专题三· 期中综合复习· 满分压轴讲义（第11～13章） ·2026--2027学年沪科版八年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第11~13章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理平面直角坐标系中点的坐标特征、象限符号与平移规律，会求点的坐标并探索坐标变化规律 · 掌握一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象与性质，能由 k、b 的符号判断图象经过的象限与增减性 · 会用待定系数法求一次函数解析式，能结合图象求两直线交点、围成图形面积并解决实际应用题 · 掌握平行线的判定与性质、三角形内角和定理及外角性质，能进行角度计算与简单推理证明 · 会综合运用坐标、一次函数与三角形边角关系解决新定义、动点、面积等满分压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系与点的坐标 在平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号为：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)；x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0 点P(a,b)关于x轴对称的点为(a,-b)，关于y轴对称的点为(-a,b)，关于原点对称的点为(-a,-b) 点的平移规律：左右平移改变横坐标（右加左减），上下平移改变纵坐标（上加下减） 点到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|；探索坐标规律题时先算前几个点找出循环周期，再用除法求余数定位 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点P(a,b)满足 a+2 + (b-3)2=0，则点P关于x轴对称的点的坐标是（　　）A．(2,-3)　B．(-2,3)　C．(-2,-3)　D．(2,3) 答案：C 解析：由非负数的和为0得 a+2=0，b-3=0，所以 a=-2，b=3，即P(-2,3)；点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，故对称点为(-2,-3)。 ☆ 2.一次函数的图象与性质 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线；k>0 时y随x的增大而增大，k<0 时y随x的增大而减小 b 是直线与y轴交点的纵坐标：b>0 交y轴正半轴，b<0 交y轴负半轴；直线与x轴交点为(-, 0) k 的符号决定倾斜方向，|k| 越大直线越陡；两直线平行则k相等，两直线垂直则k的乘积为-1 比较函数值大小或解不等式时，利用数形结合：图象在上方的函数值大，交点两侧分别比较 概念辨析例题：一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则 k、b 的符号是（　　）A．k>0，b>0　B．k>0，b<0　C．k<0，b>0　D．k<0，b<0 答案：C 解析：图象经过第二、四象限说明y随x增大而减小，故 k<0；又经过第一象限（与y轴交于正半轴），故 b>0。 ☆ 3.一次函数的解析式与实际应用 待定系数法求解析式：设 y=kx+b，代入图象上两个已知点的坐标，解关于k、b的二元一次方程组 两直线的交点坐标即联立两解析式所得方程组的解；直线与坐标轴围成的三角形面积用 S=×|x截距|×|y截距| 计算 行程问题中s-t、v-t图象的横轴为时间、纵轴为路程或速度，读图时先看拐点含义，再列式求解析式 方案选择与最大利润问题：列出总费用或总利润关于数量的一次函数，结合自变量取值范围与不等式求最优解 概念辨析例题：直线 y=kx+b 经过点(1,3)和(0,1)，求该直线的解析式及它与两坐标轴围成的三角形面积。 答案：y=2x+1，面积为 。 解析：代入(0,1)得 b=1；代入(1,3)得 k+1=3，k=2，故 y=2x+1。与y轴交于(0,1)，与x轴交于(-,0)，面积 S=×1×=。 ☆ 4.三角形边角关系、平行线与命题证明 三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个不相邻的内角 平行线的判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行；平行线的性质反之成立 角平分线将一个角分成两个相等的角；与角平分线有关的角度计算常结合内角和、外角定理列方程求解 证明角的关系时，常用辅助线作平行线，把分散的角集中；命题证明要分清条件与结论，步步有据 概念辨析例题：在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=80°，求∠BOC的度数。 答案：130° 解析：∠B+∠C=180°-80°=100°；BO、CO平分∠B、∠C，故∠OBC+∠OCB=×100°=50°；在△BOC中，∠BOC=180°-50°=130°。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点的坐标 P(a,b)，横纵坐标确定点的位置 象限符号(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)，坐标轴上的点不属于任何象限 点的对称与平移 关于x轴对称(a,-b)；右移加、左移减 对称只变对应坐标符号；平移不改变点的形状大小 一次函数图象 y=kx+b(k≠0)是一条直线 k定倾斜方向与增减性，b定与y轴交点位置 待定系数法 代入两点坐标解k、b 必须代入两个不同点，列二元一次方程组 两直线交点与面积 交点即方程组的解；S=|横截|·|纵截| 交点两侧函数值大小关系发生改变 三角形内角和与外角 内角和180°；外角=不相邻两内角和 外角大于任一个不相邻内角；常与角平分线联用 ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系与点的坐标（第1-6题） · 先确定点所在象限或坐标轴，再利用坐标符号规律判断 · 规律探究题依次写出前3到5个点的坐标，找出循环周期，用总数除以周期看余数 · 求对称点坐标时，关于谁对称谁不变，另一个坐标变号 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A．（1012，1012） B．（2011，2011） C．（2012，2012） D．（1011，1011） 2．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，平移点一次，可以得到点或点．将点进行若干次这样的平移后得到的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）一台巡检机器人每秒移动一格，若规定向右和向上为正方向，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直移动下去，如第1秒移动到的位置用有序数对表示为，则第50秒时，机器人的位置用有序数对表示为__________． 4．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为______． 5．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，点、的坐标分别为，且满足，现同时将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点，连接． (1)求点、的坐标； (2)如图1，点是轴负半轴上一动点，连接，其中直线交轴于点，若，求的值； (3)如图2，连接，在直线上取一点，使，求点的坐标． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，． (1)求点，点坐标； (2)如图1，将线段平移，使点平移到，点平移到在线段上， 过作轴于点，延长至使，若三角形的面积等于10，求点坐标； (3)如图2，将线段平移使点平移到，点平移到，点在直线上，且，直接写出点坐标． 【考点2】一次函数的图象与性质（第7-12题） · 由k、b符号判断图象经过的象限：k定升降，b定与y轴交点 · 比较函数值大小时，把两点化到同一单调区间或利用对称性 · 利用两直线交点把不等式转化为图象在上方(或下方)的x范围 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 9．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为_____________． 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 11．（25-26七年级上·四川雅安·期中）定义，即当时，；当时，，则___________． 12．（25-26八年级下·山东临沂·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①若，是直线上不重合的两点．则；②当时，；③；④．其中正确结论的代号是______． 【考点3】一次函数的解析式、图象与交点面积（第13-17题） · 用待定系数法代入两个已知点求解析式 · 求与坐标轴围成的面积时，先求两截距，再用三角形面积公式 · 两直线交点即联立方程的解，注意结合图形分类讨论 13．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作． （1）当时，的值是________； （2）当时，的取值范围是________． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 工人师傅在铺地面时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2．中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为y，宽为x，且．    （1）请求出图1中y与x的函数关系式； 【策略分析】 （2）求出图2中y与x的函数关系式； （3）对于（2）中的问题，小明给出解题思路： 由图2得； 整理得：， 由平方根定义可以得出：， 所以图2中与的函数关系式是或． 小明得出的结果正确不?请说明理由． 【拓展研究】 （4）在图3中作出两个函数的图象，求出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义； （5）根据以上讨论补全下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？请说明理由． 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 … y … 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 … y 5 … 15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数（），自变量与函数的几组对应值如下表所示： … … … … (1)选取部分数据，求这个一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与直线相交于点． ①过点作轴的垂线，与，分别相交于点，．若，求的值； ②分别过点，作轴的垂线，，直线，在，之间的部分（包括与，的交点）的最大值与最小值的差为，求的值； ③若函数的图象与轴只有一个交点，请直接写出的取值范围． 16．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 17．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【考点4】一次函数与几何综合（新定义·面积·动点压轴）（第18-26题） · 新定义题先把定义翻译成代数式或图形，紧扣定义逐点验证 · 面积问题用割补法，把不规则图形拆成易求面积的三角形 · 动点问题分段讨论，每段内函数关系为一次函数，注意转折点坐标 18．（25-26八年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段：上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是（     ） A． B．或 C． D． 19．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 20．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在直角坐标系中，，，，，当四边形周长最小时，的值是（    ）．    A． B． C．. D．非以上答案 21．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．动点在直线上，点在线段上，当是以为斜边的等腰直角三角形，则直线的的解析式为______． 22．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． （1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________． 23．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，其中，满足，连接、． (1)直接写出点坐标； (2)动点以每秒个单位长度的速度，从点出发，沿轴正半轴匀速运动，设点的运动时间为秒，请用含有的表达式表示的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，作的角平分线交轴负半轴于点，，为延长线上一点，的角平分线交于点，且，当为何值时，． 24．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的解析式及的面积； (2)点是轴上一点，且满足，求点的坐标； (3)若是轴一动点，且满足，则点的坐标是___________； (4)将直线沿对称后的直线解析式是___________． 25．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 26．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 【考点5】一次函数的实际应用（行程与方案）（第27-34题） · 行程图象先看坐标轴含义与拐点，再分段求解析式 · 方案问题列出总费用函数，结合不等式确定可行方案范围 · 求最大最小值时结合自变量取值范围，常取边界点 27．（26-27八年级上·全国·课后作业）在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 28．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（23-24九年级下·山东淄博·阶段检测）一个寻宝游戏通道如图所示，通道在同一平面内由组成，定位仪器放置在的中点M处，设寻宝者行进时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，寻宝者匀速前进，y与x的函数关系图象如图所示，则寻宝者的行进路线可能是（     ） A． B． C． D． 30．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地，当甲行驶后，乙骑自行车以的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离与甲行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是______． 31．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究 问题情境：2025年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离（单位：）与时间（单位：s）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数关系式为． 问题解决： (1)①点的坐标为___________． ②求线段对应的函数关系式． (2)乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． (3)从乙款机器人到达终点后开始探究，当两款机器人到起点的距离之差为时，直接写出的值． 32．（2026·云南曲靖·二模）云南不仅以茶和咖啡闻名，其得天独厚的自然环境更孕育了被誉为“山珍”的野生菌．如今随着生鲜电商的兴起，云南野生菌正通过“冷链直发”的模式走向全国． 解决问题： 制定采购方案 背景 某主营云南特产的生鲜平台计划采购一批高品质野生菌，该平台选择采购“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种产品． 素材 ①该平台首次试水采购了特级松茸和一级牛肝菌，共花费元；②已知采购特级松茸比采购一级牛肝菌多用元． 素材 由于市场反响热烈，该平台计划再次采购这两种野生菌共，设第二次采购特级松茸为． 素材 ①库存与定位指标：为凸显高端定位，要求两次采购后，“特级松茸”的总数量不得少于“一级牛肝菌”总数量的，同时受保鲜冷库单品容量限制，“特级松茸”的总数量不得超过“一级牛肝菌”的总数量； ②物流包装约束：为确保包装规格统一，物流公司要求第二次采购的特级松茸数量必须满足：分式的值必须为正整数． (1)任务：分别求出“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种野生菌的单价； (2)任务：在满足所有条件的情况下，共有几种采购方案？其中需要的最少费用是多少？ 33．（22-23七年级下·四川成都·期中）已知甲，乙两地之间有一条笔直的公路，公路长为，A，B两车从甲地出发沿这条公路匀速驶向乙地，A车先出发B车后出发．表示到甲地的距离，表示A车行驶的时间，s与t的关系如图1所示． (1)A车比B车先出发 　　h，A车的速度为 　　，B车的速度为 　　； (2)在A车整个运动过程中，当A，B两车相距时，求t的值； (3)A车出发的同时C车从乙地出发沿这条公路驶向甲地，C车行驶速度与的关系如图2所示．当A，B，C任意两车不在同一地点时，若其中一车到另外两车的距离恰好相等，请直接写出此时t的值，不必写解答过程． 34．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进、两种型号的清洁机器人，每台型机比每台型机平均每小时少清扫平方米，一台型机清扫平方米所用时间是一台型机清扫平方米所用时间的倍． (1)每台型机和每台型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进台机器人，型机器人元/台，型机器人元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫平方米楼道，那么该公司如何购买型和型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本； (3)更新、两种型号的机器人程序后，每台型机比每台型机平均每小时多清扫平方米，用一台型机清扫平方米的时间，一台型机可比一台型机多清扫平方米，则一台型机平均每小时清扫____________平方米，一台型机平均每小时清扫___________平方米（用含、的式子表示）． 【考点6】平行线的性质与三角板角度计算（第35-38题） · 三角板问题先标出各已知角(30°、45°、60°、90°)，再用平行线性质转移角 · 平行时找同位角、内错角，把所求角与已知角联系起来 · 三角板旋转问题按边平行的不同情形分类画图讨论 35．（25-26七年级下·四川广元·期中）在平面内有A，B，C，D，E五个点，满足，给出以下三个结论：①可能与平行；②可能与平行；③A，C，E三点可能在同一条直线上．所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 36．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 37．（25-26七年级下·广东广州·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，，．给出下列结论：①；②；③；④若，则；⑤若，则．其中正确的有________．（填序号） 38．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知直线，点，是直线上的两个定点，点，是直线上的两个动点，射线，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在直线上，满足．与交于点，与交于点，若，且．求的度数； (3)在（2）的条件下，射线绕点以3度/秒的速度逆时针转动，射线绕点以2度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为秒． （i）当________秒时，； （ii）设直线与直线的夹角为度（），直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间的值． 【考点7】三角形的外角、角平分线与内角和综合（第39-45题） · 遇角平分线设每份角为未知数，用内角和、外角定理列方程 · 外角=不相邻两内角和，是转移角度的重要工具 · 复杂角度计算题通过作辅助线或设元，把多个角的关系用方程表达 39．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的平分线交于点是与的平分线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，则下列结论： ①；②；③；④．正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 42．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，平分，的延长线平分，，设，用含的式子表示∠C为_____． 43．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 44．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则________． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为________． 45．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线，分别交于，两点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在直线，之间，连接，，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，的角平分线交的角平分线于点，过点作的垂线交于点，点为垂足，若，，求的度数． 💯 课后巩固 复习建议 · 对照知识梳理，先默写平面直角坐标系象限符号、对称点与平移规律，再做3道坐标规律题巩固 · 整理一次函数 k、b 符号与图象象限的对应表，用5道图象判断题检验 · 归纳待定系数法求解析式的两步流程，重做讲义中面积与交点题各2道 · 总结平行线与三角形角度题的常用辅助线（作平行线、设角），完成考点6、7错题订正 · 限时完成课后巩固15题（建议25分钟），对照答案逐题改错，标注仍不熟练的考点 【作业1】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【作业2】（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板（，）按如图所示方式摆放，与交点为P，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【作业3】（25-26八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（        ） A．4 B．2 C．3 D．6 【作业4】（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为2，宽为1．将长方形沿轴翻转1次，点落在点处，翻转2次，点落在点处，翻转3次，点落在点处（点与点重合），翻转4次，点落在点处，以此类推…翻转2026次后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【作业5】（2026八年级上·全国·专题练习）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，，．则（     ） A． B． C． D． 【作业6】（25-26七年级上·河南郑州·期中），，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 【作业7】（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“逆和差变化”点的坐标为，则关于的“逆和差变化”点的坐标为_____；若点关于点的“逆和差变化”点在直线上，其中，则k的取值范围为_______． 【作业8】（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为个单位长度，这时点，，，的坐标分别为，，，．则 （1）点的坐标为__________； （2）点的坐标为__________． 【作业9】（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________． 【作业10】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为___________，点的坐标为___________． 【作业11】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 【作业12】（2026八年级上·全国·专题练习）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，平分平分，求的度数； (2)如图2，平分平分的反向延长线交于点P； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点G在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍，请直接写出的度数． 【作业13】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点． (1)若，_______； (2)若，_______； (3)如图，若再分别作与的平分线，且两条角平分线交于点，试求的度数； (4)在（3）的条件下，如图，射线在的内部且，设与的交点为，射线在的内部且，射线与交于点，若、和满足的数量关系为（、为常数），请直接写出、的值：________，________． 【作业14】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【作业15】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第11~13章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理平面直角坐标系中点的坐标特征、象限符号与平移规律，会求点的坐标并探索坐标变化规律 · 掌握一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象与性质，能由 k、b 的符号判断图象经过的象限与增减性 · 会用待定系数法求一次函数解析式，能结合图象求两直线交点、围成图形面积并解决实际应用题 · 掌握平行线的判定与性质、三角形内角和定理及外角性质，能进行角度计算与简单推理证明 · 会综合运用坐标、一次函数与三角形边角关系解决新定义、动点、面积等满分压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系与点的坐标 在平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号为：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)；x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0 点P(a,b)关于x轴对称的点为(a,-b)，关于y轴对称的点为(-a,b)，关于原点对称的点为(-a,-b) 点的平移规律：左右平移改变横坐标（右加左减），上下平移改变纵坐标（上加下减） 点到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|；探索坐标规律题时先算前几个点找出循环周期，再用除法求余数定位 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点P(a,b)满足 a+2 + (b-3)2=0，则点P关于x轴对称的点的坐标是（　　）A．(2,-3)　B．(-2,3)　C．(-2,-3)　D．(2,3) 答案：C 解析：由非负数的和为0得 a+2=0，b-3=0，所以 a=-2，b=3，即P(-2,3)；点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，故对称点为(-2,-3)。 ☆ 2.一次函数的图象与性质 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线；k>0 时y随x的增大而增大，k<0 时y随x的增大而减小 b 是直线与y轴交点的纵坐标：b>0 交y轴正半轴，b<0 交y轴负半轴；直线与x轴交点为(-, 0) k 的符号决定倾斜方向，|k| 越大直线越陡；两直线平行则k相等，两直线垂直则k的乘积为-1 比较函数值大小或解不等式时，利用数形结合：图象在上方的函数值大，交点两侧分别比较 概念辨析例题：一次函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则 k、b 的符号是（　　）A．k>0，b>0　B．k>0，b<0　C．k<0，b>0　D．k<0，b<0 答案：C 解析：图象经过第二、四象限说明y随x增大而减小，故 k<0；又经过第一象限（与y轴交于正半轴），故 b>0。 ☆ 3.一次函数的解析式与实际应用 待定系数法求解析式：设 y=kx+b，代入图象上两个已知点的坐标，解关于k、b的二元一次方程组 两直线的交点坐标即联立两解析式所得方程组的解；直线与坐标轴围成的三角形面积用 S=×|x截距|×|y截距| 计算 行程问题中s-t、v-t图象的横轴为时间、纵轴为路程或速度，读图时先看拐点含义，再列式求解析式 方案选择与最大利润问题：列出总费用或总利润关于数量的一次函数，结合自变量取值范围与不等式求最优解 概念辨析例题：直线 y=kx+b 经过点(1,3)和(0,1)，求该直线的解析式及它与两坐标轴围成的三角形面积。 答案：y=2x+1，面积为 。 解析：代入(0,1)得 b=1；代入(1,3)得 k+1=3，k=2，故 y=2x+1。与y轴交于(0,1)，与x轴交于(-,0)，面积 S=×1×=。 ☆ 4.三角形边角关系、平行线与命题证明 三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个不相邻的内角 平行线的判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行；平行线的性质反之成立 角平分线将一个角分成两个相等的角；与角平分线有关的角度计算常结合内角和、外角定理列方程求解 证明角的关系时，常用辅助线作平行线，把分散的角集中；命题证明要分清条件与结论，步步有据 概念辨析例题：在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A=80°，求∠BOC的度数。 答案：130° 解析：∠B+∠C=180°-80°=100°；BO、CO平分∠B、∠C，故∠OBC+∠OCB=×100°=50°；在△BOC中，∠BOC=180°-50°=130°。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 点的坐标 P(a,b)，横纵坐标确定点的位置 象限符号(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)，坐标轴上的点不属于任何象限 点的对称与平移 关于x轴对称(a,-b)；右移加、左移减 对称只变对应坐标符号；平移不改变点的形状大小 一次函数图象 y=kx+b(k≠0)是一条直线 k定倾斜方向与增减性，b定与y轴交点位置 待定系数法 代入两点坐标解k、b 必须代入两个不同点，列二元一次方程组 两直线交点与面积 交点即方程组的解；S=|横截|·|纵截| 交点两侧函数值大小关系发生改变 三角形内角和与外角 内角和180°；外角=不相邻两内角和 外角大于任一个不相邻内角；常与角平分线联用 ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系与点的坐标（第1-6题） · 先确定点所在象限或坐标轴，再利用坐标符号规律判断 · 规律探究题依次写出前3到5个点的坐标，找出循环周期，用总数除以周期看余数 · 求对称点坐标时，关于谁对称谁不变，另一个坐标变号 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A．（1012，1012） B．（2011，2011） C．（2012，2012） D．（1011，1011） 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标 【解答】解：由题意得，偶数点在第一象限， ∵P1（﹣1，﹣4）水平向右平移2个单位长度2， ∴P7（1，1）， 同理可得，P3（2，2），…， ∴P7n（n，n）， ∴P2024（1012，1012）， 故选：A． 2．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，平移点一次，可以得到点或点．将点进行若干次这样的平移后得到的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移（已知点平移前后的坐标，判断平移方式；由平移方式确定点的坐标），解二元一次方程组（求二元一次方程组的非负整数解）等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——平移及二元一次方程组的解法是解题的关键． 由题意可知，平移点一次，可以得到点或点，即横坐标，纵坐标或横坐标，纵坐标，则将点进行次横坐标，纵坐标和次横坐标，纵坐标的平移后得到的点的坐标为，即，其中，、均为非负整数，然后，分别利用各选项坐标建立二元一次方程组，求其非负整数解即可． 【详解】解：由题意可知，平移点一次，可以得到点或点， 即：横坐标，纵坐标或横坐标，纵坐标， 则将点进行次横坐标，纵坐标和次横坐标，纵坐标的平移后得到的点的坐标为，即， 其中，、均为非负整数， 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 则， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 则， 故方程组的非负整数解为，选项符合题意； 由选项可得： ， ，得：， 即：， 将代入，得：， 这与、均为非负整数相矛盾，故方程组无非负整数解，选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）一台巡检机器人每秒移动一格，若规定向右和向上为正方向，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直移动下去，如第1秒移动到的位置用有序数对表示为，则第50秒时，机器人的位置用有序数对表示为__________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、用有序数对表示位置 【分析】由图可知，机器人先向上跳2格，再向右跳2格，再向下跳2格，再向右跳2格，依次循环，求出第50秒时机器人跳动6个循环，再向上跳2格，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，机器人每移动8次一个循环， ， 则机器人跳动6个循环，再向上跳2格， 第50秒时机器人的位置用有序数对表示为，即． 4．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，设的坐标为，可得，即得，得到点的坐标为，即 ，同理可得点的坐标为，即， 点的坐标为，即，进而得到点的坐标为，据此即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为，即 ∵轴, ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， ， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，点、的坐标分别为，且满足，现同时将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点，连接． (1)求点、的坐标； (2)如图1，点是轴负半轴上一动点，连接，其中直线交轴于点，若，求的值； (3)如图2，连接，在直线上取一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或者 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、坐标系中的平移 【分析】（1）利用实数的非负性，得到，确定a，b的值，即可求得点、的坐标； （2）先利用平移确定C，D的坐标，再根据，利用分割法表示出面积等式，构造关于的方程，解答即可； （3）利用分类思想解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解：， 将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点， ， 点是轴负半轴上一动点， ， 整理得： ． （3）分如下两种情况进行讨论： ①当在中间，如图所示：过作于于，过点作于， ， ， ， ， ②当在延长线上，则只能在第二象限，如图所示：过作于，于，过点作于， ， ， ， ， 在第二象限 -14分 综上所述：或者． 【点睛】本题考查了非负性的应用，平移，图形面积分割法表示，线段的计算，分类思想应用，熟练掌握平移，面积表示是解题的关键． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，． (1)求点，点坐标； (2)如图1，将线段平移，使点平移到，点平移到在线段上， 过作轴于点，延长至使，若三角形的面积等于10，求点坐标； (3)如图2，将线段平移使点平移到，点平移到，点在直线上，且，直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，平移的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性得出，进而得出，即可求解； （2）根据平移可得，设，根据得出，过点，分别作的平行线，交于点，则，连接，根据得出，即可求解； （3）设，当在轴的右侧时，过点分别作轴的垂线，根据，得出，根据得出，进而求得,当在轴的左侧时，同理可得的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， （2）∵使点平移到，平移到，， ∴平移方式为向右平移5个单位，向下平移5个单位， ∴， 设， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： 如图所示，过点，分别作的平行线，交于点，则，连接 ∵ ∴ 解得： ∴ （3）将线段平移使点平移到，点平移到， 设 当在轴的右侧时，过点分别作轴的垂线， ∴ ∵， ∴即 如图， 过点分别作的垂线交于点，连接， ∵ ∴， ∴ 即 将代入得 解得： ∴ ∴ 当在轴的左侧时，如图 ∵ ∴， ∴ 即， 如图，过点分别作的垂线与过点平行于的直线交于点，则 ∴ ∵， ∴即 代入，得 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 【考点2】一次函数的图象与性质（第7-12题） · 由k、b符号判断图象经过的象限：k定升降，b定与y轴交点 · 比较函数值大小时，把两点化到同一单调区间或利用对称性 · 利用两直线交点把不等式转化为图象在上方(或下方)的x范围 7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟知一次函数中：，y随x增大而增大；，y随x增大而减小；，函数图象与y轴交于正半轴；，函数图象与y轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； B、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； C、：，，∴； ：； 故此选项符合题意； D、：，，∴； ：； 故此选项不符合题意； 故选：C． 8．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 9．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为_____________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、判断一次函数的增减性、根据一次函数增减性求参数 【分析】根据题意可得，当时，恒成立，整理得到关于的一次不等式，结合一次函数的单调性，分情况讨论不等式恒成立的条件，即可求解的取值范围． 【详解】解：由题意得，对任意，都有，即， 整理得 设，为关于的一次函数，分三种情况讨论： ①当，即时，随的增大而增大， 当时，函数的最大值为， 要使不等式恒成立，则，解得， ； ②当，即时，恒成立，则符合条件； ③当，即时，随的增大而减小，函数在处取得最小值，当不断减小时，值不断增大，存在大于的情况，从而不满足恒成立条件，即不符合题意； ． 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】画出三个函数的公共部分，最小值即求三个函数的公共部分的最小值． 【详解】解：由题意，画出三个函数的图象如下： ∵无论取何值，总取，，中的最大值， ∴的最小值是和的交点的纵坐标， 联立，解得， ∴的最小值为. 11．（25-26七年级上·四川雅安·期中）定义，即当时，；当时，，则___________． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法、函数的概念、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数性质和（其中）的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用函数性质和（其中），将原式中的负自变量转换为正自变量，并配对求和，然后即可求解； 【详解】解：由，可得，且当时，， 原式， 利用，得：原式， 分组求和：原式， 由，对 到，有，共对： ∴ ， ∵， ∴原式； 故答案为：； 12．（25-26八年级下·山东临沂·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①若，是直线上不重合的两点．则；②当时，；③；④．其中正确结论的代号是______． 【答案】①③④ 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】对于①，利用一次函数的增减性即可判断；对于②和③，两条直线在处相交，结合增减性即可判断；对于④，比较时，两个函数值的大小即可． 【详解】解：对于①：∵，在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，， ∴，故①正确； 对于②：由图可知，当时，，即， ∴当时，，故②错误； 对于③：当时，， ∴，故③正确； 对于④：由图可知，当时，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①③④． 【考点3】一次函数的解析式、图象与交点面积（第13-17题） · 用待定系数法代入两个已知点求解析式 · 求与坐标轴围成的面积时，先求两截距，再用三角形面积公式 · 两直线交点即联立方程的解，注意结合图形分类讨论 13．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作． （1）当时，的值是________； （2）当时，的取值范围是________． 【答案】 / 或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成的三角形的面积问题； （1）将代入得出，，作出图形，根据三角形的面积即可求解； （2）依题意得出过定点，则点到轴的距离为,根据，结合题意，得出和时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 如图所示，设交于点，与轴交于点，与轴交于点，则 ∴，解得：，则， 当时，，∴， ∴， ∴ （2）∵， ∴过定点，则点到轴的距离为, 设与轴交于点，则,则 ∴ 当时， 解得：或 当时， 解得：或 ∵ ∴或 故答案为：或． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 工人师傅在铺地面时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2．中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为y，宽为x，且．    （1）请求出图1中y与x的函数关系式； 【策略分析】 （2）求出图2中y与x的函数关系式； （3）对于（2）中的问题，小明给出解题思路： 由图2得； 整理得：， 由平方根定义可以得出：， 所以图2中与的函数关系式是或． 小明得出的结果正确不?请说明理由． 【拓展研究】 （4）在图3中作出两个函数的图象，求出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义； （5）根据以上讨论补全下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？请说明理由． 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 … y … 【答案】（1）； （2）； （3）解：不正确，理由如下： ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∴，即； （4）如图3，    交点坐标为， 交点坐标的实际意义为：瓷砖的长和宽分别为5和3时，能围成图1，图2中的图形； （5）解：由题意得，当阴影部分边长为1，时，； 当阴影部分边长为2，时，则，此时满足要求的； 当阴影部分边长为3，时，则，此时满足要求的； 当阴影部分边长为4，时，则，此时满足要求的； 填表如下： 图（2）中小正方形边长（阴影部分） 1 2 3 4 … x 3 6 9 … y 5 … 由表格可知，， ∴当长方形的长、宽满足时，能拼成类似图1和图2的图形；当长方形的长、宽不满足时，不能拼成类似图1和图2的图． 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】（1）由组成长方形的长度关系可得，然后整理即可； （2）依题意得，，整理得，，结合，确定y与x的函数关系式即可； （3）理由见（2）； （4）描点，连线作图象即可，联立得，，计算求解可得交点坐标，然后进行作答即可； （5）根据图2中y与x的函数关系式，分别求解不同正方形边长，不同长方形宽度下的长方形的长，填表格，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：依题意得，，整理得，， ∵， ∴， ∴，即； （3）略 （4）解：联立得，， 解得，， ∴交点坐标为，交点坐标的实际意义为：瓷砖的长和宽分别为5和3时，能围成图1，图2中的图形； （5）略 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象，二元一次方程组的应用．熟练掌握一次函数的应用，利用面积的关系求表达式是解题的关键． 15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数（），自变量与函数的几组对应值如下表所示： … … … … (1)选取部分数据，求这个一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与直线相交于点． ①过点作轴的垂线，与，分别相交于点，．若，求的值； ②分别过点，作轴的垂线，，直线，在，之间的部分（包括与，的交点）的最大值与最小值的差为，求的值； ③若函数的图象与轴只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①的值为或 ；②的值为或；③的取值范围为 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）选取表格中两组自变量与函数的对应值代入一次函数一般式，解二元一次方程组求得系数和，即可确定函数表达式； （2）①依据直线平移“上加下减”的规则得到的解析式，将点A的横坐标代入求出点纵坐标，再代入求出参数，得到的解析式；根据表示出、两点的纵坐标，利用两点纵坐标之差的绝对值等于线段的长度列绝对值方程，求解即可得到的值； ②先联立两条直线的解析式求出交点的横坐标，以此为分界点，分该部分位于交点左侧、右侧、包含交点三种情况，结合两条直线的增减性分别确定范围内的最大值与最小值，根据最值之差为列方程求解，验证解是否符合对应的取值范围，即可得到符合条件的的值； ③先分别求出两条直线与轴的交点坐标，再根据分段函数的取值范围，分仅对应取值范围内与轴有交点、仅对应取值范围内与轴有交点两类情况，分别列不等式组求解，结合的条件筛选，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：将，；，代入，得 ， 解得， ∴一次函数表达式：； （2）解：①∵直线向上平移个单位长度得到直线， ∴， 将代入，得， ∴ 将代入，得 ， 解得， ∴， 当时，，， ∴， 当时，解得 ， 当时，解得， ∴的值为或； ②当时，，当时，， ∵，随增大而增大， ∴最大值为，最小值为； 当时，，当时，， ∵，随增大而减小， ∴最大值为，最小值为； 联立，解得两直线交点横坐标为， 如图，交点左侧始终有，交点右侧始终有， 以此为分界点分三种情况讨论： 情况一：直线，在，之间的部分在交点左边，则，解得， 此时，最大值为，最小值为， ∴， 解得，符合取值范围，成立； 情况二：直线，在，之间的部分在交点右边，则， 此时，最大值为，最小值为， ∴， 解得，符合取值范围，成立； 情况三：直线，在，之间的部分包含交点，则，解得， 此范围内最大数值只会在与之中，最小数值只会在与之中， 当最大值为，最小值为时，，不符合题意； 当最大值为，最小值为时，，不符合题意； 当最大值为，最小值为时，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 当最大值为，最小值为时，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 综上，的值为或； ③令，则，解得； ，则，解得； 函数的图象与轴只有一个交点，故分两种情况讨论： 情况一：只有与轴相交，则     ，解得； 与轴不相交，则或，即或， 结合和上面两个条件可得： 当或时，函数与轴只有一个交点； 情况二：只有与轴相交，则 ，解得； 与轴不相交， 或，解得或， 结合和上面两个条件，没有符合题意的值； 综上，的取值范围为． 16．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)或 (4) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）将点坐标代入求出，即可得到解析式； （2）根据解析式分别求出点、坐标和两直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，则，当，即，即可求解． （4）根据解析式分别求出线段和线段长，根据题意可得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：在中， 当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 联立方程组， 解得， ∴的交点坐标为， ∴与轴所围成的三角形的面积为； （3）解：∵与交于点， 则， 当， 即， ， 则或， 解得或． 即的值为或； （4）解：∵和， ， 设直线与和分别交于点和， 在函数中，当时，， 在函数中，当时，， ， ， ∵，即线段向左平移2个单位开始有2个交点， ， ∴的范围为． 故将线段向左平移个单位，若与直线同时有公共点，的取值范围为． 17．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 本题考查了待定系数法，解方程组，图形的面积，函数的性质，熟练掌握待定系数法，函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得： ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得： ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．    由直线的表达式为，得， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点 ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值， 故答案为． 【考点4】一次函数与几何综合（新定义·面积·动点压轴）（第18-26题） · 新定义题先把定义翻译成代数式或图形，紧扣定义逐点验证 · 面积问题用割补法，把不规则图形拆成易求面积的三角形 · 动点问题分段讨论，每段内函数关系为一次函数，注意转折点坐标 18．（25-26八年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段：上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】本题考查新定义和一次函数交点问题，先根据新定义确定变换后新图形的形状，再结合直线特点分析交点个数要求，最后列不等式求解的取值范围。 【详解】由题意知，原线段上点，， 令，即，解得． 当时，，变换点坐标为， 变换后得到线段； 当时，，变换点坐标为，可得， 变换后得到线段． 易知直线恒过点， ， 直线与y轴上的线段恒有个交点，要使直线与新图形有个交点，只需直线与x轴上的线段再有一个交点即可， 令，得直线与x轴交点横坐标，需满足， 由，可知， 解不等式，两边乘，得，即， 解不等式，两边乘，得，即， 因此的取值范围是． 19．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数的规律探究问题、一次函数与几何综合 【分析】利用直线与轴成角的性质，结合等腰直角三角形的两直角边相等，推出，，再求解即可． 【详解】解：令， 解得， 设直线与轴交点为， 由题意，点坐标为即，则点横坐标为1，纵坐标为，则坐标为，即 由过点作直线 交轴于点，直线与轴正方向成角， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为3，纵坐标为，则坐标为，即， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为7，纵坐标为，则坐标为即 以此类推， 规律：，． 当时，． 20．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在直角坐标系中，，，，，当四边形周长最小时，的值是（    ）．    A． B． C．. D．非以上答案 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了轴对称，一次函数．熟练掌握关于坐标轴对称的点坐标特征，轴对称路径最短，待定系数法求一次函数的解析式，是解决问题的关键．作点A关于x轴的对称点，作点B关于y轴的对称点，连接，根据点C，D在上时最小，得到四边形周长最小．根据点，坐标求出直线的解析式，根据的解析式求出点C，D的坐标，即得． 【详解】解：如图，分别作点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，连接，，，    则，， ∴ 当点C，D在上时，的值最小，， 此时四边形周长就最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．动点在直线上，点在线段上，当是以为斜边的等腰直角三角形，则直线的的解析式为______． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分点在下方和在上方，两种情况进行讨论求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：设点． ①当点在下方时，如图，过点作，交轴于点，交于点．则：，， ∴， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ∴， ∴， ． ， ∴点，点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴； ②当点在的上方时，如图，过点作，交轴于点，交的延长线于点． 同理，可证， ， ，所以， 点， 同①法可得直线的解析式为：． 故答案为：或 22．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． （1）点是直线：上一动点，当的面积与的面积相等时，点的坐标为___________； （2）当是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为___________． 【答案】 或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质． (1)利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，设，根据三角形的面积公式可得，解方程求出的值，即可得到点的坐标； (2)当是以为直角边的等腰直角三角形时，分和两种情况求点的坐标． 【详解】(1)解：直线交轴于点， ， ， ， 又令，则， ， ， ， 点是直线上一动点，点在上， 令，则， ， 设， ， 的面积与的面积相等， ， 或（不合题意，舍去） ； 故答案为：； (2)解：如下图所示，当，时，过点作轴， 是以为直角边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作轴， 同理可证：， ，， ，， ， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标为或． 23．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，其中，满足，连接、． (1)直接写出点坐标； (2)动点以每秒个单位长度的速度，从点出发，沿轴正半轴匀速运动，设点的运动时间为秒，请用含有的表达式表示的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，作的角平分线交轴负半轴于点，，为延长线上一点，的角平分线交于点，且，当为何值时，． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、与角平分线有关的三角形内角和问题、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据非负数的性质可知，即可求出，的值； （2）利用“割补法”将三角形的面积转化为几个规则三角形的面积和差关系， 即可得到； （3）根据三角形外角的性质以及角平分线的性质可求得，再利用三角形内角和为，可求出，根据直角三角形的面积公式得到即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得，， ； （2）解：如图，连接、、， 由题意得，， ，， ，，， ； （3）解：平分， ， 平分，， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ，，且， ， ． 24．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）如图，已知直线与交于点，且点的坐标为． (1)求直线的解析式及的面积； (2)点是轴上一点，且满足，求点的坐标； (3)若是轴一动点，且满足，则点的坐标是___________； (4)将直线沿对称后的直线解析式是___________． 【答案】(1)直线的解析式为， (2)或 (3)或； (4) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（）利用待定系数法可求出直线的解析式，再根据求出的面积即可； （）设，则，根据题意列出方程解答即可求解； （）分点在点左侧和点在点右侧两种情况讨论即可； （）作直线关于的对称线，直线交轴于点，过点作轴交直线于点，先证明，得到，再证明，得到，即得，进而利用待定系数法解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，一次函数的平移等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入 ，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：当点在点左侧；如图，过点作，交轴于点，则有， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 当点在点右侧，如图，过点作轴，与交于点，连接， 设， ∵直线为：， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为：或； （4）解：如图，作直线关于的对称线，直线交轴于点，过点作轴交直线于点， ∵， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴， 把代入直线的解析式为，得， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 25．（21-22八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或， 如图1所示： (3) 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； （2）解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 26．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了新定义“关联点”的理解与应用，熟练掌握一次函数的性质和分类讨论是解答本题的关键． （1）根据“关联点”的定义可求出给定两点的“关联点”； （2）分别代入和求出与之对应的x值，结合“关联点”的定义可得出点M的坐标； （3）先根据“关联点”的定义分情况讨论的表达式，再结合的取值范围确定a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得，点的“关联点”是，点的“关联点”是， 故答案为：； （2）解：当时，点， 则，解得：； 当时，点， ，解得：， ∴点或； （3）解： ∵点P在函数的图像上， ∴设点P的坐标为， 当时，其关联点的纵坐标， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴， 当时，其关联点的纵坐标， 此时， 综上，要使“关联点”的纵坐标的取值范围是， a须满足且， 解得． 【考点5】一次函数的实际应用（行程与方案）（第27-34题） · 行程图象先看坐标轴含义与拐点，再分段求解析式 · 方案问题列出总费用函数，结合不等式确定可行方案范围 · 求最大最小值时结合自变量取值范围，常取边界点 27．（26-27八年级上·全国·课后作业）在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（   ） A．该车进入隧道时的速度为 B． C． D．到时间段内该车的平均速度为 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，判断出图中梯形的面积为500，进而根据梯形的面积判断出当时对应的速度，即可判断出选项是否正确；然后求出与之间的函数关系式，取和22求得对应的时间，即可判断和是否正确；根据所给提示算出平均速度即可判断选项是否正确． 【详解】解：∵函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动路程，某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速， 图中函数图象与横轴、纵轴、直线围成的梯形的面积为500． 设时对应的车速为， ． 解得：． ∴该车进入隧道时的速度为. 故A选项正确，不符合题意； 设v与t的函数关系式为：． 解得： ． ． 当时，． 解得：． 即． 故B错误，符合题意； 当时，． 解得： 即． 故C正确，不符合题意； 到时间段内该车的平均速度为：. 故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解决本题的关键是理解并应用函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到时间段的运动路程． 28．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点问题和坐标系．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即， 解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段， ， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 29．（23-24九年级下·山东淄博·阶段检测）一个寻宝游戏通道如图所示，通道在同一平面内由组成，定位仪器放置在的中点M处，设寻宝者行进时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，寻宝者匀速前进，y与x的函数关系图象如图所示，则寻宝者的行进路线可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】将选项中的运动顺序代入分析，即可得出寻宝者随时间的增长与定位仪器点M之间的距离变化规律，此题得解． 【详解】解：A、从A点到B点，y随x的增大而减小，从B点到O点，y随x的增大先减小后增大，故本选项不合题意； B、从A点到D点，y随x的增大先减小后增大，从D点到O点，y随x的增大而减小，故本选项不合题意； C、从A点到O点，y随x的增大而减小，从O点到D点，y随x的增大而增大，故本选项不合题意； D、从B点到O点，y随x的增大先减小后增大，从O点到C点，y随x的增大先减小后增大，故本选项符合题意. 30．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地，当甲行驶后，乙骑自行车以的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离与甲行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是______． 【答案】②④ 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了同学们从图像中获取信息解决问题的能力及数形结合的思想，关键是从图像中获取到正确的信息，并能应用信息解决问题． ①根据题意，两人距离y为时间x的函数，由图象可知两人起始距离为，甲走4小时时两车相遇，由此即可求得甲的速度为每小时；进一步求出甲到B地的时间为5小时，甲原路返回直到追上乙时，比乙多走，列方程解答即可；②当甲行驶1小时时，两人的距离等于减去甲1小时走的路程，即可得到P的纵坐标；③从两人相遇到甲到达B时用1小时，M的横坐标为5，此时两人距离等于两人一小时走的路程和，即可求出M的纵坐标，由的坐标即可求出线段所在直线的解析式；④分别计算当，，时，甲、乙两人之间距离即可． 【详解】解：①， (小时)， 设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：， 解得：，故①错误； ②， 所以P的纵坐标为240，②正确； ③， 所以M坐标为， 又因为Q的坐标为， 设线段所在直线的解析式， 解得：， 所以③错误； ④时，； 时， ； 时，，④正确; 综上所述：②④正确． 故答案为：②④． 31．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）综合与探究 问题情境：2025年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离（单位：）与时间（单位：s）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数关系式为． 问题解决： (1)①点的坐标为___________． ②求线段对应的函数关系式． (2)乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），用字母标注两个端点，并写出两个端点的坐标． (3)从乙款机器人到达终点后开始探究，当两款机器人到起点的距离之差为时，直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) 根据题意画出图象如图所示： (3)的值为或50 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，用待定系数法求一次函数解析式，看懂图象是解题的关键． （1）①把点M的纵坐标代入函数关系式为，解出即可获解；②已知点O，点P的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）因故障耽误了，代表纵坐标不变，横坐标增加5，以原来的速度返回起点，代表返回时用的时间相同，根据题意则可画出图象； （3）分别求出线段和线段对应的函数关系式，根据甲乙不同的位置情况分类讨论列关系式求解即可． 【详解】（1）解：①∵对应的函数关系式为，观察图象知点M的纵坐标为120， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：； ②观察图象知，设线段对应的函数关系式为， 把点代入，得， 解得， ∴线段对应的函数关系式为； （2）解：∵乙款机器人到达终点后，因故障耽误了， ∴点的横坐标为， ∴， 因为是以相同的速度返回起点，所以返回所用的时间与来时用的时间相同，为， ∴点的横坐标为， ∴， ∴ ，； （3）解：设线段对应的函数关系式， ∵，， ∴，解得， ∴线段对应的函数关系式， 设线段对应的函数关系式， ∵，， ∴，解得， ∴线段对应的函数关系式， 当时， 当乙款机器人还未动，但与甲款机器人相距时，则有， 解得 当乙款机器人已动但还未到达起点，两款机器人到起点的距离之差为时，则有， 解得或（舍去）， 故答案为：的值为或50． 32．（2026·云南曲靖·二模）云南不仅以茶和咖啡闻名，其得天独厚的自然环境更孕育了被誉为“山珍”的野生菌．如今随着生鲜电商的兴起，云南野生菌正通过“冷链直发”的模式走向全国． 解决问题： 制定采购方案 背景 某主营云南特产的生鲜平台计划采购一批高品质野生菌，该平台选择采购“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种产品． 素材 ①该平台首次试水采购了特级松茸和一级牛肝菌，共花费元；②已知采购特级松茸比采购一级牛肝菌多用元． 素材 由于市场反响热烈，该平台计划再次采购这两种野生菌共，设第二次采购特级松茸为． 素材 ①库存与定位指标：为凸显高端定位，要求两次采购后，“特级松茸”的总数量不得少于“一级牛肝菌”总数量的，同时受保鲜冷库单品容量限制，“特级松茸”的总数量不得超过“一级牛肝菌”的总数量； ②物流包装约束：为确保包装规格统一，物流公司要求第二次采购的特级松茸数量必须满足：分式的值必须为正整数． (1)任务：分别求出“特级松茸”和“一级牛肝菌”两种野生菌的单价； (2)任务：在满足所有条件的情况下，共有几种采购方案？其中需要的最少费用是多少？ 【答案】(1)“特级松茸”的单价为元/，“一级牛肝菌”的单价为元/． (2)共有种采购方案，需要的最少费用是元． 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设两种野生菌的单价为未知数，根据题干给出的总花费和差价关系列出二元一次方程组，求解即可得到单价． （2）先根据数量限制条件列出不等式组，得到采购特级松茸质量的取值范围，再根据为正整数的条件化简，得到符合条件的的取值，最后列出总费用的一次表达式，根据一次函数的单调性求出最少费用． 【详解】（1）解：设“特级松茸”单价为元/，“一级牛肝菌”单价为元/． 根据题意得： ， 化简得： ， 解得 ， 答：“特级松茸”单价为300元/，“一级牛肝菌”单价为100元/． （2）解：设第二次采购特级松茸 kg，则第二次采购一级牛肝菌 ． 两次采购后，特级松茸总质量为 ，一级牛肝菌总质量为 ． 根据题意列不等式组： ， 解第一个不等式： 解得： 解第二个不等式： 解得： 即． 由题意，为正整数，化简： 因此为正整数， 设，为正整数，则． 代入得： 解得，即约． 因为是正整数，所以或． 对应或，均满足条件，因此共有2种采购方案． 设总采购费用为元， 根据题意得： 因为，所以随的减小而减小， 当时，取得最小值． （元） 答：共有2种采购方案，需要的最少费用是元． 33．（22-23七年级下·四川成都·期中）已知甲，乙两地之间有一条笔直的公路，公路长为，A，B两车从甲地出发沿这条公路匀速驶向乙地，A车先出发B车后出发．表示到甲地的距离，表示A车行驶的时间，s与t的关系如图1所示． (1)A车比B车先出发 　　h，A车的速度为 　　，B车的速度为 　　； (2)在A车整个运动过程中，当A，B两车相距时，求t的值； (3)A车出发的同时C车从乙地出发沿这条公路驶向甲地，C车行驶速度与的关系如图2所示．当A，B，C任意两车不在同一地点时，若其中一车到另外两车的距离恰好相等，请直接写出此时t的值，不必写解答过程． 【答案】(1)2，， (2)t的值为或或或 (3)或或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）从图1中获取时间、路程相关数据，即可求出速度； （2）分四种情况进行讨论：当B车还没运动时，当B车在A车后面时，当A车在B车后面时，当B车到达乙地后，分别列出方程求解即可； （3）分不同的时间段，根据其中一车到另外两车的距离恰好相等列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，A车比B车先出发2小时． A车的速度为， B车的速度为． 故答案为：2，，． （2）解：当B车还没运动时，时， 解得：； 当相遇前，B车在A车后面时，， 解得：； 当相遇后，A车在B车后面时 解得： 当B车到达乙地后， ， 解得：． 综上，当A，B两车相距时，t的值为或或或． （3）解：当时，A在C、B之间，则， 解得，不合题意； 当时，A在C、B之间，则， 解得，不合题意； 当A、B相遇时，则，解得． 当A、C相遇时，则，解得． 当时，A在B、C之间，则，解得； 当B、C相遇时，，解得t； 当时，C在B、A之间，则，解得； 当时，B在C、A之间，则 ，解得； 当时，A在C、B之间，则， 解得，舍去． 综上所述， 或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，从函数图象中获取信息，解第二问的关键是注意进行分类讨论，解第三问的关键是注意不同时间段内A，B，C的位置关系． 34．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进、两种型号的清洁机器人，每台型机比每台型机平均每小时少清扫平方米，一台型机清扫平方米所用时间是一台型机清扫平方米所用时间的倍． (1)每台型机和每台型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进台机器人，型机器人元/台，型机器人元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫平方米楼道，那么该公司如何购买型和型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本； (3)更新、两种型号的机器人程序后，每台型机比每台型机平均每小时多清扫平方米，用一台型机清扫平方米的时间，一台型机可比一台型机多清扫平方米，则一台型机平均每小时清扫____________平方米，一台型机平均每小时清扫___________平方米（用含、的式子表示）． 【答案】(1)每台型机平均每小时清扫平方米，每台型机平均每小时清扫平方米 (2)购买台型机，台型机，能使总成本最低，总成本最低为元 (3)， 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】（）设每台型机平均每小时清扫平方米，则每台型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出方程解答即可求解； （）设购进台型机，则购进台型机，根据题意列出不等式求出的取值范围，设总成本为元，求出与的一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； （）设更新后型机平均每小时清扫平方米，则型机平均每小时清扫，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每台型机平均每小时清扫平方米，则每台型机平均每小时清扫平方米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每台型机平均每小时清扫平方米，每台型机平均每小时清扫平方米； （2）解：设购进台型机，则购进台型机， 由题意得，， 解得， 设总成本为元，则， ∵，， ∴当时，总成本最低，最低成本为，此时， 答：购买台型机，台型机，能使总成本最低，总成本最低为元； （3）解：设更新后型机平均每小时清扫平方米，则型机平均每小时清扫， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴一台型机平均每小时清扫平方米， ∴一台型机平均每小时清扫平方米， 故答案为：，． 【考点6】平行线的性质与三角板角度计算（第35-38题） · 三角板问题先标出各已知角(30°、45°、60°、90°)，再用平行线性质转移角 · 平行时找同位角、内错角，把所求角与已知角联系起来 · 三角板旋转问题按边平行的不同情形分类画图讨论 35．（25-26七年级下·四川广元·期中）在平面内有A，B，C，D，E五个点，满足，给出以下三个结论：①可能与平行；②可能与平行；③A，C，E三点可能在同一条直线上．所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】利用平行线判定、三点共线判定方法，找出符合题意的图形，分别验证三个结论均可成立即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∴可能与平行，故①正确； 如图，， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴可能与平行，故②正确； 如图，, 在中，， ， 在中，， ， 若、， 则， ∴，，三点可能在同一条直线上，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 36．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：①当时， 如图，延长交于F， ∵， ∴， ， ∴； ②当时，如图， 此时与重合， ∴； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，； 综上：α可能取的值为15或45或60或135和105． 37．（25-26七年级下·广东广州·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，，．给出下列结论：①；②；③；④若，则；⑤若，则．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【详解】解：由题可知，，，，， ，， ，故①正确； ，， ， ， ，故②正确； 如图，， ， ， ，故③正确； ，，，，， ， ， 与不平行，故④错误； ， ， ， ，故⑤正确； 综上，正确的有：①②③⑤． 38．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知直线，点，是直线上的两个定点，点，是直线上的两个动点，射线，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在直线上，满足．与交于点，与交于点，若，且．求的度数； (3)在（2）的条件下，射线绕点以3度/秒的速度逆时针转动，射线绕点以2度/秒的速度顺时针转动．设转动时间为秒． （i）当________秒时，； （ii）设直线与直线的夹角为度（），直线与直线的夹角为度，当时，直接写出转动时间的值． 【答案】(1) 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； (2)， (3)（i）26.4；(ii) 转动时间的值为18或或或或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角度之间的关系，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，掌握整体思想，寻找角度之间的和差关系是解题关键． （1）过点作，可得，，根据即可求证； （2）类比（1）同理可得：，，根据角之间的关系列方程，即可求解； （3）（i）根据题意画出对应图形，根据即可求解； （ii）根据题意画出对应图形，分3种情况：分别求得与，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：类比（1）同理可得：，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴②， 联立①②解得：，； （3）解：（i）如图3所示： 由题意得：，， ， ， 即：， ， 解得：， 故答案为：； （ii）当与平行时，，解得， 当与平行时，，解得， 如图所示，当两个交点都在上方时，且与线段相交时， 由（2）得，， 则， ， ， 解得：或； 如图所示，当两个交点都在上方时，且与射线相交时，即， 由（2）得，， 则， ， ， 解得：或； 如图所示，当一个交点在上方，一个交点在下方时，即， ， 则， ， 解得：或； 综上，转动时间的值为18或或或或或． 【考点7】三角形的外角、角平分线与内角和综合（第39-45题） · 遇角平分线设每份角为未知数，用内角和、外角定理列方程 · 外角=不相邻两内角和，是转移角度的重要工具 · 复杂角度计算题通过作辅助线或设元，把多个角的关系用方程表达 39．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义. 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：C． 40．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的平分线交于点是与的平分线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握角平分线的定义． 根据角平分线得出相等的角，求出，再利用三角形外角的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 41．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，则下列结论： ①；②；③；④．正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角定理逐一进行判断即可． 【详解】解：，平分， 平分， ， ，①正确； ， 是的角平分线， ， ；②正确； 是的角平分线，平分， ， ， ， ， ，③正确； ，故④错误； 42．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，平分，的延长线平分，，设，用含的式子表示∠C为_____． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】连接、延长至H，设，．利用得同旁内角互补，结合内角和，推导出；再在中用内角和定理，联立消去，最终求得． 【详解】解：连接，延长至H，如图， ∵平分，平分， ∴设，， ∵， ∴， ∵； ， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 在中，， 又∵；， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】解题核心是构造辅助线连接并延长，通过设元法表示角平分线分出的角，利用平行线性质和三角形内角和建立方程，通过联立消元消去未知角，直接得到与的数量关系． 43．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 【答案】 /35度 /45度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1） 平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2） 平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 44．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则________． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为________． 【答案】 30 【知识点】求不等式组的解集、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、解不等式等知识点，画出图形发现当为锐角时，点D在的内部成为解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答； （2）先画图发现当为锐角时，点D在的内部；然后根据三角形内角和定理、角平分线的定义得到，再根据为锐角列不等式并结合实际意义即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． （2）如图：当为锐角时，点D在的内部，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵为锐角， ∴，解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 45．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线，分别交于，两点，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在直线，之间，连接，，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，的角平分线交的角平分线于点，过点作的垂线交于点，点为垂足，若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， 又， ∴， ∴． (2)证明：如图所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）利用对顶角相等和已知条件可得，从而得到； （2）过点作，利用平行线的性质可得，，即可得证； （3）由平分，平分可得，设，，则，由（2）得：，由可得代入可得，进而即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵平分，平分， ∴，，， ∵，， ∴， 设，，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 将代入得：，解得：， ∴． 💯 课后巩固 复习建议 · 对照知识梳理，先默写平面直角坐标系象限符号、对称点与平移规律，再做3道坐标规律题巩固 · 整理一次函数 k、b 符号与图象象限的对应表，用5道图象判断题检验 · 归纳待定系数法求解析式的两步流程，重做讲义中面积与交点题各2道 · 总结平行线与三角形角度题的常用辅助线（作平行线、设角），完成考点6、7错题订正 · 限时完成课后巩固15题（建议25分钟），对照答案逐题改错，标注仍不熟练的考点 【作业1】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【知识点】坐标系中的平移 【分析】通过题意画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 有2个整点， 图1有3个整点， 图2有4个整点， 图3有6个整点， ∴甲、丙答案合在一起才完整，故选：B． 【作业2】（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板（，）按如图所示方式摆放，与交点为P，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线的性质得出内错角相等，根据直角三角形的两个锐角互余得出角的度数，最后利用三角形的内角和定理及对顶角进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【作业3】（25-26八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（        ） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】构造二元一次方程组求解、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可得，再求出，则．设，则，，根据，建立方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点，， ∴， ∵，即 ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴ 解得： ∴的面积为 故选：C． 【作业4】（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为2，宽为1．将长方形沿轴翻转1次，点落在点处，翻转2次，点落在点处，翻转3次，点落在点处（点与点重合），翻转4次，点落在点处，以此类推…翻转2026次后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】探究点坐标的变化规律，发现每4次翻转为一个循环周期，横坐标增加6，纵坐标循环变化，利用规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为2，宽为1 ， 第1次翻转，点落在处，坐标为， 第2次翻转，点落在处，坐标为 ， 第3次翻转，点落在处，与重合，坐标为 ， 第4次翻转，点落在处，坐标为 ， 此时长方形回到初始相对位置，完成一个循环 ， 每4次翻转为一个循环，横坐标增加，纵坐标按循环， ， 的纵坐标与相同，为0 横坐标为， 的坐标为 ． 【作业5】（2026八年级上·全国·专题练习）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算、点坐标规律探索 【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后得出规律：当为奇数时，，当n为偶数时，，根据规律解答即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ∴当为奇数时，，当n为偶数时，， ∴． 【作业6】（25-26七年级上·河南郑州·期中），，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 【答案】 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】根据已知条件，队单循环每队踢场，没输过、没赢过、胜，积分满足且各不相同，逐步推导各队胜负即可得到结论． 【详解】解：已知战胜了，且没赢过， 至少胜平，积分至少得分． 支球队中只有没输过，说明输过， 则可能是胜负、胜平负、胜平负、胜平负，对应积分为分、分、分、分． 至少得分，且， 至少为分， 可能是胜负、胜平负，对应积分为分、分． ，且没输过，则只可能是胜平、胜平，对应积分为分、分． ①若为胜平，此时的积分为分， ， 只能为胜负，此时的积分为分，即负，胜、、， 则负、负，而比得分多， 至少得5分，但此时最多胜平负，积分最多为分，与至少得5分相矛盾， 故该情况不符合题意，舍去． ②若为胜平，为胜负，此时的积分为分，的积分为分， 至少得分且， 一定得分，只能是胜平负，结合负分类讨论： 当胜平平时，与为胜负矛盾； 当胜平平时，与为胜平，为胜负均矛盾； 当胜平平时，结合为胜负，可得胜，与为胜平矛盾； 故该情况不符合题意，舍去． ③若为胜平，为胜平负，此时的积分为分，的积分为分， 、、的积分应分别是分、分、分， 结合积分且各不相同，推导各队赛果和积分： ：平，胜，胜，负，总积分分； ：平，胜，平，平，总积分分； ：胜，平，负，平，总积分分； ：胜，负，负，平，总积分分； ：平，平，平，负，总积分分； 该结果满足所有题干条件，只输给，因此战胜的只有队． 【作业7】（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“逆和差变化”点的坐标为，则关于的“逆和差变化”点的坐标为_____；若点关于点的“逆和差变化”点在直线上，其中，则k的取值范围为_______． 【答案】 或 【知识点】求不等式组的解集、写出直角坐标系中点的坐标、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查平面直角坐标系中的新定义坐标变换，以及一次函数与不等式组的综合应用． （1）根据“逆和差变化”的定义，代入坐标计算即可得到变换后的点坐标； （2）先求出点的“逆和差变化”点坐标，代入直线方程后，通过方程变形得到关于的表达式，再结合的取值范围分情况解不等式，从而推导的取值范围． 【详解】解：根据“逆和差变化”定义，将与代入， 得，，故变化点坐标为； 点关于的“逆和差变化”点坐标为，化简得， 代入直线得：， 整理得到：，∴，且． ∵，∴， ∴当，即时，不等式组为，解得； 当，即时，不等式组为，解得． 综上，的取值范围为或． 故答案为：；或． 【作业8】（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为个单位长度，这时点，，，的坐标分别为，，，．则 （1）点的坐标为__________； （2）点的坐标为__________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据图形可知点的位置每个点一个循环，横坐标为脚标数减，根据，，得到与的纵坐标相同，与的纵坐标相同，即可得解． 【详解】解：，，，， 根据图形可知点的位置每个点一个循环，横坐标为脚标数减． ，， 与的纵坐标相同，与的纵坐标相同， 点的坐标为，点的坐标为． 【作业9】（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________． 【答案】或 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 【作业10】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为___________，点的坐标为___________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意得： 、、、，……，由此发现；再发现、、、，……，则即可解答． 【详解】解：根据题意得：、、、，……， 由此发现：下标为偶数的点的坐标规律为， ∵， ∴，即； ∵、、、，……， ∴下标为奇数的点的坐标规律为， ∵， ∴点的坐标为，即． 【作业11】（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 【答案】3 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，再根据得出，，即可求出的面积，再由，即可求出的面积． 【详解】解：为的中点，， ， ， ，， ， ， ． 【作业12】（2026八年级上·全国·专题练习）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，平分平分，求的度数； (2)如图2，平分平分的反向延长线交于点P； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点G在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①； ②∵， 同①设，则， ∴， ∴ ； (3)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可求解； （2）①设，结合三角形外角的性质，即可；②设，结合三角形外角的性质即可得到答案； （3）设，则在中，，分两种情况求解即可 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， 在中，； （2）①∵平分平分， ∴设， ∴， ∴是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略； （3）（3）设， ∵的角平分线为， ∴设， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴当的某一个内角是的2倍时，有以下两种情况： ①当时，则，此时； ②当时，则， 解得，此时， 综上所述：的度数为或． 【作业13】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点． (1)若，_______； (2)若，_______； (3)如图，若再分别作与的平分线，且两条角平分线交于点，试求的度数； (4)在（3）的条件下，如图，射线在的内部且，设与的交点为，射线在的内部且，射线与交于点，若、和满足的数量关系为（、为常数），请直接写出、的值：________，________． 【答案】(1) (2) (3) (4)4， 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和可求解与的度数，根据角平分线的定义可得与的度数，再由三角形内角和为计算即可； （2）根据三角形内角和可表示与的度数，根据角平分线的定义可得与的度数，再由三角形内角和为计算即可； （3）设，根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和的关系求解即可； （4）设，先得到，再根据，列出角度的关系，列关于、的二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中，，， ，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， 在中，，， ； （2）解：如图， 在中，，， ，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， 在中，，， ； （3）解：设， 平分，平分， ， ， ①， ， ②， 由①②得， 解得，即； （4）解：如图，设， 由（3）得，； ， ， ①， ， 又，， ②， 将①代入②得， ， ， ，解得． 【作业14】（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：平分， ， 又∵， ； (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再结合运用三角形外角的性质即可解答； （2）设，则，易得、，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ， 在中，， ，解得：． ． 【作业15】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $