期中压轴突破讲义 2026-2027学年上学期 沪科版七年级数学上册

沪科版七年级上册 期中压轴突破 · 培优讲义 期中压轴突破 数与式 · 数轴 · 规律探究 · 新定义 目　录 一、本册导航 3 　微专题 1　正负数的实际应用 3 　　题型 1　盈亏、偏差与累计 4 　　题型 2　检修、分段计费与优惠 8 　微专题 2　整式的概念与化简求值 10 　　题型 1　项与次数：不含某项求字母 11 　　题型 2　化简求值与无关条件 13 　微专题 3　整体思想 14 　　题型 1　整体代入求值 14 　微专题 4　绝对值与分类讨论 18 　　题型 1　绝对值的符号化简与分类求值 19 　　题型 2　非负性与字母定值 21 　微专题 5　数轴上的距离与折叠 23 　　题型 1　两点间的距离与最值 24 　　题型 2　折叠与对称 29 　微专题 6　图形规律 31 　　题型 1　火柴棒、棋子与图案 32 　　题型 2　图形的分割与拼接 34 　微专题 7　数列、数阵与周期 36 　　题型 1　数列规律与符号交替 37 　　题型 2　数阵与周期 41 　　题型 3　杨辉三角、幻方与月历 44 　微专题 8　程序框图与进位制 49 　　题型 1　程序框图与循环 50 　　题型 2　进位制互化 52 　微专题 9　数轴上的动点 52 　　题型 1　两点运动、相遇与距离 53 　　题型 2　动点与整式综合 60 　微专题 10　方案决策与建模 62 　　题型 1　购物、门票与优惠 63 　　题型 2　经营与生产决策 65 　微专题 11　几何代数式 66 　　题型 1　面积、周长与代值 67 　　题型 2　拼图与阴影部分的周长 71 　微专题 12　新定义运算 77 　　题型 1　符号定义运算 77 　　题型 2　阅读迁移与分类讨论 80 　微专题 13　新定义数与编码 82 　　题型 1　数位特征的新定义数 83 　　题型 2　集合、推理与周期 84 　　题型 3　编码与校验 85 　微专题 14　数轴上的新定义点 88 　　题型 1　距离倍分关系的新定义 89 　　题型 2　距离和差关系的新定义 92 一、本册导航 学习目标 本册要解决的问题 1．会把“距离”翻译成绝对值，会用 求点，并知道它一般有两解。 2．会判断绝对值内式子的符号、按符号分类求值，会用“两个非负数之和为零”把字母一次定死。 3．会把“折叠后两点重合”翻译成“折痕是中点”，会把动点位置写成含 的式子，并按时间分段讨论相遇、距离与折返。 4．会从图形、数列、数阵、周期与程序框图中读出通项，写成含 的整式并化简。 5．会读新定义：把定义翻译成等式或不等式，按点的位置取舍多解；能处理数位特征、编码与校验一类信息题。 6．会把面积、周长、阴影等几何量列成代数式，会用代数式做方案比较与决策。 重点与难点 本册的核心与门槛 重点　距离写成绝对值；整体代入；动点位置写成含 的式子；规律先算前三项再归纳通项；新定义翻译成方程。 难点　① 绝对值方程的分段与回验；② 连续两次折叠时第二次折痕要重算；③ 挡板折返的分段时间点；④ 图形分割类规律的通项归纳；⑤ 新定义数、新定义点的多解取舍。 学习主线 方法的先后次序 遇“距离”写绝对值 → 判断符号 → 非负性定字母 → 折叠化中点 → 动点写含 式 → 规律先算前三项再归纳 → 新定义翻译成等式 → 按位置取舍 → 几何量列式 → 代数式比较与决策。 微专题 1　正负数的实际应用 模块导学 正负数的实际应用 这一节的题不难，但极容易在“起点”和“累计”上翻车：给出的是每天的变化量，要求的是每天的实际量，中间必须逐日累加。分段计费的题则要先分段、再乘单价。 知识梳理 知识点 1　正负数记账与分段计费（基础） ① 先规定正方向：超出标准记正、不足记负；向东为正、向西为负。方向一乱，后面全乱。 ② 给出“每天的变化量”时，当天的实际量 前一天的实际量 当日变化量，必须逐日累加；给出“与标准的偏差”时，实际量 标准量 偏差。 ③ 总量 标准量 个数 各偏差之和；平均分 总分 人数。 ④ 分段计费：先按标准把用量分段，每段内“单价 段内数量”，最后相加；反过来已知费用求用量，要从低档往高档逐段扣。 易错　把“变化量”当“实际量”直接相加，是这类题最常见的错法。 注意　分段计费倒推时，先判断费用落在哪一档，再决定用哪一段的公式。 　题型 1　　盈亏、偏差与累计 　例 1　　（2026 合肥琥珀教育集团 21） 现有20筐苹果，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下． 与标准质量的差值（千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重                  千克． (2)与标准质量比较，这20筐洛川苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若该苹果每千克售价10元，则这20筐苹果可卖多少元？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 2　　（2026 马鞍山花园初中 23） 水果超市以30元/箱的价格从哈达批发市场购进8箱苹果，若以每箱苹果净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，称重后记录如下： (1)这8箱苹果一共重多少千克? (2)若把这些苹果全部以零售的形式卖掉，超市计划共获利那么在销售过程中苹果的单价应定为每千克多少元? (3)在实际销售过程中，超市预计苹果最终会有的损耗，若超市仍想获利那么在销售过程中苹果的单价应定为每千克多少元? 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 3　　（2025 马鞍山东方实验学校 23） 某中学积极倡导阳光体育运动，为提高㠴学生身体素质，现开展排球垫球比赛，下表为七年级某班45人全部参加排球垫球比赛的情况，表中有个数据被墨水涂污了，若垫球的标准数量为每人20个． 垫球个数与标准数量的差值 0 人数 5 12 2 1 4 ● 9 8 (1)问这个班平均每人垫球多少个？ (2)若规定垫球达到标准数量记0分，垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；垫球未达到标准数量，每少垫1个扣1分，则这个班垫球总共获得多少分？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 4　　（2026 合肥寿春中学 22） 今年十一黄金周，国庆中秋双节同庆，共8天假期，世界上最大的城市公园——合肥园博园，人流量再创新高，其中单日入园最高人数为40万人，进入中国景区单天的前十名，园博园在8天假期中每天旅游人数变化如表正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化单位：万人 10月1日的游客人数为40万人，问： (1)月4日的旅客人数为            万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多            万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为20万元，则黄金周8天的旅游总收入约为多少万元？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 5　　（2026 芜湖二十七中 22） 随着互联网的迅速发展，直播带货作为一种新型销售方式逐渐兴起，小李把自家工厂生产的茶干带到了直播间．9月30日小李团队在直播间卖了茶干，接下来国庆8天假中小李用表格记录销售情况，用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量．下表是假期8天的销量变化情况（单位：）： 10月 1 2 3 4 5 6 7 8 实际销售量比前一天的变化量 (1)国庆假期8天中的销量不超过9月30日的销量有            天； (2)这个国庆假期中销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少？ (3)如果茶干售价为20元/求国庆假期8天小李直播间卖茶干的收入． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 6　　（2026 淮北濉溪 22） 根据素材，请你探索解决以下任务： 素材1：某加工厂生产某种零件，厂里规定每个工人每周要生产零件560个，平均每天生产80个． 素材2：该厂工人李师傅由于各种原因，每天实际生产数量与计划数量有些变化．下表是李师傅某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 （1）【任务1】根据表格数据可知李师傅星期四生产零件            个； （2）【任务2】根据表格数据可知李师傅本周实际生产零件            个； 素材3：该工厂为鼓励工人的积极性作如下规定：每生产一个零件可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖8元；少生产一个则倒扣5元．该工厂实行两种工资结算制度：“每周计件工资制”和“每日计件工资制”，即分别按周和按天为单位时间结算工资． （3）【任务3】若李师傅选择“每周计件工资制”结算工资，那么李师傅这一周的工资总额是多少元？ （4）【任务4】精通数学的李师傅最终选择“每日计件工资制”来结算工资，你觉得李师傅的决定正确吗？请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　检修、分段计费与优惠 　例 7　　（2026 六安汇文中学 22） 某电路检修小组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆向东行驶为正，向西行驶为负，某一天施工过程中七次车辆行驶记录如下：（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 ﹣3 +8 ﹣9 +12 +4 ﹣4 3 （1）检修小组收工时在P的哪个方位？距P处多远？ （2）在第　 　次记录时距P地最远； （3）若检测车辆每千米耗油0.2升，每升汽油需7.2元，这一天检测车辆所需汽油费多少元？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 8　　（2026 宿州泗县 22） 供电局线路检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下： 到达地点 起点 A B C D E F G H I J 前进方向 北 南 北 北 南 北 南 北 南 北 所走路程（km） 0 9 3 5 3 6 11 4 8 11 10 (1)求H地与起点之间的距离有多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.15升，这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升？（精确到0.1升） 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 9　　（2026 六安轻工中学 22） 为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度不超过300度的部分 0.6 超过300度的部分 0.8 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正数、低于200度记为负数）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最少的是            月份，这个月电费            元； (2)若小明家某月用电量为x度请用含x的代数式表示小明家该月的电费． 当时，小明家该月的电费为            元； 当时，小明家该月的电费为            元； (3)若小明家七月份的电费为176元，请求出小明家七月份的用电量． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 10　　（2026 合肥五十中东校 16） 某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款              元． 　 　例 11　　（2026 宿州宿城一中 22） 某超市在“双十一”期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 小于元 九折优惠 大于或等于元 其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折 根据以上优惠条件完成下列任务： (1)若王阿姨一次性购物元，则他实际付款多少元？ (2)若王阿姨在该超市一次性购物元，则当x大于或等于500元时，他实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)若王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款元和元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 2　整式的概念与化简求值 模块导学 整式的概念与化简求值 这一节的压轴题只有两种问法：一是“不含某项”，二是“值与某个字母无关”。两种问法的答案都指向同一句话——把含该字母的项合并起来，令系数为零。 知识梳理 知识点 1　项、次数与“不含某项”（重点） ① 单项式的次数是所有字母指数之和；多项式的次数是次数最高项的次数，不是项数。 ② 多项式的每一项都带着它前面的符号，常数项是次数为 的项。 ③ “不含 项”就是合并同类项后 的系数为 “不含 项和 项”要列两个方程。 ④ 注意“关于 的二次多项式”这种说法：它要求三次项系数为 同时二次项系数不能为 ——只写前一半，答案会多出一个值。 易错　“二次多项式”隐含二次项系数不为零，这条限制常常就是压轴题的最后一分。 知识梳理 知识点 2　整式加减与“与某字母无关”（重点） ① 去括号时括号前是负号，括号内每一项都要变号；这是整式加减唯一的失分点。 ② 合并同类项只合并系数，字母与字母的指数都不变。 ③ “结果与 的取值无关”等价于：合并后 的各次项系数全为 ④ “ 与 的差是一个常数”等价于：差里所有含字母的项系数为 只剩常数项。 注意　先化简、再代值，永远比直接代入原式快，也不容易算错。 　题型 1　　项与次数：不含某项求字母 　例 12　　（2026 宿州联考 16） 若多项式不含和x项，则的值为              ． 　 　例 13　　（2026 合肥五十中东校 10） 若多项式与多项式的差不含二次项，则等于( 　　) A．2 B． C．4 D． 　例 14　　（2026 滁州定远育才 10） 一个多项式与的和是则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 　例 15　　（2026 芜湖无为石涧中学 14） 已知整式，其中…均为整数，为正整数，n为正整数，且满足． （1）当时，满足条件的整式中的单项式为            ； （2）满足条件的整式共有            个． 　 　例 16　　（2026 淮南田家庵十九中 22） 已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 17　　（2026 合肥行知学校 14） 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如 ﹣． （1）被捂住的多项式是                  ； （2）当+（y+1）＝0时，被捂住的多项式的值为                  ． 　 　题型 2　　化简求值与无关条件 　例 18　　（2026 六安仿真 22） 已知． (1)化简A； (2)若且A与的差无论x取何值结果都是一个常数，求a的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 19　　（2026 宿州统考 22） 已知代数式． (1)求 (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 20　　（2026 淮南凤台联考 14） 已知a+b=-7，ab=10，则代数式（3ab+6a+4b）-（2a-2ab）的值为            ． 　 　例 21　　（2026 安庆宿松联考 14） 已知m，n均为正整数，且满足则当m＝      时，n取得最小值    ． 　 　例 22　　（2025 马鞍山东方实验学校 18） 观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是                 ； （2）当时，多项式前100项的和为                 ． 　 微专题 3　整体思想 模块导学 整体思想 整体思想的题，题目一定会给你一个“算不出来”的式子—— 这种， 根本解不出整数。出路只有一条：不求出字母，把整个式子当成一个数，直接搬过去用。 知识梳理 知识点 1　把重复出现的式子看成一个数（重点） ① 观察所求式子里反复出现的结构（），它就是“整体”。 ② 目标是把所求式子化成“已知式子的若干倍加一个常数”： ③ 已知两个式子的值时，把所求式子重新分组，凑出这两个式子，再分别代入。 ④ 材料题常给出“把 看成一个整体”的示范，照着示范的变形方式做即可，不必另想办法。 易错　硬解 求出 再代入——七上解不出，考场上纯属浪费时间。 注意　系数要跟着整体一起提： 里的 不能漏。 　题型 1　　整体代入求值 　例 23　　（2026 合肥寿春中学 23） 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，有这样一道题“如果代数式的值为-4.那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的薛同学解题过程如下： 原式 薛同学把作为一个整体求解，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知求的值； 【拓展提高】 （2）已知求代数式的值； 【知识迁移】 （3）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置不重叠无缝隙)，若请求出图中阴影部分的周长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 24　　（2026 合肥八中铭传 22） 【阅读理解】代数式的值为5．求代数式的值． 小明同学采用的方法如下： 由题意得：则有所以代数式的值为3． 【方法应用】（1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）当时，的值为9，当x=-2时，求代数式的值． 【拓展应用】（3）若求代数式的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 25　　（2026 安庆外国语学校 22） 【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为            ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为19，当x=-2时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若mn=-1．则的值为            ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 26　　（2026 宿州砀山五中 23） 阅读材料：我们知道类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果为                ； （2）已知求的值； 拓展探索： （3）已知c-d=9，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 27　　（2026 淮北二中联考 22） 阅读材料，解答问题： 【材料】有这样一道题“已知代数式的值为-4，求代数式的值．” 小明同学是这样解答的：．我们把8a+5b看成一个整体，把式子代入，得原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知则          ； （2）已知mn=-1，求代数式的值； 【拓展提高】 （3）已知求代数式的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 28　　（2026 铜陵枞阳五校联考 14） 已知代数式的值是2，则代数式的值是          ． 　 微专题 4　绝对值与分类讨论 模块导学 绝对值与分类讨论 压轴题里的绝对值从来不只是“去掉符号”：先判断绝对值内的式子是正是负，符号拿不准就只能分类。这一节把“符号判断—分类求值—非负性”三件事一次说清，后面所有距离题都要用到它。 知识梳理 知识点 1　绝对值的意义与符号化简（重点） ① 的几何意义是数轴上表示 的点到原点的距离，所以 且 ② 去绝对值之前必须先判断符号： 时 时 题目没给符号，就只能分类。 ③ 形如 的式子只有两种取值： 时为 时为 几个这样的式子相加，答案就由“正数几个、负数几个”决定。 ④ 数轴上给出 的位置时，先比较大小定出每个因式的符号，再去绝对值——符号定错，整题作废。 注意　题目说“ 都不为零”，往往就是在提示要按符号分类，而不是默认全为正。 易错　 化成 只在 时成立；不能根据 各自的符号来判断。 知识梳理 知识点 2　非负性：和为零只能各自为零（基础） ① 若 则 且 ② 这条性质在压轴题里几乎每卷必考：先用它把字母一次钉死，再往下算，比设方程快得多。 ③ 条件是 时结论相同；条件是 时同样成立。 ④ 反向使用：要把两个字母“绑”在一起，就构造“非负数之和为零”的形式，题目常写成 易错　两个数之和为零，推不出各自为零；必须补上“非负”这个前提。 　题型 1　　绝对值的符号化简与分类求值 　例 29　　（2026 六安汇文中学 10） 如果且那么下列式子可能成立的是（ ） A． B． C． D． 　例 30　　（2026 六安裕安九中 10） 如果a、b、c都不为零，且则的所有可能的值为（ ） A．0 B．1或 C．2或 D．0或 　例 31　　（2026 中科大附中 10） 下列说法中，正确的个数（ ） ①若则 ②若则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是若相邻两点的距离相等，则 ④abc<0，则的值为． A．个 B．个 C．个 D．个 　例 32　　（2026 芜湖无为石涧中学 10） 若则a的值是（ ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 　例 33　　（2026 滁州定远育才模拟 10） 若则a的值为（ ） A． B．8 C．2或 D．或8 　例 34　　（2026 马鞍山二十中 10） 下列说法中，不正确的是（ ） A．若则若则 B．若是有理数，则不可能是负数 C．若（y 0），则 D．已知b，c均为非零有理数，若则的值为4或 　例 35　　（2026 马鞍山花园初中 10） 已知b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①abc>0；②③④其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 　例 36　　（2026 宿州统考 14） 已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简            ． 　 　例 37　　（2026 宿州泗县 23） 我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对a进行分类讨论，当a 0时，当a<0时，．现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)                    ，                    ； (2)                    （a 0），                    （其中a>0，）． (3)若试求的所有可能的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　非负性与字母定值 　例 38　　（2026 安庆岳西联考 10） 如果那么代数式的值是（ ） A．1 B． C． D．2021 　例 39　　（2026 淮北二中联考 10） 已知有理数b满足且a=b，则的值为（ ） A．0 B． C．0或 D．0或2 　例 40　　（2026 滁州定远育才模拟 22） 已知． (1)若求． (2)若则的值是多少？ (3)在（2）问的条件下，其中为最小的自然数，b为最大的负整数，c为y的相反数，求的相反数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 41　　（2026 中科大附中 23） 已知a，b，c是整数，满足求m的值． 　 　 　 　 　 　 　例 42　　（2026 合肥四十六中南校 22） 已知整数…满足下列条件：…以此类推，则的值为            ． 　 微专题 5　数轴上的距离与折叠 模块导学 数轴上的距离与折叠 数轴上的一切距离，都是两个数之差的绝对值。把这一句用熟，折叠、最值、动点都只是它的变形。折叠题的条件只有一句“两点重合”，翻译过来就是“折痕是这两点的中点”。 知识梳理 知识点 1　两段距离和：中间一段是常数（重点） ① 两段都向左量， 越大和越小； ② 一段向左、一段向右， 被整个消掉，和恒等于两点距离； ③ 两段都向右量， 越大和越大。 于是最小值就是 而且不是在某个点取到，是在整段 上处处取到——答案是一段范围，不是一个点。 注意　已知 题目给出 可直接答 不必分三段去解。 注意　三个零点求最小值，取中间那个零点；四个零点两两配对，最外一对先配成常数。 知识梳理 知识点 2　折叠：折痕是两点的中点（难点） ① 把数轴沿某点折叠，使表示 的两点重合，折痕表示的数就是 ② 反过来用：折痕为 时，点 折叠后落到 要判断两点是否重合，只需看它们的和是否等于 ③ 连续折叠两次时，第二次的折痕要用第一次折叠后两点的新位置重新算，不能沿用第一次的中点。 ④ 折叠前后的“距离”不变：重合的两点到折痕距离相等，这是列式的根据，也是检验答案的依据。 易错　第一次折叠后点的位置已经变了，第二次折叠若不重算折痕，答案必错。 　题型 1　　两点间的距离与最值 　例 43　　（2026 皖版拔高 23） 阅读材料： 距离产生美！在数轴上，两点间的距离等于对应两数之差的绝对值.如：数轴上表示数1和5的两点间的距离为例如数轴上表示数x和2的两点间的距离为.依据上述材料，解答下列问题：如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为                ，b的值为                ，点A与点B的距离为                ； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动：点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是            ，点N表示的数是                （均用含t的代数式表示）； ②若求时间t的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 44　　（2026 合肥琥珀教育集团 22） 在数轴上，若点分别对应有理数则称为点两点之间的距离．请根据定义解决下列问题： (1)已知求的值                ； (2)已知点对应数a，点B对应数-2，且A，B两点之间的距离为5，求的值； (3)在数轴上有一点对应数为m，点M到表示-1的点的距离是到表示3的点的距离的2倍，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 45　　（2026 宿州砀山五中 22） 【阅读材料】的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数                的点之间的距离； (2)（ⅰ）若求x的值； （ⅱ）求的最小值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 46　　（2026 铜陵十五中联合体 21） 阅读下列材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，根据绝对值的定义，x表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为时，点P与点Q之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题：已知数a、b、c在数轴上表示的数分别是点A、点B、点C，且a，b，c满足． (1)                ，b=                ，                ；并在数轴上表示出A、B、C三个点； (2)                个单位长度；若点M在A、C之间，则                ； (3)若则                ； (4)代数式的最小值等于                ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 47　　（2026 宿州统考 23） 学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作那么的意义可以看作是数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则线段．例如，的意义为数轴上表示数a与5的两点间的距离；的意义为数轴上表示数a与-5的两点间的距离；若则a的值为3或． (1)若则x的值为            ；若则的值为          ； (2)如图，数轴上线段CD=3，点A在数轴上表示的数是-6，点C在数轴上表示的数是7，若线段AB以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是              ，点在数轴上表示的数是            ； ②当为何值时，． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 48　　（2026 马鞍山八中 24） 阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；对于表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，那么A,B之间的距离可表示为． 已知数轴上两点对应的数分别为-2、4，点为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点点的距离相等，求点P对应的数为          ． (2)若点P在点B之间，且到点A的距离是到点B的距离的2倍，求的值； (3)数轴上是否存在点使点P到点A的距离是到点B的距离的3倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 49　　（2026 六安汇文中学 14） 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离． （1）              ． （2）若则负整数的值为          ． 　 　例 50　　（2026 淮北二中联考 23） 数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点B在数轴上分别表示数则A，B两点的距离可表示为：如式子它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和5的两点之间的距离是          ；数轴上表示-2.5和-5.2的两点之间的距离是          ；数轴上表示和的两点之间的距离是          ； （2）已知数轴上的点表示-1，点A与点B之间的距离是6，则数轴上点所表示的数是            ； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　折叠与对称 　例 51　　（2026 合肥四十六中 21） 如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数            的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为则点A表示的数是            ，点B表示的数是            ． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为请求出所有满足条件的点P所表示的数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 52　　（2026 铜陵十五中联合体 10） 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长厘米的线段AB，则线段盖住的整点个数是（ ） A． B． C．或 D．或 　例 53　　（2026 皖版拔高 14） 已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足则： （1）c的值为            ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为          ． 　 　例 54　　（2026 宿州宿城一中 21） 已知数轴上有从左到右排列的三个点A，B，C，它们对应的数分别为a，b，c且满足小明将刻度尺的零刻度线与数轴上的点A对齐，发现点B对应的刻度值为1.8cm，点C对应的刻度值为． (1)            ，b=            ，            ． (2)在图1的数轴上，动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；动点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动．P、Q同时出发，请问经过多少秒，动点P能追上动点Q？ 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 6　图形规律 模块导学 图形规律 图形规律题看上去在考“眼力”，实际上只考一件事：相邻两个图形多了多少。把前三个图形的数量数准、把两次差算出来，规律基本就现形了。 知识梳理 知识点 1　数三个、求两差（重点） ① 先数出前三个图形的数量 数错一个，后面全错——这一步值得多花一分钟。 ② 求差： 与 若相等为 则第 个是 ③ 若两次差不等，再求“差的差”；差本身成等差时，通项是二次式，可设为 用前三项定系数。 ④ 也可用“固定骨架 每次新增”拆图：新增部分常常是每次增加同一个数，或每次多加 注意　通项里的 不能写成 第 个图形只加 次。 知识梳理 知识点 2　正着写通项，反着解个数（难点） ① 正问：“第 个有多少”——把通项写出来即可。 ② 反问：“第几个有 个”——解方程 取正整数解；解不出整数就说明不存在。 ③ 图形规律里还常出现“黑白两色分别计数”，要分别写两个通项，不要混在一起。 ④ 拼图类（正方形剪开、平行四边形分割）先看“每次多出几块”，多出的块数往往就是公差。 易错　题目问“第几个图形有 2025 根”，却把 代进通项算数量，方向反了。 　题型 1　　火柴棒、棋子与图案 　例 55　　（2026 六安仿真 10） 用火柴棒按如图所示的方式搭一行三角形，则搭2025个三角形需要火柴棒（ ） A．4045根 B．4047根 C．4049根 D．4051根 　例 56　　（2026 宣城六中 21） 学科素养·实践探究 下列是用火柴棒拼出的图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有                      根火柴，第7个图中共有                      根火柴； (2)第个图形中共有                      根火柴：（用含的式子表示） (3)请判断上组图形中前2026个图形火柴数的总和是否为2026的倍数，并说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 57　　（2026 淮南潘集 16） 如图，是由一些小棒搭成的图案，图①用了5根，图②用了9根，图③用了13根，…，按照这种方式摆下去，摆第n个图案用了根小棒，则n＝          ． 　 　例 58　　（2026 皖版检测 10） 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，则第⑧个图形中棋子的颗数为（　　） A． B． C． D． 　例 59　　（2026 宿州砀山五中 10） 为庆祝国庆，某学校举办了一次创意设计竞赛．明明用大小相等的五角星按一定规律摆放出如图所示的图案，则第25个图案中五角星的颗数为（ ） A．66颗 B．69颗 C．72颗 D．76颗 　题型 2　　图形的分割与拼接 　例 60　　（2026 六安仿真 14） 如图是一组有规律的图案，第①个图案由6个基础图形组成，第②个图案由11个基础图形组成，…． （1）第⑤个图案由                个基础图形组成； （2）第ⓝ（n是正整数）个图案由                个基础图形组成．（用含n的代数式表示） 　 　例 61　　（2026 安庆岳西联考 14） 下列图形是由大小相等的小正方形按照一定的规律拼成的，第1个图中有9个小正方形，第2个图中有14个小正方形，第3个图中有19个小正方形，……，则第个图中小正方形的个数是            ． 　 　例 62　　（2026 宿州宿城一中 14） 如图，按一定的规律分割平行四边形后，第1个图形中共有2个三角形，第2个图形中共有8个三角形，第3个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第n个图形中共有                个三角形． 　 　例 63　　（2026 马鞍山成功学校 14） 如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第10个图中共有正方形的个数为            ，第n个图中共有正方形的个数为            ． 　 　例 64　　（2026 宿州宿城一中 10） 如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的右上端剪去一个直径为1的半圆后得到图形然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪去的半圆的半径)得到图形……,记纸板的面积为则的值为( ) A． B． C． D． 　例 65　　（2026 芜湖二十七中 10） 正六边形在数轴上的位置如图所示，点A和F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为-1．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（ ） A．A B．B C．C D．D 微专题 7　数列、数阵与周期 模块导学 数列、数阵与周期 这一类题的关键不是算，而是“认结构”：等差、符号交替、平方数、分组、周期，五种结构对应五种写法。认出来，剩下的只是代公式。 知识梳理 知识点 1　数列的五种常见结构（重点） ① 等差：相邻两项差为常数， ② 符号交替： 或 乘上一个正项，先定符号再定绝对值。 ③ 平方数与三角形数： 是 是 ④ 分组数列：每组的个数在变（ 个、 个、 个……），先算“前几组一共多少项”，再定位。 ⑤ 幂的个位： 的幂个位按 循环， 的幂按 循环，用指数除以 看余数。 注意　 在 为奇数时是 别记反。 知识梳理 知识点 2　数阵与周期：看余数（难点） ① 十字框框住的五个数，和恒等于中心数的 倍；一月历中上下相邻差 左右相邻差 ② “任意相邻三个数之和为常数”意味着数列以 为周期：据此把大下标化小。 ③ 周期问题统一用除法：第 项 第 项，其中 是 除以周期 的余数；余数为 时取周期中最后一个。 ④ 数阵中“第几行第几列”要先算每行个数，再用除法定位，行列都从 开始数。 易错　余数为 时对应周期里的最后一项，不是第 项——这是周期题最常见的丢分点。 知识梳理 知识点 3　杨辉三角与幻方（拓展） ① 杨辉三角的构造规则只有一句：每个数等于它上方两数之和；第 行有 个数。 ② 幻方：每行、每列、每条对角线上的数之和都相等，这个和叫幻和。 ③ 三阶幻方中，中心数 相对两格的和 中心数。 ④ 解幻方题时用“公共格”列等式：同一行、同一列共用的那格，是打通两个式子的钥匙。 注意　幻方的“和相等”对每条对角线也成立，漏掉对角线就少一个条件。 　题型 1　　数列规律与符号交替 　例 66　　（2026 合肥四十六中 10） 观察下列数字规律 2 32 -64 128 则第8行第10个数是（ ） A． B． C． D． 　例 67　　（2026 合肥琥珀教育集团 10） 如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（ ） A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 　例 68　　（2026 淮南潘集 23） 观察下列三行数，回答下面的问题： 第一行：4、-8、16、……① 第二行：0、6、18、……② 第三行：2、-4、8、……③ (1)请直接写出每一行的第6个数分别是            ，            ，            ； (2)取每行数的第个数，从上到下分别记为a，b，c，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 69　　（2026 马鞍山成功学校 22） 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：． …． (1)请写出第5个等式：            ； (2)写出第个等式：            ；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 70　　（2026 马鞍山八中 10） 观察下列算式：…，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 　例 71　　（2026 合肥行知学校 10） 已知（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数字），…，则的值为：（ ） A． B． C． D． 　例 72　　（2026 皖版检测 14） 观察个位上的数字是5的自然数的平方(任意一个个位数字为5的自然数可用代数式来表示，其中n为自然数)，会发现一些有趣的规律．请仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：…… （1）第4个等式：                        ； （2）第n个等式：                          (用含n的等式表示)． 　 　例 73　　（2026 宿州联考 10） “QQ空间”等级是用户资料和身份的象征,按照空间积分划分不同的等级.当用户在10级以上,每个等级与对应的积分有一定的关系.现在知道第10级的积分是90,第11级的积分是160,第12级的积分是250,第13级的积分是360,第14级的积分是490…若某用户的空间积分达到1000,则他的等级是( ) A．15 B．16 C．17 D．18 　例 74　　（2026 合肥寿春中学 10） 数轴上所有整数点处均安装有固定灯，初始时仅点亮表示0的点处的灯.按规律切换亮灯点：第一次，在当前亮灯点处左2个单位长度，点亮该位置的灯，之后每次的亮灯都与前一次方向相反，且距离比前一次多2个单位长度，则第2025次点亮的灯在数轴上对应的数是（ ） A．2025 B．2026 C． D． 　例 75　　（2026 芜湖二十七中 23） 综合与实践： 【活动背景】七年级某班为筹备校园文化节，成立了“创意阵列设计小组”．小组计划用彩色花盆摆成三角形装饰阵列，用灰色地砖铺成正方形展示区域．在实践中，他们发现两类阵列的数量存在有趣的规律，将其命名为“三角阵列数”（花盆总数）和“正方阵列数”（地砖总数）． 【操作与发现】 如图1（三角形花盆阵列）：第1个阵列用1盆花，第2个阵列在第1个的基础上增加2盆，共3盆；第3个阵列再增加3盆，共6盆……这些逐层累加的花盆数，称为“三角阵列数”． 如图2（正方形地砖阵列）：第1个阵列用1块地砖，第2个阵列是的正方形（4块），第3个阵列是的正方形（9块）……这些阵列中对应的正方形地砖总数，称为“正方阵列数”． 【观察与思考】设第n个“三角阵列数”为x（即第n个三角形花盆阵列的总盆数），第n个“正方阵列数”为y（即第n个正方形地砖阵列的总块数），小组整理了如下表格： n 1 2 3 4 … x 1 3 6 p … y 1 4 9 q … （1）上表中，p，q的值分别为            ，            ； （2）文化节筹备中，需要找到一个“通用数量”——既能摆成完整的三角形花盆阵列，又能铺成完整的正方形地砖阵列（即既是“三角阵列数”又是“正方阵列数”），这样能最大化利用材料．下列各数中符合要求的是            （填序号）； ①36；②49；③55；④1225． 【猜想与应用】 （3）观察图形与表格，进一步猜想n与x，y之间的关系为            ；（用含x，y的代数式表示） （4）小组同学还发现一个隐藏规律：当时，任意一个“正方阵列数”都可以看作某两个相邻“三角阵列数”之和，比如4（块地砖）=1（盆花）+3（盆花），9（块地砖）=3（盆花）（盆花）．据此，文化节需要铺一个225块地砖的正方形展示区域，这个地砖数可以看作哪两个相邻的三角形花盆阵列的花盆数之和？请写出你的判断过程． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　数阵与周期 　例 76　　（2026 皖版拔高 10） 正整数按图中的规律排列，请找出数字2025在第几行，第几列（ ） A．45行4列 B．45行3列 C．45行2列 D．45行1列 　例 77　　（2026 合肥五十中东校 22） 将连续的偶数2，4，6，排列成如下的数阵表，再用十字框框出5个数(如图 (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数20有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和为            ； (3)十字框框住的5个数之和能等于吗？能等于2025吗？能等于吗？若能，分别写出十字框框住的5个数，并填入框图中；若不能，请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 78　　（2026 合肥三十八中 23） 探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行： 3 第3行：5 7 9 第4行： 11 -12 13 -14 15 …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 79　　（2026 六安裕安九中 14） 如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 1 a b c 5 （1）填空：                   ； （2）若前n个格子中所填整数之和为2025，则n的最小值为                ； 　 　例 80　　（2026 芜湖南陵春谷中学 10） 现有一列数其中并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 　例 81　　（2026 滁州定远育才模拟 23） 将个数排成一行从左向右依次计算相邻两个数的平均数，并按计算的先后顺序将所得的数排成一行，重复以上操作，直至得到两个数．将这两个数的平均数记为． 例如，求的值． 第一步：依次计算得到2，-2， 第二步：依次计算得到0，．计算0和的平均数，得到 则 根据以上信息，回答问题： (1)的值为 　　　　　　 ； (2)当m的值为 　　　　　　 时，的绝对值取得最小值； (3)如果与y互为相反数，判断是否是定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 3　　杨辉三角、幻方与月历 　例 82　　（2026 合肥四十六中 20） 南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为            ； (2)展开式共有            项，第19项系数为            ； (3)利用上面的规律计算：． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 83　　（2026 六安裕安九中 23） 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式， (2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 84　　（2026 中科大附中 15） 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为                      ． 　 　例 85　　（2026 合肥琥珀教育集团 15） 将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图（1）．将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图（2）． （1）图（1）中的值为                ； （2）图（2）幻方中9个数的和为                ． 　 　例 86　　（2026 淮北西园中学 10） “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（ ） A． B． C．0 D．1 　例 87　　（2026 芜湖南陵春谷中学 15） 如图是某月的月历卡，笑笑用“十字形”框玩框数的游戏每次都要框出5个数，如果框出的5个数中正中间的数是a，这5个数的和为                      （用含a的式子表示），一共可以框出                    种不同的和． 　 　例 88　　（2026 六安轻工中学 14） 我国古代用天干和地支纪年，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行： 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸…… 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥…… 从左向右第1列是甲子，可以表示甲子年，第4列是丁卯，可以表示丁卯年…… （1）在上面的天干排列中，丙第n（n是正整数）次出现，位于从左向右的第            列（用含n的式子表示）； （2）2022年是壬寅年，表示该年的壬寅可以位于从左向右的第            列（写出一个即可）． 　 　例 89　　（2026 皖版检测 22） 【综合与实践】如图①是某月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，然后通过计算探索其中位置如图②所示的四个数“”的值． (1)初步分析：计算图①中的结果为            ． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．理由如下，请你将其补充完整． 解：设则b=x+2，c=x+14，            ． 所以（ ）=            ． (3)同类探究：利用小乐的方法，借助图①中的日历继续探究，探索其中位置如图③所示的四个数“”的值．写出你的结论，并仿照（2）的方法说明结论成立的理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 8　程序框图与进位制 模块导学 程序框图与进位制 程序框图考的是“照着做”，进位制考的是“按权展开”。前者怕的是没找到循环节，后者怕的是位权数错——两件事都可以用“把前几步老老实实写出来”解决。 知识梳理 知识点 1　框图：顺着箭头算，找循环节（基础） ① 从“输入”开始，按箭头方向一步一步算，遇到判断框按条件分两支。 ② 求“第 次输出”时，先算前五六次，写出结果序列，看从第几次开始重复。 ③ 设重复的循环节长度为 循环从第 项开始，则第 次输出对应循环节里第 项（余数为 取最后一项）。 ④ 程序里若出现“若结果大于某数则输出，否则返回”，返回就是循环，出口条件决定循环几次。 易错　把前置的几项也算进周期里，导致下标整体错位。 知识梳理 知识点 2　进位制：按权展开（拓展） ① 进制转十进制，按权展开： ② 十进制转 进制，除 取余、倒序排列，直到商为 ③ 十六进制用 表示 运算时先换成十进制再算。 ④ 不同进制比较大小，先统一换成十进制，再比。 注意　位权从右往左是 最右边一位的权是 不是 　题型 1　　程序框图与循环 　例 90　　（2026 合肥寿春中学 14） 有一个有趣“有理数转换器”，如图所示箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器 （1）当输入数字为5时，输出的结果是                        ； （2）若输入有理数为n，轴出的结果是5，且知道则输入的数n是                        ． 　 　例 91　　（2026 安庆外国语学校 10） 如图是一个数据运算程序，如果开始输入的x的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，则第2次输出的结果是16，……，以此类推，第2025次输出的结果是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 　例 92　　（2026 宿州泗县 10） 如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是第二次输出的结果是1，依次继续下去．第1080次输出的结果是（ ） A．4 B． C．1 D． 　例 93　　（2026 滁州定远育才 14） 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图．若开始输入的值为-2，则最后输出的结果是                  ． 　 　例 94　　（2026 马鞍山八中 18） 如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时，则输出的结果为                ． 　 　题型 2　　进位制互化 　例 95　　（2026 宣城六中 10） 为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：（规定：当a 0时，），根据以上信息，将转化成十进制数是（ ） A．28 B．29 C．58 D．62 　例 96　　（2026 淮北濉溪 14） 计算机中常用的十六进制是逢进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼ F共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如：十进制中用十六进制表示为1A，具体转化方法：（对应十六进制A）；十进制中571用十六进制表示为23B，具体转化方法：．由上可知，十六进制中8D=          （运算结果用十进制表示）；十进制中          （运算结果用十六进制表示）． 　 　例 97　　（2026 淮南潘集 10） 将六进制数转化为十进制数的结果为（ ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 微专题 9　数轴上的动点 模块导学 数轴上的动点 动点题的通用套路只有一步：先把“几秒后点在哪里”写成含 的式子。位置式写对了，相遇就是两个式子相等，距离就是两个式子相减再取绝对值，剩下的都是解方程与分段。 知识梳理 知识点 1　位置写成含 t 的式子（重点） ① 起点为 以每秒 个单位向右运动， 秒后位置为 向左则为 ② 两点间的距离写成 绝对值里是一个含 的一次式，符号由 的大小决定。 ③ 相遇就是两个位置式相等，解出的 代回任一式即得相遇点。 ④ 题目常要求“用含 的代数式表示”，这是送分的第一步，也是后面所有小问的地基，务必先写。 注意　“同时出发”“运动时间为 秒”隐含 求出的负根要舍去。 知识梳理 知识点 2　折返与分段（难点） ① 碰到挡板（或端点）后原路返回，速度大小不变、方向相反，位置式要按“到达挡板的时刻”分成两段写。 ② 分段点就是运动物体到达挡板的时刻，先算这个时刻，再分段写位置，不要一上来就列绝对值方程。 ③ 分段后每一段内都是匀速直线运动，距离仍写成两个位置式之差的绝对值，逐段解完再合并答案。 ④ 若题目问“两点距离为定值”，往往要说明在某一时间段内距离与 无关，答题时必须写出这个时间段。 易错　折返后仍用原方向的位置式，等于假设点穿过了挡板，答案会多出根本不存在的解。 　题型 1　　两点运动、相遇与距离 　例 98　　（2026 宿州联考 25） 数轴上有两个点A、B，分别代表的整数是a和b，a、b满足． (1)　　　，　　　，点A与点B之间的距离是　　　． (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点A、B同时运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①t秒时，点A对应的数为　　　；（用含t的式子表示） ②当时，求点A与点B之间的距离．（用含t的式子表示） 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 99　　（2026 合肥八中铭传 23） 阅读材料对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点称这样的操作为点P的“m速移”， 点称为点P的“速移”点． 阅读材料若点表示的数分别为则线段MN的长度可以这样计算：或那么当点表示的数分别为时，线段MN的长度可以表示为或． (1)当时， ①如果点表示的数为-5，那么点A的“m速移”点表示的数为 ； ②点的“m速移”点表示的数为4，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为1，C表示的数为x，点C向右平移3秒，得到点C的“2速移”点那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为2026，且点E在点F的左侧，点通过“2速移”分别向右平移秒得到点如果请直接用等式表示的数量关系． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 100　　（2026 合肥行知学校 23） 如图，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且． (1)直接写出 ， ，点C所对应的数是 ； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． ①当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； ②若求t的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 101　　（2026 淮北西园中学 23） 如图在数轴上点表示数，点表示数，，满足． (1)点表示的数为                    ；点表示的数为                    ； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）． ①当时，甲小球到原点的距离=          ；乙小球到原点的距离=                    ； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时运动的时间的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 102　　（2026 淮南凤台联考 23） 如图，已知数轴上两点B对应的数分别为a、b，且动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点表示的数为            ，点B表示的数为            ，点P表示的数为            用含t的式子表示 (2)动点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，同时出发． 当t为何值时，点P、Q两点到点的距离相等？ 式子的值不随时间t的变化而变化，求的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 103　　（2026 马鞍山成功学校 23） 已知有理数b满足且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示． (1)求的值． (2)若数轴上有一点满足求点表示的数． (3)若动点和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位/s和4单位/s的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时PQ=30？请直接写出点表示的数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 104　　（2026 马鞍山花园初中 24） 初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数-10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ=2，MN=6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ； (2)在木棒向右运动的过程中，当t为何值时点P与点N重合？ (3)点D为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 105　　（2026 皖版检测 23） 已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 106　　（2026 六安轻工中学 23） 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时， (4)若点M为的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　动点与整式综合 　例 107　　（2026 安庆外国语学校 23） 已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和． (1)则          ，          ；A，B两点之间的距离为          ； (2)有一动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达A或B即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，BD-2AD的值始终保持不变，求D点运动的方向及的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 108　　（2026 淮北濉溪 23） 如图：在数轴上点表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为． (1)          ，b=          ，          ； (2)若点点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒， ①当为何值时C与相距三个单位长度？ ②小明同学发现：的值是个定值，求此时的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 109　　（2026 淮南田家庵十九中 23） 综合与探究 【问题情境】数轴是研究有理数的重要工具，有了数轴这个工具，就可以“用数轴上的点表示数”和“用数表示数轴上的点”，这为我们利用数形结合研究数学问题提供了重要手段． 如图是小亮画的一条数轴． 【观察思考】 （1）点A表示的数是              ； （2）点B在数轴上表示的数为2，则A，B两点间的距离是            ； （3）点C也在数轴上，且到点A的距离为3，则点C表示的数为              ； 【类比探究】 （4）如图，小敏也画了一条数轴（不完整），数轴上的点M，N分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6．若点M以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时数轴上一个动点G以每秒1个单位长度的速度向左移动．经过2秒后，M，G两点间的距离为3．则点G起始位置表示的数为            ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 10　方案决策与建模 模块导学 方案决策与建模 方案题不考方程，考的是“用字母把两种方案都写出来”。写完以后，要么代值算，要么作差比大小——比的是同一个 下谁更便宜。 知识梳理 知识点 1　列两个代数式，作差比较（重点） ① 设共同的自变量（人数、本数、里程）为 两种方案各写一个含 的整式。 ② 比较大小用作差法： 说明 便宜， 说明 便宜。 ③ 题目给定具体数量时直接代值，不必化简到最简形式，但要保证式子本身正确。 ④ 注意题目里的限制条件：“两种都要”“不少于”“超过 人”，这些条件决定 的取值范围，也决定答案要不要取舍。 易错　把“打八折”写成“减去 ”，对金额成立，对“免去两人费用”这类条件不成立，要按题意逐条翻译。 注意　分段收费类要先判断 落在哪一段，再用那一段的公式。 　题型 1　　购物、门票与优惠 　例 110　　（2026 合肥三十八中 10） 某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 　例 111　　（2026 合肥行知学校 22） 网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 112　　（2026 芜湖无为石涧中学 22） 某校的体育组准备添一批足球和跳绳体育器材，张老师在查阅天猫网店后，发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元，现有A和B两家网店均提供包邮服务，并给出各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳． B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球50个，跳绳x条（x大于50） (1)请用含x的代数式分别表示在网店购买，需付款多少？ (2)假如学校买 100条跳绳，请你设计出最省钱的购买方案，写出理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 113　　（2026 合肥五十中东校 23） 合肥市50中东校七年级某班36名师生外出秋游，根据学生的喜好分成A、B、C三组分别前往A、B、C三个景点，且A组人数是B组人数的倍少1人，各景点门票单价如下表所示．若B组人数为a人，购买全部景点的总票价是b元． A景点 B景点 C景点 门票元 50 40 30 人数              a              (1)先填表，即用含a的代数式表示出A景点和C景点的人数； (2)当时，购买A景点门票花费了            元；C景点门票花费了            元； (3)①用含a的代数式表示b，并化简； ②在购买B景点门票时王老师给售票员6张元，售票员找回了一些零钱，求购买全部景点的总票价 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　经营与生产决策 　例 114　　（2026 皖版拔高 22） 孙师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车，两款车的有关数据如下： A款：燃油车 / 油箱容积：40升 / 油价：9元/升 / 续航里程：千米 / 每千米行驶费用：元 B款：新能源车 / 电池电量：60千瓦时 / 电价：0.6元/千瓦时 / 续航里程：千米 / 每千米行驶费用：            元 根据以上信息，解答下列问题： (1)用含的代数式表示B款车的每千米行驶费用            元； (2)若续航里程是600千米， ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若A款和B款车每年的其它费用分别为4800元和7500元．当每年行驶里程为6000千米时，买哪款车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 115　　（2026 蚌埠淮三角联考 22） 某校组织学生外出研学，旅行社报价为300元/人，旅行社对30人以上团体推出两种优惠举措： 方案一：每人收费七五折优惠；方案二：免去2人的费用，其余每人八折优惠． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，两种方案所需的费用分别是多少元？ (2)当时，选择哪种方案较为合算？说说你的理由． (3)到达目的地后，该校学生分成甲、乙两组分别参观某革命胜地和考古遗址公园，该革命胜地门票为80元/人，考古遗址公园门票为60元/人，已知乙组人数比甲组人数的2倍少10人，若这两组在各自的景点处所花费的门票费用相同，求甲、乙两组的人数． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 11　几何代数式 模块导学 几何代数式 这一节的题图看着复杂，做法却极朴素：把所有边都用同一个字母表示出来，然后该加加、该减减。阴影周长还有一招“平移”——凹进去的边搬到外框上，周长立刻变成大长方形的周长。 知识梳理 知识点 1　把每条边换成同一个字母（重点） ① 先在图上把已知长度标出来，再用“整段减一段”表示剩下的边。 ② 同一个长方形的对边相等，正方形的四边相等——这是把所有边统一到一个字母的关键。 ③ 周长 各边之和；面积 分割后各部分面积之和，别漏掉重叠部分。 ④ 结果通常是含一个或两个字母的整式，能合并的先合并，再代值。 注意　题目给的“长比宽长 ”要立刻写成“长 宽 ”，这是设元的入口。 知识梳理 知识点 2　平移法求阴影周长（难点） ① 把凹进去的横边向上平移、竖边向左右平移，拼到外框上，阴影周长 大长方形周长。 ② 若阴影由两块组成，分别平移后相加，注意公共边不重复计。 ③ 周长之差类题目，先各自用字母表示，再作差，差里往往只剩一个字母。 ④ 面积类不能用平移，必须“总面积 空白面积”，或者分割求和。 易错　平移只对“长度”有效，对面积无效；用平移算面积必错。 　题型 1　　面积、周长与代值 　例 116　　（2026 安庆岳西联考 22） 我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中最大圆的半径为中间圆的半径为4个最小的圆的半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的代数式表示图中阴影部分的面积． (2)当时，求阴影部分的面积（取3）． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 117　　（2026 淮南凤台联考 22） 如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部分每个小正方形的边长为米，求： (1)窗户的面积； (2)窗框用料实线部分的总长度； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米20元，窗框料每米30元，窗框厚度不计那么生产这种窗户的总费用是多少？全部用含的代数式表示） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 118　　（2026 合肥四十六中南校 20） 如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的长方形荒地，政府准备在此建个休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，设宽为x米．中间的三个长方形区域（空白部分）将铺设塑胶地面作为运动场所，三个长方形其中一边均为a米． （1）用含x的代数式表示a，则                米； （2）用含x的代数式表示塑胶场地的总面积（空白部分）并化简； （3）若米，塑胶场地的造价为每平方米80元，请计算塑胶场地的造价． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 119　　（2026 六安裕安九中 22） 小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）． 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求a的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含x 的代数式表示） (3)按市场价格，木地板单价为320元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表所示：已知：则小方家应选择哪种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 120　　（2026 蚌埠G5联考 21） 小亮对家中客厅的窗户设计了两种窗帘，图1的窗帘是由两个完全相同的四分之一圆组成，图2的窗帘是由一个半圆和两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图1所示的窗帘，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 （结果保留π）． (2)通过计算说明图1、图2哪种设计使窗户能射进阳光的面积更大？大多少？（结果保留π） 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　拼图与阴影部分的周长 　例 121　　（2026 安庆宿松联考 10） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示．从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形．在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（ ） A．4张 B．5张 C．8张 D．9张 　例 122　　（2026 淮北濉溪 10） 如图，长为宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为下列说法中正确的是（ ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 　例 123　　（2026 淮南凤台联考 10） 把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图②与图③中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长10cm，若记图②中阴影部分的周长为图③中阴影部分的周长为那么（ ） A． B． C． D． 　例 124　　（2026 淮南潘集 22） 用6个如图①所示的长为a，宽为b的长方形，拼成一个如图②所示的图案，得到两个大小不同的长方形． (1)请用含a，b的代数式，分别表示大长方形和小长方形的周长． (2)若求两个长方形的周长差． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 125　　（2026 蚌埠淮三角联考 10） 三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ） A． B．小长方形的周长为 C．与的周长和恰好等于长方形的周长 D．只需知道和m的值，即可求出与的周长和 　例 126　　（2026 铜陵十五中联合体 16） 如图1是长a、宽bcm的长方形卡片，如图2、图3，在两个相同的大长方形中不重叠地放置2张如图1的长方形卡片，已知大长方形的长比宽长5cm，则图2中阴影部分的周长为            ．（用含a，b的式子表示） 　 　例 127　　（2026 马鞍山成功学校 10） 如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（ ）． A． B． C． D． 　例 128　　（2026 马鞍山二十中 18） 如图：在长方形中放入正方形AEFG、正方形MNRH、正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE=7，MN=5，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为                             　 　例 129　　（2025 马鞍山东方实验学校 10） 把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片1、2、3、4和一张长方形纸片5，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中，则没有被覆盖的阴影部分的周长为（ ） A． B． C． D． 　例 130　　（2026 蚌埠G5联考 22） 【定义与规则】我们定义一种“拼接”操作：如下图，从边长为1的正方形（0阶长方形）开始，每次在长方形的外侧拼接一个正方形，得到新的长方形，拼接n次后得到的长方形称为n阶长方形，其宽与长之比（宽长）称为宽长比．已知有两种“拼接”方式：①L操作：在较长边外拼接一个正方形；②S操作：在较短边外拼接一个正方形．特别地，由于0阶长方形的长与宽相等，对其第1次“拼接”，我们记为L操作． 【操作与思考】 【记录与观察】 阶数 1阶 2阶 2阶 3阶 3阶 … 操作路径 L … 宽长比 ▲ … （1）表格中的▲处应填                ； （2）请写出3阶长方形其他所有可能的操作路径，画出该操作路径下生成的3阶长方形，并写出其宽长比； 【归纳与应用】 （3）4阶长方形的宽长比有                个，宽长比为的长方形操作路径为                （用L和S表示）； （4）若一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为则阶长方形的宽长比为                ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 12　新定义运算 模块导学 新定义运算 新定义运算只有一条铁律：定义怎么写，你就怎么代，一个符号都不许改。它一般不满足交换律、结合律， 与 是两个不同的结果——这是这一类题最集中的失分点。 知识梳理 知识点 1　代入即规则（重点） ① 把定义式里的 原样换成题目给的数或字母，先不化简，直接代。 ② 代完化成普通的加、减、乘、除、乘方，注意运算顺序与括号。 ③ 新运算一般不满足交换律与结合律： 而 两者不等。 ④ 若式子里含字母（如 ），先把结果化简成含 的形式，再整体代入。 易错　把 里的 看成两位数 ——这里的 是 乘 注意　 与 不同：前者先算括号，后者按定义直接代。 知识梳理 知识点 2　阅读材料：先摸规则，再算（难点） ① 材料给出新概念（“除方”“共生有理数对”“ 运算”）时，先照材料把两个例子算一遍，确认自己真的读懂了规则。 ② 再按“抄定义 → 代入 → 化简 → 求值”的顺序做，不要跳步。 ③ 材料题常要求“仿照上面的方法”，答题时把仿照的步骤写出来，过程分就拿到了。 ④ 含分类的（如“ 为正整数”“ 为非零有理数”），先列出所有可能的取值再逐个算。 注意　材料题的第一小问通常是送分的“照抄”，务必写全，它是后面几问的台阶。 　题型 1　　符号定义运算 　例 131　　（2026 宿州砀山五中 14） 定义一种新运算“”，规定：．例如：． （1）计算：                ； （2）若则的值为                ． 　 　例 132　　（2026 淮南田家庵十九中 10） 定义一种新运算“⊗”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 　例 133　　（2026 滁州定远育才模拟 14） 定义新运算：运用新运算计算：            ． 　 　例 134　　（2025 马鞍山东方实验学校 24） 定义“⊕”为一种新的运算符号，先观察下列各式： 1⊕3=1×3-3=0； -4⊕5=（-4）×3-5=-17； 2⊕（-）=2×3-（-）=6 0⊕6=0×3-6=-6； -⊕（-4）=-×3-（-4）=3…… （1）根据以上算式，写出a⊕b=      ． （2）根据（1）中定义的a⊕b的运算规则，解下面问题： ①若x=4，求（x-2）⊕4x的值； ②若2m-n=-2，求（m+n）⊕（-5m+7n）的值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 135　　（2026 滁州定远育才 23） 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”；写作读作“(-3)的圈4次方”．一般地，把记作：读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． (1)【初步探究】直接写出计算结果：                    ，                    ； (2)若为任意正整数，下列关于除方的说法中，不正确的有                    ；（填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1；②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈次方等于它本身的数是1或-1；④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)【深入思考】我们知道，有理数的乘方运算可以转化成乘法运算，从而得出结果．有理数的除方运算和我们熟悉的有理数运算一起进行混合运算，该如何进行？有理数的除方与有理数的乘方有何联系？请完成以下问题： ①计算 ②请直接写出2025圈次方与之间的联系                    ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 136　　（2026 合肥八中铭传 10） 如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4．定义a∗b为数表中第a行第b列的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以3∗1=2．若则的值为（ ） 第1列 第2列 第3列 第1行 2 2 2 第2行 4 4 4 第3行 2 4 2 A．0，2 B．1，2 C．1 D．2 　题型 2　　阅读迁移与分类讨论 　例 137　　（2026 六安汇文中学 23） 观察下列两个等式：给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a,b为“共生有理数对”，记为(a,b)．如：数对都是“共生有理数对”． (1)在数对中，“共生有理数对”是                    . (2)若是“共生有理数对”，则                    “共生有理数对”，并说明理由：（填“是”或“不是”) (3)是否存在“共生有理数对”若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 138　　（2026 滁州定远育才 22） 阅读理解题：我们知道，任意正整数根据乘方的意义：． (1)计算：          ，          ； (2)计算：          ，          ； (3)由（1）（2）我们可以得到的结论是什么？请用表示； (4)利用（3）的结论求等式中的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 139　　（2026 芜湖无为石涧中学 23） （1）例：代数式表示a、b两数和的平方：仿照上例填空：代数式表示 ．代数式表示 ． （2）试计算a、b取不同数值时，及的值，填入下表： a、b的值 当时 当时 当时 （3）我的发现： ． （4）用你发现的规律计算： 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 140　　（2026 芜湖南陵春谷中学 21） 【阅读理解】对于三个数我们用符号来表示其中最小的数和最大的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数，例如：． 【知识解答】（1）                      ；                      ； 【知识应用】（2）分别求和的值； 【知识探究】（3）是否存在有理数使若有，求出的值，若没有，说明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 13　新定义数与编码 模块导学 新定义数与编码 “好友数”“互差数”“奇妙数”“智慧数”——名字各不同，做法只有一条：把数拆成数位，用字母写出来。两位数就是 三位数就是 写出来之后题目就变成了整式题。 知识梳理 知识点 1　用字母表示数位（重点） ① 两位数 三位数 其中 各数位都是 的整数。 ② 交换十位与个位得 两数之差 两数之和 ③ “能被 整除”看各位数字之和是否为 的倍数；能被 整除看是否为 的倍数。 ④ “把 写在正整数 的右边”得到 （ 是一位数时），写两位数则乘 易错　最高位不能为 写“所有的”这类答案时，漏掉边界值最常见。 知识梳理 知识点 2　编码与校验（拓展） ① 校验码的规则通常是“加权求和，再对模取余”，权重按位给出（如从左到右 ）。 ② 校验码 余数为 时校验码取 不是取模。 ③ 逐位代入时把每一位单独写出来，位数对齐，别把多位数当成一位。 ④ 题目问“能否检验出错误”，实质是问：改动一位后加权和是否仍与模同余。 注意　取模运算的结果一定在 到“模 ”之间；算出等于模时要改成 　题型 1　　数位特征的新定义数 　例 141　　（2026 宿州联考 24） 若一个三位自然数十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和，则称这个三位自然数为“好友数”，将这个“好友数”记为M，交换M个位上的数字和百位上的数字，得到一个与之对应的“好友数”，记为N，称M与N为一对“好友数”．例如：253是“好友数”，因为375不是“好友数”，因为253与352为一对“好友数”． (1)判断187和692是不是“好友数”，并说明理由． (2)设“好友数”M的个位数字为a，百位数字为b，试用含a，b的代数式表示一对“好友数”M与N． (3)任意一对“好友数”的和都能被11整除吗？为什么？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 142　　（2026 安庆外国语学校 14） 对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为例如：a=723，因为所以723是一个“互差数”，． （1）计算            ； （2）若是一个“互差数”，且那么的值是            ． 　 　例 143　　（2026 合肥八中铭传 14） 定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是需要10n+2能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为              ． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为则所有的三位数中的“奇妙数”有              ． 　 　例 144　　（2026 淮北二中联考 14） 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数n的平方差，且m-n=1，则称这个正整数为“智慧数”．例如，9就是一个“智慧数”． （1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是          ； （2）在小于100的正整数中，共有          个“智慧数”． 　 　题型 2　　集合、推理与周期 　例 145　　（2026 六安轻工中学 10） 如我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x 1，x 2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合我们说M=N．已知集合集合若A=B，则的值是（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 　例 146　　（2026 蚌埠G5联考 14） 老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，a，小明写出的是0，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是                ． 　 　例 147　　（2026 合肥四十六中 22） 小张的四位朋友A、B、C、D想破译他在电脑中设置的登录密码．但是他们只知道这个密码共有六位不同的数字，他们根据小张平时开电脑时输入密码的手势，分别猜测密码是“”、“508342”、“613254”、“”，实际上他们每个人都只猜对了密码中对应位置不相邻的两个数字，且A和C猜对的数字所在位置完全不同．由此你知道小张设置的密码是            ． 　 　例 148　　（2026 芜湖二十七中 15） 德国数学家Lothar Collatz在1937年提出一个冰雹猜想：取一个正整数，若它是奇数，则乘以3加上1；若它是偶数，则除以2．若不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1（得到1之后就停止运算）．如果自然数n恰好经过9步运算可得到1，则所有符合条件的n之和为            ． 　 　题型 3　　编码与校验 　例 149　　（2026 芜湖南陵春谷中学 22） 二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码，例如：明码A对应暗码1…明码Z对应暗码26，以此类推．若二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设27-m的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为则对应的明码为“I”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 150　　（2026 蚌埠淮三角联考 14） 如图1，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即 步骤3：计算3a与b的和c，即 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： （1）若《数学故事》的图书码为948753Y，校验码Y的值为            ； （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，则m的值为            ． 　 　例 151　　（2026 铜陵十五中联合体 22） 某学校给学生编制的“身份识别条形码”共有12位数字（均为0~9之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如下图： 其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性．具体算法说明如下： 步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为m； 步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为n； 步骤3：计算记为p； 步骤4：取不小于p且为10的整数倍的最小数q； 步骤5：计算结果即为校验码． 阅读上述材料，回答下列问题： (1)某同学的“身份识别条形码”为的04220220133□，则计算过程中p的值为            ，校验码□的值是            ． (2)如图，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为x，你能否通过其他信息还原出这位数字x，进而确定这位同学的班级呢？如果能，写出你的推理过程，如果不能，说明理由． (3)如图，一名2024届的同学在知道了校验码的计算方法后，尝试利用自己的身份信息计算校验码，然后惊喜的发现自己的“班级”、“学号”和“校验码”的数字（图中被遮住的数字）是完全一样的，请直接写出这个数字是            ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 微专题 14　数轴上的新定义点 模块导学 数轴上的新定义点 这一类题的定义五花八门——“ 格距点”“快乐点”“两倍点”“整 距点”——但翻译方式完全一样：把定义里的每一句话换成绝对值，设未知数列方程，最后按点所在的位置取舍。 知识梳理 知识点 1　新定义点三步走（难点） ① 读定义，逐句翻译：点到点的距离一律写成绝对值，如“ 到 的距离是到 的 倍”即 ② 设未知数、列绝对值方程；含两个绝对值的方程按“两零点分段”求解，零点就是 表示的数。 ③ 解完必须回代检验：把解出的数放回数轴，看点是否真的满足定义（有些解在分段时被平方运算“造”出来，实际上是增根）。 ④ 定义里带“正整数 ”或“ 为整数”的，先确定 的取值，再逐个讨论，不要试图一次算完。 注意　“ 倍”类定义一般有两到四个解，点在两定点之外的情形最容易被漏掉。 易错　两边平方会把 变成二次方程，多出来的根必须回代舍去。 　题型 1　　距离倍分关系的新定义 　例 152　　（2026 合肥四十六中南校 21） 定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n． (1)若点A是点M的2倍原距点， ①当点M在数轴正半轴上时，则          ； ②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由； (2)若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 153　　（2026 安庆宿松联考 22） 我们规定：数轴上的三个点若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为2，5，6，此时点B是点A,C的“快乐点”．若点A表示数-10，点表示数30． (1)点是数轴上位于点B的右侧，且点M是点A,B的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点Q追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点A成为点的“快乐点”？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 154　　（2026 蚌埠淮三角联考 23） 对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是点B在数轴上对应的数是10． (1)若且点C在数轴上对应的数是7，则            ； (2)点M从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动至点B，设运动的时间为t秒，若求出t的值； (3)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若求出t的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 155　　（2026 马鞍山二十中 24） 已知数轴上两点B，若在数轴上另外存在一点P，使得则称点P为线段AB的“两倍点”．例如：如图①所示，当点A表示的数为-1，点B表示的数为3，点P表示的数为5，则PA=6，PB=2，AB=4，有成立，则称点P是线段的“两倍点”． (1)若点是线段AB的“两倍点”，则点的位置不可能在( ) (2)如图②，已知点表示的数为-3，点B表示的数为2，若点P是线段AB的“两倍点”，求点表示的数是多少？请说明理由． (3)如图③，已知点表示的数为25，点B表示的数为2025，点M表示的数为-15，动点A从25出发，以每秒1个单位的速度向右匀速运动，动点B从2025出发，以每秒3个单位的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点M是线段的“两倍点”？ A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题型 2　　距离和差关系的新定义 　例 156　　（2026 宣城六中 22） 如图，数轴上点A表示的数是点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是-1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为            ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有            个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 157　　（2026 中科大附中 22） 阅读并解决相应问题： 【问题发现】 在数轴上，点A表示的数为点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于s，则称点P为点A、B的“s和点”，如图1，若点P表示的数为有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为则称点P为点A、B的“5和点” （1）填空：如图2，若点P表示的数为1，则s的值为 ． 【类比探究】类比探究 （2）若点Q为数轴上点A、B的“7和点”，求点Q对应的数； 【拓展延伸】 （3）若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离的且此时点P为点A、B的“s的和点”，求点P表示的数及s的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪科版七年级上册 期中压轴突破 · 培优讲义 期中压轴突破 数与式 · 数轴 · 规律探究 · 新定义 目　录 一、本册导航 3 　微专题 1　正负数的实际应用 3 　　题型 1　盈亏、偏差与累计 4 　　题型 2　检修、分段计费与优惠 9 　微专题 2　整式的概念与化简求值 14 　　题型 1　项与次数：不含某项求字母 15 　　题型 2　化简求值与无关条件 18 　微专题 3　整体思想 21 　　题型 1　整体代入求值 22 　微专题 4　绝对值与分类讨论 28 　　题型 1　绝对值的符号化简与分类求值 29 　　题型 2　非负性与字母定值 36 　微专题 5　数轴上的距离与折叠 39 　　题型 1　两点间的距离与最值 40 　　题型 2　折叠与对称 49 　微专题 6　图形规律 52 　　题型 1　火柴棒、棋子与图案 53 　　题型 2　图形的分割与拼接 57 　微专题 7　数列、数阵与周期 61 　　题型 1　数列规律与符号交替 62 　　题型 2　数阵与周期 71 　　题型 3　杨辉三角、幻方与月历 77 　微专题 8　程序框图与进位制 85 　　题型 1　程序框图与循环 86 　　题型 2　进位制互化 90 　微专题 9　数轴上的动点 92 　　题型 1　两点运动、相遇与距离 93 　　题型 2　动点与整式综合 107 　微专题 10　方案决策与建模 111 　　题型 1　购物、门票与优惠 112 　　题型 2　经营与生产决策 115 　微专题 11　几何代数式 117 　　题型 1　面积、周长与代值 118 　　题型 2　拼图与阴影部分的周长 123 　微专题 12　新定义运算 133 　　题型 1　符号定义运算 134 　　题型 2　阅读迁移与分类讨论 139 　微专题 13　新定义数与编码 143 　　题型 1　数位特征的新定义数 144 　　题型 2　集合、推理与周期 146 　　题型 3　编码与校验 149 　微专题 14　数轴上的新定义点 154 　　题型 1　距离倍分关系的新定义 154 　　题型 2　距离和差关系的新定义 160 一、本册导航 学习目标 本册要解决的问题 1．会把“距离”翻译成绝对值，会用 求点，并知道它一般有两解。 2．会判断绝对值内式子的符号、按符号分类求值，会用“两个非负数之和为零”把字母一次定死。 3．会把“折叠后两点重合”翻译成“折痕是中点”，会把动点位置写成含 的式子，并按时间分段讨论相遇、距离与折返。 4．会从图形、数列、数阵、周期与程序框图中读出通项，写成含 的整式并化简。 5．会读新定义：把定义翻译成等式或不等式，按点的位置取舍多解；能处理数位特征、编码与校验一类信息题。 6．会把面积、周长、阴影等几何量列成代数式，会用代数式做方案比较与决策。 重点与难点 本册的核心与门槛 重点　距离写成绝对值；整体代入；动点位置写成含 的式子；规律先算前三项再归纳通项；新定义翻译成方程。 难点　① 绝对值方程的分段与回验；② 连续两次折叠时第二次折痕要重算；③ 挡板折返的分段时间点；④ 图形分割类规律的通项归纳；⑤ 新定义数、新定义点的多解取舍。 学习主线 方法的先后次序 遇“距离”写绝对值 → 判断符号 → 非负性定字母 → 折叠化中点 → 动点写含 式 → 规律先算前三项再归纳 → 新定义翻译成等式 → 按位置取舍 → 几何量列式 → 代数式比较与决策。 微专题 1　正负数的实际应用 模块导学 正负数的实际应用 这一节的题不难，但极容易在“起点”和“累计”上翻车：给出的是每天的变化量，要求的是每天的实际量，中间必须逐日累加。分段计费的题则要先分段、再乘单价。 知识梳理 知识点 1　正负数记账与分段计费（基础） ① 先规定正方向：超出标准记正、不足记负；向东为正、向西为负。方向一乱，后面全乱。 ② 给出“每天的变化量”时，当天的实际量 前一天的实际量 当日变化量，必须逐日累加；给出“与标准的偏差”时，实际量 标准量 偏差。 ③ 总量 标准量 个数 各偏差之和；平均分 总分 人数。 ④ 分段计费：先按标准把用量分段，每段内“单价 段内数量”，最后相加；反过来已知费用求用量，要从低档往高档逐段扣。 易错　把“变化量”当“实际量”直接相加，是这类题最常见的错法。 注意　分段计费倒推时，先判断费用落在哪一档，再决定用哪一段的公式。 　题型 1　　盈亏、偏差与累计 　例 1　　（2026 合肥琥珀教育集团 21） 现有20筐苹果，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下． 与标准质量的差值（千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重                  千克． (2)与标准质量比较，这20筐洛川苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若该苹果每千克售价10元，则这20筐苹果可卖多少元？ 　思路分析　　本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法与乘法的实际应用. （1）由表格信息可得最重的超过了标准千克，最轻的比标准少4千克，由可得答案； （2）把超过的量与不足的量相加即可得到答案； （3）由25筐苹果总的标准为千克，再加上超过的（或不足的）质量即可得到苹果总质量，再乘以售价即可得到答案. （1）解：由表格信息可得： （千克）， 所以最重的一筐比最轻的一筐重千克； 故答案为： （2）解： （千克） 答：与标准质量比较，20筐苹果总计超过千克； （3）解：这20筐苹果的总质量为（千克）， 则（元）， 答：出售这20筐苹果可卖元． 　答案　　(1)　(2)与标准质量比较，20筐苹果总计超过千克；　(3)出售这20筐苹果可卖元． 　例 2　　（2026 马鞍山花园初中 23） 水果超市以30元/箱的价格从哈达批发市场购进8箱苹果，若以每箱苹果净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，称重后记录如下： (1)这8箱苹果一共重多少千克? (2)若把这些苹果全部以零售的形式卖掉，超市计划共获利那么在销售过程中苹果的单价应定为每千克多少元? (3)在实际销售过程中，超市预计苹果最终会有的损耗，若超市仍想获利那么在销售过程中苹果的单价应定为每千克多少元? 　思路分析　　本题考查正数和负数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，正确的列出相应的方程求解． （1）先计算8箱苹果与标准重量的偏差总和，再与标准总重量相加得到实际总重量； （2）设在销售过程中苹果的单价应定为每千克x元，根据“售价﹣进价＝利润”列出方程计算，即可得到答案； （3）考虑损耗后的实际销售重量，再根据“售价﹣进价＝利润”列出方程，列方程计算，即可得到答案． （1）解： （千克）， （千克） 这箱苹果一共重192千克； （2）设在销售过程中苹果的单价应定为每千克x元，根据题意，得： 解这个方程得： 所以在销售过程中苹果的单价应定为每千克1.5元； （3）设销售过程中苹果单价为每千克y元，根据题意，得： 解这个方程得： 所以销售过程中苹果单价应定为每千克2元． 　答案　　(1)一共重192千克；　(2)在销售过程中苹果的单价应定为每千克1.5元；　(3)在销售过程中苹果的单价应定为每千克2元 　例 3　　（2025 马鞍山东方实验学校 23） 某中学积极倡导阳光体育运动，为提高㠴学生身体素质，现开展排球垫球比赛，下表为七年级某班45人全部参加排球垫球比赛的情况，表中有个数据被墨水涂污了，若垫球的标准数量为每人20个． 垫球个数与标准数量的差值 0 人数 5 12 2 1 4 ● 9 8 (1)问这个班平均每人垫球多少个？ (2)若规定垫球达到标准数量记0分，垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；垫球未达到标准数量，每少垫1个扣1分，则这个班垫球总共获得多少分？ 　思路分析　　本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用； （1）先求得对应的人数，然后根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． （1）“●”表示的数为． （个） （个）． 答：这个班平均每人垫球22个． （2）（分）． 答：这个班垫球总共获得257分． 　答案　　(1)这个班平均每人垫球22个　(2)这个班垫球总共获得257分 　例 4　　（2026 合肥寿春中学 22） 今年十一黄金周，国庆中秋双节同庆，共8天假期，世界上最大的城市公园——合肥园博园，人流量再创新高，其中单日入园最高人数为40万人，进入中国景区单天的前十名，园博园在8天假期中每天旅游人数变化如表正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化单位：万人 10月1日的游客人数为40万人，问： (1)月4日的旅客人数为            万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多            万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为20万元，则黄金周8天的旅游总收入约为多少万元？ 　思路分析　　本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得每天的实际游客人数，然后用最大的减去最小的即可； （3）结合（2）中所求结果列式计算即可． （1）解：（万人）， 即10月4日的旅客人数为万人， 故答案为： （2）解：月1日的游客人数：40万人， 10月2日的游客人数：万人 10月3日的游客人数：万人 10月4日的游客人数：万人， 10月5日的游客人数：万人 10月6日的游客人数：万人 10月7日的游客人数：万人 10月8日的游客人数：万人 则万人 即八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多万人， 故答案为： （3）解： （万元）， 即黄金周8天的旅游总收入约为6224万元． 　答案　　(1)　(2)　(3)黄金周8天的旅游总收入约为6224万元 　例 5　　（2026 芜湖二十七中 22） 随着互联网的迅速发展，直播带货作为一种新型销售方式逐渐兴起，小李把自家工厂生产的茶干带到了直播间．9月30日小李团队在直播间卖了茶干，接下来国庆8天假中小李用表格记录销售情况，用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量．下表是假期8天的销量变化情况（单位：）： 10月 1 2 3 4 5 6 7 8 实际销售量比前一天的变化量 (1)国庆假期8天中的销量不超过9月30日的销量有            天； (2)这个国庆假期中销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少？ (3)如果茶干售价为20元/求国庆假期8天小李直播间卖茶干的收入． 　思路分析　　本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算出假期8天每天的销量，再与比较即可； （2）根据（1）中的结果，销量最多的一天减去销量最少的一天计算即可； （3）根据收入＝售价×销量计算即可． （1）解：10月1日： 10月2日： 10月3日： 10月4日： 10月5日： 10月6日： 10月7日： 10月8日： 不超过180的有5天． 故答案为：5． （2）由（1）得，销量最高的是10月2日，销量最低的是10月7日； 所以销量最多的一天比销量最少的一天多销售：． （3）（元）． 答：国庆假期8天小李直播间卖茶干的收入为28900元． 　答案　　(1)5　(2)　(3)国庆假期8天小李直播间卖茶干的收入为28900元 　例 6　　（2026 淮北濉溪 22） 根据素材，请你探索解决以下任务： 素材1：某加工厂生产某种零件，厂里规定每个工人每周要生产零件560个，平均每天生产80个． 素材2：该厂工人李师傅由于各种原因，每天实际生产数量与计划数量有些变化．下表是李师傅某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 0 （1）【任务1】根据表格数据可知李师傅星期四生产零件            个； （2）【任务2】根据表格数据可知李师傅本周实际生产零件            个； 素材3：该工厂为鼓励工人的积极性作如下规定：每生产一个零件可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖8元；少生产一个则倒扣5元．该工厂实行两种工资结算制度：“每周计件工资制”和“每日计件工资制”，即分别按周和按天为单位时间结算工资． （3）【任务3】若李师傅选择“每周计件工资制”结算工资，那么李师傅这一周的工资总额是多少元？ （4）【任务4】精通数学的李师傅最终选择“每日计件工资制”来结算工资，你觉得李师傅的决定正确吗？请说明理由． 　思路分析　　本题主要考查正负数的意义，有理数的混合运算与实际问题的运用，理解正负数表示的意义，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）【任务1】根据正负数表示的意义，周四为0，由此即可求解； （2）【任务2】根据有理数的加减运算，7的平均量的和加上每天超额完成的量再减去每天不足的量即可求解； （3）【任务3】由（2）可知一周实际生产的量，根据题意，运用有理数的混合运算即可求解； （4）【任务4】实际生产量的费用加上超额完成的费用减去不足时的量的费用即可求解． 解：（1）【任务1】已知平均每天生产80个，超产记为正、减产记为负， ∴根据表格信息可得，李师傅周四生产零件80个， 故答案为：80； （2）【任务2】根据题意，（个）， 故答案为：567； （3）【任务3】由（2）可知，本题实际生产了567个零件， ∴按周结算工资：元； （4）【任务4】李师傅的决定正确． 理由如下：按“每日计件工资制”结算工资为： 元 ∴ ∴李师傅的决定正确． 　答案　　（1）180 （2）567 （3）5726元 （4）正确；理由见解析 　题型 2　　检修、分段计费与优惠 　例 7　　（2026 六安汇文中学 22） 某电路检修小组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆向东行驶为正，向西行驶为负，某一天施工过程中七次车辆行驶记录如下：（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 ﹣3 +8 ﹣9 +12 +4 ﹣4 3 （1）检修小组收工时在P的哪个方位？距P处多远？ （2）在第　 　次记录时距P地最远； （3）若检测车辆每千米耗油0.2升，每升汽油需7.2元，这一天检测车辆所需汽油费多少元？ 　思路分析　　（1）七次行驶的和即收工时检修小组距离P地的距离； （2）计算每一次记录检修小组离开P的距离，比较后得出检修小组距P地最远的次数； （3）每次记录的绝对值的和，是检修小组一天的行程，根据单位行程的耗油量计算出该检修小组一天的耗油量． （1）﹣3+8﹣9+12+4﹣4+3=11（km）， 所以收工时在P的东边，距P处11km （2）第一次后，检修小组距P地3km； 第二次后，检修小组距P地﹣3+8=5（km）； 第三次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9=﹣4（km） 第四次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9+12=8（km） 第五次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9+12+4=12（km） 第六次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9+12+4﹣4=8（km） 第七次后，检修小组距P地﹣3+8﹣9+12+4﹣4+3=11（km） 故答案为：五； （3）（3+8+9+12+4+4+3）×0.2×7.2 =43×0.2×7.2 =61.92（元）． 答：这一天检测车辆所需汽油费61.92元． 【点睛】本题考查了，正负数的意义，有理数的加减法在生活中的应用．耗油量=行程×单位行程耗油量．正确的计算是解题的关键． 　答案　　（1）在P的东边，距P处11km；（2）五；（3）这一天检测车辆所需汽油费61.92元 　例 8　　（2026 宿州泗县 22） 供电局线路检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下： 到达地点 起点 A B C D E F G H I J 前进方向 北 南 北 北 南 北 南 北 南 北 所走路程（km） 0 9 3 5 3 6 11 4 8 11 10 (1)求H地与起点之间的距离有多少千米？ (2)若汽车每千米耗油0.15升，这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升？（精确到0.1升） 　思路分析　　本题考查了正数和负数的应用． （1）规定向北为正，向南为负，把所有的数据相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解； （2）求出行驶的路程的和，然后乘以每千米耗油0.15升，进行计算即可得解． （1）解：规定向北为正，向南为负，则路程为： 答：H地与起点之间的距离有23千米； （2）解：（升）， 答：一共耗油升． 　答案　　(1)　(2) 　例 9　　（2026 六安轻工中学 22） 为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为350度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度不超过300度的部分 0.6 超过300度的部分 0.8 已知小明家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正数、低于200度记为负数）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最少的是            月份，这个月电费            元； (2)若小明家某月用电量为x度请用含x的代数式表示小明家该月的电费． 当时，小明家该月的电费为            元； 当时，小明家该月的电费为            元； (3)若小明家七月份的电费为176元，请求出小明家七月份的用电量． 　思路分析　　本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解“阶梯价格”是解题的关键． （1）根据正负数的意义可得出小明家用电量最少的月份，进而求出电费； （2）分两种情况：当时，当时，根据阶梯价格列出代数式即可求解； （3）设小明家七月份的用电量为y度，根据“阶梯价格”，结合小明家七月份的电费为176元，即可求解． （1）观察表格数据可知，小明家用电量最少的是一月份， 这个月电费是元； 故答案为：一，80； （2）当时，小明家该月的电费为：元； 当时，小明家该月的电费为：元； 故答案为：元；元； （3）（元），（元）， ∵ ∴小明家七月份的电费为176元超过300度， 设小明家七月份的用电量为y度，根据题意得： 解得： 答：小明家七月份的用电量为320度． 　答案　　(1)一，80　(2)元；元　(3)320度 　例 10　　（2026 合肥五十中东校 16） 某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款              元． 　思路分析　　本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设第二次购物实际消费金额为元，先根据优惠方案可得第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或x>300，再分两种情况：①②x>300，分别建立方程，解方程求出的值，然后根据优惠方案列式计算即可得． 解：设第二次购物实际消费金额为元， ∵（元），（元），（元），且 ∴第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或 ①当时， 则解得符合题设， ∴ ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； ②当时， 则解得符合题设， ∴ ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； 综上，应付款288元或316元， 故答案为：288元或316元． 　答案　　288元或316元 　例 11　　（2026 宿州宿城一中 22） 某超市在“双十一”期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 小于元 九折优惠 大于或等于元 其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折 根据以上优惠条件完成下列任务： (1)若王阿姨一次性购物元，则他实际付款多少元？ (2)若王阿姨在该超市一次性购物元，则当x大于或等于500元时，他实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)若王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款元和元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？ 　思路分析　　本题考查了有理数的混合运算，列代数式，根据题意正确列出算式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出代数式化简即可； （3）由题意可得第一次购物花费元，第二次购物花费650元，得到总购物花费，即当x=890时，代入中，进而计算即可求解； （1）解：（元）， 答：他实际付款元； （2）解： 答：他实际付款元； （3）解：王阿姨两次购物原价分别付款元和元， （元）， 王阿姨第一次购物原价为元， 由（2）可知： 解得： 王阿姨第二次购物原价为元， （元）， 即当时，代入（2）中得： （元）； 答：如果王阿姨一次性购买只需要付款元，能节省元． 　答案　　(1)元　(2)元　(3)只需要付款元，能节省元． 微专题 2　整式的概念与化简求值 模块导学 整式的概念与化简求值 这一节的压轴题只有两种问法：一是“不含某项”，二是“值与某个字母无关”。两种问法的答案都指向同一句话——把含该字母的项合并起来，令系数为零。 知识梳理 知识点 1　项、次数与“不含某项”（重点） ① 单项式的次数是所有字母指数之和；多项式的次数是次数最高项的次数，不是项数。 ② 多项式的每一项都带着它前面的符号，常数项是次数为 的项。 ③ “不含 项”就是合并同类项后 的系数为 “不含 项和 项”要列两个方程。 ④ 注意“关于 的二次多项式”这种说法：它要求三次项系数为 同时二次项系数不能为 ——只写前一半，答案会多出一个值。 易错　“二次多项式”隐含二次项系数不为零，这条限制常常就是压轴题的最后一分。 知识梳理 知识点 2　整式加减与“与某字母无关”（重点） ① 去括号时括号前是负号，括号内每一项都要变号；这是整式加减唯一的失分点。 ② 合并同类项只合并系数，字母与字母的指数都不变。 ③ “结果与 的取值无关”等价于：合并后 的各次项系数全为 ④ “ 与 的差是一个常数”等价于：差里所有含字母的项系数为 只剩常数项。 注意　先化简、再代值，永远比直接代入原式快，也不容易算错。 　题型 1　　项与次数：不含某项求字母 　例 12　　（2026 宿州联考 16） 若多项式不含和x项，则的值为              ． 　思路分析　　根据题意可得项和x项的系数等于0，进而可得a、b的值，然后可得a+b的值． 解：-2x-5 =+（1-a）+3+（b-2）x-5， ∵多项式-2x-5不含和x项， ∴1-a=0，b-2=0， 解得a=1，b=2， ∴a+b=1+2=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了多项式，关键是掌握不含哪一项，哪一项的系数为0． 　答案　　3 　例 13　　（2026 合肥五十中东校 10） 若多项式与多项式的差不含二次项，则等于( 　　) A．2 B． C．4 D． 　思路分析　　本题考查了整式的加减运算；将两个多项式相减后，合并同类项，根据差不含二次项的条件，令二次项的系数为零，解方程即可求出m的值． 解： ∵多项式与多项式的差不含二次项， ∴ 解得： 故选：D． 　答案　　D 　例 14　　（2026 滁州定远育才 10） 一个多项式与的和是则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查整式的加减，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 根据一个多项式与的和是3x-2，得到化简即可． 解： ． 故选C． 　答案　　C 　例 15　　（2026 芜湖无为石涧中学 14） 已知整式，其中…均为整数，为正整数，n为正整数，且满足． （1）当时，满足条件的整式中的单项式为            ； （2）满足条件的整式共有            个． 　思路分析　　本题考查的知识点是整式、单项式的判断、数字类规律探索及分类讨论思想，解题关键是根据条件对的取值进行分类讨论． 根据条件且为正整数，n为正整数，可知n的可能取值为1，2，3，对于每个n，计算满足条件的整式M的数量，考虑系数绝对值的和及符号选择（ 只能为正，其他系数可正可负），当n=1时，单项式需仅含一项，即且． 解：由条件且为正整数，为正整数， （若 n=4，则 但 矛盾），故 n 可取 1，2， 当时，为正整数，为整数， 条件为即 得M=x+2或 得M=2x+1或 得 共个整式，其中单项式仅 当 时，为正整数，为整数， 条件为即 得或 得或 得 共个整式； 当 时， 为正整数， 为整数， 条件为即 得 共个整式； 综上，满足条件的整式共有个． 故答案为：． 　答案　　　 　例 16　　（2026 淮南田家庵十九中 22） 已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 　思路分析　　此题主要考查了多项式的定义． （1）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案； （2）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案． （1）解：是关于的一次式， 解得 （2）解：关于的三次二项式 解得 最高次项为：． 　答案　　(1)常数项为　(2)最高次项为 　例 17　　（2026 合肥行知学校 14） 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如 ﹣． （1）被捂住的多项式是                  ； （2）当+（y+1）＝0时，被捂住的多项式的值为                  ． 　思路分析　　(1)根据题意列出算式，确定出所捂的整式即可； (2)计算出x和y的值，把x和y的值代入计算即可求出值. 解：（1）设被捂住的多项式是A A﹣． A＝﹣ 故答案为：4xy- （2）∵+（y+1）＝0 ∴x=2，y=-1 将x=2，y=-1代入4xy- 得：4×2×（-1）-（-1）=-9 故答案为：-9 【点睛】此题主要考查了整式的加减−−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 　答案　　4xy-+4xy -9 　题型 2　　化简求值与无关条件 　例 18　　（2026 六安仿真 22） 已知． (1)化简A； (2)若且A与的差无论x取何值结果都是一个常数，求a的值． 　思路分析　　本题主要考查整式的加减： （1）原式去括号，合并同类项即可得到答案； （2）计算得根据结果是一个常数，得求出a的值即可． （1）解： （2）解：∵ 又是一个常数， ∴ 解得 　答案　　(1)　(2)． 　例 19　　（2026 宿州统考 22） 已知代数式． (1)求 (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 　思路分析　　（1）根据多项式的加减法法则即可运算； （2）根据同类项的概念求出m、n的值，代入计算即可； （3）将多项式按n进行合并，令n的系数为零即可． 本题考查多项式的加减法运算、同类项的概念等． （1）解： （2）解：∵单项式与单项式是同类项， （3）解： ∵的值与无关， ∴ ∴ 即当时，A-2B的值与无关． 　答案　　(1)　(2)50　(3)当时，A-2B的值与无关 　例 20　　（2026 淮南凤台联考 14） 已知a+b=-7，ab=10，则代数式（3ab+6a+4b）-（2a-2ab）的值为            ． 　思路分析　　先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 解：（3ab+6a+4b）-（2a-2ab） =3ab+6a+4b-2a+2ab =5ab+4a+4b =5ab+4（a+b） 当a+b=-7，ab=10时，原式=5×10+4×（-7）=22， 故答案为22． 【点睛】本题考查了整式的加减和求值，用了整体代入思想，即分别把a+b和ab当作一个整体来代入． 　答案　　22 　例 21　　（2026 安庆宿松联考 14） 已知m，n均为正整数，且满足则当m＝      时，n取得最小值    ． 　思路分析　　先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值． 解：移项得， ∵m、n为正整数， ∴ ∴ 若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数， ∴当m＝72时，＝5， 故答案为：72；5． 【点睛】本题考查了二元一次方程分正整数解，解一元一次不等式等知识，根据题意得到关于m的不等式并根据正整数解的定义确定m的值是解题关键． 　答案　　72 5 　例 22　　（2025 马鞍山东方实验学校 18） 观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是                 ； （2）当时，多项式前100项的和为                 ． 　思路分析　　本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第n项为． （1）由多项式的构成，可知第项为进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：进行计算即可． 解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第n项为 ∴它的第5项是 故答案为： （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． 　答案　　 微专题 3　整体思想 模块导学 整体思想 整体思想的题，题目一定会给你一个“算不出来”的式子—— 这种， 根本解不出整数。出路只有一条：不求出字母，把整个式子当成一个数，直接搬过去用。 知识梳理 知识点 1　把重复出现的式子看成一个数（重点） ① 观察所求式子里反复出现的结构（），它就是“整体”。 ② 目标是把所求式子化成“已知式子的若干倍加一个常数”： ③ 已知两个式子的值时，把所求式子重新分组，凑出这两个式子，再分别代入。 ④ 材料题常给出“把 看成一个整体”的示范，照着示范的变形方式做即可，不必另想办法。 易错　硬解 求出 再代入——七上解不出，考场上纯属浪费时间。 注意　系数要跟着整体一起提： 里的 不能漏。 　题型 1　　整体代入求值 　例 23　　（2026 合肥寿春中学 23） 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，有这样一道题“如果代数式的值为-4.那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的薛同学解题过程如下： 原式 薛同学把作为一个整体求解，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知求的值； 【拓展提高】 （2）已知求代数式的值； 【知识迁移】 （3）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置不重叠无缝隙)，若请求出图中阴影部分的周长． 　思路分析　　本题考查了整体代换思想在代数式求值和几何周长问题中的应用，熟练掌握对代数式或几何关系进行结构变形以构造整体代入形式是解题的关键． （1）需将代数式变形为含的形式，利用已知整体代入求值； （2）需将代数式拆分为含和的形式，结合已知条件整体代入求值即可； （3）需通过图象关系找出小长方形长和宽的关系，再将阴影部门周长转化为大长方形的边长形式，利用整体代换求解． 解：（1）对变形： （2） （3）设小长方形的长为x，宽为y，则且 阴影部分的周长为： 将整体代入： 即阴影部分的周长为 　答案　　（1）7；（2）（3）8 　例 24　　（2026 合肥八中铭传 22） 【阅读理解】代数式的值为5．求代数式的值． 小明同学采用的方法如下： 由题意得：则有所以代数式的值为3． 【方法应用】（1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）当时，的值为9，当x=-2时，求代数式的值． 【拓展应用】（3）若求代数式的值． 　思路分析　　本题考查了代数式求值,整式的加减，整体代入是解题的关键． （1）先求出再化简多项式并整体代入求解即可； （2）先求出再化简多项式并整体代入求解即可； （3）根据然后代值求解即可． 解：（1）由题意，得 则 ∴ ． 答：代数式的值为20． （2）当时， 由题意，得 即 ∴ 当时 ． （3）∵ ∴ ． 　答案　　（1）20；（2）6；（3）36 　例 25　　（2026 安庆外国语学校 22） 【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为            ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为19，当x=-2时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若mn=-1．则的值为            ． 　思路分析　　本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把代入得到再把x=-2和代入计算即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可． 解：（1） （2）当时， 当x=-2时，． （3） ． 　答案　　（1）（2）-16；（3） 　例 26　　（2026 宿州砀山五中 23） 阅读材料：我们知道类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果为                ； （2）已知求的值； 拓展探索： （3）已知c-d=9，求的值． 　思路分析　　本题主要考查了整式的化简求值，读懂题意，理解“整体思想”，根据题意对原式进行正确变形是解题关键． （1）根据整体思想，把看作一个整体，利用合并同类项法则计算即可求解； （2）先将去括号得再根据加法交换律和逆用分配律变形为最后整体代入即可求解； （3）先将去括号得再利用加法交换律变形为最后整体代入即可求解． （1）解： （2）解：∵ ∴ （3）解：∵ ∴ ． 　答案　　（1）（2）60；（3）10 　例 27　　（2026 淮北二中联考 22） 阅读材料，解答问题： 【材料】有这样一道题“已知代数式的值为-4，求代数式的值．” 小明同学是这样解答的：．我们把8a+5b看成一个整体，把式子代入，得原式． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知则          ； （2）已知mn=-1，求代数式的值； 【拓展提高】 （3）已知求代数式的值． 　思路分析　　此题考查整体代入求值问题， （1）将所求式子变形后，再把已知式子整体代入求出结果； （2）先根据整式加减法计算法则化简所求代数式，再将代入求出结果即可； （3）先计算再将代入求出结果即可． 解：（1）当时， 故答案为 （2） 将代入上面的式子，得 （3） 将代入上面的式子，得 ． 　答案　　（1）（2）22；（3） 　例 28　　（2026 铜陵枞阳五校联考 14） 已知代数式的值是2，则代数式的值是          ． 　思路分析　　此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 由得出再整体代入计算即可． 解： ． 故答案为： 　答案　　 微专题 4　绝对值与分类讨论 模块导学 绝对值与分类讨论 压轴题里的绝对值从来不只是“去掉符号”：先判断绝对值内的式子是正是负，符号拿不准就只能分类。这一节把“符号判断—分类求值—非负性”三件事一次说清，后面所有距离题都要用到它。 知识梳理 知识点 1　绝对值的意义与符号化简（重点） ① 的几何意义是数轴上表示 的点到原点的距离，所以 且 ② 去绝对值之前必须先判断符号： 时 时 题目没给符号，就只能分类。 ③ 形如 的式子只有两种取值： 时为 时为 几个这样的式子相加，答案就由“正数几个、负数几个”决定。 ④ 数轴上给出 的位置时，先比较大小定出每个因式的符号，再去绝对值——符号定错，整题作废。 注意　题目说“ 都不为零”，往往就是在提示要按符号分类，而不是默认全为正。 易错　 化成 只在 时成立；不能根据 各自的符号来判断。 知识梳理 知识点 2　非负性：和为零只能各自为零（基础） ① 若 则 且 ② 这条性质在压轴题里几乎每卷必考：先用它把字母一次钉死，再往下算，比设方程快得多。 ③ 条件是 时结论相同；条件是 时同样成立。 ④ 反向使用：要把两个字母“绑”在一起，就构造“非负数之和为零”的形式，题目常写成 易错　两个数之和为零，推不出各自为零；必须补上“非负”这个前提。 　题型 1　　绝对值的符号化简与分类求值 　例 29　　（2026 六安汇文中学 10） 如果且那么下列式子可能成立的是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　此题考查了有理数的加法，以及绝对值．根据不等式及等式利用特殊值法，验证即得到正确答案． 解：由题目答案可知b，三数中只有两正一负或两负一正两种情况， 如果假设两负一正情况合理， 要使成立， 则必是c<0、 否则 但题中并无此答案，则假设不成立． 于是应在两正一负的答案中寻找正确答案， 若b为正数，c为负数时，则： 若c为正数，b为负数时，则： 只有A符合题意． 故选：A． 　答案　　A 　例 30　　（2026 六安裕安九中 10） 如果a、b、c都不为零，且则的所有可能的值为（ ） A．0 B．1或 C．2或 D．0或 　思路分析　　此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 解：∵a、b、c为非零有理数，且 ∴a、b、c只能为两正一负或一正两负． ①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负， 原式 ②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负， 原式 综上，的值为0， 故选：A． 　答案　　A 　例 31　　（2026 中科大附中 10） 下列说法中，正确的个数（ ） ①若则 ②若则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是若相邻两点的距离相等，则 ④abc<0，则的值为． A．个 B．个 C．个 D．个 　思路分析　　本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 解：∵∴且a 0，故故①错误； ∵∴a>b>0或a<b<0或或 当时，∴是正数； 当时，∴是正数； 当时，∴是正数； 当时，∴是正数；故②正确； ∵三点在数轴上对应的数分别是若相邻两点的距离相等， ∴或BA=BC或 ∴或或 解得：或x=2或故③错误； ∵ ∴中有两个正数一个负数， a+c=-b， 设b>0， 则故④错误； 综上正确的②，共个； 故选：A． 　答案　　A 　例 32　　（2026 芜湖无为石涧中学 10） 若则a的值是（ ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 　思路分析　　本题考查绝对值性质，根据题意，分时，0<a<3时，时三种情况，结合绝对值性质讨论求解，即可得答案． 解：∵ ∴ 当时， ∴ ∵ ∴不成立， 当时， ∴ ∵ ∴不成立， 当时， ∴ ∵ ∴成立， 综上，当时等式成立，即为任意一个非正数． ∴故选：C． 　答案　　C 　例 33　　（2026 滁州定远育才模拟 10） 若则a的值为（ ） A． B．8 C．2或 D．或8 　思路分析　　本题考查了绝对值的性质及一元一次方程的求解，解题的关键是掌握“若（n>0），则m=n或”的绝对值核心性质，将绝对值方程转化为普通一元一次方程求解． 先计算等式右边的值为5，得到根据绝对值性质分两种情况列方程：-a+3=5或分别解这两个一元一次方程，求出的两个可能值，再对照选项确定正确答案． 解：先计算等式右边，故原方程化为 根据绝对值性质“若（k>0），则m=k或”， 分两种情况求解： 情况1：解得：即 情况2：解得：即 因此的值为-2或． 故选：D． 　答案　　D 　例 34　　（2026 马鞍山二十中 10） 下列说法中，不正确的是（ ） A．若则若则 B．若是有理数，则不可能是负数 C．若（y 0），则 D．已知b，c均为非零有理数，若则的值为4或 　思路分析　　本题考查绝对值与有理数的性质．根据绝对值的性质，结合已知条件，逐项分析判断，即可求解． 解：∵对于A：同理，故A正确． 对于B：当m 0时为当m<0时为故不可能为负数，B正确． 对于C：由且y 0，得x=-y，故C正确． 对于D：设 （每个值为 1），（值为）． 当时： 若两正一负，则t=-1， 若一正两负，则t=1， 若三负，则t=-1，． 该式子的值可能为0或故D不正确，符合题意． 故选：D． 　答案　　D 　例 35　　（2026 马鞍山花园初中 10） 已知b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①abc>0；②③④其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 　思路分析　　本题主要考查了通过数轴确定实数的正负及绝对值的大小，判断代数式的结果和正负，解题的关键是掌握数形结合的思想． 由数轴得，且然后根据有理数的运算法则及绝对值的化简法则，逐项进行判断即可． 解：由数轴得，且 ∴故①错误； ∵ ∴故②错误； 故③正确； ∵ ∴故④正确， 正确的有③④，共2个， 故选：B． 　答案　　B 　例 36　　（2026 宿州统考 14） 已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简            ． 　思路分析　　先根据数轴上a，b，c的位置确定a+b，c-b，a+c的符号，再根据绝对值的性质化简即可． 解：∵且|b|＞ ∴c-b<0， ∴ 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查绝对值的化简，关键是要能根据数轴上点的位置确定各式子的符号． 　答案　　0 　例 37　　（2026 宿州泗县 23） 我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论的值时，就会对a进行分类讨论，当a 0时，当a<0时，．现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)                    ，                    ； (2)                    （a 0），                    （其中a>0，）． (3)若试求的所有可能的值． 　思路分析　　本题考查了绝对值的化简，读懂题意，合理选择分类标准是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法即可得到答案； （2）对和a<0分别计算即可得到答案，对b>0和b<0分别计算即可得到答案； （3）分四种情况讨论，①b>0，c>0，②a,b,c中有一个字母小于0，③a,b,c中有两个字母小于0，④a,b,c三个字母都小于根据绝对值的化简方法，即可分别求出结果． （1）解： 故答案为：． （2）解：当时， 当时， 当b>0时， 当b<0时， 故的值为2或． （3）解：①当b>0，c>0时， ②当中有一个字母小于0时， ③当中有两个字母小于0时， ④当三个字母都小于0时， 综上所述，的所有可能的值． 　答案　　(1)　(2)2或　(3) 　题型 2　　非负性与字母定值 　例 38　　（2026 安庆岳西联考 10） 如果那么代数式的值是（ ） A．1 B． C． D．2021 　思路分析　　本题考查了绝对值的非负性，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 解： ． 故选：A． 　答案　　A 　例 39　　（2026 淮北二中联考 10） 已知有理数b满足且a=b，则的值为（ ） A．0 B． C．0或 D．0或2 　思路分析　　此题考查已知字母的值求代数式的值，由代入得解方程得到a=0或分别代入求值即可． 解：∵ 且 ∴ 即 ∴或 当时， 当时， 同理 ∴ 故值为 0 或 故选：C． 　答案　　C 　例 40　　（2026 滁州定远育才模拟 22） 已知． (1)若求． (2)若则的值是多少？ (3)在（2）问的条件下，其中为最小的自然数，b为最大的负整数，c为y的相反数，求的相反数． 　思路分析　　本题考查了有理数的运算， （1）根据题意得出x和y的值，然后代入计算即可； （2）根据题意得出x和y的值即可； （3）根据题意得出b、c的值，然后求出的值，求其相反数即可． （1）解：∵且 ∴y=7或x=-3， ∴的值为3-7=-4或 （2）解：∵ ∴ （3）解：∵为最小的自然数，b为最大的负整数，c为的相反数， ∴b=-1， ∴ ∴的相反数为． 　答案　　(1)或　(2)　(3) 　例 41　　（2026 中科大附中 23） 已知a，b，c是整数，满足求m的值． 　思路分析　　本题主要考查绝对值的非负性及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；由题意可分①当时和当时，然后分类进行求解即可． 解：由且a，b，c是整数，可分： ①当时，即a=b， ∵ ∴ 则有即 ∴ 当时， ∴ 解得：或4（都不符合题意，舍去）； 当时， ∴ 解得：或 ②当时，则有 ∴ ∴或a=b-1， 当时，则有化简得： 又分当时，则解得： 当时，则所以此种情况不成立； 当时，则有化简得： 由可得解得： 综上所述：或-3或． 　答案　　或-3或． 　例 42　　（2026 合肥四十六中南校 22） 已知整数…满足下列条件：…以此类推，则的值为            ． 　思路分析　　本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分是奇数时，结果等于- ；n是偶数时，结果等于- 然后把n的值代入进行计算即可得解． 解：由题意可得， ……， ∴当n是奇数时，结果等于n是偶数时，结果等于 ∴ 故答案为：． 　答案　　 微专题 5　数轴上的距离与折叠 模块导学 数轴上的距离与折叠 数轴上的一切距离，都是两个数之差的绝对值。把这一句用熟，折叠、最值、动点都只是它的变形。折叠题的条件只有一句“两点重合”，翻译过来就是“折痕是这两点的中点”。 知识梳理 知识点 1　两段距离和：中间一段是常数（重点） ① 两段都向左量， 越大和越小； ② 一段向左、一段向右， 被整个消掉，和恒等于两点距离； ③ 两段都向右量， 越大和越大。 于是最小值就是 而且不是在某个点取到，是在整段 上处处取到——答案是一段范围，不是一个点。 注意　已知 题目给出 可直接答 不必分三段去解。 注意　三个零点求最小值，取中间那个零点；四个零点两两配对，最外一对先配成常数。 知识梳理 知识点 2　折叠：折痕是两点的中点（难点） ① 把数轴沿某点折叠，使表示 的两点重合，折痕表示的数就是 ② 反过来用：折痕为 时，点 折叠后落到 要判断两点是否重合，只需看它们的和是否等于 ③ 连续折叠两次时，第二次的折痕要用第一次折叠后两点的新位置重新算，不能沿用第一次的中点。 ④ 折叠前后的“距离”不变：重合的两点到折痕距离相等，这是列式的根据，也是检验答案的依据。 易错　第一次折叠后点的位置已经变了，第二次折叠若不重算折痕，答案必错。 　题型 1　　两点间的距离与最值 　例 43　　（2026 皖版拔高 23） 阅读材料： 距离产生美！在数轴上，两点间的距离等于对应两数之差的绝对值.如：数轴上表示数1和5的两点间的距离为例如数轴上表示数x和2的两点间的距离为.依据上述材料，解答下列问题：如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为                ，b的值为                ，点A与点B的距离为                ； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动：点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是            ，点N表示的数是                （均用含t的代数式表示）； ②若求时间t的值． 　思路分析　　（1）根据数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7，点A在原点O的左边，点B在原点O的右边，求出a、b的值，再求出的值即可； （2）①根据M、N运动速度，表示出点M表示的数和点N表示的数； ②根据列出方程，解方程即可． （1）解：∵O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7，点A在原点O的左边，点B在原点O的右边， ∴ ∴之间的距离为10； （2）解：①点M表示的数为 点N表示的数为 ②根据题意可得： 由（1）知AB=10且 得 解得或3． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 　答案　　(1)10　(2)①7-3t；②或3 　例 44　　（2026 合肥琥珀教育集团 22） 在数轴上，若点分别对应有理数则称为点两点之间的距离．请根据定义解决下列问题： (1)已知求的值                ； (2)已知点对应数a，点B对应数-2，且A，B两点之间的距离为5，求的值； (3)在数轴上有一点对应数为m，点M到表示-1的点的距离是到表示3的点的距离的2倍，求的值． 　思路分析　　本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）把代入计算即可； （2）根据两点之间的距离为5，分2种情况列式求解即可； （3）根据点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍列方程求解即可． （1）∵ ∴． 故答案为：4； （2）当点A在点B右边时， 当点A在点B左边时， 综上可知，或 （3）∵点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍， ∴ ∴ ∴或 解得或． 　答案　　(1)4　(2)或　(3)或 　例 45　　（2026 宿州砀山五中 22） 【阅读材料】的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数                的点之间的距离； (2)（ⅰ）若求x的值； （ⅱ）求的最小值． 　思路分析　　本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）（ⅰ）根据绝对值的意义得到数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3，进行求解即可； （ⅱ）根据绝对值的意义，得到当表示数的点在表示数-2和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即可得出结果． （1）解：的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离； （2）（ⅰ）由题意，表示数轴上表示数x的点到表示数的点的距离为3， ∴或 （ⅱ）表示数轴上表示数x的点到表示数和数1的点之间的距离之和， ∴当表示数的点在表示数-2和数1的点之间时，的值最小，为表示数-2和数1的点之间距离，即． 　答案　　(1)　(2)（ⅰ）或（ⅱ）3 　例 46　　（2026 铜陵十五中联合体 21） 阅读下列材料： 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，根据绝对值的定义，x表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为时，点P与点Q之间的距离为． 根据上述材料，解决下列问题：已知数a、b、c在数轴上表示的数分别是点A、点B、点C，且a，b，c满足． (1)                ，b=                ，                ；并在数轴上表示出A、B、C三个点； (2)                个单位长度；若点M在A、C之间，则                ； (3)若则                ； (4)代数式的最小值等于                ． 　思路分析　　本题考查的是非负数的性质，绝对值的应用，一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质可得c=4，结合a=-b可得再在数轴上表示即可； （2）利用数轴上两点之间的距离可得由点M在A、C之间，可得 （3）由结合（2）得：m<-1或再分情况建立方程求解即可； （4）由表示数m的点与表示-1，1，4所表示的点的距离之和，可得当m=1时，最小，再计算即可． （1）解：∵ ∴ 解得： ∵ ∴ 在数轴上表示如下： {width=10.2cm} ． （2）解：结合（1）可得： ∵点M在A、C之间， 则 （3）解：∵ ∴结合（2）得：或 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：的值为：-2.5或 （4）解：∵表示数m的点与表示-1，1，所表示的点的距离之和， ∴当时，最小， ∴最小值为：． 　答案　　(1)画图见解析　(2)5，5　(3)或　(4)5 　例 47　　（2026 宿州统考 23） 学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作那么的意义可以看作是数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则线段．例如，的意义为数轴上表示数a与5的两点间的距离；的意义为数轴上表示数a与-5的两点间的距离；若则a的值为3或． (1)若则x的值为            ；若则的值为          ； (2)如图，数轴上线段CD=3，点A在数轴上表示的数是-6，点C在数轴上表示的数是7，若线段AB以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是              ，点在数轴上表示的数是            ； ②当为何值时，． 　思路分析　　本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等，正确理解题意是解题的关键． （1）由可得x-1=-2或x-1=2，，解之可得出x的值；由可得出x+3=-4或x+3=4，解之可得出的值； （2）①根据题意，结合图中点在点A的右侧，点D在点的右侧，即可求解； ②先表示出运动时间为秒时，点B和点C在数轴上表示的数，再根据题意表示出BC，进而列出方程，求解后即可得到值． （1）解：∵ ∴或 解得或 ∵ ∴或 解得或 故答案为：或-1；1或． （2）解：①∵点在数轴上表示的数是-6，AB=2，且点B在点的右侧， ∴点在数轴上表示的数是 ∵点在数轴上表示的数是7，CD=3，且点D在点的右侧， ∴点在数轴上表示的数是 故答案为： ②∵线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，线段CD以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动， 点在数轴上表示的数是-4；点在数轴上表示的数是7； 故运动时间为秒时， 点在数轴上表示的数为-4+2t，点C在数轴上表示的数为 ∵ ∴根据题意列一元一次方程得， 整理，得 故或 解得或． 　答案　　(1)或-1，1或　(2)①10；②或 　例 48　　（2026 马鞍山八中 24） 阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；对于表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，那么A,B之间的距离可表示为． 已知数轴上两点对应的数分别为-2、4，点为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点点的距离相等，求点P对应的数为          ． (2)若点P在点B之间，且到点A的距离是到点B的距离的2倍，求的值； (3)数轴上是否存在点使点P到点A的距离是到点B的距离的3倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 　思路分析　　本题考查数轴上的距离与绝对值的几何意义，解题的关键是结合绝对值的几何意义，根据点的位置合理去掉绝对值符号． （1）利用中点公式求中点对应数； （2）根据点的位置去绝对值，列方程求解； （3）分点在右侧、A与B之间、左侧三种位置讨论，去绝对值列方程并验证合理性． （1）点P到点A、点的距离相等 是中点 故答案为：1 （2）在A、B之间，到A的距离是到点的距离的2倍， 且 解得： （3）①当在B右侧 解得： ②当在A、之间， 解得： ③当在A左侧 解得：与矛盾 故舍去， 综上，存在点x值为7或 　答案　　(1)　(2)　(3)存在，或 　例 49　　（2026 六安汇文中学 14） 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想．比如，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离． （1）              ． （2）若则负整数的值为          ． 　思路分析　　本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义并分情况讨论是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，计算数轴上两点的距离． （2）分情况讨论的取值范围，求解方程得到负整数的值． 解：（1）∵ 的几何意义是数轴上表示4的点与表示的点的距离， ∴ ． 故答案为：． （2）当时， 令解得 当时，无解； 当时， 令解得． 所以负整数的值为． 故答案为：． 　答案　　9 　例 50　　（2026 淮北二中联考 23） 数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 我们规定：点B在数轴上分别表示数则A，B两点的距离可表示为：如式子它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示和5的两点之间的距离是          ；数轴上表示-2.5和-5.2的两点之间的距离是          ；数轴上表示和的两点之间的距离是          ； （2）已知数轴上的点表示-1，点A与点B之间的距离是6，则数轴上点所表示的数是            ； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用新定义求式子的最小值，并求此时的值；（简单说理） 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区分别是兴园小区，梦园小区，竹园小区，名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少？（不用说理） 　思路分析　　本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得. 解：（1）由题可知，和5两点的距离可表示为 和-5.2两点的距离可表示为 和的两点的距离可表示为 故答案为2.7， （2）到表示的点的距离为6的点所表示的数分别为5和 所以数轴上点所表示的数为5或 故答案为或 （3）根据新定义可知，表示数轴上表示x的点P到表示-2的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点P到表示1的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点P到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点D重合，即x=1时，有最小值，此时最小值为 所以当时，式子有最小值为 {width=10.2cm} （4）为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米． 　答案　　（1）2.7，（2）5或-7；（3）最小值为6，x=1；（4）应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米 　题型 2　　折叠与对称 　例 51　　（2026 合肥四十六中 21） 如图，小亮在一张纸上画了一条数轴，他将纸片折叠，使得数轴上表示的点与表示5的点恰好重合．根据这一操作，回答下列问题： (1)折叠后，表示数的点与表示数            的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，已知之间的距离为则点A表示的数是            ，点B表示的数是            ． (3)已知数轴上还有一点P，它到（2）中A、B两点的距离之比为请求出所有满足条件的点P所表示的数． 　思路分析　　这道题考查了数轴的折叠变换及数轴上点的距离计算，解题关键是先确定折叠的对称中心，再结合数轴上点的位置关系和距离公式分析计算． (1) 先确定折叠对称中心：由和5重合，得对称中心为2，进而求关于2对称的点即可． (2)由 之间的距离为得两点到对称中心距离为8，结合位置即可． (3) 分在A左、AB间、B右三种情况，按距离比列方程求解． （1） {width=10.2cm} 由折叠知，表示数的点与表示数5的点关于数的点对称， 由数轴可知表示数-2的点与表示数6的点关于数的点对称， 故答案为． （2）折叠后点A与点重合， 点A与点B关于表示数的点对称， 两点之间距离为 点A和点B到表示数2的点的距离都为 点A表示的数为2-8=-6，点B表示的数为 故答案为． （3）点P到与的距离比为 设P表示的数为x，则： 即： 情况1：当时，解得 情况2：当时，解得 情况3：解得x=18（不在范围，舍去）， 综上所述，P点表示的数为或． 　答案　　(1)　(2)　(3)P点表示的数为或 　例 52　　（2026 铜陵十五中联合体 10） 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长厘米的线段AB，则线段盖住的整点个数是（ ） A． B． C．或 D．或 　思路分析　　本题考查数轴表示数的意义和方法，分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可． 解：当长厘米的线段AB的端点与整数点重合时， 两端与中间的整数点共有个， 当长厘米的线段的端点A不与整数点重合时， 中间的整数点只有个， 故选：D． 　答案　　D 　例 53　　（2026 皖版拔高 14） 已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足则： （1）c的值为            ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为          ． 　思路分析　　本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与2和2025三个数的距离之和是解题的关键． （1）∵ ∴ 即 故答案为：2025； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴ ∵表示x与2和2025三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值． 故答案为：2． 　答案　　2025 2 　例 54　　（2026 宿州宿城一中 21） 已知数轴上有从左到右排列的三个点A，B，C，它们对应的数分别为a，b，c且满足小明将刻度尺的零刻度线与数轴上的点A对齐，发现点B对应的刻度值为1.8cm，点C对应的刻度值为． (1)            ，b=            ，            ． (2)在图1的数轴上，动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动；动点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动．P、Q同时出发，请问经过多少秒，动点P能追上动点Q？ 　思路分析　　本题主要考查了数轴以及列代数式、解一元一次方程等知识，理解题意，找到有用信息以及等量关系是解题关键． （1）根据非负数的性质计算a，c的值，根据两点间的距离计算的值即可，结合题意计算数轴上的1单位长度对应刻度尺上的厘米数；根据题意即对应关系，可得方程，求解即可确定点B所对应的数b的值； （2）根据题意求得运动时间为t秒时点P所表示的数为和点Q所表示的数为列出代数式求解即可． （1）解：∵ 又∵ ∴ 解得 ∵ ∴ ∵ ∴数轴上的1单位长度对应刻度尺上的 ∵刻度尺的零刻度线与数轴上的点A对齐，点B对应的刻度值为 ∴ ∴解得． 故答案为：b=0， （2）解：∵动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动； ∴当运动时间为t秒时点P所表示的数为： ∵动点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动， ∴当运动时间为t秒时点Q所表示的数为： 则解得 那么，P、Q同时出发，请问经过秒，动点P能追上动点Q． 　答案　　(1)b=0，　(2)P、Q同时出发，请问经过秒，动点P能追上动点Q 微专题 6　图形规律 模块导学 图形规律 图形规律题看上去在考“眼力”，实际上只考一件事：相邻两个图形多了多少。把前三个图形的数量数准、把两次差算出来，规律基本就现形了。 知识梳理 知识点 1　数三个、求两差（重点） ① 先数出前三个图形的数量 数错一个，后面全错——这一步值得多花一分钟。 ② 求差： 与 若相等为 则第 个是 ③ 若两次差不等，再求“差的差”；差本身成等差时，通项是二次式，可设为 用前三项定系数。 ④ 也可用“固定骨架 每次新增”拆图：新增部分常常是每次增加同一个数，或每次多加 注意　通项里的 不能写成 第 个图形只加 次。 知识梳理 知识点 2　正着写通项，反着解个数（难点） ① 正问：“第 个有多少”——把通项写出来即可。 ② 反问：“第几个有 个”——解方程 取正整数解；解不出整数就说明不存在。 ③ 图形规律里还常出现“黑白两色分别计数”，要分别写两个通项，不要混在一起。 ④ 拼图类（正方形剪开、平行四边形分割）先看“每次多出几块”，多出的块数往往就是公差。 易错　题目问“第几个图形有 2025 根”，却把 代进通项算数量，方向反了。 　题型 1　　火柴棒、棋子与图案 　例 55　　（2026 六安仿真 10） 用火柴棒按如图所示的方式搭一行三角形，则搭2025个三角形需要火柴棒（ ） A．4045根 B．4047根 C．4049根 D．4051根 　思路分析　　本题考查了规律型：图形的变化类，搭1个三角形需要火柴棒搭的个数为3，搭2个三角形需要火柴棒搭的个数为搭3个三角形需要火柴棒搭的个数为则搭n个三角形需要火柴棒搭的个数为然后n取2025计算即可． 解：搭1个三角形需要火柴棒搭的个数为3， 搭2个三角形需要火柴棒搭的个数为 搭3个三角形需要火柴棒搭的个数为 …， 所以，搭n个三角形需要火柴棒搭的个数为 故搭2025个三角形需要火柴棒搭的个数为． 故选：D． 　答案　　D 　例 56　　（2026 宣城六中 21） 学科素养·实践探究 下列是用火柴棒拼出的图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有                      根火柴，第7个图中共有                      根火柴； (2)第个图形中共有                      根火柴：（用含的式子表示） (3)请判断上组图形中前2026个图形火柴数的总和是否为2026的倍数，并说明理由． 　思路分析　　本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，后面一个图形比前面一个图形多4根火柴，再结合前面几个图形中的火柴数可得可知第个图形中火柴有根，据此求解即可； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据（1）的规律可得前2026个图形火柴数的总和为可证明与式子相等，据此可得结论． （1）解：当时，火柴的根数是 当时，火柴的根数是 当时，火柴的根数是 以此类推，可知第个图形中火柴有根， ∴第4个图中共有根火柴，第7个图中共有根火柴， 故答案为： （2）解：由（1）可得，第个图形中火柴有根； （3）解：是2026的倍数，理由如下： ∴前个图形火柴数的总和是的倍数． 　答案　　(1)17，29　(2)　(3)是2026的倍数，见解析 　例 57　　（2026 淮南潘集 16） 如图，是由一些小棒搭成的图案，图①用了5根，图②用了9根，图③用了13根，…，按照这种方式摆下去，摆第n个图案用了根小棒，则n＝          ． 　思路分析　　先根据三个图形所用的火柴根数，归纳规律，然后再应用规律计算即可． 解：∵图①用了5根，图②用了9根，图③用了13根，…， 可得每增加一个五边形要增加4根火柴棒， 即第n个图案共用根火柴棒， 可得 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的规律，根据已知图形归纳出规律是解答本题的关键． 　答案　　 　例 58　　（2026 皖版检测 10） 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，则第⑧个图形中棋子的颗数为（　　） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中棋子的颗数，可得第个图形中棋子的颗数为据此解答即可求解，能根据所给图形发现棋子颗数的变化规律是解题的关键． 解：由所给图形可知， 第①个图形中棋子的颗数为： 第②个图形中棋子的颗数为： 第③个图形中棋子的颗数为： ∴第个图形中棋子的颗数为 当时， 即第⑧个图形中棋子的颗数为颗， 故选：． 　答案　　C 　例 59　　（2026 宿州砀山五中 10） 为庆祝国庆，某学校举办了一次创意设计竞赛．明明用大小相等的五角星按一定规律摆放出如图所示的图案，则第25个图案中五角星的颗数为（ ） A．66颗 B．69颗 C．72颗 D．76颗 　思路分析　　本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图形中五角星个数的变化，找出第n个图案中有颗五角星是解题的关键． 根据各图形中五角星个数的变化，可找出第n个图案中有颗五角星，代入即可求出结论． 解：∵第1个图案中有4颗五角星， 第2个图案中有7颗五角星， 第3个图案中有10颗五角星， 第4个图案中有13颗五角星， 第5个图案中有16颗五角星， …， ∴第n个图案中有颗五角星． 当时， 故选：D． 　答案　　D 　题型 2　　图形的分割与拼接 　例 60　　（2026 六安仿真 14） 如图是一组有规律的图案，第①个图案由6个基础图形组成，第②个图案由11个基础图形组成，…． （1）第⑤个图案由                个基础图形组成； （2）第ⓝ（n是正整数）个图案由                个基础图形组成．（用含n的代数式表示） 　思路分析　　本题是对图形变化规律的考查，观察图形不难发现，基础图形的个数依次为6、11、16、21，26…，后一个图形比前一个图形多5个基础图形，根据此规律写出第n个图案的基础图形个数即可． 解：①第1个图案由6个基础图形组成， 第2个图案由11个基础图形组成， 第3个图案由16个基础图形组成， 第4个图案由21个基础图形组成， 第5个图案由26个基础图形组成， …， ②第n个图案由个基础图形组成． 故答案为：26；． 　答案　　26 　例 61　　（2026 安庆岳西联考 14） 下列图形是由大小相等的小正方形按照一定的规律拼成的，第1个图中有9个小正方形，第2个图中有14个小正方形，第3个图中有19个小正方形，……，则第个图中小正方形的个数是            ． 　思路分析　　根据第1个图，第2个图，第3个图中正方形的个数找出规律解题即可． 解：第1个图行有个小正方形； 第2个图行有个小正方形； 第3个图行有个小正方形； … 第n个图行有个小正方形； 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的规律问题，正确数出各图中正方形的个数是解题的关键． 　答案　　 　例 62　　（2026 宿州宿城一中 14） 如图，按一定的规律分割平行四边形后，第1个图形中共有2个三角形，第2个图形中共有8个三角形，第3个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第n个图形中共有                个三角形． 　思路分析　　本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据图形可得每一个图形都比它前面一个图形多6个三角形，据此归纳类推出一般规律即可得． 解：由图可知，第1个图形中三角形的个数为（个）， 第2个图形中三角形的个数为（个）， 第3个图形中三角形的个数为（个）， 归纳类推得：第个图形中三角形的个数为个， 故答案为：． 　答案　　 　例 63　　（2026 马鞍山成功学校 14） 如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第10个图中共有正方形的个数为            ，第n个图中共有正方形的个数为            ． 　思路分析　　本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加3是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中正方形的总个数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知， 第1个图中正方形的总个数为： 第2个图中正方形的总个数为： 第3个图中正方形的总个数为： 第4个图中正方形的总个数为： 所以第个图中正方形的总个数为个， 当时， （个 即第10个图中正方形的总个数为28个． 故答案为：28，． 　答案　　28 　例 64　　（2026 宿州宿城一中 10） 如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的右上端剪去一个直径为1的半圆后得到图形然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪去的半圆的半径)得到图形……,记纸板的面积为则的值为( ) A． B． C． D． 　思路分析　　首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 每剪去一个更小的半圆，被剪去的半径依次为 ． 而 比 恰好多剪去一个半径为 的半圆， ． 故选 C． 　答案　　C 　例 65　　（2026 芜湖二十七中 10） 正六边形在数轴上的位置如图所示，点A和F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为-1．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（ ） A．A B．B C．C D．D 　思路分析　　本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 解：根据题意得： 点所对应的数为 点所对应的数为 点所对应的数为 点所对应的数为 点所对应的数为 点所对应的数为 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． 　答案　　C 微专题 7　数列、数阵与周期 模块导学 数列、数阵与周期 这一类题的关键不是算，而是“认结构”：等差、符号交替、平方数、分组、周期，五种结构对应五种写法。认出来，剩下的只是代公式。 知识梳理 知识点 1　数列的五种常见结构（重点） ① 等差：相邻两项差为常数， ② 符号交替： 或 乘上一个正项，先定符号再定绝对值。 ③ 平方数与三角形数： 是 是 ④ 分组数列：每组的个数在变（ 个、 个、 个……），先算“前几组一共多少项”，再定位。 ⑤ 幂的个位： 的幂个位按 循环， 的幂按 循环，用指数除以 看余数。 注意　 在 为奇数时是 别记反。 知识梳理 知识点 2　数阵与周期：看余数（难点） ① 十字框框住的五个数，和恒等于中心数的 倍；一月历中上下相邻差 左右相邻差 ② “任意相邻三个数之和为常数”意味着数列以 为周期：据此把大下标化小。 ③ 周期问题统一用除法：第 项 第 项，其中 是 除以周期 的余数；余数为 时取周期中最后一个。 ④ 数阵中“第几行第几列”要先算每行个数，再用除法定位，行列都从 开始数。 易错　余数为 时对应周期里的最后一项，不是第 项——这是周期题最常见的丢分点。 知识梳理 知识点 3　杨辉三角与幻方（拓展） ① 杨辉三角的构造规则只有一句：每个数等于它上方两数之和；第 行有 个数。 ② 幻方：每行、每列、每条对角线上的数之和都相等，这个和叫幻和。 ③ 三阶幻方中，中心数 相对两格的和 中心数。 ④ 解幻方题时用“公共格”列等式：同一行、同一列共用的那格，是打通两个式子的钥匙。 注意　幻方的“和相等”对每条对角线也成立，漏掉对角线就少一个条件。 　题型 1　　数列规律与符号交替 　例 66　　（2026 合肥四十六中 10） 观察下列数字规律 2 32 -64 128 则第8行第10个数是（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了数字的变化规律等知识，考查了乘方运算，有理数的加法等知识，发现数字变化规律是解题关键．观察数字，得到第n个数字可以表示为．所以第k行有个数，从而得到第8行第10个数为第59个数，把n=59代入，即可求解． 解：由题意得 这些数字由上往下依次为 所以第n个数字可以表示为． 因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数， 所以第k行有个数， 所以到第8行第10个数共有个数， 当时，． 故选：A 　答案　　A 　例 67　　（2026 合肥琥珀教育集团 10） 如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（ ） A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 　思路分析　　本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为找出共有个即可求解． 解： 故选：A． 　答案　　A 　例 68　　（2026 淮南潘集 23） 观察下列三行数，回答下面的问题： 第一行：4、-8、16、……① 第二行：0、6、18、……② 第三行：2、-4、8、……③ (1)请直接写出每一行的第6个数分别是            ，            ，            ； (2)取每行数的第个数，从上到下分别记为a，b，c，求的值． 　思路分析　　本题考查了数字的规律问题，代数式求值等，由数字变化的特点得出第 n个数是解题的关键． （1）观察第一行各数可知其规律：第几个数是2的几次方，且奇数个为负，偶数个数为正，即可得出第一行的规律，进而可得出第二和第三行的规律； （2）由（1）表示出b，然后代入计算即可． （1）解：第一行：∵4、-8、16、… ∴第n个数为： ∵第二行的是比第一行对应位置的数大2， ∴第二行的第n个数可表示为：． ∵第三行的数是第一行对应位置数的一半， ∴第三行的第n个数可表示为： ∴第一行第6个数是第二行第6个数是第三行第6个数是 故答案为：64，66，32； （2）解：由（1）可知， ∴ ． 　答案　　(1)64，66，32　(2)2 　例 69　　（2026 马鞍山成功学校 22） 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：． …． (1)请写出第5个等式：            ； (2)写出第个等式：            ；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 　思路分析　　本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）先将乘法化为加法，再加减即可求解； （1）解：第5个等式： 故答案为： （2）解：第n个等式： 故答案为： （3）解：原式． ． 　答案　　(1)　(2)　(3) 　例 70　　（2026 马鞍山八中 10） 观察下列算式：…，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 　思路分析　　分别求出的末位数字，再相加即可． 解：由题知， 所以的末位数字按循环出现， 又余2， 所以的末位数字是4． …， 所以的末位数字按循环出现， 又余3， 所以的末位数字是7． 的末位数字是3 故选：A． 【点睛】本题考查尾数特征，能根据所给的2的乘方和3的乘方的尾数发现其出现的规律是解题的关键． 　答案　　A 　例 71　　（2026 合肥行知学校 10） 已知（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数字），（取计算结果的末位数字），…，则的值为：（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了数字类规律探索，新定义下的实数运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 表示的末位数字，通过计算发现其值以周期5循环，每周期依次为2，6，2，0，0，和为10．从到共2025项，恰好为405个完整周期，因此总和为． 解：∵为的末位数字， 计算得： … ∴的值以周期5循环，每周期为2，6，2，0，0， 每周期和： 从到共项， ∵正好整除， ∴有个完整周期， ∴总和为 故选：B． 　答案　　B 　例 72　　（2026 皖版检测 14） 观察个位上的数字是5的自然数的平方(任意一个个位数字为5的自然数可用代数式来表示，其中n为自然数)，会发现一些有趣的规律．请仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：…… （1）第4个等式：                        ； （2）第n个等式：                          (用含n的等式表示)． 　思路分析　　本题考查数字类规律探究，找到变化规律是解答的关键． 通过观察前三个等式，发现个位数字为5的自然数的平方等于n与的乘积乘以100，再加上25． 解：（1）第4个等式对应自然数为45，其中因此 故答案为： （2）对于任意个位数字为5的自然数，可表示为其平方为 故答案为：． 　答案　　 　例 73　　（2026 宿州联考 10） “QQ空间”等级是用户资料和身份的象征,按照空间积分划分不同的等级.当用户在10级以上,每个等级与对应的积分有一定的关系.现在知道第10级的积分是90,第11级的积分是160,第12级的积分是250,第13级的积分是360,第14级的积分是490…若某用户的空间积分达到1000,则他的等级是( ) A．15 B．16 C．17 D．18 　思路分析　　掌握数字的变化规律探索，重点抓住每升一级，积分增加多少. 第10级的积分是：90=9×10=×10， 第11级的积分是：160=16×10=×10， 第12级的积分是：250=25×10=×10， 第13级的积分是：360=36×10=×10， 第14级的积分是：490=49×10=×10， …， 设第n级积分为1000分，则×10=1000， 解得n=17． 故选C． 【点睛】本题考查了数字的变化规律探索，重点抓住每升一级，积分增加多少. 　答案　　C 　例 74　　（2026 合肥寿春中学 10） 数轴上所有整数点处均安装有固定灯，初始时仅点亮表示0的点处的灯.按规律切换亮灯点：第一次，在当前亮灯点处左2个单位长度，点亮该位置的灯，之后每次的亮灯都与前一次方向相反，且距离比前一次多2个单位长度，则第2025次点亮的灯在数轴上对应的数是（ ） A．2025 B．2026 C． D． 　思路分析　　本题考查根据规律计算数轴上点的位置，解题的关键在于找出每次点亮灯的位置变化规律，然后根据规律计算第次点亮灯的位置． 通过计算前几次点亮的灯的位置，发现规律：奇数次点亮的位置为负偶数，且数值为次数加1的相反数；偶数次点亮的位置为正偶数，且数值等于次数，第2025次为奇数次，因此位置为． 解：∵ 初始位置为0， 第1次：向左移动2单位，位置为 第2次：向右移动4单位，位置为 第3次：向左移动6单位，位置为 第4次：向右移动8单位，位置为 …… 归纳得：第次点亮的位置，当k为偶数时，为k；当k为奇数时，为． ∵ 第次为奇数次， ∴ 位置为． 故选：D． 　答案　　D 　例 75　　（2026 芜湖二十七中 23） 综合与实践： 【活动背景】七年级某班为筹备校园文化节，成立了“创意阵列设计小组”．小组计划用彩色花盆摆成三角形装饰阵列，用灰色地砖铺成正方形展示区域．在实践中，他们发现两类阵列的数量存在有趣的规律，将其命名为“三角阵列数”（花盆总数）和“正方阵列数”（地砖总数）． 【操作与发现】 如图1（三角形花盆阵列）：第1个阵列用1盆花，第2个阵列在第1个的基础上增加2盆，共3盆；第3个阵列再增加3盆，共6盆……这些逐层累加的花盆数，称为“三角阵列数”． 如图2（正方形地砖阵列）：第1个阵列用1块地砖，第2个阵列是的正方形（4块），第3个阵列是的正方形（9块）……这些阵列中对应的正方形地砖总数，称为“正方阵列数”． 【观察与思考】设第n个“三角阵列数”为x（即第n个三角形花盆阵列的总盆数），第n个“正方阵列数”为y（即第n个正方形地砖阵列的总块数），小组整理了如下表格： n 1 2 3 4 … x 1 3 6 p … y 1 4 9 q … （1）上表中，p，q的值分别为            ，            ； （2）文化节筹备中，需要找到一个“通用数量”——既能摆成完整的三角形花盆阵列，又能铺成完整的正方形地砖阵列（即既是“三角阵列数”又是“正方阵列数”），这样能最大化利用材料．下列各数中符合要求的是            （填序号）； ①36；②49；③55；④1225． 【猜想与应用】 （3）观察图形与表格，进一步猜想n与x，y之间的关系为            ；（用含x，y的代数式表示） （4）小组同学还发现一个隐藏规律：当时，任意一个“正方阵列数”都可以看作某两个相邻“三角阵列数”之和，比如4（块地砖）=1（盆花）+3（盆花），9（块地砖）=3（盆花）（盆花）．据此，文化节需要铺一个225块地砖的正方形展示区域，这个地砖数可以看作哪两个相邻的三角形花盆阵列的花盆数之和？请写出你的判断过程． 　思路分析　　本题考查了找规律-三角阵列数规律和正方阵列数规律，数的性质判断及代数关系的推导等知识点． （1）观察题中的“三角阵列数”和“正方阵列数”后将代入即可得到答案； （2）“三角阵列数”的规律为“正方阵列数”的规律为再分别分析四个备选数字是否符合两项的条件即可； （3）根据整理得再将代入到式子中后即可得出n，x，y三者的关系； （4）依据题中所给出的示例判断出225是105和120两个相邻的三角形花盆阵列的花盆数之和． 解：（1）由题意知，当时，． 故答案为：10，16． （2）由题意知，“三角阵列数”的规律为：“正方阵列数”的规律为： ①对于36：∵是“正方阵列数”，又∵即解得 ∴36既是“三角阵列数”，又是“正方阵列数”，①符合要求； ②对于49：∵是“正方阵列数”，又∵即不存在整数n满足该式， ∴49不是“三角阵列数”，②不符合要求； ③对于55：若即解得： ∴55是“三角阵列数”，但55不是一个完全平方数，不是“正方阵列数”，③不符合要求； ④对于1225：∵是“正方阵列数”，又∵即解得 ∴1225既是“三角阵列数”，又是“正方阵列数”，④符合要求； 故选：①④． （3）由得： 将代入中，得： 整理得：． 故答案为：． （4）225可以看作105与120的和， 理由：∵ 令解得：（舍去）， ∴ 故225可以看作105和120两个相邻的三角形花盆阵列的花盆数之和． 　答案　　（1）10，16；（2）①④；（3）（4）225可以看作105与120的和，理由见详解 　题型 2　　数阵与周期 　例 76　　（2026 皖版拔高 10） 正整数按图中的规律排列，请找出数字2025在第几行，第几列（ ） A．45行4列 B．45行3列 C．45行2列 D．45行1列 　思路分析　　本题考查了数字类规律探索．先根据上图找到每行第一列数字的规律，第n行，第一个数为然后根据得出答案即可． 解：观察数列，发现每一行的第一个数是 ∵ ∴第行的第一个数是． 故选：D． 　答案　　D 　例 77　　（2026 合肥五十中东校 22） 将连续的偶数2，4，6，排列成如下的数阵表，再用十字框框出5个数(如图 (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数20有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和为            ； (3)十字框框住的5个数之和能等于吗？能等于2025吗？能等于吗？若能，分别写出十字框框住的5个数，并填入框图中；若不能，请说明理由． 　思路分析　　本题考查了数字规律探索与代数式运算，解题关键是通过观察数阵中数字的位置关系，找出十字框内 5 个数与中间数的数量关系，再结合规律分析和的可能性． （1）根据所框5个数进行计算即可； （2）用分别表示出其余4个数，再求这5个数的和即可解决问题； （3）根据（2） 中发现的规律进行计算即可． （1）解：因为且 所以十字框框出5个数的和是框子正中间的数20的5倍． （2）当中间数为时， 十字框中其余的数为a-2，a+2， 则 所以十字框框住的5个数字之和为 故答案为． （3）所框5个数的和能是理由如下： 因为且余2， 则数在第2列， 所以所框的5个数为：398，400，402，． 如图所示， {width=7.6cm} ； 所框5个数的和不能是理由如下： 因为 但是不是偶数， 所以所框的5个数的和不能等于 所框5个数的和不能是理由如下： 因为且 则数在第6列， 所以它的右边没有数了， 因此所框的5个数的和不能等于． 　答案　　(1)十字框框出5个数的和是框子正中间的数的5倍　(2)　(3)所框5个数的和能是理由见解析 　例 78　　（2026 合肥三十八中 23） 探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行： 3 第3行：5 7 9 第4行： 11 -12 13 -14 15 …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 　思路分析　　本题主要考查了用代数式表示数的规律，观察数阵，推断出规律是解题的关键． （1）观察数阵，由此推断规律即可； （2）先将第5行所有数列出，再求其和即可； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数，前88个数分成44组，且每组的和为由此求解即可． （1）解：观察数阵可知：第1行有（个）数， 第2行有（个）数， 第3行有（个）数， 第4行有（个）数， 则第n行有个数； 第2行最右边的数为 第3行最右边的数为 第4行最右边的数为 则第n行最右边的数为 故答案为： （2）第5行的9个数为：17，19，-20，21，-22，23，25， 它们的和为 （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 前88个数分成44组，每组的和为 所以该行所有数的和为． 　答案　　(1)　(2)　(3) 　例 79　　（2026 六安裕安九中 14） 如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 1 a b c 5 （1）填空：                   ； （2）若前n个格子中所填整数之和为2025，则n的最小值为                ； 　思路分析　　本题考查了一元一次方程的应用，数字类规律的探索，解题的关键是找到序列为1、5、周期性重复． （1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和相等，列出方程求出a、b、c的值； （2）由（1）得序列为周期性变化，每3个格子重复1、5、其和为3，前n个格子之和取决于n除以3的余数：当n=3k时，当n=3k+1时，当n=3k+2时，令解方程得n=2021或取最小n值2021． 解：（1）由任意三个相邻格子中所填整数之和相等，得： 解得 解得 设后面的连续三个数为 则解得 由解得 故答案为： （2）由得 解得 由得 解得 由得 解得 ∴可知序列为1、5、周期性重复，每3个格子之和为 设前n个格子之和 若（k为正整数），则 若则 若则 设 当时，解得 当时，解得k非整数，无解； 当时，解得k=673， 符合要求， 取最小n值，则n的值为 故答案为：2021． 　答案　　 2021 　例 80　　（2026 芜湖南陵春谷中学 10） 现有一列数其中并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（　　） A．1 B． C．0 D．2 　思路分析　　本题考查了数字类规律探索． 根据题意可知则再求解即可． 解：∵任意相邻三个数的和为同一个常数， ∴ ∴ 同理可得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 　答案　　A 　例 81　　（2026 滁州定远育才模拟 23） 将个数排成一行从左向右依次计算相邻两个数的平均数，并按计算的先后顺序将所得的数排成一行，重复以上操作，直至得到两个数．将这两个数的平均数记为． 例如，求的值． 第一步：依次计算得到2，-2， 第二步：依次计算得到0，．计算0和的平均数，得到 则 根据以上信息，回答问题： (1)的值为 　　　　　　 ； (2)当m的值为 　　　　　　 时，的绝对值取得最小值； (3)如果与y互为相反数，判断是否是定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由． 　思路分析　　本题考查新定义的运算法则，有理数的四则混合运算，整式的加减混合运算以及绝对值和相反数，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）根据新定义的运算法则求出再结合绝对值的定义即可求解； （3）由相反数的定义可得再求出即可． （1）解： 的值为 故答案为： （2） 的绝对值的最小值为 解得 故答案为： （3）与互为相反数， 是定值，． 　答案　　(1)　(2)　(3)是定值， 　题型 3　　杨辉三角、幻方与月历 　例 82　　（2026 合肥四十六中 20） 南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为            ； (2)展开式共有            项，第19项系数为            ； (3)利用上面的规律计算：． 　思路分析　　本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律，解题关键是通过观察杨辉三角的构造特点，总结出二项式展开式的项数、系数规律并加以应用． （1）根据杨辉三角“每个数等于上方两数之和”的规律，计算括号内的数； （2）先由杨辉三角总结出展开式的项数规律，再结合“展开式中对称位置系数相等”及“第3项系数的推导公式”，求出指定项数与系数； （3）将式子与二项式展开式形式对应，利用的展开式逆用计算结果． （1）由“杨辉三角”可知， 每一个数是肩上的两数之和（最两侧的数除外）， 则 所以括号内的数为6． 故答案为：6． （2）由题知， 因为展开式共有3项，展开式共有4项，展开式共有5项，…， 所以展开式共有项． 当时， 展开式共有21项． 根据“杨辉三角”中每行数的特征可知， 展开式中第19项系数与第3项系数相等． 因为展开式第3项系数为1，展开式第3项的系数为3，展开式第3项的系数为6，…， 所以展开式第3项的系数为． 当时， 所以展开式中第19项系数为190． 故答案为：． （3）由题知， 则令得， 所以． 　答案　　(1)6　(2)　(3) 　例 83　　（2026 六安裕安九中 23） 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式， (2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：． 　思路分析　　本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取b=-1，代入计算即可得到答案． （1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： {width=7.6cm} ∴ 故答案为： （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： 共2项，所有项系数的和为 共3项，所有项系数的和为 共4项，所有项系数的和为 …… ∴共项，所有项系数的和为 ∴共9项，所有项系数的和为 故答案为：9，256； （3）解： ∴可取 即原式． 　答案　　(1)　(2)9，256　(3)32 　例 84　　（2026 中科大附中 15） 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为                      ． 　思路分析　　本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意和掌握有理数混合运算的法则．设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，列方程求出a、b、c的值，再代入计算结果即可． 解：设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，由题意得： 解得： ∴ 解得： 同理， 解得： ∴ 故答案为：． 　答案　　 　例 85　　（2026 合肥琥珀教育集团 15） 将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如图（1）．将满足条件的另外9个数中的三个数填入了图（2）． （1）图（1）中的值为                ； （2）图（2）幻方中9个数的和为                ． 　思路分析　　此题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据第一横行和左下右上对角线相等列方程求解即可； （2）根据幻方特点：中间的数是9个数的平均数，只要求出中间的数即可求出这9个数的和． 解：（1）根据第一横行和左下右上对角线相等得， ∴． 故答案为：5； （2）∵ ∴右下角的数是： ∴中间的数是： ∴幻方中9个数的和为：． 故答案为：54． 　答案　　5 54 　例 86　　（2026 淮北西园中学 10） “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（ ） A． B． C．0 D．1 　思路分析　　本题主要考查了一元一次方程的应用——“幻方”，设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，列方程求出的值x，再根据题意得出的值即可． 解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x， 根据题意列方程得，， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 　答案　　B 　例 87　　（2026 芜湖南陵春谷中学 15） 如图是某月的月历卡，笑笑用“十字形”框玩框数的游戏每次都要框出5个数，如果框出的5个数中正中间的数是a，这5个数的和为                      （用含a的式子表示），一共可以框出                    种不同的和． 　思路分析　　本题考查了列代数式，用字母正确表示出框出的5个数是解题的关键．由题意可得，框出的5个数分别为a-1，a，a+1，将这5个数相加即可得到这5个数的和；再根据月历卡的特点得到a可能取到的数，即可得出答案． 解：∵框出的5个数中正中间的数是a， ∴框出的5个数分别为a-1，a，a+1， ∴这5个数的和为 由图可得，a可以是8，9，10，13，14，15，16，17，20，21，22，23，共有12个数， ∴一共可以框出12种不同的和． 故答案为：12． 　答案　　 12 　例 88　　（2026 六安轻工中学 14） 我国古代用天干和地支纪年，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行： 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸…… 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥…… 从左向右第1列是甲子，可以表示甲子年，第4列是丁卯，可以表示丁卯年…… （1）在上面的天干排列中，丙第n（n是正整数）次出现，位于从左向右的第            列（用含n的式子表示）； （2）2022年是壬寅年，表示该年的壬寅可以位于从左向右的第            列（写出一个即可）． 　思路分析　　（1）分别求出丙第1次出现，第2次出现，第3次出现的列数，根据规律解答； （2）设壬第x次出现，寅第y次出现后恰好是壬寅年，得到10x-1=12y-9，求方程的整数解即可． 解：丙第1次出现是在第3列， 第2次出现是在第13=3+10列， 第3次出现是在第23=3+10+10列， 第n次出现是在第3+10（n-1）=（10n-7）列， 故答案为：（10n-7）； （2）设壬第x次出现，寅第y次出现后恰好是壬寅年，则 10x-1=12y-9， ∴ ∵x、y都是正整数， ∴当x=4时y=4， ∴10x-1=39， 故答案为：39． 【点睛】此题考查了数字类排列的规律及二元一次方程的整数解，正确理解天干和地支的排列得到规律是解题的关键． 　答案　　（10n-7） 39 　例 89　　（2026 皖版检测 22） 【综合与实践】如图①是某月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，然后通过计算探索其中位置如图②所示的四个数“”的值． (1)初步分析：计算图①中的结果为            ． (2)数学思考：将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．理由如下，请你将其补充完整． 解：设则b=x+2，c=x+14，            ． 所以（ ）=            ． (3)同类探究：利用小乐的方法，借助图①中的日历继续探究，探索其中位置如图③所示的四个数“”的值．写出你的结论，并仿照（2）的方法说明结论成立的理由． 　思路分析　　（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求出的结果； 根据日历的排序规律即可求出的值； （2）根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差每一列相邻数字之间相差7，设a=x，将b、c、d都用含x的代数式表示，然后代入即可计算出结果并得出结论； （3）根据日历的排序规律可发现规律，在日历中用“型框”框住位置如图③所示的四个数，设a=x，将b、c、d都用含x的代数式表示，然后代入即可计算出结果并得出结论． 本题主要考查了数字类规律探索，有理数的加减混合运算，列代数式，整式的加减运算等知识点，通过观察日历发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）解： 故答案为：0， （2）解：设则b=x+2，c=x+14， 故答案为：x+x+16， （3）的值均为理由如下： 在日历中用如图所示的四个数， 设则b=x+2，c=x+8， 的值均为． 　答案　　(1)0　(2)x+x+16，　(3)的值均为理由见解析 微专题 8　程序框图与进位制 模块导学 程序框图与进位制 程序框图考的是“照着做”，进位制考的是“按权展开”。前者怕的是没找到循环节，后者怕的是位权数错——两件事都可以用“把前几步老老实实写出来”解决。 知识梳理 知识点 1　框图：顺着箭头算，找循环节（基础） ① 从“输入”开始，按箭头方向一步一步算，遇到判断框按条件分两支。 ② 求“第 次输出”时，先算前五六次，写出结果序列，看从第几次开始重复。 ③ 设重复的循环节长度为 循环从第 项开始，则第 次输出对应循环节里第 项（余数为 取最后一项）。 ④ 程序里若出现“若结果大于某数则输出，否则返回”，返回就是循环，出口条件决定循环几次。 易错　把前置的几项也算进周期里，导致下标整体错位。 知识梳理 知识点 2　进位制：按权展开（拓展） ① 进制转十进制，按权展开： ② 十进制转 进制，除 取余、倒序排列，直到商为 ③ 十六进制用 表示 运算时先换成十进制再算。 ④ 不同进制比较大小，先统一换成十进制，再比。 注意　位权从右往左是 最右边一位的权是 不是 　题型 1　　程序框图与循环 　例 90　　（2026 合肥寿春中学 14） 有一个有趣“有理数转换器”，如图所示箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器 （1）当输入数字为5时，输出的结果是                        ； （2）若输入有理数为n，轴出的结果是5，且知道则输入的数n是                        ． 　思路分析　　本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据程序框图列式计算即可； （2）由题意，根据程序框图，分情况讨论并求得对应的数值后进行判断即可． 解：（1）当输入数字为5时， 的相反数是2，是正数， 其倒数为输出结果， 故答案为： （2）若输入有理数为n，输出的结果是5， ①当时，其相反数为 若为正， 则其倒数为5， 那么符合题意； 若为非正数， 其绝对值为n，结果为5， 那么符合题意； ②当时， 加上即为 当时，其相反数为 若为正， 则其倒数为5， 那么 解得：符合题意； 若为非正数， 其绝对值为结果为5， 那么不符合题意； 当时， 加上即为 当时，其相反数为 若为正， 则其倒数为5， 那么 解得：不符合题意； 若为非正数， 其绝对值为结果为5， 那么不符合题意； 综上，输入的数n是或5或 故答案为：或5或 　答案　　/0.5 或5或 　例 91　　（2026 安庆外国语学校 10） 如图是一个数据运算程序，如果开始输入的x的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，则第2次输出的结果是16，……，以此类推，第2025次输出的结果是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 　思路分析　　本题主要考查代数式的值及数字规律，熟练掌握代数式的值及数字规律是解题的关键；根据题意得到每次运算的结果，然后可发现从第4次开始，按照4、2、1循环，进而问题可求解． 解：当时，则第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，则第2次输出的结果是16，返回进行第3次运算，则第3次输出的结果是返回进行第4次运算，则第4次输出的结果是返回进行第5次运算，则第5次输出的结果是返回进行第6次运算，则第6次输出的结果是返回进行第7次运算，则第7次输出的结果是返回进行第8次运算，则第8次输出的结果是……； ∴从第4次开始，按照4、2、1循环， ∵ ∴第2025次输出的结果是1； 故选A． 　答案　　A 　例 92　　（2026 宿州泗县 10） 如图所示的运算程序中，若开始输入的值是2，第1次输出的结果是第二次输出的结果是1，依次继续下去．第1080次输出的结果是（ ） A．4 B． C．1 D． 　思路分析　　本题主要考查了数字类的规律探索，根据流程图计算出前6次的输出结果可知从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为据此规律求解即可． 解：第1次输出的结果为 第2次输出的结果为 第3次输出的结果为 第4次输出的结果为 第5次输出的结果为 第6次输出的结果为 ……， 由此可知，从第2次输出开始，每三次输出为一个循环，输出的结果依次为 ∵ ∴第1080次输出的结果为 故选：D． 　答案　　D 　例 93　　（2026 滁州定远育才 14） 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图．若开始输入的值为-2，则最后输出的结果是                  ． 　思路分析　　本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题目所给运算程序，将代入进行计算． 解：第一次： 第二次： 故答案为：8． 　答案　　8 　例 94　　（2026 马鞍山八中 18） 如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时，则输出的结果为                ． 　思路分析　　将n=-3代入中，算出 所以将将n=6代入中，算出 即可求得． 输入的n的值为时， 第一步： ∵ ∴重新输入的是12， 第二步： ∵ 输出的结果是132． 故答案为：132． 【点睛】本题考查有理数的计算，掌握有理数计算法则是解题的关键． 　答案　　132 　题型 2　　进位制互化 　例 95　　（2026 宣城六中 10） 为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：（规定：当a 0时，），根据以上信息，将转化成十进制数是（ ） A．28 B．29 C．58 D．62 　思路分析　　本题考查了有理数的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据题中的运算方法进行运算即可． 解： 故选：B． 　答案　　B 　例 96　　（2026 淮北濉溪 14） 计算机中常用的十六进制是逢进1的计数制，采用数字0∼9和字母A∼ F共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如：十进制中用十六进制表示为1A，具体转化方法：（对应十六进制A）；十进制中571用十六进制表示为23B，具体转化方法：．由上可知，十六进制中8D=          （运算结果用十进制表示）；十进制中          （运算结果用十六进制表示）． 　思路分析　　本题考查十六进制与十进制之间的转换，根据对应关系进行换算；十六进制数转换为十进制数时，每位数字乘以的相应次幂后求和；十进制数转换为十六进制数时，通过连续除以16取余数，直到商为余数从下往上读． 十六进制数中，D对应十进制数13，因此十进制数2025转换为十六进制： 余9（对应十六进制9），余 14（对应十六进制E），因此． 故答案为． 　答案　　 　例 97　　（2026 淮南潘集 10） 将六进制数转化为十进制数的结果为（ ） A．880 B．3788 C．1000 D．13 　思路分析　　本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据题意列出含乘方的有理数混合运算的式子是解题的关键． 先根据题意列出式子，然后运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 解：． 故选B． 　答案　　B 微专题 9　数轴上的动点 模块导学 数轴上的动点 动点题的通用套路只有一步：先把“几秒后点在哪里”写成含 的式子。位置式写对了，相遇就是两个式子相等，距离就是两个式子相减再取绝对值，剩下的都是解方程与分段。 知识梳理 知识点 1　位置写成含 t 的式子（重点） ① 起点为 以每秒 个单位向右运动， 秒后位置为 向左则为 ② 两点间的距离写成 绝对值里是一个含 的一次式，符号由 的大小决定。 ③ 相遇就是两个位置式相等，解出的 代回任一式即得相遇点。 ④ 题目常要求“用含 的代数式表示”，这是送分的第一步，也是后面所有小问的地基，务必先写。 注意　“同时出发”“运动时间为 秒”隐含 求出的负根要舍去。 知识梳理 知识点 2　折返与分段（难点） ① 碰到挡板（或端点）后原路返回，速度大小不变、方向相反，位置式要按“到达挡板的时刻”分成两段写。 ② 分段点就是运动物体到达挡板的时刻，先算这个时刻，再分段写位置，不要一上来就列绝对值方程。 ③ 分段后每一段内都是匀速直线运动，距离仍写成两个位置式之差的绝对值，逐段解完再合并答案。 ④ 若题目问“两点距离为定值”，往往要说明在某一时间段内距离与 无关，答题时必须写出这个时间段。 易错　折返后仍用原方向的位置式，等于假设点穿过了挡板，答案会多出根本不存在的解。 　题型 1　　两点运动、相遇与距离 　例 98　　（2026 宿州联考 25） 数轴上有两个点A、B，分别代表的整数是a和b，a、b满足． (1)　　　，　　　，点A与点B之间的距离是　　　． (2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点A、B同时运动，设运动时间为t秒，回答下列问题： ①t秒时，点A对应的数为　　　；（用含t的式子表示） ②当时，求点A与点B之间的距离．（用含t的式子表示） 　思路分析　　本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方： （1）根据绝对值的非负性及乘方可得b-2=0，求出的值即可求解； （2）①根据数轴上点移动的规律即可求解； ②根据数轴上点移动的规律得点B对应的数为当点B与点A相遇时，根据可求得进而可求解． （1）解：由题意得： 解得： 点A、点B表示的数分别是2， ∴ ∴点A与点B之间的距离是10， 故答案为：2，10； （2）解：①∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， ∴t秒时，点A对应的数为 故答案为：． ②∵点B以每秒4个单位长度的速度向左运动， ∴t秒时，点B对应的数为 当点B与点A相遇时，则 解得： ∴当时，点A在点B的右侧， ∴ 故点A与点B之间的距离． 　答案　　(1)2，10　(2)①② 　例 99　　（2026 合肥八中铭传 23） 阅读材料对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点称这样的操作为点P的“m速移”， 点称为点P的“速移”点． 阅读材料若点表示的数分别为则线段MN的长度可以这样计算：或那么当点表示的数分别为时，线段MN的长度可以表示为或． (1)当时， ①如果点表示的数为-5，那么点A的“m速移”点表示的数为 ； ②点的“m速移”点表示的数为4，那么点表示的数为 ； (2)数轴上的点表示的数为1，C表示的数为x，点C向右平移3秒，得到点C的“2速移”点那么的长度可以表示为 ； (3)数轴上两点间的距离为2026，且点E在点F的左侧，点通过“2速移”分别向右平移秒得到点如果请直接用等式表示的数量关系． 　思路分析　　（）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； （）设点在数轴上表示的数为a，则点F在数轴上表示的数为a+2026，再根据“速移”点定义及数轴上两点间距离公式解答即可； 本题数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，理解新定义是解题的关键． （1）解：①由题意可得，点表示的数为 故答案为： ②由题意可得，点表示的数为 故答案为： （2）解：由题意可得，点表示的数为 ∴的长度可以表示为 故答案为： （3）解：设点在数轴上表示的数为a，则点F在数轴上表示的数为 ∴点在数轴上表示的数分别为 ∵ ∴ 即 ∴或 ∴或． 　答案　　(1)①②　(2)　(3)或 　例 100　　（2026 合肥行知学校 23） 如图，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且． (1)直接写出 ， ，点C所对应的数是 ； (2)动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒． ①当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值； ②若求t的值． 　思路分析　　本题考查了绝对值及偶次幂的非负性、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据绝对值及偶次幂的非负性计算即可得解； （2）①根据题意，表示出点P与点Q表示的数，然后根据线段长度列出绝对值方程求解即可； ②根据题意，表示出点Q表示的数，然后根据线段长度关系，列出绝对值方程求解即可． （1）解：∵ ∴ ∴ ∵点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且 ∴点C所对应的数是2， 故答案为： （2）解：①根据题意得， 经过秒，点P与点Q表示的数分别是2-t和 ∴ 解得或 ②根据题意得， 经过秒，点Q表示的数分别是 此时， 根据得， 即 当时，即 解得 当时，即 解得 综上，或． 　答案　　(1)　(2)①或t=12；②t=3或 　例 101　　（2026 淮北西园中学 23） 如图在数轴上点表示数，点表示数，，满足． (1)点表示的数为                    ；点表示的数为                    ； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）． ①当时，甲小球到原点的距离=          ；乙小球到原点的距离=                    ； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时运动的时间的值． 　思路分析　　本题主要考查了数轴，一元一次方程的应用，绝对值的非负性． （1）根据非负数的性质列方程求出a、b的值，从而得解； （2）①根据运动时间确定出运动的单位数，即可得出结论； ②分，两种情况，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． （1）解∶∵， ∴，， ∴，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为4， 故答案为∶，4； （2）解：①当时， ∵小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动， ∴小球甲3秒钟向左运动个单位，此时，甲小球到原点的距离， ∵小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动， ∴乙小球左运动4个单位，运动了秒，此时，碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动秒钟，运动个单位， ∴乙小球到原点的距离． 故答案为：5，2； ②当，时，小球甲和小球乙都是在向左运动，小球甲与原点的距离为：， 小球乙与原点的距离为：， ∵甲，乙两小球到原点的距离相等， ∴， 解得：； 当时，小球甲然是在向左运动，小球乙向右运动，小球甲与原点的距离为：， 小球乙与原点的距离为：， ∵甲，乙两小球到原点的距离相等， ∴， 解得：． 故当或6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 　答案　　(1)，4　(2)①5，2；②或6 　例 102　　（2026 淮南凤台联考 23） 如图，已知数轴上两点B对应的数分别为a、b，且动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点表示的数为            ，点B表示的数为            ，点P表示的数为            用含t的式子表示 (2)动点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，同时出发． 当t为何值时，点P、Q两点到点的距离相等？ 式子的值不随时间t的变化而变化，求的值． 　思路分析　　本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性、数轴上两点距离、整式的加减运算及一元一次方程的应用，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性、数轴上两点距离及一元一次方程的应用是解题的关键； （1）根据绝对值与偶次幂的非负性可进行求解； （2）①根据题意可分当点在点Q的右边时，即PA=QA，当点P和点Q重合，即进而分类进行求解即可； ②根据题意可知，然后可根据整式加减运算中无关型问题进行求解即可． （1）解：数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且 点A、B表示的数分别为-4、 点P表示的数为 故答案为：12， （2）解：①点Q到点的距离相等，有两个时间点， 当点在点Q的右边时，即 ∴ 解得： 当点和点Q重合，即 解得： 当t的值为2或8时，点P、Q两点到点的距离相等； 根据题意可知， 式子的值不随时间的变化而变化， 的值为． 　答案　　(1)12，　(2)①或8；② 　例 103　　（2026 马鞍山成功学校 23） 已知有理数b满足且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用表示． (1)求的值． (2)若数轴上有一点满足求点表示的数． (3)若动点和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位/s和4单位/s的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时PQ=30？请直接写出点表示的数． 　思路分析　　（1）根据非负性进行计算即可求解； （2）设表示的数为c，根据数轴上两点之间距离的计算分别表示出的值，分类讨论即可求解； （3）设后，PQ=30，分类讨论：当点P向左运动时，点P表示的数为-20+2t，点Q表示的数为30-4t，由动点的数量关系列式求解；当点P向右运动时，点P表示的数为-20-2t，点Q表示的数为由数量关系列式求解即可． （1）解：根据题意， ∴ 解得， ∴ （2）解：设表示的数为 当点在A,B之间时， ∵满足 ∴ 解得， ∴点表示的数为：10； 当点在点B的右边时， ∴ 解得， ∴点表示的数为 综上所述，点表示的数为10或130； （3）解：设后， 当点向左运动时，点P表示的数为-20+2t，点Q表示的数为 当点与点Q相遇前，, ∴ 解得， ∴ ∴点表示的数为 当点与点Q相遇后时， ∴ 解得， ∴ ∴点表示的数为 当点向右运动时，点P表示的数为-20-2t，点Q表示的数为 当点追上点P前， ∴ 解得， ∴ ∴点表示的数为 当点追上点P以后， ∴ 解得， ∴ ∴点表示的数为 综上所述，点表示的数为或或-40或-100时，． 【点睛】本题主要考查非负数，数轴上表示有理数，两点之间距离的计算，数轴上动点与一元一次方程的综合，理解数轴上有理数的表示方法，掌握动点运用的数量关系与一元一次方程的综合运用方法，分类讨论思想是解题的关键． 　答案　　(1)　(2)点表示的数为10或130　(3)点表示的数为或或-40或-100时， 　例 104　　（2026 马鞍山花园初中 24） 初一年级开设了丰富多彩的选修课，佳佳同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数-10和12、佳佳把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且PQ=2，MN=6．木棒MN从点B开始一直向右以每秒1个单位的速度匀速运动；木棒PQ同时从点A开始向右以每秒3个单位的速度匀速运动，当点Q运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点N表示的数为 ，点P表示的数为 ； (2)在木棒向右运动的过程中，当t为何值时点P与点N重合？ (3)点D为木棒上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 　思路分析　　本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，能利用数形结合，分类讨论进行求解是解题的关键． （1）点到达点C所需时间为秒，此时点P表示的数为点P表示的数为即可求解； （2）分类讨论：①当时， ②当时，③当时，点P与点N不可能重合，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，即可求解． （1）解：点N表示的数为： 点到达点C所需时间为：（秒）， 此时点表示的数为 所以时，点P表示的数为 故答案为： （2）解：当点与点A重合时，点P表示的数为 当点与点B重合时，点P表示的数为 此时 当点到达点C时点P表示的数为 点到达点C所需的时间为：（秒）， ①当时 解得 ②当时， 解得： ③当时， 点P与点N不可能重合； 故当t为秒或秒时点P与点N重合； （3）解：存在，定值为持续总时长为秒； 点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值为 ①当时 解得 解得 所以 故持续时间长为秒； ②当时， 解得 解得 所以 故持续时间长为秒； （秒） 综上所述，持续时间长为秒． 　答案　　(1)　(2)秒或秒　(3)存在，定值为持续总时长为秒 　例 105　　（2026 皖版检测 23） 已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 　思路分析　　本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． （1）根据得计算即可． （2）设表示的数为表示的数为小火车的长度为l，根据题意建立方程计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，继而得到根据题意，得到点Q表示的数是2t+7，点P表示的数是-2-t，继而表示代入化简，令的系数为零计算即可． （1）解：∵ ∴ ∴． ∴． （2）解：设A表示的数为B表示的数为小火车的长度为l， 根据题意，得 ∴ ∴ 解得 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． （3）解：存在，此时值为 理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒， ∴ 根据题意，得到点Q表示的数是点P示的数是 ∴ ∴ ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴ 解得 故 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 　答案　　(1)9　(2)3　(3)存在，此时值为 　例 106　　（2026 六安轻工中学 23） 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当t为何值时， (4)若点M为的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 　思路分析　　本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据题意直接可得t秒后，点P表示的数为点Q表示的数为 （2）根据题意得即可解得故当t为2秒时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）根据两点间的距离公式得到结合已知条件列出方程并解答即可． （4）由点M为的中点，点N为PB的中点，可知M表示的数是N表示的数是即得故线段的长度为5，不发生变化． （1）解：令点P表示的数为m，点Q表示的数为n，则 ∴ 故答案为： （2）解：根据题意得： 解得 此时 ∴当t为2时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）解：∵t秒后，点P表示的数是点Q表示的数是 ∴ 又∵ ∴ ∴或 解得：或1， ∴当或3时，． （4）解：线段的长度不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴M表示的数是N表示的数是 ∴ ∴线段的长度为5，不发生变化． 　答案　　(1)　(2)当t为2时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4　(3)t为1或3时，　(4)线段的长度为5，不发生变化 　题型 2　　动点与整式综合 　例 107　　（2026 安庆外国语学校 23） 已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和． (1)则          ，          ；A，B两点之间的距离为          ； (2)有一动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达A或B即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，BD-2AD的值始终保持不变，求D点运动的方向及的值． 　思路分析　　本题考查了多项式的系数与次数、数轴的动点问题和整式加减的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确的表示数轴上的有理数． （1）根据二次多项式的定义得到由此求得a的值；然后由多项式的系数的定义得到b的值，根据AB=b-a求解的值即可； （2）向左运动记为负，向右运动记为正，找到规律，可得点P对应的有理数；然后根据题意列式计算即可； （3）分点D从原点向左运动和点D从原点向右运动两种情况求解即可 （1）解：是关于x的二次多项式，且二次项系数为 （2）解：第1次运动P点对应的数为 第2次运动P点对应的数为 第3次运动P点对应的数为 第4次运动P点对应的数为 第2025次运动P点对应的数为 （3）解：运动时间为秒时，点A对应的数为-4-3t，点B对应的数为 当点D从原点向左运动时，点对应的数为 ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时，点对应的数为 ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∵ ∴此种情形不存在． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 　答案　　(1)6；10　(2)　(3)D点运动的方向：向左， 　例 108　　（2026 淮北濉溪 23） 如图：在数轴上点表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为． (1)          ，b=          ，          ； (2)若点点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒， ①当为何值时C与相距三个单位长度？ ②小明同学发现：的值是个定值，求此时的值． 　思路分析　　本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，多项式的次数和项的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）最小的正整数为1，多项式的最高次项为常数项为9，据此可得答案； （2）①根据（1）所求可表示出点A，点B，点C运动t秒后表示的数，进而根据数轴上两点距离计算公式列出方程求解即可；②表示出的长，再根据的值是个定值求解即可． （1）解：是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为a，常数项为 b=1， （2）解：①由题意得，运动秒后点A，点B，点C表示的数分别为-5-2t，1-t， 当点在点B右侧，B与C相距3个单位长度时，则解得 当点在点B左侧，B与C相距3个单位长度时解得 综上所述，当或t=5.5时，B与相距3个单位长度． ② ∴当时， 的值是一个定值， 的结果与无关， ∴ 当时， 的值是一个定值， 的结果与无关 ∴ 综上所述，的值为． 　答案　　(1)1，　(2)①当或t=5.5时，B与C相距3个单位长度；②m的值为 　例 109　　（2026 淮南田家庵十九中 23） 综合与探究 【问题情境】数轴是研究有理数的重要工具，有了数轴这个工具，就可以“用数轴上的点表示数”和“用数表示数轴上的点”，这为我们利用数形结合研究数学问题提供了重要手段． 如图是小亮画的一条数轴． 【观察思考】 （1）点A表示的数是              ； （2）点B在数轴上表示的数为2，则A，B两点间的距离是            ； （3）点C也在数轴上，且到点A的距离为3，则点C表示的数为              ； 【类比探究】 （4）如图，小敏也画了一条数轴（不完整），数轴上的点M，N分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6．若点M以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时数轴上一个动点G以每秒1个单位长度的速度向左移动．经过2秒后，M，G两点间的距离为3．则点G起始位置表示的数为            ． 　思路分析　　本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．掌握数形结合思想，熟练构建方程式解题的关键． （1）观察数轴直接得到答案； （2）列式计算即可； （3）设点表示表示的数为x，列方程求解即可； （4）先求出点M表示的数为N表示的数为3，设点G表示的数是g，则点M向右运动2秒后表示的数为点G向左运动2秒后表示的数为g-2，列出方程求出g的值即可． 解：（1）由数轴，可知点A表示的数是 故答案为：． （2）∵点A表示的数是点B在数轴上表示的数为2， ∴A，B两点间的距离是． 故答案为：4； （3）设点表示的数是列方程得， 即或 解得或 （4）∵M，N分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6， ∴即M表示的数为N表示的数为3， 设点表示的数是g，则点M向右运动2秒后表示的数为点G向左运动2秒后表示的数为 ∵M，G两点间的距离为3， ∴ 即或 解得或． 　答案　　（1）（2）4；（3）1或（4）0或6． 微专题 10　方案决策与建模 模块导学 方案决策与建模 方案题不考方程，考的是“用字母把两种方案都写出来”。写完以后，要么代值算，要么作差比大小——比的是同一个 下谁更便宜。 知识梳理 知识点 1　列两个代数式，作差比较（重点） ① 设共同的自变量（人数、本数、里程）为 两种方案各写一个含 的整式。 ② 比较大小用作差法： 说明 便宜， 说明 便宜。 ③ 题目给定具体数量时直接代值，不必化简到最简形式，但要保证式子本身正确。 ④ 注意题目里的限制条件：“两种都要”“不少于”“超过 人”，这些条件决定 的取值范围，也决定答案要不要取舍。 易错　把“打八折”写成“减去 ”，对金额成立，对“免去两人费用”这类条件不成立，要按题意逐条翻译。 注意　分段收费类要先判断 落在哪一段，再用那一段的公式。 　题型 1　　购物、门票与优惠 　例 110　　（2026 合肥三十八中 10） 某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 　思路分析　　本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出一元一次方程是解题的关键． 通过列代数式，表示出两种方案的费用，当两种费用相等时，解方程求出x即可． 解：设购买x本图书时方案和方案费用相等， 方案①费用：元， 方案费用：元， ． 当时，两种方案费用相等． 故选：C． 　答案　　C 　例 111　　（2026 合肥行知学校 22） 网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 　思路分析　　此题考查列代数式，代数式求值，解题关键是结合题意列出代数式，注意分情况讨论． （1）由题意可知行车里程为8公里，行车时间为20分钟，根据表内的计费规则即可求得车费； （2）分情况讨论，当时与当时两种情况，分别写出乙应付的车费； （3）设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟，分别列出小王和小张的车费，进行做差比较即可求解． （1）解：（元）， 答：需付车费26元； （2）解：当时，乙应付费（元）； 当时，乙应付费 （元）； （3）解：设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟， 则甲应付车费 乙应付车费 因此，两人车费一样多． 　答案　　(1)需付车费26元　(2)　(3)两人车费一样多，理由见解析 　例 112　　（2026 芜湖无为石涧中学 22） 某校的体育组准备添一批足球和跳绳体育器材，张老师在查阅天猫网店后，发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元，现有A和B两家网店均提供包邮服务，并给出各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳． B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球50个，跳绳x条（x大于50） (1)请用含x的代数式分别表示在网店购买，需付款多少？ (2)假如学校买 100条跳绳，请你设计出最省钱的购买方案，写出理由． 　思路分析　　本题考查了列代数式、代数式求值以及有理数的混合运算．正确理解题意是解题关键． （1）根据两家网店的优惠方案即可求解； （2）将分别代入（1）中所列代数式，再根据A网店买一个足球送一条跳绳的优惠方案可在A网店购买50个足球配送50条跳绳，再在B网店购买个跳绳，算出此时的总价，即可求解． （1）解：店购买可列式：元； 在网店购买可列式：元； （2）解：当时， 在网店购买需付款：（元）， 在网店购买需付款：（元）， 在网店购买50个足球配送50条跳绳，再在B网店购买条跳绳． 合计需付款：元 ∴省钱的购买方案是：在网店购买50个足球配送50条跳绳，再在B网店购买50个跳绳，付款元． 　答案　　(1)在网店购买，需付款分别为元，元　(2)在网店购买50个足球配送50条跳绳，再在B网店购买条跳绳最省钱，理由见解析 　例 113　　（2026 合肥五十中东校 23） 合肥市50中东校七年级某班36名师生外出秋游，根据学生的喜好分成A、B、C三组分别前往A、B、C三个景点，且A组人数是B组人数的倍少1人，各景点门票单价如下表所示．若B组人数为a人，购买全部景点的总票价是b元． A景点 B景点 C景点 门票元 50 40 30 人数              a              (1)先填表，即用含a的代数式表示出A景点和C景点的人数； (2)当时，购买A景点门票花费了            元；C景点门票花费了            元； (3)①用含a的代数式表示b，并化简； ②在购买B景点门票时王老师给售票员6张元，售票员找回了一些零钱，求购买全部景点的总票价 　思路分析　　本题主要考查了列代数式，求代数式的值，根据“票价=人数单价”正确列出代数式是解题的关键． 利用题干中的数量关系即可表示出去A景点的人数，用总数A、B组的人数即可得到C的人数； 利用票价=人数单价分别列出代数式，再将代入计算即可得出结论； 求出b的代数式，利用已知条件求得a值，再将a值代入中的代数式b，计算即可得出结论． （1）根据题意，可知A组人数： C组人数： 故答案为： （2）当时，A景点门票花费：元， C景点门票花费：元， 故答案为：750；①用含有a的代数式表示b是： （3）②已知购买B景点门票时付了元，且有一些零钱找回， 解得 是整数 或14， 当时，（不合题意，舍去）， 当时， 元． 　答案　　(1)　(2)　(3)①②元 　题型 2　　经营与生产决策 　例 114　　（2026 皖版拔高 22） 孙师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车，两款车的有关数据如下： A款：燃油车 / 油箱容积：40升 / 油价：9元/升 / 续航里程：千米 / 每千米行驶费用：元 B款：新能源车 / 电池电量：60千瓦时 / 电价：0.6元/千瓦时 / 续航里程：千米 / 每千米行驶费用：            元 根据以上信息，解答下列问题： (1)用含的代数式表示B款车的每千米行驶费用            元； (2)若续航里程是600千米， ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若A款和B款车每年的其它费用分别为4800元和7500元．当每年行驶里程为6000千米时，买哪款车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 　思路分析　　本题考查列代数式，求代数式的值．解答本题的关键是明确题意． （1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据（1）的代数式，代值计算即可求解； ②根据①的结论，代值计算即可求解． （1）解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 故答案为： （2）解：①∵续航里程是600千米， ∴ 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； A款车年费用： B款车年费用： ∵ ∴B款车年费用 更低， 答：当每年行驶里程为6000千米时，买B款车的年费用更低． 　答案　　(1)　(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程为6000千米时，买B款车的年费用更低． 　例 115　　（2026 蚌埠淮三角联考 22） 某校组织学生外出研学，旅行社报价为300元/人，旅行社对30人以上团体推出两种优惠举措： 方案一：每人收费七五折优惠；方案二：免去2人的费用，其余每人八折优惠． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，两种方案所需的费用分别是多少元？ (2)当时，选择哪种方案较为合算？说说你的理由． (3)到达目的地后，该校学生分成甲、乙两组分别参观某革命胜地和考古遗址公园，该革命胜地门票为80元/人，考古遗址公园门票为60元/人，已知乙组人数比甲组人数的2倍少10人，若这两组在各自的景点处所花费的门票费用相同，求甲、乙两组的人数． 　思路分析　　本题主要考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据所给的两种优惠方案分别计算出对应的费用即可； （2）将代入（1）中的代数式求解比较即可； （3）设甲组人数为x人，则乙组人数为人，根据门票费用相同列出方程求解即可． （1）解：方案一：（元）， 方案二：元； （2）解：当时，（元），（元）， 选择方案一较为合算． （3）解：设甲组人数为x人，则乙组人数为人， 由题意得： 解得：此时（人）； 答：甲、乙两组的人数分别为15、20人． 　答案　　(1)方案一：（元），方案二：元　(2)选择方案一较为合算，理由见解析　(3)甲乙两组的人数分别为15、20人 微专题 11　几何代数式 模块导学 几何代数式 这一节的题图看着复杂，做法却极朴素：把所有边都用同一个字母表示出来，然后该加加、该减减。阴影周长还有一招“平移”——凹进去的边搬到外框上，周长立刻变成大长方形的周长。 知识梳理 知识点 1　把每条边换成同一个字母（重点） ① 先在图上把已知长度标出来，再用“整段减一段”表示剩下的边。 ② 同一个长方形的对边相等，正方形的四边相等——这是把所有边统一到一个字母的关键。 ③ 周长 各边之和；面积 分割后各部分面积之和，别漏掉重叠部分。 ④ 结果通常是含一个或两个字母的整式，能合并的先合并，再代值。 注意　题目给的“长比宽长 ”要立刻写成“长 宽 ”，这是设元的入口。 知识梳理 知识点 2　平移法求阴影周长（难点） ① 把凹进去的横边向上平移、竖边向左右平移，拼到外框上，阴影周长 大长方形周长。 ② 若阴影由两块组成，分别平移后相加，注意公共边不重复计。 ③ 周长之差类题目，先各自用字母表示，再作差，差里往往只剩一个字母。 ④ 面积类不能用平移，必须“总面积 空白面积”，或者分割求和。 易错　平移只对“长度”有效，对面积无效；用平移算面积必错。 　题型 1　　面积、周长与代值 　例 116　　（2026 安庆岳西联考 22） 我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中最大圆的半径为中间圆的半径为4个最小的圆的半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的代数式表示图中阴影部分的面积． (2)当时，求阴影部分的面积（取3）． 　思路分析　　本题主要考查了根据图形列代数式以及代数式求值的知识； （1）阴影部分的面积等于最大圆面积减去五个小圆的面积，据此列式求解即可； （2）把代入（1）所求代数式中求值即可作答． （1）解：由题意得，阴影面积为： （2）解：当π取3时，阴影面积为：． 　答案　　(1)　(2) 　例 117　　（2026 淮南凤台联考 22） 如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部分每个小正方形的边长为米，求： (1)窗户的面积； (2)窗框用料实线部分的总长度； (3)当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米20元，窗框料每米30元，窗框厚度不计那么生产这种窗户的总费用是多少？全部用含的代数式表示） 　思路分析　　本题主要考查列代数式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的面积及圆的面积可进行求解； （2）根据圆的周长及正方形的周长公式可进行求解； （3）由（1）（2）可代值进行求解即可． （1）解：四个小正方形的面积为平方米， 上面半圆的面积为平方米， 窗户的面积为平方米． 答：窗户的面积为平方米； （2）解：由图可得： 窗框的总长度是：米， 答：窗框的总长度是米； （3）解：∵ ∴根据可知，费用为： 元． 答：制作这种窗户需要的费用是元． 　答案　　(1)平方米；　(2)米；　(3)元 　例 118　　（2026 合肥四十六中南校 20） 如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的长方形荒地，政府准备在此建个休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，设宽为x米．中间的三个长方形区域（空白部分）将铺设塑胶地面作为运动场所，三个长方形其中一边均为a米． （1）用含x的代数式表示a，则                米； （2）用含x的代数式表示塑胶场地的总面积（空白部分）并化简； （3）若米，塑胶场地的造价为每平方米80元，请计算塑胶场地的造价． 　思路分析　　（1）根据大长方形的长为60米列出方程求得a的表达式； （2）可以把阴影部分拼接在一块，空白部分拼接在一块，从而列出代数式，化简即可； （3）当x=2时，先计算出塑胶场地的面积，再计算造价． 解：（1）根据题意得： 故答案为： （2） （3）当时， 原式 （平方米）， （元 答：塑胶场地的造价为194400元． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，其中列代数式是关键． 　答案　　（1）（2）（3）194400元 　例 119　　（2026 六安裕安九中 22） 小方家的住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）． 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 8折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖． (1)求a的值； (2)铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含x 的代数式表示） (3)按市场价格，木地板单价为320元/平方米，地砖单价为200元/平方米．装修公司有A，B两种活动方案，如表所示：已知：则小方家应选择哪种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）较低？ 　思路分析　　本题考查了列代数式，长方形的面积，掌握铺设地面需要木地板与地砖的面积是关键． （1）根据长方形的对边相等可得即可求出a的值； （2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积-三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积； （3）根据将分别代入（2）求出所需的地砖和地板数，再分别求出所需的费用，然后比较即可． （1）解：根据题意，可得 解得 （2）解：铺设地面需要木地板： 平方米， 铺设地面需要地砖： 平方米； （3）解：当时， 铺设地面需要木地板：（平方米）， 铺设地面需要地砖：（平方米）， 优惠方案A所需的费用为（元）， 优惠方案B所需的费用为：（元）。 ∵ ∴小方家应选择优惠方案B，使铺设地面的总费用(含材料费及安装费)较低． 　答案　　(1)3　(2)铺设地面需要木地板：平方米；铺设地面需要地砖：平方米　(3)小方家应选择优惠方案B，使铺设地面的总费用（含材料费及安装费）较低 　例 120　　（2026 蚌埠G5联考 21） 小亮对家中客厅的窗户设计了两种窗帘，图1的窗帘是由两个完全相同的四分之一圆组成，图2的窗帘是由一个半圆和两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图1所示的窗帘，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是 （结果保留π）． (2)通过计算说明图1、图2哪种设计使窗户能射进阳光的面积更大？大多少？（结果保留π） 　思路分析　　（1）根据窗帘是由两个完全相同的四分之一圆组成即可求得答案； （2）根据图形表示出图2所示的窗户能射进阳光的面积，比较出两个面积的大小后，再作差即可得到答案． （1）解：窗帘是由两个完全相同的四分之一圆组成，则窗户能射进阳光的面积是 故答案为： （2）图2窗户能射进阳光的面积 ∵ ∴ ∴图2所示的窗户能射进的阳光更大， 即图2所示的窗户能射进阳光的面积比图1能射进阳光的面积大． 【点睛】此题考查了列代数式和整式加减的应用，读懂题意，熟练掌握法则是解题的关键． 　答案　　(1)　(2)图2所示的窗户能射进阳光的面积比图1能射进阳光的面积大，大 　题型 2　　拼图与阴影部分的周长 　例 121　　（2026 安庆宿松联考 10） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示．从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形．在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（ ） A．4张 B．5张 C．8张 D．9张 　思路分析　　本题考了三元一次方程的正整数解，不等式的解法等知识，通过题中条件找到未知数的范围，即可求解．题目包含有不定方程的知识，本题作为填空题难度较大．设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为9，B的面积为12，C的面积为16，再结合总面积为来讨论求解即可． 解：由图可知，A的面积为9，B的面积为12，C的面积为16， 设拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形中的数量分别为x张，y张，张， 则有方程x、y、z均为正整数， 则未知数的取值范围为：x取0至12的正整数，y取0至9的正整数，z取0至7的正整数； 当时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有： 此时的最大值为8，即y=8， 当时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：即 112无法被3整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片； 从题目所求可知，不必讨论当时的情况， 当除B纸张外，A、C至少都取一张， 则有即 即B型纸张最多用了7张， 综上：在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为 故选：C． 　答案　　C 　例 122　　（2026 淮北濉溪 10） 如图，长为宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为下列说法中正确的是（ ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 　思路分析　　由题意知，小长方形的较长边为阴影A的较短边为较长边为阴影B的较短边为较长边为12根据各说法列代数式求解，进而可判断各说法的正误． 解：由题意知，小长方形的较长边为①正确，故符合要求； 阴影A的较短边为阴影B的较短边为 ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为②错误，故不符合要求； 阴影A的较长边为阴影B的较长边为12 ∴阴影A和阴影B的周长和为 ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求； 当时，阴影A和阴影B的面积和为④正确，符合要求； ∴正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算．正确的列代数式表示阴影的边长是解题的关键． 　答案　　C 　例 123　　（2026 淮南凤台联考 10） 把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图②与图③中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长10cm，若记图②中阴影部分的周长为图③中阴影部分的周长为那么（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．设小长方形的长为宽为bcm，大长方形的长为xcm，宽为 分别求出两阴影部分的周长，再作差，根据整式的加减化简即可． 解：设小长方形的长为宽为bcm，大长方形的长为xcm，宽为 由图可得， 这两个大长方形的长比宽长 ， 由图可知：阴影部分的周长 由图可知：阴影部分的周长 故选：． 　答案　　B 　例 124　　（2026 淮南潘集 22） 用6个如图①所示的长为a，宽为b的长方形，拼成一个如图②所示的图案，得到两个大小不同的长方形． (1)请用含a，b的代数式，分别表示大长方形和小长方形的周长． (2)若求两个长方形的周长差． 　思路分析　　（1）根据图形，用含a，b的代数式分别表示出两个长方形的长和宽，再根据长方形的周长公式计算即可； （2）根据“大长方形的周长小长方形的周长”列式并化简，然后将a和b的值分别代入计算即可． （1）解：由题意可知： 大长方形的周长为： 小长方形的周长为： 大长方形的周长为6a+4b，小长方形的周长为 （2）解：两个长方形的周长差 当时， 原式 两个长方形的周长差为． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，合并同类项，去括号，列代数式，整式的加减中的化简求值，代数式求值等知识点，弄清题意，找出题中的等量关系并正确列式是解题的关键． 　答案　　(1)　(2) 　例 125　　（2026 蚌埠淮三角联考 10） 三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ） A． B．小长方形的周长为 C．与的周长和恰好等于长方形的周长 D．只需知道和m的值，即可求出与的周长和 　思路分析　　本题考查了列代数式，根据题意和图形，正确列出代数式是解决本题的关键． 根据图形中各边之间的关系，即可一一判定． 解：由图可知：故A不正确； 小长方形的周长为：故B不正确； 与的周长和为： 长方形的周长为： 故与的周长和不等于长方形的周长，故C不正确， 故只需知道和m的值，即可求出与的周长和，故D正确， 故选：D． 　答案　　D 　例 126　　（2026 铜陵十五中联合体 16） 如图1是长a、宽bcm的长方形卡片，如图2、图3，在两个相同的大长方形中不重叠地放置2张如图1的长方形卡片，已知大长方形的长比宽长5cm，则图2中阴影部分的周长为            ．（用含a，b的式子表示） 　思路分析　　本题考查了列代数式．根据图3得到大长方形的长为：宽为：根据图2得到阴影部分的周长与大长方形的周长相等，最后用长方形周长公式解答即可． 解： 故答案为：． 　答案　　 　例 127　　（2026 马鞍山成功学校 10） 如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（ ）． A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查整式加减应用，解题的关键是用含a，b，c的式子表示大长方形的长和宽，明确整式混合运算的计算方法是解题的关键．设图1中阴影部分周长为图2中阴影部分周长为根据图形，表示出再计算即可． 解：设图1中阴影部分周长为图2中阴影部分周长为 大长方形的长为宽为 ∴大长方形的周长为 ∴ ∴． 即图1与图2中的阴影部分周长的差为． 故选：B． 　答案　　B 　例 128　　（2026 马鞍山二十中 18） 如图：在长方形中放入正方形AEFG、正方形MNRH、正方形CPQN，点E在AB上，点M、N在BC上，若AE=7，MN=5，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为                             　思路分析　　本题考查了列代数式，整式的加减运算，不规则图形的周长的求解，理解题意是解决本题的关键． 设BE=y，再根据图形依次表示出然后求出右上角周长和左下角周长，最后相减即可． 解：设 在正方形中 在正方形中 在正方形中 在长方形中 MN=5， 右上角周长 左下角周长 右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为 故答案为：10． 　答案　　10 　例 129　　（2025 马鞍山东方实验学校 10） 把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片1、2、3、4和一张长方形纸片5，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中，则没有被覆盖的阴影部分的周长为（ ） A． B． C． D． 　思路分析　　设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案． 解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y， 则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y， 5号长方形的长为3x+y，宽为y-x， 由图1中长方形的周长为32，可得，y+2 （x+y）+（2x+y）=16， 解得，x+y=4， 如图，图2中长方形的周长为48， ∴AB+2 （x+y）+2x+y+y-x=24， ∴AB=24-3x-4y， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长， {width=9.6cm} ∴2（AB+AD） =2（24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x） =2（24-x-y） =48-2（x+y） =48-8=40， 故选：D． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 　答案　　D 　例 130　　（2026 蚌埠G5联考 22） 【定义与规则】我们定义一种“拼接”操作：如下图，从边长为1的正方形（0阶长方形）开始，每次在长方形的外侧拼接一个正方形，得到新的长方形，拼接n次后得到的长方形称为n阶长方形，其宽与长之比（宽长）称为宽长比．已知有两种“拼接”方式：①L操作：在较长边外拼接一个正方形；②S操作：在较短边外拼接一个正方形．特别地，由于0阶长方形的长与宽相等，对其第1次“拼接”，我们记为L操作． 【操作与思考】 【记录与观察】 阶数 1阶 2阶 2阶 3阶 3阶 … 操作路径 L … 宽长比 ▲ … （1）表格中的▲处应填                ； （2）请写出3阶长方形其他所有可能的操作路径，画出该操作路径下生成的3阶长方形，并写出其宽长比； 【归纳与应用】 （3）4阶长方形的宽长比有                个，宽长比为的长方形操作路径为                （用L和S表示）； （4）若一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为则阶长方形的宽长比为                ． 　思路分析　　本题考查了图形规律，充分理解题意，并适当运用数形结合思想进行分析是解题的关键． （1）理解题意，观察【记录与观察】中的数值，得当阶数3阶，操作路径为则宽长比是即可作答． （2）理解题意，作图，再进行总结，即可作答． （3）理解题意，作图，再进行总结，即可作答． （4）结合前面三小问的结论进行分析，再得出当一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为则阶长方形的宽长比为或． 解：（1）∵从边长为1的正方形（0阶长方形）开始， 观察【记录与观察】中的数值，当阶数是3阶，操作路径为 则宽是长是 则宽长比是 即表格中的▲处应填 （2）依题意，如图所示： {width=11.0cm} ①宽长比为 ②宽长比为 （3）依题意，如图所示： {width=9.6cm} 4阶长方形的宽长比有8个，宽长比为的长方形操作路径为（用L和S表示）； （4）依题意，则观察如下表格： 结合（3）得宽长比为的长方形操作路径为宽长比为的长方形操作路径为 故当一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为则阶长方形的宽长比为或． 　答案　　（1）（2）①宽长比为②宽长比为图见解析；（3）8，（4）或． 微专题 12　新定义运算 模块导学 新定义运算 新定义运算只有一条铁律：定义怎么写，你就怎么代，一个符号都不许改。它一般不满足交换律、结合律， 与 是两个不同的结果——这是这一类题最集中的失分点。 知识梳理 知识点 1　代入即规则（重点） ① 把定义式里的 原样换成题目给的数或字母，先不化简，直接代。 ② 代完化成普通的加、减、乘、除、乘方，注意运算顺序与括号。 ③ 新运算一般不满足交换律与结合律： 而 两者不等。 ④ 若式子里含字母（如 ），先把结果化简成含 的形式，再整体代入。 易错　把 里的 看成两位数 ——这里的 是 乘 注意　 与 不同：前者先算括号，后者按定义直接代。 知识梳理 知识点 2　阅读材料：先摸规则，再算（难点） ① 材料给出新概念（“除方”“共生有理数对”“ 运算”）时，先照材料把两个例子算一遍，确认自己真的读懂了规则。 ② 再按“抄定义 → 代入 → 化简 → 求值”的顺序做，不要跳步。 ③ 材料题常要求“仿照上面的方法”，答题时把仿照的步骤写出来，过程分就拿到了。 ④ 含分类的（如“ 为正整数”“ 为非零有理数”），先列出所有可能的取值再逐个算。 注意　材料题的第一小问通常是送分的“照抄”，务必写全，它是后面几问的台阶。 　题型 1　　符号定义运算 　例 131　　（2026 宿州砀山五中 14） 定义一种新运算“”，规定：．例如：． （1）计算：                ； （2）若则的值为                ． 　思路分析　　本题考查了代数运算和整体代入思想，对新定义运算的理解和应用能力，解题的关键在于读懂新定义运算的运算法则． （1）直接根据新运算法则计算； （2）先根据新运算法则化简代数式，再整体代入求值． （1）根据新运算规定 ． 故答案为． （2） ． 已知代入得： ． 故答案为． 　答案　　 　例 132　　（2026 淮南田家庵十九中 10） 定义一种新运算“⊗”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 　思路分析　　本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 先算列式为然后再算即可． 解： 则 故选：C． 　答案　　C 　例 133　　（2026 滁州定远育才模拟 14） 定义新运算：运用新运算计算：            ． 　思路分析　　本题考查了有理数的混合运算．根据新运算的定义，将2025和2026代入公式，并利用连续整数的性质简化计算． 解：∵ 令b=2026，则． ∴ ． 故答案为：． 　答案　　 　例 134　　（2025 马鞍山东方实验学校 24） 定义“⊕”为一种新的运算符号，先观察下列各式： 1⊕3=1×3-3=0； -4⊕5=（-4）×3-5=-17； 2⊕（-）=2×3-（-）=6 0⊕6=0×3-6=-6； -⊕（-4）=-×3-（-4）=3…… （1）根据以上算式，写出a⊕b=      ． （2）根据（1）中定义的a⊕b的运算规则，解下面问题： ①若x=4，求（x-2）⊕4x的值； ②若2m-n=-2，求（m+n）⊕（-5m+7n）的值. 　思路分析　　（1）利用规律：3乘第一个数减去第二个数计算方法得出答案即可； （2）①根据以上所得规律得（x-2）⊕4x=3（x-2）-4x=-x-6，再代入计算可得； ②根据以上所得规律计算得（m+n）⊕（-5m+7n）=4（2m-n），再整体代入计算即可得． （1）由题意知a⊕b=3a-b， 故答案为3a-b； （2）①（x-2）⊕4x=3（x-2）-4x=-x-6， 当x=4时，（x-2）⊕4x=-4-6=-10； ②（m+n）⊕（-5m+7n） =3（m+n）-（-5m+7n） =3m+3n+5m-7n =8m-4n =4（2m-n）， 当2m-n=-2时，（m+n）⊕（-5m+7n）=4×（-2）=-8． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，数字的变化规律，解题关键在于认真观察所给式子，发现并应用规律：3乘以第一个数减去第二个数解决问题． 　答案　　（1）3a-b;(2)①-10；②-8． 　例 135　　（2026 滁州定远育才 23） 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”；写作读作“(-3)的圈4次方”．一般地，把记作：读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． (1)【初步探究】直接写出计算结果：                    ，                    ； (2)若为任意正整数，下列关于除方的说法中，不正确的有                    ；（填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1；②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈次方等于它本身的数是1或-1；④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)【深入思考】我们知道，有理数的乘方运算可以转化成乘法运算，从而得出结果．有理数的除方运算和我们熟悉的有理数运算一起进行混合运算，该如何进行？有理数的除方与有理数的乘方有何联系？请完成以下问题： ①计算 ②请直接写出2025圈次方与之间的联系                    ． 　思路分析　　本题考查了新运算，有理数的混合运算等知识，理解新运算的算法，正确计算是解题的关键． （1）根据除方的概念计算即可； （2）根据除方的概念逐项判断即可； （3）先计算各除方幂，再计算乘法与除法，最后计算减法． （1）解： （2）解：若n为任意正整数， ①故任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②故任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③即-1的圈2次方不等于它本身，故圈n次方等于它本身的数是1或错误； ④即根据有理数乘除法运算中的“奇负偶正”的都负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 综上所述，不正确的③； （3）①解： ②2025圈次方结果为：个2005相除， ． 故2025圈次方与之间的联系为：2025圈n+2次方 　答案　　(1)1，　(2)③　(3)①②2025圈n+2次方 　例 136　　（2026 合肥八中铭传 10） 如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是2或4．定义a∗b为数表中第a行第b列的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以3∗1=2．若则的值为（ ） 第1列 第2列 第3列 第1行 2 2 2 第2行 4 4 4 第3行 2 4 2 A．0，2 B．1，2 C．1 D．2 　思路分析　　本题考查新定义下的运算，一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据数表确定的值，再根据第2列的值分布，令等于该值，解方程求x． 解：∵表示第2行第3列的数，由数表可知为4． 又∵表示第行第2列的数， 第2列的数：第1行为2，第2行为4，第3行为4， ∴ 要使则2x+1=2或． 当时， 当时，． ∴ x的值为或1． 故选C． 　答案　　C 　题型 2　　阅读迁移与分类讨论 　例 137　　（2026 六安汇文中学 23） 观察下列两个等式：给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a,b为“共生有理数对”，记为(a,b)．如：数对都是“共生有理数对”． (1)在数对中，“共生有理数对”是                    . (2)若是“共生有理数对”，则                    “共生有理数对”，并说明理由：（填“是”或“不是”) (3)是否存在“共生有理数对”若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 　思路分析　　（1）根据共生有理数对的定义判断即可； （2）根据共生有理数对的定义对变形即可判断； （3）根据共生有理数对的定义得到非负数为负的情况，从而可求解． （1）解： 不是共生有理数对； 是共生有理数对； 故答案为： （2）解：是共生有理数对， 是共生有理数对； 故答案为：是； （3）解：假设存在共生有理数对 上式中左边是非负数，右边是负数，显然不成立， 所以不存在共生有理数对． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、整式的加减运算，共生有理数对的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 　答案　　(1)　(2)是　(3)不存在，理由见解析 　例 138　　（2026 滁州定远育才 22） 阅读理解题：我们知道，任意正整数根据乘方的意义：． (1)计算：          ，          ； (2)计算：          ，          ； (3)由（1）（2）我们可以得到的结论是什么？请用表示； (4)利用（3）的结论求等式中的值． 　思路分析　　本题考查了乘方的意义，有理数的乘法，数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据并结合有理数的乘法法则计算即可得解； （2）根据并结合有理数的乘法法则计算即可得解； （3）根据（1）（2）的计算结果，总结出规律即可； （4）先将式子变形为结合得出m<0，从而可得且即可得解． （1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ （3）解：由（1）（2）可得 （4）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴且 故． 　答案　　(1)36，36　(2)8，8　(3)　(4) 　例 139　　（2026 芜湖无为石涧中学 23） （1）例：代数式表示a、b两数和的平方：仿照上例填空：代数式表示 ．代数式表示 ． （2）试计算a、b取不同数值时，及的值，填入下表： a、b的值 当时 当时 当时 （3）我的发现： ． （4）用你发现的规律计算： 　思路分析　　本题考查了求代数式的值，用语言描述代数式； （1）根据代数式中所含的运算描述，注意运算顺序； （2）求出代数式的值并填入表中即可； （3）根据表中求得的值即可得到； （4）利用（3）中的规律计算即可． 解：（1）代数式表示a、b两数平方的差；代数式表示a、b两数的和与两数的差的积； 故答案为：b两数平方的差；a、b两数的和与两数的差的积； （2）填表如下： 故答案为：24，12，24，12， （3）由上述计算知，有 故答案为： （4）： ． 　答案　　（1）b两数平方的差；a、b两数的和与两数的差的积；（2）24，12，-27；24，12，-27；（3）（4） 　例 140　　（2026 芜湖南陵春谷中学 21） 【阅读理解】对于三个数我们用符号来表示其中最小的数和最大的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数，例如：． 【知识解答】（1）                      ；                      ； 【知识应用】（2）分别求和的值； 【知识探究】（3）是否存在有理数使若有，求出的值，若没有，说明理由． 　思路分析　　本题主要考查了有理数大小的比较和新定义，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）根据有理数大小比较确定最小值即可； （2）根据即可求得根据即可求得 （3）根据（2）的结论，求解即可． 解：（1）由题意得： 故答案为： （2）∵ ∴ ∵ ∴ （3）存在，理由如下: 由（2）可知： ∵ ∴． 　答案　　（1）1；（2） =-2， =x；（3）存在， 微专题 13　新定义数与编码 模块导学 新定义数与编码 “好友数”“互差数”“奇妙数”“智慧数”——名字各不同，做法只有一条：把数拆成数位，用字母写出来。两位数就是 三位数就是 写出来之后题目就变成了整式题。 知识梳理 知识点 1　用字母表示数位（重点） ① 两位数 三位数 其中 各数位都是 的整数。 ② 交换十位与个位得 两数之差 两数之和 ③ “能被 整除”看各位数字之和是否为 的倍数；能被 整除看是否为 的倍数。 ④ “把 写在正整数 的右边”得到 （ 是一位数时），写两位数则乘 易错　最高位不能为 写“所有的”这类答案时，漏掉边界值最常见。 知识梳理 知识点 2　编码与校验（拓展） ① 校验码的规则通常是“加权求和，再对模取余”，权重按位给出（如从左到右 ）。 ② 校验码 余数为 时校验码取 不是取模。 ③ 逐位代入时把每一位单独写出来，位数对齐，别把多位数当成一位。 ④ 题目问“能否检验出错误”，实质是问：改动一位后加权和是否仍与模同余。 注意　取模运算的结果一定在 到“模 ”之间；算出等于模时要改成 　题型 1　　数位特征的新定义数 　例 141　　（2026 宿州联考 24） 若一个三位自然数十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和，则称这个三位自然数为“好友数”，将这个“好友数”记为M，交换M个位上的数字和百位上的数字，得到一个与之对应的“好友数”，记为N，称M与N为一对“好友数”．例如：253是“好友数”，因为375不是“好友数”，因为253与352为一对“好友数”． (1)判断187和692是不是“好友数”，并说明理由． (2)设“好友数”M的个位数字为a，百位数字为b，试用含a，b的代数式表示一对“好友数”M与N． (3)任意一对“好友数”的和都能被11整除吗？为什么？ 　思路分析　　本题考查了新定义“好友数”的理解与代数式运算，解题的关键是紧扣“好友数”定义，将数表示为数位代数式． （1）依定义验证个位+百位是否等于十位； （2）由定义得十位为分别表示M、N的数位组成； （3）计算因式分解判断是否含因数． （1）略 （2）解： （3）略 　答案　　(1)　∵十位数字，　∴是“好友数”；　∵　∴不是“好友数”．　(2)M可表示为N可表示为　(3)　证明：∵ 　∴ 　∴ 能被整除． 　例 142　　（2026 安庆外国语学校 14） 对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为例如：a=723，因为所以723是一个“互差数”，． （1）计算            ； （2）若是一个“互差数”，且那么的值是            ． 　思路分析　　本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为依题意得，a-c=2b，可求b=4，a-c=8，然后根据互不相等，确定合适的的取值，然后判断作答即可． 解：（1）由题意知， 故答案为：3； （2）设“互差数”的百位、十位、个位数字分别为 依题意得， ∴ 解得， ∴ ∵互不相等， ∴a=9或c=0， ∴或840； 故答案为：或840． 　答案　　3 或840 　例 143　　（2026 合肥八中铭传 14） 定义：如果将一个正整数m写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被m整除，则称这个正整数m为“奇妙数”． 例如：将2写在正整数n右边，新数是需要10n+2能被2整除，因为是2的倍数，2也是2的倍数，所以能被2整除，所以2是奇妙数． （1）根据上面的定义，在正整数3，5，6中“奇妙数”为              ． （2）若“奇妙数”是一个三位数，我们可设这个三位数的“奇妙数”为y，将这个数写在正整数k的右边，得到新的正整数可表示为则所有的三位数中的“奇妙数”有              ． 　思路分析　　本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题． （1）由奇妙数”的定义，分别对3、5、6三个数进行判断即可； （2）由题意，根据“奇妙数”的定义通过分析，即可得到答案． 解：（1）根据题意，把3写在1的右边，得13，写在2的右边得23，……由于13、23、33都不能被3整除，故3不是“奇妙数”；把6写在1的右边，得16，写在2的右边得26，……由于16、26都不能被6整除，故6不是“奇妙数”；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是“奇妙数”； 故答案为：5； （2）根据题意，这个三位数的“奇妙数”为 则 ∴为正整数， ∵k为正整数， ∴为正整数， ∴y的可能值为：100，125，200，250，500； 故答案为：100，125，200，250，500． 　答案　　5 100，125，200，250，500 　例 144　　（2026 淮北二中联考 14） 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数n的平方差，且m-n=1，则称这个正整数为“智慧数”．例如，9就是一个“智慧数”． （1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是          ； （2）在小于100的正整数中，共有          个“智慧数”． 　思路分析　　本题主要考查了平方差公式的应用，根据“智慧数”的定义，利用平方差公式推导出智慧数的表达式，进而求解第3个智慧数和小于100的智慧数个数。 解：设满足条件的两个正整数为 和 n，且 则智慧数为 ． 又 代入得智慧数 其中 为正整数． 因此，智慧数为从 3 开始的奇正整数． （1）第 3 个智慧数对应即 故答案为：7. （2）根据题意可知解得 由于n为正整数， 故n取49， 故答案为：49． 　答案　　7 49 　题型 2　　集合、推理与周期 　例 145　　（2026 六安轻工中学 10） 如我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x 1，x 2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合我们说M=N．已知集合集合若A=B，则的值是（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 　思路分析　　根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可． 解：∵集合B的元素可得， ∴ ∴ ∴ 当时，a=1，不满足互异性，情况不存在， 当时，a=1（舍），a=-1时，满足题意， 此时，． 故选：Ｃ 【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可． 　答案　　C 　例 146　　（2026 蚌埠G5联考 14） 老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，a，小明写出的是0，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是                ． 　思路分析　　本题主要考查的是有理数的有关运算，由小明的数中有0，可得小聪的数中必有0．又由分数有意义，可得分母a 0．因此只能是a+b=0，即b=-a．由于小聪的数中有1，可得小明的数中必有1．因此或．再求解即可． 解：由题意，小聪写的三个数是1，a，小明写的三个数是0，b，且两组数完全相同． 因为小明的数中有0， 所以小聪的数中必有0． 又因为分数有意义， 所以分母． 因此只能是即． 因为小聪的数中有1， 所以小明的数中必有1． 因此或． 若将b=-a代入得即此式不成立，故舍去． 所以只能是． 将代入a+b=0得a+1=0，解得． 检验：当时，小聪的数为1,0,-1，小明的数为两组数相同且互不相等，符合题意． 故． 故答案为：． 　答案　　 　例 147　　（2026 合肥四十六中 22） 小张的四位朋友A、B、C、D想破译他在电脑中设置的登录密码．但是他们只知道这个密码共有六位不同的数字，他们根据小张平时开电脑时输入密码的手势，分别猜测密码是“”、“508342”、“613254”、“”，实际上他们每个人都只猜对了密码中对应位置不相邻的两个数字，且A和C猜对的数字所在位置完全不同．由此你知道小张设置的密码是            ． 　思路分析　　这道题考查了逻辑推理能力，解题关键是利用“每人猜对不相邻的两个数字、A 和 C 猜对数的位置完全不同” 这两个条件，结合四人的猜测逐一分析位置上的数字即可． 解：A的猜测是C的猜测是 且 A、C猜对的位置完全不同 假设A猜中位置2和4（不相邻），对应数字为3（位置 2）、1（位置 4）； 则C需从剩余位置（1、3、5、6）选两个不相邻的位置，假定C猜中位置 1 和 5（不相邻），对应数字为6（位置 1）、5（位置5） 确定剩余位置的数字：剩余位置为3和6，结合B的猜测B需猜中两个不相邻的数字，故B猜中位置3和6，对应数字为8（位置3）、2（位置6） 经过验证，满足每个人都只猜对了密码中对应位置不相邻的两个数字这一条件． 故答案为：． 　答案　　 　例 148　　（2026 芜湖二十七中 15） 德国数学家Lothar Collatz在1937年提出一个冰雹猜想：取一个正整数，若它是奇数，则乘以3加上1；若它是偶数，则除以2．若不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1（得到1之后就停止运算）．如果自然数n恰好经过9步运算可得到1，则所有符合条件的n之和为            ． 　思路分析　　本题考查了数字类规律探索、有理数的计算， 根据冰雹猜想的运算规则，从自然数 开始，经过 9 步运算后得到 1．通过反向推导从 1 开始，反向推导 9 步，得到所有符合条件的 值，并求它们的和． 解：如图 {width=11.0cm} 从 1 开始反向推导 9 步，得到所有可能的 值为 12，13，80，84，85，512．这些数的和：． 故答案为786． 　答案　　786 　题型 3　　编码与校验 　例 149　　（2026 芜湖南陵春谷中学 22） 二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码，例如：明码A对应暗码1…明码Z对应暗码26，以此类推．若二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设27-m的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为则对应的明码为“I”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 　思路分析　　本题考查了进制，解题关键是理解数位的进制，准确进行计算求解； （1）①根据题中的规则求解； ②根据题中的规则化二进制为十进制； （2）①根据代码进行换算； ②先把代码换算成二进制，再画二维码． （1）解：根据黑色代表1，白色代表0， ①第一行代表的二进制的数字为第二行代表的二进制数字为 ②转换成十进制数为 同理，转换成十进制数为10； 转换成十进制数为27； 转换成十进制数为21； 转换成十进制数为08； 小辉同学的准考证号为：2410272108； （2）解：①转换成十进制数为22； 转换成十进制数为29； 转换成十进制数为2； 转换成十进制数为12； 转换成十进制数为6； 根据转换规则，图2中从左到右五列对应的明码分别是空格，Y，O， ②L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为 同理其他字母表示的二进制分别为 二维码如下图所示： {width=7.6cm} ． 　答案　　(1)①②2410272108；　(2)①空格，Y，O，②二维码见解析. 　例 150　　（2026 蚌埠淮三角联考 14） 如图1，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即 步骤3：计算3a与b的和c，即 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： （1）若《数学故事》的图书码为948753Y，校验码Y的值为            ； （2）如图2，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，则m的值为            ． 　思路分析　　本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键． （1）根据题意分别求得再根据校验码的定义即可解答，根据题意列式求得a、b、c、d的值是解答本题的关键； （2）根据已知，列式解决即可解答，根据题意列出关于m的代数式是解答本题的关键． 解：（1）由题意可得： 所以校验码Y的值为． 故答案为6． （2）由题意可得： ∵d为10的整数倍， ∴的个位数字只能为9． ∴． 故答案为3． 　答案　　6 3 　例 151　　（2026 铜陵十五中联合体 22） 某学校给学生编制的“身份识别条形码”共有12位数字（均为0~9之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如下图： 其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性．具体算法说明如下： 步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为m； 步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为n； 步骤3：计算记为p； 步骤4：取不小于p且为10的整数倍的最小数q； 步骤5：计算结果即为校验码． 阅读上述材料，回答下列问题： (1)某同学的“身份识别条形码”为的04220220133□，则计算过程中p的值为            ，校验码□的值是            ． (2)如图，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为x，你能否通过其他信息还原出这位数字x，进而确定这位同学的班级呢？如果能，写出你的推理过程，如果不能，说明理由． (3)如图，一名2024届的同学在知道了校验码的计算方法后，尝试利用自己的身份信息计算校验码，然后惊喜的发现自己的“班级”、“学号”和“校验码”的数字（图中被遮住的数字）是完全一样的，请直接写出这个数字是            ． 　思路分析　　（1）根据题目所给定义分别计算出p、q即可得到答案； （2）先根据题意求出则再由q是10的整倍数，且即可得到 （3）设这个数为y，根据题意求出再由q是10的整倍数，且推出． （1）解：由题意得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：35；5； （2）解：由题意得 ∴ ∵检验码为9， ∴ ∵q是10的整倍数，且 ∴ （3）解：设这个数为y， 由题意得 ∴ ∴ ∵q是10的整倍数，且 ∴ 故答案为；2． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 　答案　　(1)35；5　(2)推理过程见解析　(3)2 微专题 14　数轴上的新定义点 模块导学 数轴上的新定义点 这一类题的定义五花八门——“ 格距点”“快乐点”“两倍点”“整 距点”——但翻译方式完全一样：把定义里的每一句话换成绝对值，设未知数列方程，最后按点所在的位置取舍。 知识梳理 知识点 1　新定义点三步走（难点） ① 读定义，逐句翻译：点到点的距离一律写成绝对值，如“ 到 的距离是到 的 倍”即 ② 设未知数、列绝对值方程；含两个绝对值的方程按“两零点分段”求解，零点就是 表示的数。 ③ 解完必须回代检验：把解出的数放回数轴，看点是否真的满足定义（有些解在分段时被平方运算“造”出来，实际上是增根）。 ④ 定义里带“正整数 ”或“ 为整数”的，先确定 的取值，再逐个讨论，不要试图一次算完。 注意　“ 倍”类定义一般有两到四个解，点在两定点之外的情形最容易被漏掉。 易错　两边平方会把 变成二次方程，多出来的根必须回代舍去。 　题型 1　　距离倍分关系的新定义 　例 152　　（2026 合肥四十六中南校 21） 定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n． (1)若点A是点M的2倍原距点， ①当点M在数轴正半轴上时，则          ； ②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由； (2)若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值． 　思路分析　　（1）m>0，m=2；m<0，m=-2，得出n的值，表示距离确定关系即可． （2）设秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点；由求出t的值，将t值代入求出a的所有可能值即可． （1）解：①∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：2． ②解：∵ ∴ ∴ 解得 ∴ 故N是点A的2倍原距点． （2）解：设秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点 有 解①式得 将代入②式得 解得 将代入②式得 解得 故a所有的可能值为4，8，． 【点睛】本题考查了数轴中的距离，解一元一次方程，绝对值等知识．解题的关键在于根据数量关系列等式并正确的求解． 　答案　　(1)①2；②是，理由见解析　(2)4，8， 　例 153　　（2026 安庆宿松联考 22） 我们规定：数轴上的三个点若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为2，5，6，此时点B是点A,C的“快乐点”．若点A表示数-10，点表示数30． (1)点是数轴上位于点B的右侧，且点M是点A,B的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点Q分别从点A、B位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点Q追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点A成为点的“快乐点”？ 　思路分析　　本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，根据题意，得到或分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程解得即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． （1）解：设点M表示的数为m， 或 或 或 或 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）① ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为点Q表示的数为 ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， 解得 当时， 解得 情况2：当时， 当时， 解得不符合题意，舍去； 当时， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 　答案　　(1)点M表示的数为50　(2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 　例 154　　（2026 蚌埠淮三角联考 23） 对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是点B在数轴上对应的数是10． (1)若且点C在数轴上对应的数是7，则            ； (2)点M从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动至点B，设运动的时间为t秒，若求出t的值； (3)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若求出t的值． 　思路分析　　本题主要考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解“整k距点”是解题的关键． （1）先求出点C到点A和点B的距离，再根据“整k距点”的定义列式计算即可； （2）由题意得：根据“整k距点”的定义列方程计算即可； （3）由题意得：分两种情况作答即可． （1）解：∵点C对应的数是7，点A在数轴上对应的数是点B在数轴上对应的数是10， ∴． ∵ ∴即解得：． 故答案为： （2）解：由题意得： 解得： （3）解：由题意得： M、N相遇前：解得： M、N相遇后：解得： 综上：或5． 　答案　　(1)　(2)　(3)或5 　例 155　　（2026 马鞍山二十中 24） 已知数轴上两点B，若在数轴上另外存在一点P，使得则称点P为线段AB的“两倍点”．例如：如图①所示，当点A表示的数为-1，点B表示的数为3，点P表示的数为5，则PA=6，PB=2，AB=4，有成立，则称点P是线段的“两倍点”． (1)若点是线段AB的“两倍点”，则点的位置不可能在( ) (2)如图②，已知点表示的数为-3，点B表示的数为2，若点P是线段AB的“两倍点”，求点表示的数是多少？请说明理由． (3)如图③，已知点表示的数为25，点B表示的数为2025，点M表示的数为-15，动点A从25出发，以每秒1个单位的速度向右匀速运动，动点B从2025出发，以每秒3个单位的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点M是线段的“两倍点”？ A．点的左边 B．线段上 C．点的右边 　思路分析　　本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用． （1）根据“两倍点”的含义可得答案． （2）设点P表示的数为m，点A表示的数为点B表示的数为2，结合P为线段AB的“两倍点”，可得再进一步分情况讨论即可． （3）由题意可得：运动后表示25+t，B运动后表示结合点M是线段AB的“两倍点”，可得再进一步利用方程求解即可． （1）解：∵点P是线段的“两倍点”，则点P的位置不可能在线段上． 故选：B （2）解：设点P表示的数为m，点A表示的数为点B表示的数为2， ∵P为线段的“两倍点”， ∴ 当在的左边时， ∴ 解得： 当在B的右边时， ∴ 解得． 综上：点P表示的数为：或． （3）解：由题意可得：运动后表示25+t，B运动后表示 ∵点M是线段的“两倍点”， ∴ ∴ 整理得： 解得：或经检验符合题意． 　答案　　(1)B　(2)或．　(3)或 　题型 2　　距离和差关系的新定义 　例 156　　（2026 宣城六中 22） 如图，数轴上点A表示的数是点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是-1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是2，则n的值为            ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有            个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 　思路分析　　本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点P到点A的距离与点B到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值； （4）分两种情况讨论：当P在之间时，AB=5，点P表示的数为此时n=5；当P在点A左边时，点P表示的数为-7，此时． （1）解：∵点P表示的数为2，点A表示的数是点B表示的数是3， ∴点P到点A的距离为4，到点B的距离为1， ∴点P到点A的距离与点B到点的距离之和为 ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ 故答案为：5． （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． （3）解：∵点P到点B的距离为1， ∴点P表示的数为2或4， ①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为此时 ②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离为到点B的距离为 点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为6+1=7，此时 点P表示的数为2或4，或7． （4）解：①当P在之间时，AB=5，点P表示的数为：此时 ②当P在点A左边时，点P表示的数为：此时． 点P表示的数为或-7，或15． 　答案　　(1)5　(2)6　(3)点P表示的数为2或4，或7　(4)点P表示的数为或-7，或15 　例 157　　（2026 中科大附中 22） 阅读并解决相应问题： 【问题发现】 在数轴上，点A表示的数为点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于s，则称点P为点A、B的“s和点”，如图1，若点P表示的数为有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为则称点P为点A、B的“5和点” （1）填空：如图2，若点P表示的数为1，则s的值为 ． 【类比探究】类比探究 （2）若点Q为数轴上点A、B的“7和点”，求点Q对应的数； 【拓展延伸】 （3）若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离的且此时点P为点A、B的“s的和点”，求点P表示的数及s的值． 　思路分析　　（1）根据数轴上两点之间的距离公式，得到点P到点A的距离与点P到点B的距离，再求和即可求解； （2）根据题意可得由得到点Q不在线段AB上，分点Q在线段左侧或右侧，设点Q表示的数为q，列方程求解即可； （3）设点表示的数为p，分三种情况讨论：①当点P在点A左侧时，②当点P在AB上时，③当点P在点A右侧时，根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离的求出p的值，进而得到s的值即可． 解：（1）∵ ∴ 故答案为5； （2）∵点Q为数轴上点A、B的“7和点”， ∴ ∵ ∴点Q不在线段上，故分两种情况： ①Q在线段左侧，设点Q表示的数为q，则 ∴ 解得 ②Q在线段右侧，设点Q表示的数为q，则 ∴ 解得 综上，点Q对应的数为或 （3）设点P表示的数为p， ①当点P在点A左侧时， ∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的 ∴ 解得： ∴ ②当点P在上时， ∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的 ∴ 解得： ∴ ③当点P在线段右侧，设点P表示的数为p，则 ∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的 ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 综上，点P表示的数是时，点P表示的数是0时，． 【点睛】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． 　答案　　（1）5；（2）或4；（3）点P表示的数是-12时，s=25；点P表示的数是0时， 1 学科网（北京）股份有限公司 $