期中压轴突破讲义 2026-2027学年 沪科版九年级数学上册

沪科版九年级上册 期中压轴突破 · 培优讲义 期中压轴突破 二次函数 · 反比例函数 · 相似形 · 图形变换 目　录 一、本册导航 3 　微专题 1　二次函数的图象与系数 3 　　题型 1　由图象判断系数与结论 5 　　题型 2　两个函数的图象配对 6 　　题型 3　动点面积与函数图象 7 　　题型 4　抛物线的平移与对称 10 　微专题 2　闭区间上的最值与参数反求 11 　　题型 1　闭区间上的最大值与最小值 13 　　题型 2　最值反求参数 14 　　题型 3　两动点函数值的和与差 14 　　题型 4　到坐标轴的距离与线段长 15 　微专题 3　含参二次函数与方程、不等式 15 　　题型 1　抛物线恒过定点 16 　　题型 2　用增减性比较函数值 17 　　题型 3　顶点、对称轴与参数 18 　微专题 4　二次函数的实际应用 19 　　题型 1　分段函数的建模与求值 20 　　题型 2　抛物线轨迹的实际问题 21 　　题型 3　从数据到函数关系 24 　　题型 4　距离平方的建模 25 　微专题 5　反比例函数与 $k$ 的几何意义 26 　　题型 1　$k$ 的几何意义与面积 27 　　题型 2　双曲线与一次函数的交点 28 　　题型 3　双曲线上的点列 30 　　题型 4　双曲线与几何图形 31 　微专题 6　二次函数与几何综合 32 　　题型 1　竖直线段长的最大值 34 　　题型 2　三角形面积的最大值 36 　　题型 3　面积比与点的存在性 40 　微专题 7　相似三角形的判定与性质 41 　　题型 1　判定与性质的基本运用 43 　　题型 2　比例线段与乘积式 45 　　题型 3　母子型与一线三等角 47 　　题型 4　相似与勾股、垂直平分线 48 　微专题 8　图形变换与特殊四边形 49 　　题型 1　折叠与翻折 51 　　题型 2　旋转与手拉手模型 53 　　题型 3　正方形与矩形中的全等 56 　　题型 4　折纸实践与特殊四边形判定 58 　微专题 9　几何最值与动点 60 　　题型 1　动点在定线段上的最值 61 　　题型 2　对称点与最短路径 62 　　题型 3　旋转中的最值 63 　　题型 4　角平分线与线段乘积 63 　微专题 10　新定义问题 63 　　题型 1　函数的新定义 65 　　题型 2　点的新定义 65 　　题型 3　图形的新定义 66 一、本册导航 学习目标 本册要解决的问题 1．会由 的符号读出抛物线的开口、对称轴与截距，也会反过来由图象列出对三个系数的约束。 2．会判断 这类组合式的符号，把它们对应到图上某个点的纵坐标或对称轴的位置。 3．会在闭区间上求二次函数的最值，会按对称轴与区间的位置关系分类讨论，并反求参数的取值范围。 4．会用“含参数的项并起来、令系数为零”求抛物线恒过的定点，会用“离对称轴的远近”比较函数值。 5．会把轨迹、利润、分段收费等实际情境翻译成二次函数或分段函数，写解析式时先定定义域。 6．会用 的几何意义算双曲线围成的面积，会用交点横坐标的韦达定理反求 7．会把竖直线段长、三角形面积写成关于横坐标的二次函数，用铅垂高法与割补法求最值。 8．会证两个三角形相似，能把乘积式化成比例式，会识别母子型、一线三等角与手拉手三类模型。 9．会把翻折翻译成垂直平分线、把旋转翻译成全等，会用对称点求两条线段之和的最小值。 10．遇到新定义，会先把定义逐字翻译成方程或图形关系，再按限定词筛答案。 重点与难点 本册的核心与门槛 重点　抛物线的对称轴与顶点；闭区间最值的三种位置；含参项的归并求定点； 的几何意义；铅垂高法求面积；相似判定的三条路；翻折即垂直平分线；旋转即全等；对称点求最短路径。 难点　① 组合式 的符号判断；② 区间带参数时最值的分类讨论；③ 动点面积必须分段写解析式；④ 面积比与线段比的相互转化；⑤ 存在性问题的多情形枚举；⑥ 旋转后动点轨迹只取一段圆弧；⑦ 新定义题的限定词筛选。 学习主线 方法的先后次序 读系数定图象 → 组合式找对应点 → 闭区间分三类 → 归并参数求定点 → 离轴远近比大小 → 实际情境先定定义域 → 算面积 → 竖直线段写函数 → 铅垂高求面积 → 找等角证相似 → 乘积化比例 → 翻折化垂直平分线 → 旋转化全等 → 对称点化直线 → 新定义逐字翻译。 微专题 1　二次函数的图象与系数 模块导学 二次函数的图象与系数 沪科版九上的压轴题，第一道关口是“不画图也能说出图长什么样”。给定 要能立刻读出开口方向（ 的符号）、对称轴（）、与 轴交点（）、与 轴的交点个数（ 的符号），反过来看见图也要能列出对 的约束。这一节把“图文互译”练成条件反射，后面的区间最值、含参讨论、几何综合全都建立在它上面。 知识梳理 知识点 1　 的符号与图象特征（重点） ① 定开口： 开口向上， 开口向下； 越大开口越窄。 ② 与 一起定对称轴：对称轴是 “左同右异”——对称轴在 轴左侧时 同号，在右侧时异号， 时对称轴就是 轴。 ③ 是与 轴交点的纵坐标：图象过 交在正半轴， 交在负半轴。 ④ 定交点个数： 两个交点， 一个， 没有。 注意　题目给的是“图象经过某点”，代进去得到的是关于 的一个等式，配合对称轴方程才能定出符号；只有一个等式时，结论往往是“取值范围”而不是定值。 易错　把 这类式子直接当系数看。它们的符号要用对称轴 与 的大小关系、或图象上 处的函数值来判断。 知识梳理 知识点 2　特殊代数式的符号判断（难点） ① 就是 处的函数值 就是 处的函数值； 对应 看到这几种组合，先找对应的点在图上的位置。 ② 与 的符号由对称轴决定： 不好记，直接用对称轴 等价于 （ 时）。 ③ 的变体： 与 比较； 这类要借 放缩。 ④ 判断完每条结论后，若结论里带参数（如“无论 取何值，抛物线一定经过某点”），要把含 的项并起来，令系数为零。 易错　“”这类乘积符号，必须三条都确实定出符号才能判；若其中一条只能定出“非负”或需要分类，这个结论就不能直接判对。 知识梳理 知识点 3　由动点面积反推图象（重点） ① 动点沿折线（如 ）运动，面积关于时间的函数一定分段：每经过一个顶点，解析式就换一段。 ② 分段后每一段都是二次函数（或一次函数），所以整段图象由若干抛物线弧与线段拼成；拐点对应动点到达顶点的时刻。 ③ 先算出各拐点的时间坐标与面积值，再看“先增后减还是先减后增”，一般不用写出完整解析式就能排除选项。 ④ 两个动点同时出发时，用“谁先到端点”确定总时长，超过总时长的部分不再延伸。 注意　看图选择题先看起点和终点：起点不是原点说明有初始面积，终点对应的面积若不为 说明停止时图形还没消失。 易错　把两个动点的速度直接相加当成相对速度。只有两者沿同一条线相向或同向运动时才能用相对速度，沿折线运动必须分段。 知识梳理 知识点 4　平移与对称后的解析式（基础） ① 上下平移只改 向上平移 个单位得 ② 左右平移改 向左平移 个单位，把 换成 即 ③ 关于 轴对称： 换成 即 开口反向、顶点上下翻。 ④ 关于 轴对称： 换成 得到 对称轴变为原来的相反数。 易错　“关于 轴对称”和“关于 轴对称”记混：关于 轴翻折是上下颠倒（ 变号），关于 轴翻折是左右颠倒（ 变号）。 　题型 1　　由图象判断系数与结论 　例 1　　（2026 合肥长丰县 10） 如图， 二次函数．的图象经过点和与y轴交于负半轴，下列四个结论，不正确的是（ ） A． B． C． D． 　例 2　　（2026 宣城六中 10） 如图，如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线且．直线与x轴交于点C（点C在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①②③④． A．0 B．1 C．2 D．3 　例 3　　（2026 蚌埠G5联考 10） 已知抛物线（a，b，c为常数，经过点且对称轴为直线有下列结论：①②③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．其正确结论有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 　例 4　　（2026 合肥五十中西校 10） 抛物线（a,b,c是常数，经过两点，且．下列四个结论：①②若则③若则关于x的一元二次方程无实数解；④点在抛物线上，若总有则．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　题型 2　　两个函数的图象配对 　例 5　　（2026 阜阳市期中 10） 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 　题型 3　　动点面积与函数图象 　例 6　　（2026 安庆市期中 10） 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），的面积为y（c），则y关于x的函数图象是（ ） A． B． C． D． 　例 7　　（2026 合肥一六八中学 10） 如图，在菱形ABCD中，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（c），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A． B． C． D． 　例 8　　（2026 滁州天长市 10） 如图，在凸四边形中，O为边AB的中点，于点E．若设则y关于的函数图象为（ ） A． B． C． D． 　例 9　　（2026 六安部分校联考 10） 如图，在两个全等的和中，斜边AC，DF在一条直线上且点A与F重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点D与点C重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为y个单位面积，的移动时间为x秒，则y关于的函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 　题型 4　　抛物线的平移与对称 　例 10　　（2026 合肥市期中 10） 已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接OM，则长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 　例 11　　（2026 合肥四十五中 23） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点且与x轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将该二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）是否存在实数使得对于函数上任意的一点也在函数图象上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 12　　（2026 宣城六中 14） 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为连接AB．已知抛物线． （1）当抛物线同时经过A，B点时，h的值为      ． （2）若抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是      ． 　 微专题 2　闭区间上的最值与参数反求 模块导学 闭区间上的最值与参数反求 二次函数在闭区间上的最值，答案只可能出现在“顶点”或“区间端点”三处，所以先算对称轴、再看对称轴落在区间的哪一侧，是这类题的固定套路。更难的一层是反着来：题目告诉你“最小值是 ”“ 恒成立”，要求参数的取值范围——这时要按对称轴与区间的位置关系分类讨论，把每种情形下的最小值写出来解方程或不等式。 知识梳理 知识点 1　闭区间最值的三种位置（重点） ① 对称轴在区间左侧（）：函数在区间上单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 ② 对称轴在区间内部（）：最小值在顶点取到，最大值在离对称轴较远的那个端点取到。 ③ 对称轴在区间右侧（）：函数在区间上单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 ④ 比较两个端点离对称轴的远近： 与 谁大，对应的函数值就大（开口向上时）。 注意　区间带参数（）时，对称轴与区间的位置关系也随 变，必须分类讨论，不能只算顶点。 易错　开口向下时，顶点是最大值而不是最小值，端点才是最小值，位置表要整套反过来。 知识梳理 知识点 2　恒成立与最值反求参数（难点） ① “ 恒成立”等价于“在区间上 的最大值 ”；“ 恒成立”等价于“最小值 ”。先把恒成立翻译成最值，再去求最值。 ② “最小值是 ”这类条件，要按对称轴在区间左、内、右三种情形分别写出最小值的表达式，再与 相等，解出的 还要回代检验是否落在该情形允许的范围内。 ③ 若三种情形解出的 与假设矛盾，该情形舍去；全部舍去说明题目数据有误或另有隐含条件。 ④ 判断“函数值随 增大而减小”的范围，本质是求单调区间： 时在对称轴左侧递减，右侧递增。 易错　解出 之后忘记检验它是否满足“当前情形”的前提，把不成立的解留下。 知识梳理 知识点 3　两动点函数值的和与差（难点） ① 两点横坐标之差为定值 时， 可以配成关于其中点的式子：设中点为 两点为 加起来后交叉项消掉，只剩 的二次函数。 ② 竖直线段长 等于“上方的函数值减下方的函数值”，是一个新的二次函数，它的最大值在顶点处取到，注意定义域由两图象的交点决定。 ③ “线段长随横坐标增大而减小”就是新函数在该区间上单调递减，转化为对称轴与区间的位置关系。 ④ 若线段长带绝对值（上下位置会互换），要先求两条曲线的交点，分段去掉绝对值。 注意　两点的纵坐标之和的最大值，往往与“两点的中点横坐标”有关，先配方再定范围比直接代入快得多。 知识梳理 知识点 4　到坐标轴的距离（基础） ① 点到 轴的距离是 “距离为 ”就是 或 两条水平线与抛物线交点的个数之和才是答案。 ② 点到 轴的距离是 同理分成 与 ③ “有四个点”意味着 与 各自与抛物线有两个交点，于是这两个值都必须大于（开口向上时）最小值。 ④ 平移会把整条抛物线上下移动，最小值跟着变，恰好使某个水平线由“两个交点”变成“一个交点”的时刻，就是参数范围的临界值。 易错　“到 轴距离为 的点有三个”这种情况，是因为其中一条水平线恰好与抛物线相切，临界值要带等号。 　题型 1　　闭区间上的最大值与最小值 　例 13　　（2026 中科大附中 14） 已知二次函数其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是      ； （2）若恒成立，则的取值范围是      ． 　 　例 14　　（2026 宣城多校联考 23） 已知抛物线． （1）当时，求y的最小值； （2）若抛物线的顶点在x轴上，且经过点求a的值； （3）当时，为此抛物线上的两点，若时，总有求a的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　最值反求参数 　例 15　　（2026 合肥一六八中学 14） 已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标      ； （2）当时，y有最小值则m的取值范围为      ． 　 　例 16　　（2026 合肥五十中天鹅湖 22） 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线在这一段位于x轴下方，在这一段位于 x 轴上方，求满足的条件； （3）当时，若是抛物线上两点，记抛物线在A、B之间的部分为图象M（包含A、B两点），若图象M上最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　两动点函数值的和与差 　例 17　　（2026 安庆四中 14） 已知抛物线与x轴交于点和与y轴交于点C，且． （1）抛物线的顶点坐标为      ． （2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为      ． 　 　例 18　　（2026 亳州学情调研 14） 已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是        ． （2）若点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线AB与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是        ． 　 　题型 4　　到坐标轴的距离与线段长 　例 19　　（2026 宣城多校联考 14） 已知二次函数． （1）点是该二次函数的图象上一动点，当点M到x轴的距离为2时，的值是      ； （2）若函数的图象上到x轴距离为2的点有四个，则的取值范围是      ． 　 　例 20　　（2026 铜陵十五中联合体 14） 已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），且． （1）此抛物线的顶点坐标为      ． （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点Q，当时，的长度随m的增大而增大，则k的取值范围是      ． 　 微专题 3　含参二次函数与方程、不等式 模块导学 含参二次函数与方程、不等式 参数一进来，抛物线就不再是“一条”，而是一族。这一节练两件事：一是把“无论参数取何值”翻译成“含参数的项恒为零”，从而求出定点；二是把“比较两个函数值的大小”翻译成“谁离对称轴更远”，从而把不等号变成关于横坐标的不等式。掌握了这两条，含参压轴题的（2）（3）问基本都能落笔。 知识梳理 知识点 1　抛物线恒过定点（重点） ① 把解析式按参数整理： 写成 要让 取任何值都成立，只能 得定点 ② 出现两个参数时，把两个参数分别并项，令各自的系数同时为零，解方程组得定点。 ③ 反过来用：题目说“图象始终经过定点 ”，就是让你用上面的方法把 求出来，再代进另一条直线求参数关系。 ④ 定点常常是 轴上的点或 轴上的点，求出后先验证它是否在图上的可见范围内。 注意　整理时必须把所有含参数的项并到一处，只并一半会漏解。 易错　把“经过定点”理解成“顶点固定”。定点是无论参数怎么变都经过的那个点，不是顶点。 知识梳理 知识点 2　用对称轴比较函数值（难点） ① 开口向上时，点离对称轴越远函数值越大；开口向下时，离对称轴越远函数值越小。比较 的大小时，先算 与 ② 题目给“某数”这类条件，实质是给出两点的中点位置，用中点与对称轴的关系来判断远近。 ③ 两点横坐标一个大于对称轴、一个小于对称轴时，要用“到对称轴的距离”比较，不能直接比横坐标大小。 ④ 若两点都在对称轴同侧，直接用单调性： 时右侧递增、左侧递减。 易错　直接由 得出 忽略了增减性在对称轴两侧相反。 知识梳理 知识点 3　顶点、对称轴与参数（重点） ① 顶点坐标统一写成 含参时先把 代进去，能化简的尽量化简。 ② “顶点纵坐标比另一条抛物线的顶点纵坐标小 ”这类条件，是两条抛物线顶点纵坐标之间的等式，列出方程即可求参数。 ③ 顶点在 轴上等价于 顶点在 轴上等价于 ④ 含参解析式经过某个已知点时，先代入求出一个参数，再处理剩下的；两个参数时通常还要用第二个条件（对称轴、顶点、另一个点）联立。 注意　含参题求出参数后要回代检验：有些参数会使二次项系数为 那就不是二次函数了。 知识梳理 知识点 4　抛物线与直线的公共点（难点） ① “直线与抛物线只有一个公共点”有两种可能：联立后 （相切），或直线的斜率使二次项系数为 （退化成一次方程）。两种都要考虑。 ② 联立得 交点个数就是这个方程的实根个数。 ③ “在某个区间内有两个公共点”要同时满足：区间端点处的函数值符号、对称轴落在区间内，三个条件缺一不可。 ④ 若公共点必须在某线段上（不是整条直线），还要把求出的交点坐标代回线段的范围检验。 易错　只算 就下结论，漏掉“直线退化成与对称轴平行”的那一类。 　题型 1　　抛物线恒过定点 　例 21　　（2026 合肥长丰县 23） 设二次函数（b，c为常数），且． （1）若该二次函数的图象过点求该二次函数的表达式； （2）二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数（k为常数，k 0）的图象也经过这个定点，探究实数k，满足的关系式； （3）若该二次函数的图象上有四个不同的点：试求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　用增减性比较函数值 　例 22　　（2026 合肥一六八中学 23） 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 23　　（2026 合肥三十八中 23） 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点求该函数图象的顶点坐标； （2）若点在该函数图象上，且求m的取值范围； （3）若函数图象经过点求证：． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 24　　（2026 阜阳市期中 23） 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线对称轴为直线求顶点坐标； （2）已知是抛物线上两点，当且时．都有求m的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　顶点、对称轴与参数 　例 25　　（2026 阜阳联考B卷 23） 已知抛物线的顶点纵坐标比拋物线的顶点纵坐标小8． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若求的最小值； （ii）若且m 0，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 26　　（2026 合肥五十中新校 14） 若二次函数的图像经过直线l经过两点． （1）        ； （2）当时，直线l与的图像只有一个交点，则的取值范围        ． 　 　例 27　　（2026 阜阳联考B卷 14） 已知抛物线（为常数）． （1）若则该抛物线的对称轴为        ； （2）若该抛物线经过不同的点且与x轴有公共点，则的值为        ． 　 微专题 4　二次函数的实际应用 模块导学 二次函数的实际应用 沪科版把这部分叫“二次函数的应用”，考法固定在三类：一是抛物线形的运动轨迹（投篮、喷水、投石、跳水），要先把实际情境翻译成坐标系里的点；二是数量关系的最优化（利润、面积、排队人数），要先写出函数再求最值；三是分段函数（药效、收费、行程），关键是找准分界点。三类的共同难点都不在计算，而在“设什么为 原点放在哪、定义域写到哪”。 知识梳理 知识点 1　抛物线轨迹的建模（重点） ① 建系三选一：以出发点为原点、以落地点为原点、以最高点正下方的地面点为原点。选得好的话顶点坐标直接就是已知量。 ② 题目给“最高点离地面 米、离发射点水平距离 米”，就是顶点 用顶点式 再代一个已知点定 ③ 定义域由实际范围决定：从发射点开始、到落地（）或到障碍物为止，不能写成全体实数。 ④ “正好打中墙”这类条件，是把墙的位置代进解析式求高度，或把墙高代进去求水平距离。 注意　建系后所有已知点都要换算成坐标，题干里的“离地面 5 米”“水平距离 50 米”不是坐标，别直接往式子里代。 易错　求出解析式后不写定义域，答“射程”时把抛物线另一支的负根也算进去。 知识梳理 知识点 2　分段函数的写与用（重点） ① 分段函数的每一段都有自己的解析式与定义域，分界点是图象的拐点，通常由“释放完毕”“开始收费”这类事件给出。 ② 写解析式时逐段用待定系数法：一次函数要两个点，反比例函数要一个点。 ③ 求“函数值等于某个数”的自变量，要每段分别解，解完检验是否落在该段的定义域内。 ④ 求“函数值不低于某个数”的持续时间，要先解出两段的临界点，再用右端点减左端点。 易错　把两段的解析式混用，或求出解后不检验定义域，导致答案多出增根。 知识梳理 知识点 3　最优化：利润、面积与数量（重点） ① 利润 （售价 成本） 销量，售价随涨价变化时销量也随之变化，两者都要写成同一个变量的式子。 ② 面积最大问题：一边靠墙、围栏总长固定，设垂直于墙的边为 则另一边为总长减去 面积是关于 的二次函数。 ③ 求最值前先写定义域：边长为正、销量非负、价格不低于成本，这些条件共同决定 的范围，最值点若在范围外，答案取端点。 ④ 排队、检票这类“总量 已处理量”的模型，先分别写出两个量关于时间的表达式，再相减。 注意　最值点不在定义域内时，函数在区间上单调，最大（小）值在端点取到，不能直接写顶点。 易错　只算顶点不管定义域，是应用题最常见的失分点。 知识梳理 知识点 4　从数据到函数类型（基础） ① 判断函数类型看“变化率”：差分为常数是一次函数，差分的变化率为常数是二次函数，乘积为常数是反比例函数。 ② 题目给出表格或图象后问“满足哪种函数关系”，先描点看形状，再用两组数据验证。 ③ 选定类型后用待定系数法求解析式，求完必须用第三组数据检验。 ④ 距离的平方关于位置的关系通常是二次函数： 型，配方后就是开口向上的抛物线。 易错　把 的图象当成 的图象：两者的最值点相同，但纵坐标不是一回事。 　题型 1　　分段函数的建模与求值 　例 28　　（2026 亳州学情调研 22） 为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中BC段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值； （3）如果教室内每立方米空气中的含药量不低于且持续时间不低于才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　抛物线轨迹的实际问题 　例 29　　（2026 安庆四中 22） 如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面5m处发射，则石弹在离发射点水平距离50m处达到最大高度25m．如图②，点A为发射点，以水平地面OB为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为20m防御墙BC（BC与OA之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙设投石机离防御墙的水平距离OB为xm，求的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 30　　（2026 安庆市期中 22） 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　从数据到函数关系 　例 31　　（2026 六安部分校联考 23） 综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间x（分钟）之间部分对应值并制成下表： ​ 0 5 10 15 ​ 25 150 225 250 （1）以的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足 函数关系； （3）求与x之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为 ，排队人数w与检票时间的函数关系式为 ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 4　　距离平方的建模 　例 32　　（2026 中科大附中 10） 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A． B． C．点的纵坐标为 D．点在该函数图象上 微专题 5　反比例函数与 $k$ 的几何意义 模块导学 反比例函数与 的几何意义 反比例函数在压轴题里几乎只考一件事： 的几何意义——图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒等于 连到原点的三角形面积恒等于 所有“双曲线与三角形面积”“双曲线与矩形”“双曲线上的点列”的题，都是把图形拆成若干个这样的基本块，再用面积加减拼回去。 知识梳理 知识点 1　 的几何意义（重点） ① 点 在 上，则 过 作两坐标轴的垂线，围成的矩形面积是 ② 连接 则 （ 为垂足）的面积是 与点的位置无关。 ③ 两个点在同一条双曲线上时，它们对应的矩形面积相等，由此可以得到“等高”“等积”的转化。 ④ 双曲线在不同象限时 的符号不同，面积的式子要加绝对值，写答案时按图象所在象限取舍。 注意　面积恒等于 的前提是三角形的一个顶点在原点、另两点在同一条双曲线上；三点都在双曲线上时不成立，要重新拆图。 易错　把 写成 第二、四象限的双曲线 面积仍是正的。 知识梳理 知识点 2　双曲线与一次函数的交点（重点） ① 联立 与 得 两个交点的横坐标是这个方程的两根，满足韦达定理： ② 由 可以反求 这是求反比例系数最快的路径。 ③ 两交点关于原点对称（当直线过原点时），或与原点构成三角形时，面积可以用 计算。 ④ 求“三角形面积为某值”的点，先设点坐标，用坐标表示面积，再解方程；注意点在双曲线的哪一支上，解出的 要检验符号。 易错　联立后忘记二次项系数可能为 （直线与 轴平行时只有一个交点），要先分类。 知识梳理 知识点 3　双曲线上的点列与递推（难点） ① 点列题先在图上标出前三个点，观察横坐标的规律（等差或等比），再写出第 个点的横坐标。 ② 第 个点的纵坐标由 直接算出，通常是 的形式。 ③ 相邻两块面积常常构成等差数列或等比数列，求出前三项就能定通项，再用求和公式。 ④ 若题目只问“前 块面积之和”，往往可以整体相消（裂项），不必逐项算。 注意　点列的横坐标常是 这样的等间距，但纵坐标不是等差数列，别把两者混为一谈。 知识梳理 知识点 4　双曲线与几何图形（难点） ① 矩形、正方形放在双曲线旁时，先把顶点坐标设出来（含一个参数），再用“点在双曲线上”列方程。 ② 折叠类问题里，折痕是垂直平分线，折后的点坐标可以用“到两端点距离相等”求。 ③ 求线段比、面积比时，优先找相似三角形或等高的三角形（面积比 底边比）。 ④ 若两条双曲线关于原点对称、或一条在另一条的对称位置，可以用“ 互为相反数”快速定系数。 易错　设点坐标时只设一个参数却忘了另一个坐标由函数关系决定，导致方程个数不够。 　题型 1　　$k$ 的几何意义与面积 　例 33　　（2026 亳州学情调研 10） 如图，反比例函数的图象过Q，R两点，QR的延长线交x轴于点V，R为QV的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，QS交RO于点U，下列结论，①②③④．其中正确的是（ ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 　例 34　　（2026 合肥长丰县 14） 如图，点在双曲线上，过作直线AD交双曲线于点B，过A作轴于C，连接 （1）的值为        ； （2）若的面积为3，则的值为     ． 　 　题型 2　　双曲线与一次函数的交点 　例 35　　（2026 宣城六中 22） 如图，直线 与双曲线 交于 两点，点 的坐标为 经过点 的直线 与 轴交于点 ． （1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标； （2）点P是x轴上一动点，连接AP，若是的面积的一半，求此时点P的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 36　　（2026 滁州天长市 22） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P（m，4），与x轴交于点与y轴交于点C，轴于点B，且． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　双曲线上的点列 　例 37　　（2026 合肥市期中 14） 如图，已知．．．．是x轴上的点，且分别过点．．．．作x轴的垂线交反比例函数（x\的图象于点．．．．过点作于点过点作于点…，记的面积为 的面积为…，的面积为则线段的长等于       ， 等于    ． 　 　题型 4　　双曲线与几何图形 　例 38　　（2026 合肥百校联赢B卷 14） 如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果且点A，点B的纵坐标相等，那么点A，点的横坐标的比值为        ； （2）的值为        （用含a，b的代数式表示）． 　 　例 39　　（2026 合肥五十中新校 10） 如图，在平面直角坐标系中，将OA沿y轴向上平移3个单位长度至CB，连接AB，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（ ） A．6 B． C．3 D． 　例 40　　（2026 阜阳市期中 14） 如图，在平面直角坐标系中， 分别为 轴、 轴正半轴上的点，以 为边在第一象限内作矩形 ．将矩形 翻折，使点 与原点重合，点 的对应点 落在第四象限，过 点的反比例函数 的图象恰好过 的中点，则 的值为     ，点 的坐标为       ． 　 微专题 6　二次函数与几何综合 模块导学 二次函数与几何综合 九上解答题的最后一题，十有八九是“抛物线上找一个点，使得某个几何量最大”。这类题的做法高度固定：把要求的量（竖直线段长、三角形面积、面积比）写成一个只含横坐标 的二次函数，配方求最值，再回代求点。难点在两处：一是“面积怎么用坐标表示”（割补还是铅垂高），二是“点在抛物线的哪一段上”决定定义域。 知识梳理 知识点 1　竖直线段长的最大值（重点） ① 过抛物线上一点作 轴的垂线，与直线交于另一点，线段长 抛物线上的 减直线上的 （谁在上谁在前）。 ② 这个差是一个关于横坐标的二次函数，开口方向由抛物线开口决定：抛物线开口向下、直线在下时，差有最大值。 ③ 配方后顶点横坐标就是答案，若顶点不在自变量允许的范围内（比如要求点在第一象限），最大值取端点。 ④ 若线段是“点到直线的垂线段”，要用点到直线距离公式，或把它转化为某个直角三角形的边，用三角函数表示。 注意　定义域由“点在抛物线某一段上”决定，通常由两个交点坐标限定，不写定义域就会取到范围外的顶点。 易错　把“线段长”写成两纵坐标之和。必须先判断哪个点在哪个点上方。 知识梳理 知识点 2　三角形面积的最大值（重点） ① 铅垂高法： 水平宽 铅垂高。取三角形的一个顶点作竖直线，与对边（或其延长线）相交，这段竖直线就是铅垂高。 ② 抛物线与 轴交于 与直线 围成三角形时，把动点 的竖直线段 当铅垂高，（ 为水平宽）。 ③ 割补法：或拆成两个以 轴为公共边的三角形，哪种能消掉未知量用哪种。 ④ 面积最大时，往往与铅垂高最大同时发生，先求线段最值再乘系数更快。 注意　铅垂高法的“水平宽”是动点所在竖直线到对边端点的水平距离，取定值的那条边，别取成变量。 易错　割补时符号搞错：三角形在直线两侧时要相减而不是相加。 知识梳理 知识点 3　面积比与点的存在性（难点） ① 等高三角形的面积比等于底边比，把面积比转化为线段比，是最常用的第一步。 ② 共顶点的两个三角形，面积比可以用“底在同一条直线上”或“高相同”来转化。 ③ 存在性问题先假设存在，设点坐标，把条件翻译成方程；解出的坐标必须检验是否在指定范围（如第一象限、线段上）。 ④ 等腰三角形存在性按“谁作顶角”分三种情形，用“两腰相等”列方程；直角三角形成立则按“哪个角是直角”分三种。 易错　存在性问题漏解：等腰三角形有三种情形、直角三角形有三种情形、平行四边形有三个顶点对应关系，都要逐一枚举。 知识梳理 知识点 4　平移与对称后与图形有公共点（难点） ① 直线上下平移改变的是截距： 中的 变化，与抛物线的交点随之移动。 ② “与矩形（含边界）内的抛物线有公共点”，等价于直线在某个范围内扫过时能与抛物线相交，求出两个极端位置即可。 ③ 极端位置通常出现在“直线过矩形的某个顶点”或“直线与抛物线相切”两种时刻。 ④ 相切条件用 过顶点则直接把顶点坐标代入直线方程求 注意　“含边界”意味着顶点处的取值要能取到，最后写范围时带等号。 　题型 1　　竖直线段长的最大值 　例 41　　（2026 合肥市期中 23） 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线BC上一动点，过点M作线段（点N在直线BC下方），已知若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 42　　（2026 清华附中合肥学校 23） 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接是否存在点P使得若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 43　　（2026 铜陵十五中联合体 21） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交BC于点D．点M是y轴上的一动点，连接PM，DM．当线段PD长度取得最大值时，求周长的最小值； 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　三角形面积的最大值 　例 44　　（2026 合肥百校联赢B卷 23） 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（a，b为常数）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点是抛物线在直线BC上方部分的一个动点（与点B，C不重合），过点D作x轴的垂线交直线BC于点E，连接当的面积达到最大值时，求此时的长度； （3）若点为抛物线对称轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 45　　（2026 合肥五十中新校 23） 如图，已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点已知． （1）如图1，求该抛物线的表达式； （2）如图2，是直线BC上方抛物线上一点，AP与y轴、BC分别交于D，． ①若求点的坐标； ②求的最大值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 46　　（2026 宣城六中 23） 如图，抛物线的顶点为其坐标为抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）连接BD，判断的形状； （3）若点是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 47　　（2026 滁州天长市 23） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在抛物线上，且位于第三象限． ①如图1，作轴于点D，交BC于点E．若E为PD的中点，求点的横坐标． ②如图2，连接BP，AP交BC于点Q，记的面积为的面积为求的最大值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 48　　（2026 合肥三十八中 14） 如图，已知抛物线过点点． （1）该抛物线的顶点坐标为        ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接AC，BC，则面积的最大值为        ． 　 　题型 3　　面积比与点的存在性 　例 49　　（2026 中科大附中 23） 如图①，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标． （1）求抛物线与直线的解析式． （2）已知是抛物线上不同的两点，若求的取值范围． （3）平移直线得到直线L，与y轴交于点．如图②，过两点向下作矩形MNPQ，使得MQ =3，当直线L与矩形MNPQ内(含边界)的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 50　　（2026 合肥五十中西校 23） 抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，D是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，求的值； （3）若点在直线上，点在抛物线上，当时，求的最小值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 7　相似三角形的判定与性质 模块导学 相似三角形的判定与性质 相似是九上几何的主线。判定只有三条路：两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例；性质则集中在“对应线段成比例、面积比等于相似比的平方”。压轴题里很少让你直接证相似，而是让你在复杂图形里找到那一对相似三角形——找法有规律：先找相等的角（对顶角、公共角、直角、由垂直或平行导出的角），再看夹这个角的两边是否成比例。 知识梳理 知识点 1　判定三法与应用（重点） ① 两角对应相等最常用：公共角、对顶角、同角的余角相等、平行线的同位角与内错角，都是现成的等角来源。 ② 两边成比例且夹角相等：适合“两个三角形共用一个角、夹边成比例”的图形，如“母子型”（直角三角形斜边上的高）。 ③ 三边成比例：多用于已知三边的计算题，或由中位线、平行线导出的比例。 ④ 判定之前先按“大小对应”排好顶点顺序，写相似式时对应顶点必须写在对应位置，后面的比例式才不会错。 易错　写 时顶点乱序，导致比例式 张冠李戴。 注意　“两边成比例”必须是夹角，夹角不相等时不能判定相似（这是与全等“SSA”失效对应的坑）。 知识梳理 知识点 2　相似比与面积比（重点） ① 相似三角形对应线段（边、高、中线、角平分线、周长）之比都等于相似比。 ② 面积比等于相似比的平方：相似比为 时，面积比为 ③ 由面积比反求相似比要开方，注意取正值。 ④ 等高三角形的面积比等于底边比，等底三角形的面积比等于高之比，这两条在“不求相似也能比面积”时更省事。 易错　把面积比直接当成相似比用，忘了平方。 知识梳理 知识点 3　比例线段与乘积式（难点） ① 要证 这类乘积式，先化成分式 再找包含这四条边的两个三角形。 ② 乘积式里的四条边若不构成两个相似三角形，就找“中间比”过渡：先证 再证 串联起来。 ③ 平行线分线段成比例是桥梁： 得 还可得 ④ 求比值时优先设一份为 把所有相关线段都用 表示，最后约掉。 注意　乘积式化为比例式时，四条线段要按“同一三角形的两边比 = 另一三角形的两边比”配对，配错就找不到相似。 知识梳理 知识点 4　相似与勾股、垂直平分线（难点） ① 垂直平分线上的点到两端点距离相等，这一条经常用来把“折痕”翻译成等量关系，再与相似联立。 ② 直角三角形的“母子型”：斜边上的高把原三角形分成两个与原三角形都相似的小三角形，得到 ③ 求线段长时，先用相似列出比例式，再用勾股定理补齐另一个条件，两个方程联立解。 ④ 出现“垂直”时优先想：直角相等 两角相等 相似；而不是先去算长度。 易错　用垂直平分线的性质时忘了“点在垂直平分线上”这个前提，把任意一点都当成到两端等距。 　题型 1　　判定与性质的基本运用 　例 51　　（2026 清华附中合肥学校 22） 如图，在平行四边形中，点E在边AD上，CE交BD于点F，． （1）求证： （2）如果求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 52　　（2026 合肥三十八中 22） 在中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点． （1）如图1，点是BC中点，点F是AD中点，交AC于点G，求证： （2）如图2，若求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 53　　（2026 合肥五十中西校 22） 如图，中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC于点F，且有过F点作于点． （1）求证： （2）求的值； （3）若直接写出的长为        ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　比例线段与乘积式 　例 54　　（2026 合肥五十中天鹅湖 23） 在四边形中，点E为AB的中点，分别连接． （1）如图1，若． ①求证： ②求证：平分 （2）如图2，若求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 55　　（2026 合肥四十五中 22） 如图，在中，D为BC边上一点，连接AD，过点C作交AD于点E，交AB于点F，连接． （1）求证：． （2）若求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 56　　（2026 合肥五十中天鹅湖 14） 如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，于G，交于H． （1）        ； （2）当与相似时，        ． 　 　题型 3　　母子型与一线三等角 　例 57　　（2026 合肥百校联赢B卷 22） 如图，在正方形中，边长为4，E为BC中点，作射线AE，过点D作DG垂直于射线AE交射线AE于点F，交AB于点G，过点C作CH垂直于射线AE交射线AE于点H，连接BF，BD，已知． （1）求的长； （2）证明： （3）连接交BD于点O，连接OF，OH，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 58　　（2026 合肥五十中新校 22） 在中，点M为线段BC上一动点．N在AC和AM的垂直平分线上．MN交AC于点如图1． （1）若求（用含有的式子表示）； （2）求证： （3）如图2：连接交AC，AM于P，Q两点，若恰好为等边三角形，请直接写出的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 4　　相似与勾股、垂直平分线 　例 59　　（2026 六安部分校联考 14） 如图，在矩形中，点E是CD上的动点，连接BE，线段BE的垂直平分线交AD于点F，交BE于点G，交BC于点H，连接FE，． （1）若则     ； （2）若则     ． 　 　例 60　　（2026 合肥五十中西校 14） 如图，在正方形ABCD中，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作于点E，连接MN，请探究下列问题： （1）       ； （2）当与相似时，       . 　 微专题 8　图形变换与特殊四边形 模块导学 图形变换与特殊四边形 翻折、旋转、平移是沪科版九上的三大变换，压轴题常把它们与正方形、矩形、平行四边形绑在一起考。三条翻译规则要背下来：翻折 折痕是垂直平分线、对应线段相等、对应角相等；旋转 对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角（由此得等腰三角形、得全等）；平移 对应线段平行且相等（由此得平行四边形）。把这些“变换语言”翻译成“全等或相似”，题目就回到上一节。 知识梳理 知识点 1　翻折的三条翻译（重点） ① 折痕是对应点连线的垂直平分线：折痕上的点到对应点距离相等。 ② 折后的图形与原图形全等：对应边相等、对应角相等，尤其是直角和已知长度的边。 ③ 折叠常把“未知线段”和“已知线段”放到同一个直角三角形里，用勾股定理列方程；设未知数为 把三边都表示出来。 ④ 折叠两次时，两次折痕都要用，注意折后的点可能落在形内或形外，影响图形位置关系。 注意　折痕两侧的两个三角形全等，但折痕本身不是对称轴以外的东西——不要把折痕当成中线或高。 易错　设未知数时选错了边，导致勾股方程里出现两个未知数。选“能被折痕平分的边”最省事。 知识梳理 知识点 2　旋转与手拉手模型（难点） ① 共顶点的两个等腰三角形（）绕公共顶点旋转，必然得到一对全等三角形： ② 全等之后，对应边相等、对应角相等，还能推出“对应边的夹角等于旋转角”。 ③ 旋转角为 时产生等边三角形，为 时产生等腰直角三角形，这是“旋转出特殊三角形”的常用套路。 ④ 旋转后的图形与原图形全等，面积不变、长度不变，求最值时可以把动点“转”到定点附近。 易错　找全等时对应顶点写错：旋转中心是公共顶点，与它相邻的两条边才对应。 知识梳理 知识点 3　正方形与矩形中的全等（难点） ① 正方形里“过一点作垂线”的模型：过 作 的垂线交 于 则 （ 与两角互余）。 ② 正方形的对角线把它分成四个等腰直角三角形，涉及 角的题优先连对角线。 ③ 矩形里出现垂直时，用“同角的余角相等”找等角，再配合矩形的对边相等构造全等或相似。 ④ 求线段比时，若两个三角形有公共高，优先用面积比代替长度比。 注意　“作垂线”得到的全等，前提是那条垂线与另一组边恰好相交在顶点或已知点，位置不满足时要改用相似。 知识梳理 知识点 4　特殊四边形的判定（基础） ① 平行四边形：两组对边分别平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分，三条任选其一。 ② 矩形：有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形；菱形：邻边相等的平行四边形，或对角线互相垂直的平行四边形。 ③ 正方形：既是矩形又是菱形。判定时通常先证矩形再补“邻边相等”，或先证菱形再补“有一个直角”。 ④ 角平分线 平行线 等腰三角形，这条在“证线段相等”时非常好用。 易错　直接由“对角线相等”判矩形，忘了先说明它是平行四边形。 　题型 1　　折叠与翻折 　例 61　　（2026 六安部分校联考 22） 如图，在中，点E在BC边上，点P在BC延长线上，将沿AE折叠到的位置，点B的对应点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点． （1）求证： （2）若求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 62　　（2026 中科大附中 22） 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的CD边上取一点E，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点处． 实践探究： （1）如图1，若求的度数； （2）如图2，当且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 63　　（2026 安庆市期中 23） 已知∶在中，CD是边AB上的中线，直线E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将沿CD翻折得射线交直线于点G． （1）如图1，当时，求的值； （2）如图2，当点G在点F的右侧时； ①求证∶ ②设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）如果的面积为求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　旋转与手拉手模型 　例 64　　（2026 合肥市期中 22） 已知和有公共的顶点A，且．AC与DE相交于点G，连接BE，． （1）若点E，D在一条直线上，如图1，求证： （2）将绕点A逆时针方向旋转一定的角度，DE的延长线交BC于点如图2 ①证明： ②若求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 65　　（2026 宣城多校联考 22） 如图，在中，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边AB上，得到边BC，ED交于点O，连接． （1）求证： ① ② （2）当时，求的面积． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 66　　（2026 阜阳市期中 22） 模型探究： （1）如图1，点D、E分别为的边上的两点，将绕点A逆时针旋转某个角度得分别连接如图 求证： （2）模型应用： 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻四边形”．在“等邻四边形”中，为对角线，试探究的数量关系． （3）模型提升： 如图，在中，连接CD，直接写出的长度为 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 67　　（2026 铜陵十五中联合体 22） 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（），连结OB，OE（如图4）． 【探究】当EF平分时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　正方形与矩形中的全等 　例 68　　（2026 清华附中合肥学校 10） 如图所示，边长为的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①②③④若则正确的是（ ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 　例 69　　（2026 蚌埠G5联考 22） 如图分别是正方形ABCD的边BC和CD的中点，连接AE、BF，它们交于点． （1）求证： （2）如图连接DG，求证： （3）如图连接GC，求证：． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 70　　（2026 合肥长丰县 22） 如图，点是正方形ABCD边BC上一点，过E作AE的垂线，交CD于点F，交AB的延长线于点． （1）若点是BC的中点，求证： （2）若正方形的边长为4， ①当取最大值时，的长为多少？ ②试确定的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 4　　折纸实践与特殊四边形判定 　例 71　　（2026 安庆四中 23） 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断：在上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，是        三角形，        ； （2）迁移探究：如图②，若且求正方形的边长． （3）拓展应用：如图③，若直接写出的值为        ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 72　　（2026 宿州埇桥区 22） 如图，在平行四边形中，过点A作交BC边于点E，点F在边AD上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分且求线段的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 9　几何最值与动点 模块导学 几何最值与动点 几何最值题在九上多以选择压轴的形式出现，考的是“能不能把动点问题化成一个二次函数”。三条主线：动点在定线段上 用相似或三角函数把目标线段表示成动点位置的函数，配方求最值；求两条线段之和最小 找对称点，化折线为直线（将军饮马）；图形旋转 动点的轨迹是一个圆或一段圆弧，最值出现在“圆心与定点连线”上。 知识梳理 知识点 1　把目标线段写成函数（重点） ① 设动点的位置为 （或其到某定点的距离为 ），用相似三角形的比例式把目标线段表示成 的式子。 ② 若目标线段与已知线段构成直角三角形，用勾股定理表示，往往得到二次函数，配方求最值。 ③ 定义域由动点的活动范围决定，端点处的最值不能漏。 ④ 目标线段含系数（如 ）时，先求 的最值再乘系数，不必整体配方。 易错　设 时选了“不好用的那条边”，导致比例式里出现两个未知数；应选能被相似直接关联的那条。 知识梳理 知识点 2　对称点与将军饮马（重点） ① 求 最小值：作 关于动点所在直线的对称点 的最小值就是 的长度。 ② 动点在抛物线的对称轴上时，先利用“对称轴上的点到两交点距离相等”把一条线段替换掉。 ③ 线段可以沿对称轴平移时，先平移其中一条的端点，把“两条线段之和”变成“一条折线”，再用两点之间线段最短。 ④ 求 的最大值，同样用对称点，取“三点共线”的时刻。 注意　对称轴选错（对错了点）是最常见的错误：对称的是“定点”，不是动点。 知识梳理 知识点 3　旋转中的轨迹与最值（难点） ① 一条线段绕其一端旋转，另一端点的轨迹是以旋转中心为圆心、线段长为半径的圆。 ② 动点在圆上时，到定点的距离最大值 圆心距 半径，最小值 圆心距 半径（圆心距大于半径时）。 ③ 正方形中绕顶点旋转 常可用“旋转后对应边相等”把动点转化到一条定直线上。 ④ 求“点到动点距离的最小值”，先把动点轨迹找出来（圆、直线、线段），再作垂线或用圆心连心线。 易错　把轨迹直接当整圆，忘了动点只在圆弧（或线段）上活动，取到的极值点可能不在允许范围内。 知识梳理 知识点 4　角平分线与线段乘积（难点） ① 三角形两内角平分线的夹角 一内一外角平分线的夹角 两外角平分线的夹角 ② 角平分线上的点到角两边距离相等，这是把“角平分线”转化成“高相等”的唯一通道。 ③ 求 这类乘积，先找含 的两个三角形，证相似后写成比例式。 ④ 出现“过某点作垂线交两边”的构图时，注意垂线段与角平分线构成的等腰三角形。 注意　内外角平分线的夹角公式只对“同一个顶点”的两条平分线成立，换顶点要重新推。 　题型 1　　动点在定线段上的最值 　例 73　　（2026 合肥百校联赢B卷 10） 如图，在中，过点A作交BC于点D，点P为线段AD上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接CP，以CP为直角边向下作且连接DE，则的最大值和最小值分别为（ ） A． B． C． D． 　例 74　　（2026 合肥四十五中 10） 如图，已知四边形是矩形，为CD边上的动点，连接AE，过点B作分别交于点下列说法中，正确的有（　　）个 ①的最小值为②AF+EC的最小值为③DG的最小值为④EF的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 　题型 2　　对称点与最短路径 　例 75　　（2026 合肥三十八中 10） 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 　题型 3　　旋转中的最值 　例 76　　（2026 宣城多校联考 10） 如图，正方形的边长为2，E为边BC上一动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转得到线段EF，连接AF，则点D到点距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 　题型 4　　角平分线与线段乘积 　例 77　　（2026 合肥四十五中 14） 如图，为内部一点，BP、CP分别平分． （1）        ． （2）连接过P作分别交AB、AC于点D、E，若则点的值为        ． 　 微专题 10　新定义问题 模块导学 新定义问题 新定义题的共同结构是：先给一个新名词，再让你用旧知识解决新问题。做法只有一步——把定义逐字翻译成等式、不等式或图形关系，翻译对了题目就变成常规题。要特别小心定义里的“且”“或”“非零”“整数”这些限定词，它们决定了要不要分类、要不要舍根。 知识梳理 知识点 1　定义翻译成方程（重点） ① 定义里出现“相等”“互为相反数”“等于自身”这类词，直接写成方程，再代函数解析式。 ② “有两个这样的点” 方程有两个不相等的实根，用 且根要落在指定范围内，还要加端点条件。 ③ 定义涉及绝对值、分段时，先按“使绝对值内为零”的临界值分段，逐段翻译。 ④ 求出答案后代回定义检验，确保没有多解或漏解。 易错　定义里的“整数”“正数”“不等于 0”这类限定条件，最后筛答案时最容易漏。 知识梳理 知识点 2　新函数与图象（难点） ① 新函数（如 ）的图象，是把原抛物线在 轴下方的部分翻折上去，翻折后出现“尖点”（原交点处）。 ② “与直线有几个公共点”的问题，把直线上下平移，数交点的个数变化，临界位置是相切或过尖点。 ③ 对称型新函数（ 与原函数相同、 取相反数）的图象关于原点对称，可借助奇偶性简化。 ④ 判断新函数的系数符号时，先把图象还原成原函数的样子再判断。 注意　翻折后的“尖点”处不可导，但仍是图象上的点，数交点时不能漏。 知识梳理 知识点 3　图形的新定义（难点） ① 几何新定义（如“垂美线段”）先按定义画图，把“垂直”“相等”“中点”等条件标在图上。 ② 探究题的第一问通常是“直接写出结论”，用特殊图形（正方形、等边）猜出关系，再用相似或全等证明。 ③ 一般情形下证明时，回到第一问的构图思路，把特殊条件替换成一般条件重走一遍。 ④ 应用题里的实际数据（长度、角度）要代进已证的关系式求解，注意单位与取舍。 易错　把“直接写出结论”当成“不用管”，其实这一问的结论就是后面证明的目标，写错就全错。 　题型 1　　函数的新定义 　例 78　　（2026 合肥五十中天鹅湖 10） 对于二次函数规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为连接MN，若线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 　例 79　　（2026 铜陵十五中联合体 10） 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①②③④若m的取值范围是则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 　题型 2　　点的新定义 　例 80　　（2026 清华附中合肥学校 14） 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如都是“相反点”．已知二次函数请完成下列问题： （1）若则此二次函数上的“相反点”为        ． （2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为        ． 　 　例 81　　（2026 滁州天长市 14） 定义：对于一个函数，自变量取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是此函数的“幸运数”，则的值为        ． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”且则的取值范围为        ． 　 　题型 3　　图形的新定义 　例 82　　（2026 亳州学情调研 23） 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且．则线段GE和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边AD、AB、CD上的点，于H，则垂美线段CE与之间的数量关系是  （直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，点E，F，G分别在AB、BC，CD上，且请探究垂美线段AF与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得量得米，且点E、F分别在边BC、AB上，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪科版九年级上册 期中压轴突破 · 培优讲义 期中压轴突破 二次函数 · 反比例函数 · 相似形 · 图形变换 目　录 一、本册导航 3 　微专题 1　二次函数的图象与系数 3 　　题型 1　由图象判断系数与结论 5 　　题型 2　两个函数的图象配对 9 　　题型 3　动点面积与函数图象 10 　　题型 4　抛物线的平移与对称 18 　微专题 2　闭区间上的最值与参数反求 21 　　题型 1　闭区间上的最大值与最小值 23 　　题型 2　最值反求参数 25 　　题型 3　两动点函数值的和与差 27 　　题型 4　到坐标轴的距离与线段长 29 　微专题 3　含参二次函数与方程、不等式 31 　　题型 1　抛物线恒过定点 32 　　题型 2　用增减性比较函数值 34 　　题型 3　顶点、对称轴与参数 40 　微专题 4　二次函数的实际应用 43 　　题型 1　分段函数的建模与求值 44 　　题型 2　抛物线轨迹的实际问题 46 　　题型 3　从数据到函数关系 49 　　题型 4　距离平方的建模 52 　微专题 5　反比例函数与 $k$ 的几何意义 53 　　题型 1　$k$ 的几何意义与面积 55 　　题型 2　双曲线与一次函数的交点 58 　　题型 3　双曲线上的点列 61 　　题型 4　双曲线与几何图形 62 　微专题 6　二次函数与几何综合 67 　　题型 1　竖直线段长的最大值 68 　　题型 2　三角形面积的最大值 75 　　题型 3　面积比与点的存在性 83 　微专题 7　相似三角形的判定与性质 87 　　题型 1　判定与性质的基本运用 88 　　题型 2　比例线段与乘积式 93 　　题型 3　母子型与一线三等角 98 　　题型 4　相似与勾股、垂直平分线 104 　微专题 8　图形变换与特殊四边形 108 　　题型 1　折叠与翻折 109 　　题型 2　旋转与手拉手模型 115 　　题型 3　正方形与矩形中的全等 124 　　题型 4　折纸实践与特殊四边形判定 132 　微专题 9　几何最值与动点 135 　　题型 1　动点在定线段上的最值 136 　　题型 2　对称点与最短路径 141 　　题型 3　旋转中的最值 143 　　题型 4　角平分线与线段乘积 144 　微专题 10　新定义问题 146 　　题型 1　函数的新定义 148 　　题型 2　点的新定义 152 　　题型 3　图形的新定义 154 一、本册导航 学习目标 本册要解决的问题 1．会由 的符号读出抛物线的开口、对称轴与截距，也会反过来由图象列出对三个系数的约束。 2．会判断 这类组合式的符号，把它们对应到图上某个点的纵坐标或对称轴的位置。 3．会在闭区间上求二次函数的最值，会按对称轴与区间的位置关系分类讨论，并反求参数的取值范围。 4．会用“含参数的项并起来、令系数为零”求抛物线恒过的定点，会用“离对称轴的远近”比较函数值。 5．会把轨迹、利润、分段收费等实际情境翻译成二次函数或分段函数，写解析式时先定定义域。 6．会用 的几何意义算双曲线围成的面积，会用交点横坐标的韦达定理反求 7．会把竖直线段长、三角形面积写成关于横坐标的二次函数，用铅垂高法与割补法求最值。 8．会证两个三角形相似，能把乘积式化成比例式，会识别母子型、一线三等角与手拉手三类模型。 9．会把翻折翻译成垂直平分线、把旋转翻译成全等，会用对称点求两条线段之和的最小值。 10．遇到新定义，会先把定义逐字翻译成方程或图形关系，再按限定词筛答案。 重点与难点 本册的核心与门槛 重点　抛物线的对称轴与顶点；闭区间最值的三种位置；含参项的归并求定点； 的几何意义；铅垂高法求面积；相似判定的三条路；翻折即垂直平分线；旋转即全等；对称点求最短路径。 难点　① 组合式 的符号判断；② 区间带参数时最值的分类讨论；③ 动点面积必须分段写解析式；④ 面积比与线段比的相互转化；⑤ 存在性问题的多情形枚举；⑥ 旋转后动点轨迹只取一段圆弧；⑦ 新定义题的限定词筛选。 学习主线 方法的先后次序 读系数定图象 → 组合式找对应点 → 闭区间分三类 → 归并参数求定点 → 离轴远近比大小 → 实际情境先定定义域 → 算面积 → 竖直线段写函数 → 铅垂高求面积 → 找等角证相似 → 乘积化比例 → 翻折化垂直平分线 → 旋转化全等 → 对称点化直线 → 新定义逐字翻译。 微专题 1　二次函数的图象与系数 模块导学 二次函数的图象与系数 沪科版九上的压轴题，第一道关口是“不画图也能说出图长什么样”。给定 要能立刻读出开口方向（ 的符号）、对称轴（）、与 轴交点（）、与 轴的交点个数（ 的符号），反过来看见图也要能列出对 的约束。这一节把“图文互译”练成条件反射，后面的区间最值、含参讨论、几何综合全都建立在它上面。 知识梳理 知识点 1　 的符号与图象特征（重点） ① 定开口： 开口向上， 开口向下； 越大开口越窄。 ② 与 一起定对称轴：对称轴是 “左同右异”——对称轴在 轴左侧时 同号，在右侧时异号， 时对称轴就是 轴。 ③ 是与 轴交点的纵坐标：图象过 交在正半轴， 交在负半轴。 ④ 定交点个数： 两个交点， 一个， 没有。 注意　题目给的是“图象经过某点”，代进去得到的是关于 的一个等式，配合对称轴方程才能定出符号；只有一个等式时，结论往往是“取值范围”而不是定值。 易错　把 这类式子直接当系数看。它们的符号要用对称轴 与 的大小关系、或图象上 处的函数值来判断。 知识梳理 知识点 2　特殊代数式的符号判断（难点） ① 就是 处的函数值 就是 处的函数值； 对应 看到这几种组合，先找对应的点在图上的位置。 ② 与 的符号由对称轴决定： 不好记，直接用对称轴 等价于 （ 时）。 ③ 的变体： 与 比较； 这类要借 放缩。 ④ 判断完每条结论后，若结论里带参数（如“无论 取何值，抛物线一定经过某点”），要把含 的项并起来，令系数为零。 易错　“”这类乘积符号，必须三条都确实定出符号才能判；若其中一条只能定出“非负”或需要分类，这个结论就不能直接判对。 知识梳理 知识点 3　由动点面积反推图象（重点） ① 动点沿折线（如 ）运动，面积关于时间的函数一定分段：每经过一个顶点，解析式就换一段。 ② 分段后每一段都是二次函数（或一次函数），所以整段图象由若干抛物线弧与线段拼成；拐点对应动点到达顶点的时刻。 ③ 先算出各拐点的时间坐标与面积值，再看“先增后减还是先减后增”，一般不用写出完整解析式就能排除选项。 ④ 两个动点同时出发时，用“谁先到端点”确定总时长，超过总时长的部分不再延伸。 注意　看图选择题先看起点和终点：起点不是原点说明有初始面积，终点对应的面积若不为 说明停止时图形还没消失。 易错　把两个动点的速度直接相加当成相对速度。只有两者沿同一条线相向或同向运动时才能用相对速度，沿折线运动必须分段。 知识梳理 知识点 4　平移与对称后的解析式（基础） ① 上下平移只改 向上平移 个单位得 ② 左右平移改 向左平移 个单位，把 换成 即 ③ 关于 轴对称： 换成 即 开口反向、顶点上下翻。 ④ 关于 轴对称： 换成 得到 对称轴变为原来的相反数。 易错　“关于 轴对称”和“关于 轴对称”记混：关于 轴翻折是上下颠倒（ 变号），关于 轴翻折是左右颠倒（ 变号）。 　题型 1　　由图象判断系数与结论 　例 1　　（2026 合肥长丰县 10） 如图， 二次函数．的图象经过点和与y轴交于负半轴，下列四个结论，不正确的是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查二次函数的图象与系数的关系，综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力是关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：观察图象得：抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴ ∵对称轴 ∴ ∴故A错误； 观察图象得： ∴ ∴故B正确； 观察图象得：当时时， ∴故C正确； ∵图象经过点和 ∴ ∴ ∴故D正确． 故选：A． 　答案　　A 　例 2　　（2026 宣城六中 10） 如图，如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线且．直线与x轴交于点C（点C在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①②③④． A．0 B．1 C．2 D．3 　思路分析　　本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断b及b与的关系；还可由图象上点的坐标判断． 解：抛物线开口向上， ​． ​抛物线对称轴是直线 ​且． ​抛物线与轴交于正半轴， ​． ∴ ​错误； ​ 故②是正确； ​直线经过一、二、四象限， ​． 当时，则 ​ ​点A的坐标为． 直线当时， ​可得． ​正确； ​直线与抛物线的图象有两个交点 ​ 得 由图象知 ​ ​ ∴④正确． 综上，正确的命题有3个． 故选：D． 　答案　　D 　例 3　　（2026 蚌埠G5联考 10） 已知抛物线（a，b，c为常数，经过点且对称轴为直线有下列结论：①②③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．其正确结论有（ ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 　思路分析　　由对称轴及抛物线开口向上、与y轴的交点，来判断a、b、c的关系，即可判断①； 由抛物线经过点及与y轴的交点，即可判断②； 由对称性可得图象经过结合对称轴公式，即可判断③． ①抛物线对称轴为直线即对称轴在y轴右侧 ​ ​抛物线与y轴交于负半轴 ​ ​ 故①正确； ②抛物线（a，b，c为常数，经过点 ​ ​ ​ 故②正确； ③由对称得：抛物线与x轴的另一个交点为 ​ ​对称轴为直线 ​ ​ 所以，无论a，b，c取何值，抛物线一定经过 故③正确； 综上，正确结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点，并能够通过图象获取信息是解题的关键． 　答案　　D 　例 4　　（2026 合肥五十中西校 10） 抛物线（a,b,c是常数，经过两点，且．下列四个结论：①②若则③若则关于x的一元二次方程无实数解；④点在抛物线上，若总有则．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　本题考查二次函数的性质，包括对称轴、开口方向、函数值比较等，根据抛物线经过点且可求对称轴；由开口向下和点位置判断函数值范围；当时，计算顶点纵坐标最大值小于2，方程无解；由条件总有推导对称轴位置要求，得m范围． 解：∵ 抛物线（a,b,c是常数，经过两点， ∴ 对称轴 ∵ ∴即 ∵ ∴ 故结论①错误； ∵ ∴ 点与距离为 ∵抛物线开口向下，顶点在y轴左侧，且纵坐标大于1， 当时，此区间内函数值均大于1， 即 故结论②正确； 当时，抛物线为 代入点得 ∴ 设顶点纵坐标 由①知即 ∴ ∴ ∴ ∴ 方程无实数解， 故结论③正确； 设对称轴 ∵开口向下，且总有时 ∴和均在对称轴右侧， 要求当时， 即 ∴ 解得 故结论④正确． 综上，正确结论有②③④，一共3个． 故选：C． 　答案　　C 　题型 2　　两个函数的图象配对 　例 5　　（2026 阜阳市期中 10） 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和b进行分类讨论．分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论即可． 解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 　答案　　B 　题型 3　　动点面积与函数图象 　例 6　　（2026 安庆市期中 10） 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），的面积为y（c），则y关于x的函数图象是（ ） A． B． C． D． 解：由题意可得． ①时，P点在BC边上， 则的面积=BP•BQ， 可得y= 故A选项错误； ②1＜时，P点在CD边上， 则的面积=BQ•BC， 可得y= 故B选项错误； ③2＜时，P点在AD边上， 则的面积=AP•BQ， 可得y=•（9﹣3x）•x= 故D选项错误． 故选：C． 　答案　　C 　例 7　　（2026 合肥一六八中学 10） 如图，在菱形ABCD中，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（c），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　先证明==再分 2、2＜三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴= ∴ACD都是等边三角形， ∴==． 如图1，当时， 作于E， ∴ ∴ 故D选项不正确； 如图2，当1＜时， 作与F，作于H， ∴ ​ ∴ 故B选项不正确； 当2＜时， ∴ 作于G， ∴ ∴ 故C不正确． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 　答案　　A 　例 8　　（2026 滁州天长市 10） 如图，在凸四边形中，O为边AB的中点，于点E．若设则y关于的函数图象为（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了垂径定理，二次函数关系式，中位线定理，勾股定理的应用，由为边AB的中点，则从而得知点在以O为圆心，OA长度为半径的圆上，由垂径定理得出则再由中位线性质得然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵为边AB的中点， ∴ ∴点在以O为圆心，长度为半径的圆上， 如图， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为边的中点， ∴ ∴ 在和中， 由勾股定理得： ∴ ∴ 整理得： ∴ ∵ ∴选项图象符合题意， 故选：． 　答案　　B 　例 9　　（2026 六安部分校联考 10） 如图，在两个全等的和中，斜边AC，DF在一条直线上且点A与F重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点D与点C重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为y个单位面积，的移动时间为x秒，则y关于的函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，结合含30度角的直角三角形的性质和三角形面积公式求得y与x的函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得答案． 解：当时，如图，设AB与相交于点O， 由平移性质得则 在中， ∴则 ∴重叠部分面积 ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， 当时，此时点D与点A重合； 当时，如图，则 在中， ∴则 ∴重叠部分面积 ∴函数y的图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 故选项C符合题意． 故选：C． 　答案　　C 　题型 4　　抛物线的平移与对称 　例 10　　（2026 合肥市期中 10） 已知，二次函数的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（）部分上任意一点，O为坐标原点，连接OM，则长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D． 　思路分析　　根据题意得出抛物线的解析式为然后确定平移后的解析式，设点确定令根据新函数的增减性得出当时，取得最小值，即可求解． 解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴即 ∴抛物线的解析式为 将此函数向下平移3个单位后的解析式为： 设点 ∴ ∵令 ∵ 当时，m随的增大而减小， ∵ ∴当时，取得最小值， 最小值为： ∴的最小值为 故选：C． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及平移，坐标中两点之间的距离，理解题意，得出相应的新的函数的性质是解题关键． 　答案　　C 　例 11　　（2026 合肥四十五中 23） 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点且与x轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将该二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）是否存在实数使得对于函数上任意的一点也在函数图象上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 　思路分析　　本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟记二次函数相关知识是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线的解析式即可得到答案； （2）利用函数对称性质求出新的二次函数解析式，由二次函数图象与性质，求出的最大值与最小值计算即可得到答案； （3）由题意，将代入函数解析式、代入函数解析式，从而得到即可得到答案． （1）解：二次函数的图象过点且与x轴交于点 ​ 解得 ​抛物线的解析式为 （2）解：抛物线关于x轴对称的图象解析式为 则抛物线的对称轴为 ​ ​抛物线在时有最大值，为 对于最小值，求出与的函数值，再比较大小即可确定， 当时，当时， ​ ​当时，二次函数的最小值为 则新的二次函数的最大值与最小值的和 （3）解：存在， 当在函数图象上，则 当时，代入得， ​ ​ ​ ​ ​ 若也在函数图象上，则 ​ ​可取任意实数， ​要使无论取何值，等式恒成立，则只需 解得． 　答案　　（1） （2） （3） 　例 12　　（2026 宣城六中 14） 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为连接AB．已知抛物线． （1）当抛物线同时经过A，B点时，h的值为      ． （2）若抛物线与线段有公共点，则h的取值范围是      ． 　思路分析　　（1）把A，B点代入即可求出h的值； （2）由函数的解析式可知对称轴为当h$\text{＜}-\frac{3}{2}$时，点（2）在函数图像上，当h时，点（2）在函数图像上，则可求h的范围． 解：（1）∵点（2）在函数图像上 ∴2（h） 解得h或h ∵点（2）在函数图像上， 2（h） 解得h或h ∵同时经过A，B点 ∴h 故答案为：h （2）∵函数y（x﹣h） ∴对称轴为 当h$\text{＜}-\frac{3}{2}$时，点（2）在函数图像上， 则有2（h） 解得h或h（舍）， 当h时，点（2）在函数图像上， 则有则有2（h） 解得h（舍）或h ∴时函数与线段AB有交点， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质；熟练掌握二次函数的图像及性质，数形结合解题是关键． 　答案　　h 微专题 2　闭区间上的最值与参数反求 模块导学 闭区间上的最值与参数反求 二次函数在闭区间上的最值，答案只可能出现在“顶点”或“区间端点”三处，所以先算对称轴、再看对称轴落在区间的哪一侧，是这类题的固定套路。更难的一层是反着来：题目告诉你“最小值是 ”“ 恒成立”，要求参数的取值范围——这时要按对称轴与区间的位置关系分类讨论，把每种情形下的最小值写出来解方程或不等式。 知识梳理 知识点 1　闭区间最值的三种位置（重点） ① 对称轴在区间左侧（）：函数在区间上单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 ② 对称轴在区间内部（）：最小值在顶点取到，最大值在离对称轴较远的那个端点取到。 ③ 对称轴在区间右侧（）：函数在区间上单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 ④ 比较两个端点离对称轴的远近： 与 谁大，对应的函数值就大（开口向上时）。 注意　区间带参数（）时，对称轴与区间的位置关系也随 变，必须分类讨论，不能只算顶点。 易错　开口向下时，顶点是最大值而不是最小值，端点才是最小值，位置表要整套反过来。 知识梳理 知识点 2　恒成立与最值反求参数（难点） ① “ 恒成立”等价于“在区间上 的最大值 ”；“ 恒成立”等价于“最小值 ”。先把恒成立翻译成最值，再去求最值。 ② “最小值是 ”这类条件，要按对称轴在区间左、内、右三种情形分别写出最小值的表达式，再与 相等，解出的 还要回代检验是否落在该情形允许的范围内。 ③ 若三种情形解出的 与假设矛盾，该情形舍去；全部舍去说明题目数据有误或另有隐含条件。 ④ 判断“函数值随 增大而减小”的范围，本质是求单调区间： 时在对称轴左侧递减，右侧递增。 易错　解出 之后忘记检验它是否满足“当前情形”的前提，把不成立的解留下。 知识梳理 知识点 3　两动点函数值的和与差（难点） ① 两点横坐标之差为定值 时， 可以配成关于其中点的式子：设中点为 两点为 加起来后交叉项消掉，只剩 的二次函数。 ② 竖直线段长 等于“上方的函数值减下方的函数值”，是一个新的二次函数，它的最大值在顶点处取到，注意定义域由两图象的交点决定。 ③ “线段长随横坐标增大而减小”就是新函数在该区间上单调递减，转化为对称轴与区间的位置关系。 ④ 若线段长带绝对值（上下位置会互换），要先求两条曲线的交点，分段去掉绝对值。 注意　两点的纵坐标之和的最大值，往往与“两点的中点横坐标”有关，先配方再定范围比直接代入快得多。 知识梳理 知识点 4　到坐标轴的距离（基础） ① 点到 轴的距离是 “距离为 ”就是 或 两条水平线与抛物线交点的个数之和才是答案。 ② 点到 轴的距离是 同理分成 与 ③ “有四个点”意味着 与 各自与抛物线有两个交点，于是这两个值都必须大于（开口向上时）最小值。 ④ 平移会把整条抛物线上下移动，最小值跟着变，恰好使某个水平线由“两个交点”变成“一个交点”的时刻，就是参数范围的临界值。 易错　“到 轴距离为 的点有三个”这种情况，是因为其中一条水平线恰好与抛物线相切，临界值要带等号。 　题型 1　　闭区间上的最大值与最小值 　例 13　　（2026 中科大附中 14） 已知二次函数其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是      ； （2）若恒成立，则的取值范围是      ． 　思路分析　　本题考查了二次函数的性质，解题的关键是： （1）当时，x的取值范围为根据二次函数的性质求解即可； （2）分三种情况讨论：①当时；当时；③当时，根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）当时， ∵函数 ∴抛物线开口向上 ∴当时，y有最小值为 ∵当时，当 时， ∴当时，y有最大值为 ∴的取值范围为 （2）①当时， ∵抛物线开口向上，当时，y随的增大而增大， ∴当时，y有最大值为 又 ∴ 解得 ②当时， ∵抛物线开口向上，当时，有最小值， ∴当时，y有最大值为或当时，y有最大值为 又 ∴或 解得或 ③当时， ∵抛物线开口向上，当时，y随的增大而减小， ∴当时，y有最大值为 又 ∴ 解得 综上，的取值范围为 故答案为：． 　答案　　​ 　例 14　　（2026 宣城多校联考 23） 已知抛物线． （1）当时，求y的最小值； （2）若抛物线的顶点在x轴上，且经过点求a的值； （3）当时，为此抛物线上的两点，若时，总有求a的取值范围． 　思路分析　　本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、求二次函数的最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由抛物线的顶点在x轴上，则对应方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式可得即再将代入得到关于a的方程求解即可； （3）当时，抛物线为：即抛物线对称轴为直线抛物线开口方向向上；再根据M、N的不同位置分类讨论即可解答． （1）解：当时，抛物线为： 所以当时，y的最小值为． （2）解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴即 ∴ ∴抛物线为： 代入点得：解得． （3）解：当时，抛物线为： ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴抛物线开口方向向上， 当点都在对称轴右侧时， ∵时，总有 ∴解得： 当点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧时，即 ∵时，总有 ∴解得：与矛盾，舍去； 当时，点M在对称轴左侧，点M关于对称轴的对称点的横坐标为 ∵时，总有 ∴解得：． 综上：或． 　答案　　（1） （2） （3）或 　题型 2　　最值反求参数 　例 15　　（2026 合肥一六八中学 14） 已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标      ； （2）当时，y有最小值则m的取值范围为      ． 　思路分析　　本题主要考查了二次函数的图象及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为得函数与x轴的交点为从而即可得证； （2）由函数与x轴的交点为得抛物线的对称轴为直线再把代入得从而有求解即可得解． 解：（1） ∴函数与x轴的交点为 ∴函数必过点 故答案为： （2）∵函数与x轴的交点为 ∴抛物线的对称轴为直线 把代入得 ∴ 解得 ∵即 ∴ ∴m的范围为． 故答案为：． 　答案　　​ 　例 16　　（2026 合肥五十中天鹅湖 22） 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）若抛物线在这一段位于x轴下方，在这一段位于 x 轴上方，求满足的条件； （3）当时，若是抛物线上两点，记抛物线在A、B之间的部分为图象M（包含A、B两点），若图象M上最高点与最低点的纵坐标之差为3，直接写出的值． 　思路分析　　此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴公式计算即可； （2）由题意可知，当时，y 0，当时，据此列出不等式组，求出答案即可； （3）根据的取值范围分三种情况求解即可． （1）解：抛物线的对称轴为：直线 （2）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为抛物线开口向上， ∵抛物线在这一段位于x轴下方，在这一段位于x轴上方， ∴当时，y 0，当时， ∴ 解得 （3）解：当时， 当即时， 在时取最小值，即 在时取最大值，即 由题意可得， 解得符合题意； 当即在顶点处取最小值 ①当时，最高点在处取得，纵坐标为 由题意得解得均不在此范围内，舍去， ②当时，最高点在处取得，纵坐标为 由题意得解得均不在此范围内，舍去， 当时， 在时取最大值，即 在时取最小值，即 由题意可得， 解得符合题意； 综上可知，或． 　答案　　（1）直线 （2） （3）或 　题型 3　　两动点函数值的和与差 　例 17　　（2026 安庆四中 14） 已知抛物线与x轴交于点和与y轴交于点C，且． （1）抛物线的顶点坐标为      ． （2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为      ． 　思路分析　　（1）先用待定系数法求得抛物线的解析式，然后化成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标． （2）先设出点M、N的横坐标，然后表示出两点纵坐标之和，再求二次函数的最值，并结合s的取值范围即可确定h的最大值． （1）解：∵抛物线与x轴交于点和 ∴设 将点代入得： 解得： ∴函数的表达式是： 化为顶点式： ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为： （2）如图． 依据题意，点M、点N均在抛物线上， 故设点 则： 整理成关于t为自变量的二次函数得： 当时，h最大， ​ ∵ ∴时， h最大，此时 此时点 故答案为： 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标、最大值，解题的关键是熟练掌握二次函数的最大值求法． 　答案　　​ 　例 18　　（2026 亳州学情调研 14） 已知关于x的抛物线（k为常数）． （1）此抛物线顶点的坐标是        ． （2）若点为该抛物线上一动点，过点A作直线轴，直线AB与直线相交于点B．当线段的长随a的增大而减小时，a的取值范围是        ． 　思路分析　　本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用抛物线顶点坐标公式直接求解． （2）当时，先确定抛物线方程，再表示点A的坐标，由轴得出点B的坐标，计算的长度并化简，分析二次函数的增减性确定a的取值范围． 解：（1）抛物线中， ​ 顶点横坐标 代入得 故顶点坐标为 故答案为： （2）当时，抛物线为 点在抛物线上，故 ​轴，与直线相交于点B， ​B点坐标为 ​的长度为 ​ ​恒成立， ​ 令为开口向上的二次函数， 顶点横坐标 当时，w随a增大而减小，即随a增大而减小， 故a的取值范围为 故答案为：． 　答案　　​ 　题型 4　　到坐标轴的距离与线段长 　例 19　　（2026 宣城多校联考 14） 已知二次函数． （1）点是该二次函数的图象上一动点，当点M到x轴的距离为2时，的值是      ； （2）若函数的图象上到x轴距离为2的点有四个，则的取值范围是      ． 　思路分析　　该题考查了二次函数的图象和性质． （1）点M到x轴的距离为2，即代入函数解析式求解方程； （2）函数图像开口向上，图象上到x轴距离为2的点有四个，即顶点到轴距离大于2，列不等式求n的取值范围即可． 解：（1）∵点到轴的距离为2， ∴ 又点在二次函数的图像上， ∴ ∴． 即或． 解得或． 解得无实数根． 故a的值为1或3． 故答案为：1或3． （2） ∵函数的图象上到轴距离为2的点有四个， ∴ ∴． 故答案为：． 　答案　　1或3　 　例 20　　（2026 铜陵十五中联合体 14） 已知：抛物线与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），且． （1）此抛物线的顶点坐标为      ． （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点Q，当时，的长度随m的增大而增大，则k的取值范围是      ． 　思路分析　　（1）先求解抛物线与轴的交点坐标，再利用建立方程求解 可得函数解析式，可得顶点坐标； （2）先画好简易图象，再建立与的二次函数关系，利用二次函数的性质可得答案． 解：（1）令 则 ​ 解得： ​ 而B在轴正半轴， ​ ​ 解得： ​ 抛物线为： 对称轴为： ​ 抛物线的顶点坐标为： 故答案是： （2） 一次函数且直线过时， 则 解得： 当时，如图， 由 则 ​ ​ ​ 函数的对称轴为： ​时，的长度随m的增大而增大， ​ 解得： 当时，如图， 此时 此时抛物线的对称轴为： ​时，的长度随m的增大而增大， ​ ​ 不符合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点问题，二次函数的性质，建立PQ与m的二次函数关系是解本题的关键． 　答案　　​ 微专题 3　含参二次函数与方程、不等式 模块导学 含参二次函数与方程、不等式 参数一进来，抛物线就不再是“一条”，而是一族。这一节练两件事：一是把“无论参数取何值”翻译成“含参数的项恒为零”，从而求出定点；二是把“比较两个函数值的大小”翻译成“谁离对称轴更远”，从而把不等号变成关于横坐标的不等式。掌握了这两条，含参压轴题的（2）（3）问基本都能落笔。 知识梳理 知识点 1　抛物线恒过定点（重点） ① 把解析式按参数整理： 写成 要让 取任何值都成立，只能 得定点 ② 出现两个参数时，把两个参数分别并项，令各自的系数同时为零，解方程组得定点。 ③ 反过来用：题目说“图象始终经过定点 ”，就是让你用上面的方法把 求出来，再代进另一条直线求参数关系。 ④ 定点常常是 轴上的点或 轴上的点，求出后先验证它是否在图上的可见范围内。 注意　整理时必须把所有含参数的项并到一处，只并一半会漏解。 易错　把“经过定点”理解成“顶点固定”。定点是无论参数怎么变都经过的那个点，不是顶点。 知识梳理 知识点 2　用对称轴比较函数值（难点） ① 开口向上时，点离对称轴越远函数值越大；开口向下时，离对称轴越远函数值越小。比较 的大小时，先算 与 ② 题目给“某数”这类条件，实质是给出两点的中点位置，用中点与对称轴的关系来判断远近。 ③ 两点横坐标一个大于对称轴、一个小于对称轴时，要用“到对称轴的距离”比较，不能直接比横坐标大小。 ④ 若两点都在对称轴同侧，直接用单调性： 时右侧递增、左侧递减。 易错　直接由 得出 忽略了增减性在对称轴两侧相反。 知识梳理 知识点 3　顶点、对称轴与参数（重点） ① 顶点坐标统一写成 含参时先把 代进去，能化简的尽量化简。 ② “顶点纵坐标比另一条抛物线的顶点纵坐标小 ”这类条件，是两条抛物线顶点纵坐标之间的等式，列出方程即可求参数。 ③ 顶点在 轴上等价于 顶点在 轴上等价于 ④ 含参解析式经过某个已知点时，先代入求出一个参数，再处理剩下的；两个参数时通常还要用第二个条件（对称轴、顶点、另一个点）联立。 注意　含参题求出参数后要回代检验：有些参数会使二次项系数为 那就不是二次函数了。 知识梳理 知识点 4　抛物线与直线的公共点（难点） ① “直线与抛物线只有一个公共点”有两种可能：联立后 （相切），或直线的斜率使二次项系数为 （退化成一次方程）。两种都要考虑。 ② 联立得 交点个数就是这个方程的实根个数。 ③ “在某个区间内有两个公共点”要同时满足：区间端点处的函数值符号、对称轴落在区间内，三个条件缺一不可。 ④ 若公共点必须在某线段上（不是整条直线），还要把求出的交点坐标代回线段的范围检验。 易错　只算 就下结论，漏掉“直线退化成与对称轴平行”的那一类。 　题型 1　　抛物线恒过定点 　例 21　　（2026 合肥长丰县 23） 设二次函数（b，c为常数），且． （1）若该二次函数的图象过点求该二次函数的表达式； （2）二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数（k为常数，k 0）的图象也经过这个定点，探究实数k，满足的关系式； （3）若该二次函数的图象上有四个不同的点：试求的值． 　思路分析　　本题考查求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入二次函数解析式得到结合求出b，的值，即可解题； （2）根据得到将其代入二次函数解析式整理得到进而推出二次函数的图象过定点将定点代入一次函数，并结合求解，即可解题； （3）根据在二次函数的图象上，得到进而得到再同样根据在二次函数的图象上，得到进而推出对其进行整理求解，即可解题． （1）解：该二次函数的图象过点 ​ ​ 由得： 解得 将代入②中，得 解得 ​该二次函数的表达式为 （2）解： ​ 将其代入二次函数中有 ​ ​当时， 即二次函数的图象过定点 ​一次函数为常数，）的图象也经过这个定点， ​ ​ ​ 整理得 （3）解：二次函数的图象上有四个不同的点： ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 　答案　　（1） （2） （3）2 　题型 2　　用增减性比较函数值 　例 22　　（2026 合肥一六八中学 23） 已知抛物线L (b，c是常数)经过点 ． （1）若抛物线L的对称轴为直线 求b，c的值． （2）若抛物线L还经过另一点且 ①求b 的取值范围； ②点 均在抛物线L 上．当 且 时， 求m的最大值． 　思路分析　　（1）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值； （２）①方法一：由A、B的坐标可得对称轴方程是关于b、m的关系式，由m的取值范围即得；方法二：把A、B坐标分别代入抛物线解析式可得b、m关系式，由m的取值范围，即得b的取值范围；②方法一：可将点的坐标代入抛物线的解析式，进而建立关于m的不等式，解不等式即得；方法二：根据y的变化趋势，得出到对称轴的距离的大小关系，建立关于b的不等式，解不等式即得 （1）解：∵抛物线L的对称轴为直线x= ​解得 ∵抛物线 经过点 ​ ​ （2）①方法一：∵抛物线L经过 ∴抛物线L的对称轴为直线 ​ ∴． ∵ ∴ ∴b的取值范围为． 方法二：将代入 得 ∴ ​ 又∵抛物线L过点 ​ ​ 由可知 ∴ ∵ ∴ ∴． ②方法一∶将代入 得 ∴． 由①可知， ∴ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 又∵ ​, ​, ∴m的最大值为 方法二：∵抛物线L的对称轴为直线 则点到直线的距离点到直线的距离 ∵抛物线L的开口向下， ∴距离抛物线对称轴越远的点，函数值越小， ∴当时， ​即 整理，得 ​ ​ ​ ​ 又 ​ 由①可知， ​ ​ ∴m的最大值为 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，对称性增减性，二次函数与方程与不等式，是解题的关键． 　答案　　（1）　（2）①② 　例 23　　（2026 合肥三十八中 23） 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点求该函数图象的顶点坐标； （2）若点在该函数图象上，且求m的取值范围； （3）若函数图象经过点求证：． 　思路分析　　本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）分两种情况，当和时，根据增减性分析，解不等式（组）即可得解； （3）将已知两点代入求出再用m表示出配方，即可得证． （1）解：二次函数经过点 ∴． 解得． ∴． ∴函数图象的顶点坐标为 （2）解：∵的图象经过点． ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线则点在对称轴右侧， ∴点关于直线的对称点为 ∵ ∴ 即 解得 综上，的取值范围为： （3）略 　答案　　（1） （2） （3） 证明：函数的图象经过点 ∴． ∴． ∴． 　例 24　　（2026 阜阳市期中 23） 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线对称轴为直线求顶点坐标； （2）已知是抛物线上两点，当且时．都有求m的取值范围； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 　思路分析　　本题考查的是二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）由对称轴可得可得从而可得答案； （2）由二次函数图象开口向上，对称轴为直线根据对于且都有即的中点在右侧，结合离对称轴越近，函数值越小，再进一步求解即可； （3）①当时，即时，如图，可得当时，函数有最大值：当时，函数有最小值：②如图，当且时，时，当时，函数有最大值：9-8m，当时，函数有最小值：③如图，当且时，即时，当时，函数有最大值：6+4m，当时，函数有最小值：④如图，当时，即时，当时，函数有最大值：6+4m，当时，函数有最小值：再进一步求解即可． （1）解：∵对称轴为直线 ​ ​ ∴顶点坐标为 （2）解： ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ∵点为函数图象上任意两点， 若对于且都有 又即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， ​即． （3）解：①当时，即时，如图， 当时，函数有最大值： 当时，函数有最小值： ​ ​（舍去）． ②如图，当且时，时， 当时，函数有最大值： 当时，函数有最小值： ​ ​（舍去）． ③如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值： 当时，函数有最小值： ​ ​（舍去）． ④如图，当时，即时， 当时，函数有最大值： 当时，函数有最小值： ​ ​（舍去）． 综上所述：或． 　答案　　（1） （2） （3）或 　题型 3　　顶点、对称轴与参数 　例 25　　（2026 阜阳联考B卷 23） 已知抛物线的顶点纵坐标比拋物线的顶点纵坐标小8． （1）求的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若求的最小值； （ii）若且m 0，求的值． 　思路分析　　本题考查了二次函数的图象性质，把二次函数一般式化为顶点式，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出两个函数的对称轴，再求出顶点的纵坐标，结合“抛物线的顶点纵坐标比拋物线的顶点纵坐标小8”，进行列式计算，即可作答． （2）（i）先把和分别代入得出整理出因为所以运用二次函数的图象性质，即可作答．（ii）先得出故所以结合m 0，即可作答． （1）解：依题意，抛物线的对称轴为直线 把代入 得 故该函数的顶点纵坐标为 拋物线的对称轴为直线 把代入 ∴ ∴拋物线的顶点纵坐标为 则 ∴ （2）解：点M(m,n)在抛物线上， ​ ​在抛物线上， ​ ​ ​ （i）将代入 ​ 则 ​ ​开口向上，当时，h取最小值． （ii） 即 ​ ​ 则 ​ ∴或 ​ ​ ​ ​． 　答案　　（1）1　（2）（i）（ii） 　例 26　　（2026 合肥五十中新校 14） 若二次函数的图像经过直线l经过两点． （1）        ； （2）当时，直线l与的图像只有一个交点，则的取值范围        ． 　思路分析　　该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合． （1）将代入即可求解； （2）结合图象分别求出直线经过两点时，经过两点时，经过两点时，n的值即可解答． 解：（1）将代入得： 解得： 故答案为： （2）由（1）得，二次函数解析式为 令则二次函数与y轴交点坐标为 令则 当直线经过两点时， 设直线的解析式为 将代入得解得： 故此时直线的解析式为 令则 即此时，直线l与的图像有两个交点， 当直线经过两点时， 设直线的解析式为 将代入得解得： 故此时直线的解析式为 令则 即此时，直线l与的图像只有一个交点， ∵ ∴顶点坐标为 根据图象可得，当直线经过两点时，直线l与的图像只有一个交点， 此时直线的解析式为 故 综上，根据图象可得：当直线l与的图像只有一个交点时，或 故答案为：或． 　答案　　​或 　例 27　　（2026 阜阳联考B卷 14） 已知抛物线（为常数）． （1）若则该抛物线的对称轴为        ； （2）若该抛物线经过不同的点且与x轴有公共点，则的值为        ． 　思路分析　　本题考查了二次函数的性质、判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接利用抛物线对称轴公式求解； （2）通过点B关于对称轴对称得出b与c的关系，再根据抛物线与轴有公共点，利用判别式求解． 解：（1）抛物线的对称轴为： 当时，对称轴为 故答案为：直线 （2）∵点和点的纵坐标相同， ∴点B关于对称轴对称， ∴ ∴ ∵抛物线与轴有公共点， ∴判别式 ​ ∴ ​ ​ ∴ ∵ ∴ ∴ 则 ∴． 故答案为：3． 　答案　　直线　3 微专题 4　二次函数的实际应用 模块导学 二次函数的实际应用 沪科版把这部分叫“二次函数的应用”，考法固定在三类：一是抛物线形的运动轨迹（投篮、喷水、投石、跳水），要先把实际情境翻译成坐标系里的点；二是数量关系的最优化（利润、面积、排队人数），要先写出函数再求最值；三是分段函数（药效、收费、行程），关键是找准分界点。三类的共同难点都不在计算，而在“设什么为 原点放在哪、定义域写到哪”。 知识梳理 知识点 1　抛物线轨迹的建模（重点） ① 建系三选一：以出发点为原点、以落地点为原点、以最高点正下方的地面点为原点。选得好的话顶点坐标直接就是已知量。 ② 题目给“最高点离地面 米、离发射点水平距离 米”，就是顶点 用顶点式 再代一个已知点定 ③ 定义域由实际范围决定：从发射点开始、到落地（）或到障碍物为止，不能写成全体实数。 ④ “正好打中墙”这类条件，是把墙的位置代进解析式求高度，或把墙高代进去求水平距离。 注意　建系后所有已知点都要换算成坐标，题干里的“离地面 5 米”“水平距离 50 米”不是坐标，别直接往式子里代。 易错　求出解析式后不写定义域，答“射程”时把抛物线另一支的负根也算进去。 知识梳理 知识点 2　分段函数的写与用（重点） ① 分段函数的每一段都有自己的解析式与定义域，分界点是图象的拐点，通常由“释放完毕”“开始收费”这类事件给出。 ② 写解析式时逐段用待定系数法：一次函数要两个点，反比例函数要一个点。 ③ 求“函数值等于某个数”的自变量，要每段分别解，解完检验是否落在该段的定义域内。 ④ 求“函数值不低于某个数”的持续时间，要先解出两段的临界点，再用右端点减左端点。 易错　把两段的解析式混用，或求出解后不检验定义域，导致答案多出增根。 知识梳理 知识点 3　最优化：利润、面积与数量（重点） ① 利润 （售价 成本） 销量，售价随涨价变化时销量也随之变化，两者都要写成同一个变量的式子。 ② 面积最大问题：一边靠墙、围栏总长固定，设垂直于墙的边为 则另一边为总长减去 面积是关于 的二次函数。 ③ 求最值前先写定义域：边长为正、销量非负、价格不低于成本，这些条件共同决定 的范围，最值点若在范围外，答案取端点。 ④ 排队、检票这类“总量 已处理量”的模型，先分别写出两个量关于时间的表达式，再相减。 注意　最值点不在定义域内时，函数在区间上单调，最大（小）值在端点取到，不能直接写顶点。 易错　只算顶点不管定义域，是应用题最常见的失分点。 知识梳理 知识点 4　从数据到函数类型（基础） ① 判断函数类型看“变化率”：差分为常数是一次函数，差分的变化率为常数是二次函数，乘积为常数是反比例函数。 ② 题目给出表格或图象后问“满足哪种函数关系”，先描点看形状，再用两组数据验证。 ③ 选定类型后用待定系数法求解析式，求完必须用第三组数据检验。 ④ 距离的平方关于位置的关系通常是二次函数： 型，配方后就是开口向上的抛物线。 易错　把 的图象当成 的图象：两者的最值点相同，但纵坐标不是一回事。 　题型 1　　分段函数的建模与求值 　例 28　　（2026 亳州学情调研 22） 为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中BC段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当时，求x的值； （3）如果教室内每立方米空气中的含药量不低于且持续时间不低于才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 　思路分析　　本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为利用待定系数法求解；当x 1时，设y与x的函数关系式为：利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． （1）解：当时，设y与x的函数关系式为 根据题意得： 解得： ∴ 当时，设y与x的函数关系式为： 由图像可知： ∴． ∴y与x的函数关系式为： 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：将代入得：解得： 代入得解得：． 综上，或 （3）略 　答案　　（1） （2）或 （3） 这次“药熏消毒”是有效消毒，理由如下： 根据（2）可得，当时，或 ​ ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 　题型 2　　抛物线轨迹的实际问题 　例 29　　（2026 安庆四中 22） 如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面5m处发射，则石弹在离发射点水平距离50m处达到最大高度25m．如图②，点A为发射点，以水平地面OB为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为20m防御墙BC（BC与OA之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙设投石机离防御墙的水平距离OB为xm，求的取值范围． 　思路分析　　本题考查了二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式，运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出顶点坐标为设石弹运行的函数关系式为 将点坐标代入求解即可； （2）分别令和解方程求出x的值，再根据题意求出的取值范围． （1）解：根据题意得，顶点坐标为 设石弹运行的函数关系式为 把代入得： 解得 ， ​石弹运行的函数关系式为 （2）解：当时， 解得 （舍去）， 当时， 解得 （舍去）， ​的取值范围是 ． 　答案　　（1） （2） 　例 30　　（2026 安庆市期中 22） 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度h为1.2米．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离OD为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 　思路分析　　本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为把代入求出因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为 （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为代入得即可作答． 解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设 又∵抛物线过点 ​ 解得： ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线 ∴点的对称点为 ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为 （3）略 　答案　　（1） （2） （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为 当时， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 　题型 3　　从数据到函数关系 　例 31　　（2026 六安部分校联考 23） 综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间x（分钟）之间部分对应值并制成下表： ​ 0 5 10 15 ​ 25 150 225 250 （1）以的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足 函数关系； （3）求与x之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为 ，排队人数w与检票时间的函数关系式为 ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 　思路分析　　本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握二次函数的性质是解答的关键． 【模型构建】 （1）在平面直角坐标系描点、连线即可画出图象； （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系； （3）利用待定系数法求解即可； 【模型应用】 （1）根据题意求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车，则根据题意，得到当时，,进而求解即可． 解：【模型构建】 （1）略 （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系， 故答案为：二次； （3）设与x之间的函数表达式为 将代入，得 解得 ∴与x之间的函数表达式为 【模型应用】 （1）由题意，当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为18x，排队人数 与检票时间的函数关系式为 故答案为： （2） ∵ ∴当时，w有最大值，最大值为61， 答：排队人数在第6分钟达到最大值，最大人数为61人， 故答案为：6，61； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车， 则 ∵车站规定列车开车前5分钟停止检票， ∴当时，w 0且即且 解得 ∵m为正整数， ∴应至少打开4条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车． 　答案　　【模型构建】（1）如图： （2）二次； （3） 【模型应用】（1） （2）6，61； （3）至少应打开4条通道 　题型 4　　距离平方的建模 　例 32　　（2026 中科大附中 10） 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A． B． C．点的纵坐标为 D．点在该函数图象上 　思路分析　　作当时，动点Q运动到点H的位置，得到当点Q运动到点G的时候，最小为36，勾股定理求出m的值，判断A；当点Q运动到点B，根据三线合一，得到进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出确定C的纵坐标，判断C，求出时，点Q运动到点K，再利用勾股定理求出判断即可． 如图，作当时，动点Q运动到点H的位置，由题意和图像可知当点Q运动到点G的时候，最小，即 在中，由勾股定理，得： 解得： 故选项错误，该选项不符合题意； ∴ 当时，点Q运动到点B，则 ∴ ∵ ∴ ∴故选项错误，该选项不符合题意； .∴当即点Q在点时， ∴ ∴点C的纵坐标为故选项错误，该选项不符合题意； 当时，点Q运动到点K，则： ∴ ∴即 ∴点在该函数图象上，故选项正确，该选项符合题意． 故选． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 　答案　　D 微专题 5　反比例函数与 $k$ 的几何意义 模块导学 反比例函数与 的几何意义 反比例函数在压轴题里几乎只考一件事： 的几何意义——图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒等于 连到原点的三角形面积恒等于 所有“双曲线与三角形面积”“双曲线与矩形”“双曲线上的点列”的题，都是把图形拆成若干个这样的基本块，再用面积加减拼回去。 知识梳理 知识点 1　 的几何意义（重点） ① 点 在 上，则 过 作两坐标轴的垂线，围成的矩形面积是 ② 连接 则 （ 为垂足）的面积是 与点的位置无关。 ③ 两个点在同一条双曲线上时，它们对应的矩形面积相等，由此可以得到“等高”“等积”的转化。 ④ 双曲线在不同象限时 的符号不同，面积的式子要加绝对值，写答案时按图象所在象限取舍。 注意　面积恒等于 的前提是三角形的一个顶点在原点、另两点在同一条双曲线上；三点都在双曲线上时不成立，要重新拆图。 易错　把 写成 第二、四象限的双曲线 面积仍是正的。 知识梳理 知识点 2　双曲线与一次函数的交点（重点） ① 联立 与 得 两个交点的横坐标是这个方程的两根，满足韦达定理： ② 由 可以反求 这是求反比例系数最快的路径。 ③ 两交点关于原点对称（当直线过原点时），或与原点构成三角形时，面积可以用 计算。 ④ 求“三角形面积为某值”的点，先设点坐标，用坐标表示面积，再解方程；注意点在双曲线的哪一支上，解出的 要检验符号。 易错　联立后忘记二次项系数可能为 （直线与 轴平行时只有一个交点），要先分类。 知识梳理 知识点 3　双曲线上的点列与递推（难点） ① 点列题先在图上标出前三个点，观察横坐标的规律（等差或等比），再写出第 个点的横坐标。 ② 第 个点的纵坐标由 直接算出，通常是 的形式。 ③ 相邻两块面积常常构成等差数列或等比数列，求出前三项就能定通项，再用求和公式。 ④ 若题目只问“前 块面积之和”，往往可以整体相消（裂项），不必逐项算。 注意　点列的横坐标常是 这样的等间距，但纵坐标不是等差数列，别把两者混为一谈。 知识梳理 知识点 4　双曲线与几何图形（难点） ① 矩形、正方形放在双曲线旁时，先把顶点坐标设出来（含一个参数），再用“点在双曲线上”列方程。 ② 折叠类问题里，折痕是垂直平分线，折后的点坐标可以用“到两端点距离相等”求。 ③ 求线段比、面积比时，优先找相似三角形或等高的三角形（面积比 底边比）。 ④ 若两条双曲线关于原点对称、或一条在另一条的对称位置，可以用“ 互为相反数”快速定系数。 易错　设点坐标时只设一个参数却忘了另一个坐标由函数关系决定，导致方程个数不够。 　题型 1　　$k$ 的几何意义与面积 　例 33　　（2026 亳州学情调研 10） 如图，反比例函数的图象过Q，R两点，QR的延长线交x轴于点V，R为QV的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，QS交RO于点U，下列结论，①②③④．其中正确的是（ ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 　思路分析　　根据已知条件，由平行线等分线段定理可知令分别作轴，轴，又可得设可得到再根据可得到可得即根据三角形面积公式，进一步得到又根据通过等量代换，可得到运用根据面积关系，可求得最后可求得进而判断正确的选项． 解：轴，轴，且R为QV的中点，则令（平行线等分线段定理），作轴，轴，垂足分别为A、B点，同理设则由得解得 ​ ​ ​①正确； 由得 ​②正确； 由得即 ​ ​③错误； ​ ​④正确， 综上可知①②④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，平行线等分线段定理，反比例函数的几何意义等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 　答案　　C 　例 34　　（2026 合肥长丰县 14） 如图，点在双曲线上，过作直线AD交双曲线于点B，过A作轴于C，连接 （1）的值为        ； （2）若的面积为3，则的值为     ． 　思路分析　　本题考查已知图形的面积求值，反比例函数的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键 （1）根据题意将点A代入即可得出结果； （2）由（1）得出点坐标，进而求出AD的解析式，设根据三角形的面积公式，求出B点坐标，即可得出值． 解：（1）点在双曲线上， ∴ ∴ 故答案为： （2） 设直线的解析式为 则： ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 　答案　　​ 　题型 2　　双曲线与一次函数的交点 　例 35　　（2026 宣城六中 22） 如图，直线 与双曲线 交于 两点，点 的坐标为 经过点 的直线 与 轴交于点 ． （1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标； （2）点P是x轴上一动点，连接AP，若是的面积的一半，求此时点P的坐标． 　思路分析　　（1）把代入中，求出m的值，即可求出点A的坐标，从而求出反比例函数的解析式和直线AC的解析式，联立反比例和BC直线解析式，即可求出点C的坐标； （2）连接OA、OB，分别作轴于M，轴于N，求出的面积，设P（x，0），根据是的面积的一半，列出方程求出x，即可求出P点坐标. （1）把 代入 得 ∴ ∵点 在双曲线 上， ​ ∴反比例函数的表达式为 ∵直线经过点A， ∴ ∴直线 令 求得 ∴ （2）连接 分别作 轴于 轴于 由题意得 解得或 ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∴则 ∴ 或 ∴点 为 或 ． 【点睛】本题是对反比例和一次函数的综合考查，熟练掌握反比例及一次函数解析式知识是解决本题的关键. 　答案　　（1）y=（2）P点为（-0）或（-0）． 　例 36　　（2026 滁州天长市 22） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P（m，4），与x轴交于点与y轴交于点C，轴于点B，且． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 　思路分析　　（1）先根据等腰三角形的三线合一得出从而可得出点P的坐标，再利用待定系数法可分别反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）先根据一次函数的解析式求出点C的坐标，再根据菱形的性质求出点D的纵坐标，然后利用反比例函数的解析式可得点D的横坐标，由此即可得出答案． （1） ​ ∵ ​（等腰三角形的三线合一）， ​ ​轴于点B， ∴ 将代入反比例的解析式得解得 故反比例的解析式为 将代入得： 解得 故一次函数的解析式为 （2）对于一次函数 当时， 则点C的坐标为 如图，四边形BCPD为菱形， ​ ​轴， ​轴， ​点D的纵坐标与点C的纵坐标相等，即为2， 又点D在反比例函数的图象上， ​将代入反比例函数的解析式得：解得 则点D的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、菱形的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，较难的是题（2），利用菱形的性质得出点D的纵坐标是解题关键． 　答案　　（1）一次函数解析式为x+2；反比例解析式为（2）存在，． 　题型 3　　双曲线上的点列 　例 37　　（2026 合肥市期中 14） 如图，已知．．．．是x轴上的点，且分别过点．．．．作x轴的垂线交反比例函数（x\的图象于点．．．．过点作于点过点作于点…，记的面积为 的面积为…，的面积为则线段的长等于       ， 等于    ． 　思路分析　　由可知点的坐标为点的坐标为点的坐标为…，点的坐标为把…代入反比例函数的解析式即可求出的值，再由三角形的面积公式可得出…的值，故可得出结论． 解：∵ ∴设点的坐标为点的坐标为点的坐标为……，点的坐标为 ∵点．．．．在反比例函数（）的图象上， ∴……， ∴ ∴ ​ ​ … ​ ∴ ​ ​ ​ ​ 故答案为． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 　答案　　​ 　题型 4　　双曲线与几何图形 　例 38　　（2026 合肥百校联赢B卷 14） 如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果且点A，点B的纵坐标相等，那么点A，点的横坐标的比值为        ； （2）的值为        （用含a，b的代数式表示）． 　思路分析　　本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质： （1）设点点B的纵坐标为m，可得点即可求解； （2）分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D，证明可得再根据反比例函数的比例系数的几何意义得：即可求解． 解：（1）设点点的纵坐标为m， 当时，两函数解析式分别为 ∴点 ∴B的横坐标的比值为 故答案为： （2）如图，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D， ∴ ∴ ∵即 ∴ ∴ ∴ ∴ 根据反比例函数的比例系数的几何意义得： ∴． 故答案为： 　答案　　​ 　例 39　　（2026 合肥五十中新校 10） 如图，在平面直角坐标系中，将OA沿y轴向上平移3个单位长度至CB，连接AB，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（ ） A．6 B． C．3 D． 　思路分析　　本题考查反比例函数与几何综合，延长交x轴于点E，有轴，根据平移的特点证明四边形OABC为菱形，得到设则由A与D都在反比例函数图象上，建立等式，求得b值，再利用勾股定理求得值，即可解题． 解：延长交x轴于点E，由题意知，轴， ​沿y轴向上平移3个单位长度至CB，且 ​ ​四边形为菱形， ​ 设则 ​且点D为的中点， ​ ​与都在反比例函数图象上， ​解得即 ​ ​即 ​即． 故选：B． 　答案　　B 　例 40　　（2026 阜阳市期中 14） 如图，在平面直角坐标系中， 分别为 轴、 轴正半轴上的点，以 为边在第一象限内作矩形 ．将矩形 翻折，使点 与原点重合，点 的对应点 落在第四象限，过 点的反比例函数 的图象恰好过 的中点，则 的值为     ，点 的坐标为       ． 　思路分析　　利用（AAS），得到点Q是MN的中点，利用Rt∽Rt得到求出设则求得a，根据反比例函数系数k的几何意义求得a,从而求得,根据三角形面积求得C′G,再根据勾股定理即可求得OG，从而求得C′的坐标． 解：连接OB，交MN于点Q， ∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合， ∴ ∵ ∴ ∵ 而 ∴（AAS）， ∴即点Q是MN的中点， 过点Q作于点H，则QH是的中位线， 则Rt∽Rt 则 而 则 解得 ∵点M是反比例函数上的点， 则 而 故AB， 设则 则 则 解得（负值已舍去）， 则 连接 作 于 ∵, ∴四边形MONB是平行四边形， ∴ ​, ∴（HL）， ∴ ∴, ​, ∴ ∴C′为 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，反比例函数与几何图形综合，掌握反比例函数的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 　答案　　​ 微专题 6　二次函数与几何综合 模块导学 二次函数与几何综合 九上解答题的最后一题，十有八九是“抛物线上找一个点，使得某个几何量最大”。这类题的做法高度固定：把要求的量（竖直线段长、三角形面积、面积比）写成一个只含横坐标 的二次函数，配方求最值，再回代求点。难点在两处：一是“面积怎么用坐标表示”（割补还是铅垂高），二是“点在抛物线的哪一段上”决定定义域。 知识梳理 知识点 1　竖直线段长的最大值（重点） ① 过抛物线上一点作 轴的垂线，与直线交于另一点，线段长 抛物线上的 减直线上的 （谁在上谁在前）。 ② 这个差是一个关于横坐标的二次函数，开口方向由抛物线开口决定：抛物线开口向下、直线在下时，差有最大值。 ③ 配方后顶点横坐标就是答案，若顶点不在自变量允许的范围内（比如要求点在第一象限），最大值取端点。 ④ 若线段是“点到直线的垂线段”，要用点到直线距离公式，或把它转化为某个直角三角形的边，用三角函数表示。 注意　定义域由“点在抛物线某一段上”决定，通常由两个交点坐标限定，不写定义域就会取到范围外的顶点。 易错　把“线段长”写成两纵坐标之和。必须先判断哪个点在哪个点上方。 知识梳理 知识点 2　三角形面积的最大值（重点） ① 铅垂高法： 水平宽 铅垂高。取三角形的一个顶点作竖直线，与对边（或其延长线）相交，这段竖直线就是铅垂高。 ② 抛物线与 轴交于 与直线 围成三角形时，把动点 的竖直线段 当铅垂高，（ 为水平宽）。 ③ 割补法：或拆成两个以 轴为公共边的三角形，哪种能消掉未知量用哪种。 ④ 面积最大时，往往与铅垂高最大同时发生，先求线段最值再乘系数更快。 注意　铅垂高法的“水平宽”是动点所在竖直线到对边端点的水平距离，取定值的那条边，别取成变量。 易错　割补时符号搞错：三角形在直线两侧时要相减而不是相加。 知识梳理 知识点 3　面积比与点的存在性（难点） ① 等高三角形的面积比等于底边比，把面积比转化为线段比，是最常用的第一步。 ② 共顶点的两个三角形，面积比可以用“底在同一条直线上”或“高相同”来转化。 ③ 存在性问题先假设存在，设点坐标，把条件翻译成方程；解出的坐标必须检验是否在指定范围（如第一象限、线段上）。 ④ 等腰三角形存在性按“谁作顶角”分三种情形，用“两腰相等”列方程；直角三角形成立则按“哪个角是直角”分三种。 易错　存在性问题漏解：等腰三角形有三种情形、直角三角形有三种情形、平行四边形有三个顶点对应关系，都要逐一枚举。 知识梳理 知识点 4　平移与对称后与图形有公共点（难点） ① 直线上下平移改变的是截距： 中的 变化，与抛物线的交点随之移动。 ② “与矩形（含边界）内的抛物线有公共点”，等价于直线在某个范围内扫过时能与抛物线相交，求出两个极端位置即可。 ③ 极端位置通常出现在“直线过矩形的某个顶点”或“直线与抛物线相切”两种时刻。 ④ 相切条件用 过顶点则直接把顶点坐标代入直线方程求 注意　“含边界”意味着顶点处的取值要能取到，最后写范围时带等号。 　题型 1　　竖直线段长的最大值 　例 41　　（2026 合肥市期中 23） 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线BC上一动点，过点M作线段（点N在直线BC下方），已知若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标的取值范围． 　思路分析　　本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交BC于点D，设利用勾股定理求得得到当PD最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设得到求出点N恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． （1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴解得 ∴ （2）解：存在； ∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为：把代入，得： ∴ 过点作轴，交BC于点D，设则： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当最大时，最大， ∵ ∴当时，PD的最大值为此时PQ最大，为 ∴ （3）解：设则： 当点恰好在抛物线上时，则： ∴ 当时，则： 解得：或 ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 　答案　　（1） （2）存在，最大值是 （3）或 　例 42　　（2026 清华附中合肥学校 23） 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接是否存在点P使得若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 　思路分析　　本题主要考查了二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意得：从而得到即可求解； （3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解． （1）解：直线当时，． 当时，． ​ 将代入得： ​ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：根据题意得： ∴ ​ ​开口向下，有最大值． 当时，l取最大值． 此时 （3）解：分两种情况讨论： ①若点P在x轴上方时，如图1， 根据题意得： ∴ ​ ​ 解得： ②若点P在x轴下方，如图2， ​ ​ ​ 解得：（舍） ​的值为或或． 　答案　　（1） （2） （3）存在，或 　例 43　　（2026 铜陵十五中联合体 21） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交BC于点D．点M是y轴上的一动点，连接PM，DM．当线段PD长度取得最大值时，求周长的最小值； 　思路分析　　本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）利用抛物线的解析式求得点A，B，C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，设则表示PD的长并配方，利用二次函数的性质求得PD的最大值为2； 取点D关于y轴的对称点连接交y轴于点M，连接MD，由轴对称可知此时PM+MD最小，再利用勾股定理解答即可得出结论． （1）解：∵抛物线经过点抛物线的对称轴是直线 ∴ 解得： ∴抛物线的表达式为 （2）解：令则 ∴或 ∴ 令则 ∴ 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 设 ∵轴， ∴ ∴ ∵ ∴当时，PD取得最大值，此时 ∴ 取点关于y轴的对称点连接交y轴于点M，连接MD，如图 ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小， ∴ ∵ ∴ ∴周长的最小值为． 　答案　　（1）抛物线的表达式为 （2）周长的最小值为 　题型 2　　三角形面积的最大值 　例 44　　（2026 合肥百校联赢B卷 23） 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（a，b为常数）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点是抛物线在直线BC上方部分的一个动点（与点B，C不重合），过点D作x轴的垂线交直线BC于点E，连接当的面积达到最大值时，求此时的长度； （3）若点为抛物线对称轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标． 　思路分析　　本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的定义，平面直角坐标系两点间距离等知识﹒ （1）利用待定系数法即可求解； （2）求出待定系数法求出直线BC解析式为﹒设则即可得到进而求出得到当取到最大值时，则DE取到最大值，根据二次函数性质得到当时，DE取到最大值，此时 （3）由得抛物线对称轴为直线设即可求出分三种情况分类讨论，列方程求解即可﹒ （1）解：∵抛物线经过点 ∴ 解得 ∴抛物线解析式为 （2）解：把代入得 ∴ 设直线解析式为 ∴ ∴ ∴直线解析式为﹒ 设则 ∴ ∴ ∴当取到最大值时，则取到最大值， ​当时，DE取到最大值，此时 （3）解：由得抛物线对称轴为直线 设∵ ∴ ①当时，即解得 ②当时，即解得 ③当时，即解得. 所以﹒ 　答案　　（1） （2） （3） 　例 45　　（2026 合肥五十中新校 23） 如图，已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点已知． （1）如图1，求该抛物线的表达式； （2）如图2，是直线BC上方抛物线上一点，AP与y轴、BC分别交于D，． ①若求点的坐标； ②求的最大值． 　思路分析　　本题为二次函数综合题，求函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数与面积问题等知识． （1）由点得再结合已知分别求出即可得点点进而可得抛物线的表达式； （2）①由得过点P作轴于点F，证明得进而得将代入即可得点P的坐标； ②设由得关于t的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可． （1）解：∵点 ∴ ∵． ∴ ∴点点 ∴ （2）解：① ​ 如图，过点P作轴于点 ​ 又∵ ​ ​ ​ 当时，则 ②设 ​ ​ ​ ∴当时，有最大值，最大值为． 　答案　　（1）　（2）①②最大值为 　例 46　　（2026 宣城六中 23） 如图，抛物线的顶点为其坐标为抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知． （1）求抛物线的表达式； （2）连接BD，判断的形状； （3）若点是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值． 　思路分析　　（1）设抛物线的表达式为再把点C的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标，可得到BD，的长，然后勾股定理逆定理解答即可； （3）求出直线的表达式，设作轴交BC于点F，则可得到进而可用m表示出面积，再结合二次函数的性质解答即可． （1）解：抛物线的顶点D的坐标为 ​设抛物线的表达式为． 又 ​点C的坐标为 代入表达式，得 解得 ​抛物线的表达式为即 （2）解：令则 解得 ​点B的坐标为 ​ ​ ​是直角三角形； （3）解：设直线的表达式为 将点点的坐标代入，得： ​ 解得 ​直线BC的表达式为 设 如图，作轴交BC于点F，则 ​ ​ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的面积综合，一次函数的解析式，二次函数的解析式，勾股逆定理，两点间的距离公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 　答案　　（1） （2）直角三角形 （3） 　例 47　　（2026 滁州天长市 23） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在抛物线上，且位于第三象限． ①如图1，作轴于点D，交BC于点E．若E为PD的中点，求点的横坐标． ②如图2，连接BP，AP交BC于点Q，记的面积为的面积为求的最大值． 　思路分析　　（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出利用待定系数法求出直线BC的解析式为设则代入直线BC解析式得出求解即可；②作轴，与BC的延长线交于点F，则由相似三角形的性质可得推出由题意可得则设则点F的纵坐标为代入直线BC得出从而得出表示即可得解． （1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）解：①在中，令则即 设直线的解析式为 将代入解析式得 解得： ∴直线的解析式为 设则 ∵为的中点， ∴ 将代入直线BC得 整理得： 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点的横坐标为 ②如图，作轴，与BC的延长线交于点 ， 则 ∴ ∵的面积为的面积为 ∴ ∵ ∴ ∴ 设则点F的纵坐标为 ∵点在直线上， ∴令则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 　答案　　（1） （2）①点的横坐标为-1；② 　例 48　　（2026 合肥三十八中 14） 如图，已知抛物线过点点． （1）该抛物线的顶点坐标为        ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接AC，BC，则面积的最大值为        ． 　思路分析　　（1）先根据抛物线经过点求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线再设过点C且与直线AB平行的直线解析式为根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出从而可得关于x的方程求出从而可得进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． （1）解：∵抛物线经过点 ∴解得 ∴ ∴该抛物线的顶点坐标为 （2）设直线的解析式为 ∵点 ∴解得： ∴直线的解析式为 设过点C且与直线平行的直线解析式为 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴解得： ∴过点C且与直线平行的直线解析式为 ∴解得： ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为 又点在直线上， ∴ ∴点D的坐标为 ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 　答案　　​ 　题型 3　　面积比与点的存在性 　例 49　　（2026 中科大附中 23） 如图①，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标． （1）求抛物线与直线的解析式． （2）已知是抛物线上不同的两点，若求的取值范围． （3）平移直线得到直线L，与y轴交于点．如图②，过两点向下作矩形MNPQ，使得MQ =3，当直线L与矩形MNPQ内(含边界)的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 　思路分析　　本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，二次函数的性质，矩形的性质，一次函数的平移； （1）将点的坐标代入抛物线解析式中，求得得出抛物线解析式，进而令得出点的坐标，待定系数法求直线解析式即可求解； （2）分当在N点的左侧时，当M在N点的右侧时，得出m的范围，再根据点与对称轴的距离的远近列出不等式，即可求解； （3）根据一次函数的平移得出直线的解析式为先求得点A的坐标，再令连接抛物线解析式得出抛物线与的交点的横坐标，代入直线L，求得的值，即可求解． （1）解：将点的坐标代入抛物线得， ​ 解得： ∴抛物线解析式为 当时，则 设直线的解析式为代入得 ​ 解得； ∴直线的解析式为 （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵是抛物线上不同的两点， ∴即 当在N点的左侧时， 解得： ∵ ∴ 解得： ∴无解， ∴不存在这种情况； 当在N点的右侧时， 解得： ∵ ∴ 解得： ∴ （3）解：令 ∴ 解得： ∴ 依题意，直线的解析式为 当直线经过点时，将代入得 ​ 解得： ∵四边形是矩形， 又∵则 ∴当直线经过点时，则 解得： ∵在直线上， 将代入抛物线解析式，得 解得： ∴当直线过点时， 解得： 结合图象可知：当直线与矩形MNPQ内(含边界)的抛物线有公共点时，n的取值范围为或． 　答案　　（1） （2） （3）或 　例 50　　（2026 合肥五十中西校 23） 抛物线与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，D是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，求的值； （3）若点在直线上，点在抛物线上，当时，求的最小值． 　思路分析　　该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）把代入即可求解． （2）由（1）可知得出根据点P的横坐标为t，得出从而表示出即可求解． （3）根据点在直线上，点在抛物线上，得出将代入，得出整理得：即可求解． （1）解：把代入 得 解得：． （2）解：由（1）可知 ​ ∵点的横坐标为 ​ ​ ​ ​． （3）解：∵点在直线上，点在抛物线上， ∴ 当时， ​ 故 整理得： 故当时，h最小，最小值是． 　答案　　（1） （2）2 （3） 微专题 7　相似三角形的判定与性质 模块导学 相似三角形的判定与性质 相似是九上几何的主线。判定只有三条路：两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例；性质则集中在“对应线段成比例、面积比等于相似比的平方”。压轴题里很少让你直接证相似，而是让你在复杂图形里找到那一对相似三角形——找法有规律：先找相等的角（对顶角、公共角、直角、由垂直或平行导出的角），再看夹这个角的两边是否成比例。 知识梳理 知识点 1　判定三法与应用（重点） ① 两角对应相等最常用：公共角、对顶角、同角的余角相等、平行线的同位角与内错角，都是现成的等角来源。 ② 两边成比例且夹角相等：适合“两个三角形共用一个角、夹边成比例”的图形，如“母子型”（直角三角形斜边上的高）。 ③ 三边成比例：多用于已知三边的计算题，或由中位线、平行线导出的比例。 ④ 判定之前先按“大小对应”排好顶点顺序，写相似式时对应顶点必须写在对应位置，后面的比例式才不会错。 易错　写 时顶点乱序，导致比例式 张冠李戴。 注意　“两边成比例”必须是夹角，夹角不相等时不能判定相似（这是与全等“SSA”失效对应的坑）。 知识梳理 知识点 2　相似比与面积比（重点） ① 相似三角形对应线段（边、高、中线、角平分线、周长）之比都等于相似比。 ② 面积比等于相似比的平方：相似比为 时，面积比为 ③ 由面积比反求相似比要开方，注意取正值。 ④ 等高三角形的面积比等于底边比，等底三角形的面积比等于高之比，这两条在“不求相似也能比面积”时更省事。 易错　把面积比直接当成相似比用，忘了平方。 知识梳理 知识点 3　比例线段与乘积式（难点） ① 要证 这类乘积式，先化成分式 再找包含这四条边的两个三角形。 ② 乘积式里的四条边若不构成两个相似三角形，就找“中间比”过渡：先证 再证 串联起来。 ③ 平行线分线段成比例是桥梁： 得 还可得 ④ 求比值时优先设一份为 把所有相关线段都用 表示，最后约掉。 注意　乘积式化为比例式时，四条线段要按“同一三角形的两边比 = 另一三角形的两边比”配对，配错就找不到相似。 知识梳理 知识点 4　相似与勾股、垂直平分线（难点） ① 垂直平分线上的点到两端点距离相等，这一条经常用来把“折痕”翻译成等量关系，再与相似联立。 ② 直角三角形的“母子型”：斜边上的高把原三角形分成两个与原三角形都相似的小三角形，得到 ③ 求线段长时，先用相似列出比例式，再用勾股定理补齐另一个条件，两个方程联立解。 ④ 出现“垂直”时优先想：直角相等 两角相等 相似；而不是先去算长度。 易错　用垂直平分线的性质时忘了“点在垂直平分线上”这个前提，把任意一点都当成到两端等距。 　题型 1　　判定与性质的基本运用 　例 51　　（2026 清华附中合肥学校 22） 如图，在平行四边形中，点E在边AD上，CE交BD于点F，． （1）求证： （2）如果求的长． 　思路分析　　本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． （1）结合平行四边形性质推得后可证再由相似三角形性质即可得证； （2）先由平行四边形性质中的推得结合相似三角形性质推得再证由相似三角形性质即可求出EF，从而得出的长． （1）略 （2）解：平行四边形ABCD中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 即 ​ 解得 ​． 　答案　　（1） 证明：平行四边形ABCD中， ​ ​ ​ ​ ​ 又 ​ 即 （2） 　例 52　　（2026 合肥三十八中 22） 在中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点． （1）如图1，点是BC中点，点F是AD中点，交AC于点G，求证： （2）如图2，若求的值． 　思路分析　　本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出即可得解； （2）过点D作利用平行线截线段成比例定理和已知得出代入计算即可得解； 熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． （1）略 （2）过点D作交于点H， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴的值为． 　答案　　（1） 证明：∵ 点D是中点， ∴ ∴ ∵点F是中点， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）． 　例 53　　（2026 合肥五十中西校 22） 如图，中，点E为CD中点，连接AE并延长交BC于点F，且有过F点作于点． （1）求证： （2）求的值； （3）若直接写出的长为        ． 　思路分析　　（1）根据得出根据得出即可证明． （2）根据点为CD的中点，得出根据得出设则根据得出根据得出从而得 （3）由（2）知，则证明得出求出证明得出由（2）知，设则则从而求出BD，在 中，根据勾股定理即可求解． （1）略 （2）解：∵点为的中点， ​ ​ ​ 设则 ​ ​ ∵ ∴ ​ （3）解：由（2）知， ​ ​ ​ ​ 即 解得： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 由（2）知，设则 ​ 即 解得：或（舍去）， ​ 在 中，． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 　答案　　（1） 证明：∵ ​ ​ ​ 在与中， ​． （2）2 （3） 　题型 2　　比例线段与乘积式 　例 54　　（2026 合肥五十中天鹅湖 23） 在四边形中，点E为AB的中点，分别连接． （1）如图1，若． ①求证： ②求证：平分 （2）如图2，若求的长． 　思路分析　　（1）①根据对应角相等证明所以对应边成比例，再根据点E为AB的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得再由可得进而得出可得即证得结论； （2）过点作连接DF，EF，根据全等三角形的判定与性质，构造再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． （1）略 （2）解：如图，过点作连接DF， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． ∵ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 　答案　　（1） 证明：① ∴ ∴ ∵为的中点， ∴ ∴ 即 ②∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平分 （2） 　例 55　　（2026 合肥四十五中 22） 如图，在中，D为BC边上一点，连接AD，过点C作交AD于点E，交AB于点F，连接． （1）求证：． （2）若求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 　思路分析　　（1）由推得结合即可证明 （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得由可推得利用两角相等可证利用相似三角形性质即可证明 （3）由（1）、（2）推得进而推出结合勾股定理得再利用两角相等分别得到根据相似三角形的性质推出则由此式结合即可得解． （1）略 （2）略 （3）解：由（1）、（2）得： ​ ​ 即 ​ ​ ​ ​中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ 又 ​ 即 ​ ​ 即 ​ ​ 即的值为． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 　答案　　（1） 证明： ​ 又 ​ ​ ​ ​ （2） 证明：中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 即 （3）的值为． 　例 56　　（2026 合肥五十中天鹅湖 14） 如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，于G，交于H． （1）        ； （2）当与相似时，        ． 　思路分析　　本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． ​过A作于M交DE于N，根据勾股定理得到根据三角形的中位线定理得到根据相似三角形的性质得到于是得到结论； ​根据相似三角形的性质分类讨论即可得到结论． 解：过A作于M交DE于 在中， ​ ​E分别是边AB，的中点， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 故答案为： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​当和相似时， ​ ​ ​． ​ ​ ​ ​ 综上所述，或 故答案为：或． 　答案　　​或 　题型 3　　母子型与一线三等角 　例 57　　（2026 合肥百校联赢B卷 22） 如图，在正方形中，边长为4，E为BC中点，作射线AE，过点D作DG垂直于射线AE交射线AE于点F，交AB于点G，过点C作CH垂直于射线AE交射线AE于点H，连接BF，BD，已知． （1）求的长； （2）证明： （3）连接交BD于点O，连接OF，OH，求的值． 　思路分析　　（1）先利用勾股定理求出的长，再通过证明利用相似三角形的性质求出的长． （2）计算和的比值，结合公共角证明． （3）通过正方形性质、相似三角形的判定与性质，结合角度关系和线段长度计算，求出的值． （1）解：∵四边形是正方形，边长为4， ∴ 在中，由勾股定理． ∵ ∴又 ∴． ∴即 解得． （2）略 （3）解：设交DG于点 ∵四边形是正方形， ∴． ∵ ∴ ∴． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． ∵四边形是正方形，边长为 ∴ ∴ 由第（）得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵（公共角）， ∴ ∴即 解得 ∵ ∴ ∵即 ∴． ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 　答案　　（1） （2） 证明：由（1）知． ∴ ∴． ∵ ∴． （3）． 　例 58　　（2026 合肥五十中新校 22） 在中，点M为线段BC上一动点．N在AC和AM的垂直平分线上．MN交AC于点如图1． （1）若求（用含有的式子表示）； （2）求证： （3）如图2：连接交AC，AM于P，Q两点，若恰好为等边三角形，请直接写出的值． 　思路分析　　（1）由题意知，由N在AC和AM的垂直平分线上，可得则由可得根据求解作答即可； （2）设由（1）可知，则，由题意知，则即由题意得，由可得进而结论得证； （3）证明垂直平分AC，即P是AC的中点，如图1，作交AM于E，则PE是的中位线，由为等边三角形，可得设则如图1，作于F，则由勾股定理得，即证明根据求解作答即可． （1）解：∵ ∴ ∵在AC和的垂直平分线上， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）解：∵ ∴垂直平分AC，即P是的中点， ∴ 如图1，作交AM于 ∴E为的中点， ∴是的中位线， ​ ∵为等边三角形， ∴ 设则 如图1，作于 ∴ ∴ 由勾股定理得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的值为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，中位线等知识．熟练掌握垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，中位线是解题的关键． 　答案　　（1） （2） 证明：设 由（1）可知，， ∴ 由题意知， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3） 　题型 4　　相似与勾股、垂直平分线 　例 59　　（2026 六安部分校联考 14） 如图，在矩形中，点E是CD上的动点，连接BE，线段BE的垂直平分线交AD于点F，交BE于点G，交BC于点H，连接FE，． （1）若则     ； （2）若则     ． 　思路分析　　本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据矩形的性质得出相等的边和直角，根据直角三角形的性质得出相等角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，然后证明即可； （2）过点作于点M，连接EH，证明得出对应边成比例，设表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可． 解析：（1）四边形是矩形， ​ ​ ​ ​ ​ ​垂直平分线段 ​ ​ ​ 故答案为：2； （2）如图，过点作于点M，连接 ​四边形是矩形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 设 ​ ​ ​ ​ ​垂直平分线段 ​ 在中，由勾股定理得 解得或（舍去）， 即 故答案为：． 　答案　　2　 　例 60　　（2026 合肥五十中西校 14） 如图，在正方形ABCD中，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作于点E，连接MN，请探究下列问题： （1）       ； （2）当与相似时，       . 　思路分析　　（1）根据为正方形，得再推导出证明出在中，即可算出 （2）①当由（1）得证明得出由勾股定理：得再利用相似求解；②当时，得证明出四边形ABMN为矩形，根据即可得到． 解：（1）四边形为正方形， ​ ​ ​ 又 ​ 在和中， ​ ​ ​ ​中， ​ 故答案为： （2）①当时， 由（1）得 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 由勾股定理： ​ 由 ​ 即： 解得： ②当时，如下图： ​ ​ ​ ​四边形为矩形， ​ 故答案为：5或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定及性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理、矩形的判定及性质，解题的关键是掌握相应的判定定理及利用相似的性质建立等式进行求解． 　答案　　​或/2或5 微专题 8　图形变换与特殊四边形 模块导学 图形变换与特殊四边形 翻折、旋转、平移是沪科版九上的三大变换，压轴题常把它们与正方形、矩形、平行四边形绑在一起考。三条翻译规则要背下来：翻折 折痕是垂直平分线、对应线段相等、对应角相等；旋转 对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角（由此得等腰三角形、得全等）；平移 对应线段平行且相等（由此得平行四边形）。把这些“变换语言”翻译成“全等或相似”，题目就回到上一节。 知识梳理 知识点 1　翻折的三条翻译（重点） ① 折痕是对应点连线的垂直平分线：折痕上的点到对应点距离相等。 ② 折后的图形与原图形全等：对应边相等、对应角相等，尤其是直角和已知长度的边。 ③ 折叠常把“未知线段”和“已知线段”放到同一个直角三角形里，用勾股定理列方程；设未知数为 把三边都表示出来。 ④ 折叠两次时，两次折痕都要用，注意折后的点可能落在形内或形外，影响图形位置关系。 注意　折痕两侧的两个三角形全等，但折痕本身不是对称轴以外的东西——不要把折痕当成中线或高。 易错　设未知数时选错了边，导致勾股方程里出现两个未知数。选“能被折痕平分的边”最省事。 知识梳理 知识点 2　旋转与手拉手模型（难点） ① 共顶点的两个等腰三角形（）绕公共顶点旋转，必然得到一对全等三角形： ② 全等之后，对应边相等、对应角相等，还能推出“对应边的夹角等于旋转角”。 ③ 旋转角为 时产生等边三角形，为 时产生等腰直角三角形，这是“旋转出特殊三角形”的常用套路。 ④ 旋转后的图形与原图形全等，面积不变、长度不变，求最值时可以把动点“转”到定点附近。 易错　找全等时对应顶点写错：旋转中心是公共顶点，与它相邻的两条边才对应。 知识梳理 知识点 3　正方形与矩形中的全等（难点） ① 正方形里“过一点作垂线”的模型：过 作 的垂线交 于 则 （ 与两角互余）。 ② 正方形的对角线把它分成四个等腰直角三角形，涉及 角的题优先连对角线。 ③ 矩形里出现垂直时，用“同角的余角相等”找等角，再配合矩形的对边相等构造全等或相似。 ④ 求线段比时，若两个三角形有公共高，优先用面积比代替长度比。 注意　“作垂线”得到的全等，前提是那条垂线与另一组边恰好相交在顶点或已知点，位置不满足时要改用相似。 知识梳理 知识点 4　特殊四边形的判定（基础） ① 平行四边形：两组对边分别平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分，三条任选其一。 ② 矩形：有一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形；菱形：邻边相等的平行四边形，或对角线互相垂直的平行四边形。 ③ 正方形：既是矩形又是菱形。判定时通常先证矩形再补“邻边相等”，或先证菱形再补“有一个直角”。 ④ 角平分线 平行线 等腰三角形，这条在“证线段相等”时非常好用。 易错　直接由“对角线相等”判矩形，忘了先说明它是平行四边形。 　题型 1　　折叠与翻折 　例 61　　（2026 六安部分校联考 22） 如图，在中，点E在BC边上，点P在BC延长线上，将沿AE折叠到的位置，点B的对应点F落在▱ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点P，射线EF交CD边于点． （1）求证： （2）若求的长． 　思路分析　　​由折叠的性质得由平行四边形的性质可得根据对顶角相等可得等量代换可得又因为根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； ​根据可证利用AAS可证根据全等三角形的性质可证又可证根据全等三角形的性质可知根据相似三角形的性质可得解方程即可求出的长度． （1）略 （2）解：由折叠知 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 又 在和中， ​ ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ 由得 ​ ​ 解得：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质与全等三角形的性质找边之间的关系． 　答案　　（1） 证明：由折叠的性质得 ​四边形是平行四边形， ​ ​ ​ ​ ​ （2）． 　例 62　　（2026 中科大附中 22） 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的CD边上取一点E，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点处． 实践探究： （1）如图1，若求的度数； （2）如图2，当且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 　思路分析　　（1）由折叠的性质得出根据直角三角形的性质得出 （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点N作于点G，证明得出设设则由勾股定理得出解出则可求出答案． 解：（1）四边形是矩形， ​ ​将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点处， ​ ​ ​ ​ （2）将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点处， ​ 又矩形ABCD中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ （3）过点作于点 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 设 ​平分 ​ 设则 ​ ​ 解得 ​ ​． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 　答案　　（1）（2）2；（3） 　例 63　　（2026 安庆市期中 23） 已知∶在中，CD是边AB上的中线，直线E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将沿CD翻折得射线交直线于点G． （1）如图1，当时，求的值； （2）如图2，当点G在点F的右侧时； ①求证∶ ②设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）如果的面积为求的长． 　思路分析　　（1）由利用斜边上的中线等于斜边的一半得到再由得到三角形ADC为等边三角形，由AC的长求出AD与BD的长，同时求出由BM与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到再由CD垂直于EF，得到和都为直角，在直角三角形EDC中，求出为利用两直线平行内错角相等可得出也为而由求出为利用对顶角相等得到为即利用等角对等边可得出由BD的长即可求出的长； （2）①当点G在点F的上方时，如图2所示，由翻折，得得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出②相似得到证明得到进而得到勾股定理求出BC的长，进而求出点D到的距离，利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）分两种情况考虑：点在点F的左侧 和点G在点F的右侧，分别求出的长即可． （1）解： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ​ ​ （2）①略 ②由得 ∵D为的中点， ∴ 又∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， 根据勾股定理得∶ 取的中点H，连接 ∵为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴即 （3）当点G在点F的右侧时， 由（2）可知： ∴ 整理，得 解得(不合题意，舍去)； 当点G在点F的左侧时，如图3所示∶ 同理得到即 ∴ 整理，得 解得(不合题意，舍去)， 综上所述，的值为2或8． 【点睛】此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 　答案　　（1）4 （2） ①证明：由翻折，得 ​ ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ② （3）的值为2或8 　题型 2　　旋转与手拉手模型 　例 64　　（2026 合肥市期中 22） 已知和有公共的顶点A，且．AC与DE相交于点G，连接BE，． （1）若点E，D在一条直线上，如图1，求证： （2）将绕点A逆时针方向旋转一定的角度，DE的延长线交BC于点如图2 ①证明： ②若求的值． 　思路分析　　（1）根据可得可证明可得再由三角形内角定理，即可； （2）①根据等腰三角形的性质可得可证明从而得到即可；②连接AF，由（1）得可得由①，得可得可证明从而得到再由锐角三角函数，即可求解． （1）略 （2）解：①略 ②如图，连接 由（1）得 ∴． 由①，得 ∴ 又 ∴ ∴ ∴即 又是等腰直角三角形， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 　答案　　（1） 证明：∵ ∴即． 又 ∴ ∴． 在和中， ∴即 （2） ①证明：∵和都是等腰三角形， ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴即 又 ∴ ② 　例 65　　（2026 宣城多校联考 22） 如图，在中，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边AB上，得到边BC，ED交于点O，连接． （1）求证： ① ② （2）当时，求的面积． 　思路分析　　本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①利用旋转的性质得出即可得出即可证明． ②由相似三角形的性质得出再证明由相似三角形的性质得出． （2）过作于H，证明由相似三角形的性质得出设则利用勾股定理进一步得出再计算出最后根据相似三角形的性质求解即可． （1）①略 ②略 （2）解：过作于 ​ ​ ​ ​ 设则 在中， 即 解得或（舍去）， ​ ​ ​ ​ ​． 　答案　　（1） 解：①证明：∵将绕点C旋转得到 ​ ​ ​ ②∵将绕点C旋转得到 ​ 由（1）可知， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2） 　例 66　　（2026 阜阳市期中 22） 模型探究： （1）如图1，点D、E分别为的边上的两点，将绕点A逆时针旋转某个角度得分别连接如图 求证： （2）模型应用： 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻四边形”．在“等邻四边形”中，为对角线，试探究的数量关系． （3）模型提升： 如图，在中，连接CD，直接写出的长度为 ． 　思路分析　　（1）可得出从而 ​将绕点A逆时针旋转的度数至连接CW，从而得出由（1）知，从而从而得出进一步得出结果； ​将绕点D逆时针旋转至连接CV，作于X，从而得出进而得出从而解三角形得出结果． ​略 ​如图1，将绕点A逆时针旋转的度数至连接 ​ ∵ ∴ ∴ ​ ​ ∵ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​如图2，将绕点D逆时针旋转至连接CV，作于X， ​ ∴ ​ ​ ​ ​ ​ 作则： ∵ ∴ ∴ ​ 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是利用旋转作辅助线，构造相似三角形． 　答案　　（1）证明： ​ ​ ​绕点A逆时针旋转某个角度得 ​ ​ ​ ∴ （2） （3） 　例 67　　（2026 铜陵十五中联合体 22） 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（），连结OB，OE（如图4）． 【探究】当EF平分时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由． 　思路分析　　【思考】由全等三角形的性质得出则可得出结论； 【发现】连接BE交AD于点O，设则（x+4），得出x，由勾股定理可得解方程求出x，则AF可求出； 【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明（ASA），得出则可证得（AAS），得出则结论得证． 解：【思考】略 【发现】如图1，连接BE交AD于点O， ∵四边形ABDE为矩形， ∴ 设则（x+4）， ∴x， 在Rt中，∵O ∴ 解得： ​cm． 【探究】略 【点睛】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 　答案　　【思考】四边形ABDE是平行四边形． 证明：如图，∵ ∴ ∴ ∴四边形ABDE是平行四边形； 【发现】 【探究】 证明：如图2，延长OF交AE于点H， ∵四边形ABDE为矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵EF平分 ∴ ∵ ∴（ASA）， ∴ ∴ ∴（AAS）， ∴． 　题型 3　　正方形与矩形中的全等 　例 68　　（2026 清华附中合肥学校 10） 如图所示，边长为的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在线段OD上，连接CE，作交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①②③④若则正确的是（ ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 　思路分析　　①利用“边角边”证明可得由四边形内角和定理可证可得 ②通过证明可得 ③通过证明可得通过证明可得即可得到 ④通过证明可得代入相应的值即可求得． 解：连接 ​四边形是正方形， ​ ​在和中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故①正确； ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​故②正确； ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故③正确； ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 即 ​故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理、相似三角形的判定与性质、等边对等角、勾股定理，解题关键是灵活运用相关知识点解决问题． 　答案　　C 　例 69　　（2026 蚌埠G5联考 22） 如图分别是正方形ABCD的边BC和CD的中点，连接AE、BF，它们交于点． （1）求证： （2）如图连接DG，求证： （3）如图连接GC，求证：． 　思路分析　　（）由正方形性质可得又分别是正方形ABCD的边BC和CD的中点，可证然后证明最后通过全等三角形的性质和角度和差即可求证； （）取AB中点H，连接DH交AE于点M，证明四边形DFBH是平行四边形，故有则根据性质得所以故DH垂直平分AG，根据垂直平分线的性质得出 （）过G作于点N，先证明根据相似三角形的性质可得设则则设则求出因此得出再由勾股定理得出从而求证． （1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 　答案　　（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵分别是正方形ABCD的边BC和的中点， ∴ ∴ 在和中， ​ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2） 证明：如图，取中点H，连接DH交AE于点 ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∵是正方形ABCD的边的中点， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴ 由（）得： ∴ ∴垂直平分 ∴ （3） 证明：如图，过作于点 ∴ ∴ ∴ 由（）得 设则 ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ 由勾股定理得： ∴ ∴． 　例 70　　（2026 合肥长丰县 22） 如图，点是正方形ABCD边BC上一点，过E作AE的垂线，交CD于点F，交AB的延长线于点． （1）若点是BC的中点，求证： （2）若正方形的边长为4， ①当取最大值时，的长为多少？ ②试确定的取值范围． 　思路分析　　（1）通过证明可得出即可得证； （2）①设由（1）知可得出y关于x的解析式并化为顶点式，即可求出答案； ②过点作于点M，通过证明可求得取值范围． （1）略 （2）解：①设 ∴． 由（1）知 ∴．即． ∴． ∵ ∴当时，y有最大值1， 即当取得最大值时，的长为2． ②如图．过点作于点． ∴． 又∵ ∴． 又∵ ∴． ∴． ∴当点与点B重合时，长最小，此时长为4； 当点与点C重合时，AE长最大，此时长为． ∴．（答案写成也可以）． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的性质以及二次函数的有关知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 　答案　　（1）证明：∵ ∴． ∵ ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴ ∴． （2）①2；②． 　题型 4　　折纸实践与特殊四边形判定 　例 71　　（2026 安庆四中 23） 折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． （1）操作判断：在上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M作交AB、CD、BP于点E、F、N，连接PM并延长交CD于点Q，连接BQ，如图①，当E为AB中点时，是        三角形，        ； （2）迁移探究：如图②，若且求正方形的边长． （3）拓展应用：如图③，若直接写出的值为        ． 　思路分析　　（1）由折叠的性质可得利用平行线的性质得进而得再利用直角三角形中线的性质可得即可证明为等边三角形，根据可得再由可得证明可得 （2）由（1）可知，可得证明可得从而求得再利用勾股定理求得MF的长，再算出EM的长，即可求出正方形的边长； （3）设根据题意可得设则根据可得再代入计算解出x即可求解． （1）解：∵四边形是正方形， ∴ 根据折叠的性质可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点E为的中点， ∴点N为的中点， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 由折叠的性质可知， 在和中， ​ ∴ ∴ ∴ 故答案为：等边， （2）解：由（1）可知， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴即 ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴ 在中，, ∴ ∴ ∴即正方形ABCD的边长为 （3）解：设 ∵若 ∴ ∴ 设则 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积转化法，灵活运用所学知识是解题的关键． 　答案　　（1）等边， （2） （3） 　例 72　　（2026 宿州埇桥区 22） 如图，在平行四边形中，过点A作交BC边于点E，点F在边AD上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分且求线段的长． 　思路分析　　本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； （1）首先证明推出四边形AECF是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在中，利用勾股定理求出AE、即可． （1）略 （2）解：平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在中，即BF的长是． 　答案　　（1） 证明：四边形是平行四边形， ​ ​ ​ ​四边形是平行四边形， ​ ​ ​四边形是矩形； （2） 微专题 9　几何最值与动点 模块导学 几何最值与动点 几何最值题在九上多以选择压轴的形式出现，考的是“能不能把动点问题化成一个二次函数”。三条主线：动点在定线段上 用相似或三角函数把目标线段表示成动点位置的函数，配方求最值；求两条线段之和最小 找对称点，化折线为直线（将军饮马）；图形旋转 动点的轨迹是一个圆或一段圆弧，最值出现在“圆心与定点连线”上。 知识梳理 知识点 1　把目标线段写成函数（重点） ① 设动点的位置为 （或其到某定点的距离为 ），用相似三角形的比例式把目标线段表示成 的式子。 ② 若目标线段与已知线段构成直角三角形，用勾股定理表示，往往得到二次函数，配方求最值。 ③ 定义域由动点的活动范围决定，端点处的最值不能漏。 ④ 目标线段含系数（如 ）时，先求 的最值再乘系数，不必整体配方。 易错　设 时选了“不好用的那条边”，导致比例式里出现两个未知数；应选能被相似直接关联的那条。 知识梳理 知识点 2　对称点与将军饮马（重点） ① 求 最小值：作 关于动点所在直线的对称点 的最小值就是 的长度。 ② 动点在抛物线的对称轴上时，先利用“对称轴上的点到两交点距离相等”把一条线段替换掉。 ③ 线段可以沿对称轴平移时，先平移其中一条的端点，把“两条线段之和”变成“一条折线”，再用两点之间线段最短。 ④ 求 的最大值，同样用对称点，取“三点共线”的时刻。 注意　对称轴选错（对错了点）是最常见的错误：对称的是“定点”，不是动点。 知识梳理 知识点 3　旋转中的轨迹与最值（难点） ① 一条线段绕其一端旋转，另一端点的轨迹是以旋转中心为圆心、线段长为半径的圆。 ② 动点在圆上时，到定点的距离最大值 圆心距 半径，最小值 圆心距 半径（圆心距大于半径时）。 ③ 正方形中绕顶点旋转 常可用“旋转后对应边相等”把动点转化到一条定直线上。 ④ 求“点到动点距离的最小值”，先把动点轨迹找出来（圆、直线、线段），再作垂线或用圆心连心线。 易错　把轨迹直接当整圆，忘了动点只在圆弧（或线段）上活动，取到的极值点可能不在允许范围内。 知识梳理 知识点 4　角平分线与线段乘积（难点） ① 三角形两内角平分线的夹角 一内一外角平分线的夹角 两外角平分线的夹角 ② 角平分线上的点到角两边距离相等，这是把“角平分线”转化成“高相等”的唯一通道。 ③ 求 这类乘积，先找含 的两个三角形，证相似后写成比例式。 ④ 出现“过某点作垂线交两边”的构图时，注意垂线段与角平分线构成的等腰三角形。 注意　内外角平分线的夹角公式只对“同一个顶点”的两条平分线成立，换顶点要重新推。 　题型 1　　动点在定线段上的最值 　例 73　　（2026 合肥百校联赢B卷 10） 如图，在中，过点A作交BC于点D，点P为线段AD上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接CP，以CP为直角边向下作且连接DE，则的最大值和最小值分别为（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定点E在线段上运动是解题的关键；连接BE交AD的延长线于点F，过点D作于点G；由题意知进而可得则而从而则可证明则点E在线段BF上运动，当E与G重合时，DE最小，当E与F重合时，最大，再求出最小值与最大值即可． 解：如图，连接交AD的延长线于点F，过点D作于点G； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点E在射线上运动， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 当点P与点A重合时，点E与点B重合，当点P与点D重合时，点E与点F重合， ∴点E在线段上运动， 当与G重合时，DE最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得且 ∴当与F重合时，DE最大，最大值为线段FD的长，即为 ∵ ∴ 即的最小值为 综上，的最大值和最小值分别为和． 故答案为：B． 　答案　　B 　例 74　　（2026 合肥四十五中 10） 如图，已知四边形是矩形，为CD边上的动点，连接AE，过点B作分别交于点下列说法中，正确的有（　　）个 ①的最小值为②AF+EC的最小值为③DG的最小值为④EF的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 　思路分析　　设则证明得出求出得出根据x的范围即可得出DF的最小值，判断①正确；根据求出最小值，判断②正确；根据得出点G在以AB为直径的圆上运动，根据勾股定理求出根据当M、G、D三点共线时，DG最小，求出最小值即可判断③错误；根据勾股定理根据二次函数性质求出最值即可，判断④错误． 解：∵四边形为矩形， ∴ 设则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ​ 即 ∴ ∴ ∴当时，DF最小，且最小值为故①正确； ∵ ∴当时，AF+EC有最小值，且最小值为故②正确； ∵ ∴点G在以为直径的圆上运动， 如图，以的中点M为圆心，为半径画弧，连接 则 根据勾股定理得： 当M、G、D三点共线时，最小，且最小值为：故③错误； 连接如图所示： ∵ ∴根据勾股定理得： ​ ​ ​ ​ ∵ ∴当时，有最小值，且最小值为 ∴的最小值为故④错误； 综上分析可知：正确的有2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，矩形的性质，二次函数性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 　答案　　B 　题型 2　　对称点与最短路径 　例 75　　（2026 合肥三十八中 10） 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　先求出点求出将点A沿y轴向下平移2个单位，得到点F，连接CE，CF，EF，易证得四边形CDAF是平行四边形，于是可得由轴对称的性质可得于是得到即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 解：令 解得： ​ ​ ​ ​ 如图，将点沿y轴向下平移2个单位，得到点F，连接CE，CF， ​点A沿y轴向下平移2个单位得到点 ​ ​ ​ ​抛物线的对称轴轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在轴上， ​ ​四边形是平行四边形， ​ ​抛物线是轴对称图形， ​ ​ ​当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令则 ​ 由平移的性质可得：点的纵坐标 ​ 设直线的解析式为 将代入，得： ​ 解得： ​直线EF的解析式为 在抛物线中，其对称轴为直线 要使的值最小，则点C的坐标应满足 解得： ​ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 　答案　　C 　题型 3　　旋转中的最值 　例 76　　（2026 宣城多校联考 10） 如图，正方形的边长为2，E为边BC上一动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转得到线段EF，连接AF，则点D到点距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点到直线的距离垂线段最短以及勾股定理．根据条件推得从而证得进而得到为等腰直角三角形，故点F在的平分线上，当时，最小． 如图，过点作交BC的延长线于点 则 ​ 由线段绕点E顺时针旋转得到线段EF可知 ​ ​ 又 ​ ​ ​ 即 ​ ​为等腰直角三角形， ​ 即点在的平分线上， 当时，最小， 此时 解得 故选：． 　答案　　C 　题型 4　　角平分线与线段乘积 　例 77　　（2026 合肥四十五中 14） 如图，为内部一点，BP、CP分别平分． （1）        ． （2）连接过P作分别交AB、AC于点D、E，若则点的值为        ． 　思路分析　　（1）结合三角形内角和性质以及角平分线的定义进行分析，即可作答． （2）先得出平分BAC（三角形的角平分线交于点P），再证明是等边三角形，结合两组对角相等，得出再作图，根据切线长定理得再根据勾股定理以及30度角的直角三角形的性质进行分析，列式计算，即可作答． 解：（1）∵ ∴ ∵CP分别平分． ∴ ∴ 则 故答案为： （2）∵CP分别平分． ∴平分BAC（三角形的角平分线交于点）， ∴ ∵过作分别交AB、AC于点D、 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ 由（1）得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ 即 ∵点P是的角平分线的交点， ∴点P是的内心， 分别过点P作如图所示： 则 结合切线长定理得 ∵ ∴ 设 ∵是等边三角形，， ∴ ∵ ∴ ∵在中， ∴ 同理得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切线长定理，内心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 　答案　　​ 微专题 10　新定义问题 模块导学 新定义问题 新定义题的共同结构是：先给一个新名词，再让你用旧知识解决新问题。做法只有一步——把定义逐字翻译成等式、不等式或图形关系，翻译对了题目就变成常规题。要特别小心定义里的“且”“或”“非零”“整数”这些限定词，它们决定了要不要分类、要不要舍根。 知识梳理 知识点 1　定义翻译成方程（重点） ① 定义里出现“相等”“互为相反数”“等于自身”这类词，直接写成方程，再代函数解析式。 ② “有两个这样的点” 方程有两个不相等的实根，用 且根要落在指定范围内，还要加端点条件。 ③ 定义涉及绝对值、分段时，先按“使绝对值内为零”的临界值分段，逐段翻译。 ④ 求出答案后代回定义检验，确保没有多解或漏解。 易错　定义里的“整数”“正数”“不等于 0”这类限定条件，最后筛答案时最容易漏。 知识梳理 知识点 2　新函数与图象（难点） ① 新函数（如 ）的图象，是把原抛物线在 轴下方的部分翻折上去，翻折后出现“尖点”（原交点处）。 ② “与直线有几个公共点”的问题，把直线上下平移，数交点的个数变化，临界位置是相切或过尖点。 ③ 对称型新函数（ 与原函数相同、 取相反数）的图象关于原点对称，可借助奇偶性简化。 ④ 判断新函数的系数符号时，先把图象还原成原函数的样子再判断。 注意　翻折后的“尖点”处不可导，但仍是图象上的点，数交点时不能漏。 知识梳理 知识点 3　图形的新定义（难点） ① 几何新定义（如“垂美线段”）先按定义画图，把“垂直”“相等”“中点”等条件标在图上。 ② 探究题的第一问通常是“直接写出结论”，用特殊图形（正方形、等边）猜出关系，再用相似或全等证明。 ③ 一般情形下证明时，回到第一问的构图思路，把特殊条件替换成一般条件重走一遍。 ④ 应用题里的实际数据（长度、角度）要代进已证的关系式求解，注意单位与取舍。 易错　把“直接写出结论”当成“不用管”，其实这一问的结论就是后面证明的目标，写错就全错。 　题型 1　　函数的新定义 　例 78　　（2026 合肥五十中天鹅湖 10） 对于二次函数规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为连接MN，若线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 　思路分析　　本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令求出n的值，当线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点求出n的值，当线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点可求n的值，进而得出取值范围. 解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，即 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴ 解得：． ∴当时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点 ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点 ∴ 解得：． ∴时，线段MN与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或 故选：A． 　答案　　A 　例 79　　（2026 铜陵十五中联合体 10） 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①②③④若m的取值范围是则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 　思路分析　　​的图象是将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方得到的，据此即可判断①；求出抛物线的对称轴为直线则即可判断③；分和两种情况讨论即可判断②；直线与x轴的交点在的左侧，直线与y轴的交点在正半轴上，画出一次函数的大致图象，即可判断④． 解：∵的图象是将二次函数的图象在x轴下方的部分沿轴翻折到上方得到的， 仅凭图象无法确定的正负， 故①错误； ∵抛物线与x轴相交于和 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴③正确； 若抛物线开口向下，则抛物线与y轴交于点即 ∴此时 若抛物线开口向上，则抛物线与y轴交于点即 ∴此时 综上可知， 故②正确； 根据的取值范围是得 由直线得直线与x轴的交点坐标为 ∵的取值范围是 ∴ 故直线与x轴的交点在的左侧， 由直线得直线与y轴的交点坐标为且 故直线与y轴的交点在正半轴上，大致如下： 故与的图象有4个公共点， 故④正确， 综上可知，②③④正确． 　答案　　B 　题型 2　　点的新定义 　例 80　　（2026 清华附中合肥学校 14） 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为“相反点”，如都是“相反点”．已知二次函数请完成下列问题： （1）若则此二次函数上的“相反点”为        ． （2）在的范围内，若此二次函数图像上存在两个“相反点”，则的取值范围为        ． 　思路分析　　本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的图像与系数的关系，熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据“相反点”的定义可知，“相反点”在直线上，将与联立成方程组，即可求解； （2）根据题意可知，方程在内存在两个不相等的实数根，根据一元二次方程根即可求解． 解：（1）当时，二次函数的解析式为 根据“相反点”的定义可知，“相反点”在直线上， ​联立 解得： ​此二次函数上的“相反点”为 故答案为： （2）在的范围内，此二次函数图像上存在两个“相反点”， ​方程即在内存在两个不相等的实数根， ​ 解得： 解方程可得： ​且 ​ 即 解得： 此时满足要求， ​的取值范围是 故答案为：． 　答案　　​ 　例 81　　（2026 滁州天长市 14） 定义：对于一个函数，自变量取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是此函数的“幸运数”，则的值为        ． （2）若此函数有两个相异的“幸运数”且则的取值范围为        ． 　思路分析　　本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义得到抛物线经过点将点代入求解即可； （2）由题意得抛物线经过点并在直线上，令根据Δ>0求得解得而则当时，即可求解． 解：（1）若7是此函数的“幸运数”，则抛物线经过点 将点代入 得 解得 故答案为： （2）由题意得抛物线经过点 而点在直线上， 令 整理，得 ​函数有两个相异的“幸运数” ​ 解得． 设． ​ ​当时， 解得 故答案为：． 　答案　　​ 　题型 3　　图形的新定义 　例 82　　（2026 亳州学情调研 23） 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且．则线段GE和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边AD、AB、CD上的点，于H，则垂美线段CE与之间的数量关系是  （直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，点E，F，G分别在AB、BC，CD上，且请探究垂美线段AF与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得量得米，且点E、F分别在边BC、AB上，求的值． 　思路分析　　（1）根据四边形是正方形，得出过点F作于P，则四边形BCPF是矩形，得出证明即可得． （2）如图3，平移线段使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边BA上，则四边形AHGD是矩形．得出证明得出结合即可求出． （3）根据得出证明四边形ABGH是矩形，得出证明得出结合得出设则．求出．根据勾股定理列方程求解即可． （1）解：． 理由：∵四边形是正方形， ∴ 过点F作于P， 则四边形是矩形， ∴ ​ ​ ​ ​ ​ 在和中， ​ ​ ​． （2）略 （3）解：如图，过点D作过点A作交DG于点H，延长BC交于点G， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形． ∴． ∵ ∴． ∵ ∴． ∵ ∴． ∴． ∵ ∴． 设则． ∵ ∴． ∵ ∴ 化简得： 解得：（不合题意，舍去）， ∴ ∴ ∴． 同（2）得：． 【点睛】该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 　答案　　（1） （2） 证明： 理由如下： 如图3平移线段使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上， 则四边形是矩形． ∴ ∵四边形为矩形， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． （3） 1 学科网（北京）股份有限公司 $