专题08 锐角的三角函数 期中复习讲义 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题08锐角的三角函数期中复习讲义 1.理解正弦、余弦、正切的定义，明确在直角三角形中，锐角三角函数是两条直角边、斜边的比值，分清对边、邻边、斜边，熟记符号(sin A,cos A,tan A)的含义。 2.掌握30、45、60特殊锐角的三角函数值，能够熟练求值、由三角函数值反求角度，区分三个角的函数值，避免混淆。 3.知道同一个锐角的三角函数之间的基础关系：sin2A+cos2A=1，tan A=，会进行简单变形计算。 4.理解三角函数只和锐角大小有关，与直角三角形的边长无关；角度越大，正弦、正切值越大，余弦值越小。 5.能在直角三角形中，已知两边求锐角三角函数值；已知一个三角函数值，设参数求出三角形各边长，再求其余三角函数。 6.会在网格图形、折叠图形中构造直角三角形，求解锐角的三角函数。 7.规范书写格式，避开常见易错点：三角函数是比值，不是边长；角度在无直角条件时不能直接套用定义，必须先构造直角三角形。 题型 考察方向 难度 题型一 正切的概念辨析 ★ 题型二 求角的正切值 ★★ 题型三 已知正切值求边长 ★★ 题型四 正弦的概念辨析 ★ 题型五 求角的正弦值 ★★ 题型六 已知正弦值求边长 ★★ 题型七 余弦的概念辨析 ★ 题型八 求角的余弦值 ★★ 题型九 已知余弦求边长 ★★ 题型十 特殊三角形的三角函数 ★★ 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 ★★ 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 ★★★ 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 ★★ 题型十四 已知角度比较三角函数值的大小 ★★ 题型十五 利用同角三角函数关系求值 ★★★ 题型十六 三角函数综合 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：锐角三角函数基本定义（核心必考） 在 Rt△ABC 中，∠C=90，对于锐角∠A： 对边、邻边、斜边定义： 对边：∠ A 对面的边 BC 邻边：∠ A旁边的直角边 AC 斜边：直角所对的边 AB 知识点02：正弦、余弦、正切定义 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 知识点03：同一个锐角的三角函数关系（高频推导） 1.同角三角函数关系 在同一个锐角 A 中： （1）平方关系sin2A+cos2A=1 （2）商数关系tanA= 2.互余两角三角函数关系（必考） 互余公式 若∠A+∠B=90，则： 口诀：正余互换、互余相等 知识点04:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 记忆口诀：正弦：123、222、321 正切：三分之根三、一、根三 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点05:核心应用类型 1. 已知边长求三角函数值 步骤： 1.确定直角三角形，找到目标锐角。 2.明确对边、邻边、斜边。 3.代入定义式计算比值。 2.已知三角函数值求边长 步骤： 1.写出对应三角函数定义式。. 2.代入已知值和已知边长，列方程求解。 3. 特殊角的混合运算 规则： 先代入特殊角的三角函数值，再按四则运算顺序计算。 注意分母有理化和根式化简。 4. 由三角函数值判断三角形形状 若 sinA=cosB 且 ∠A、∠B 为锐角，则 ∠A + ∠B = 90°，三角形为直角三角形。 若 tanA=1，则 ∠A = 45°，若同时为直角三角形，则为等腰直角三角形。 5. 计算器的使用 求三角函数值：输入角度 → 按 sin/cos/tan 键。 已知三角函数值求角度：输入函数值 → 按 2ndF + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹ 键。 知识点06:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 知识点07：高频易错点汇总 易错点 错误表现 正确标准 对边邻边看错 混淆对边、邻边，公式代错 紧盯所求角，不看直角、不看另一锐角 三角函数取值 认为sin、cos可以大于 1 锐角三角函数：sin、cos(0,1) 特殊角值记混 30°60° 正弦余弦颠倒 30° 正弦最小，60° 正弦最大 忘记互余关系 不会转化sin50=cos40 互余角正余互换恒成立 平方关系乱用 不会用sin2A=1-cos2A 同角平方和恒等于 1 题型一 正切的概念辨析 1．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解可得． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 2．如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再结合正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． 题型二 求角的正切值 4．在中，，，，则__________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴． 5．如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 6．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】 2 【分析】作，连接，根据正切的定义进行求解即可. 【详解】解：作，连接，如图，则， 由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，， ∴. 题型三 已知正切值求边长 7．在中，，，，则等于__________． 【答案】 【详解】解：，，， ， 即． 8．在中，，，，则的长为___________． 【答案】17 【分析】先由锐角正切的定义结合已知条件求出直角边的长度，再通过勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 9．如图，中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于D，则，根据已知求出，，求出、的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过A作于D，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 题型四 正弦的概念辨析 10．在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，，锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比值， ∵的三边都缩小到原来的， ∴的对边与斜边的比值不变， ∴的值不变． 故选：C． 11．若是锐角，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数．根据三角函数的定义和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图，，    则：， ∵， ∴；故A正确； ∵， ∴；故B错误； ∵， ∴；故C错误； ∵， ∴；故D错误； 故选：A． 12．图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条，支点D，F分别固定在支撑条上，活动条DE绕点D转动，，活动条长度不变．闭合支架（与重合）时，点E与点B重合．如图3，打开支架，当点E落在支撑条上时，，则的长为______cm；当度数达到最大时，则点C到支撑条的距离为______cm． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、正弦的定义等知识点，灵活运用勾股定理解决实际问题成为解题的关键． 由题意可得,设，则，根据勾股定理列方程可得或，然后根据题意确定即可；如图：当三点共线时，度数达到最大，此时、、，即；如图：过F作,根据等腰三角形三线合一的性质可得，再运用勾股定理可得，最后根据正弦的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：, 设，则， ∵， ∴,即，解得：或， ∴或， ∵， ∴，即； 如图：当三点共线时，度数达到最大，此时：,， ∴, 如图：过F作, ∴， ∴， 如图：过C作, ∴， ∴，解得：． 故答案为：12，． 题型五 求角的正弦值 13．如图，在中，于点D，于点E．下列关于的表示方法，正确的是__________（填写所有正确的序号）． ①，②，③；④，⑤；⑥，⑦． 【答案】④⑦/⑦④ 【详解】解：∵于点D，于点E． ∴， 在中，； 在中，． 综上可知，正确的有④⑦． 14．如图，设为射线上一点，于点于点E，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，． 15．在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______． 【答案】 【分析】根据正方体性质可得，，再根据勾股定理和各三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在如图所示的正方体中，，， 设， ∴， ∴， ∴，，． 题型六 已知正弦值求边长 16．如图，中，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，由正弦的定义可得，即得，再根据勾股定理解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形，结合矩形性质得，，进而得，即可得，在中，根据勾股定理求出，再根据正弦定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 18．为庆祝国庆，我校要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且），从顶点A开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F、J两点间的距离等于（）米，则需要安装闪光灯的盏数是（     ）（参考数据： ） A．100 B．90 C．85 D．80 【答案】D 【分析】连接，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质求出，，再由三角函数定义求出五角星的边长，随后求出五角星的周长，即可计算一共需要安装闪光灯的盏数． 【详解】解：先计算五角星的边长，如图，连接，过点作于点， 已知，由，可由三线合一知也是中线， ， 由三线合一知也是角平分线， ， ， ， 则五角星的周长为， 需要安装闪光灯的盏数是． 题型七 余弦的概念辨析 19．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 20．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 21．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角形的定义等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由已知条件易证可得，即∶ ，再证可得，最后根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴，即∶ ， 又∵， ∴， ∴． 故选∶B． 题型八 求角的余弦值 22．在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中， ，，， ． 23．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则___________． 【答案】/ 【分析】先利用格点构建，则，根据勾股定理可计算出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，， ∴， ∴． 24．如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦的定义判断，再结合相似的判定和性质，可推得同角的余弦值相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，，即②满足要求； ∵是斜边上的高， ∴在中，，即①满足要求； 由题可知，， 则，， ∴， ∴， ∴， 则，即④满足要求； 综上，比值与的值相等的个数为个． 题型九 已知余弦求边长 25．如图，在中，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．9 【答案】A 【分析】利用三角函数求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 26．如图，菱形的边长为5，，E是边上一点（不与点C、D重合），把沿着直线翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么的长为__________． 【答案】或1 【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，分两种情况：当点D落在的延长线上时，由折叠得，过点A作于点H，过点作于点G，得由菱形的性质得，可得，设则由勾股定理得由折叠得而，在中由勾股定理得，解方程求出的值即可解决问题；当点F落在的延长线上时，由折叠的性质得，由菱形的性质得，利用，求的得利用即可求出． 【详解】解：当点D落在的延长线上时， 过点A作于点H，过点作于点G，点D与点F重合，如图， 由折叠得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴ 设则， 由折叠得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得，， ∴ 当点F落在的延长线上时，如图2， 由折叠的性质得， 由菱形的性质得， ∴，即 ∴， 综上，的长为或1． 故答案为：或1． 27．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】B 【详解】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，求出的长是解题关键．根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据特殊角的锐角三角函数值进而求出的长． 【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点O，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 题型十 特殊三角形的三角函数 28．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 29．在中，，，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先根据直角三角形边长关系得到的度数，再代入计算目标三角函数值． 【详解】解：如图所示，在中，，，， ∴， ， ∴． 30．如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】证明，得到求解即可； 【详解】解：根据折叠的性质，得，是的中点， 故, 故， 故， 故； 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 31．计算的值等于（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解： ． 32．已知，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据，利用已知公式计算即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 33．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值，先代入特殊角的函数值计算乘方，再算乘法，最后算加减． 【详解】解： ． 故选：C． 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 34．在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值，三角形分类，三角形内角和定理，熟练掌握根据特殊角三角函数值求角度是解题的关键． 35．在中，，则为________三角形． 【答案】直角 【分析】根据两个非负数的和为0，则它们都为0，可得，，因而可求得∠A、∠B的度数，由此可判断△ABC的形状． 【详解】∵，，且 ∴， ∴， ∴∠A=60゜，∠B=30゜ ∵∠A+∠B=90゜ ∴△ABC是直角三角形 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了几个非负数的和为0则它们都为0的性质，已知三角函数值求角，直角三角形的判定等知识，关键是根据非负数和为0的性质求得∠A、∠B的三角函数值． 36．在△ABC中，（tanA-3）2+=0，则△ABC为(    ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是底角为30°的等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质得出tanA与cosB的值，再由特殊角的三角函数值求出∠A与∠B的值，进而可得出结论． 【详解】∵（tanA-3）2+=0， ∴tanA-3=0，2cosB-=0， ∴tanA=，cosB=， ∴∠A=60°，∠B=30°， ∴△ABC是直角三角形． 故选A． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 37．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 38．在中，若（其中，为锐角），则______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质拆分等式得到两个三角函数值，结合锐角特殊三角函数值求出的度数，再通过三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，，且两者的和为0， ∴，， ∴，， ∵为锐角， ∴，， ∵三角形内角和为， ∴． 39．在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 【答案】D 【分析】根据得出或，根据特殊角的三角函数值求出或，即可得出答案． 【详解】解：， 或，即或， 或， 有一个角是． 题型十四 已知角度比较三角函数值的大小 40．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．首先明确，再根据余弦值是随着角的增大而减小进行分析． 【详解】解：解：∵较接近1，， 又余弦值是随着角的增大而减小， 故越接近的值才对． 故选：C． 41．比较大小（用＜连接），，，__． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，熟练掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于1是解题的关键．利用互余的角的三角函数关系进行转化，同时掌握即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 42．三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 题型十五 利用同角三角函数关系求值 43．如图，实线部分是一个正方体展开图，点，，，，均在的边上，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 先设过点与垂直的线段与的交点为，过点作与交于点，设与的交点为点，设每个小正方形的边长为，再根据勾股定理求出和，然后证明，最后根据等角的三角函数值相同求解即可． 【详解】解：如图，设过点与垂直的线段与的交点为，过点作与交于点，设与的交点为点，设每个小正方形的边长为， ∵中，，，， ∴根据勾股定理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 44．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为：或或． 45．如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，全等三角形的性质，设中，，，，根据，可得，设，可得，，进而可得，问题随之得解． 【详解】设中，，，， ∴，， ∵， ∴，即， 设， ∴，， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 题型十六 三角函数综合 46．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 47．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，锐角三角函数．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理，锐角三角函数的定义是解题关键．根据题意易证，得出，即，从而可证，即得出． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选D． 48．如图，在中，，，矩形的顶点C、D、F分别在边、、上，若，则矩形面积的最大值______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的应用及三角函数的应用，列出二次函数表达式表示面积是解题关键，设，过F作于H，在中，用含x和y的代数式分别表示出的长，进而表示出矩形的面积，再配方可求出面积的最大值． 【详解】解：设，过F作于H， 在中， ∵， 设， ， ∴， ， ∴， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴    ∴， ∴当时，矩形面积的最大值为． 解答题 49．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可； （2） 代入特殊角的三角函数值，按运算顺序计算即可； （3）代入特殊角的三角函数值，计算后对分母有理化化简即可； （4）代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的性质化简后再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 50．如图，在中，，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求出的正弦值，再根据特殊角的三角函数值求角度． 【详解】解：在中，，，， ， ． 51．如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． 52．【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ① ②； ③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）由得，再代入，即可求解； （3）将原式化简为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，且， ； （2）， ， ； （3） ． 53．【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题目总结出的结论，代入数值计算即可； （2）先求得的长，然后根据三角形的面积公式，即可； （3）利用题目中总结出的正结论代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得． （2）解：过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由题意可得，，，； 由题意得， ∴ ． 答： ． 54．阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． (3)如图4，在中，如果，，，那么______． 【答案】(1)成立， 理由如下：∵， ∴， ∴； (2)，，， (3) 【分析】本题锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用． （1）根据三角函数的定义得到于是得到结论； （2）过点C作于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作于H，可证，即可得到结论； （3）把，，，代入，即可求得的长度． 【详解】（1）略 （2）在锐角中，，，， 过点C作于D， ∵在和中，， ∴，． ∴，． ∴． 同理，过点A作于H，可证， ∴， 故答案为：；；； ； （3），，，代入， ，即， ． 55．如图，在中，，，，为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，以、为邻边作平行四边形，设点运动的时间为秒． (1)、两点之间的距离为________． (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接，当点在边上，且时，求的值． (4)连接，当把平行四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理计算出，再结合直角三角形的性质即可得到的长； （2）分为点在边上和边上两种情况讨论，结合点的运动路程和，表示出即可； （3）分类讨论，当点在上时，由三角函数的增减性可知，，即．若，由对称性可知，互相矛盾，故舍去；当点在上时，作于点，利用相似可计算出，，结合构造方程解出的值； （4）由题意可知，过边或的中点，分四种情况讨论，当点在上，且与相交时，设交点为，连接，延长交于点，容易证明，结合平行四边形的性质可计算得．利用平行可判定，从而得到关于的方程，求解即可．当点在上，且与相交时，使用同样的方法可计算出，与点在上矛盾．当点在上，且与相交时，设交于点，交于点，作于点，作于点，容易证明，计算得， ．利用平行可判定，计算得，，进一步计算出．容易证明，解方程求出的值．当点在上，且与相交时，使用同样的方法可计算出，与点在上矛盾． 【详解】（1）解：如图，连接， 在直角中，， ∵点为边的中点， ∴； （2）解：点到达点的时间为，到达点时间为， 当P在边上，即时， 由题意可知， ∴； 当P在边上，即时， 由题可知， ∴， 综上所述，； （3）解：①当点在线段上时，如图，连接， 在直角中，， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∵点在边上， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线对称， ∴，这与矛盾，故舍去； ②当点在线段上时，如图，作于点， 由题意可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，的值为； （4）解：①当点在线段上，即时， 此时在平行四边形外或者平行四边形不存在，不符合题意； ②当点在线段上，即时， 当与边相交时，设交点为，如图，连接，延长交于点， ∵把平行四边形的面积分成两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； 当与边相交时，设交点为，如图， 同理可得，点为中点，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，解得，这与矛盾，故舍去； ③当点在线段上，即时， 当与边相交时，如图，设交于点，交于点，作于点，作于点， 同理可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； 当与边相交时，如图，设直线交于点，交于点，作于点，作于点， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得，这与矛盾，故舍去， 综上所述，的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08锐角的三角函数期中复习讲义 1.理解正弦、余弦、正切的定义，明确在直角三角形中，锐角三角函数是两条直角边、斜边的比值，分清对边、邻边、斜边，熟记符号(sin A,cos A,tan A)的含义。 2.掌握30、45、60特殊锐角的三角函数值，能够熟练求值、由三角函数值反求角度，区分三个角的函数值，避免混淆。 3.知道同一个锐角的三角函数之间的基础关系：sin2A+cos2A=1，tan A=，会进行简单变形计算。 4.理解三角函数只和锐角大小有关，与直角三角形的边长无关；角度越大，正弦、正切值越大，余弦值越小。 5.能在直角三角形中，已知两边求锐角三角函数值；已知一个三角函数值，设参数求出三角形各边长，再求其余三角函数。 6.会在网格图形、折叠图形中构造直角三角形，求解锐角的三角函数。 7.规范书写格式，避开常见易错点：三角函数是比值，不是边长；角度在无直角条件时不能直接套用定义，必须先构造直角三角形。 题型 考察方向 难度 题型一 正切的概念辨析 ★ 题型二 求角的正切值 ★★ 题型三 已知正切值求边长 ★★ 题型四 正弦的概念辨析 ★ 题型五 求角的正弦值 ★★ 题型六 已知正弦值求边长 ★★ 题型七 余弦的概念辨析 ★ 题型八 求角的余弦值 ★★ 题型九 已知余弦求边长 ★★ 题型十 特殊三角形的三角函数 ★★ 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 ★★ 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 ★★★ 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 ★★ 题型十四 已知角度比较三角函数值的大小 ★★ 题型十五 利用同角三角函数关系求值 ★★★ 题型十六 三角函数综合 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：锐角三角函数基本定义（核心必考） 在 Rt△ABC 中，∠C=90，对于锐角∠A： 对边、邻边、斜边定义： 对边：∠ A 对面的边 BC 邻边：∠ A旁边的直角边 AC 斜边：直角所对的边 AB 知识点02：正弦、余弦、正切定义 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 知识点03：同一个锐角的三角函数关系（高频推导） 1.同角三角函数关系 在同一个锐角 A 中： （1）平方关系sin2A+cos2A=1 （2）商数关系tanA= 2.互余两角三角函数关系（必考） 互余公式 若∠A+∠B=90，则： 口诀：正余互换、互余相等 知识点04:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 记忆口诀：正弦：123、222、321 正切：三分之根三、一、根三 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点05:核心应用类型 1. 已知边长求三角函数值 步骤： 1.确定直角三角形，找到目标锐角。 2.明确对边、邻边、斜边。 3.代入定义式计算比值。 2.已知三角函数值求边长 步骤： 1.写出对应三角函数定义式。. 2.代入已知值和已知边长，列方程求解。 3. 特殊角的混合运算 规则： 先代入特殊角的三角函数值，再按四则运算顺序计算。 注意分母有理化和根式化简。 4. 由三角函数值判断三角形形状 若 sinA=cosB 且 ∠A、∠B 为锐角，则 ∠A + ∠B = 90°，三角形为直角三角形。 若 tanA=1，则 ∠A = 45°，若同时为直角三角形，则为等腰直角三角形。 5. 计算器的使用 求三角函数值：输入角度 → 按 sin/cos/tan 键。 已知三角函数值求角度：输入函数值 → 按 2ndF + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹ 键。 知识点06:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 知识点07：高频易错点汇总 易错点 错误表现 正确标准 对边邻边看错 混淆对边、邻边，公式代错 紧盯所求角，不看直角、不看另一锐角 三角函数取值 认为sin、cos可以大于 1 锐角三角函数：sin、cos(0,1) 特殊角值记混 30°60° 正弦余弦颠倒 30° 正弦最小，60° 正弦最大 忘记互余关系 不会转化sin50=cos40 互余角正余互换恒成立 平方关系乱用 不会用sin2A=1-cos2A 同角平方和恒等于 1 题型一 正切的概念辨析 1．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 2．如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 题型二 求角的正切值 4．在中，，，，则__________． 5．如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 题型三 已知正切值求边长 7．在中，，，，则等于__________． 8．在中，，，，则的长为___________． 9．如图，中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 题型四 正弦的概念辨析 10．在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 11．若是锐角，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条，支点D，F分别固定在支撑条上，活动条DE绕点D转动，，活动条长度不变．闭合支架（与重合）时，点E与点B重合．如图3，打开支架，当点E落在支撑条上时，，则的长为______cm；当度数达到最大时，则点C到支撑条的距离为______cm． 题型五 求角的正弦值 13．如图，在中，于点D，于点E．下列关于的表示方法，正确的是__________（填写所有正确的序号）． ①，②，③；④，⑤；⑥，⑦． 14．如图，设为射线上一点，于点于点E，则等于（     ） A． B． C． D． 15．在如图所示的正方体中，的值为_______，的值为_______，的值为_______． 题型六 已知正弦值求边长 16．如图，中，，，则的长为_____． 17．如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 18．为庆祝国庆，我校要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且），从顶点A开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F、J两点间的距离等于（）米，则需要安装闪光灯的盏数是（     ）（参考数据： ） A．100 B．90 C．85 D．80 题型七 余弦的概念辨析 19．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 21．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（    ） A． B． C． D． 题型八 求角的余弦值 22．在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 23．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则___________． 24．如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型九 已知余弦求边长 25．如图，在中，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．9 26．如图，菱形的边长为5，，E是边上一点（不与点C、D重合），把沿着直线翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么的长为__________． 27．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则对角线的长为（    ） A． B． C．6 D．4 题型十 特殊三角形的三角函数 28．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 29．在中，，，，则的值为__________． 30．如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 31．计算的值等于（     ） A．0 B． C．1 D． 32．已知，则_____________． 33．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 34．在中，若， ，则这个三角形一定是（   ）． A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 35．在中，，则为________三角形． 36．在△ABC中，（tanA-3）2+=0，则△ABC为(    ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是底角为30°的等腰三角形 题型十三 根据特殊角三角函数值求角的度数 37．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 38．在中，若（其中，为锐角），则______． 39．在中，，均为锐角，且，则一定是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．有一个角是的三角形 题型十四 已知角度比较三角函数值的大小 40．已知是锐角，且，下列各值中，与最接近的是（　　） A． B． C． D． 41．比较大小（用＜连接），，，__． 42．三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型十五 利用同角三角函数关系求值 43．如图，实线部分是一个正方体展开图，点，，，，均在的边上，则的值为（    ）． A． B． C． D． 44．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 45．如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 题型十六 三角函数综合 46．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 47．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 48．如图，在中，，，矩形的顶点C、D、F分别在边、、上，若，则矩形面积的最大值______． 解答题 49．计算： (1) (2) (3) (4) 50．如图，在中，，，．求的大小． 51．如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 52．【阅读理解】如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论： ① ②； ③． 【牛刀小试】 (1)已知，且，则__________； (2)已知为锐角，且，求的值； (3)试求出的值． 53．【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 54．阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： (1)如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． (3)如图4，在中，如果，，，那么______． 55．如图，在中，，，，为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，以、为邻边作平行四边形，设点运动的时间为秒． (1)、两点之间的距离为________． (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)作点关于直线的对称点，连接，当点在边上，且时，求的值． (4)连接，当把平行四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $