精品解析：江苏省苏北五校（徐州三中、扬大附中等）2026-2027学年高三上学期第一次学情调研数学试题

2026-2027学年度高三年级第一学期第一次学情调研 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为非负实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 小王晚饭后在大运河广场上散步，向量表示他先向东南方向走了40米，向量表示他再向东偏北方向走了30米，则（ ） A. B. C. D. 5. 角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，为非零向量，则“”是“在上的投影向量是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设定义域在上的函数的导函数是偶函数，且满足，则下列说法一定正确的是（） A. 是奇函数 B. 在和上单调性不一定相同 C. D. 图像关于点中心对称 8. 已知中，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，且，则 10. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点是图象的一个对称中心 C. 对任意，都有 D. 的最大值为 11. 若实数，，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行四边形中，对角线与交于点，点在边上且，若，，则__________（用，表示）． 13. 已知函数有最小值，则实数的取值范围是__________． 14. 记曲线，在点和处的切线分别为，．若，则，与直线和轴围成的四边形面积的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的两个极值点分别为和3． （1）若曲线在点处的切线斜率最小，求点的横坐标； （2）若，不等式恒成立，求的最小值． 16. 已知函数． （1）若方程在上有解，求实数的取值范围； （2）设，，且，求的最小值． 17. 已知函数，其中，，且当时，取得极大值． （1）当的极大值为时，求的值； （2）对给定实数，若区间内存在唯一的，使得，求的单调递增区间． 18. 设的内角，，所对的边分别为，，，边上的高，且． （1）若，求； （2）设是的外心，若，求的周长； （3）求的外接圆半径的取值范围． 19. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三年级第一学期第一次学情调研 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得集合，所以. 又集合， 所以. 2. 设为非负实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】， 因为为非负实数，所以，， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ ， ∴，解得 . ， ∴ . 4. 小王晚饭后在大运河广场上散步，向量表示他先向东南方向走了40米，向量表示他再向东偏北方向走了30米，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知和夹角为， 所以. 5. 角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】终边过点，则， ， ． 6. 设，为非零向量，则“”是“在上的投影向量是”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由在上的投影向量是可得，再根据充分必要条件的定义即可作出判断. 【详解】由，两边同时平方得， 则，又，所以，因此等价于与同向共线，即； 由投影向量的公式可得，在上的投影向量为， 当时，，即在上的投影向量是； 又在上的投影向量是，则，所以，“”是“在上的投影向量是”的充要条件. 7. 设定义域在上的函数的导函数是偶函数，且满足，则下列说法一定正确的是（） A. 是奇函数 B. 在和上单调性不一定相同 C. D. 图像关于点中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】由得到周期为2，同时导数也保持相同周期，由导函数是偶函数，利用求导法则得到再依次分析即可. 【详解】由替换得到，所以函数是周期为2的函数，同时导数也保持相同周期， 对于A项，导函数是偶函数，则，则，（为常数）所以函数关于点中心对称，只有当时，是奇函数，故A错误； 对于B项，取，周期，偶函数，符合题意， 此时， 在时，，单调递增， 在时，，单调递减， 在时，，单调递减， 在时，，单调递增， 显然在和上单调性不相同， 取，（常函数），满足，且为偶函数， 此时在和上单调性相同， 故B正确； 对于C项，由周期为2，则，则，但不一定为0，故C错误； 对于D项，若图像关于点中心对称，则， 由函数周期为2，则， 结合， 得到，不一定为0，故D错误； 8. 已知中，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和消去角，将等式转化为仅含角的关系，结合三角函数取值范围建立不等式求解. 【详解】∵ 在中，. ∴ . 代入已知等式，得. ，代入整理得. 由辅助角公式的有界性：对任意实数，恒有， 因此 即. 若，则， 结合三角形内角范围可验证左边无法取非正值，故， 不等式两边均为正数，平方得 . 整理得. 解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由特值法判断A；利用基本不等式判断B；根据不等式的性质判断C；结合指数函数的单调性，由不等式的性质判断D. 【详解】若，， 取，则，所以A错误； 若，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立.所以B正确. 若， 当时，，所以； 当时，，所以.所以C正确. 若，，且， 则，， 所以， 所以，所以D正确. 10. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点是图象的一个对称中心 C. 对任意，都有 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数周期的定义可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；二倍角公式可判断C选项；利用函数的最值与导数的关系结合函数周期可判断D选项. 【详解】对于A，， 故的最小正周期不是，A错； 对于B，， 所以点是函数图象的一个对称中心，B对； 对于C，由 ， 故， 因为恒成立， 故对任意，都有，C正确， 对于D，因为， 即为的一个周期，考虑区间， 令， 可得，解得或， 所以在，单调递增， 由可得，解得， 所以，函数在单调递减， 此时区间上，， 所以的最大值为错误，D错误. 11. 若实数，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题目等式得，设，求出单调性即可得出判断；对于B，C，设，求出，得出，进而得到，求出的单调性即可判断；对于D ，由A可得，求出的取值范围即可判断. 【详解】对于A，有，设，则， 因为，所以，，所以， 所以在单调递减，则，故A正确； 对于B，C，因为，设，， 因为，所以，所以， 所以在单调递减，所以，所以，即， 所以，设，， 因为，所以，，所以， 所以在单调递减，又，所以，故B正确，C错误； 对于D，由A得，则， 令，则， 因为，所以，所以， 所以在单调递增， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平行四边形中，对角线与交于点，点在边上且，若，，则__________（用，表示）． 【答案】 【解析】 【详解】 . 13. 已知函数有最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导，利用的极限得出时函数趋向负无穷无最小值；时导数仅在时变号，先减后增，存在最小值． 【详解】函数的定义域为， 求导得，则导数的符号由决定， 时，，则 当时，，故在上递减； 当时，，故在上递增； 故在处取得最小值，符合题意； 时，由于，则函数在时趋于，没有最小值， 综上，实数的取值范围为． 14. 记曲线，在点和处的切线分别为，．若，则，与直线和轴围成的四边形面积的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程，求切线和 、的交点横坐标，，与直线和轴围成的四边形是梯形，利用梯形的面积公式求出四边形的面积，通过变量替换，拆分为两个独立函数，对函数利用导数法求出单调性，利用单调性得到最小值，从而得到所求面积最小值. 【详解】由，求导得， 则切线在处的切线的斜率为，切点为，其方程为， 切线在处的切线的斜率为，切点为，其方程为， 与轴的交点横坐标为，与的交点横坐标为， 与轴的交点横坐标为，与的交点横坐标为， 易得，与直线和轴围成的四边形是梯形，梯形的高为1， 则围成的四边形的面积为， 即， 令，解得，则， 因为，所以， 则 即， 也即， 设，则且，， 当，，单调递减，当，，单调递增， 则在时取得最小值 为， 因，两个相互独立，各自取最小值， 即当时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的两个极值点分别为和3． （1）若曲线在点处的切线斜率最小，求点的横坐标； （2）若，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）1 （2）32． 【解析】 【分析】(1) 将 “切线斜率最小” 转化为求二次导函数的最小值，利用二次函数顶点性质求解横坐标； (2)恒成立问题转化为求闭区间上的函数最值，通过导数分析单调性，比较极值与端点值得到最值，进而计算的最小值. 【小问1详解】 ， ∵函数的两个极值点分别为和3 ， ， ， ∴当时，切线斜率可取到最小值为． ∴点的横坐标为1． 【小问2详解】 ， 令，得或． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． ∴当时，取得极大值为； 当时，取得极小值． 又，在上最小值为，最大值为6． ．故的最小值为32． 16. 已知函数． （1）若方程在上有解，求实数的取值范围； （2）设，，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将方程有解转化为求函数在开区间上的值域，通过导数判断单调性，求出极值与区间端点极限值，进而得到参数的取值范围； （2）先对化简变形得到，再利用“1的代换”构造基本不等式求解目标式的最小值，需验证等号成立的条件. 【小问1详解】 由得，，． 令，得或（舍）． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取得最大值为； 又，，所以在区间上的值域为. 因为方程在上有解，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，得，整理得， 两边同除以2，得，移项得， 即. 因为，，则，， 可得， 所以，故，即． 由基本不等式得， 当且仅当，即，时取等号． 因此的最小值为. 17. 已知函数，其中，，且当时，取得极大值． （1）当的极大值为时，求的值； （2）对给定实数，若区间内存在唯一的，使得，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2）（） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数极大值等于振幅得到的值，再结合极大值点的相位条件与的范围求解； （2）根据开区间内存在唯一满足，排除非最值等值情形，确定均为极值点，得到，求得；结合处取极大值求出，进而求解单调递增区间. 【小问1详解】 ，当时，取得极大值．，. 函数的极大值为，，代入上式可得，，. ，只有符合，． 【小问2详解】 令，最小正周期为． 已知开区间内恰有一个解，故闭区间内方程恰有三个不同的解． 当时，每个周期内，同一水平线与函数图象有两个交点. 当区间长度等于一个周期时，开区间内部将会出现两个满足方程的解， 与题干开区间内仅有唯一矛盾，故此情形舍去. 当或时，同一极值的相邻取得点相距一个周期．三个解依次为，，． ，．代入，可得，（）． ，．即. 由，解得，. 函数单调递增区间为（）． 18. 设的内角，，所对的边分别为，，，边上的高，且． （1）若，求； （2）设是的外心，若，求的周长； （3）求的外接圆半径的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用面积公式，结合正弦定理化简已知等式，可求出，再代入余弦定理即可解得； （2）利用外心的向量性质，将转化为，由此解出的值，再结合高及余弦定理求出，即可得到周长。 （3）通过面积公式和正弦定理将条件转化为与，把表示成关于的函数，可求出外接圆半径的取值范围. 【小问1详解】 由，可得，即，． 代入整理得，． 又， 由面积关系及正弦定理得，． ∵及，． 由余弦定理，． ．由于，得． 【小问2详解】 是外心， ． ． 结合，得．联立解得，． 由，在相应的直角三角形中，，． 或者． 故周长为或． 【小问3详解】 ∵高，可知，，又，得， 由（1）知，．， 当时，有最大值，或2时，有最小值1，． 19. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）当时，证明：； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为 （2）当时， 要证明：，化简即：，， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递 增； 则，即，. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数法求解； （2）通过构造函数利用导数法求解； （3）通过讨论，，，利用导数法求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，的单调减区间为， 当时，，的单调增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ，即， 可以知道函数的定义域为， 由（1）知：当时，单调递减，，，， 此时显然成立． 因为当时，，所以等价于： 当时，恒成立， ①当时，，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，恒成立等价于 恒成立， 注意到，，（）， 当时，，在增，成立， 当时，当时，减，矛盾． 综上所述，满足条件的的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $