专题01 有理数（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材沪科版

专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 能依据不同标准（定义、正负性），准确对有理数进行分类，不混淆各类别界限 高频易错点，容易忽略 “0” 的归属，或对有限小数、无限循环小数的分类判断错误 数轴的应用 能正确画出数轴，并在数轴上表示有理数；能利用数轴比较有理数的大小 常考知识点，多以选择题、填空题形式考查，题目难度较低，但需注意数轴三要素的准确性 相反数与绝对值 能快速求出有理数的相反数，正确计算有理数的绝对值 必考点，易在绝对值的性质（尤其是负数绝对值的计算）上出错，题型多样 有理数的运算 能熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算 重点考查内容，运算中的符号错误是高频易错点，计算题占比较大 科学记数法与近似数 能正确用科学记数法表示数，准确判断近似数的精确度和有效数字 常考知识点，科学记数法中a的取值范围和n的确定易出错，近似数的相关判断也易混淆概念 知识点01 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 知识点02 相反意义的量 在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 知识点03 ：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 知识点04 ：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点05 ：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 （2）三要素：原点、正方向、单位长度 （3）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 （4）应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 知识点06: 相反数 （1）概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. （3）多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点07: 绝对值 （1）概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. （2）①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. （3）①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； （6）利用绝对值比较大小: 代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点08: 有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数. 知识点09： 有理数的加法运算定律 加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 知识点10： 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 知识点11： 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点12： 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点13： 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点14： 有理数除法法则 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 知识点15： 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点16： 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点18： 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 知识点19： 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. 【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入120元记作元，则元表示 ． 【变式1】小明的妈妈在北京建行数字人民币钱包中存入100元．记作+100，那么－40表示（   ） A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元 【变式2】“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（   ） A． B． C． D． 题型二 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 （2）三要素：原点、正方向、单位长度 【典例1】如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 题型三 相反数及其应用 解｜题｜技｜巧 （1）概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 【典例1】下列表示的“相反数”的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若m与互为相反数．则m的值为 ． 【变式2】两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 题型四 绝对值 解｜题｜技｜巧 （1）概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. （2）①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. （3）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 【典例1】绝对值大于且不大于的负整数有 ． 【变式1】绝对值小于3的整数有 个，绝对值等于7的数是 ． 【变式2】若与互为相反数，则 ． 题型五 有理数的大小 解｜题｜技｜巧 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数。 （2）两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 （3）在数轴上，右边的数总比左边的数大。 【典例1】比较大小： ； 7； ． 【变式1】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（   ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【变式2】将下列各数在数轴上表示出来并用“”连接起来 ，，，0，， 题型六 有理数的加减 解｜题｜技｜巧 加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 【典例1】计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】计算下列各式： (1) (2) 【变式2】某市一天上午的气温是，下午上升了，半夜（时）下降了，半夜的气温是 ． 题型七 有理数的乘除 解｜题｜技｜巧 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 （5）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算下列各题 (1) (2) 【变式2】计算：． 题型八 有理数的乘方 解｜题｜技｜巧 1.一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 2.在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 3.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【典例1】中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【变式1】计算  的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 题型九 科学记数法 解｜题｜技｜巧 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【典例1】面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金，21亿用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】据统计，2025年吉林省某生态保护区越冬候鸟达只，表示的原数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】、两地相距，用科学记数法表示为 ． 题型十 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【典例1】计算： 【变式1】计算：． 【变式2】计算∶ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出60元记作元，则元表示（    ） A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元 2．（24-25七年级上·全国·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与1 B．与 C．与1 D．与 3．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则在这5天中最低气温的日期是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 5．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 6．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有下列各数：①，②，③，④0，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}． (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式= = == 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东威海·中考真题）如表记录了某日我国四个城市的平均气温： 城市 北京 哈尔滨 威海 香港 气温（℃） 其中，平均气温最低的城市是（　　） A．北京 B．哈尔滨 C．威海 D．香港 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 5．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    6．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． (1)求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 7．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 8．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义 基础必考点，常出现在小题 有理数的分类 能依据不同标准（定义、正负性），准确对有理数进行分类，不混淆各类别界限 高频易错点，容易忽略 “0” 的归属，或对有限小数、无限循环小数的分类判断错误 数轴的应用 能正确画出数轴，并在数轴上表示有理数；能利用数轴比较有理数的大小 常考知识点，多以选择题、填空题形式考查，题目难度较低，但需注意数轴三要素的准确性 相反数与绝对值 能快速求出有理数的相反数，正确计算有理数的绝对值 必考点，易在绝对值的性质（尤其是负数绝对值的计算）上出错，题型多样 有理数的运算 能熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算 重点考查内容，运算中的符号错误是高频易错点，计算题占比较大 科学记数法与近似数 能正确用科学记数法表示数，准确判断近似数的精确度和有效数字 常考知识点，科学记数法中a的取值范围和n的确定易出错，近似数的相关判断也易混淆概念 知识点01 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 知识点02 相反意义的量 在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 知识点03 ：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 知识点04 ：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点05 ：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 （2）三要素：原点、正方向、单位长度 （3）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 （4）应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 知识点06: 相反数 （1）概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. （3）多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点07: 绝对值 （1）概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. （2）①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. （3）①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； （6）利用绝对值比较大小: 代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点08: 有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数. 知识点09： 有理数的加法运算定律 加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 知识点10： 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 知识点11： 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点12： 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点13： 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点14： 有理数除法法则 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 知识点15： 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点16： 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点18： 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 知识点19： 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. 【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入120元记作元，则元表示 ． 【答案】支出40元 【详解】解：∵收入120元记作元， ∴元表示支出40元． 故答案为：支出40元． 【变式1】小明的妈妈在北京建行数字人民币钱包中存入100元．记作+100，那么－40表示（   ） A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元 【答案】A 【详解】解：因为存入100元，记作， 所以表示支出40元. 故选：A. 【变式2】“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵茶水温度比低记作， ∴茶水温度比高记作， 故选：． 题型二 数轴的三要素及其画法 解｜题｜技｜巧 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 （2）三要素：原点、正方向、单位长度 【典例1】如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、没有正方向，故本选项错误，不符合题意； B、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； C、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意； D、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：A、此数轴无正方向，本选项不符合题意； B、此数轴无原点，本选项不符合题意； C、此数轴表示正确，本选项符合题意； D、此数轴单位标注错误，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【答案】D 【详解】解：A、规定直线上向右为正方向，故本选项错误，不符合题意； B、同一数轴上的单位长度一定相等，故本选项错误，不符合题意； C、数轴上的原点两边的点不可以表示同一个数，故本选项错误，不符合题意； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，故本选项正确，符合题意， 故选：D． 题型三 相反数及其应用 解｜题｜技｜巧 （1）概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 【典例1】下列表示的“相反数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据相反数的定义可得，表示的“相反数”的是， 故选：C． 【变式1】若m与互为相反数．则m的值为 ． 【答案】 【详解】本题考查了相反数，绝对值，关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义．负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 解：， 与互为相反数， ． 故答案为：． 【变式2】两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 【答案】B 【详解】解：两个有理数的和为0，则这两个数互为相反数， 故选：B 题型四 绝对值 解｜题｜技｜巧 （1）概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. （2）①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. （3）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 【典例1】绝对值大于且不大于的负整数有 ． 【答案】，，， 【详解】解：绝对值大于且不大于的负整数有，，，， 故答案为：，，，． 【变式1】绝对值小于3的整数有 个，绝对值等于7的数是 ． 【答案】 5 【详解】解：由于， 所以绝对值小于3的整数有，与0共5个； 因为，则绝对值等于7的数是； 故答案为：5；． 【变式2】若与互为相反数，则 ． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 题型五 有理数的大小 解｜题｜技｜巧 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数。 （2）两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 （3）在数轴上，右边的数总比左边的数大。 【典例1】比较大小： ； 7； ． 【答案】 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式1】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（   ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【答案】D 【详解】解：∵ ，，， 又∵ ∴， ∴凝固温度最低的是乙醚， 故选：D． 【变式2】将下列各数在数轴上表示出来并用“”连接起来 ，，，0，， 【答案】数轴见解析， 【详解】解：，，， 数轴表示为： ∴． 题型六 有理数的加减 解｜题｜技｜巧 加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 【典例1】计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】． 故选：B． 【变式1】计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2】某市一天上午的气温是，下午上升了，半夜（时）下降了，半夜的气温是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，列算式得： ， 即半夜的气温是． 故答案为：． 题型七 有理数的乘除 解｜题｜技｜巧 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 （5）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2） 【变式1】计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】计算：． 【答案】10 【详解】解：原式 ． 题型八 有理数的乘方 解｜题｜技｜巧 1.一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 2.在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 3.有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【典例1】中指数为 ，底数为 ；4的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【答案】 6 4 1 5 【详解】解：中指数为6，底数为； 4的底数是4，指数是1； 的底数是，指数是5，结果是． 故答案为：6，，4，1，，5，． 【变式1】计算  的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 故选：C． 【变式2】所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 题型九 科学记数法 解｜题｜技｜巧 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【典例1】面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金，21亿用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】21亿=2100000000， ． 故选：C． 【变式1】据统计，2025年吉林省某生态保护区越冬候鸟达只，表示的原数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选C． 【变式2】、两地相距，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 题型十 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【典例1】计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 【变式2】计算∶ 【答案】 【详解】（1）解： ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出60元记作元，则元表示（    ） A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元 【答案】B 【详解】解：如果支出60元记作元，则元表示收入50元， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与1 B．与 C．与1 D．与 【答案】B 【详解】解：A、，两数相等，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，两数相等，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选B． 3．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则在这5天中最低气温的日期是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【详解】解：由五日气温为，，，，， ， ∴这5天中最低气温的日期是星期二． 故选：B． 5．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 6．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有下列各数：①，②，③，④0，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}． (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)①②⑤；①④⑥ (2)见解析 【详解】（1）解：①，②，③，④0，⑤，⑥． 负数集合：{①②⑤…}； 整数集合：{①④⑥…}． 故答案为：①②⑤；①④⑥． （2）解：如图所示． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或6， 是的相反数，且， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的值为或． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式= = == 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【详解】解： ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东威海·中考真题）如表记录了某日我国四个城市的平均气温： 城市 北京 哈尔滨 威海 香港 气温（℃） 其中，平均气温最低的城市是（　　） A．北京 B．哈尔滨 C．威海 D．香港 【答案】B 【详解】解：根据表格数据可知，， ∴平均气温最低的城市是哈尔滨， 故选：B． 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：∵点A在数轴上0与中间， 结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是 故选：B． 3．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 4．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 【答案】 【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作， 故答案为：． 5．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． (1)求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 【答案】(1)B点表示的数是，数轴见解析 (2)或 【详解】（1）解：∵A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点， ∴B点表示的数是， 在图中标出点B、C的位置如图所示： （2）解：∵， ∴E表示的数是或， 当E表示的数是2时，A、B、C、D、E表示数的和为：； 当E表示的数是时，A、B、C、D、E表示的数的和为：． 7．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．（2025·河北·一模）【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $