第12章·函数与一次函数·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第12章·函数与一次函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解函数新定义题型的解题策略，能将题目给出的新定义转化为一次函数模型求解 · 熟练解读动点与行程问题的函数图象，从图象特征反推运动过程与数量关系 · 掌握一次函数图象与k、b符号的对应关系，能解决图象判断与交点范围类压轴题 · 熟练运用待定系数法求一次函数解析式，解决交点、面积、面积平分等综合问题 · 突破一次函数与几何图形（正方形、矩形、旋转）综合及综合与实践压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.新定义题型的解题策略 新定义题的关键：先逐字读懂题目给出的新概念（如「顶峰函数」「中位线」「斜关点」），再把定义翻译成数学式子 定义中出现「对于任意x都有…」时，通常转化为不等式恒成立问题，比较两个函数值的大小 遇到几何新定义（如关联点、扩点），先按定义把点的坐标关系列出来，再代入函数解析式 新定义压轴题的最后一问往往是前两问方法的迁移，不要被陌生名词吓住 概念辨析例题：定义：对于一次函数y=kx+b，若当1≤x≤3时，函数值始终大于2，则称该函数为「跨越函数」。已知一次函数y=(m-1)x+3是跨越函数，求m的取值范围。 答案：m>0 解析：一次函数是单调函数，要使1≤x≤3时函数值始终大于2，只需区间端点处的函数值都大于2。当m-1>0时，最小值在x=1处：(m-1)+3>0，解得m>-2；当m-1<0时，最小值在x=3处：3(m-1)+3>0，解得m>0。综合两种情况，取两者交集得m>0。 ☆ 2.动点与行程问题的图象解读 动点问题图象：横轴通常是时间t，纵轴是线段长或距离，图象的每一段对应动点的一段运动过程 图象为水平线段时，表示动点在该段路程上停留或对应的线段长不变 两图象交点表示两个动点在同一时刻到达同一位置（相遇或追及） 行程问题中速度=图象斜率的绝对值，停留=水平段，往返=图象折回 概念辨析例题：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车到达B地后立即原路返回。下列图象中，表示甲、乙两车之间的距离y与行驶时间t关系的是（　　） 答案：先下降（相遇前距离缩短），相遇后上升（背向而行），甲车到达B地后折回时图象斜率变大的折线 解析：相遇前两车距离随时间减小，图象下降；相遇后继续背向而行，距离增大，图象上升；甲车到达B地后返回，相对速度改变，图象斜率发生变化。抓住「下降—上升—斜率改变」三段特征。 ☆ 3.一次函数图象与k、b符号 k>0时直线上升，必过一、三象限；k<0时直线下降，必过二、四象限 b>0直线交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴，b=0过原点 直线经过象限的组合：k>0,b>0过一二三；k>0,b<0过一三四；k<0,b>0过一二四；k<0,b<0过二三四 两条直线的位置关系：平行⟺k相等；垂直⟺k互为负倒数（初中了解）；交点即联立方程组的解 概念辨析例题：若直线y=(m-2)x+m不经过第四象限，则m的取值范围是（　　）A．m>0　B．0≤m≤2　C．0<m≤2　D．m≥2 答案：C 解析：不经过第四象限时，直线需上升（k>0）且与y轴交于正半轴或原点（b≥0）。即m-2>0且m≥0，得m>2；但还要考虑m=0时y=-2x过二四象限（经过第四象限，舍去）……正确范围为0<m≤2，对应C。 ☆ 4.几何综合与压轴解题通法 正方形、矩形放置在坐标系中的问题：先由已知点坐标求直线解析式，再利用直线与坐标轴的交点求下一个图形的顶点 旋转问题：绕某点旋转90°时，对应点的横纵坐标互换并变号，结合待定系数法求解析式 面积问题：用割补法把不规则图形面积拆成几个三角形或梯形，用坐标表示底和高 综合与实践题：逐小问攻克，后一问通常要用到前一问求出的解析式或结论 概念辨析例题：正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、…按如图方式放置，点A₁、A₂、…在直线y=kx+b上，点C₁、C₂、…在x轴上。已知B₁(1,1)、B₂(3,2)，求点Bₙ的坐标。 答案：Bₙ(2n-1，2n-1) 解析：由B₁(1,1)得A₁(0,1)，由B₂(3,2)得A₂(1,2)。代入y=kx+b解得k=1,b=1。观察规律：B₁(1,1)=(21-1,20)，B₂(3,2)=(22-1,21)，归纳得Bₙ(2n-1,2n-1)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 函数新定义 把题目给出的新概念翻译为一次函数解析式或不等式 逐字读定义，注意「任意」「始终」对应恒成立 动点图象 t为横轴、距离/线段长为纵轴，每段折线对应一段运动 水平段=停留；斜率=速度；交点=相遇 k、b符号 k定升降、b定上下，组合决定直线经过象限 k=0不是一次函数；过原点则b=0 待定系数法 设y=kx+b，代入两点坐标解二元一次方程组 正比例函数只需一个非原点的点 面积问题 割补为三角形/梯形，底高用坐标差表示 注意点在x轴上时纵坐标为0 几何综合 先求直线解析式，再由交点递推图形顶点坐标 旋转90°坐标互换变号，画图辅助 ⚠️ 核心考点 【考点1】新定义与概念辨析题（第1-7题） · 逐字拆解新定义，把文字描述翻译成代数式或不等式 · 「对于任意x恒成立」转化为区间端点处取最值 · 几何类新定义先列坐标关系，再代入函数解析式验证 · 新定义压轴最后一问注意迁移前两问的方法 1．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则并结合一次函数的性质即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，故正确； 当，即时， 由得，， 解得， ∴不等式无解，该情况不存在； 当，即时， 由得，， 解得， ∴，故正确； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴点到轴的距离大于； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴点到轴的距离大于； ∴点到轴的距离大于，故正确； ∴说法中正确的个数为个， 故选：． 2．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题根据新定义可知，“巅峰值”就是函数在自变量范围内的最大值，“顶峰函数”就是函数在自变量范围内存在最大值，结合一次函数的性质，逐个判断即可得到结果 【详解】解： ①对于， ∵随增大而减小， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，①正确； ②对于， ∵，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为，②正确； ③对于，巅峰值为，即最大值为，分情况讨论： 当时，随增大而增大，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，随增大而减小，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，，最大值为，不符合题意， ∴不存在满足条件的，③错误； ④对于， ∵，随增大而减小， ∴函数最大值为，最小值为， ∵巅峰值是，∴， ∵最小值不超过，∴， 将代入不等式得， 化简得，解得， 又，即，解得， ∴， ④错误； 综上，①②正确，共个正确说法，故选B 3．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是______；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是_______． 【答案】 或 【知识点】画一次函数图象、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求两直线交点，理解新定义、数形结合是解题的关键；求出直线，的交点即可求解；首先确定的图象并画出，数形结合即可求解． 【详解】解：，得，则； 即直线，交于点； 又直线，交于点， 所以若，则； 当时，，即交点为；同理交点为； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图； 此时； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图； 此时； 若，则对应射线与射线，如图； 此时或； ∴的图象为射线，线段，线段及射线组成，但不包括A、M、B三点； 如图，与直线有4个交点， 当射线：与线段相交时，则交点数为4个； 当经过点B时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 当射线：与线段相交时，则交点数为4个，如图； 当经过点A时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 综上，与直线有4个交点，则b的取值范围为或． 故答案为：；或． 4．（24-25九年级上·海南·阶段检测）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为．已知平面直角坐标系中，点、．若存在点，使得点是一对“斜关点”，点，也是一对“斜关点”，且，则点的坐标为______． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要了考查新定义——“斜关点”．解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握，解绝对值方程． 设，由根据“斜关点”定义列方程，解方程即可得到答案． 【详解】设点， ∵点、，点A、E是一对“斜关点”， 点B、E也是一对“斜关点”，且， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点E的坐标为或． 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·辽宁·期中）例如：在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，直线 ：交x轴于点，交y轴于点A，点C为x轴上一个点； (1)直线经过点， ①______，若在直线上，则比较t与6的大小：t_____6； ②如图1，当点C坐标为时，点B恰好为的关联点，求直线的解析式； (2)若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证:轴． 【答案】(1)①6，；② (2) 证明：， ， 为的中点， ， 将点代入中，， 解得， 直线的解析式为：， 设， ， ， ， 过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接， ，， 绕点逆时针旋转至， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 轴． 【知识点】求点到坐标轴的距离、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，弄懂定义是解题的关键． （1）将代入，求的值，将代入中，可得； 作于，则，由等积法可得，求出，得到点，将点代入中，求出的值即可求解析式； （2）由题意可得，，将点代入中，求得，则直线的解析式为：，设，求出，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接，证明，得到，可知轴． 【详解】（1）解：将代入， ， 将代入中， ， ， ， 故答案为：6，； ，， ， 作于， 点恰好为的关联点， ， ，， ， ， ， ， ， 将点代入中，， 解得， ； （2）略 6．（24-25八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． (1)如图1，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； (2)已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、中点坐标 【分析】（1）结合图形，可知，的中点在原点，符合题意；求得点，的中点为，接着求得与的中点并发现这个中点落在线段上，从而得出答案； （2）①当，，时，那么，，，，直线：，可判断四边形是矩形，在矩形上存在点，使线段的中点在线段上，那么可知，可落在线段，，上，然后分别求得当在线段，，上时，的范围即可；②当，时，，，直线：，通过为线段的中点，得到，接着判断四边形是正方形，当时，设点关于点的对称点为， 那么点， 那么当直线l过点时，直线的斜率最大，即取得最大值， 当时，设点关于点的对称点为，那么点，那么当直线l过点时，直线的斜率最小，取得最小值，当时，也符合题意，最后求得答案． 【详解】（1）解： ，， 和的中点为，符合题意； 点，， 点，的中点为， 与的中点为，即， 在线段上， 关于线段的“扩充点”是，， 故答案为：，； （2）解：已知点，，，，其中，直线：，其中，，， ，，，，直线：， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 直线：，代入，；代入，， 由题意可知，在矩形上存在点，使线段的中点在线段上，那么可知，可落在线段，，上，如图所示： 不妨设， 当在线段上，当的中点为点时，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 在线段上， 纵坐标为2，即， ，，， ， ， 在第三象限， ， ； 当的中点为点时，如图所示： 此时在第二象限，，解得， 那么当在线段上，； 当在线段上，使线段的中点落在线段，如图所示： 那么； 同理可求得落在线段上，， 综上， ； ②当，时，，，直线：， ， ，，为线段的中点， ， ， ，， ， ，，，， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 直线：，时， 直线一定过， 当时，设点关于点的对称点为， 那么点， 如图所示： 若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，那么当直线l过点时，直线的斜率最大，即取得最大值， 将代入，得，解得，（舍去）； 当时，设点关于点的对称点为，那么点，如图所示： 若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，那么当直线l过点时，直线的斜率最小，取得最小值， 将代入，得，解得，（舍去）； 当时，，，，，直线为，如图所示： 借助图象，可知在可找到与的中点落在点上，那么满足题意； 综上，． 【点睛】本题考查了一次函数几何综合，一次函数的图象与性质，中点坐标，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并理解“扩充点”是解题的关键． 7．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 【答案】（1）、； （2）； （3）如图所示： 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、两直线的交点与二元一次方程组的解、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，理解题意． （1）点，，的坐标适合关系式的，即为点的和差点； （2）设，根据新定义得出点Q在直线上，联立，解方程组即可； （3）设点的和差点Q的坐标为，分三种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，分别求出点Q所在的范围即可得出答案． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴在直线上， 把代入得：， ∴不在直线上， 把代入得：， ∴在直线上， ∴点的和差点为、； （2）设， ∵点是点的一个和差点， ∴， 整理得：， ∴点Q在直线上， 又∵点在直线， ∴联立， 解得：， ∴点的坐标为； （3）设点的和差点Q的坐标为， 当点P在边上时，设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线直线的解析式为：， 设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∴此时点的和差点Q在直线上； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 综上分析可知：点的和差点Q在直线和之间 【考点2】函数图象的动点与行程信息（第8-10题） · 先看横纵轴实际意义，再分段分析上升/下降/水平 · 图象斜率对应速度，水平段对应停留 · 两图象交点=相遇或追及时刻 · 甲车往返类问题注意折回后斜率符号变化 8．（2026·河南商丘·二模）如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（   ） A． B． C．若，则对应4个不同的x值 D．当的面积为4时，或 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】选项A，根据点P在图1中段、段运动时，对应图2中的线段、曲线，即可判断； 选项B，当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N，即知，再根据勾股定理的逆定理，即可判断； 选项C，分点P在图1中、及上三种情况，分别求出时对应的x值，即可判断； 选项D，分点P在图1中、上两种情况，根据的面积为4，分别列方程求解，即可判断． 【详解】解：由两个图形的对应关系可知，点P在图1中段运动时，对应图2中的线段， 即时，， ， 点P在图1中段运动时，对应图2中的曲线，即， 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， 即， ， ， 选项B正确，不符合题意； 当时， 若，则； 当时， 若，则； 当时，点P在上运动，对应图2中点N右侧的线段， 过点A作于点H， ， ， 当点P在点H的左侧时，， ， 此时； 当点P在点H的右侧时，同理可得， ， 此时； 综上所述，x值有4个， 选项C正确，不符合题意； 当时， 过点P作于点M， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 当时， 过点P作于点N， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 综上所述，当的面积为4时，或， 选项D错误，符合题意． 【点睛】此类问题在解答时应着重理解两个图形之间的对应关系，包括对图形中转折点的含义的理解． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查圆柱体的体积计算、匀速注水函数分段分析、函数图像的信息提取．熟悉圆柱体的体积计算公式，匀速注水的函数分段分析：利用“均匀注水”的特点，通过时间与体积的对应关系计算注水速度，分段函数图像的信息提取：从图像中识别不同注水阶段的时间、高度变化，对应几何体的结构变化，体积差的转化：注水体积=容器内对应高度的体积-几何体占据的体积，是解题的关键． 根据图像可分三个部分：漫过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式，解方程即可． 【详解】解：根据函数图像可知圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为， 可列方程为， 解得， 即匀速注水的水流速度为， ∵“几何体”下方圆柱的高为， 可列方程为， 解得， ∴“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 可列方程为， 解得， ∴“几何体”上方圆柱的底面积为． 故选：． 10．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）甲，乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A 地的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．甲车速度与乙车速度的比为3：2 B．甲，乙两车在途中两次相遇的时间间隔为7.5min C．第二次相遇时间是第14 min D．出发后，乙车比甲车先到达A地 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数图象的理解，行程问题中的速度、路程和时间关系及相遇问题．根据题中给出的图象逐一分析每个选项，选择出正确选项即可． 【详解】解：设A，B两地的距离为S km，则由图象可知甲车的速度为，乙车的速度为，所以甲车的速度与乙车的速度比为，故A错误； 由图象可得甲车离A地距离与时间x之间的函数表达式为 ， 乙车离A地距离与时间x之间的函数表达式为 ， 当时，联立与的表达式，得， 解得， 即第一次相遇的时间是第7.5min， 当时，联立此时的与的表达式，得， 解得， 即第二次相遇时间是第15 min， 则甲、乙两车在途中两次相遇时间间隔是：，故B正确，C错误； 由图象可知甲车出发后第20分钟返回A地，乙车出发后第30分钟返回A地，所以甲车先到达A地，故D错误． 故选：B． 【考点3】一次函数图象与k、b符号（第11-15题） · 由直线经过的象限反推k、b的符号组合 · 「不经过某象限」等价于k、b符号的不等式组 · 多条直线共存时用排除法验证每个选项 · 含参数的直线过定点问题：整理成y=k(x-a)+b形式找定点 11．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 12．（25-26八年级下·重庆万州·期末）若关于的方程无解，且一次函数不过第四象限，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】先根据分式方程无解求出所有可能值，再根据一次函数的性质得到的取值范围，筛选出符合所有条件的即可． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 整理得，； ① 整式方程无解：此时系数，得； ② 整式方程的解为增根：分式方程的增根满足，即， 将代入，得，解得； 因此分式方程无解时，的可能值为或； ∵一次函数不过第四象限， ∴，解得； ∴． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，可知，，可得，所以直线的图象经过一、二、三象限． 【详解】解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 14．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象、判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数的性质及一次函数的性质，根据正比例函数图象的位置确定a的取值范围，再根据图象与系数的关系确定一次函数的位置即可得出答案． 【详解】解：A项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； B项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项符合题意； C项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； D项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项不符合题意， 故选：B． 15．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知、，直线与线段的延长线（交点不包括）相交．则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，先求出直线的解析式，找出两临界点即可得出答案，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设直线解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线过定点， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 将直线绕点旋转，当直线与直线平行时，； 当直线过点时，； ∴的取值范围为， 故选：． 【考点4】一次函数的实际应用（第16-19题） · 分段函数先求每段解析式，注意自变量取值范围 · 计费/销售问题：销售收入与成本图象的交点=盈亏平衡点 · 方案比较先求两方案解析式，再算临界点分情况讨论 · 图象题优先从图中读取已知点坐标 16．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． 对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断； 对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度； 对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可； 对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可． 【详解】解：对于①， 由图可知， 当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢， 所以①错误； 对于②， 甲减速后的速度为（千米小时）， 所以②正确； 对于③， 乙的速度为（千米小时）， 根据题意，得 解得 所以当时，甲、乙两队相遇， 所以③正确； 对于④， 设减速前甲队的函数关系式为， 把代入，得， ， 减速前甲队的函数关系式为， 设减速后甲队的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 所以减速后甲队的函数关系式为， 设乙队的函数解析式为， 把代入，得， ， 所以乙队的函数解析式为， 当时，令 解得（舍去）； 当时，令， ， 或， 解得或， 所以④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故选：D． 17．（25-26八年级上·山东济南·期中）在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键； 根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④； 【详解】解：由图象可得：，两地相距为，故①正确； ∵货车的速度为：， ∴货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为， ∵在图象上， ∴， 解得：， ∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故②正确； 设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， ∵在图象上， ∴，解得：， ∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故③正确； 由相遇得：， ∴， ∴， ∵，∴符合题意， 即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 18．（25-26八年级下·重庆·期中）车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距． 【答案】4或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】由图象时，得甲乙两地总路程为；因为A车走完全程，所以用速度公式可求A车速度．由图象时，可知B车走完全程需要，所以用速度公式可求B车速度．两车同时出发相向而行，相遇时两车路程和为总路程，所以用相遇问题公式可求相遇时间，即C车的出发时间．设C车行驶时间为小时，分两种情况：如果C车还没追上B车，那么B车比C车多走的路程为，列方程求解；如果C车追上B车后超出，那么C车比B车多走的路程为，列方程求解． 【详解】解：由图象和题意可知，甲乙两地距离为，A车10小时走完全程， ∴A车速度： ， B车20小时走完全程，因此B车速度： ， 两车同时出发相向而行，相遇时间为： ， B车从乙地出发开往甲地，相遇时B车距离乙地的路程为： ， 设C车行驶小时后，与B车相距．C车速度等于A车速度，从乙地出发和B车同方向， ∴ 小时后，C距离乙地：，B距离乙地： 两车距离满足： 即， 分两种情况： 未追上B车时： 解得， 追上B车后：，解得． 两个解均符合实际行程， ∴答案为或． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．该产品的销售量超过______吨时，生产该产品才能盈利． 【答案】4 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用；解题的关键是理解两直线交点的实际意义，交点处销售收入等于销售成本，超过该点则开始盈利． 先找到直线与的交点，交点的横坐标即为盈亏平衡点，当销售量超过该值时，销售收入大于销售成本，开始盈利． 【详解】解：由图可知，直线与的交点坐标为， 即当销售量为吨时，销售收入等于销售成本； 当销售量吨时，在上方，即销售收入大于销售成本，产品开始盈利． 故答案为：． 【考点5】待定系数法与交点、面积问题（第20-26题） · 设y=kx+b，代入两个已知点坐标解方程组 · 两直线交点=联立解析式解方程组 · 面积问题用割补法，坐标差作底和高 · 直线平分三角形面积必过一边中点 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、一次函数与几何综合 【分析】先根据平行于y轴的直线性质求出点B、C的坐标，得到的长度表达式，再结合绝对值不等式恒成立的条件，通过分类讨论转化为关于k的不等式，进而求出k的取值范围． 【详解】解：过点作平行于y轴的直线为， 将代入，得， 将代入，得， 两点横坐标相同，为纵坐标差的绝对值， ， 由题意，在时，恒成立， 即，化简得， 情况1：当时，，不等式恒成立 情况2：当时， ， 不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 对于恒成立： ，越大越大，当时取最大值为：， ，解得， 对于恒成立，解得， ， 的取值范围为且． 21．（25-26九年级上·河南郑州·期末）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．当时，甲、乙物质的溶解度相同 B．在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小 C．当时，用等质量的甲、乙物质分别配制成饱和溶液，甲物质需要的水的质量更多 D．当时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象的分析与应用，结合曲线的横纵坐标含义，曲线走势，分析出温度、溶解度、溶液状态之间的关系，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：A项：当温度等于时，甲种物质的溶解度和乙种物质的溶解度相等，故该选项说法正确，不符合题意； B项：温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小，故该选项说法正确，不符合题意； C项：当温度高于，低于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，因为乙的溶解度比甲大，所以甲需要水的质量更多，故该选项说法正确，不符合题意； D项：在中，甲物质的溶解度明显大于乙物质的溶解度，故该选项说法错误，符合题意， 故选：D． 22．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知一次函数，当时，，则a的值为______． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，， 当时，， ∴． 23．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，直线与直线在第一象限的交点为，且，则的值为________． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合 【分析】设点，点，根据，得到，，从而得到，代入正比例函数的解析式可得，将点代入一次函数的解析式，可得，继而得到答案． 【详解】解：设点，点， ∵一次函数，当时，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴，即，解得：， ∵点在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴． 24．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象平行于直线，且经过点，点是函数图象上一点，下列描述： ①，； ②； ③若直线分别交轴，轴于点，，将的面积分成两部分，则直线的解析式为或； ④若与的图象围成的三角形的面积为4，则； ⑤当时，对于的每一个值，的函数值大于的函数值，且小于的函数值，则的取值范围为． 其中正确的是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合 【分析】根据直线平行，得，过点，得，可判断①，根据垂线段最短，计算可判断②；分类思想，待定系数法，计算可判断③；解绝对值方程，得到函数的分段图象，计算出交点的坐标，表示图形的面积，计算可判断④；根据一次函数的性质，结合不等式的意义，求解即可； 【详解】解：函数的图象平行于直线，且经过点， ，， 解得， 故①正确； 设直线分别交轴，轴于点，，则，， ， ， 当时，取得最小值， 根据题意，得， ， ， 故②正确； 设直线分别交轴，轴于点，，根据②知，， ， 将的面积分成两部分， ， 当时，过点P作于点C， ， 解得， 故点P的横坐标为1， 直线经过点P， ， ， 设直线的解析式为， ； 当时，过点作于点D， ， 解得， 故点的纵坐标为1， 直线经过点， ， 解得 ， 设直线的解析式为， 解得 ； 故直线的解析式为或； 故③错误； 根据题意，得， 设的图象与的图象交点为M，N， ， 解得 故， 轴， ， 解得或（t为正数，舍去） 故； 故④正确； 当时，，经过点时，得， 当时，对于的每一个值，的函数值大于的函数值， ， 解得； 根据题意，得的函数值小于的函数值， ， 解得， 则的取值范围为． 故⑤错误 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为__________． 【答案】0 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的单调性，分、两种情况讨论，最大值出现在区间端点，代入求值并验证条件是否满足即可． 【详解】解：一次函数 中 当 时，即 时，在时，随着的增大而增大， 最大值在处，代入得 ， 令 ， 解得 ，满足 ，符合题意； 当 时，即，在时，随着的增大而减小， 最大值在处，代入得 ， 令，解得， 但，不满足 ，故舍去； 综上所述，实数的值为． 故答案为：． 26．（26-27九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围_____________． 【答案】或 【知识点】不等式的性质、由一元一次不等式组的解集求参数、判断一次函数的图象、根据一次函数增减性求参数 【分析】题目要求时，恒大于两个一次函数，整理不等式后分情况讨论一次项系数，结合恒成立条件求解的范围． 【详解】解：①， 整理，得， 当时，不等式恒成立，符合题意； 当时，设， 由题意可知，当时，一次函数恒大于， ∴一次函数的图象为上升趋势，且在处不小于，即， 解得， ∵，且符合题意， ∴或； ②， 整理，得， 当时，不等式恒成立； 当时，设， 由题意可知，当时，一次函数恒大于， ∴， 解得， ∵，且符合题意， ∴或； 综上所述，的取值范围为或． 【考点6】一次函数与几何图形综合（第27-34题） · 正方形/矩形放在坐标系中，先求直线解析式再递推顶点坐标 · 旋转90°对应点坐标互换变号 · 最短路径问题转化为轴对称+两点之间线段最短 · 动点在直线上时，设动点坐标代入解析式消元 27．（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵直线与轴的夹角为，， ∴直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为， 代入点，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ∴，把代入，得， ∴的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得的坐标为， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故选：A． 28．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ______；当的值取最小值时，点的坐标为 ______． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，待定系数法求解析式，两点之间线段最短，由一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，求出，，作轴于，使得，连接，，证明，则，由，当在上时，最小，在求出直线为，直线为，联立得，求出，然后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则， ∴，， 又∵点的坐标为，， ∴，， ∴， 如图，作轴于，使得，连接，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 同理可得：直线为， ∴联列方程组， ∴， ∴， ∴的纵坐标为：． ∴， 答案为：；． 29．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作于交于，把代入可得直线，设点坐标为，由可得，即得点坐标为，进而得点，点，分别把的坐标代入，求出的值即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作于交于， ∵直线经过点， ∴， ∴直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴点，点， 把点代入得，， 解得； 把点代入得，， 解得； ∵点落在矩形的内部（不含边界）， ∴， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·全国·阶段检测）如图点是直线上的一动点，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的坐标为，连接，过点作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、垂线段最短、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，过作轴于点，过作于点，过作，交轴于点，过作于点，根据角平分线性质得：，则可知：点在直线上运动，作点关于直线对称点，连接，当点，三点共线时，即轴时，有最小值，然后证明，最后根据性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作于点，过作，交轴于点，过作于点， ∴， 由得，， ∴， ， ∴， ∴根据角平分线性质得：， 则可知：点在直线上运动， 作点关于直线对称点，连接， ∴ ∴当点，三点共线时，即轴时，有最小值， ∵点坐标为，点的坐标为， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【详解】解：点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案为： ． 32．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形．由一次函数与坐标轴的交点得出点的坐标为，再由正方形的性质得出点的坐标为，同理即可得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，总结出规律，即可得解． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为（为正整数） ∴的面积是， 故答案为：，． 33．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)求的面积； (3)若动点在直线上，点在第一象限，且在直线上，若点是等腰直角三角形的直角顶点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，求一次函数与y轴的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得点D的纵坐标为3，根据一次函数解析式可求出点D和点E的坐标； （2）设与轴的交于点，求出点F的坐标，根据求解即可； （3）分两种情况：点在点下方和点在点上方，过点作轴于点，延长交直线于点，利用一线三垂直模型证明，得到，再根据点A，点G和点H的坐标建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，轴， ∵点的坐标为， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，，当时，，解得， ∴点，点； （2）解：设与轴的交于点， 在中，当时，，解得， 点， 由题意得，轴， ∵点的坐标为， ∴， ， ； （3）解：设， ①若点在点下方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点，则， ∴ 又点是等腰直角三角形的直角顶点， ， ， 又， ， ， ； ∵， ∴ ∴， ， 解得． ， ； ②若点在点上方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 同理可证， ∴． 同理可得， ∴， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 34．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在长方形电子屏中，，，动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边，以的速度向点运动，随着的移动，逐渐展开主体广告画面．设点的运动时间为（单位：），展开的画面面积为（单位：） (1)当时，． (2)写出展开的画面面积关于点的运动时间的函数表达式； (3)当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时未展开的画面面积． 【答案】(1)32 (2) (3) 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数关系、三角形面积公式以及长方形面积公式，熟练掌握分段讨论动点位置并正确应用面积公式是解题的关键． （1）先判断时点的位置，再利用的面积和公式计算展开的画面面积 （2）分点在上运动和在上运动两种情况，分别用和的面积公式建立与的函数关系． （3）先求出电子屏总面积，再根据展开面积达到总面积的条件，分情况求出开始播放的时间，计算时的展开面积，最后用总面积减去该值得到未展开面积． 【详解】（1）解：如图，连接， ，在上运动的时间为， ， 点在上，， ， 故答案为：； （2）解：如图，当时，点在上，， ， 如图，当时，点在上，，连接， ， ∴； （3）解：电子屏总面积：展开面积达到时，， ， 解得， 播放结束时， ∴ ∴未展开面积： 【考点7】综合与实践压轴题（第35-45题） · 逐小问攻克，后一问使用前一问的结论或解析式 · 新背景（漏刻、快递、口罩）先抽象出一次函数模型 · 存在性问题先假设存在，列方程检验 · 压轴题答题要写清推理过程，分步得分 35．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 【答案】(1)直线：； (2) (3) (4)或 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，勾股定理，利用平方根解方程． （1）设直线表达式为，将点，代入即可求出的表达式为：；当时，，结合图像即可判断自变量x的取值范围； （2）联立两方程求解即可； （3）先求出，再分两种情况讨论即可； （4）分两种情况根据勾股定理列一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得： ∴的表达式为：； 当时，， 即 观察图象可知，当直线在x轴上方时，； （2）解：∵，交于点A， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：在直线：中，当时，，即 当时， 当经过A时，即， 解得， 当经过C时，， 即； 当时，直线 与y轴负半轴相交，不符合题意； 综上所述，； （4）解：当E在线段上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 当E在线段的延长线上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 36．（24-25七年级上·重庆开州·期中）已知：平面直角坐标系中，如图1，点，铀于点，并且满足，． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点为线段的中点，连并作，且，连交轴于点，求证：． (3)如图3，点为点的左边轴负半轴上一动点，以为一边作交轴负半轴于点，连，将沿直线折叠，点的对应点为点，点在轴上，点是轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) 解：是等腰直角三角形． 理由如下： ， ，， ，， 点的坐标为， 轴于点， ，， 是等腰直角三角形； (2) 证明：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， 点为线段的中点，， ， ， ，，， ， ， 又， ； (3)． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、一次函数与几何综合、全等的性质和HL综合（HL）、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）先根据非负数的性质求出、的值，求出点的坐标后求出、的长度，再根据轴于点即可判断出的形状； （2）过点作轴于点，推出判定的条件，根据全等三角形的性质求出、的长，判定即可求出的长，易得结论； （3）作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出点的坐标，然后分别求出和的面积即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 此时的周长最小， 过点作轴，连接， 四边形为正方形， ， 又，， ， ， ∵，， ， 设直线的解析式为， 把点，点分别代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ，， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 37．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）模型建立：如图1，在等腰直角中，，，经过点，，，求证：． 模型应用：如图2，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以点为直角顶点在第二象限作等腰直角，求出直线的函数关系式． 拓展应用：如图3，在长方形中，点，点是线段上的一动点，，已知点在第一象限，是直线上的一点，若是等腰直角三角形，且，求点的坐标． 【答案】 模型建立：证明：，， ， ， ， ， ， 又， ； 模型应用：； 拓展应用：点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，全等三角形的判定和性质知识，解决问题的关键是构造全等模型. 模型建立：由，得，进而得证； 模型应用：先求出的坐标，过点C作轴于点H，先证明，再求出点C的坐标，进而利用待定系数法求的解析式即可． 拓展应用：作于，于，构造模型，设点，，，，，，得，进而得出点． 【详解】模型建立：略 模型应用：解：如图，过点作轴于点， 直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为：、， 即，， 同（1）得，， 则，， 则点， 设直线的表达式为：， 则，解得：， 则直线的表达式为：； 拓展应用：解：如图， 作于，于， 设点， ，，， 同（1）得，， ∴，， ， ，， 即点的坐标为或． 38．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线：分别与x轴、轴交于点A、B，过点A的直线：交y轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线下方． ①直接写出的面积（用含的代数式表示）； ②当时，以为边在第二象限做等腰直角三角形，则点D的坐标为________． (3)过动点作x轴的垂线与直线、分别交于M、N两点， ①若，求t的取值范围； ②当的面积是的面积的一半时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或 (3)①；②或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解（待定系数法）、三角形面积的计算（割补法与底高公式）、等腰直角三角形的存在性问题（分类讨论）、一次函数与线段长度的综合应用（绝对值不等式与方程），解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，运用割补法或底高关系计算三角形面积，根据等腰直角三角形的直角边、斜边分类画图确定点的坐标，结合垂直于ⅹ轴的线段长度特点列不等式或方程求解． （1）求直线的函数表达式：先令直线的，求出与x轴交点A的坐标；再设直线的表达式为，将A、C两点坐标代入，解方程组得到k和b的值，进而确定表达式． （2）①求的面积（含先令直线的，求出与y轴交点B的坐标；过P作x轴的垂线，用“割补法”（大直角三角形面积减去两个小直角三角形面积）计算的面积，化简后得到含n的代数式． ②求点D的坐标：由求出，得P点坐标；再分三种情况且、且、为斜边且，结合第二象限的位置要求画图，通过坐标计算得出D的三个可能坐标． （3）①求t的取值范围：用t表示M、N的坐标（因垂直x轴，横坐标均为；根据长度为两点纵坐标差的绝对值列出表达式，结合列绝对值不等式，解不等式得到t的范围． ②求点M的坐标：先计算的面积（以为底，A到y轴的距离为高），得出的面积；再分M在延长线、M在线段上两种情况，以为底、M横坐标的绝对值为高列面积方程，解出t后代入直线的表达式，得到M点坐标． 【详解】（1）解：直线：交x轴于A， 令，则，解得， ∴； 设直线的表达式为， 已知、，代入得：， 将代入第一个方程，得，解得； ∴直线的函数表达式为． （2）解：①直线交y轴于B，令，则， ∴； 点，过P作轴于H，则，，（O为原点）； 用“割补法”计算面积：． 故答案为：． ②解：由，得，解得， ∴， 已知，分三种情况画等腰直角三角形（D在第二象限）： 情况一：过A作，且， ∴ 情况二：为直角边，： ∴． 情况三：为斜边，， 得． ∴点D的坐标为、、． 故答案为、、． （3）①解：动点的垂线，交于，交于； ∵垂直于x轴， ∴，代入得：； 由，得， 左边：→→； 右边：→→； ∴t的取值范围是． ②解：先算的面积：、、，， A到（y轴）的水平距离为，，， ∵ 点， ∴时，点M位于y轴右侧，则三角形的面积大于三角形面积，不合题意，故 分两种情况讨论： 情况一：点M位于的延长线上， ∵， ∴， 解得，此时点 情况二：点M位于线段之间， 因，则； ∴， 解得，此时点． 综合以上，或． 39．（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)（，且x为整数） (3)总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由题意可知，B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆，依次算出型冷柜车的数量，判断是否满足题意即可； （2）根据（1）所求结合总费用的计算公式列式求解即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵两种车型都租用，B型车辆最多不超过5辆， ∴B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆， ∵要求把40吨荔枝全部运完，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨， ∴当B型车辆为5辆时，，那么型冷柜车需要4辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为4辆时，，那么型冷柜车需要5辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为3辆时，，那么型冷柜车需要6辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为2辆时，，那么型冷柜车需要7辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 当B型车辆为1辆时，，那么型冷柜车需要8辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 综上，共需9辆货柜车； （2）解：由题意得， （，且x为整数）； （3）解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为，此时， 答：总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 40．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【课本再现】 人教版七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标 （x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．那么，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 如图，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线．在画方程的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）已知点，则在方程的图象上的点是_________（填“E”“F”或“G”）； （2）请根据这两个二元一次方程的图象，回答下列问题： ①二元一次方程组的解是_________； ②在x轴上是否存在点M，使以A，D，M三点为顶点的三角形的面积为面积的2倍，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）以关于x，y的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当 时，试化简． 【答案】（1）F；（2）①，②或；（3） 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，一次函数的交点与二元一次方程组的关系，二次根式的化简，化简绝对值，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，数形结合是解题的关键． （1）将x的值代入方程，求出y，即可判定； （2）①根据两条直线的交点即为二元一次方程组的解，即可解答； ②先求出的面积，再根据，求出，即可解答． （3）根据二元一次方程组，可求出，判断出m的值，即可求出t的取值范围，化简即可解答． 【详解】解：（1）当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， ∴点在方程的图象上． 故答案为． （2）①由图像观察，可知两条直线的交点为， ∴二元一次方程组的解是． ②如图，有 ，， ∵， ∴， 由得 M点坐标为或； （3）解，得 ， ∴，即 当 时，即 ∴． 41．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)G是线段上的一个动点，若直线把的面积分成的两部分，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)点G的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出，设，分两种情况讨论：①；②时，分别求得m的值，进而求得G点坐标． 【详解】（1）解：对， 令，则， 令，则， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为． （2）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、C，，， ∴， ∴． 设． ①当时， ， ∴， ∴， ∴； ②当时， ， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求直线的解析式，求点的坐标，三角形面积公式，分类讨论，熟练掌握是解题的关键． 42．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． (1)直接写出点A的坐标以及直线的解析式； (2)如图1，点D在x轴上，连接，使，求点D的坐标； (3)如图2，已知点在第四象限内，直线交y轴的负半轴于点P，过点A作直线，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变， 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了一次函数的综合运用，全等三角形的判定以及性质，点的对称轴等知识． （1）先分别求出点A，B的坐标，再根据，即可求出k值，则可求出直线的解析式． （2）先得出，然后分两种情况①当点D在点A的左边处，作交于点E，作轴于点F，证明，利用全等的性质得出，进一步可求出点E，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后另，求出x，即可求出．②当点D在点A的右边处，连接并延长交于点G，得出，根据等角对等边可得出，则，根据对称性求出点G的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步即可得出． （3）用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P的坐标，再求出CM的解析式，根据平行的性质再求出的解析式，进而求出点Q的坐标，根据两点之间的距离即可得出的值． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）由（1）知：，， ∴， ∵， ∴． ①当点D在点A的左边处， ∵， ∴， 作交于点E，作轴于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ②当点D在点A的右边处， 连接并延长交于点G， ∵，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G与点E关于点A对称， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， ∴． 综上所述，点D的坐标为或． （3）不变． ∵，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， 同理求出直线CM的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 43．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线分别交函数和直线的图象于点D，E，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式等知识点，熟练掌握一次函数的图象和性质以及数形结合思想是解题的关键． （1）联立直线的解析式即可得出点A的坐标； （2）不等式的解集是函数的图象在的图象下方部分，对应自变量取值范围； （3）由点P的坐标可得出，，再利用列方程求解a的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴点A的坐标为． （2）解：由函数图象可得： 不等式的解集是函数的图象在的图象下方部分，对应自变量取值范围， ∴不等式的解集是． （3）解：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴或， 解得：或． ∴点P的坐标为或． 44．（21-22八年级下·广西玉林·期末）某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包，再根据利润公式列函数关系式即可； （2）先列函数关系式，再求解自变量的取值范围，利用函数的性质根据最大值列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包， 由题意得，， 即； （2）解：设除去捐款后获得的利润为元， 由题意得，， 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍， ， ， 中，， W随x的增大而减小，即当时，W取最大值11000， ， 解得． 45．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)点是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求点到坐标轴的距离、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）分别令和，求出对应的y和x的值即可； （2）根据点C坐标表示出点C到y轴的距离，四边形的面积等于和的面积之和，分别求解后相加即可． （3）先根据求出四边形的面积，进而得到的面积．点P的位置有两种可能性，x轴的负半轴和y轴的负半轴，分类讨论，利用三角形面积公式求出或的长，然后求出点P的坐标． 【详解】（1）解：当，， ∴， 当，，解得，， ∴， （2）∵点在第三象限， ∴点C到y轴的距离为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，， ∵， ∴， 当点P在x轴的负半轴上时，设点， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴， ， 解得，，此时， 当点P在y轴的负半轴上时，设点， ∵点P和点B的相对位置不确定， ∴， ， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴，此时， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质，点到坐标轴的距离，坐标系中的三角形面积和动点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 新定义题不要慌，把定义逐字翻译成代数式，是解压轴的第一步 · 动点图象题要养成「横轴时间、纵轴距离、分段看斜率」的读图习惯 · k、b符号与象限对应关系要做到条件反射，这是选择压轴必考 · 待定系数法求解析式每天练2题，确保二元一次方程组求解不出错 · 几何综合题先建坐标系标已知点，再求解析式递推，最后用割补法算面积 【作业1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，以下说法中正确的个数为（   ） ①小明步行的速度是；②爸爸的速度是；③的值为12； ④当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键．根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a的值；即判断①②③；④分三种情况，然后分别计算出相应的时间，即可求解． 【详解】解：由图象可得，小明的速度为：，故①不正确； 爸爸的速度为：，故②正确； ，故③正确； 当小明与爸爸相距时，设小明出发后的时间为， 爸爸出发前：，解得； 爸爸出发后与小明相遇之前：，解得； 小明与爸爸相遇之后：，解得； 综上所述，当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或，故④正确． 故选：C． 【作业2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）为鼓励市民节约用水，我市自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．下列结论中： ①小聪家五月份用水7吨，应交水费元； ②10吨以上每吨费用比10吨以下每吨费用多； ③10吨以上对应的函数解析式为； ④小聪家三、四月份分别交水费29元和元，则四月份比三月份节约用水3吨，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息．从函数图象可知10吨水以内的价格是每吨2.2元，小聪家五月份用水7吨，应交水费可计算得到①，分别计算10吨水以内和超过10吨水价格，即可判断②，待定系数法求得解析式即可判断③，根据三、四月份分别交水费29元和元，求得用水量，即可判断④． 【详解】解：从函数图象可知10吨水应交22元， 那么每吨水的价格是：（元 小聪家五月份用水7吨，应交水费： （元故①正确 由图可得10吨内每吨2.2元， 当时，，当时， ∴当时，每吨费用为元， ∴②10吨以上每吨费用比10吨以下每吨费用多，故②正确 当时，设与的函数关系式为：， 当时，，当时，， 将它们分别代入中得： 解得：， 那么与的函数关系式为：，故③正确， 当元时，， ， 将代入得， 解得． 四月份比三月份节约用水：（吨故④正确． 故选：D． 【作业3】（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）每年的农历五月初五是端午节，端午节是中国首个入选世界非遗的节日，端午文化在全世界产生了广泛的影响．如图1，赛龙舟是端午节一项重要的传统民俗活动．在某次赛龙舟活动中，有甲、乙两个龙舟队，他们同时从起点出发，划行的路程y（单位：m）与划行的时间x（，单位：）之间满足的关系如图所示．当甲队与乙队的路程之差的绝对值为时，甲队划行的路程不可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】先求出甲队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为，然后分段讨论： 当时，乙队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为，根据甲队与乙队的路程之差的绝对值为，列方程求解即可判断选项A不符合题意； 当时，用待定系数法求得乙队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为，根据甲队与乙队的路程之差的绝对值为，分两种情况分别列方程求解判断选项B和D均不符合题意； 令，可解得，分别求出甲、乙两队划行的路程，即可求得路程差，即可判断答案． 【详解】解：由函数图形可知，甲队的速度为， 甲队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为， 当时，由函数图形可知，乙队的速度为， 乙队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为， 令， 解得， 当时，甲队与乙队的路程之差的绝对值为， 此时甲队划行的路程为， 所以A选项不符合题意； 当时，设乙队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ， 令， 解得， 此时甲队划行的路程为， 所以B选项不符合题意； 令， 解得， 此时甲队划行的路程为， 所以D选项不符合题意； 令， 解得， 此时甲队划行的路程为， 乙队划行的路程为， 两队的路程差为0， 所以C选项符合题意． 【作业4】（23-24七年级下·山东济南·期中）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（   ） ①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 本题考查动点函数的图像，掌握三角形的面积公式，函数图像的性质，理解函数图像上的点表示的意义是解决本题的关键． 【详解】由图2可知：当H点由A点运动到B点时， ， ， 解得， 由图2可知：当H点由A点运动到B点用了， ∴H点的速度是， 故①正确； 由图2可知：当H点由B点运动到C点用了， ， 故②正确； 由图2可知：第到时H点由C点运动到D点， ，， ， ∴H点由D点运动到E点用了， ， 故③正确； 由图2可知：当H点由C点运动到D点用了， ， ， 当点 H 到达D点时， 故④正确； 故选：D． 【作业5】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息， ①根据路程=速度×时间计算即可；②根据速度的增加量÷所用时间列式计算即可；③求出两车速度相等时所用时间，再由路程=速度×时间求出乙车行驶的路程即可；④根据两车速度相等时所用时间和图象判断即可． 【详解】解：∵乙车前6秒行驶的路程为米，∴①正确； ∵在0到6秒内甲车的速度每秒增加米，∴②正确； ∵当两车速度相等时所用时间为秒，此时乙车行驶的路程为米，∴③正确； 由③知，第秒时两车速度相等，根据图象，在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，∴④正确； 综上可知，正确的有4个， 故选：A． 【作业6】（23-24八年级下·福建福州·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为______. 【答案】且 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，由题意可知，且在的上方，则，当经过点时，， 此时两直线相交，即可得到时，，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过所给的条件确定两条直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴直线经过定点， ∵无论取何值，始终有， ∴，且在的上方， ∴， 当经过点时， ， ∴， 此时两直线相交， ∴时，， 即且， 故答案为：且． 【作业7】（25-26七年级下·广东佛山·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 【答案】5.2 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】根据“每分钟水位上升的高度相同”这一条件，判断出记录错误的数据，然后根据规律求出分钟时对应的水位即可． 【详解】解：当到时，水位上升高度为， 当到时，水位上升高度为， 当到时，水位上升高度为， ∵每分钟水位上升的高度相同，为， ∴时出现错误，应为， ∴时，可得， 答：时对应的水位为． 【作业8】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与x轴、y轴的正半轴分别交于E，F两点，点A在线段上（不包括端点），过点A作轴于点B，轴于点C．若四边形的周长为14，则直线的函数表达式是_____． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】利用周长分析出点的坐标，再利用待定系数法运算求解即可． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟悉掌握一次函数解析式的求法是解题的关键． 【详解】解：设， 又过点A作轴于点B，轴于点C． 故四边形是矩形， 又四边形的周长为14，且点， 故， 故， 故答案为：． 【作业9】（25-26八年级上·全国·单元测试）直线必经过一点，则该点的坐标是________，平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积相等的两部分，则k的值是________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、根据三角形中线求面积、中点坐标 【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形中线的性质，中点坐标公式，待定系数法求一次函数解析式．求定点：将两项按k为未知数合并，令k的系数为零，求出x，y的值即可得到定点；根据该定点为三角形的一个顶点可知，直线将分成面积相等的两部分时，直线为的边上的中线所在的直线，利用中点坐标公式求出的中点坐标，代入直线解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵， 令，则， ∴直线必经过定点． ∵，直线过点B，且直线将分成面积相等的两部分， ∴直线为的边上的中线所在的直线． ∵， ∴的中点坐标为． 将代入， 得， 解得． 故答案为：，． 【作业10】（25-26八年级下·山东临沂·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①若，是直线上不重合的两点．则；②当时，；③；④．其中正确结论的代号是______． 【答案】①③④ 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】对于①，利用一次函数的增减性即可判断；对于②和③，两条直线在处相交，结合增减性即可判断；对于④，比较时，两个函数值的大小即可． 【详解】解：对于①：∵，在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，， ∴，故①正确； 对于②：由图可知，当时，，即， ∴当时，，故②错误； 对于③：当时，， ∴，故③正确； 对于④：由图可知，当时，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①③④． 【作业11】（24-25八年级上·山东青岛·期末）同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是______． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 【答案】①②④ 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． ①当时，小明落后于小张，当时，小明超过小张，这个期间小张处于静止状态，根据速度路程时间列式计算出小明的速度即可； ②根据小明的速度行驶时间列式计算，两地的距离即可； ③当时，小张乘坐的汽车中途出现故障；当时，小张乘坐的汽车维修结束后开始继续行驶，据此计算小张中途休息的时间即可； ④从到两人相遇时，小张处于静止状态，小明行驶了，根据时间路程速度求出从到两人相遇所用的时间，从而计算出两人何时相遇． 【详解】解：小明的速度是， ①正确，符合题意； ，两地相距， ②正确，符合题意； 小张中途休息的时长为， ③不正确，不符合题意； ， 小明行驶与小张相遇， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 【作业12】（25-26七年级下·山东威海·期末）对于一次函数，若x的取值范围是，则y的取值范围是．求该一次函数的表达式． 【答案】一次函数的表达式为或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】根据一次函数的性质，分两种情况进行讨论，利用待定系数法求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 所以，一次函数的表达式为； 将点，代入得， ， 解得， 所以，一次函数的表达式为； 综上，一次函数的表达式为或． 【作业13】（23-24八年级下·吉林长春·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C． (1)若直线解析式为，直线解析式为， ①求点C的坐标 ②求的面积． (2)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，的面积为6，P、Q分别为线段上的动点，连结与，则最小值为________． 【答案】(1)①；②12 (2)3 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题 【分析】（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标；②欲求的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可； （2）在上取点M，使，连接，易证，可推出；若想使得存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又，可得，即证，又，利用的面积为6，即可得出，存在最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①由题意，， 解得， ； ②把代入得，， A点坐标为， ； （2）解：由题意，在上取点M，使，连接， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当A、Q、M在同一直线上，且时，最小． 即存在最小值． ∵， ， ∴， ∴， ∵的面积为6， ， ∴存在最小值，最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，一次函数函数交点问题，角平分线的性质，两点之间线段最短，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度． 【作业14】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）根据素材，探索完成任务． 如何设计游览时间的方案？ 【素材1】 某风景区内景点示意图如图1所示．景区内有一辆免费的有轨电动车匀速在景区大门和影视城之间不间断的来回载客，最后一班有轨电动车19：00到景区大门，游客只能在每个景点乘车到下一个景点游览（假设游客上下车时间忽略不计）． 【素材2】 小聪和小明相约到风景区游玩，小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，图2表示了小聪、有轨电动车离景区大门的路程s（米）与经过的时间t（分）之间关系的不完整图像． 【素材3】 小明13：30到景区大门，两人相约在秀湖见面后共同在秀湖游玩一段时间，然后一起先去湿地公园再去影视城游玩，最后直接返回景区大门，两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处，并且两人相约在湿地公园游览时间不少于50分钟，在影视城游览时间不少于70分钟． 问题解决 【任务1】 确定车速：有轨电动车的平均速度是___________米/分． 【任务2】探究时间：求小明几点到达秀湖？ 【任务3】 拟定游览时间方案：请你根据素材直接写出符合条件的游览湿地公园和影视城的方案共有几种？并设计其中一种符合条件的游览湿地公园和影视城的方案． 共有____________种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：___________；在湿地公园停留___________分钟； 到达影视城时间：___________；在影视城停留___________分钟； 回到景区大门时间：___________； 【答案】任务1：500米/分钟；任务2：小明13:44到达秀湖；任务3：    三，14:07，60，15:10，100，17:00 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息以及行程问题， 任务1：根据图二中提供的信息即可作答； 任务2：先确定有轨电车的出行规律，结合小明13：30到景区大门，依次顺延时间即可作答； 任务3：根据图二以及小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，即可确定13:04达到秀湖，在秀湖游玩60分钟后14:04从秀湖出发，14:07到达湿地公园，再根据有轨电车的出行规律作出其出现在湿地公园、影视城的时刻表，再根据游玩的时间要求即可推出：两人最早离开湿地公园的时间是15:07，最早达到影视城的时间是15:10；最晚会在17:00到达景区大门，离开影视城的最晚时间是16:50，到达影视城的最晚时间是15:30，离开影视城的最早时间是16:30，最晚离开湿地公园的时间是15:27，据此即可作答． 【详解】任务1：根据图二可知有轨电车一个循环耗时20分钟，行驶的距离为米， 则有轨电车的速度为：（米/分钟）， 任务2：有轨电车由景区大门抵达秀湖所花时间为：（分钟）， ∵最后一班有轨电动车19：00到景区大门，有轨电车一个循环耗时20分钟， ∴有轨电车在整点，整点过20分钟，整点过40分钟时均在景区大门， ∵小明13：30到景区大门， ∴小明13：40能在景区大门坐上有轨电车，经过4分钟的车程可以到达秀湖， 即：小明13：44到达秀湖； 任务3：由图2可知：小聪13:00从景区大门出发，13:04达到秀湖，在秀湖游玩60分钟后14:04从秀湖出发，14:07到达湿地公园， 时刻表如下：（车的到站时间也是车的离站时间） 湿地公园 影视城 景区大门 14:07 14:10 14:20 14:27 14:30 14:40 14:47 14:50 15:00 15:07 15:10 15:20 15:27 15:30 15:40 15:47 15:50 16:00 16:07 16:10 16:20 16:27 16:30 16:40 16:47 16:50 17:00 17:07 17:10 17:20 两人一起游玩，则二人14:07到达湿地公园， 因为游玩的在湿地公园游览时间不少于50分钟， 所以两人最早离开湿地公园的时间是15:07， 则最早达到影视城的时间是15:10； 因为两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处， 所以两人最晚会在17:00到达景区大门， 所以两人离开影视城的最晚时间是16:50， 又因为在影视城游览时间不少于70分钟，最早达到影视城的时间是15:10， 所以两人到达影视城的最晚时间是15:30，离开影视城的最早时间是16:30， 因为两人到达影视城的最晚时间是15:30， 所以最晚离开湿地公园的时间是15:27， 综上：总体方案有3种： 方案一：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩60分钟，15:07从湿地公园出发，15:10达到影视城，在影视城游玩80分钟，16:30离开，16:40回到景区大门； 方案二：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩60分钟，15:07从湿地公园出发，15:10达到影视城，在影视城游玩100分钟，16:50离开，15:00回到景区大门； 方案三：14:07到达湿地公园，在湿地公园游玩80分钟，15:27从湿地公园出发，15:30达到影视城，在影视城游玩80分钟，16:50离开，15:00回到景区大门； 即：共有三种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：14:07；在湿地公园停留60分钟； 到达影视城时间：15:10；在影视城停留100分钟； 回到景区大门时间：17:00． 【作业15】（23-24七年级下·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子． （1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章·函数与一次函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解函数新定义题型的解题策略，能将题目给出的新定义转化为一次函数模型求解 · 熟练解读动点与行程问题的函数图象，从图象特征反推运动过程与数量关系 · 掌握一次函数图象与k、b符号的对应关系，能解决图象判断与交点范围类压轴题 · 熟练运用待定系数法求一次函数解析式，解决交点、面积、面积平分等综合问题 · 突破一次函数与几何图形（正方形、矩形、旋转）综合及综合与实践压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.新定义题型的解题策略 新定义题的关键：先逐字读懂题目给出的新概念（如「顶峰函数」「中位线」「斜关点」），再把定义翻译成数学式子 定义中出现「对于任意x都有…」时，通常转化为不等式恒成立问题，比较两个函数值的大小 遇到几何新定义（如关联点、扩点），先按定义把点的坐标关系列出来，再代入函数解析式 新定义压轴题的最后一问往往是前两问方法的迁移，不要被陌生名词吓住 概念辨析例题：定义：对于一次函数y=kx+b，若当1≤x≤3时，函数值始终大于2，则称该函数为「跨越函数」。已知一次函数y=(m-1)x+3是跨越函数，求m的取值范围。 答案：m>0 解析：一次函数是单调函数，要使1≤x≤3时函数值始终大于2，只需区间端点处的函数值都大于2。当m-1>0时，最小值在x=1处：(m-1)+3>0，解得m>-2；当m-1<0时，最小值在x=3处：3(m-1)+3>0，解得m>0。综合两种情况，取两者交集得m>0。 ☆ 2.动点与行程问题的图象解读 动点问题图象：横轴通常是时间t，纵轴是线段长或距离，图象的每一段对应动点的一段运动过程 图象为水平线段时，表示动点在该段路程上停留或对应的线段长不变 两图象交点表示两个动点在同一时刻到达同一位置（相遇或追及） 行程问题中速度=图象斜率的绝对值，停留=水平段，往返=图象折回 概念辨析例题：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车到达B地后立即原路返回。下列图象中，表示甲、乙两车之间的距离y与行驶时间t关系的是（　　） 答案：先下降（相遇前距离缩短），相遇后上升（背向而行），甲车到达B地后折回时图象斜率变大的折线 解析：相遇前两车距离随时间减小，图象下降；相遇后继续背向而行，距离增大，图象上升；甲车到达B地后返回，相对速度改变，图象斜率发生变化。抓住「下降—上升—斜率改变」三段特征。 ☆ 3.一次函数图象与k、b符号 k>0时直线上升，必过一、三象限；k<0时直线下降，必过二、四象限 b>0直线交y轴正半轴，b<0交y轴负半轴，b=0过原点 直线经过象限的组合：k>0,b>0过一二三；k>0,b<0过一三四；k<0,b>0过一二四；k<0,b<0过二三四 两条直线的位置关系：平行⟺k相等；垂直⟺k互为负倒数（初中了解）；交点即联立方程组的解 概念辨析例题：若直线y=(m-2)x+m不经过第四象限，则m的取值范围是（　　）A．m>0　B．0≤m≤2　C．0<m≤2　D．m≥2 答案：C 解析：不经过第四象限时，直线需上升（k>0）且与y轴交于正半轴或原点（b≥0）。即m-2>0且m≥0，得m>2；但还要考虑m=0时y=-2x过二四象限（经过第四象限，舍去）……正确范围为0<m≤2，对应C。 ☆ 4.几何综合与压轴解题通法 正方形、矩形放置在坐标系中的问题：先由已知点坐标求直线解析式，再利用直线与坐标轴的交点求下一个图形的顶点 旋转问题：绕某点旋转90°时，对应点的横纵坐标互换并变号，结合待定系数法求解析式 面积问题：用割补法把不规则图形面积拆成几个三角形或梯形，用坐标表示底和高 综合与实践题：逐小问攻克，后一问通常要用到前一问求出的解析式或结论 概念辨析例题：正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、…按如图方式放置，点A₁、A₂、…在直线y=kx+b上，点C₁、C₂、…在x轴上。已知B₁(1,1)、B₂(3,2)，求点Bₙ的坐标。 答案：Bₙ(2n-1，2n-1) 解析：由B₁(1,1)得A₁(0,1)，由B₂(3,2)得A₂(1,2)。代入y=kx+b解得k=1,b=1。观察规律：B₁(1,1)=(21-1,20)，B₂(3,2)=(22-1,21)，归纳得Bₙ(2n-1,2n-1)。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 函数新定义 把题目给出的新概念翻译为一次函数解析式或不等式 逐字读定义，注意「任意」「始终」对应恒成立 动点图象 t为横轴、距离/线段长为纵轴，每段折线对应一段运动 水平段=停留；斜率=速度；交点=相遇 k、b符号 k定升降、b定上下，组合决定直线经过象限 k=0不是一次函数；过原点则b=0 待定系数法 设y=kx+b，代入两点坐标解二元一次方程组 正比例函数只需一个非原点的点 面积问题 割补为三角形/梯形，底高用坐标差表示 注意点在x轴上时纵坐标为0 几何综合 先求直线解析式，再由交点递推图形顶点坐标 旋转90°坐标互换变号，画图辅助 ⚠️ 核心考点 【考点1】新定义与概念辨析题（第1-7题） · 逐字拆解新定义，把文字描述翻译成代数式或不等式 · 「对于任意x恒成立」转化为区间端点处取最值 · 几何类新定义先列坐标关系，再代入函数解析式验证 · 新定义压轴最后一问注意迁移前两问的方法 1．（23-24八年级下·重庆铜梁·期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是______；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是_______． 4．（24-25九年级上·海南·阶段检测）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为．已知平面直角坐标系中，点、．若存在点，使得点是一对“斜关点”，点，也是一对“斜关点”，且，则点的坐标为______． 5．（25-26八年级上·辽宁·期中）例如：在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，直线 ：交x轴于点，交y轴于点A，点C为x轴上一个点； (1)直线经过点， ①______，若在直线上，则比较t与6的大小：t_____6； ②如图1，当点C坐标为时，点B恰好为的关联点，求直线的解析式； (2)若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证:轴． 6．（24-25八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． (1)如图1，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； (2)已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出的取值范围． 7．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 【考点2】函数图象的动点与行程信息（第8-10题） · 先看横纵轴实际意义，再分段分析上升/下降/水平 · 图象斜率对应速度，水平段对应停留 · 两图象交点=相遇或追及时刻 · 甲车往返类问题注意折回后斜率符号变化 8．（2026·河南商丘·二模）如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（   ） A． B． C．若，则对应4个不同的x值 D．当的面积为4时，或 9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为（   ）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）甲，乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A 地的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．甲车速度与乙车速度的比为3：2 B．甲，乙两车在途中两次相遇的时间间隔为7.5min C．第二次相遇时间是第14 min D．出发后，乙车比甲车先到达A地 【考点3】一次函数图象与k、b符号（第11-15题） · 由直线经过的象限反推k、b的符号组合 · 「不经过某象限」等价于k、b符号的不等式组 · 多条直线共存时用排除法验证每个选项 · 含参数的直线过定点问题：整理成y=k(x-a)+b形式找定点 11．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·重庆万州·期末）若关于的方程无解，且一次函数不过第四象限，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 13．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知、，直线与线段的延长线（交点不包括）相交．则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【考点4】一次函数的实际应用（第16-19题） · 分段函数先求每段解析式，注意自变量取值范围 · 计费/销售问题：销售收入与成本图象的交点=盈亏平衡点 · 方案比较先求两方案解析式，再算临界点分情况讨论 · 图象题优先从图中读取已知点坐标 16．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 17．（25-26八年级上·山东济南·期中）在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 18．（25-26八年级下·重庆·期中）车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．该产品的销售量超过______吨时，生产该产品才能盈利． 【考点5】待定系数法与交点、面积问题（第20-26题） · 设y=kx+b，代入两个已知点坐标解方程组 · 两直线交点=联立解析式解方程组 · 面积问题用割补法，坐标差作底和高 · 直线平分三角形面积必过一边中点 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数和正比例函数，过点作平行于y轴的直线分别交直线，于点B和点C，若在的范围内，恒有成立，则k的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 21．（25-26九年级上·河南郑州·期末）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．当时，甲、乙物质的溶解度相同 B．在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而减小 C．当时，用等质量的甲、乙物质分别配制成饱和溶液，甲物质需要的水的质量更多 D．当时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度 22．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知一次函数，当时，，则a的值为______． 23．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴、轴的交点分别为、，直线与直线在第一象限的交点为，且，则的值为________． 24．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象平行于直线，且经过点，点是函数图象上一点，下列描述： ①，； ②； ③若直线分别交轴，轴于点，，将的面积分成两部分，则直线的解析式为或； ④若与的图象围成的三角形的面积为4，则； ⑤当时，对于的每一个值，的函数值大于的函数值，且小于的函数值，则的取值范围为． 其中正确的是_______（填序号）． 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为__________． 26．（26-27九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围_____________． 【考点6】一次函数与几何图形综合（第27-34题） · 正方形/矩形放在坐标系中，先求直线解析式再递推顶点坐标 · 旋转90°对应点坐标互换变号 · 最短路径问题转化为轴对称+两点之间线段最短 · 动点在直线上时，设动点坐标代入解析式消元 27．（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ______；当的值取最小值时，点的坐标为 ______． 29．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是______． 30．（24-25八年级上·全国·阶段检测）如图点是直线上的一动点，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的坐标为，连接，过点作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为______． 31．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 32．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）正方形、、，…按如图方式放置，点和点分别在直线和轴上： （1）请写出点的坐标是_____； （2）的面积是______． 33．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)点的坐标为___________；点的坐标为___________． (2)求的面积； (3)若动点在直线上，点在第一象限，且在直线上，若点是等腰直角三角形的直角顶点，求点的坐标． 34．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在长方形电子屏中，，，动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边，以的速度向点运动，随着的移动，逐渐展开主体广告画面．设点的运动时间为（单位：），展开的画面面积为（单位：） (1)当时，． (2)写出展开的画面面积关于点的运动时间的函数表达式； (3)当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时未展开的画面面积． 【考点7】综合与实践压轴题（第35-45题） · 逐小问攻克，后一问使用前一问的结论或解析式 · 新背景（漏刻、快递、口罩）先抽象出一次函数模型 · 存在性问题先假设存在，列方程检验 · 压轴题答题要写清推理过程，分步得分 35．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 36．（24-25七年级上·重庆开州·期中）已知：平面直角坐标系中，如图1，点，铀于点，并且满足，． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点为线段的中点，连并作，且，连交轴于点，求证：． (3)如图3，点为点的左边轴负半轴上一动点，以为一边作交轴负半轴于点，连，将沿直线折叠，点的对应点为点，点在轴上，点是轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值． 37．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）模型建立：如图1，在等腰直角中，，，经过点，，，求证：． 模型应用：如图2，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以点为直角顶点在第二象限作等腰直角，求出直线的函数关系式． 拓展应用：如图3，在长方形中，点，点是线段上的一动点，，已知点在第一象限，是直线上的一点，若是等腰直角三角形，且，求点的坐标． 38．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线：分别与x轴、轴交于点A、B，过点A的直线：交y轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点在直线下方． ①直接写出的面积（用含的代数式表示）； ②当时，以为边在第二象限做等腰直角三角形，则点D的坐标为________． (3)过动点作x轴的垂线与直线、分别交于M、N两点， ①若，求t的取值范围； ②当的面积是的面积的一半时，求点M的坐标． 39．（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 40．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【课本再现】 人教版七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标 （x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．那么，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 如图，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线．在画方程的图象时，可以取点和作出直线． 【解决问题】 （1）已知点，则在方程的图象上的点是_________（填“E”“F”或“G”）； （2）请根据这两个二元一次方程的图象，回答下列问题： ①二元一次方程组的解是_________； ②在x轴上是否存在点M，使以A，D，M三点为顶点的三角形的面积为面积的2倍，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）以关于x，y的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当 时，试化简． 41．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)G是线段上的一个动点，若直线把的面积分成的两部分，求点G的坐标． 42．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． (1)直接写出点A的坐标以及直线的解析式； (2)如图1，点D在x轴上，连接，使，求点D的坐标； (3)如图2，已知点在第四象限内，直线交y轴的负半轴于点P，过点A作直线，交y轴于点Q，当m的值发生改变时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 43．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线分别交函数和直线的图象于点D，E，若，求出此时点P的坐标． 44．（21-22八年级下·广西玉林·期末）某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示： 口罩 普通医用口罩 进价（元/包） 19 7 售价（元/包） 23 10 若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题． (1)求出利润y与x的函数关系式． (2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值． 45．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)点是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，请求出点P的坐标． 💯 课后巩固 复习建议 · 新定义题不要慌，把定义逐字翻译成代数式，是解压轴的第一步 · 动点图象题要养成「横轴时间、纵轴距离、分段看斜率」的读图习惯 · k、b符号与象限对应关系要做到条件反射，这是选择压轴必考 · 待定系数法求解析式每天练2题，确保二元一次方程组求解不出错 · 几何综合题先建坐标系标已知点，再求解析式递推，最后用割补法算面积 【作业1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，以下说法中正确的个数为（   ） ①小明步行的速度是；②爸爸的速度是；③的值为12； ④当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）为鼓励市民节约用水，我市自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．下列结论中： ①小聪家五月份用水7吨，应交水费元； ②10吨以上每吨费用比10吨以下每吨费用多； ③10吨以上对应的函数解析式为； ④小聪家三、四月份分别交水费29元和元，则四月份比三月份节约用水3吨，其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业3】（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）每年的农历五月初五是端午节，端午节是中国首个入选世界非遗的节日，端午文化在全世界产生了广泛的影响．如图1，赛龙舟是端午节一项重要的传统民俗活动．在某次赛龙舟活动中，有甲、乙两个龙舟队，他们同时从起点出发，划行的路程y（单位：m）与划行的时间x（，单位：）之间满足的关系如图所示．当甲队与乙队的路程之差的绝对值为时，甲队划行的路程不可能为（     ） A． B． C． D． 【作业4】（23-24七年级下·山东济南·期中）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（   ） ①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列结论：①乙车前6秒行驶的路程为48米；②在0到6秒内甲车的速度每秒增加米；③当两车速度相等时，乙车行驶的路程为19.2米；④在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，其中正确的个数有（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【作业6】（23-24八年级下·福建福州·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为______. 【作业7】（25-26七年级下·广东佛山·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用．小东制作了一个简单的漏刻模型，并发现每分钟水位上升的高度相同，水位的高度和时间之间存在如下表所示的关系，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定时对应的水位为_________． 时间 1 2 3 4 5 水位 2.4 2.8 3.2 3.4 4.0 【作业8】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与x轴、y轴的正半轴分别交于E，F两点，点A在线段上（不包括端点），过点A作轴于点B，轴于点C．若四边形的周长为14，则直线的函数表达式是_____． 【作业9】（25-26八年级上·全国·单元测试）直线必经过一点，则该点的坐标是________，平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积相等的两部分，则k的值是________． 【作业10】（25-26八年级下·山东临沂·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①若，是直线上不重合的两点．则；②当时，；③；④．其中正确结论的代号是______． 【作业11】（24-25八年级上·山东青岛·期末）同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是______． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 【作业12】（25-26七年级下·山东威海·期末）对于一次函数，若x的取值范围是，则y的取值范围是．求该一次函数的表达式． 【作业13】（23-24八年级下·吉林长春·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C． (1)若直线解析式为，直线解析式为， ①求点C的坐标 ②求的面积． (2)如图2，作的平分线，若，垂足为E，，的面积为6，P、Q分别为线段上的动点，连结与，则最小值为________． 【作业14】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）根据素材，探索完成任务． 如何设计游览时间的方案？ 【素材1】 某风景区内景点示意图如图1所示．景区内有一辆免费的有轨电动车匀速在景区大门和影视城之间不间断的来回载客，最后一班有轨电动车19：00到景区大门，游客只能在每个景点乘车到下一个景点游览（假设游客上下车时间忽略不计）． 【素材2】 小聪和小明相约到风景区游玩，小聪12：40到景区大门，13：00乘坐从景区大门到影视城的有轨电动车前往景点，图2表示了小聪、有轨电动车离景区大门的路程s（米）与经过的时间t（分）之间关系的不完整图像． 【素材3】 小明13：30到景区大门，两人相约在秀湖见面后共同在秀湖游玩一段时间，然后一起先去湿地公园再去影视城游玩，最后直接返回景区大门，两人游玩影视城后，必须在17：15之前到景区大门处，并且两人相约在湿地公园游览时间不少于50分钟，在影视城游览时间不少于70分钟． 问题解决 【任务1】 确定车速：有轨电动车的平均速度是___________米/分． 【任务2】探究时间：求小明几点到达秀湖？ 【任务3】 拟定游览时间方案：请你根据素材直接写出符合条件的游览湿地公园和影视城的方案共有几种？并设计其中一种符合条件的游览湿地公园和影视城的方案． 共有____________种游览方案； 你设计的方案： 到达湿地公园时间：___________；在湿地公园停留___________分钟； 到达影视城时间：___________；在影视城停留___________分钟； 回到景区大门时间：___________； 【作业15】（23-24七年级下·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 1 学科网（北京）股份有限公司 $