精品解析：吉林省吉林市普通中学2027届高三上学期第一次调研测试数学试题

吉林市普通中学2026—2027学年度高中毕业年级第一次调研测试 数学试题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚． 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别明确集合，，再根据交集的概念求. 【详解】由，所以； 由，所以. 所以. 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特例排除选项A、B、D，利用幂函数性质证明选项C. 【详解】对于A：取，则满足，但，A错误； 对于B：取，此时无意义，不成立，B错误； 对于C：因为函数在单调递增，且，所以，C正确； 对于D：取，则，D错误. 3. 已知函数，则“”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若函数是幂函数，则，解得或， 对于充分性：当时，函数是幂函数，可得充分性成立， 对于必要性：当函数是幂函数时，或，必要性不成立， 得到“”是“函数是幂函数”的充分不必要条件，故A正确. 4. ，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可得. 【详解】由，当且仅当时，等号成立， 因为，，故. 5. 已知等边三角形的边长为2，，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在等边三角形中，向量和的夹角， 故，同理， 所以 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得； ，解得； . 7. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数分别求单调性，结合函数最值和极值得到函数图象，结合函数图象求解. 【详解】当时，是开口向上的二次函数，当时，取到最小值； 当时，， ，令得， 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以在处取到极大值，，且当时，，且. 综上所述，分段函数图象如下所示， 若函数有3个零点，则实数的取值范围是. 8. 某武术比赛中，共有12位评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分．已知选手甲原始得分的平均分为90.5分，方差为17.75，去掉一个最高分96分，去掉一个最低分80分，则选手甲剩余10个分数的平均数和方差分别为（ ） A. 90.5，7 B. 91，7 C. 91，9.75 D. 91，97.75 【答案】B 【解析】 【详解】设这12个得分由低到高为， 因为选手甲原始得分的平均分为90.5分， 所以原始总分为分, 剩余10个分数的总分为分， 所以剩余分数的平均分为分， 由方差的计算公式：， 因为原始方差为17.75， 所以有， 所以， 去掉最高分96和低分80后的平方和， 所以剩下10个数据的方差为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A：函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到，A错误； 对于B：函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 得到，B正确； 对于C：函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到，C正确； 对于D：函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度， 得到，D错误. 10. 甲、乙两个袋中都有质地完全相同的3个红球和2个白球．先从甲袋中随机取出2个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．分别记事件“从甲袋取出同色球”，事件“从甲袋取出异色球”，事件“从乙袋取出的球是红球”，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】借助对立事件定义可得A；借助相互独立事件定义计算可得B；借助概率公式计算可得C、D. 【详解】对A：事件发生时，事件不发生，且事件不发生时，事件必发生， 故二者互为对立事件，故A正确； 对B：，，， ，故事件与事件不相互独立，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 11. 已知函数，且函数为奇函数．若过点可以作出曲线的三条切线，则（ ） A. 的对称中心是 B. C. D. 实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据写出的解析式，根据为奇函数即可求解与，即可判断B和C，根据对称中心的定义式即可求解A选项，对于D，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将题目转化为方程有三个不同的实数根的问题，利用导数结合函数图像，即可求解的取值范围. 【详解】对于A， ， 因为为奇函数，所以偶次项系数，常数项， 即，解得， 所以， 所以， 所以， 所以函数的对称中心是，故A错误. 对于B，由上述可知，，故B正确. 对于C，由上述可知，，故C正确. 对于D，， ， 设切点为， 切线斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，代入得： ， 展开整理得：， 因为过点可以作出曲线的三条切线， 即方程有三个不同的实数根， 令， ， 所以当或时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取极小值为； 当时，取极大值为； 图像如下： 要使有三个不同的实数根， 则，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】，，，，解得. 13. 已知等比数列的前项和为，公比为，且，若，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，即，故， 等比数列的公比为，， 化简得：由于，则 14. 函数的部分图象如图所示，点是的中点，则点的纵坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意设出点的坐标，进而得到，，最后联立得到，解出后求出的纵坐标即可. 【详解】由题意得是的中点，设，，， 因为在上，所以，可得， 不妨令，可得，而在上，可得， 令，得到，而在上，可得， 联立可得，化简得， 解得（其它根舍去），可得. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将化简一下用基本量表示出来解方程可得，进而求出通项公式； （2）将代入后，作为一组分组表示出来可得前项和. 【小问1详解】 由可得，即， 设等差数列的公差为，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得，进而求得的值； （2）根据题意，利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得， 即，即， 又因为，所以，即， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：，因为，的面积为， 可得，解得， 又由余弦定理得， 因为，所以. 17. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求实数的最大值； （3）若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的几何意义，先求出切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程即可； （2）由恒成立，则且，求出在上的最小值和最大值，即可求出的最大值； （3）对不等式进行变形，利用同构函数，参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出的取值范围即可. 【小问1详解】 ，在处切线斜率， ，∴切点为， ∴曲线在处切线方程为，即； 【小问2详解】 对任意恒成立，则且， 由（1）知，令，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，且， ． 且，，， 即当且时，实数的最大值为； 【小问3详解】 由题可知，对任意恒成立． ，，． 设，，，则在上单调递减， ，， ，即在上恒成立． 设（），则， ，令，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，， ，即正实数k的取值范围是． 18. 某饮品公司研发青柠、凤梨两款果饮新品，委托质检机构进行口感评分测试．现从首次试饮者中各随机抽取人，分别画出样本的频率分布直方图，但凤梨试饮者评分图局部有污损，如图所示． （1）（ⅰ）根据频率分布直方图，估计青柠试饮者评分的平均分，并估计凤梨试饮者评分的第百分位数； （ⅱ）现有甲、乙、丙、丁位凤梨试饮者，经调查，甲和乙的评分大于，丙和丁的评分不大于，现从该人中随机选人，求所选人评分均大于的概率； （2）该饮品公司根据市场调研，制定如下规则：首次试饮评分不低于分代表顾客对饮品口感满意，低于分代表不满意．首次试饮满意的不用第二轮试饮，即认为对该公司生产的饮品满意；首次试饮不满意者进行第二轮，换饮另一款饮品．已知首轮试饮青柠饮品不满意者，换饮凤梨饮品后满意的概率为；首轮试饮凤梨饮品不满意者，换饮青柠后满意的概率为．第二轮试饮满意也认为对该公司生产的饮品满意．用样本频率估计概率，每名试饮者最多试饮两轮，不同试饮者对饮品是否满意相互独立．现有，两位顾客分别首次试饮青柠、凤梨饮品，根据上述规则完成试饮后，求恰有1人对该公司生产的饮品满意的概率． 【答案】（1）（ⅰ）青柠试饮者评分的平均分为分，第百分位数为分， （ⅱ）. （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）用到频率分布直方图，用组中值算平均数、插值法求百分位数， （ⅱ）应用古典概型=求概率即可， （2）应用独立事件概率计算即可. 【小问1详解】 （ⅰ）样本的青柠试饮者评分的平均分为， 则估计青柠试饮者评分平均分为， 凤梨试饮者评分：累计频率为， 累计频率为， 所以第百分位数落在区间内，设为， ， 所以凤梨试饮者评分的第百分位数为. （ⅱ）从人中任选人，可得：， 所选人评分均大于的事件只有种， 所以所求概率为. 【小问2详解】 由样本频率估计概率：首次试饮满意概率为，不满意概率为， 顾客最终满意概率：， 顾客最终满意概率：， 恰有人满意得概率：， 所以所求概率为. 19. 如图，在半径为1的扇形中，圆心角，依次作圆，，…，．设圆的半径为，，其中：圆与圆弧及半径，均相切；当且时，圆与半径，均相切，且与圆外切． （1）当时，求，，及数列的前项和； （2）对于正整数，是关于的函数． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求使取最大值时的的值，并证明：（是自然对数的底数）． 【答案】（1），，． （2）（ⅰ）． （ⅱ），， （），，， 由（i）知，是以为首项，为公比的等比数列． ， 设，，， 则，．设，， ，令，则， 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减， ． 当，即当时，取最大值， 要证，只需证， 只需证，设，则， 即证，即证， 设，，在上恒成立， 在上单调递增，， 成立． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线处圆心距离公式，由相切条件得到首项与公比，识别等比数列完成计算求和. （2）（i）建立关于的一元函数，借助导数或者基本不等式求最大值；（ⅱ）构造等比数列得到的表达式，再构造函数，求导找到极值点，最后再利用导数放缩证明结论. 【小问1详解】 由题可知，，且，， 又，，， ． 当且时，，， 则，即， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ． 【小问2详解】 （i）（求函数表达式的方法一），则，． ，， ，， ，． （求函数表达式的方法二）由题知， 又，，．． （求最值的方法一：直接换元法）设，， 设，，，则， 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为． （求最值的方法二：分母用基本不等式转化）． 当且仅当，即时取等号，的最大值为． （求最值的方法三：分子用基本不等式转化） 当且仅当，即时取等号，的最大值为． （求最值的方法四：三角恒等变换后换元） ，， ，设，则． 设，，则对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， ∴当即时，即的最大值为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市普通中学2026—2027学年度高中毕业年级第一次调研测试 数学试题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚． 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则“”是“函数是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. ，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等边三角形的边长为2，，，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某武术比赛中，共有12位评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分．已知选手甲原始得分的平均分为90.5分，方差为17.75，去掉一个最高分96分，去掉一个最低分80分，则选手甲剩余10个分数的平均数和方差分别为（ ） A. 90.5，7 B. 91，7 C. 91，9.75 D. 91，97.75 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 10. 甲、乙两个袋中都有质地完全相同的3个红球和2个白球．先从甲袋中随机取出2个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．分别记事件“从甲袋取出同色球”，事件“从甲袋取出异色球”，事件“从乙袋取出的球是红球”，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 事件与事件相互独立 C. D. 11. 已知函数，且函数为奇函数．若过点可以作出曲线的三条切线，则（ ） A. 的对称中心是 B. C. D. 实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则_________． 13. 已知等比数列的前项和为，公比为，且，若，则_________． 14. 函数的部分图象如图所示，点是的中点，则点的纵坐标是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的值． 17. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求实数的最大值； （3）若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 18. 某饮品公司研发青柠、凤梨两款果饮新品，委托质检机构进行口感评分测试．现从首次试饮者中各随机抽取人，分别画出样本的频率分布直方图，但凤梨试饮者评分图局部有污损，如图所示． （1）（ⅰ）根据频率分布直方图，估计青柠试饮者评分的平均分，并估计凤梨试饮者评分的第百分位数； （ⅱ）现有甲、乙、丙、丁位凤梨试饮者，经调查，甲和乙的评分大于，丙和丁的评分不大于，现从该人中随机选人，求所选人评分均大于的概率； （2）该饮品公司根据市场调研，制定如下规则：首次试饮评分不低于分代表顾客对饮品口感满意，低于分代表不满意．首次试饮满意的不用第二轮试饮，即认为对该公司生产的饮品满意；首次试饮不满意者进行第二轮，换饮另一款饮品．已知首轮试饮青柠饮品不满意者，换饮凤梨饮品后满意的概率为；首轮试饮凤梨饮品不满意者，换饮青柠后满意的概率为．第二轮试饮满意也认为对该公司生产的饮品满意．用样本频率估计概率，每名试饮者最多试饮两轮，不同试饮者对饮品是否满意相互独立．现有，两位顾客分别首次试饮青柠、凤梨饮品，根据上述规则完成试饮后，求恰有1人对该公司生产的饮品满意的概率． 19. 如图，在半径为1的扇形中，圆心角，依次作圆，，…，．设圆的半径为，，其中：圆与圆弧及半径，均相切；当且时，圆与半径，均相切，且与圆外切． （1）当时，求，，及数列的前项和； （2）对于正整数，是关于的函数． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求使取最大值时的的值，并证明：（是自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $