2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册自编测试(2)（上海专用）

2026-2027学年八年级上册沪教版五四制期中自编测试 （上海专用）解析版 （满分150分　考试时间100分钟） 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第19—21章（至一元二次方程的应用） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填在答题纸的相应位置上】 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念．无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的无理数有三类：开方开不尽的数、、以及像（相邻两个1之间0的个数逐次加1）这样的数． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，不符合题意；B．是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；C．是分数，属于有理数，不符合题意；D．是整数，属于有理数，不符合题意．故选：B． 【点睛】判断一个数是不是无理数，关键看它能否写成两个整数之比；带根号的数不一定都是无理数，如、等． 2．若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于． 【详解】解：由题意得，解得．故选：C． 【点睛】注意“有意义”包含被开方数等于的情形，所以取“”而不是“”． 3．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．先确定、、的值，再计算，由的符号判断根的情况． 【详解】解：，，，，∴原方程有两个相等的实数根．故选：B． 【点睛】本题也可以直接因式分解：，得，同样说明有两个相等的实数根． 4．用配方法解方程，配方后所得的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法．配方时，先把常数项移到右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：移项，得；两边同时加上，得，即．故选：A． 【点睛】配方的关键是“一次项系数一半的平方”，且两边要同时加上，不能只在左边加． 5．已知关于的方程的一个根是，则方程的另一个根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：． 【详解】解：设另一个根为，由根与系数的关系，得，∴．故选：A． 【点睛】也可以把代入方程求出，再解方程，得两根为和，结果一致． 6．某班同学毕业时互赠照片留念，全班共送出照片张．若设全班有名同学，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的建模．互赠照片时，每名同学都要给除自己以外的其他同学送一张，送出与被送出是有区别的，所以总数不需要除以． 【详解】解：每名同学需送出张照片，全班名同学共送出张，∴．故选：A． 【点睛】若把“互赠照片”换成“两两握手”，则每两人之间只算一次，总数要除以，即，请注意区别． 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．的立方根是________． 【答案】 【详解】本题考查立方根的概念．∵，∴的立方根是． 【点睛】注意立方根与平方根的区别：负数没有平方根，但负数有立方根，且立方根只有一个． 8．计算：________． 【答案】 【详解】本题考查二次根式的化简与合并．，∴原式． 【点睛】只有被开方数相同的二次根式才能合并，合并时只把系数相加减． 9．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【详解】本题考查实数的大小比较．∵，而，∴，即． 【点睛】比较含二次根式的两个数，常用“平方法”或把整数写成算术平方根的形式再比较被开方数． 10．若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【详解】本题考查最简二次根式与同类二次根式．，由同类二次根式的定义得，∴． 【点睛】判断同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再看被开方数是否相同． 11．计算：________． 【答案】 【详解】本题考查二次根式的乘法与平方差公式．原式． 【点睛】含二次根式的乘法同样可以运用平方差公式、完全平方公式简化运算． 12．方程的解是________． 【答案】， 【详解】本题考查用因式分解法解一元二次方程．移项得，提公因式得，∴或，即，． 【点睛】解这类方程时不能两边同时除以，否则会丢掉这个根． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】本题考查根的判别式．∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得． 【点睛】注意“有两个不相等的实数根”对应，而“有两个实数根”对应． 14．已知、是方程的两个实数根，则________． 【答案】 【详解】本题考查根与系数的关系．由韦达定理得，，∴． 【点睛】使用韦达定理前不必求出两个根，直接整体代入即可；注意中的负号． 15．一个直角三角形的两条直角边的长分别是方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是________． 【答案】 【详解】本题考查解一元二次方程与勾股定理．解方程得，，即两条直角边长为和，由勾股定理得斜边长为． 【点睛】本题是方程与几何的结合，求出边长后要用勾股定理，不能把两根直接相加． 16．某药品原价每盒元，经过连续两次降价后每盒元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是________． 【答案】10% 【详解】本题考查平均变化率问题．设每次降价的百分率为，则，解得，∴，即，．∵降价的百分率应小于，∴，即%． 【点睛】变化率问题中，增长用，降低用；解出的两个值都要检验是否符合实际意义． 17．若，则________． 【答案】 【详解】本题考查非负数的性质．∵，，且它们的和为，∴，，∴，，． 【点睛】几个非负数之和为，则每一个非负数都为，这是常用的解题依据． 18．在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【详解】本题考查在实数范围内分解因式．令，由求根公式得，∴． 【点睛】若二次三项式的两根为、，则． 三、解答题：（本大题共7题，19题6分，20题6分、21、22，23题每题8分，24题10分） 19．（本题满分6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化以及二次根式的加减乘除混合运算．第(1)题先化简各个二次根式并把分母有理化，再合并同类二次根式；第(2)题先用完全平方公式展开，再化简，最后合并． 【详解】解：(1)原式． (2)∵，，， ∴， ∴， 即，． 【点睛】二次根式的混合运算，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；结果要化成最简二次根式． 20．（本题满分6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查根的判别式与根与系数的关系．第(1)题由“有两个实数根”得；第(2)题先由韦达定理用表示与，再把变形为，得到关于的方程． 【详解】解：(1)∵方程有两个实数根， ∴， 解得． (2)由根与系数的关系，得，． ∵， ∴，解得． ∵满足，∴的值为． 【点睛】求出的值后一定要检验是否满足第(1)题中的条件，这是本题的得分点之一． 21．（本题满分8分）某校图书馆年底有图书万册，年底有图书万册． (1)求年底到年底这两年图书册数的年平均增长率； (2)如果年底的增长率与前两年相同，请预测年底该校图书馆有图书多少万册． 【答案】(1)；(2)万册． 【分析】本题考查一元二次方程在平均增长率问题中的应用．设年平均增长率为，则经过两年后图书册数为，依题意列方程，解出后取舍，再代入求第三年的册数． 【详解】解：(1)设这两年图书册数的年平均增长率为． 根据题意，得， ∴，∴， ∴，． ∵增长率应为正数，∴不合题意，舍去，∴． 答：这两年图书册数的年平均增长率为． (2)（万册）． 答：预测年底该校图书馆有图书万册． 【点睛】增长率问题的一般模型是（为起始量，为终止量，为变化次数）；解出的根要根据“增长率大于且通常小于”进行取舍． 22．（本题满分8分）某小区计划用总长为米的栅栏围成一个矩形花坛，花坛的一边靠墙（墙长为米），另外三边用栅栏围成． (1)若花坛的面积为平方米，求花坛垂直于墙的一边的长； (2)花坛的面积能否达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)米；(2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查一元二次方程在几何面积问题中的应用．设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，由矩形面积公式列方程求解；第(2)题先假设面积能达到平方米列出方程，再用判别式判断方程是否有实数根． 【详解】解：(1)设花坛垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米． 根据题意，得， 整理，得，即， 因式分解，得，∴，． 当时，，超过墙长，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：花坛垂直于墙的一边的长为米． (2)不能．理由：假设花坛的面积能达到平方米，则， 整理，得． ∵， ∴该方程没有实数根，假设不成立，即花坛的面积不能达到平方米． 【点睛】几何面积问题中，求出的根必须同时满足“边长大于”和题目中的附加条件（如墙长），不符合的要舍去；“能否达到”一类问题，通常转化为判断方程的判别式． 23．（本题满分8分）某商店以每件元的价格购进一批商品，当售价为每件元时，每天可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经市场调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．若商店希望每天销售这种商品的利润为元，且尽可能让利于顾客，则每件商品应降价多少元？ 【答案】每件商品应降价元． 【分析】本题考查一元二次方程在销售利润问题中的应用．基本关系是“利润每件利润销售量”．设每件降价元，则每件利润为元，每天销售量为件，依此列方程，求出后按“尽可能让利于顾客”取舍． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件利润为元，每天可售出件． 根据题意，得， 整理，得， 即， 因式分解，得，∴，． ∵要求尽可能让利于顾客，即售价应尽可能低，∴取（此时售价为元）． 答：每件商品应降价元． 【点睛】销售问题中，“降价元”与“涨价元”的表达式不同，要看清题意；本题两个根都符合方程，需根据“让利顾客”这一条件取舍，这是常见的失分点． 24．（本题满分10分）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，且斜边长为，求的值； (3)若该方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的周长为，求这个矩形的面积． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)． 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系以及方程与几何的综合．第(1)题计算，说明恒成立；第(2)题先用求根公式表示两根，再由勾股定理列方程求，注意边长必须为正；第(3)题由周长得两根之和为，用韦达定理求，再求两根之积即面积． 【详解】(1)证明： ． ∵，∴无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． (2)解：∵，∴由求根公式得， ∴，． ∵这两个根是直角三角形的两条直角边长，斜边长为， ∴， 整理，得，即， 解得，． ∵直角边长必须为正数，∴，即，∴不合题意，舍去，∴． (3)解：∵矩形的周长为，∴，即． 由根与系数的关系，得， ∴，解得． 当时，，， ∴矩形的面积为． 【点睛】第(2)题求出后必须检验边长是否为正，这是易错点；第(3)题抓住“周长”得到两根之和，是解题的突破口． 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19．（本题满分6分）计算： (1)； (2)． 20．（本题满分6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 21．（本题满分8分）某校图书馆年底有图书万册，年底有图书万册． (1)求年底到年底这两年图书册数的年平均增长率； (2)如果年底的增长率与前两年相同，请预测年底该校图书馆有图书多少万册． 22．（本题满分8分）某小区计划用总长为米的栅栏围成一个矩形花坛，花坛的一边靠墙（墙长为米），另外三边用栅栏围成． (1)若花坛的面积为平方米，求花坛垂直于墙的一边的长； (2)花坛的面积能否达到平方米？请说明理由． 23．（本题满分8分）某商店以每件元的价格购进一批商品，当售价为每件元时，每天可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经市场调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．若商店希望每天销售这种商品的利润为元，且尽可能让利于顾客，则每件商品应降价多少元？ 25．（本题满分10分）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，且斜边长为，求的值； (3)若该方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的周长为，求这个矩形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $