苏州吴中区2026-2027学年高三上学期数学期中模拟卷

苏州吴中区2026-2027学年第1学期高三数学期中模拟卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：C 2.已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：A 3.在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 4.已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以或， 又， 所以. 故选：D 5.记为等差数列前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 6.在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（ ） A. 2048 B. 2047 C. 1024 D. 1023 【答案】D 【解析】 【详解】数列是公比为2的等比数列，则有，所以， 因此数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故选：D 7.已知向量满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以， ， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故选：B 8.在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，所以四边形为梯形， 又，所以，即， 所以四边形为直角梯形，则， 又四边形的面积为，所以， 所以， 所以. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. 为互斥事件 C. D. 相互独立 【答案】AC 【解析】 【详解】正确； 可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误； 在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确； 不独立， D错误； 故选：AC. 10.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若与所成角相等，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A：若，则或，故A错误； 对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线， 则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。 对于C：若，则或， 若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以； 若，又，所以， 综上可得，故C正确； 对于D：若且，此时与所成角均为，相等， 此时，故D错误. 故选：BC 11.在直角坐标系中，已知是以为圆心的单位圆，点的坐标为，角的始边为射线，终边交圆于点，过点作直线的垂线，垂足为．若将点到直线的距离表示为的函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是的一个单调减区间 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】单位圆上，为到x轴的垂足，故，直线的直线方程为，即，则点到直线的距离， 对于A，，正确； 对于B，因， 所以不是的周期，错误； 对于C，，所以，所以， 因为在单调递增，所以在单调递减，正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量，，其中．若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，， 因为，所以，即，． 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 13.在的展开式中，常数项是__________． 【答案】15 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 由得，， ∴展开式中的常数项是. 故答案为：15. 14.一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为正三棱台的上､下底面边长分别为1和2， 所以上底面外接圆的半径， 下底面外接圆的半径， 设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为， 则，则， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以外接球体积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.在中，角，，所对的边为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理，因为， 所以， 所以， 整理得， 所以，所以或， 所以或（舍去），而,， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以. 16.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）75%；60%； （2）能. 【解析】 【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为, 乙机床生产的产品中的一级品的频率为. （2）, 故能有99%把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 17.如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. （1）求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 取中点，连接， ，因为，为 中点， 所以. 因为平面平面，所以， . 在中，， 在中，， 从而，又 中点， 所以. 故为二面角的平面角， 因为平面 平面，所以， 又，所以， 从而， 所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 设点到平面的距离为. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 所以. 由，得，即，故， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18.已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 当时，， 两式相减得，即， 所以，所以， 累乘得， 即，又，所以， 又也满足上式，所以. 【小问2详解】 记， 所以 . 19.已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【详解】（1）由题意知：定义域为：且 令， ， 在上单调递减，在上单调递减 在上单调递减 又， ，使得 当时，；时， 即在上单调递增；在上单调递减 则为唯一的极大值点 即：在区间上存在唯一的极大值点. （2）由（1）知：， ①当时，由（1）可知在上单调递增 在上单调递减 又 为在上的唯一零点 ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又 在上单调递增，此时，不存在零点 又 ，使得 在上单调递增，在上单调递减 又， 在上恒成立，此时不存在零点 ③当时，单调递减，单调递减 在上单调递减 又， 即，又在上单调递减 在上存在唯一零点 ④当时，， 即在上不存在零点 综上所述：有且仅有个零点 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州吴中区2026-2027学年第1学期高三数学期中模拟卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 4.已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 5.记为等差数列前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6.在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（ ） A. 2048 B. 2047 C. 1024 D. 1023 7.已知向量满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8.在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ） A. B. 为互斥事件 C. D. 相互独立 10.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若与所成角相等，则 11.在直角坐标系中，已知是以为圆心的单位圆，点的坐标为，角的始边为射线，终边交圆于点，过点作直线的垂线，垂足为．若将点到直线的距离表示为的函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是的一个单调减区间 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量，，其中．若，则的最大值为______． 13.在的展开式中，常数项是__________． 14.一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.在中，角，，所对的边为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的值． 16.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17.如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. （1）求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18.已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19.已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $