期中压轴突破讲义 2026-2027学年 沪科版八年级数学上册

沪科版八年级上册 期中压轴突破 · 培优讲义 期中压轴突破 一次函数 · 坐标系 · 三角形 · 全等与等腰 目　录 一、本册导航 3 　微专题 1　一次函数的图象与性质 3 　　题型 1　一次函数的定义与图象位置 4 　　题型 2　增减性与函数值比较 6 　　题型 3　含参直线恒过定点 7 　微专题 2　一次函数与方程、不等式 8 　　题型 1　待定系数法与两直线交点 9 　　题型 2　用图象解不等式与含参范围 15 　　题型 3　定点直线与图形有公共点 17 　　题型 4　坐标与图形面积 19 　　题型 5　动点面积的分段图象 23 　微专题 3　坐标系中的规律与变换 25 　　题型 1　点列平移规律与周期 27 　　题型 2　图形顶点的坐标规律 29 　　题型 3　坐标系中的几何变换 31 　微专题 4　一次函数的实际应用 35 　　题型 1　行程问题与分段图象 36 　　题型 2　销售与利润 41 　　题型 3　方案决策与最值 46 　　题型 4　动点面积与函数关系 48 　微专题 5　三角形的边角关系 49 　　题型 1　内角和与外角的综合求角 51 　　题型 2　高、中线、角平分线的角度计算 56 　　题型 3　角平分线的夹角公式与递推 61 　　题型 4　命题与几何推理 63 　微专题 6　角平分线的综合运用 65 　　题型 1　角平分线与平行线构造等腰 66 　　题型 2　角平分线的性质与垂线构造 71 　　题型 3　内外角平分线的夹角 76 　微专题 7　全等三角形与几何变换 82 　　题型 1　旋转型全等（手拉手模型） 83 　　题型 2　倍长中线与截长补短 88 　　题型 3　全等的判定与条件构造 94 　微专题 8　等腰、等边与折叠 99 　　题型 1　等腰三角形的性质与判定 101 　　题型 2　等边三角形与动点 106 　　题型 3　折叠中的角与线段 110 　　题型 4　垂直平分线与最短路径 115 　微专题 9　新定义问题 119 　　题型 1　坐标系中的新定义 120 　　题型 2　几何图形的新定义 123 一、本册导航 学习目标 本册要解决的问题 1．会从 的符号读出一次函数图象经过哪几个象限，会把“不过某象限”翻译成对 的约束。 2．会用待定系数法求解析式，会用图象解一元一次不等式，会把“两图象交点”与“方程组的解”互译。 3．会在坐标系里认点列规律，能把第 个点的坐标写成含 的式子，并按周期取余。 4．会把行程、销售、方案三类实际问题翻译成一次函数，会读分段图象的拐点。 5．会用内角和、外角性质求角，会算高与角平分线的夹角，会推“两内角平分线夹角 ”。 6．会证两个三角形全等，能识别“手拉手”旋转型全等，会用倍长中线与截长补短构造全等。 7．会处理等腰、等边与折叠三类图形，会把折叠翻译成“折痕是垂直平分线”。 8．遇到新定义，会先把定义翻译成等式或全等关系，再按图形位置取舍。 重点与难点 本册的核心与门槛 重点　一次函数的 与图象位置；两直线交点即方程组的解；点列规律的周期；角平分线夹角公式；全等的三种常见构造；折叠即垂直平分线。 难点　① 定点问题里“含参数的直线恒过定点”的识别；② 动点面积必须分段写解析式；③ 点列规律要先定周期再取余；④ 内外角平分线同时出现时的角度推导；⑤ 倍长中线与截长补短的选择；⑥ 新定义题的多解取舍。 学习主线 方法的先后次序 读 定图象 → 待定系数求解析式 → 交点化方程组 → 点列定周期 → 实际问题分段建模 → 内角和与外角求角 → 角平分线夹角公式 → 找全等条件 → 等腰与折叠化垂直平分线 → 新定义翻译成等式。 微专题 1　一次函数的图象与性质 模块导学 一次函数的图象与性质 沪科版八上的第一条主线是 压轴题不考“会不会画图”，考的是“看见 的符号就能说出图象长什么样”，以及反过来“看见图象经过的象限就能列出对 的约束”。这一节把这两件事练成条件反射，后面的面积、不等式、实际应用都建立在这上面。 知识梳理 知识点 1　 的符号与图象位置（重点） ① 时 随 增大而增大，图象从左下往右上； 时相反。 越大，直线越“陡”。 ② 是图象与 轴交点的纵坐标，即过点 交在正半轴， 交在负半轴， 过原点。 ③ 四种组合定象限： 过一、二、三象限； 过一、三、四象限； 过一、二、四象限； 过二、三、四象限。 ④ “不过第几象限”就反着用：不过第四象限，说明图象在一、二、三象限，于是 且 （ 时过原点，也算不过第四象限，边界要单独讨论）。 注意　题目只给“经过某点”和“不经过某象限”，条件不够时要连 的边界一起讨论，否则会漏解。 易错　把 当成“与 轴的交点”。 是纵截距，与 轴的交点要令 求，是 知识梳理 知识点 2　增减性与函数值比较（基础） ① 同一条直线上两点 若 则 时 时反号。 ② 比较大小的题目常配合 这类条件，先用条件定出 的正负，再代进增减性判断。 ③ 遇到“ 取几个函数值中的最大值或最小值”，把它看成一条折线：先画出各段的图象，最低处（或最高处）就是答案，往往出现在两条直线的交点。 ④ 在给定闭区间上的最值只在两端取到： 时左端最小、右端最大； 时相反。 易错　比较 大小时直接比 的大小，忘了先看 的正负。 知识梳理 知识点 3　含参直线恒过定点（难点） ① 把式子整理成“关于参数的整式 ”的形式： 写成 要让 取任何值等式都成立，只能 得定点 ② 反过来用：题目说“直线恒过定点 ”，就是把 的坐标代进去后含参数的项恰好抵消。 ③ 求出定点之后，题目通常再问“直线与某图形（三角形、长方形）有公共点”，这时把定点与图形的顶点连起来，看直线绕定点旋转时 的两个极端位置。 ④ 求 的范围时，把两个极端位置的 值算出来，再按“旋转过程中扫过的角度”判断取中间还是取两侧。 注意　定点题的答案必须先化简再取方程，直接令 的系数为 和常数项为 两步要同时满足。 易错　求出两个临界 值后不判断方向，直接写成“ 在这两个数之间”，容易把范围写成相反的一段。 　题型 1　　一次函数的定义与图象位置 　例 1　　（2026 马鞍山雨山实验 14） 已知 是关于x的一次函数，则m=        ，当时， y的取值范围是        ． 　思路分析　　本题考查了一次函数的图象和性质． 根据一次函数的定义，函数中x的指数必须为1，且系数由此求出m的值；再代入m得到一次函数解析式，根据x的取值范围利用一次函数的性质求的取值范围． 解：∵是关于的一次函数， ∴且 解得：或且 ∴ 此时函数为 当时 当时 ∴当时，y的取值范围是 故答案为． 　答案　　​ 　例 2　　（2025 合肥肥东三中 10） 过点的直线不经过第三象限，若则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了一次函数的图象和性质，解不等式组，解题的关键是根据直线的经过点和象限特征确定的范围． 由直线过点得代入p的表达式化简为根据直线不经过第三象限且m 0，得到n 0，从而确定m的范围是将m的范围代入求出的取值范围即可． 解： 直线过点 ​ ​ 又 ​． ​ 直线不经过第三象限，且 ​． ​ ​． 当时 当时． ​． 故选D． 　答案　　D 　题型 2　　增减性与函数值比较 　例 3　　（2026 合肥包河联考 10） 已知点都在一次函数的图象上，且则下列说法中正确的是（ ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 　思路分析　　本题考查了一次函数的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．一次函数的斜率那么y随x的增大而增大，由可知选项B中，若则且结合可得和因此恒成立．其他选项可通过反例排除． 解：∵中且 ∴ 对于选项B： 若则且 又∵ ∴ ∴ ∴故选项B正确； 其他选项反例： 选项A：取则但不满足 选项C：取则但不满足 选项D：取则但 不满足 因此，只有选项B正确， 故选：B． 　答案　　B 　例 4　　（2026 合肥行知学校 10） 对每个x的值，y是中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为（　　　） A．1 B．4 C．8 D． 　思路分析　　分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，根据此交点坐标即可求解． 解：分别联立可知的交点的交点的交点 ​当时 当时 当时． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出任意两函数的交点坐标是解答此题的关键． 　答案　　A 　题型 3　　含参直线恒过定点 　例 5　　（2026 合肥五十五中天鹅湖 16） 直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是      ． （2）平面直角坐标系中有两点若该直线与线段BC没有交点，则的取值范围是      ． 　思路分析　　本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，一次函数的性质，理解经过两点求得的临界值是解题的关键． （1）根据当时，y与k的值无关，即可得出定点的坐标； （2）要使直线与线段BC没有交点，则直线在点B上方或直线在点C下方，分别将代入即可解答． 解：（1）∵ ∴当时 ∴直线恒过点 故答案为： （2）∵直线与线段没有交点， ∴直线在点B上方或直线在点C下方， 当直线过B点时， 则解得 当直线过C点时， 则解得 ∴或． 故答案为：或． 　答案　　​　或 　例 6　　（2026 阜阳界首 14） 在平面直角坐标系中，已知一次函数（m为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为      ； （2）当时，函数y有最大值12，则的值为      ． 　思路分析　　此题考查了一次函数的性质， （1）通过整理函数表达式，发现当时，y恒为因此图像必过定点； （2）根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，分别求最大值点，并令其等于12，解方程得到的值． （1） ∵该一次函数的图像必经过一点， ∴当时，即时 ∴该一次函数图像必经过点． 故答案为： （2）当时，y随增大而增大， ∴在时取得最大值，代入得 令解得 当时，y随增大而减小， ∴在时取得最大值．代入得 令解得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 　答案　　​或 微专题 2　一次函数与方程、不等式 模块导学 一次函数与方程、不等式 一次函数把三件事缝在了一起：两直线交点就是方程组的解，谁在上方就是谁大于谁，围出的三角形面积要用交点坐标去算。压轴题的常见套路是“给两条含参直线，先求解析式，再求不等式范围，最后算面积或找动点”。这一节按这个顺序拆开练。 知识梳理 知识点 1　交点坐标就是方程组的解（重点） ① 求两直线交点：把两个解析式联立成方程组，解出的 就是交点坐标，它同时满足两个解析式。 ② 待定系数法：直线过两点就代两点；只给一点和一个条件（平行、垂直、过某轴上的点），先把条件翻译成对 或 的方程。 ③ 点在直线上 坐标满足解析式，这一句是“代入验证”和“求参数”的共同依据。 ④ 已知交点坐标求参数：把交点代进含参的解析式，比联立两个含参方程快得多。 注意　求解析式时要把 都求出来再写答案，只写 属于没做完。 知识梳理 知识点 2　用图象解不等式（重点） ① 就是“ 在 上方”，答案是一段 的范围，分界点就是交点横坐标。 ② 含参不等式恒成立：把“对区间内每个 都成立”翻译成“区间端点处成立”或“最值满足条件”，再解关于参数的不等式。 ③ 移项后是一元一次不等式，解集与图象法必须一致，可用来互相验算。 ④ 若两直线平行（ 相等），则没有交点，不等式要么恒成立要么无解，看 的大小关系。 易错　把 的范围写成包含交点横坐标本身；交点处两者相等，是否取等要看题目写的是 还是 注意　题目问“ 取何值时 恒成立”，答案要写成含参的不等式解集，不是具体数值。 知识梳理 知识点 3　坐标与图形面积（难点） ① 三角形有一边在坐标轴上时，以这条边为底，第三个点的横（纵）坐标的绝对值就是高，面积 底 高。 ② 三边都不在坐标轴上时，用“割补”：过顶点作坐标轴的平行线，把三角形补成一个矩形或直角梯形，再减去三个角上的直角三角形。 ③ 四边形面积按对角线或坐标轴切成两个三角形分别算，切法选得好能省一半计算。 ④ 面积条件反过来求点：设动点坐标含参数，把面积写成含参数的式子，令它等于已知值，解出参数后要检验点是否在要求的线段（射线）上。 易错　用坐标算面积时忘记加绝对值，遇到点在第二、三象限就会算出负数。 注意　“点在线段上”和“点在直线上”是两个条件，前者要用横坐标范围额外筛一遍。 知识梳理 知识点 4　动点面积的分段图象（难点） ① 动点沿折线匀速运动时，面积随路程变化的图象是分段的：每经过一个折点，面积的表达式换一次，图象就拐一次弯。 ② 先按动点所在的边分段，逐段写出面积关于路程（或时间）的表达式，再看每段是“正比例”“一次”还是“常数”。 ③ 折点的横坐标就是各段边长，纵坐标是拐点处的面积值，这两个数据是选图、排除选项的主要依据。 ④ 四个选项是图象时，先用“起点是否为 ”“中间段是否水平”“终点的值”三条排除，通常只剩一个。 注意　动点走完一圈回到起点时面积会回到 图象首尾都落在横轴上，这条能排除掉一批选项。 　题型 1　　待定系数法与两直线交点 　例 7　　（2026 六安皋城中学 22） 如图，已知直线与直线交于点直线与y轴的交点坐标是． （1）求a，b的值； （2）过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D． ①当时，求m的值； ②讨论与的大小关系，直接写出你的结论． 　思路分析　　此题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式和方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入求解即可； （2）①首先求出然后根据列方程求解即可； ②首先表示出然后分三种情况讨论，分别列出不等式和方程求解即可． （1）将代入得， ​解得 （2）①∵ ∴ 将代入得 ∴ 将代入得 ∴ ∵ ∴ ∴ ②将代入得 解得 ∵ ∴ ∴当时，由图象可得 当时 ∴当时 ∴ ∴当时 ∴ ∴当时 ∴ 综上所述，当时当时当时． 　答案　　（1） （2）①②当时当时当时． 　例 8　　（2026 安庆潜山联考 23） 如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，C，直线经过点与交于点D，且点D的横坐标为1． （1）求直线的函数表达式； （2）点P是线段上一点，过点P作垂直于y轴的射线PF，分别与y轴和直线交于点E，F．设点P的横坐标为m． （i）若求点P的坐标； （ii）若且点P位于y轴右侧，求线段的长． 　思路分析　　（1）根据交点的意义，确定后用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）（i）由题意知点P的横坐标为m，则.，根据点P，F的纵坐标相同. ​确定根据得到解绝对值方程解答即可； （ii）由（i）可知.确定点P的坐标为根据两点间距离公式解答即可． 本题考查了交点坐标的意义，待定系数法，坐标的基本特征，坐标表示相等的线段，熟练掌握交点的意义，待定系数法是解题的关键． （1）解：把代入直线 得 ∴. 设直线的函数表达式为. 把代入 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）解：（i）由题意知点P的横坐标为m， 则. ∵垂直于y轴， ∴轴， ∴点P，F的纵坐标相同. ∵点F在直线上， ∴ 解得 ∴. ∵ ∴ 解得或. 当时 当时 ∴点P的坐标为或． （ii）由（i）可知. ∵点P位于y轴右侧， ∴ 解得 ∴点P的坐标为. 由题意知轴， ∴点P，F的纵坐标相同. ∵点F在直线上， ∴ 解得 ∴ ∴． 　答案　　（1） （2）（i）点P的坐标为或（ii）2 　例 9　　（2026 淮南凤台联考 23） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数与正比例函数的解析式； （2）请直接写出当时的取值范围； （3）是第二象限内一点，若是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 　思路分析　　本题考查一次函数，全等三角形的判定与性质； （1）代入可求一次函数关系式代入可求正比例函数关系式； （2）根据函数图象，写出在上方时的取值范围； （3）分两种情况：①点在第二象限②点D在第二象限利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得． （1）解：代入得： ​解得 ​一次函数关系式为 ​代入得： ​解得 ​正比例函数关系式为 （2）根据函数图象可得，当时 （3）解：对于一次函数 当时即 ​ ​ 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在第二象限时， 过点作轴于点 则 ​ ​ ​ ​ 在和中 ∴ ​ ​ ​ ②如图，当点在第二象限时， 过点作轴于点 则 ​ ​ ​ ​ ∵ ∴ ∴ ​ ​ 综上，点的坐标为或． 　答案　　（1）正比例函数一次函数 （2） （3）或 　题型 2　　用图象解不等式与含参范围 　例 10　　（2026 合肥五十中东校 23） 已知一次函数和． （1）若这两个函数的图象交于点求证：点A一定不在直线上； （2）若当时，函数有最大值7，求的值； （3）当时，对于x的每一个值都成立，直接写出的取值范围． 　思路分析　　本题主要考查了一次函数的性质与一次不等式的综合应用，熟练掌握一次函数的增减性、函数交点与不等式的关系是解题的关键． （1）把代入函数验证结论即可； （2）先表示出的表达式，根据一次函数的增减性，分和两种情况，结合自变量范围求的值； （3）结合时分析求解的取值范围． （1）略 （2）解：（）， ① 若即 ∵ 随x增大而增大，且 ∴ 当时，y取最大值 ∴ 解得 ② 若即 ∵ 随x增大而减小，且 ∴ 当时，y取最大值 ∴ 解得 综上，的值为1或． （3）解：∵当 时， 恒成立，即 ∴ 当 时 恒成立，故 满足题意． 当 时， 随 的增大而减小，需满足 时值大于 0，即 解得 当 时，解 得 这与当 时 恒成立矛盾，应舍去， ∴． 　答案　　（1） 证明：时和 ​ ​点A一定不在直线上； （2）的值为1或 （3） 　例 11　　（2026 安师大附中长丰下塘 21） 如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线AB相交于点． （1）根据图象，写出关于x的不等式的解集； （2）若点A的坐标为求直线AB的解析式； （3）在（2）的条件下，求四边形BODC的面积． 　思路分析　　（1）根据C点坐标结合图象可直接得到答案； （2）利用待定系数法把点代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （3）由直线解析式求得点 A、点 B 和点 D 的坐标，进而根据 进行求解即可得． （1）根据图象可得不等式的解集为 （2）把点代入可得： ​解得 所以解析式为： （3）把代入得 所以点 把代入得 所以点 把代入得 所以点 所以 所以 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，不规则图形的面积等，熟练掌握待定系数法、注意数形结合思想的运用是解题的关键. 　答案　　（1）（2）（3）9.5 　题型 3　　定点直线与图形有公共点 　例 12　　（2026 沪科检测卷一 14） 一次函数（k为常数且） （1）该一次函数恒经过点则点的坐标为        ； （2）如图：已知长方形中若一次函数与长方形ABCD的边有公共点，则的取值范围为        ． 　思路分析　　本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）由一次函数解析式为可得出点P的坐标为 （2）分别求出当一次函数经过点时及当一次函数经过点时，求出k的值，现求出的取值范围． 解：（1）一次函数恒经过点 ​点P的坐标为． 故答案为： （2）长方形ABCD中 ​ 当一次函数经过点时， ​ 解得： 当一次函数经过点时， ​ 解得： ​一次函数与长方形的边有公共点， ​由图可知或 故答案为：或 　答案　　​或 　例 13　　（2026 合肥包河联考 15） 如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点． （1）点的坐标是       ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是      ． 　思路分析　　本题主要考查了一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）当时当时据此分别联立对应的直线解析式求解即可； （2）可推出直线经过定点再分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 解：（1）当时当时 联立解得则 联立解得则 故答案为： （2）在中，当时 ∴ ∵ ∴直线经过定点 如图所示，当直线恰好经过点A时，则解得 当直线恰好经过点B时，则解得 ∴当时，一次函数与有交点， 故答案为：． 　答案　　​ 　题型 4　　坐标与图形面积 　例 14　　（2026 蚌埠怀远新城实验 23） 如图，直线过点且与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形PAOC的面积； （3）动点M在直线上，动点N在坐标平面内，且四边形AMNB是平行四边形，当四边形AMNB的面积等于四边形PAOC面积的2倍时，请直接写出点N的坐标． 　思路分析　　（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线的解析式； （2）根据面积差可得结论； （3）求得平行四边形的面积，即可求得M的纵坐标，根据M的坐标就可以求得N的坐标． 解：（1）把点代入直线的解析式得 设直线的解析式为则 解得 ∴直线的解析式为． （2）作 轴于点D，则 由解得所以． 由解得所以． 当时所以． ​． ∴ ． （3）设M的纵坐标为h， ∵四边形AMNB的面积等于四边形PAOC面积的2倍， ∴ ∵ ∴ ∴h= ∴ 解得 或 ∴或 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题． 　答案　　（1）（2）（3）或 　例 15　　（2026 马鞍山二十中 24） 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图像于点． （1）求点的坐标． （2）若求的值． 　思路分析　　本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求得点的坐标． （2）利用待定系数法求出直线的解析式，可得到进而表示出CD，PD，分点P在点D下方时和分点P在点D上方时两种情况讨论，根据列方程求解即可． （1）解：点在一次函数的图像上， ​解得 ​ 当时，即解得 ​点A的坐标为． （2）解：设直线的解析式为 将点代入得解得 ​直线OC的解析式为 ​过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图像于点 ​ ​ 若点在点D下方时，即点D在x轴上方时 ​ ​ 解得 若点在点D上方时，即点D在x轴下方时 ​ ​ 解得与相矛盾，故不符合题意，故舍去， 综上，若时． 　答案　　（1）　（2） 　例 16　　（2026 阜阳十五中 23） 如图所示，直线交x轴于点交y轴于点且满足． （1）填空：                 （2）如图1，若的坐标为且于点H，AH交OB于点P，求点的坐标； （3）如图2，若点为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 　思路分析　　本题考查了全等三角形的性质和判定，图形和坐标，等腰三角形的性质． （1）将配方得根据算术平方根和平方的非负性，即可求得的值； （2）利用可证明得则题目可解； （3）利用可证则 所以 则题目可求． （1）解： ​ ​ 解得 故答案为： （2）解：直线交x轴于点交y轴于点 ​点点 ​ ​ ∴ ∵ ​ ​ ， 在和中， ​ ​ ​ ​的坐标为 ​ ​ ​的坐标为 （3）解：的值不发生改变；理由如下： 如图，D为AB的中点，连接 ， ​ ​ ∴ ​ ， ​ 即 ∴ ∴ ​ ， 在和中， ​ ​ ​ ​ ​． 　答案　　（1）4， （2） （3）不发生改变，4 　题型 5　　动点面积的分段图象 　例 17　　（2026 沪科检测卷二 10） 如图，在长方形中动点M从点B出发，沿的路线匀速移动，到达点D停止．设点M的运动路程为x，则三角形BAM的面积y与之间的关系用图象表示为（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查动点问题的函数图象．根据点的运动路径，当点M分别在BC上、CA上、AD上表示出的面积y随的变化情况即可判断． 解：由题知，因为四边形是矩形，且． 当点在BC上运动，即时， ​的面积y随的增加而增加， 当时 当时 当点在CA上运动，即时， ​的面积y随的增加而减少， 当时，点M与点A重合 当点在AD上运动，即时， ​的面积y随的增加而增加， 当时． 对照四个选项，不难发现C选项符合题意． 故选：C． 　答案　　C 　例 18　　（2026 合肥五十中东校 10） 如图，在矩形中动点P从点B出发，沿路线做匀速运动，那么的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致为（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题主要考查了动点问题的函数图象，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是分别判断出从点到点C以及从点C到点D的面积S与点P运动的路程x之间的函数关系，首先判断出从点B到点C的面积S与点P运动的路程x之间的函数关系是）；然后判断出从点C到点D的面积一定，进而判断出的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是哪一个即可． 解：从点到点C的面积S与点P运动的路程x之间的函数关系是 从点到点D的面积一定，为 所以的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是： 故选：B． 　答案　　B 微专题 3　坐标系中的规律与变换 模块导学 坐标系中的规律与变换 这类题的题干都在“走”：点按箭头一步步平移、正方形一圈圈往外长、动点沿长方形绕圈。看上去每次都不一样，但压轴的位置只有一条——第 次（或第 2026 个点）在哪。做法固定：先写出前几个点的坐标找周期，再用 除以周期取余，最后把余数代进一个周期的规律里。 知识梳理 知识点 1　点列规律：先定周期再取余（重点） ① 把前 5—8 个点的坐标逐个写出来（不要跳着写），横纵坐标分开看，各自找变化规律。 ② 规律常常是“每 4 次一循环”（绕正方形一圈）或“每 2 次一循环”（上下、右右交替），周期就是循环的长度。 ③ 求第 个点时算 周期，看余数 对应一个周期的最后一个点， 对应周期里第 个点。 ④ 若一个周期内坐标还要跨好几格，就再写一层“第 个周期”的通式，把 代进去算具体数值。 易错　余数为 时错当成第一个点。 要取周期的最后一个。 注意　题目给的起点编号可能从 开始（如 ），取余前先把编号统一成从 开始的序号。 知识梳理 知识点 2　图形顶点的坐标规律（难点） ① 正方形、长方形按“从内到外”排列时，先看每层的边数（4 个顶点）和边长的变化，再定位目标顶点落在第几层。 ② 每层 4 个顶点，所以“第 个顶点在第几层”由 决定，余数决定它在这层的哪个角。 ③ 层数确定后，用该层的边长算坐标：第 层的半边长往往就是 或 的倍数。 ④ 坐标系里的平移、旋转、轴对称都用点的坐标直接算：右移加横、上移加纵，关于 轴对称变纵坐标的符号。 注意　四个顶点按逆时针还是顺时针编号，决定了余数与象限的对应关系，读题时先确认箭头方向。 知识梳理 知识点 3　坐标系中的几何变换（难点） ① 求“旋转后点的坐标”，先看旋转中心是不是原点：绕原点转 或 方向不同符号不同。 ② 绕非原点旋转，先把中心平移到原点、转完再平移回去，这是最稳的路子。 ③ 等腰直角三角形、正方形放在坐标系里，常用“一线三直角”模型：过直角顶点作水平线，两个直角三角形全等，从而由已知点坐标推出未知点。 ④ 三角板绕定点转动时，抓住“直角不变、两边始终垂直”这两个不变量，再配合等腰条件列方程。 易错　绕原点转 的两个公式记混。判断办法：把 转 应到 用这个特例验一下。 注意　“一线三直角”必须证明全等再用，不能凭图相似直接写结论。 　题型 1　　点列平移规律与周期 　例 19　　（2026 六安皋城中学 10） 如图，点点点点点…，按照这样的规律下去，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了图形坐标规律探索，并用代数式表示规律，分类思想，通过发现特殊点的坐标与序号的关系，得出横坐标，纵坐标与点的序号之间关系，从而确定规律求解即可． 解：观察图形可得：点 ​． ∵2025是奇数，且 ∴ ∴ 故选：C． 　答案　　C 　例 20　　（2026 安庆潜山联考 10） 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点第2次运动到点第3次运动到点第4次运动到点第5次运动到点第6次运动到点按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是( ) A． B． C． D． 　思路分析　　此题主要考查了点的坐标规律，分析前几次的点的坐标，可得次一循环，进而得出2025次后点的坐标，即可求解． 解：第次从原点运动到点第2次运动到点第3次运动到点第4次运动到点第5次运动到点第6次运动到点第7次运动到点第8次运动到点…… 每次后纵坐标为横坐标加2 ​ ∴经过次运动横坐标为 经过次运动纵坐标为 ∴经过第次运动后，动点P的坐标是 故选：B． 　答案　　B 　例 21　　（2026 蚌埠蚌山区 10） 如图，点第一次向上平移1个单位长度至点第二次向右平移1个单位长度至点第三次向上平移1个单位长度至点第四次向右平移1个单位长度至点……照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，数字规律探究．通过分析平移次数与坐标的关系总结规律是解题的关键． 先梳理每次平移后的坐标，发现平移规律为奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度，而进行了1013次向上平移，1013次向右平移，则的横坐标和纵坐标都加上1013即可求解． 解：观察平移规律，第一次向上平移1个单位长度至点 第二次向右平移1个单位长度至点 第三次向上平移1个单位长度至点 第四次向右平移1个单位长度至点 ​ 可以发现平移规律：奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度． ​是偶数，所以是经过次平移得到的， 由于偶数次平移是向右平移，从点开始，经过2026次平移，横坐标的变化是向右平移了个单位长度，所以的横坐标为 又因为奇数次平移是向上平移，从点开始，经过2025次平移，纵坐标的变化是向上平移了个单位长度，所以的纵坐标为 ​． 故选D． 　答案　　D 　例 22　　（2026 马鞍山二十中 18） 如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和则动点P第2026次运动到达的点的坐标为        ． 　思路分析　　本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．观察图形可知，点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0四个为一个循环的．，用2026除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 解：∵第1次从点运动到点第2次运动到点第3次运动到点第4次运动到． ∴点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0四个为一个循环的． ​ ∴动点第2026次运动时向右个单位，纵坐标为第二次移动后的点为0， ∵第一次是从开始运动， ​ ∴点此时坐标为 故答案为：． 　答案　　​ 　题型 2　　图形顶点的坐标规律 　例 23　　（2026 宣城六中 18） 如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用…表示，则顶点的坐标为      ． 　思路分析　　本题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据坐标点的变化找到变化规律是解答本题的关键． 根据正方形的性质，找到点的坐标，根据坐标变化规律（n为自然数），算出的坐标即可． 解：观察发现： ​ ​（为自然数）， ​ ∴． 故答案为：． 　答案　　​ 　例 24　　（2026 蚌埠怀远新城实验 10） 如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出四边形是长方形及求出四边形ABCD的周长是解题的关键．根据题意可求出四边形的周长，再根据移动2025个单位，即可得出移动后的动点坐标． 解：因为 所以且四边形是长方形， 则长方形的周长为． 因为 则 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 　答案　　C 　例 25　　（2026 阜阳界首 10） 如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点的坐标分别为一动点P从点A出发，以个单位长度／秒的速度沿循环运动，则第2026秒点所在的位置是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查点的坐标变化规律，能根据所给运动方式求出第2026秒时点P走了一圈多1个单位长度是解题的关键．根据所给点的坐标，求出四边形的周长，再求出点P所走路程即可解决问题． 解：由可知， ​ 且四边形为矩形， 所以矩形的周长为． ∵ ∴ ∴第2026秒点所在的位置在点下方1个单位长度处，即 故选：A． 　答案　　A 　题型 3　　坐标系中的几何变换 　例 26　　（2026 黄山屯溪四中 18） 如图，在中点C的坐标为点B的坐标为则点A的坐标为      ． 　思路分析　　作轴于点E轴于点F，则所以即可证明得从而得到则A． 解：作轴于点E轴于点F，则 ∵ ∴ 在和中， ​ ∴ ∴ ∵点C的坐标为点B的坐标为 ∴ ∴ ∴点A的坐标是 故答案为：． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 　答案　　​ 　例 27　　（2026 阜阳十五中 14） 如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角顶点P的坐标为一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点在坐标平面内转动的过程中： （1）连接则是      三角形； （2）当为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点的坐标      ． 　思路分析　　本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）过作轴于E轴于F，可知证明四边形PEOF是正方形，得到进而证明得到可知是等腰直角三角形； （2）根据等腰三角形的定义分三种情况作答即可． 解：（1）过作轴于E轴于 ​点P的坐标为 ​ ​ ​四边形是正方形， ​ ∵三角板的直角顶点的坐标为 ∴ ​ ​ ​ ​ ​是等腰直角三角形； （2）当时，如图： ​的坐标为 ​此时 ​ ​ ​当时，如图： 则 ​ ​ ​点B与点重合， 即 ​当时，过P作轴于M，作轴于如图： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 综上所述，点的坐标是或或． 故答案为：等腰直角；． 　答案　　等腰直角　 微专题 4　一次函数的实际应用 模块导学 一次函数的实际应用 沪科版八上的应用题只有三类壳子：行程（谁离谁多远、什么时候追上）、销售（进价售价、利润最大）、方案（两家超市、两种车）。壳子不同，内核都是同一句话——把“每单位变化多少”找出来当 把“起始值”找出来当 真正拉开差距的是分段：图象一拐弯，式子就得重写。 知识梳理 知识点 1　从文字里抠出 和 （重点） ① 是“每增加 1 个单位， 变多少”，在销售题里是单价（利润），在行程题里是速度，在方案题里是折扣后的单价。 ② 是“ 时的 ”，在销售题里是固定成本，在行程题里是初始距离，在方案题里是起步价或门槛。 ③ 两个已知对应值就能定出 把两组 代进 解方程组。表格题给的就是这两组。 ④ 单位要统一：时间用小时还是分钟、金额用元还是万元，换算错一步整题白做。 注意　“售价每降 1 元，销量增 5 件”这类话里的 是 （相对于售价）或 （相对于降价额），方向搞反是最高频的错。 易错　自变量的取值范围常常被题目限死（“售价不低于成本”“人数不超过 120”），最后求最值必须在这个区间内取。 知识梳理 知识点 2　分段图象与拐点（难点） ① 图象出现拐点，说明实际过程换了阶段：休息、提速、故障停车、开始打折。每个阶段单独写一段解析式。 ② 拐点的横坐标是阶段的分界时刻，纵坐标是那一刻的累计值，两个数据都要用上。 ③ 相遇、追及这类问题，把两条“路程—时间”图象画在同一张图上，交点就是相遇时刻，两点纵坐标之差就是两者距离。 ④ 求“两车相距多少”要分段：相遇前是“和”在缩小，相遇后是“差”在扩大，中间那一段可能交替出现两个答案。 易错　把整个过程的平均速度当成某一阶段的速度。分段题必须每段单独算。 注意　题目问“何时相距 60 km”，答案常常有两个时刻，漏掉一个就扣一半分。 知识梳理 知识点 3　方案决策与最值（重点） ① 两种方案各写一个函数，令两者相等求出“临界点”，临界点两侧分别选便宜的那个。 ② 利润最大问题：先写 把销量用一次函数代掉，得到 关于售价的二次式——八上阶段通常配成一次式加约束，用端点或增减性求最值。 ③ 进货方案题要注意“两种都要进”“总量固定”“某种不少于多少”这几类约束，它们共同决定自变量的取值区间。 ④ 最后答“怎么进货、最大利润是多少”两句都要写，只写其中一句算没答完。 注意　自变量的取值常常是正整数（件数、人数），求出区间后要取整，不能写小数。 易错　只比了两种方案的函数值大小，忘了题目还有“总量固定”这个约束，导致结论在区间外。 　题型 1　　行程问题与分段图象 　例 28　　（2026 沪科检测卷一 10） 一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为慢车离锦绣中学的距离为行驶时间为x(h)，两车之间的距离为s(km)与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中②当 时，两车相遇；③当时，两车相距60km；④当或时，两车相距200km．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 　思路分析　　本题考查了函数与图象，一次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用，求出一次函数解析式是解题的关键． 分析图2知，段是两车相遇前到相遇的函数图象，BC段是两车相遇后到快车到达终点锦绣中学的函数图象，CD段是快车到达终点后，慢车继续行驶直到终点实验中学的函数图象；由图2知，快车3小时到达终点，故可判断①正确；利用待定系数法求出的函数解析式，利用函数式建立方程可判断后面3个． 解：由图2知，段是两车相遇前到相遇的函数图象，BC段是两车相遇后到快车到达终点锦绣中学的函数图象，则知快车3小时到达终点，即故①正确； 在图1中，设函数图象过点 代入函数式中得：解得 ∴ 设函数图象过点代入函数式中得 ∴ ∴ 当两车相遇时，即 解得： 故②正确； ​时 快车离锦绣中学150km，慢车离开锦绣中学90km，两车相距 即当时，两车相距60km； 故③正确； 当两车相遇前，即时， ∴ 解得： 当当两车相遇后，即时， ∴ 解得： 而此时快车已到达终点； 当快车3小时到达终点时，慢车离开起点它再行驶时，两车也相距200km； 此时慢车还要行驶 则这时 ∴当或时，两车相距200km． 故④不正确； 综上，正确的有①②③； 故选：A． 　答案　　A 　例 29　　（2026 合肥五十五中天鹅湖 23） 甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是 千米/时；轿车的速度是 千米/时；值为 ． （2）求轿车返回段的函数表达式并写出自变量的取值范围． （3）请直接写出货车出发多长时间两车相距70千米． 　思路分析　　本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究． （1）观察图象即可解决问题； （2）分别求出得的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可． （1）解：由函数图象可知货车的速度是千米/小时； 轿车的速度是：（千米/小时）； ​ 故答案为80 （2）解：则 由题意可知 设直线的解析式为 则解得 ​ （3）解：当时即 解得（舍去）或（舍去）； 当时即 解得（舍去）或（舍去）； 当时 解得则 综上，货车出发小时后两车相距70千米． 答：货车出发小时后两车相距千米． 　答案　　（1）80 （2） （3）货车出发小时后两车相距千米． 　例 30　　（2026 宣城六中 10） 明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了一次函数的应用．观察函数图象，逐一分析四个选项的正误即可． 解：第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了米，且二者速度不变， ​（分），所以C正确； 当时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，路程为2800米， 亮亮的速度为（米分）， 两人的速度和为（米分）， 明明的速度为（米分）， ∴所以A正确； 第三个拐点处应为明明到达B地，此时所用时间为（分），所以D正确，此时所以B错误， 故选：B． 　答案　　B 　例 31　　（2026 马鞍山雨山实验 23） 甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题： （1）乙比甲晚多长时间到达李庄？ （2）甲因事耽误了多长时间？ （3）x为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米？ 　思路分析　　（1）根据图象，可将乙的函数式表示出来，从而可将乙所需的总时间求出，从图象中读出甲所需的总时间，两者相减即为乙比甲晚到李庄的之间； （2）用待定系数法可将甲的一次函数式求出，从图象知：甲20分钟所行驶的路程，将时间求出，从而可将甲因事耽误的时间求出； （3）应分两种情况，当甲因事停止时，乙比甲多行驶1千米的路程；当乙和甲都行走时，乙比甲多行驶1千米的路程． （1）设直线OD解析式为y=x， 由题意可得60=y=x 当时x分 故乙比甲晚10分钟到达李庄． （2）设直线BC解析式为y=x+b， 由题意可得解得x-5 由图象可知甲20分钟行驶的路程为5千米，分 故甲因事耽误了20分钟． （3）分两种情况： ① ②x-（ 当x为36或48时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米． 　答案　　（1） 乙比甲晚10分钟到达李庄;（2） 20分钟;（3） 当x为36或48时 　例 32　　（2026 安师大附中长丰下塘 10） 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ） A．300 B．150 C．330 D．450 解：如图， 设直线AB的解析式为则 解得 故直线AB的解析式为 当时 ​） 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的应用． 　答案　　B 　题型 2　　销售与利润 　例 33　　（2026 亳州利辛联考 22） 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中另外每天还需支付其他费用80元． 销售单价（元） ​ ​ 销售量（袋） ​ ​ （1）请直接写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？ （3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 　思路分析　　（1）设y与x的函数关系式为将分别代入求出k、b的值即可得； 2）根据 列出关系式； 3）根据 列出关系式； 解：（1）设将代入， 得 解得 则y与x之间的函数关系式为 （2）由题意，得 整理，得 解得=4=6， ∵ ∴ 答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元； （3）由题意得： ​+800x﹣1760 ​+240， ∵ ∴当时，w有最大值为240， 故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键． 　答案　　（1）y与x之间的函数关系式为（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 　例 34　　（2025 合肥肥东三中 23） 义乌某商店销售10台型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台型电脑的利润为3500元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 　思路分析　　本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况． （1）设每台型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为元；根据题意列出方程组求解， （2）①据题意得， ②利用不等式求出的范围，又因为是减函数，所以x取34取最大值， （3）据题意得，即根据一次函数的性质求解即可． （1）解：设每台型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为元；根据题意得 ​ 解得 答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元． （2）①据题意得，即 ②据题意得，解得 ​ ​随的增大而减小， ​为正整数， ​当时，y取最大值，则 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，即 ​ 当时y随的增大而增大， ​当时，y取得最大值, 即商店购进70台型电脑和30台型电脑的销售利润最大． 　答案　　（1）每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元 （2）①②商店购进34台A型电脑和66台型电脑的销售利润最大 （3）商店购进70台型电脑和30台型电脑的销售利润最大 　例 35　　（2026 宣城六中 23） 某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同． （1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大， A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 　思路分析　　（1）设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，根据用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同列分式方程解答即可； （2）设购进 B 款保温杯数量为 个，则 A 款保温杯数量为 个，根据题意求出 设总销售利润为 元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可． （1）解：设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元， ​ 解答 经检验，是原方程的解， ∴ 答：A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元； （2）B 款保温杯销售单价为 元， 设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个， ​ 解得 ∴ 设总销售利润为W元， ​ ∵W随y的增大而增大， ∴当时，利润W最大，最大为元， 进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元． 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 　答案　　（1）A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元 （2）进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元 　例 36　　（2026 蚌埠蚌山区 23） 某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 　思路分析　　本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于b的方程求值即可． （1）解： 即y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意，得 解得． ∵在中 ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为（元）， ∴最大利润为4500元． （3）解： ​ ​ ​． 又∵ ∴ ∴． ∵此时y随x的增大而增大， ∴当时． ∵最大利润为4000元， ∴ 解得符合题意， ∴b的值为4． 　答案　　（1） （2）最大利润为4500元 （3）b的值为4 　例 37　　（2026 阜阳界首 22） 某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共80个，其进价与售价情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球个，销售完这80个排球所获得的总利润是元． （1）求与x的函数关系式；（不需要写出的取值范围） （2）该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润1408元？如果不能，说明理由；如果能，求甲、乙两种品牌排球分别售出多少个； （3）若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 　思路分析　　本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． （1）设购进甲品牌排球个，则购进乙品牌排球个，根据总利润与单件利润之间的关系，可得y与x的函数关系式； （2）当时，得到关于x的一元一次方程，求出x的值判断即可； （3）根据购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，可得不等式求出x的取值范围，然后利用一次函数的增减性解答即可． （1）解：∵设购进甲品牌排球个，则购进乙品牌排球个， ∴ ​与x的函数关系式为 （2）解：当时，得 解得 ∴（个） ∴该体育器材专卖店出售这批排球能获得利润1408元，甲品牌排球售出32个，乙品牌排球售出48个； （3）解：该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半， ​． ​． 在中 ∴随的增大而增大， ​为整数， ​当时，获得利润最大，最大利润为1384元． ∴（个） ∴购进甲品牌排球26个，购进乙品牌排球54个时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元． 　答案　　（1） （2）能获得利润1408元，甲品牌排球售出32个，乙品牌排球售出48个 （3）购进甲品牌排球26个，购进乙品牌排球54个时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元 　题型 3　　方案决策与最值 　例 38　　（2026 合肥包河联考 21） 某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价150元，售价200元；乙种服装每件进价130元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围； （2）若购进100件服装的总费用不超过14400元，求最大利润为多少元？ 　思路分析　　本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）根据商场获利（甲种服装每件售价-甲种服装每件进价）甲种服装购进数量+（乙种服装每件售价-乙种服装每件进价）乙种服装购进数量解答即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出的取值范围，再结合一次函数的性质即可得解． （1）解：由题意可知， ​ 其中甲种服装不少于60件，两种服装共100件，那么 答： （2）解：根据题意，可知 那么 ∵ ∴ ​ ​随的增大而增大， ​时，y取得最大值，最大值为元， 答：最大利润为4400元． 　答案　　（1）　（2）最大利润为4400元 　例 39　　（2026 合肥行知学校 23） 我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元． （1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱； （3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值． （1）∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人， ∴120﹣ ∴ ①当时 ②当时 综上所述，W= （2）∵甲团队人数不超过100人，∴ ∴ ∵∴时元），两团联合购票需元）， ∴最多可节约元）． （3）∵∴ ∴时元）， 两团联合购票需元）， ∵﹣70a+8900﹣(7200﹣240a 解得． 　答案　　（1）W=（2）1700；（3）10． 　例 40　　（2026 安师大附中长丰下塘 22） 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元 ． （1）请用含代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； （2）李明准备购买元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由． （3）计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？ 　思路分析　　本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式和代数式求值： （1）根据所给的优惠标准分别计算出两个超市的费用即可； （2）根据（1）所求代入计算出两个超市的费用即可得到答案； （3）根据（1）所求结合题意可得方程解方程即可得到答案． （1）解：顾客在甲超市购物所付的费用为：元； 顾客在乙超市购物所付的费用为：元； （2）略 （3）解：由题意得， 解得： 答：李明购买 600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样． 　答案　　（1）甲：元；乙 （2） 解：他应该去乙超市，理由如下： 当时 ∵ ∴ 他去乙超市划算 （3）李明购买 600 元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样 　题型 4　　动点面积与函数关系 　例 41　　（2026 蚌埠蚌山区 14） 如图1，在长方形中，动点E从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动，到点A时停止运动．设点E的运动时间为的面积为其中S与t的关系如图2所示． （1）当时       ． （2）当时       ． 　思路分析　　本题考查了动点问题与函数图像的结合，长方形的性质．理解函数图像与动点的关系是解题的关键． （1）当E在CD上，根据长方形对边相等及三角形面积公式，得到 （2）当时，分E在BC上（面积公式）和E在DA上（面积公式），解得或6． 解：（1）由图2可知，时面积开始不变， 又动点的速度为 ​ 从到D，用时 ​ ​四边形是长方形， ​ 当点在CD上运动时的高为 ​且保持不变， ​时 故答案为3． （2）①在BC上运动 此时 ​的面积 解得（符合）； ②在DA上运动 ​E从D到A用时2秒，总运动用时到时停止， ​总路程为 ​ ​的面积 解得（符合）； 故答案为6或1． 　答案　　3　6或1/1或6 微专题 5　三角形的边角关系 模块导学 三角形的边角关系 八上的几何压轴题，第一步几乎都是“先把角算出来”。内角和 外角等于不相邻两内角之和，这两句话能解决八成求角题；加上高、中线、角平分线这三条特殊线，就构成了试卷里最难的那一档填空。这一节把公式体系彻底捋清，后面证全等才有“角相等”可用。 知识梳理 知识点 1　内角和与外角性质（基础） ① 三角形内角和 直角三角形两锐角互余。 ② 外角等于与它不相邻的两个内角之和，这条比“内角和”更常用，因为它能把分散在两个小三角形里的角直接联系起来。 ③ “8 字型”（两条线段相交、连成两个三角形）里，两端的两个角之和等于另两端的两个角之和，这是外角性质的直接推论。 ④ 求角时优先找“外角”，它能一步跨过中间那个角，少写两三步。 注意　外角必须是与“不相邻”的内角相加，把相邻的内角加进去是常见错误。 易错　三角板叠放题里，先认准哪几个角是 再用外角性质，别凭图猜。 知识梳理 知识点 2　高与角平分线的夹角（重点） ① 设 是高、 是角平分线，则 这个结论在压轴题里几乎每卷都用，可以直接引用，但要会推。 ② 推导只用两步：而 两式相减即可。 ③ 中线把三角形分成两个面积相等的三角形（等底同高），这是“面积比”类问题的起点。 ④ 三条特殊线两两组合，能造出“等腰”“垂直”“角相等”三种结论，题干给出其中一条往往就是在提示要证另两条。 注意​　 要加绝对值或注明 否则差可能为负。 易错　把高画在三角形外部的情况漏掉（钝角三角形），此时高的位置变了，但结论形式不变。 知识梳理 知识点 3　两角平分线的夹角公式（难点） ① 两内角平分线交于 ② 一内一外角平分线交于 ③ 两外角平分线交于 ④ 三个公式形式相近，记法是看“ 前面是加还是减”：两条都在里面加，都在外面减，一内一外正好没有 ⑤ 递推情形（）本质就是反复用外角性质，写两行就能看出规律，答案常是 注意　一内一外的公式最容易被记成 做题时用 代进去验一下量级。 易错　外角平分线的“外角”取哪个外角要看清，三角形每个顶点有两个外角，但角平分线是同一条。 　题型 1　　内角和与外角的综合求角 　例 42　　（2026 沪科检测卷二 14） 如图1已知线段CD相交于点O，连接AD我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1）之间的等量关系为      ； （2）如图2，和的平分线AP和CP相交于点P，并与CD，AB分别交于点M，N．若则的度数为      ． 　思路分析　　本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 （1）解：在和中， ∵ （对顶角相等） ​ ∴ 故答案为：． （2）解：设 由（1）得： 两式相加得：代入得 解得 故答案为：． 　答案　　​ 　例 43　　（2026 淮南凤台联考 10） 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到进而求出式子的值． 解：如图， ​ ​． 故选：． 　答案　　A 　例 44　　（2026 合肥五十五中天鹅湖 10） 小明把一副的直角三角板如图摆放，其中则等于 （ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了三角形的外角的性质．根据三角形的外角的性质结合角的和与差，计算即可求解． 解：如图， ∵ ​ ​ ∴ ∴ 故选：B． 　答案　　B 　例 45　　（2026 安庆潜山联考 22） 在中点D，E分别是边上的点，点F是直线BC上一动点，设． （1）如图1，若点F在线段上，且求的度数； （2）若点F在线段的延长线上． （i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由； （ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 　思路分析　　（1）连接利用三角形的外角的性质求解即可； （2）（i）利用三角形的外角的性质求解即可；（ii）利用三角形的外角的性质求解即可． （1）解：如图1，连接 由三角形的外角性质，得 ∴ （2）（i）略 （ii）略 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质． 　答案　　（1） （2） （i）. 理由：如图2，设与相交于点G ∵ ∴ （ii）. 理由：如图3，设与相交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 　例 46　　（2026 黄山地区联考 16） 如图，在中的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点． 给出下列结论：① ② ③ ④其中正确的是        ．（填序号） 　思路分析　　本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 根据三角形三边数量关系判定①；根据角平分线的定义，三角形外角的性质可判定②；证明可判定③；根据三角形面积的计算，线段的数量关系，等量代换即可判定④． 解：∵点为中点， ∴ ∵ ∴故①错误； ∵是的外角， ∴ ∴ ∵的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点 ∴ ∵是的外角， ∴ ∴故②正确； 如图所示，过点作 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴故③正确； ∵ ∴故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④ ． 　答案　　②③④ 　题型 2　　高、中线、角平分线的角度计算 　例 47　　（2026 亳州利辛联考 14） 如图，在中AD是高，AE是角平分线       度． 　思路分析　　本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出再根据角平分线的定义求出根据直角三角形两锐角互余求出然后求解即可． 解：∵ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ 故答案为：10． 　答案　　10 　例 48　　（2025 合肥肥东三中 22） 如图AD，AE分别是的高和角平分线． （1）求证： （2）如图若点F为AE上一点，且于点D，试推导与之间的等量关系； （3）当点在AE的延长线上时，且于点D，其余条件都不变，请直接写出与之间的等量关系． 　思路分析　　此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． ​由三角形内角和定理得由角平分线定义得再根据即可得出 ​过点A作于H，由得再证明得由此可得出与的大小关系； ​过点A作于K，由得再证明得由此可得出与的大小关系． （1）略 （2）略 （3）解：与之间的等量关系是理由如下： 过点作于点K，如图所示： 由可知 ​于点于点 ​ ​ ​． 　答案　　（1） 证明：在中 ​是的平分线， ​ ​是的高， ​ 在中 ​ （2） 解：与之间的等量关系是理由如下： 过点作于点H，如图所示： 由可知 ​于点于点 ​ ​ ​ （3） 　例 49　　（2026 蚌埠蚌山区 22） 在中，CD，CE分别是它的高和角平分线，设． （1）如图1，求证：． （2）如图2，是的外角的平分线，交BA的延长线于点E，且求的度数． 　思路分析　　本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、高线的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出再根据角平分线的定义得出然后根据高线的定义即可求出最后根据角的和差即可得出答案； （2）根据三角形外角的性质和角平分线定义先得出根据高线和三角形内角和定理得出然后根据角的和差即可得出答案． （1）略 （2）解：∵是的平分线 ∴ ∵是高线， ∴ ∵ ∴． 　答案　　（1） 证明：在中，由三角形内角和定理，得． ∵是的平分线， ∴ ∵是高线， ∴ ∴ ∴． （2） 　例 50　　（2026 滁州定远育才 14） 如图，在中，BD是角平分线，BE是中线，若则        cm，若则        度． 　思路分析　　本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 解：∵是中线 ∴ ∴ ∵是角平分线 ∴ ∴ 答案：12，36． 　答案　　12　36 　例 51　　（2026 淮南凤台联考 14） 如图，D是射线BC上的一个动点(不与点B重合)，当      ^时为直角三角形． 　思路分析　　本题考查了三角形外角的性质，分别令结合利用邻补角的定义及三角形外角的性质即可求解． 解：∵为直角三角形 ∴或 当时， 则 当时， 则 综上，当或时为直角三角形． 故答案为：或． 　答案　　​或 　题型 3　　角平分线的夹角公式与递推 　例 52　　（2026 安庆潜山联考 14） 如图，在中的平分线交于点O． （1）的度数为     ． （2）若CD平分外角交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为     ． 　思路分析　　（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）解：∵BO平分CO平分 ∴. ∵ ∴ ∴ ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴ ∴ ​. ∵BO平分CD平分外角 ∴. ∵ ∴ ​ ∴. 　答案　　80°　10° 　例 53　　（2026 六安皋城中学 14） 阅读下列材料，并解答相应问题：已知的面积为60边上的中线相交于点O，如图1所示． （1）求四边形的面积．小强用了如下的方法：连结AO，设则由题意得可列方程组通过解这个方程组，可得四边形的面积为      ； （2）如图2已知则四边形为      ． 　思路分析　　（1）解方程组求出的值，即可得到结果； （2）连接由得到同理可得设则由题意得列方程组即可得到结果． 解：（1） ​得 ​ ∴ ∴边形的面积为20． 故答案为：20； （2）连接 ∵与等高， ∴ 同理可得 设则 ∴ 解得 ∴ ∴四边形为13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，三角形中线的性质，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键． 　答案　　20　13 　题型 4　　命题与几何推理 　例 54　　（2026 蚌埠怀远新城实验 14） 下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③同位角相等；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的有       （填序号） 分析：利用线段公理、对顶角的性质、平行线的性质、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 详解：①两点之间，线段最短，正确，故原命题是真命题； ②相等的角是对顶角，错误，故原命题是假命题； ③两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题是假命题． 故答案为①． 点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解线段公理、平行线的性质等知识，难度不大． 　答案　　① 　例 55　　（2026 沪科检测卷二 22） 综合与实践 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． （1）图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交CD于点O垂足为点O．则 的度数为 ． （2）图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，F为AB上一点，射线HI与AB交于点I，射线FE交于点E． ① ； ②若FE与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由． （3）图3为“丁字型”抓法及示意图，射线FE交AB于点M，交CD于点E，FG与AB 交于点G，射线GH交CD于点H．（温馨提示：小学就知道三角形内角和是180） ①若则 ； ②若当垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 　思路分析　　本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定和三角形内角和进行计算与证明； （1）根据邻补角的性质得出再根据垂直的定义得出即可； （2）①根据两直线平行，同旁内角互补证明即可；②根据内错角相等，两直线平行证明即可； （3）①根据两直线平行，同旁内角互补和三角形内角和定理求解即可；②根据平行线的性质和三角形内角和定理证明即可． （1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：①∵ ∴ ∴ 即 故答案为： ②略； （3）解：①∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为： ②∵ 由①可知， ​ ∵ ∴即 ∵ ∴ ∴． 　答案　　（1） （2）① ② 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． （3）①② 微专题 6　角平分线的综合运用 模块导学 角平分线的综合运用 角平分线是八上几何的“枢纽”：往一边靠，它出“到两边距离相等”；遇上平行线，它出等腰三角形；两条角平分线一交，它出固定夹角公式。压轴题往往把这三招叠在一起用。这一节的题型全部围绕一个动作——看见角平分线，先想“能不能造出等腰，或者能不能作垂线”。 知识梳理 知识点 1　角平分线 + 平行线 = 等腰（重点） ① 若 平分 且 则 于是 这个“三线合一”式的结论是压轴题最高频的一步。 ② 反过来，若已知 也能证 两个方向都要会。 ③ 两条角平分线相交、再过交点作某边的平行线，几乎必出等腰三角形，题目的“求证”多半就指向它。 ④ 出现“ 且 在角平分线上”时， 这类结论可以一步写出，用来把折线段的长度转成一条线段。 注意　证等腰时三个角相等要写全：（角平分线）、（平行），缺一步就扣分。 易错　平行线与角平分线的交点不一定在三角形内部，作辅助线前先确认交点位置。 知识梳理 知识点 2　角平分线的性质：作垂线造全等（重点） ① 角平分线上的点到角两边距离相等。看到角平分线而题里有“垂直”“距离”，第一反应就是作两边的垂线段。 ② 反过来，到角两边距离相等的点在角平分线上，这是证“某线是角平分线”的标准依据。 ③ 作两条垂线之后，两个直角三角形有一组公共斜边、一组直角、一组相等锐角，用 HL 或 AAS 直接全等。 ④ 题目给“”再加一组边相等，基本就是让你用角平分线性质反推。 易错　角平分线的性质只能用于“到两边的距离”，不能直接说“到两端点的距离相等”（那是垂直平分线的性质）。 注意　作辅助线时要写清“过点 作 于 ”，垂足落到哪条边要指明。 知识梳理 知识点 3　内外角平分线的组合（难点） ① 一个内角平分线与一个外角平分线相交，夹角恒等于“第三个角的一半”，这条能一步定出角度关系。 ② 两条线同时平分一个角和它的邻补角时，这两条线互相垂直，夹角 可以直接用。 ③ 题干给“ 平分 平分外角 ”，先写出 再往下做。 ④ 若还要求证线段关系，通常要再构造一次全等（延长某边、过交点作垂线），把角度结论转成边长结论。 注意　外角平分线与内角平分线的交点可能在三角形外部，画图时别硬塞进三角形里。 　题型 1　　角平分线与平行线构造等腰 　例 56　　（2026 合肥五十中东校 22） 如图，在中，点D在AB上，过点D作交AC于点E，DP平分交的平分线于点P，CP与DE相交于点G的平分线CQ与DP相交于点． （1）若则      °     °； （2）求证： （3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 　思路分析　　（1）根据可求出再根据CP平分DQ平分可求出进而可求出再根据CQ平分可得出进而求出． （2）设根据三角形内角和定理对进行表示，再根据CP平分DQ平分可求出再根据三角形外角的性质求出根据求出将与相较即可证明． （3）由（2）可知则的内角为根据题意分类讨论即可． （1）解： ​ ​平分 ​ ​ ​ ​平分 ​ ​ ​ ​平分CQ平分 ​ ​ ​即 ​． 答：． （2）略 （3）解：设则． ​, ​可分类讨论： ①当时， ​ 解得 ​ ②当时， ​ 解得 ​ ③当时， ​ 解得 ​; ④当时， ​ 解得 ​ 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 　答案　　（1） （2） 证明：设则． ​ ​ ​平分CP平分 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​即 ​ ​． （3）的度数为或或或 　例 57　　（2026 阜阳十五中 10） 如图，在 中和的平分线相交于点O，过点O作交BC于F，交AC于E，过点O作于D，下列四个结论： ① ② ③当时，E，F分别是AC的中点： ④若则． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 解：∵在中和的平分线相交于点O， ∴ ∴ ​ ​ ​ ​故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得： ∴故②正确； 当时 ∴F不是AC的中点，故③错误； 作于 ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴ ∴故④正确； 综上所述，正确的是①②④，共3个 故选：C． 　答案　　C 　例 58　　（2026 合肥五十中东校 14） 如图，是的外角的平分线，且CE交BA的延长线于点． （1）若则     °； （2）直接写出和之间存在的等量关系：       ． 　思路分析　　本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据三角形的外角性质和角平分线的定义可得再根据三角形内角和性质求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得再根据三角形的外角性质即可得出结论． 解：（1）∵ ∴ ∵是的外角的平分线， ∴ ∴． 故答案为：． （2）．理由如下： ∵是的外角的平分线， ∴ 由三角形的外角性质得： ∴． 故答案为： ． 　答案　　​ 　题型 2　　角平分线的性质与垂线构造 　例 59　　（2026 合肥包河联考 22） 已知直线与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和上． （1）如图1，EP平分FP平分求的度数； （2）如图2，平分FG平分FG的反向延长线交EP于点 ①若则        度（直接写出结果，不需说理）； ②若求的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点在FE的延长线上的角平分线EP的角平分线OP与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 　思路分析　　本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得的结果，再由角平分线的定义可推出的结果，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）①设由三角形内角和定理可得则由平角的定义可得由角平分线的定义可推出则据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可； （3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出 则可得到再分和两种情况，讨论求解即可． （1）解：∵ ∴ ∵平分FP平分 ∴ ∴ ∴ （2）解：①设 ∵ ∴ ∴ ∵平分FG平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ②设 ∵ ∴ ∴ ∵平分FG平分 ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵平分EP平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ 当时，则 ∴ 当时，则 ∴ ∴ 综上所述，的度数为或． 　答案　　（1） （2）①② （3）或 　例 60　　（2026 滁州定远育才 22） 在中点D是和平分线的交点，点E在外且满足设． （1）证明：． （2）证明：． 　思路分析　　本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知设则利用角平分线定义，等边对等角，可表示出和再利用三角形内角和分别表示出与即可得出结论； （2）在上取结合（1）中的结论，证明可以推导出从而得到． （1）略 （2）略 　答案　　（1） 证明： ​设则 ​平分 ​ ​ ​ ​ ​平分 ​ ​ ​ ​ 在中 在中 ​ （2） 证明：如图，在上取 由（1）得 ​ 在与中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​． 　例 61　　（2026 黄山屯溪四中 23） 如图， 的角平分线与 BC 的垂直平分线交于点 D 垂足分别为 E，F．若 求 BE 长． 　思路分析　　先根据角平分线性质定理得到再利用中垂线性质得到．进而证明Rt≌Rt通过线段之间的数量关系即可求解． 解：如图，连接 CD，BD， ∵AD 是 的平分线 ∴== ∴ ∵DG 是 BC 的垂直平分线， ∴ 在 Rt 和 Rt 中， ， ∴Rt≌Rt（HL）， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL证明两三角形全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键． 　答案　　​ 　例 62　　（2026 亳州利辛联考 23） ​中，三个内角的平分线交于点O，过点O作交边BC于点． （1）如图猜想与的关系，并说明你的理由； （2）如图作外角的平分线交CO的延长线于点． ①求证： ②若求的度数． 　思路分析　　本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，结合三角形的外角性质得到即可； （2）①利用角平分线的定义和平角定义求得据此求解即可； ②由角平分线的性质得到根据三角形的外角的性质即可得到结论． （1）略 （2）①略 解：②∵平分 ∴ ∵三个内角的平分线交于点O， ∴ ∵ ∵ ∴． 　答案　　（1） 解：．理由为： ∵中，三个内角的平分线交于点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）①证明：∵平分BO平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②． 　题型 3　　内外角平分线的夹角 　例 63　　（2026 合肥行知学校 14） 如图，在中延长BC到点与的平分线相交于点． （1）的大小是        ； （2）若与的平分线相交于点依此类推与的平分线相交于点则的大小是        ． 　思路分析　　本题主要考查了角平分线的定义和外角的性质，解决此题的关键是正确的运用外角的性质；（1）先根据角平分线的定义得到再运用两次外角的性质即可得到答案； （2）重复多次（1）中的思路，可知进而即可解决问题； 解：（1）∵平分平分 ∴ ∵ 即 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： （2）由（1）可知，以此类推 故答案为：． 　答案　　​ 　例 64　　（2026 淮南凤台联考 22） ​中，三个内角的平分线交于点O，过点O作交边AB于点． （1）如图1， ①若则                 ； ②猜想与的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作的外角的平分线交CO的延长线于点F．若则的度数为        ． 　思路分析　　本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得的度数，再结合角平分线的定义可得的度数，从而得到的度数，根据三角形外角的性质可得的度数；②结合角平分线的定义可得的度数，从而得到的度数，根据三角形外角的性质可得的度数； （2）根据三角形内角和定理可得的度数，再结合角平分线的定义可得的度数，再由BF平分可得的度数，即可求解． （1）解：①∵ ∴ ∵中，三个内角的平分线交于点 ∴ ∴ ∴ ∵即 ∴ 故答案为： ②略 （2）解：∵ ∴ ∵中，三个内角的平分线交于点O， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴． 　答案　　（1）① ②理由如下： ∵中，三个内角的平分线交于点 ∴ ∴ ∴ ∵即 ∴ ∴ （2） 　例 65　　（2026 滁州定远育才 23） 如图①，在中，BD平分且与的外角的平分线交于点． 【问题解决】 （1）若则     ． 【猜想证明】 （2）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论?（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （3）若把截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 　思路分析　　本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和，以及三角形的外角和的性质，熟练掌握三角形的内角和可用于计算未知角的度数，根据得到的相关角的数量关系是推导角度等式的基础． （1）根据角平分线的性质可得与再根据三角形的外角和即可求解． （2）根据角平分线的性质可得与再根据三角形的外角和即可求解． （3）先由三角形的内角和可得与和的数量关系，再由第二问的结论等量代换可得的数量关系． （1）解：在中 ​ ​ ​平分CD平分 ​ ​． （2）解：不变化 理由如下： ​平分 ​平分 ​ ​ 即． （3）略 　答案　　（1） （2）不变化， （3） ​理由如下： 如图，延长交于点A， ​ ​ ​ 由（2）可得 ​． 　例 66　　（2026 阜阳界首 23） 在中，点B，C分别是AM，AN上一点和的角平分线交于点 （1）如图1，若求的度数； （2）如图2，若求的度数； （3）如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系      ． 　思路分析　　本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ​根据三角形内角和求出再根据角平分线的定义得到继而利用三角形内角和代入计算即可； ​根据角平分线的定义得到再利用三角形内角和得出结合代入求解即可； ​根据角平分线的定义得到继而推出再利用四边形内角和计算即可得出关系． ​ ​ ​和的角平分线交于点P， ​ ​ ​和的角平分线交于点P， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 解得： ​ ​和的角平分线交于点P， ​ ​和的角平分线交于点Q， ​ ​ ​ 同理： ​ 故答案为：． 　答案　　（1） （2） （3） 　例 67　　（2026 宿州联考 15） 如图，在中，BD平分BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若则的度数为   的度数为   ． 　思路分析　　先利用角平分线的定义得到再根据三角形内角和计算出可得接着根据线段垂直平分线的性质得则然后计算即可． 解：∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键． 　答案　　​/76度　/52度 微专题 7　全等三角形与几何变换 模块导学 全等三角形与几何变换 全等这一章的压轴题有固定套路：题干给两个“共顶点、等边、等角”的图形，让你证一对线段相等。看到这种结构，先找旋转中心，把其中一个三角形转过去，就是“手拉手”模型。另一半题目给的是中线或半角，需要自己造全等——倍长中线、截长补短。这一节把这两类构造法练熟。 知识梳理 知识点 1　手拉手：旋转型全等（重点） ① 模型：则 （SAS），因为 ② 关键动作是“等角同减（同加）公共角”，把两边的夹角凑成相等，这一步不写出来就没有 SAS。 ③ 证完全等能直接得到 与 后者常用来求两条线段的夹角。 ④ 两个等边三角形共顶点、两个正方形共顶点，都是手拉手的变体，判定依然用 SAS。 注意　写全等时对应顶点要对应着写（），顺序错了后面找对应角会乱。 易错　把 直接当成 中间少一步“同减公共角”。 知识梳理 知识点 2　倍长中线与截长补短（难点） ① 倍长中线：延长中线到 使 连接 则 （SAS），于是 且 把分散的两条边搬进同一个三角形。 ② 倍长中线之后常用“三角形两边之和大于第三边”求中线取值范围，或用“两边之差小于第三边”定不等关系。 ③ 截长补短：要证 就在长线段上截一段等于 （截长），或把短线段延长到等于 （补短），再造全等。 ④ 判断用哪一招：题里有中点且要证“两线段相等或平行”——倍长；题里要证“线段和差关系”——截长补短。 注意　倍长后要连的是“另一个端点”，连错就构不成全等，辅助线写法要具体到点。 易错　截长补短只做一半：截完之后还要再证一次全等，把剩下的那段与另一条线段对应起来。 知识梳理 知识点 3　全等的判定与条件构造（基础） ① 判定五法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特别注意 SSA 不成立（两边及其中一边的对角），这是判断题的常客。 ② 证全等之前先把已知条件列成三行：已知边、已知角、公共边（公共角、对顶角），缺哪个补哪个。 ③ 公共边、公共角、对顶角这三样“不用给就能用”，是凑条件的免费资源。 ④ 若已知一组边相等而缺角，先看能不能用平行线（内错角、同位角）或角平分线造出一组相等的角。 易错　把“三个角相等”（AAA）当全等条件，那只是相似。 注意　HL 只适用于直角三角形，用之前必须写明“在 中”。 　题型 1　　旋转型全等（手拉手模型） 　例 68　　（2026 宿州联考 22） 已知：如图，在中在中且连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证： （2）求证：FA平分． 　思路分析　　（1）根据SAS证明结论即可； （2）作于M，作于N．由（1）可得然后根据角平分线的性质即可解决问题． （1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明． 　答案　　（1） 证明：∵ ∴ 即 在和中， ​ ∴（SAS）； （2） 证明：如图，作于M，作于N． 由 ∴ ∵ ∴ ∴点A在平分线上， ∴FA平分． 　例 69　　（2026 合肥庐江柯坦中学 23） 已知在中D为的中点． （1）如图，E、F分别是上的动点，且求证为等腰直角三角形； （2）在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； （3）若E、F分别为延长线上的点，仍有其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 　思路分析　　本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大． （1）连接可通过证和全等来求本题的结论． （2）可将四边形的面积分成和ADE的面积和求解，由（1）证得和全等，因此四边形AEDF的面积可转化为的面积，由此得证． （3）与（1）题的思路和解法一样． （1）略 （2）略 （3）略 　答案　　（1） 证明：连接 ∵D为中点 ∴AD平分 ∴ ∴均为等腰直角三角形， ∴ 在和中， ​ ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形； （2） 解：四边形面积不变． 理由：∵由（1）可知， ∴ 而 ∵D为的中点， ∴ ∵面积不变， ∴不会发生变化； （3） 解：仍为等腰直角三角形． 理由：连接 ∵D为中点 ∴AD平分 ∴ ∴均为等腰直角三角形 ∴ 在和中， ​ ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形． 　例 70　　（2026 六安皋城中学 23） 两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上． （1）证明：． （2）如图2，分别作分别作与的平分线交于点F，若求的度数； （3）如图3，点P，G分别在线段BD上，连接PG，作的平分线交BE于点Q，若点H是线段PQ上一点，连接BH，且．设求α，β之间的数量关系． 　思路分析　　本题主要考查了三角形的内角和定理，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． （1）由三角形的内角和定理可得利用已知条件及等式的性质1可得根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得由与的平分线交于点F可得过F作由平行公理推论可得由两直线平行内错角相等可得由即可得出答案； （3）设则由（1）可得利用平行线的性质可得由三角形外角的性质可得由①、②可得利用等式的性质消去x即可得出α，β之间的数量关系． （1）略 （2）解： ​ ​与的平分线交于点 ​ ​ 如图过F作 由（1）可得： ​ ​ ​ （3）解：如图当H在线段上， 设则 由（1）可得： ​ ​ ​ ​的平分线交于点Q， ​ ​由①可得： ​ ​β，θ之间的数量关系为． 　答案　　（1） 证明： 又 ​ ​ （2） （3） 　题型 2　　倍长中线与截长补短 　例 71　　（2026 黄山屯溪四中 24） 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中E、F分别是上的点，且探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使．连接AG，先证明再证明可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中．E、F分别是上的点，且上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足请写出与的数量关系，并给出证明过程． 　思路分析　　（1）延长到点G， 使连接AG，根据全等三角形判定定理可得则根据边之间的关系可得再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使连接AG，根据角之间的关系可得根据全等三角形判定定理可得则根据边之间的关系可得再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得连接AG，根据角之间的关系可得根据全等三角形判定定理可得则根据边之间的关系可得再根据全等三角形判定定理可得则再根据角之间的关系即可求出答案． （1）解：延长到点G， 使连接 在和中， ​ ∴ ​ ∵ ​ 在和中， ​ ∴ ​ 故答案为： （2）略 （3）略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 　答案　　（1） （2） 仍成立，理由：延长到点G， 使连接 ∵ ​ 在和中， ​ ∴ ​ ∵ ​ 在和中， ​ ∴ ​ （3） ​证明如下： 在延长线上取一点G，使得连接 ∵ ​ 在和中 ​ ∴ ​ ∵ ​ 在和中 ​ ∴ ​ ∵ ​ ∴即 ∴． 　例 72　　（2026 黄山屯溪四中 10） 如图，是的中线，点E是AD的三等分点（点E靠近A），F是AD延长线上一点连接BE、CF、CE，G是EC的中点，连接BG．下列说法：①②③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　本题考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质和三角形的中线，灵活运用知识点是解决本题的关键． 根据三角形中线可得再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形性质可得根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断②；根据三角形面积之间的关系及全等三角形性质可判断③；根据三角形中线求三角形面积即可求出答案． 解：①∵是的中线， ∴ 在和中， ​ ∴ ∴①正确， ②∵ ∴ ∴ ​ ​ ​②正确 ③ ∵ ∴ ∴③正确； ④∵点E是的三等分点（点E靠近A），AD是的中线， ∴ ∴ 同理可得： ∴ ∵G是的中点， ∴ ∴与的面积之比是④错误． 综上所述，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 　答案　　C 　例 73　　（2026 合肥五十五中天鹅湖 22） 已知：如图①，直线直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且过点C作直线l 点D在点C的左边且． （1）求出的面积． （2）如图②，若作的平分线交OC于点E，交AC于点F，求证． 　思路分析　　本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点B作直线的垂线，交直线l于点H，根据平行线间距离处处相等，得到利用三角形面积公式即可求解； （2）由推出由推出则从而得到再由角平分线的定义得到则． （1）解：过点B作直线的垂线，交直线l于点 ​ ​ ∵ ​ ​ （2）略 　答案　　（1） （2） 证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴． 　题型 3　　全等的判定与条件构造 　例 74　　（2026 合肥庐江柯坦中学 22） 如图，B两点分别在射线OM，ON上，点C在的内部，且垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分 （2）若求的长． 　思路分析　　本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质． （1）利用可证根据全等三角形的性质可证根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； （2）根据全等三角形的性质可知根据线段之间的关系可以求出利用HL可证根据全等三角形的性质可知根据线段之间的关系可得的长度． （1） 略 （2）解： ​ ​ ​ 在和中 ​ ​ ​． 　答案　　（1） 证明： ​ 在和中 ​ ​ ​平分 （2） 　例 75　　（2026 合肥庐江联考 22） 在中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，AD，BE相交于点F． （1）求证： （2）连接若DE平分当时，求的度数． 　思路分析　　（1）根据题意易证得和都是直角三角形，进而证得证得根据全等三角形的性质证得 （2）在上截取连接EH，证得根据全等三角形的性质证得进而证得由于三角形外角定理证得和从而求出的度数． （1）略 （2）解：在上截取连接如图所示： ​ ​ ​ ​ ​平分 ​ 在和中， ​ ​ ​ ​ ​ ​是的外角， ​ ​ ​ ​ 在中 ​ ​ 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、三角形外角和定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 　答案　　（1） 证明：在中，AD，BE分别是边BC上的高， ​ ​和都是直角三角形 ​ ​ 在和中 ​ ​ ​ （2） 　例 76　　（2026 蚌埠怀远新城实验 22） 如图，已知AE平分． （1）求证： （2）若平分与互补求． 　思路分析　　本题主要考查了平行线的判定，补角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关系． （1）由角平分线的定义和已知条件可证明则可证明 （2）由角平分线的定义得到设则可得进而得到再由补角的定义得到解方程即可得到答案． （1）略 （2）解：∵平分 ∴ 设则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵与互补， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴． 　答案　　（1） 证明：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ （2） 　例 77　　（2026 阜阳十五中 22） 如图，为的角平分线交AD的延长线于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 　思路分析　　（1）通过设利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明得出为等腰三角形． （2）过点作交AE延长线于F，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且从而得证． （1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 　答案　　（1） 证明：设 ∴． ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ​​​​​​​∴为等腰三角形； （2） 证明：过点作交AE的延长线于点 ∴． ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴． ∵ ∴ ∴． 　例 78　　（2026 马鞍山二十中 23） 已知，是的边BC上的高，AE平分且交于点E． （1）如图1，若．求证． （2）如图2，点F是的中点，过A作交CF的延长线于点G．求证． 　思路分析　　本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）根据角平分线的定义进一步得出证明再利用AAS即可证明 （2）由平行线的性质得出根据点F是AB的中点，则证明由全等三角形的性质得出结合（1）可知最后根据线段的和差进而求出结论． （1）略 （2）略 　答案　　（1） 证明：∵平分 ​ ∵ ∴ 又∵是的边上的高， ∴ ∴在和中： ​ ∴ （2） 证明：∵F是的中点， ∴ ∴在和中： ​ ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∴ ∵ ∴． 微专题 8　等腰、等边与折叠 模块导学 等腰、等边与折叠 等腰三角形的核心是“等边对等角、等角对等边”，外带“三线合一”这条把角、线、垂直捆在一起的性质。折叠题的所有条件其实只有一句：折痕是连接对应点的线段的垂直平分线。把这一句翻译到位，角度和长度就都能算。等边三角形则常与“动点、旋转”结合，用 造等边。 知识梳理 知识点 1　等腰三角形的性质与判定（重点） ① 等边对等角、等角对等边，两个方向都要会用；做题时看题目给的是边还是角。 ② 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。已知其中一条，另外两条直接成立。 ③ 等腰三角形中求角要分类：已知角可能是顶角也可能是底角，两种情况都要算，且底角必须小于 要检验。 ④ 出现“ 且 ”这类，往往藏着黄金三角形（），子三角形也是等腰，可以连续用。 易错　已知一个角求另外两个角时只算一种情况。等腰题的答案常常有两组，少写一组就是漏解。 注意　“三线合一”只能用于等腰三角形的顶角，底角上的线没有这个性质。 知识梳理 知识点 2　折叠：折痕是垂直平分线（重点） ① 沿 折叠使 与 重合，则 垂直平分 且 对应边、对应角全部相等。 ② 求角度时用“折叠前后角不变”：再配合平角 或外角性质列方程。 ③ 求线段时用“折叠前后长度不变”：把未知量搬到同一个三角形里用勾股或全等。 ④ 折叠两次时，第二次的折痕要以“第一次折叠后图形的位置”为基准重新确定，不能沿用原来的角。 注意　折叠题一定要先标出“哪些角相等、哪些边相等”，图上标全了再动笔，否则容易乱。 易错　把折痕当成“对应点连线的中垂线”之外的东西（比如当成角平分线），两者的依据不同。 知识梳理 知识点 3　等边三角形与 构造（难点） ① 等边三角形三边相等、三角都是 任一条边上的高同时是中线、角平分线。 ② 见到 加等腰，先想能不能补成等边三角形：延长一条边或旋转一个三角形。 ③ 等边三角形共顶点旋转 就是手拉手模型， 之后夹角恒为 ④ 动点在等边三角形边上运动时，先把“动点位置”用含 的式子表示，再用等边条件列方程。 注意　旋转 得到的新三角形是等边三角形，这个结论要证（两边相等且夹角 ），不能直接说。 知识梳理 知识点 4　垂直平分线与最短路径（重点） ① 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，这是把“折线”拉直的关键。 ② 将军饮马：在直线 上找一点 使 最小，作 关于 的对称点 连 交 于 最小值就是 ③ 若 在直线同侧，必须先对称到异侧；若已经在异侧，直接连线段即可。 ④ 三角形周长最值、四边形周长最值，都是把其中两条边对称转化，最后归结为“两点之间线段最短”。 易错　忘记判断 在直线同侧还是异侧，同侧不对称就直接连线，得到的是最大而非最小。 注意　对称后的点要写清“作 关于直线 的对称点 ”，不能只画图不写。 　题型 1　　等腰三角形的性质与判定 　例 79　　（2026 沪科检测卷一 23） 在中点D在线段上． （1）如图1，点在线段AC上若则     °； （2）如图2，平分点F在线段BD上交AD的延长线于点G与的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段CD上时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 　思路分析　　（1）根据三角形外角的性质得到再结合已知条件可证 （2）如图，延长交AB于K．设求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长交AB于K，延长PG交BC于N．设仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； （1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： （2）略 （3）解：如图，延长交AB于K，延长PG交BC于N．设． 同（2）法可证： ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，角度的和差计算等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 　答案　　（1） （2）是定值 理由如下： 如图，延长交AB于K．设． ∵AH平分 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵（三角形的外角的性质）， ∴ ∴即 ∴是定值； （3） 　例 80　　（2026 合肥庐江联考 23） 已知在中点D是边AB上一点． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作垂足为点E，BE与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 　思路分析　　本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得再利用三角形的外角性质可得从而可得然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得即可解答； （2）①根据垂直定义可得从而可得然后设则利用（1）的结论可得最后利用三角形内角和定理可得即可解答； ②根据三角形的外角性质可得然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． （1）略 （2）解：①略 ②∵是的一个外角， ∴ 分三种情况： 当时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当时， ∴ ∵ ∴不存在 综上所述：如果是等腰三角形的度数为或． 　答案　　（1） 解：∵ ∴ ∵是的一个外角， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴ （2） ①解：∵ ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ ②或 　例 81　　（2026 黄山地区联考 23） 如图，在中点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作DE交线段于点E． （1）当时                ； （2）线段的长度为何值时？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 　思路分析　　（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求的度数即可； （2）当时，由“ASA”可证即可； （3）分三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求的度数． （1）解：且 ​ ∵ ​ ​ 故答案为： （2）略 （3）①若时， ​ ​ ​ ​ ​． ②若时， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ③当 ∴ 此时不符合题意，舍去． 综上所述：当或时的形状可以是等腰三角形 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 　答案　　（1） （2） 当时理由如下： ​ ​ ∵ ∴ 在和中， ∵ ​(ASA)； （3）当或时的形状可以是等腰三角形 　题型 2　　等边三角形与动点 　例 82　　（2026 宿州联考 23） 已知在等边中，点D在BC上，点E在AC的延长线上，且． （1）【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段AD与DE的大小关系，请你直接写出结论：AD　　　　DE．（填“>”“<”或“”） （2）【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段AD与DE的大小关系，请你直接写出结论：AD　　　　DE（填“>”“<”或“=”）．理由如下：过点D作交于点M……请你完成后面的解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边BC的中点点P，Q分别为射线AC,BA上一动点，且若求的长． 　思路分析　　（1）三线合一，得到等量代换得到等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到进而得到即可得出结论； （2）过点D作交AB于点M，易得为等边三角形，证明即可得出结论； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． （1）∵为等边三角形， ∴． 又∵点D为的中点， ∴． ∵ ∴ ∴且 ∴ ∴ ∴． （2）略 （3）当点Q在线段的延长线上时， 如图，作交于点M， 同（2）可知为等边三角形， ∴ ∵D为等边的边BC的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 当点Q在线段上时，如图， 同理可证明 则 综上所述，的长为7或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 　答案　　（1） （2） ​ 解答过程如下： 过点D作交于点M． ∵为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴即． ∵ ∴ ∵ ∴． 在和中， ​ ∴ ∴． （3）的长为7或1 　例 83　　（2026 黄山地区联考 10） 如图，是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且点D从B运动到C的过程中周长的变化规律是（ ） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．不变 　思路分析　　本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质运用“”可证由全等三角形的性质可得可得周长再根据的变化情况即可解答． 解：∵是等边三角形， ​ ​ ​ ​ 又 ​ ​ ​ ∴ 在和中， ​ ​ ​ ∴周长 ∵在点D从B运动到C的过程中，长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时最小， ∴在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大． 故选：A． 　答案　　A 　题型 3　　折叠中的角与线段 　例 84　　（2026 合肥庐江柯坦中学 10） 如图，在中，将沿DE折叠，使点C落在AB边上点处，且．若则的度数为（　　） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了等边对等角、折叠的性质、三角形内角和定理、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．由等边对等角可得则由折叠的性质可得再结合三角形内角和定理可得根据平角的定义可得以及三角形内角和可得最后解二元一次方程组即可． 解：∵ ∴． ∴ ∵将沿DE折叠，使点C落在AB边上点处， ∴ ∵ ∴ ∴ 即①， ∵ ∴②， 把①代入②可得： 解得：． 故选：C． 　答案　　C 　例 85　　（2026 合肥庐江联考 14） 如图，将三角形的纸片沿DE折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若则的度数为      ； （2）若则的度数为      ． 　思路分析　　本题考查旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，求出根据平行线的性质证得根据翻转的性质证得 （2）设交AB于F，由证得设为α，则由翻折可知列出方程，求出的值即可． （1）解： ​ ​ ​ ​将三角形的纸片ABC沿DE折叠，点A落在外的点处， ​ 故答案为： （2）解：设交于F，如图： ​ ​ ​将三角形的纸片ABC沿DE折叠，点A落在外的点处， ​ ​ ​ ​ 设为α，则 由翻折可知， ​ ​ 解得 ​ 故答案为：． 　答案　　​/48度　/80度 　例 86　　（2026 马鞍山雨山实验 10） 如图，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解． 解：结论：理由如下： 如图，补全折叠前的图形， ∵是沿折叠得到， ∴ 又∵ ∴ ∴． ∴ 故选B． 　答案　　B 　例 87　　（2026 黄山地区联考 22） 如图，在数学活动课上，小明剪了一张的纸片，其中他将折叠压平使点A落在点B处，折痕DE，D在AB上，E在上． （1）请作出折痕（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）连接若的周长为12，求的周长． 　思路分析　　本题主要考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点；熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形是等边三角形是解题的关键． （1）如图：作的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E即为所求； （2）由线段垂直平分线的性质得出由可证是等边三角形，则进而得到得出由等边三角形的性质得出即可得出的周长． （1）略 （2）证明：由题意知:垂直平分 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​的周长为12， ​ ​ ​ ​ ​的周长为． 　答案　　（1） 如图，即为所求． （2） 　例 88　　（2026 安师大附中长丰下塘 14） 用等腰直角三角板画并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转则三角板的斜边与射线OA的夹角α为      ． 　思路分析　　根据平移的性质，对应线段平行，再根据旋转角为22°进行计算． 如图， 根据题意，得 ​M处三角板的45°角是的对应角， 根据三角形的外角的性质，可得 三角板的斜边与射线OA的夹角为22°． 故答案为22． 【点睛】平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且对应角相等的性质． 　答案　　​ 　题型 4　　垂直平分线与最短路径 　例 89　　（2026 滁州定远育才 10） 如图，在中垂直平分AB交BC于点D，若的周长为50 cm，则（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得进而可得的周长即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 解：∵垂直平分 ∴ ∴的周长 故选：． 　答案　　C 　例 90　　（2026 合肥庐江联考 10） 如图，的面积为10分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线EF，M为EF上任意一点，点D为BC的中点，连接BM，DM，则长度的最小值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 　思路分析　　本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题，连接交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+DM长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出即可． 解：连接交直线EF于点N，设EF交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴ ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵D为的中点， ∴ ∵面积为10， ∴ 解得：． ∴的最小值为5． 故选：D． 　答案　　D 　例 91　　（2026 合肥庐江柯坦中学 14） 如图，已知在的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点． （1）的周长的最小值是      ； （2）当的周长最小时      度． 　思路分析　　本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握“利用轴对称转化线段长度求最短路径（周长最小值）”是解题的关键． （1）利用轴对称的性质将三角形周长转化为线段长度，结合等边三角形性质求解周长最小值； （2）通过角的等量关系计算的度数． （1）分别作点关于OM，ON的对称点连接 分别交ON于点则此时的周长最小． 连接由轴对称的性质得 ​ ​ ​是等边三角形， ​ ​的周长 ​的周长的最小值为, 故答案为： （2）由（1）可知， ​ ​ 故答案为：． 　答案　　​　120 　例 92　　（2025 合肥肥东三中 14） 如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到再分别倍长得到．…按此规律，倍长2024次后得到的的面积为        ． 　思路分析　　根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的7倍，依此规律可得结论． 本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键． 解：连接 根据等底等高的三角形面积相等，可得 ​的面积都相等， ∴ 同理 ​ ​ 依此类推，． 故答案为： 　答案　　​ 　例 93　　（2026 宿州联考 10） 如图，已知：点…在射线ON上，点…在射线OM上…均为等边三角形，若则的边长为（ ） 如图，已知点…在射线ON上，点 A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到结合可得即有利用同样的方法得到利用此规律得到即可求解． 解：∵为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴的边长 同理可得， ​的边长 ​的边长 …， 可归纳得的边长 ∴的边长为． 故选：A． 　答案　　A 微专题 9　新定义问题 模块导学 新定义问题 新定义的题面最长，但动作最少：把定义那句翻译成等式（或全等关系），剩下的就是常规计算。难点在两处——定义里的“任意”“都存在”“最多”要不要分类，以及算出来的多个解要不要按图形位置取舍。放在全书最后，是因为它把前面所有工具都用上了。 知识梳理 知识点 1　把定义翻译成式子（重点） ① 逐字读定义，把每一个名词换成式子：“横坐标与纵坐标之和为 ”就是 “到两定点距离相等”就是垂直平分线。 ② 定义里出现“任意”“都”，就是恒成立，用“对区间内每个值成立”的写法处理；出现“存在”，就设参数解方程。 ③ 判断“某点是否属于某类点”，直接代定义验证，别绕道去证性质。 ④ 若定义分了几种情形（横坐标为正、为负），先分类再逐类翻译。 注意　新定义题的第一小问通常是“直接判断”，白送分，务必写完整步骤拿到。 易错　把定义里的条件看漏一半（比如只看了 漏了“点在第一象限”），答案就会多出无效解。 知识梳理 知识点 2　多解取舍与图形验证（难点） ① 解出两个以上的点，逐个代回定义和图形条件（在线段上、在内部、不与端点重合）筛一遍。 ② “点在线段 上”意味着横坐标在两端点之间，这一步是筛解的硬标准。 ③ 几何新定义（如“准互余三角形”“三分线”）要先画出符合条件的图形，再按角的大小关系排方程。 ④ 结论写成“存在，此时……”，只有算出了具体对象才算答完整。 注意　题目说“直接写出答案”时也要写全所有解，用“或”连接，不能只写一个。 　题型 1　　坐标系中的新定义 　例 94　　（2026 沪科检测卷一 22） 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a；任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h；任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”． 例如：三点坐标分别为则“水平底”“铅垂高”“矩面积”． 根据所给定义解决下列问题： （1）若三点则“水平底”a=      ，“铅垂高”h=      ，“矩面积”      ． （2）若三点的“矩面积”为18，求点E的坐标． （3）若三点其中．若三点B、C、F的“矩面积”为15，求m的取值范围． 　思路分析　　本题主要考查了新定义，坐标与图形： （1）根据新定义进行求解即可； （2）先求出进而求出然后分当时，当两种情况求解即可； （3）分当时，当时， 当时，分别求出a、h，再根据 “矩面积”为15讨论求解即可． （1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4；5； （2）解：由题意知： ∵“矩面积”为18， ∴ 当时，则 ∴ 当则 ∴ 综上所述：或 （3）解：当时， ∵ ∴ ∴三点B、C、F的“矩面积”为15，满足题意； 当时，则 ∴解得（舍去）； 当时，则 ∴ ∴此时 综上所述，． 　答案　　（1）4；5； （2）或 （3） 　例 95　　（2026 沪科检测卷二 23） 若点的坐标满足我们称点为“横和点”． （1）已知点为“横和点”，求的值； （2）在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形DEF，点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，已知点点点点A为“横和点”，点E的横坐标为． ①若点为“横和点”，且三角形ABD的面积为8，求点的坐标； ②若点的坐标是点E在x轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 　思路分析　　本题主要考查坐标系中点的平移变换、三角形面积计算以及方程的应用．解题的关键在于理解“横和点”的定义，并结合平移的性质进行坐标变换． （1）直接代入“横和点”的定义方程求解． （2）①利用平移向量确定点的坐标，结合三角形面积公式建立方程求解． ②通过平移确定点的坐标，验证是否满足“横和点”的条件． （1）∵点是“横和点”， ​ ​． ∴q的值为4． （2）①∵点和点是“横和点”， ​ ​ ​ ​ ​点B和点的纵坐标相同， ​轴 ​ ​点E的横坐标为 ​点点分别对应点和点 ​ ​解得 当时 当时 ​或． ②略 　答案　　（1）q的值为4 （2）①或 ②点是“横和点”， 理由：点点分别对应点和点 ​ ​ ​ ​点的对应点 ​ ​ ​ ​点是“横和点”． 　例 96　　（2026 马鞍山二十中 10） 我们把平面上纵坐标是横坐标两倍的点称为“两倍点”，如：点点．下列关于“两倍点”的说法中，错误的是（ ）． A．一次函数上有两倍点 B．所有的两倍点都在同一条直线上 C．第四象限中不存在两倍点 D．所有的一次函数上都有两倍点 　思路分析　　本题考查了新定义，一次函数的图像，理解新定义的计算方法是关键． 根据“两倍点”的定义，得其解析式为逐个判断即可得到答案． 解：根据“两倍点”的定义，得其解析式为 对于A，一次函数上的点符合“两倍点”的定义，故正确； 对于B，“两倍点”的解析式为在一条直线上，故正确； 对于C，根据一次函数图像的特点，直线经过原点，第一象限和第三象限，不经过第四象限，故正确； 对于D，与平行的直线，如不存在两倍点，故不是所有的一次函数上都有两倍点，故错误． 故选：D． 　答案　　D 　题型 2　　几何图形的新定义 　例 97　　（2026 合肥行知学校 22） 定义：如果一个三角形的两个内角与满足那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”， 则        ； （2）已知 是直角三角形． ①如图，若平分则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点是“准互余三角形”，且则的度数为        ． 　思路分析　　本题考查了三角形内角和定理，余角等知识． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是只能是 （2）①由题意可得所以只要证明与满足即可解答； ②由题意可得所以分两种情况． （1）解：∵是“准互余三角形”， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：①略 ②∵ ∴ ∵是“准互余三角形”， ∴或 ∴或 当时 当时 ∴的度数为或． 故答案为：或． 　答案　　（1） （2） ①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是“准互余三角形”； ②或 　例 98　　（2026 宣城六中 24） 如图①，在中，若则BD，BE叫做的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”， BE是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中若邻AB三分线BD交AC于点D，则　　； （2）如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，BP、CP分别是邻BC三分线和邻BC三分线请求出的度数．（用含的代数式表示） 　思路分析　　（1）根据题意可得的三分线，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）分别是邻AB三分线和邻AC三分线及可得进而可求的度数； （3）根据题意作出相应图形，然后利用三分线得出再由三角形内角和定理求解即可． 解：（1）如图， ∵是“邻三分线”时， ∴ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴ 又∵分别是邻AB三分线和邻三分线， ∴ ∴ ∴ 在中 ∴ （3）如图所示， ∵分别是邻BC三分线和邻三分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用．解决本题的关键是理解三等分线及三角形内角和定理的应用． 　答案　　（1）（2）（3） 　例 99　　（2026 马鞍山雨山实验 22） 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果那么与互为“友爱角”为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）． ①求的度数． ②若是中AB边上的高，则都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为      ． 　思路分析　　本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． （1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到再根据直角三角形两锐角互余可得由此即可求解；②由CD是中AB边上的高，得到根据三角形两锐角互余可得结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理，设则根据是“友爱三角形”，分当与互为“友爱角”时或当与互为“友爱角”时或当与互为“友爱角”时或求解即可． （1）解：①∵是“友爱三角形”与互为“友爱角”（）， ∴ ∵ ∴是直角三角形 ∴解得 ∴ ②都是“友爱三角形”．理由如下： ∵是中边上的高， ∴ ∴ ∵ ∴ 同理， ∴ ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中 设 则 ∵是“友爱三角形”， 当与互为“友爱角”时， ​ 或 ∵ ∴不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若 则 解得， 若 则 解得， 不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若 则 解得， 不符合题意，舍去； 若 则 解得， 不符合题意，舍去； ∴的度数为或． 　答案　　（1）①②都是“友爱三角形”，见解析 （2）或 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪科版八年级上册 期中压轴突破 · 培优讲义 期中压轴突破 一次函数 · 坐标系 · 三角形 · 全等与等腰 目　录 一、本册导航 3 　微专题 1　一次函数的图象与性质 3 　　题型 1　一次函数的定义与图象位置 4 　　题型 2　增减性与函数值比较 5 　　题型 3　含参直线恒过定点 5 　微专题 2　一次函数与方程、不等式 5 　　题型 1　待定系数法与两直线交点 7 　　题型 2　用图象解不等式与含参范围 9 　　题型 3　定点直线与图形有公共点 10 　　题型 4　坐标与图形面积 11 　　题型 5　动点面积的分段图象 13 　微专题 3　坐标系中的规律与变换 14 　　题型 1　点列平移规律与周期 15 　　题型 2　图形顶点的坐标规律 17 　　题型 3　坐标系中的几何变换 18 　微专题 4　一次函数的实际应用 19 　　题型 1　行程问题与分段图象 20 　　题型 2　销售与利润 22 　　题型 3　方案决策与最值 25 　　题型 4　动点面积与函数关系 27 　微专题 5　三角形的边角关系 27 　　题型 1　内角和与外角的综合求角 28 　　题型 2　高、中线、角平分线的角度计算 30 　　题型 3　角平分线的夹角公式与递推 33 　　题型 4　命题与几何推理 33 　微专题 6　角平分线的综合运用 34 　　题型 1　角平分线与平行线构造等腰 36 　　题型 2　角平分线的性质与垂线构造 37 　　题型 3　内外角平分线的夹角 39 　微专题 7　全等三角形与几何变换 42 　　题型 1　旋转型全等（手拉手模型） 43 　　题型 2　倍长中线与截长补短 45 　　题型 3　全等的判定与条件构造 47 　微专题 8　等腰、等边与折叠 50 　　题型 1　等腰三角形的性质与判定 51 　　题型 2　等边三角形与动点 53 　　题型 3　折叠中的角与线段 54 　　题型 4　垂直平分线与最短路径 56 　微专题 9　新定义问题 58 　　题型 1　坐标系中的新定义 59 　　题型 2　几何图形的新定义 60 一、本册导航 学习目标 本册要解决的问题 1．会从 的符号读出一次函数图象经过哪几个象限，会把“不过某象限”翻译成对 的约束。 2．会用待定系数法求解析式，会用图象解一元一次不等式，会把“两图象交点”与“方程组的解”互译。 3．会在坐标系里认点列规律，能把第 个点的坐标写成含 的式子，并按周期取余。 4．会把行程、销售、方案三类实际问题翻译成一次函数，会读分段图象的拐点。 5．会用内角和、外角性质求角，会算高与角平分线的夹角，会推“两内角平分线夹角 ”。 6．会证两个三角形全等，能识别“手拉手”旋转型全等，会用倍长中线与截长补短构造全等。 7．会处理等腰、等边与折叠三类图形，会把折叠翻译成“折痕是垂直平分线”。 8．遇到新定义，会先把定义翻译成等式或全等关系，再按图形位置取舍。 重点与难点 本册的核心与门槛 重点　一次函数的 与图象位置；两直线交点即方程组的解；点列规律的周期；角平分线夹角公式；全等的三种常见构造；折叠即垂直平分线。 难点　① 定点问题里“含参数的直线恒过定点”的识别；② 动点面积必须分段写解析式；③ 点列规律要先定周期再取余；④ 内外角平分线同时出现时的角度推导；⑤ 倍长中线与截长补短的选择；⑥ 新定义题的多解取舍。 学习主线 方法的先后次序 读 定图象 → 待定系数求解析式 → 交点化方程组 → 点列定周期 → 实际问题分段建模 → 内角和与外角求角 → 角平分线夹角公式 → 找全等条件 → 等腰与折叠化垂直平分线 → 新定义翻译成等式。 微专题 1　一次函数的图象与性质 模块导学 一次函数的图象与性质 沪科版八上的第一条主线是 压轴题不考“会不会画图”，考的是“看见 的符号就能说出图象长什么样”，以及反过来“看见图象经过的象限就能列出对 的约束”。这一节把这两件事练成条件反射，后面的面积、不等式、实际应用都建立在这上面。 知识梳理 知识点 1　 的符号与图象位置（重点） ① 时 随 增大而增大，图象从左下往右上； 时相反。 越大，直线越“陡”。 ② 是图象与 轴交点的纵坐标，即过点 交在正半轴， 交在负半轴， 过原点。 ③ 四种组合定象限： 过一、二、三象限； 过一、三、四象限； 过一、二、四象限； 过二、三、四象限。 ④ “不过第几象限”就反着用：不过第四象限，说明图象在一、二、三象限，于是 且 （ 时过原点，也算不过第四象限，边界要单独讨论）。 注意　题目只给“经过某点”和“不经过某象限”，条件不够时要连 的边界一起讨论，否则会漏解。 易错　把 当成“与 轴的交点”。 是纵截距，与 轴的交点要令 求，是 知识梳理 知识点 2　增减性与函数值比较（基础） ① 同一条直线上两点 若 则 时 时反号。 ② 比较大小的题目常配合 这类条件，先用条件定出 的正负，再代进增减性判断。 ③ 遇到“ 取几个函数值中的最大值或最小值”，把它看成一条折线：先画出各段的图象，最低处（或最高处）就是答案，往往出现在两条直线的交点。 ④ 在给定闭区间上的最值只在两端取到： 时左端最小、右端最大； 时相反。 易错　比较 大小时直接比 的大小，忘了先看 的正负。 知识梳理 知识点 3　含参直线恒过定点（难点） ① 把式子整理成“关于参数的整式 ”的形式： 写成 要让 取任何值等式都成立，只能 得定点 ② 反过来用：题目说“直线恒过定点 ”，就是把 的坐标代进去后含参数的项恰好抵消。 ③ 求出定点之后，题目通常再问“直线与某图形（三角形、长方形）有公共点”，这时把定点与图形的顶点连起来，看直线绕定点旋转时 的两个极端位置。 ④ 求 的范围时，把两个极端位置的 值算出来，再按“旋转过程中扫过的角度”判断取中间还是取两侧。 注意　定点题的答案必须先化简再取方程，直接令 的系数为 和常数项为 两步要同时满足。 易错　求出两个临界 值后不判断方向，直接写成“ 在这两个数之间”，容易把范围写成相反的一段。 　题型 1　　一次函数的定义与图象位置 　例 1　　（2026 马鞍山雨山实验 14） 已知 是关于x的一次函数，则m=        ，当时， y的取值范围是        ． 　 　例 2　　（2025 合肥肥东三中 10） 过点的直线不经过第三象限，若则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 　题型 2　　增减性与函数值比较 　例 3　　（2026 合肥包河联考 10） 已知点都在一次函数的图象上，且则下列说法中正确的是（ ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 　例 4　　（2026 合肥行知学校 10） 对每个x的值，y是中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为（　　　） A．1 B．4 C．8 D． 　题型 3　　含参直线恒过定点 　例 5　　（2026 合肥五十五中天鹅湖 16） 直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是      ． （2）平面直角坐标系中有两点若该直线与线段BC没有交点，则的取值范围是      ． 　 　例 6　　（2026 阜阳界首 14） 在平面直角坐标系中，已知一次函数（m为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为      ； （2）当时，函数y有最大值12，则的值为      ． 　 微专题 2　一次函数与方程、不等式 模块导学 一次函数与方程、不等式 一次函数把三件事缝在了一起：两直线交点就是方程组的解，谁在上方就是谁大于谁，围出的三角形面积要用交点坐标去算。压轴题的常见套路是“给两条含参直线，先求解析式，再求不等式范围，最后算面积或找动点”。这一节按这个顺序拆开练。 知识梳理 知识点 1　交点坐标就是方程组的解（重点） ① 求两直线交点：把两个解析式联立成方程组，解出的 就是交点坐标，它同时满足两个解析式。 ② 待定系数法：直线过两点就代两点；只给一点和一个条件（平行、垂直、过某轴上的点），先把条件翻译成对 或 的方程。 ③ 点在直线上 坐标满足解析式，这一句是“代入验证”和“求参数”的共同依据。 ④ 已知交点坐标求参数：把交点代进含参的解析式，比联立两个含参方程快得多。 注意　求解析式时要把 都求出来再写答案，只写 属于没做完。 知识梳理 知识点 2　用图象解不等式（重点） ① 就是“ 在 上方”，答案是一段 的范围，分界点就是交点横坐标。 ② 含参不等式恒成立：把“对区间内每个 都成立”翻译成“区间端点处成立”或“最值满足条件”，再解关于参数的不等式。 ③ 移项后是一元一次不等式，解集与图象法必须一致，可用来互相验算。 ④ 若两直线平行（ 相等），则没有交点，不等式要么恒成立要么无解，看 的大小关系。 易错　把 的范围写成包含交点横坐标本身；交点处两者相等，是否取等要看题目写的是 还是 注意　题目问“ 取何值时 恒成立”，答案要写成含参的不等式解集，不是具体数值。 知识梳理 知识点 3　坐标与图形面积（难点） ① 三角形有一边在坐标轴上时，以这条边为底，第三个点的横（纵）坐标的绝对值就是高，面积 底 高。 ② 三边都不在坐标轴上时，用“割补”：过顶点作坐标轴的平行线，把三角形补成一个矩形或直角梯形，再减去三个角上的直角三角形。 ③ 四边形面积按对角线或坐标轴切成两个三角形分别算，切法选得好能省一半计算。 ④ 面积条件反过来求点：设动点坐标含参数，把面积写成含参数的式子，令它等于已知值，解出参数后要检验点是否在要求的线段（射线）上。 易错　用坐标算面积时忘记加绝对值，遇到点在第二、三象限就会算出负数。 注意　“点在线段上”和“点在直线上”是两个条件，前者要用横坐标范围额外筛一遍。 知识梳理 知识点 4　动点面积的分段图象（难点） ① 动点沿折线匀速运动时，面积随路程变化的图象是分段的：每经过一个折点，面积的表达式换一次，图象就拐一次弯。 ② 先按动点所在的边分段，逐段写出面积关于路程（或时间）的表达式，再看每段是“正比例”“一次”还是“常数”。 ③ 折点的横坐标就是各段边长，纵坐标是拐点处的面积值，这两个数据是选图、排除选项的主要依据。 ④ 四个选项是图象时，先用“起点是否为 ”“中间段是否水平”“终点的值”三条排除，通常只剩一个。 注意　动点走完一圈回到起点时面积会回到 图象首尾都落在横轴上，这条能排除掉一批选项。 　题型 1　　待定系数法与两直线交点 　例 7　　（2026 六安皋城中学 22） 如图，已知直线与直线交于点直线与y轴的交点坐标是． （1）求a，b的值； （2）过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D． ①当时，求m的值； ②讨论与的大小关系，直接写出你的结论． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 8　　（2026 安庆潜山联考 23） 如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，C，直线经过点与交于点D，且点D的横坐标为1． （1）求直线的函数表达式； （2）点P是线段上一点，过点P作垂直于y轴的射线PF，分别与y轴和直线交于点E，F．设点P的横坐标为m． （i）若求点P的坐标； （ii）若且点P位于y轴右侧，求线段的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 9　　（2026 淮南凤台联考 23） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数与正比例函数的解析式； （2）请直接写出当时的取值范围； （3）是第二象限内一点，若是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　用图象解不等式与含参范围 　例 10　　（2026 合肥五十中东校 23） 已知一次函数和． （1）若这两个函数的图象交于点求证：点A一定不在直线上； （2）若当时，函数有最大值7，求的值； （3）当时，对于x的每一个值都成立，直接写出的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 11　　（2026 安师大附中长丰下塘 21） 如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线AB相交于点． （1）根据图象，写出关于x的不等式的解集； （2）若点A的坐标为求直线AB的解析式； （3）在（2）的条件下，求四边形BODC的面积． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　定点直线与图形有公共点 　例 12　　（2026 沪科检测卷一 14） 一次函数（k为常数且） （1）该一次函数恒经过点则点的坐标为        ； （2）如图：已知长方形中若一次函数与长方形ABCD的边有公共点，则的取值范围为        ． 　 　例 13　　（2026 合肥包河联考 15） 如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点． （1）点的坐标是       ； （2）若一次函数与有交点，则的取值范围是      ． 　 　题型 4　　坐标与图形面积 　例 14　　（2026 蚌埠怀远新城实验 23） 如图，直线过点且与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形PAOC的面积； （3）动点M在直线上，动点N在坐标平面内，且四边形AMNB是平行四边形，当四边形AMNB的面积等于四边形PAOC面积的2倍时，请直接写出点N的坐标． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 15　　（2026 马鞍山二十中 24） 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图像于点． （1）求点的坐标． （2）若求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 16　　（2026 阜阳十五中 23） 如图所示，直线交x轴于点交y轴于点且满足． （1）填空：                 （2）如图1，若的坐标为且于点H，AH交OB于点P，求点的坐标； （3）如图2，若点为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 5　　动点面积的分段图象 　例 17　　（2026 沪科检测卷二 10） 如图，在长方形中动点M从点B出发，沿的路线匀速移动，到达点D停止．设点M的运动路程为x，则三角形BAM的面积y与之间的关系用图象表示为（ ） A． B． C． D． 　例 18　　（2026 合肥五十中东校 10） 如图，在矩形中动点P从点B出发，沿路线做匀速运动，那么的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致为（ ） A． B． C． D． 微专题 3　坐标系中的规律与变换 模块导学 坐标系中的规律与变换 这类题的题干都在“走”：点按箭头一步步平移、正方形一圈圈往外长、动点沿长方形绕圈。看上去每次都不一样，但压轴的位置只有一条——第 次（或第 2026 个点）在哪。做法固定：先写出前几个点的坐标找周期，再用 除以周期取余，最后把余数代进一个周期的规律里。 知识梳理 知识点 1　点列规律：先定周期再取余（重点） ① 把前 5—8 个点的坐标逐个写出来（不要跳着写），横纵坐标分开看，各自找变化规律。 ② 规律常常是“每 4 次一循环”（绕正方形一圈）或“每 2 次一循环”（上下、右右交替），周期就是循环的长度。 ③ 求第 个点时算 周期，看余数 对应一个周期的最后一个点， 对应周期里第 个点。 ④ 若一个周期内坐标还要跨好几格，就再写一层“第 个周期”的通式，把 代进去算具体数值。 易错　余数为 时错当成第一个点。 要取周期的最后一个。 注意　题目给的起点编号可能从 开始（如 ），取余前先把编号统一成从 开始的序号。 知识梳理 知识点 2　图形顶点的坐标规律（难点） ① 正方形、长方形按“从内到外”排列时，先看每层的边数（4 个顶点）和边长的变化，再定位目标顶点落在第几层。 ② 每层 4 个顶点，所以“第 个顶点在第几层”由 决定，余数决定它在这层的哪个角。 ③ 层数确定后，用该层的边长算坐标：第 层的半边长往往就是 或 的倍数。 ④ 坐标系里的平移、旋转、轴对称都用点的坐标直接算：右移加横、上移加纵，关于 轴对称变纵坐标的符号。 注意　四个顶点按逆时针还是顺时针编号，决定了余数与象限的对应关系，读题时先确认箭头方向。 知识梳理 知识点 3　坐标系中的几何变换（难点） ① 求“旋转后点的坐标”，先看旋转中心是不是原点：绕原点转 或 方向不同符号不同。 ② 绕非原点旋转，先把中心平移到原点、转完再平移回去，这是最稳的路子。 ③ 等腰直角三角形、正方形放在坐标系里，常用“一线三直角”模型：过直角顶点作水平线，两个直角三角形全等，从而由已知点坐标推出未知点。 ④ 三角板绕定点转动时，抓住“直角不变、两边始终垂直”这两个不变量，再配合等腰条件列方程。 易错　绕原点转 的两个公式记混。判断办法：把 转 应到 用这个特例验一下。 注意　“一线三直角”必须证明全等再用，不能凭图相似直接写结论。 　题型 1　　点列平移规律与周期 　例 19　　（2026 六安皋城中学 10） 如图，点点点点点…，按照这样的规律下去，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 　例 20　　（2026 安庆潜山联考 10） 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点第2次运动到点第3次运动到点第4次运动到点第5次运动到点第6次运动到点按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是( ) A． B． C． D． 　例 21　　（2026 蚌埠蚌山区 10） 如图，点第一次向上平移1个单位长度至点第二次向右平移1个单位长度至点第三次向上平移1个单位长度至点第四次向右平移1个单位长度至点……照此规律平移下去，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 　例 22　　（2026 马鞍山二十中 18） 如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和则动点P第2026次运动到达的点的坐标为        ． 　 　题型 2　　图形顶点的坐标规律 　例 23　　（2026 宣城六中 18） 如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用…表示，则顶点的坐标为      ． 　 　例 24　　（2026 蚌埠怀远新城实验 10） 如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（ ） A． B． C． D． 　例 25　　（2026 阜阳界首 10） 如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点的坐标分别为一动点P从点A出发，以个单位长度／秒的速度沿循环运动，则第2026秒点所在的位置是（ ） A． B． C． D． 　题型 3　　坐标系中的几何变换 　例 26　　（2026 黄山屯溪四中 18） 如图，在中点C的坐标为点B的坐标为则点A的坐标为      ． 　 　例 27　　（2026 阜阳十五中 14） 如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角顶点P的坐标为一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点在坐标平面内转动的过程中： （1）连接则是      三角形； （2）当为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点的坐标      ． 　 微专题 4　一次函数的实际应用 模块导学 一次函数的实际应用 沪科版八上的应用题只有三类壳子：行程（谁离谁多远、什么时候追上）、销售（进价售价、利润最大）、方案（两家超市、两种车）。壳子不同，内核都是同一句话——把“每单位变化多少”找出来当 把“起始值”找出来当 真正拉开差距的是分段：图象一拐弯，式子就得重写。 知识梳理 知识点 1　从文字里抠出 和 （重点） ① 是“每增加 1 个单位， 变多少”，在销售题里是单价（利润），在行程题里是速度，在方案题里是折扣后的单价。 ② 是“ 时的 ”，在销售题里是固定成本，在行程题里是初始距离，在方案题里是起步价或门槛。 ③ 两个已知对应值就能定出 把两组 代进 解方程组。表格题给的就是这两组。 ④ 单位要统一：时间用小时还是分钟、金额用元还是万元，换算错一步整题白做。 注意　“售价每降 1 元，销量增 5 件”这类话里的 是 （相对于售价）或 （相对于降价额），方向搞反是最高频的错。 易错　自变量的取值范围常常被题目限死（“售价不低于成本”“人数不超过 120”），最后求最值必须在这个区间内取。 知识梳理 知识点 2　分段图象与拐点（难点） ① 图象出现拐点，说明实际过程换了阶段：休息、提速、故障停车、开始打折。每个阶段单独写一段解析式。 ② 拐点的横坐标是阶段的分界时刻，纵坐标是那一刻的累计值，两个数据都要用上。 ③ 相遇、追及这类问题，把两条“路程—时间”图象画在同一张图上，交点就是相遇时刻，两点纵坐标之差就是两者距离。 ④ 求“两车相距多少”要分段：相遇前是“和”在缩小，相遇后是“差”在扩大，中间那一段可能交替出现两个答案。 易错　把整个过程的平均速度当成某一阶段的速度。分段题必须每段单独算。 注意　题目问“何时相距 60 km”，答案常常有两个时刻，漏掉一个就扣一半分。 知识梳理 知识点 3　方案决策与最值（重点） ① 两种方案各写一个函数，令两者相等求出“临界点”，临界点两侧分别选便宜的那个。 ② 利润最大问题：先写 把销量用一次函数代掉，得到 关于售价的二次式——八上阶段通常配成一次式加约束，用端点或增减性求最值。 ③ 进货方案题要注意“两种都要进”“总量固定”“某种不少于多少”这几类约束，它们共同决定自变量的取值区间。 ④ 最后答“怎么进货、最大利润是多少”两句都要写，只写其中一句算没答完。 注意　自变量的取值常常是正整数（件数、人数），求出区间后要取整，不能写小数。 易错　只比了两种方案的函数值大小，忘了题目还有“总量固定”这个约束，导致结论在区间外。 　题型 1　　行程问题与分段图象 　例 28　　（2026 沪科检测卷一 10） 一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为慢车离锦绣中学的距离为行驶时间为x(h)，两车之间的距离为s(km)与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中②当 时，两车相遇；③当时，两车相距60km；④当或时，两车相距200km．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 　例 29　　（2026 合肥五十五中天鹅湖 23） 甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是 千米/时；轿车的速度是 千米/时；值为 ． （2）求轿车返回段的函数表达式并写出自变量的取值范围． （3）请直接写出货车出发多长时间两车相距70千米． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 30　　（2026 宣城六中 10） 明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 　例 31　　（2026 马鞍山雨山实验 23） 甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题： （1）乙比甲晚多长时间到达李庄？ （2）甲因事耽误了多长时间？ （3）x为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 32　　（2026 安师大附中长丰下塘 10） 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（ ） A．300 B．150 C．330 D．450 　题型 2　　销售与利润 　例 33　　（2026 亳州利辛联考 22） 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中另外每天还需支付其他费用80元． 销售单价（元） ​ ​ 销售量（袋） ​ ​ （1）请直接写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？ （3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 34　　（2025 合肥肥东三中 23） 义乌某商店销售10台型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台型电脑的利润为3500元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 35　　（2026 宣城六中 23） 某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同． （1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大， A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 36　　（2026 蚌埠蚌山区 23） 某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 37　　（2026 阜阳界首 22） 某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共80个，其进价与售价情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球个，销售完这80个排球所获得的总利润是元． （1）求与x的函数关系式；（不需要写出的取值范围） （2）该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润1408元？如果不能，说明理由；如果能，求甲、乙两种品牌排球分别售出多少个； （3）若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　方案决策与最值 　例 38　　（2026 合肥包河联考 21） 某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价150元，售价200元；乙种服装每件进价130元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围； （2）若购进100件服装的总费用不超过14400元，求最大利润为多少元？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 39　　（2026 合肥行知学校 23） 我市某风景区门票价格如图所示，黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅游团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩．两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人，设甲团队人数为x人．如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元． （1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可可节约多少钱； （3）“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价2a元，在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 40　　（2026 安师大附中长丰下塘 22） 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元 ． （1）请用含代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； （2）李明准备购买元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由． （3）计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 4　　动点面积与函数关系 　例 41　　（2026 蚌埠蚌山区 14） 如图1，在长方形中，动点E从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动，到点A时停止运动．设点E的运动时间为的面积为其中S与t的关系如图2所示． （1）当时       ． （2）当时       ． 　 微专题 5　三角形的边角关系 模块导学 三角形的边角关系 八上的几何压轴题，第一步几乎都是“先把角算出来”。内角和 外角等于不相邻两内角之和，这两句话能解决八成求角题；加上高、中线、角平分线这三条特殊线，就构成了试卷里最难的那一档填空。这一节把公式体系彻底捋清，后面证全等才有“角相等”可用。 知识梳理 知识点 1　内角和与外角性质（基础） ① 三角形内角和 直角三角形两锐角互余。 ② 外角等于与它不相邻的两个内角之和，这条比“内角和”更常用，因为它能把分散在两个小三角形里的角直接联系起来。 ③ “8 字型”（两条线段相交、连成两个三角形）里，两端的两个角之和等于另两端的两个角之和，这是外角性质的直接推论。 ④ 求角时优先找“外角”，它能一步跨过中间那个角，少写两三步。 注意　外角必须是与“不相邻”的内角相加，把相邻的内角加进去是常见错误。 易错　三角板叠放题里，先认准哪几个角是 再用外角性质，别凭图猜。 知识梳理 知识点 2　高与角平分线的夹角（重点） ① 设 是高、 是角平分线，则 这个结论在压轴题里几乎每卷都用，可以直接引用，但要会推。 ② 推导只用两步：而 两式相减即可。 ③ 中线把三角形分成两个面积相等的三角形（等底同高），这是“面积比”类问题的起点。 ④ 三条特殊线两两组合，能造出“等腰”“垂直”“角相等”三种结论，题干给出其中一条往往就是在提示要证另两条。 注意​　 要加绝对值或注明 否则差可能为负。 易错　把高画在三角形外部的情况漏掉（钝角三角形），此时高的位置变了，但结论形式不变。 知识梳理 知识点 3　两角平分线的夹角公式（难点） ① 两内角平分线交于 ② 一内一外角平分线交于 ③ 两外角平分线交于 ④ 三个公式形式相近，记法是看“ 前面是加还是减”：两条都在里面加，都在外面减，一内一外正好没有 ⑤ 递推情形（）本质就是反复用外角性质，写两行就能看出规律，答案常是 注意　一内一外的公式最容易被记成 做题时用 代进去验一下量级。 易错　外角平分线的“外角”取哪个外角要看清，三角形每个顶点有两个外角，但角平分线是同一条。 　题型 1　　内角和与外角的综合求角 　例 42　　（2026 沪科检测卷二 14） 如图1已知线段CD相交于点O，连接AD我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1）之间的等量关系为      ； （2）如图2，和的平分线AP和CP相交于点P，并与CD，AB分别交于点M，N．若则的度数为      ． 　 　例 43　　（2026 淮南凤台联考 10） 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A． B． C． D． 　例 44　　（2026 合肥五十五中天鹅湖 10） 小明把一副的直角三角板如图摆放，其中则等于 （ ） A． B． C． D． 　例 45　　（2026 安庆潜山联考 22） 在中点D，E分别是边上的点，点F是直线BC上一动点，设． （1）如图1，若点F在线段上，且求的度数； （2）若点F在线段的延长线上． （i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由； （ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 46　　（2026 黄山地区联考 16） 如图，在中的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点． 给出下列结论：① ② ③ ④其中正确的是        ．（填序号） 　 　题型 2　　高、中线、角平分线的角度计算 　例 47　　（2026 亳州利辛联考 14） 如图，在中AD是高，AE是角平分线       度． 　 　例 48　　（2025 合肥肥东三中 22） 如图AD，AE分别是的高和角平分线． （1）求证： （2）如图若点F为AE上一点，且于点D，试推导与之间的等量关系； （3）当点在AE的延长线上时，且于点D，其余条件都不变，请直接写出与之间的等量关系． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 49　　（2026 蚌埠蚌山区 22） 在中，CD，CE分别是它的高和角平分线，设． （1）如图1，求证：． （2）如图2，是的外角的平分线，交BA的延长线于点E，且求的度数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 50　　（2026 滁州定远育才 14） 如图，在中，BD是角平分线，BE是中线，若则        cm，若则        度． 　 　例 51　　（2026 淮南凤台联考 14） 如图，D是射线BC上的一个动点(不与点B重合)，当      ^时为直角三角形． 　 　题型 3　　角平分线的夹角公式与递推 　例 52　　（2026 安庆潜山联考 14） 如图，在中的平分线交于点O． （1）的度数为     ． （2）若CD平分外角交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为     ． 　 　例 53　　（2026 六安皋城中学 14） 阅读下列材料，并解答相应问题：已知的面积为60边上的中线相交于点O，如图1所示． （1）求四边形的面积．小强用了如下的方法：连结AO，设则由题意得可列方程组通过解这个方程组，可得四边形的面积为      ； （2）如图2已知则四边形为      ． 　 　题型 4　　命题与几何推理 　例 54　　（2026 蚌埠怀远新城实验 14） 下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③同位角相等；④过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的有       （填序号） 　 　例 55　　（2026 沪科检测卷二 22） 综合与实践 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． （1）图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交CD于点O垂足为点O．则 的度数为 ． （2）图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，F为AB上一点，射线HI与AB交于点I，射线FE交于点E． ① ； ②若FE与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由． （3）图3为“丁字型”抓法及示意图，射线FE交AB于点M，交CD于点E，FG与AB 交于点G，射线GH交CD于点H．（温馨提示：小学就知道三角形内角和是180） ①若则 ； ②若当垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 6　角平分线的综合运用 模块导学 角平分线的综合运用 角平分线是八上几何的“枢纽”：往一边靠，它出“到两边距离相等”；遇上平行线，它出等腰三角形；两条角平分线一交，它出固定夹角公式。压轴题往往把这三招叠在一起用。这一节的题型全部围绕一个动作——看见角平分线，先想“能不能造出等腰，或者能不能作垂线”。 知识梳理 知识点 1　角平分线 + 平行线 = 等腰（重点） ① 若 平分 且 则 于是 这个“三线合一”式的结论是压轴题最高频的一步。 ② 反过来，若已知 也能证 两个方向都要会。 ③ 两条角平分线相交、再过交点作某边的平行线，几乎必出等腰三角形，题目的“求证”多半就指向它。 ④ 出现“ 且 在角平分线上”时， 这类结论可以一步写出，用来把折线段的长度转成一条线段。 注意　证等腰时三个角相等要写全：（角平分线）、（平行），缺一步就扣分。 易错　平行线与角平分线的交点不一定在三角形内部，作辅助线前先确认交点位置。 知识梳理 知识点 2　角平分线的性质：作垂线造全等（重点） ① 角平分线上的点到角两边距离相等。看到角平分线而题里有“垂直”“距离”，第一反应就是作两边的垂线段。 ② 反过来，到角两边距离相等的点在角平分线上，这是证“某线是角平分线”的标准依据。 ③ 作两条垂线之后，两个直角三角形有一组公共斜边、一组直角、一组相等锐角，用 HL 或 AAS 直接全等。 ④ 题目给“”再加一组边相等，基本就是让你用角平分线性质反推。 易错　角平分线的性质只能用于“到两边的距离”，不能直接说“到两端点的距离相等”（那是垂直平分线的性质）。 注意　作辅助线时要写清“过点 作 于 ”，垂足落到哪条边要指明。 知识梳理 知识点 3　内外角平分线的组合（难点） ① 一个内角平分线与一个外角平分线相交，夹角恒等于“第三个角的一半”，这条能一步定出角度关系。 ② 两条线同时平分一个角和它的邻补角时，这两条线互相垂直，夹角 可以直接用。 ③ 题干给“ 平分 平分外角 ”，先写出 再往下做。 ④ 若还要求证线段关系，通常要再构造一次全等（延长某边、过交点作垂线），把角度结论转成边长结论。 注意　外角平分线与内角平分线的交点可能在三角形外部，画图时别硬塞进三角形里。 　题型 1　　角平分线与平行线构造等腰 　例 56　　（2026 合肥五十中东校 22） 如图，在中，点D在AB上，过点D作交AC于点E，DP平分交的平分线于点P，CP与DE相交于点G的平分线CQ与DP相交于点． （1）若则      °     °； （2）求证： （3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 57　　（2026 阜阳十五中 10） 如图，在 中和的平分线相交于点O，过点O作交BC于F，交AC于E，过点O作于D，下列四个结论： ① ② ③当时，E，F分别是AC的中点： ④若则． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　例 58　　（2026 合肥五十中东校 14） 如图，是的外角的平分线，且CE交BA的延长线于点． （1）若则     °； （2）直接写出和之间存在的等量关系：       ． 　 　题型 2　　角平分线的性质与垂线构造 　例 59　　（2026 合肥包河联考 22） 已知直线与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和上． （1）如图1，EP平分FP平分求的度数； （2）如图2，平分FG平分FG的反向延长线交EP于点 ①若则        度（直接写出结果，不需说理）； ②若求的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点在FE的延长线上的角平分线EP的角平分线OP与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 60　　（2026 滁州定远育才 22） 在中点D是和平分线的交点，点E在外且满足设． （1）证明：． （2）证明：． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 61　　（2026 黄山屯溪四中 23） 如图， 的角平分线与 BC 的垂直平分线交于点 D 垂足分别为 E，F．若 求 BE 长． 　 　 　 　 　 　 　例 62　　（2026 亳州利辛联考 23） ​中，三个内角的平分线交于点O，过点O作交边BC于点． （1）如图猜想与的关系，并说明你的理由； （2）如图作外角的平分线交CO的延长线于点． ①求证： ②若求的度数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　内外角平分线的夹角 　例 63　　（2026 合肥行知学校 14） 如图，在中延长BC到点与的平分线相交于点． （1）的大小是        ； （2）若与的平分线相交于点依此类推与的平分线相交于点则的大小是        ． 　 　例 64　　（2026 淮南凤台联考 22） ​中，三个内角的平分线交于点O，过点O作交边AB于点． （1）如图1， ①若则                 ； ②猜想与的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作的外角的平分线交CO的延长线于点F．若则的度数为        ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 65　　（2026 滁州定远育才 23） 如图①，在中，BD平分且与的外角的平分线交于点． 【问题解决】 （1）若则     ． 【猜想证明】 （2）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论?（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （3）若把截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 66　　（2026 阜阳界首 23） 在中，点B，C分别是AM，AN上一点和的角平分线交于点 （1）如图1，若求的度数； （2）如图2，若求的度数； （3）如图3，和的角平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系      ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 67　　（2026 宿州联考 15） 如图，在中，BD平分BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若则的度数为   的度数为   ． 　 微专题 7　全等三角形与几何变换 模块导学 全等三角形与几何变换 全等这一章的压轴题有固定套路：题干给两个“共顶点、等边、等角”的图形，让你证一对线段相等。看到这种结构，先找旋转中心，把其中一个三角形转过去，就是“手拉手”模型。另一半题目给的是中线或半角，需要自己造全等——倍长中线、截长补短。这一节把这两类构造法练熟。 知识梳理 知识点 1　手拉手：旋转型全等（重点） ① 模型：则 （SAS），因为 ② 关键动作是“等角同减（同加）公共角”，把两边的夹角凑成相等，这一步不写出来就没有 SAS。 ③ 证完全等能直接得到 与 后者常用来求两条线段的夹角。 ④ 两个等边三角形共顶点、两个正方形共顶点，都是手拉手的变体，判定依然用 SAS。 注意　写全等时对应顶点要对应着写（），顺序错了后面找对应角会乱。 易错　把 直接当成 中间少一步“同减公共角”。 知识梳理 知识点 2　倍长中线与截长补短（难点） ① 倍长中线：延长中线到 使 连接 则 （SAS），于是 且 把分散的两条边搬进同一个三角形。 ② 倍长中线之后常用“三角形两边之和大于第三边”求中线取值范围，或用“两边之差小于第三边”定不等关系。 ③ 截长补短：要证 就在长线段上截一段等于 （截长），或把短线段延长到等于 （补短），再造全等。 ④ 判断用哪一招：题里有中点且要证“两线段相等或平行”——倍长；题里要证“线段和差关系”——截长补短。 注意　倍长后要连的是“另一个端点”，连错就构不成全等，辅助线写法要具体到点。 易错　截长补短只做一半：截完之后还要再证一次全等，把剩下的那段与另一条线段对应起来。 知识梳理 知识点 3　全等的判定与条件构造（基础） ① 判定五法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特别注意 SSA 不成立（两边及其中一边的对角），这是判断题的常客。 ② 证全等之前先把已知条件列成三行：已知边、已知角、公共边（公共角、对顶角），缺哪个补哪个。 ③ 公共边、公共角、对顶角这三样“不用给就能用”，是凑条件的免费资源。 ④ 若已知一组边相等而缺角，先看能不能用平行线（内错角、同位角）或角平分线造出一组相等的角。 易错　把“三个角相等”（AAA）当全等条件，那只是相似。 注意　HL 只适用于直角三角形，用之前必须写明“在 中”。 　题型 1　　旋转型全等（手拉手模型） 　例 68　　（2026 宿州联考 22） 已知：如图，在中在中且连接BD，CE交于点F，连接AF． （1）求证： （2）求证：FA平分． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 69　　（2026 合肥庐江柯坦中学 23） 已知在中D为的中点． （1）如图，E、F分别是上的动点，且求证为等腰直角三角形； （2）在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； （3）若E、F分别为延长线上的点，仍有其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 70　　（2026 六安皋城中学 23） 两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上． （1）证明：． （2）如图2，分别作分别作与的平分线交于点F，若求的度数； （3）如图3，点P，G分别在线段BD上，连接PG，作的平分线交BE于点Q，若点H是线段PQ上一点，连接BH，且．设求α，β之间的数量关系． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　倍长中线与截长补短 　例 71　　（2026 黄山屯溪四中 24） 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中E、F分别是上的点，且探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使．连接AG，先证明再证明可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中．E、F分别是上的点，且上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足请写出与的数量关系，并给出证明过程． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 72　　（2026 黄山屯溪四中 10） 如图，是的中线，点E是AD的三等分点（点E靠近A），F是AD延长线上一点连接BE、CF、CE，G是EC的中点，连接BG．下列说法：①②③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　例 73　　（2026 合肥五十五中天鹅湖 22） 已知：如图①，直线直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且过点C作直线l 点D在点C的左边且． （1）求出的面积． （2）如图②，若作的平分线交OC于点E，交AC于点F，求证． 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　全等的判定与条件构造 　例 74　　（2026 合肥庐江柯坦中学 22） 如图，B两点分别在射线OM，ON上，点C在的内部，且垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分 （2）若求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 75　　（2026 合肥庐江联考 22） 在中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，AD，BE相交于点F． （1）求证： （2）连接若DE平分当时，求的度数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 76　　（2026 蚌埠怀远新城实验 22） 如图，已知AE平分． （1）求证： （2）若平分与互补求． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 77　　（2026 阜阳十五中 22） 如图，为的角平分线交AD的延长线于点E． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 78　　（2026 马鞍山二十中 23） 已知，是的边BC上的高，AE平分且交于点E． （1）如图1，若．求证． （2）如图2，点F是的中点，过A作交CF的延长线于点G．求证． 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 8　等腰、等边与折叠 模块导学 等腰、等边与折叠 等腰三角形的核心是“等边对等角、等角对等边”，外带“三线合一”这条把角、线、垂直捆在一起的性质。折叠题的所有条件其实只有一句：折痕是连接对应点的线段的垂直平分线。把这一句翻译到位，角度和长度就都能算。等边三角形则常与“动点、旋转”结合，用 造等边。 知识梳理 知识点 1　等腰三角形的性质与判定（重点） ① 等边对等角、等角对等边，两个方向都要会用；做题时看题目给的是边还是角。 ② 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。已知其中一条，另外两条直接成立。 ③ 等腰三角形中求角要分类：已知角可能是顶角也可能是底角，两种情况都要算，且底角必须小于 要检验。 ④ 出现“ 且 ”这类，往往藏着黄金三角形（），子三角形也是等腰，可以连续用。 易错　已知一个角求另外两个角时只算一种情况。等腰题的答案常常有两组，少写一组就是漏解。 注意　“三线合一”只能用于等腰三角形的顶角，底角上的线没有这个性质。 知识梳理 知识点 2　折叠：折痕是垂直平分线（重点） ① 沿 折叠使 与 重合，则 垂直平分 且 对应边、对应角全部相等。 ② 求角度时用“折叠前后角不变”：再配合平角 或外角性质列方程。 ③ 求线段时用“折叠前后长度不变”：把未知量搬到同一个三角形里用勾股或全等。 ④ 折叠两次时，第二次的折痕要以“第一次折叠后图形的位置”为基准重新确定，不能沿用原来的角。 注意　折叠题一定要先标出“哪些角相等、哪些边相等”，图上标全了再动笔，否则容易乱。 易错　把折痕当成“对应点连线的中垂线”之外的东西（比如当成角平分线），两者的依据不同。 知识梳理 知识点 3　等边三角形与 构造（难点） ① 等边三角形三边相等、三角都是 任一条边上的高同时是中线、角平分线。 ② 见到 加等腰，先想能不能补成等边三角形：延长一条边或旋转一个三角形。 ③ 等边三角形共顶点旋转 就是手拉手模型， 之后夹角恒为 ④ 动点在等边三角形边上运动时，先把“动点位置”用含 的式子表示，再用等边条件列方程。 注意　旋转 得到的新三角形是等边三角形，这个结论要证（两边相等且夹角 ），不能直接说。 知识梳理 知识点 4　垂直平分线与最短路径（重点） ① 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，这是把“折线”拉直的关键。 ② 将军饮马：在直线 上找一点 使 最小，作 关于 的对称点 连 交 于 最小值就是 ③ 若 在直线同侧，必须先对称到异侧；若已经在异侧，直接连线段即可。 ④ 三角形周长最值、四边形周长最值，都是把其中两条边对称转化，最后归结为“两点之间线段最短”。 易错　忘记判断 在直线同侧还是异侧，同侧不对称就直接连线，得到的是最大而非最小。 注意　对称后的点要写清“作 关于直线 的对称点 ”，不能只画图不写。 　题型 1　　等腰三角形的性质与判定 　例 79　　（2026 沪科检测卷一 23） 在中点D在线段上． （1）如图1，点在线段AC上若则     °； （2）如图2，平分点F在线段BD上交AD的延长线于点G与的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段CD上时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 80　　（2026 合肥庐江联考 23） 已知在中点D是边AB上一点． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作垂足为点E，BE与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 81　　（2026 黄山地区联考 23） 如图，在中点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作DE交线段于点E． （1）当时                ； （2）线段的长度为何值时？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　等边三角形与动点 　例 82　　（2026 宿州联考 23） 已知在等边中，点D在BC上，点E在AC的延长线上，且． （1）【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段AD与DE的大小关系，请你直接写出结论：AD　　　　DE．（填“>”“<”或“”） （2）【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段AD与DE的大小关系，请你直接写出结论：AD　　　　DE（填“>”“<”或“=”）．理由如下：过点D作交于点M……请你完成后面的解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边BC的中点点P，Q分别为射线AC,BA上一动点，且若求的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 83　　（2026 黄山地区联考 10） 如图，是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且点D从B运动到C的过程中周长的变化规律是（ ） A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．不变 　题型 3　　折叠中的角与线段 　例 84　　（2026 合肥庐江柯坦中学 10） 如图，在中，将沿DE折叠，使点C落在AB边上点处，且．若则的度数为（　　） A． B． C． D． 　例 85　　（2026 合肥庐江联考 14） 如图，将三角形的纸片沿DE折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若则的度数为      ； （2）若则的度数为      ． 　 　例 86　　（2026 马鞍山雨山实验 10） 如图，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（ ） A． B． C． D． 　例 87　　（2026 黄山地区联考 22） 如图，在数学活动课上，小明剪了一张的纸片，其中他将折叠压平使点A落在点B处，折痕DE，D在AB上，E在上． （1）请作出折痕（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （2）连接若的周长为12，求的周长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 88　　（2026 安师大附中长丰下塘 14） 用等腰直角三角板画并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转则三角板的斜边与射线OA的夹角α为      ． 　 　题型 4　　垂直平分线与最短路径 　例 89　　（2026 滁州定远育才 10） 如图，在中垂直平分AB交BC于点D，若的周长为50 cm，则（ ） A． B． C． D． 　例 90　　（2026 合肥庐江联考 10） 如图，的面积为10分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线EF，M为EF上任意一点，点D为BC的中点，连接BM，DM，则长度的最小值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 　例 91　　（2026 合肥庐江柯坦中学 14） 如图，已知在的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点． （1）的周长的最小值是      ； （2）当的周长最小时      度． 　 　例 92　　（2025 合肥肥东三中 14） 如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到再分别倍长得到．…按此规律，倍长2024次后得到的的面积为        ． 　 　例 93　　（2026 宿州联考 10） 如图，已知：点…在射线ON上，点…在射线OM上…均为等边三角形，若则的边长为（ ） 如图，已知点…在射线ON上，点 A． B． C． D． 微专题 9　新定义问题 模块导学 新定义问题 新定义的题面最长，但动作最少：把定义那句翻译成等式（或全等关系），剩下的就是常规计算。难点在两处——定义里的“任意”“都存在”“最多”要不要分类，以及算出来的多个解要不要按图形位置取舍。放在全书最后，是因为它把前面所有工具都用上了。 知识梳理 知识点 1　把定义翻译成式子（重点） ① 逐字读定义，把每一个名词换成式子：“横坐标与纵坐标之和为 ”就是 “到两定点距离相等”就是垂直平分线。 ② 定义里出现“任意”“都”，就是恒成立，用“对区间内每个值成立”的写法处理；出现“存在”，就设参数解方程。 ③ 判断“某点是否属于某类点”，直接代定义验证，别绕道去证性质。 ④ 若定义分了几种情形（横坐标为正、为负），先分类再逐类翻译。 注意　新定义题的第一小问通常是“直接判断”，白送分，务必写完整步骤拿到。 易错　把定义里的条件看漏一半（比如只看了 漏了“点在第一象限”），答案就会多出无效解。 知识梳理 知识点 2　多解取舍与图形验证（难点） ① 解出两个以上的点，逐个代回定义和图形条件（在线段上、在内部、不与端点重合）筛一遍。 ② “点在线段 上”意味着横坐标在两端点之间，这一步是筛解的硬标准。 ③ 几何新定义（如“准互余三角形”“三分线”）要先画出符合条件的图形，再按角的大小关系排方程。 ④ 结论写成“存在，此时……”，只有算出了具体对象才算答完整。 注意　题目说“直接写出答案”时也要写全所有解，用“或”连接，不能只写一个。 　题型 1　　坐标系中的新定义 　例 94　　（2026 沪科检测卷一 22） 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a；任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h；任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”． 例如：三点坐标分别为则“水平底”“铅垂高”“矩面积”． 根据所给定义解决下列问题： （1）若三点则“水平底”a=      ，“铅垂高”h=      ，“矩面积”      ． （2）若三点的“矩面积”为18，求点E的坐标． （3）若三点其中．若三点B、C、F的“矩面积”为15，求m的取值范围． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 95　　（2026 沪科检测卷二 23） 若点的坐标满足我们称点为“横和点”． （1）已知点为“横和点”，求的值； （2）在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形DEF，点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，已知点点点点A为“横和点”，点E的横坐标为． ①若点为“横和点”，且三角形ABD的面积为8，求点的坐标； ②若点的坐标是点E在x轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 96　　（2026 马鞍山二十中 10） 我们把平面上纵坐标是横坐标两倍的点称为“两倍点”，如：点点．下列关于“两倍点”的说法中，错误的是（ ）． A．一次函数上有两倍点 B．所有的两倍点都在同一条直线上 C．第四象限中不存在两倍点 D．所有的一次函数上都有两倍点 　题型 2　　几何图形的新定义 　例 97　　（2026 合肥行知学校 22） 定义：如果一个三角形的两个内角与满足那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”， 则        ； （2）已知 是直角三角形． ①如图，若平分则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点是“准互余三角形”，且则的度数为        ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 98　　（2026 宣城六中 24） 如图①，在中，若则BD，BE叫做的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”， BE是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中若邻AB三分线BD交AC于点D，则　　； （2）如图③，在中，BP、CP分别是邻AB三分线和邻AC三分线，且求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，BP、CP分别是邻BC三分线和邻BC三分线请求出的度数．（用含的代数式表示） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 99　　（2026 马鞍山雨山实验 22） 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果那么与互为“友爱角”为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）． ①求的度数． ②若是中AB边上的高，则都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为      ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $