专题06相似三角形的判定与性质期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪科版九年级数学上册

专题06相似三角形的判定与性质期中复习讲义 1.理解相似三角形的定义，掌握相似三角形对应顶点、对应边、对应角的规范书写，能依据定义判断三角形相似。 2.熟练掌握三大相似判定定理：两角分别相等；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例，能区分定理适用条件，避开 “边边角” 的易错陷阱。 3.能识别 A 型、8 型、子母型、斜交型等相似基础模型，在复杂图形中拆分、找出目标三角形，排除多余线条干扰。 4.牢记相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比等于相似比；周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，熟练完成相似比、周长比、面积比之间的互相转化。 5.能够先证明三角形相似，再利用相似性质计算线段长度、周长、图形面积，解决共边、同高类面积比值问题。 6.会利用相似模型解决测量高度、测距等实际问题，结合题意建立几何模型，求出对应线段。 7.规范几何证明的推理步骤，准确找准边角对应关系，完成相关证明与计算综合题。 题型 考察方向 难度 题型一 利用平行判定相似 ★★ 题型二 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型四 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型五 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型七 利用相似三角形的性质求解 ★★ 题型八 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 题型九 利用相似求坐标 ★★★ 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型十一 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 ★★★ 题型十三 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 相似三角形预备定理（平行线判定相似） 文字表述：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 几何语言 若DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 两大基础模型 A 型（正 A 模型）：直线截取三角形两条边上； X 型（8 字型）：直线截取两条边的延长线。 说明：该定理是推导后面三大判定定理的理论基础。 知识点 02 判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 文字：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 几何语言： ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 ✅说明：只需两组对应角相等，第三组角自然相等；考试使用频率最高。 常见图形：公共角模型、对顶角模型、同角（等角）的余角 / 补角模型、母子相似模型。 知识点 03 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（SAS） 文字：如果两个三角形两组对应边的比相等，且夹角对应相等，那么两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 ⚠️高频易错：相等的角必须是两组对应边的夹角；非夹角相等，不能判定相似。 知识点 04 判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 文字：如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 知识点 05 直角三角形相似特殊判定 通用方法：AA、SAS、SSS 均可直接使用； 斜边直角边判定：两个直角三角形，斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点06：相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点 07：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等” 的原理解决。 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法　 影子测量法　 手臂测量法　 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长。 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长。 要点： 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺 = 图上距离 / 实际距离； 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 4．仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角。 题型一 利用平行判定相似 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 2．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 【答案】3 【分析】由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得、，进而得，最后综合即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有3对． 3．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 根据平行线构成的相似模型来判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． 题型二 利用两角对应相等判定相似 4．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即D选项符合题意， 选项A、B、C均不符合题意， 故选：D 5．如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是，（答案不唯一）． 故答案为：，（答案不唯一）． 6．如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 7．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可． 【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意； B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意； C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意； D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意． 故选：B． 8．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】观察图形可知为和的公共角，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解： 在和中， ， 当添加条件或者或者时 ， ． 9．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， A、，与的大小无法判定，无法判定，故本选项符合题意； B、，，可以得到，故本选项不符合题意． C、，，可以得到，故本选项不符合题意． D、，，可以得到，故本选项不符合题意． 题型四 利用三边对应成比例判定相似 10．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 11．图中的三角形相似的是______． 【答案】（1）和（2） 【分析】通过判断三边是否对应成比例来确定相似三角形． 【详解】解：图（1）中； 图（2）； 图（3）； 图（4）， ∵（1）和（2）中， ∴这两个三角形相似， 所以答案为（1）和（2）． 12．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】算出各个三角形的边长，再根据三角形的相似条件进行判断即可． 【详解】解：由图可得，，，， A、图中的三角形的三边长分别为：1，，， ∴， ∴两个三角形相似，符合题意； B、图中的三角形的三边长分别为：，，3， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意； C、图中的三角形的三边长分别为：1，，， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意； D、图中的三角形的三边长分别为：2，，， ∴， ∴两个三角形不相似，不符合题意． 题型五 相似三角形的判定综合 13．下列各组图形中，有可能不相似的是（   ） A．各有一个角是的两个等腰三角形； B．各有一个角是的两个等腰三角形； C．各有一个角是的两个直角三角形； D．两个等腰直角三角形． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键． 根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断． 【详解】A、各有一个角是的两个等腰三角形，可能是顶角为，也可能底角为，所以对应角不一定相等，所以不一定相似，符合题意； B、各有一个角是的两个等腰三角形，的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故不符合题意； C、各有一个角是的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故不符合题意; D、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故不符合题意； 故选：A． 14．如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 15．如图，在中，，点，在边上，且，若，则的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 过作，设，根据勾股定理求得，再利用相似三角形的判定及性质求出，最后利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】过作，设， ，， ，，为等腰直角三角形， 为中点，也为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 故选：B． 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 16．在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两三角形有公共角，判定相似需满足夹的两边对应成比例，或有另一组对应角相等． 【详解】解：∵ 是与的公共角， ∴ 当夹的两边对应成比例，即时，两三角形相似． A选项：由，得， 则，即， 故， 又，故，符合题意． B、C选项：比例式中的边、不是夹公共角的边，无法结合公共角判定相似，不符合题意． D选项：由得，推不出，不符合题意． 17．如图所示，已知和，，，，，当______时，． 【答案】// 【详解】解：若， 则， ， 解得：． 18．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐一判断选项即可． 【详解】解：， ， 选项，添加，无法判定，故符合题意； 选项，添加，可用两边及其夹角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意． 题型七 利用相似三角形的性质求解 19．嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，的面积为， ∴， ∴的面积为． 20．如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 【答案】6 【分析】由平行得出，进而求出，，求出，，即可求出结论． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 21．如图，在等腰中，，，是的中线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题关键．由等腰三角形的性质和勾股定理可表示出的长，通过证明，可得 ，即可求解． 【详解】解：，是的中线， ，，， ， 设，则 ， 点满足， ，且， ，且， ， ， 故选：A． 题型八 证明三角形的对应线段成比例 22．如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为(          ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据AB∥CD，易证△AOB∽△DOC，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC ∴， 故A、D选项正确； B、∵， ∴   ∴，故本选项错误． C、∵， ∴，故本选项正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考相似三角形对应边比例，需要熟练运用比例的性质． 23．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______． 【答案】4 【分析】根据∠ADE=∠C及∠A为公共角可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，进而求出AD的值即可. 【详解】∵∠ADE=∠C，∠A为公共角， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵DE=3，BC=6，AC=8， ∴， 解得：AD=4， 故答案为：4 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 24．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 题型九 利用相似求坐标 25．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 26．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 27．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 28．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出A、B、C、D中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】的三边长分别为：，三边的比为， A中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； B中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； C中三角形的三边长分别为，三边的比为相似； D中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； 故选择：C． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是______． 【答案】、、 【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形． 【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为， 过点作的垂线，当时，，得， 过点作的垂线，当时，，得． 故答案为：、、 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 30．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 题型十一 相似三角形 —— 动点问题 31．如图，平行四边形中，．动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，当点E停止运动时，点F也随之停止运动．若与相似，则t的值为_____________． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，平行四边形得到性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据题意得到，，然后分和两种情况讨论，进而求解即可． 【详解】∵动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 当时， ∴， ∴， ∴，故原方程无解， 综上所述，t的值为． 故答案为：． 32．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出的长，用含的代数式表示和，分和 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ． 由题意得： ，， ． ， 分两种情况讨论： 当时， 即， 解得； 当 时， 即， 解得． 综上所述，当为或时，与相似． 33．如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 34．如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先说明，即可得出和的相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为． 35．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段，上的点，且．点C的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据一次函数的解析式，可以求得点的坐标，得出是等腰直角三角形，从而求出，证明，再根据相似三角形的性质求出，即可解答． 【详解】解：在一次函数中，令，则； 令，则． ∴， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ． ，， ， ， ， ， ， ， ∴点C的坐标为． 36．如图，，，是线段的六等分点，点恰好在线段上，连接，并延长与交于点E，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出,,证明，，求出，，，即可得到答案． 【详解】解：∵，是线段的六等分点，点恰好在线段上， ∴,, ∵， ∴，， ∴,, ∴，， ∴， ∴． 题型十三 相似三角形实际应用 37．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：根据题意得，利用相似三角形的性质可得，设蜡烛火焰的高度为， ∴， 解得， ∴蜡烛火焰的高度是． 38．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，交于点，根据，得到，，然后利用相似比等于对应高的比列式计算即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 如图，设河的宽度为米， ∵河的两岸有一段是平行的， ∴， ∴，， ∴ ，即， ∴， 即河的宽度为米． 39．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∵太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 题型十四 相似三角形问题 40．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若以为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点，点或点，点 【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可； （2）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：将和代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接， 当时， ∵轴，， ∴点纵坐标是，横坐标， 即， 解得， ∴点的坐标为； ∵轴， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为：， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当时， 此时， 过点作于点， ∴， ∴， 设点的坐标为，则点坐标为， 则， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为， 综上，点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，点坐标为． 41．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标是或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数与相似三角形综合、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法求二次函数表达式即可得到答案； （2）先求出关于轴对称得到抛物线，由题意可知，从而由题中和相似，分两种情况分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点， ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线关于轴对称得到抛物线， 抛物线的函数表达式为， ，抛物线的对称轴为， ，， ， ， 若和相似，则分两种情况：①；②； 设，则， 当时， ，则， ，则， 解得或（与重合，舍去）， 为抛物线上一点且在轴上方， ； 当时， ，则， ，则， 解得或（与重合，舍去）， 为抛物线上一点且在轴上方， ； 综上所述，当和相似时，符合条件的点的坐标是或． 42．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． (1)求的面积； (2)连接，当轴时，求的面积； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先令求得点C的坐标，再令求得点A和点B的坐标，然后求得的面积； （2）先由轴求得点D的坐标得到线段的长度，然后结合得证，再利用相似三角形的性质得到的面积； （3）过点D作轴交于点F，过点E作于点H，然后由可知的度数不变，由轴可知的度数不变，从而知道在点D的移动过程中的形状保持不变，即有当最大时，的长度也最大，然后设点D的坐标，进而得到点F的坐标，再表示出的长度，得到取最大值时的点D的坐标，即可得到直线的解析式，最后联立直线的解析式和直线的解析式求得点E的坐标，进而得到长的最大值． 【详解】（1）解：当时，， ∴，则， 当时，由解得：或， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点D作轴交于点F，过点E作于点H， ∵，， ∴，，则， ∴的度数不变，的度数不变， ∴在点D的移动过程中的形状保持不变， ∴当最大时，的长度也最大， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标，则点F的坐标， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，此时，点D的坐标为， ∴直线是由直线向右平移3个单位所得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得，解得：， ∴点E的坐标为， ∴的最大值． 解答题 43．如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； (2)21 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴． 44．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 45．四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在和中 ∴； (2) 证明：∵ ∴ 又∵ 又 在和中， ∵是公共角 ∵四边形是平行四边形 ． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定与性质： （1）证明四边形是平行四边形，得到，利用易证全等； （2）由可得，由可得，从而可得，据此可证，从而得到，再由四边形是平行四边形和即可得到角的关系，从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 46．如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 【答案】(1)或或（填一个即可） (2)①②6 (3)证明：∵， ∴，， ∴，． ∴； (4) 【分析】（1）依据题意，根据相似三角形的判定，结合图形可以判断得解； （2）①依据题意，由，则，结合，从而可以计算得解； ②依据题意，由，则，结合，可得，则，从而计算可以得解； （3）通过已知，利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等，推导出且，从而证明； （4）通过作辅助线构造直角三角形和相似三角形，利用角度关系和勾股定理，逐步推导得出的长度． 【详解】（1）解：或或．理由如下： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴． （2）解：①由题意，∵， ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴四边形的面积的面积； （3）略 （4）解：如图，过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 47．如图，已知在中，边上有一个动点，从点B出发以每秒1cm的速度沿的方向运动，最后回到点B．设出发的时间为秒． (1)当秒时，BP的长为___________；当秒时，BP的长为___________； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形 【分析】本题重点考查了勾股定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质等知识点，读懂题意，熟练掌握并灵活运用相关知识点，并分类讨论是解此题的关键． （1）根据题意可以得的长为点运行的速度与时间之积，当时需要考虑此时点已经运行在上，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案． （2）此处需要分情况讨论，①当在上时，显然无解．②当在上时，需要分三种情况讨论，即，，．时，作垂线，利用直角三角形面积公式得到，进而求得的值并完成求解；时，容易得到的值，进而完成求解；时，利用等腰三角形的性质可以得到，利用相似三角形对应线段成比例，可以求得，最后完成求解．③当在上，此时，通过简单计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当秒时，动点运动了， 此时还未到达点， ∴的长为， 当秒时，动点运动了， ∴此时点在的运动过程中， ∴， ∵， ∴， ∴在的中点上，同时为直角三角形， ∴此时的长为． 答：当秒时，BP的长为；当秒时，BP的长为． （2）解：①当在上时，为在一条直线上，无法构成三角形； ②当在上时,分三种情况讨论， 若,过作，如下图所示， 根据三角形面积公式， ， 即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴运动的路程为， ∴； 若时， ， 此时运动的路程为， ∴； 若时， 连接，过点作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时运动的路程为， ∴． ③当在上时，如下图所示， ∵， ∴斜边一定是最长边，只存在， ∴，， 此时运动的路程为， ∴． 综上所述，当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形． 答：当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形． 48．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 49．如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】由矩形性质可得，由勾股定理得，设秒后的面积为，首先表示出线段和线段，然后利用其面积为列出有关的方程求解即可； 分两种情况，或，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设秒后的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴经过或秒时，的面积为； （2）解：经过秒时，由三点组成的三角形与相似， 由得，，， 当时， ∴， ∴，解得； 当时， ∴， ∴，解得； 综上可知经过或秒时，由三点组成的三角形与相似． 50．游客小张站在地面上观赏眼前的山．山的山体可以看作垂直于地面的线段（为山脚，为山顶）如下图．在小张与山之间有一棵古松（为树顶，为树根），古松恰好遮挡住了山的一部分．已知小张的眼睛距离地面的高度，古松的高度，山的高度．小张站在点处，测得他与古松的水平距离，此时他的视线恰好经过树顶看到山顶． (1)求小张与山的水平距离． (2)若小张后退了到达点（三点在同一直线上），此时他的眼睛（）看向山，求这时山被古松遮挡部分的高度．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)这时山被古松遮挡部分的高度约为． 【分析】（1）如详解（1）图，过点作于点，交EF于点，利用平行线分线段成比例定理解答即可； （2）如详解（2）图，设此时视线延长线交于点，过点Ⅰ作于点，交于点，利用得到比例式，代入已知条件解答即可． 【详解】（1）解：（1）如图①，过点作于点，交EF于点． 由题意，得， ， ． ， ，即， 解得， ． （2）解：如图②，设此时视线IE延长线交于点． 过点作于点，交于点． 由题意，得，，，． ， ， ， 即， 解得， ． 答：这时山被古松遮挡部分的高度约为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相似三角形的判定与性质期中复习讲义 1.理解相似三角形的定义，掌握相似三角形对应顶点、对应边、对应角的规范书写，能依据定义判断三角形相似。 2.熟练掌握三大相似判定定理：两角分别相等；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例，能区分定理适用条件，避开 “边边角” 的易错陷阱。 3.能识别 A 型、8 型、子母型、斜交型等相似基础模型，在复杂图形中拆分、找出目标三角形，排除多余线条干扰。 4.牢记相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比等于相似比；周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，熟练完成相似比、周长比、面积比之间的互相转化。 5.能够先证明三角形相似，再利用相似性质计算线段长度、周长、图形面积，解决共边、同高类面积比值问题。 6.会利用相似模型解决测量高度、测距等实际问题，结合题意建立几何模型，求出对应线段。 7.规范几何证明的推理步骤，准确找准边角对应关系，完成相关证明与计算综合题。 题型 考察方向 难度 题型一 利用平行判定相似 ★★ 题型二 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型四 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型五 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型七 利用相似三角形的性质求解 ★★ 题型八 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 题型九 利用相似求坐标 ★★★ 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型十一 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 ★★★ 题型十三 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 相似三角形预备定理（平行线判定相似） 文字表述：平行于三角形一边的直线，与其他两边（或两边延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 几何语言 若DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 两大基础模型 A 型（正 A 模型）：直线截取三角形两条边上； X 型（8 字型）：直线截取两条边的延长线。 说明：该定理是推导后面三大判定定理的理论基础。 知识点 02 判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 文字：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 几何语言： ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 ✅说明：只需两组对应角相等，第三组角自然相等；考试使用频率最高。 常见图形：公共角模型、对顶角模型、同角（等角）的余角 / 补角模型、母子相似模型。 知识点 03 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（SAS） 文字：如果两个三角形两组对应边的比相等，且夹角对应相等，那么两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 ⚠️高频易错：相等的角必须是两组对应边的夹角；非夹角相等，不能判定相似。 知识点 04 判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 文字：如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 知识点 05 直角三角形相似特殊判定 通用方法：AA、SAS、SSS 均可直接使用； 斜边直角边判定：两个直角三角形，斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点06：相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点 07：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等” 的原理解决。 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法　 影子测量法　 手臂测量法　 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长。 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长。 要点： 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺 = 图上距离 / 实际距离； 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 4．仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角。 题型一 利用平行判定相似 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 3．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型二 利用两角对应相等判定相似 4．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 5．如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 6．如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 7．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 9．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 题型四 利用三边对应成比例判定相似 10．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 11．图中的三角形相似的是______． 12．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（     ） A． B． C． D． 题型五 相似三角形的判定综合 13．下列各组图形中，有可能不相似的是（   ） A．各有一个角是的两个等腰三角形； B．各有一个角是的两个等腰三角形； C．各有一个角是的两个直角三角形； D．两个等腰直角三角形． 14．如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是________． 15．如图，在中，，点，在边上，且，若，则的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 16．在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（     ） A． B． C． D． 17．如图所示，已知和，，，，，当______时，． 18．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 题型七 利用相似三角形的性质求解 19．嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则的面积为_________． 20．如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 21．如图，在等腰中，，，是的中线，，，则（    ） A． B． C． D． 题型八 证明三角形的对应线段成比例 22．如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为(          ) A． B． C． D． 23．如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则_______． 24．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 题型九 利用相似求坐标 25．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    26．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 27．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 28．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 29．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是______． 30．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 题型十一 相似三角形 —— 动点问题 31．如图，平行四边形中，．动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，当点E停止运动时，点F也随之停止运动．若与相似，则t的值为_____________． 32．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 33．如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 34．如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（     ） A． B． C． D． 35．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段，上的点，且．点C的坐标为______． 36．如图，，，是线段的六等分点，点恰好在线段上，连接，并延长与交于点E，则（     ） A． B． C． D． 题型十三 相似三角形实际应用 37．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 38．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______． 39．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 题型十四 相似三角形问题 40．如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)若以为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标． 41．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标． 42．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． (1)求的面积； (2)连接，当轴时，求的面积； (3)求的最大值． 解答题 43．如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 44．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 45．四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 46．如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 47．如图，已知在中，边上有一个动点，从点B出发以每秒1cm的速度沿的方向运动，最后回到点B．设出发的时间为秒． (1)当秒时，BP的长为___________；当秒时，BP的长为___________； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ 48．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 49．如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 50．游客小张站在地面上观赏眼前的山．山的山体可以看作垂直于地面的线段（为山脚，为山顶）如下图．在小张与山之间有一棵古松（为树顶，为树根），古松恰好遮挡住了山的一部分．已知小张的眼睛距离地面的高度，古松的高度，山的高度．小张站在点处，测得他与古松的水平距离，此时他的视线恰好经过树顶看到山顶． (1)求小张与山的水平距离． (2)若小张后退了到达点（三点在同一直线上），此时他的眼睛（）看向山，求这时山被古松遮挡部分的高度．（结果保留一位小数） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $