点 P 在第二象限内，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，交 AB 于点 E. 当点 P 运动到什么位置时，线段 PE 最长？此时 PE 等于多少？判断此时△ABP 的形状，并证明你的结论. (3)在(2)的前提下，有一动点 Q 在抛物线上运动(线段 AB 的下方)，当点 Q 运动到什么位置时，△ABQ 的面积等于△ABP 的面积？ (三)二次函数实际应用 　例题精析 例5 投掷实心球是中考体育考试项目之一. 如图 1 是一名男生投掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系如图 2 所示. 投出时，起点处高度为 当水平距离为 4m 时，实心球行进至最高点 5m 处. (1)求 y 关于 x 的函数表达式. (2)根据中考体育考试评分标准(男生版)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 10m 时，即可得满分 10 分. 该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由. (3)经过一段时间训练后，该男生在投掷实心球时，球行进的路线是一条抛物线且形状和抛物线 相同，当水平距离为 4.5m 时，实心球行进至最高点处，且该男生在此项考试中顺利得到满分，求实心球在行进过程中最高点处离地面的距离至少是多少？ ▸思路点拨　(1)根据题意设出 y 关于 x 的顶点式，再用待定系数法求函数的表达式. (2)求出抛物线与 x 轴正半轴的交点即可判断. (3)形状相同得到 ，设出顶点式，利用满分，建立不等式求解。 ▸过程详解　解：(1)由题意得，抛物线的顶点坐标为(4,5)，过点 ()，设抛物线的表达式为 ，解得 抛物线的表达式为 (2)该男生在此项考试中不能得满分，当 时，，解得 (舍去)或 该男生在此项考试中不能得满分. (3)∵球行进的路线是一条抛物线且形状和抛物线 相同，当水平距离为 4.5m 时，实心球行进至最高点处，∴设 该男生在此项考试中顺利得到满分，∴实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 10m，即当 时，，解得 答：实心球在行进过程中最高点处离地面的距离至少是 。 ▸总结升华　灵活运用顶点式，掌握抛物线与 x 轴的交点即可设 求 x 的值，第(3)问用不等式去解决问题比求抛物线与 x 轴交点分析，更方便。 　变式训练 5. 如图 1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线 l 的方向行驶，为绿化带浇水. 喷水口 H 离地竖直高度 米. 如图 2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度 米，竖直高度 米. 下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 A 离喷水口的水平距离为 2 米，高出喷水口 0.5 米，灌溉车到 l 的距离 OD 为 d 米. (1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程 OC. (2)求下边缘抛物线与 x 轴的正半轴交点 B 的坐标. (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带(即矩形 DEFG 位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内)，求 d 的取值范围. 例6 根据以下材料，探索完成任务： 智能浇灌系统使用方案 材料：如图 1 是一款智能浇灌系统，水管 OP 垂直于地面并可以随意调节高度(OP 最大高度不超过 2.4m)，浇灌花木时，喷头 P 处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点 M 与点 O 的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点 O 为圆心，OM 为半径的圆形浇灌区域. 当喷头 P 位于地面与点 O 重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图 2 的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面 0.1m. 如图 3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长 8m，宽 6m 的矩形试验田中，水管放置在矩形中心 O 处. 问题解决： 任务 1 确定水流形状：在图 2 中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式. 任务 2 探究浇灌最大区域：当调节水管 OP 的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积.(结果保留 π) 任务 3 解决具体问题：若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管 OP 至少需要调节到什么高度？ ▸思路点拨　(1)建立合适的坐标系，求出表达式. (2)调节 OP 的高度，让 OP 最大，浇灌面积就会最大. (3)以 OA 为半径的圆是浇灌面积最小的，此时 OP 的高度也是最低的。 ▸过程详解　解：任务 1：如图 1，以点 O 为坐标原点，OM 方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，此时 O(0,0),M(2,0)，顶点坐标为(1,0.1)，设抛物线的函数表达式为 ，将(1,0.1)代入 ，得 抛物线的函数表达式为 任务 2：当 时，即将抛物线 向上平移 2.4 个单位，得 令 ，则 ，解得 (舍去),∴最大浇灌圆形区域面积为 任务 3：连结 AC，如图 2，由题意知 AC 过点 要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为 5m. 设 ，此时抛物线函数表达式为 ，将(5,0)代入，得 ，解得 至少调节到 1.5m 的高度。 ▸总结升华　考虑实际问题的最大或最小情况，建立适当的数学模型，求解。 　变式训练 6. 根据以下素材，探索完成任务. 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 1：图 1 中有一座拱桥，图 2 是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m，拱顶离水面 5m. 据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高. 素材 2：为迎佳节，拟在图 1 拱桥桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图 3. 为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布. 问题解决： 任务 1 确定桥拱形状：在图 2 中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式. 任务 2 探究悬挂：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围. 任务 3 拟定设计方案：给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标. 　链接好题 1. 如图，一小球从斜坡点 O 以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离 x(米)与小球飞行的高度 y(米)的变化规律如表： (1)①m=＿⁠＿⁠＿，n=＿⁠＿⁠＿； ②小球的落点是 A，求点 A 的坐标. (2)小球飞行高度 y(米)与飞行时间 t(秒)满足关系： ①小球飞行的最大高度为＿⁠＿⁠＿米； ②求 v 的值. 参考答案 【变式训练】 1. D 2. B 3. (1)将点 A(-1,0),B(3,0)代入 ，得 解得 图象 对应的函数表达式为 (2)设图象 对应的函数表达式为 ，将点 C(0,6)代入得 ,∴图象 对应的函数表达式为 ，其对称轴为直线 . 又∵图象 的对称轴也为直线 ，作直线 ，交直线 l 于点 H，如图，由二次函数的对称性得，. 又. 设 ，则点 P 的横坐标为 t+1，点 M 的横坐标为 2t+1. 将 代入 ，得 ，将 代入 ，得 即 ，解得 (舍去),∴点 P 的坐标为 ()。 4. (1)∵直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点，∴A(-4,0),B(0,4). ∵抛物线 经过 A,B 两点， 解得 抛物线的表达式为 ，令 ，则，解得 (2)如图 1，设 当 时，线段 PE 有最大值是 4，此时 P(-2,6)；△ABP 的形状为直角三角形，证明： 的形状为直角三角形. (3)如图 2，过点 P 作 AB 的平行线 l，设直线 l 的表达式为 ，代入(-2,6)，得 ，解得 ，即直线 l：. ∵直线 AB：，直线 l：,∴将直线 l 向下平移 8 个单位即可得到直线 l 关于线段 AB 对称的直线 l',∴直线 l'：，令 ，解得 点 Q 的坐标为 ()或()。 5. (1)由题意得点 A 的横坐标为 2，纵坐标为 1.5+0.5=2,∴上边缘抛物线的顶点为 A(2,2). 设上边缘抛物线的函数表达式为 抛物线过点 ，解得 上边缘抛物线的函数表达式为 当 时，，解得 (舍去),∴喷出水的最大射程 OC 为 6 米. (2)解法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线 ,∴点 H(0,1.5)关于直线 的对称点为(4,1.5),∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4 米得到的，∴将点 C 向左平移 4 米得到点 B 的坐标为(2,0). 解法二：∵下边缘抛物线可以看作是上边缘抛物线向左平移得到，∴可设下边缘抛物线的函数表达式为 ，将点 H(0,1.5)的坐标代入，解得 (舍去),∴下边缘抛物线的表达式为 当 时，，解得 (舍去),∴点 B 的坐标为(2,0). (3)∵EF=1,∴点 F 的纵坐标为 1，令 ，解得 (舍去),∴d 的最大值为 当下边缘抛物线经过点 D 时，d 的最小值为 2. 综上所述，。 6. 任务 1：以拱顶为原点，建立如图 1 所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且经过点(10,-5). 设该抛物线函数表达式为 ，则该抛物线的函数表达式是 任务 2：∵水位再上涨 1.8m 达到最高，灯笼底部距离水面至少 1m，灯笼长 0.4m,∴悬挂点的纵坐标 ,∴悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8. 当 时，，解得 悬挂点的横坐标的取值范围是. 任务 3：有两种设计方案. 方案一：如图 2(坐标系的横轴，图 3 同)，从顶点处开始悬挂灯笼. ，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m,∴若顶点一侧挂 4 盏灯笼，则 1.6×4>6，若顶点一侧挂 3 盏灯笼，则 1.6×3<6,∴顶点一侧最多可挂 3 盏灯笼. ∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂 7 盏灯笼，∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8. 方案二：如图 3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为 0.8m，∵若顶点一侧挂 5 盏灯笼，则 0.8+1.6×(5-1)>6，若顶点一侧挂 4 盏灯笼，则 0.8+1.6×(4-1)<6,∴顶点一侧最多可挂 4 盏灯笼. ∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂 8 盏灯笼，∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6。 【链接好题】 1. (1)①根据小球飞行的水平距离 x(米)与小球飞行的高度 y(米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为 解得 二次函数的表达式为 ，当 时，，解得 (舍去),. 当 时， 故答案为 3；6. ②联立得 解得 或 点 A 的坐标是 (). (2)①由题干可知小球飞行最大高度为 8 米. 故答案为 8. ②，则 ，解得 (负值舍去)。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $