精品解析：湖北武汉市硚口区2026-2027学年上学期九年级十月数学测试题

九年级十月数学测试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四幅作品分别代表24节气中的四个节气：“芒种”、“夏至”、“白露”、“大雪”，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 嘉嘉用软件绘制抛物线 时，将“3”按成了“4”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的一元二次方程的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列一元二次方程的两个实数根的和为2的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ） A. 30 B. 32 C. 36 D. 40 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. 10 B. C. D. 10. 如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将正确结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 请写出一个两根互为倒数的一元二次方程______________________ 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 13. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 14. 某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 15. 如图，在等边中，点D是边上的一点，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．若，则的面积是________． 16. 已知抛物线与x轴交于点，其顶点坐标为，，下列五个结论： ①； ②若，则x的取值范围为或； ③若点，在抛物线上，且，则； ④若对任意实数x恒成立，则m的最大值是． ⑤将抛物线向右平移n个单位长度，当x为自然数时，y随着x增大而增大，则n的取值范围是； 其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解下列方程． （1） （2） 18. 为落实新课程教学要求，提高学生科学素养，我市某中学2023年投资20万元新增一批电脑，计划以后两年以相同的增长率进行投资，2025年投资万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从2023年到2025年，该学校三年为新增电脑共投资多少万元？ 19. 如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为． （1）求的长； （2）若，求的度数． 20. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为________； （2）表格中空白处的值________，________； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图； （4）当时，，则的取值范围为________． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过五条． （1）在图1中，先画出绕点顺时针旋转得到的（点的对应点为点，点的对应点为点）；再画出点的对应点； （2）在图2中，为一点，先画；再在上画点，使得． 22. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线，且：，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线，且：．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当，时，若点F坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点A的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若C的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点F在和之间（包括这两点），其中，，，直接写出a的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物线在同一平面内） 23. 如图，D为等边的延长线上一点，连接，在的右侧作等边， （1）如图，连接，先拿尺测量的度数，并证明你的结论； （2）如图，点A关于直线的对称点为F，连接，点G是的中点，连接， ①试用等式表示，，之间的数量关系，并证明； ②连接，的面积为，的面积为，若，直接写出的值． 24. 已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图，连接，，为抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； （3）如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，设，点在第二象限的抛物线上，过点作不平行于轴且与抛物线仅有一个公共点的直线分别交直线，于，两点，当为何值时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级十月数学测试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四幅作品分别代表24节气中的四个节气：“芒种”、“夏至”、“白露”、“大雪”，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 2. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入即可求得c的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴将代入可得：， 解得：． 3. 嘉嘉用软件绘制抛物线 时，将“3”按成了“4”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】A 【解析】 【分析】对比两个抛物线的二次项系数，结合的图象特征判断． 【详解】解：原抛物线为，错输后的抛物线为， ∵ 两个抛物线的二次项系数均大于0，且均为的形式， ∴ 开口方向均向上，对称轴均为轴，顶点坐标均为， ∵ ， ∴ 开口大小发生改变． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数的特征求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 5. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的一元二次方程的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性． 关于的一元二次方程的两实数根，就是二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：二次函数的解析式是， 该抛物线的对称轴是， 二次函数的图象与轴的一个交点为， 根据抛物线的对称性可知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 关于的一元二次方程的两实数根分别是，． 故选：A． 6. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及直角三角形两锐角互余，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 根据旋转的性质得，然后结合求解即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针方向旋转得到 ∴， ∵ ∴． 故选：C． 7. 下列一元二次方程的两个实数根的和为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过根与系数的关系筛选两根之和为2的选项，再验证方程是否有两个实数根． 【详解】解： A.∵ ， ∴ 方程无实数根，不符合题意； B.，不符合； C.，不符合； D.，且，符合题意． 8. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ） A. 30 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【详解】解：设甲、乙行走的时间为. ∵乙向东走，甲先向南走10步后斜向北偏东与乙相遇， ∴出发地、甲向南走的终点、相遇点构成直角三角形， 由题意，，， 由勾股定理得 整理得 移项合并得 因式分解得 解得（舍去），， ∴甲走的路程为步． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得： ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作交于点H，利用等腰直角三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余及补角的定义得出，证明，得到，，设，则，由等腰直角三角形性质得出，利用勾股定理列方程得到的表达式，此时的表达式是二次函数，当时，有最小值，将开方后即可得出其最小值． 【详解】解：如图，过点P作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 当时，有最小值， ∴最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的最值． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将正确结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 请写出一个两根互为倒数的一元二次方程______________________ 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据判别式大于或等于0，即可求解． 【详解】解：依题意，写出一个两根互为倒数的一元二次方程可以是：， ，原方程有两个不等式实根， 且，则两根互为倒数， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 13. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，证明即可得解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 14. 某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 【答案】1575 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个， 由题意得， ， ∵单个利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴每周获得的最大利润为元， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，点D是边上的一点，，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．若，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作交的延长线于点F，用手拉手模型证明，利用图形和全等性质进行求解． 【详解】过点E作交的延长线于点F，则，如下图所示， 由题可知，， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 16. 已知抛物线与x轴交于点，其顶点坐标为，，下列五个结论： ①； ②若，则x的取值范围为或； ③若点，在抛物线上，且，则； ④若对任意实数x恒成立，则m的最大值是． ⑤将抛物线向右平移n个单位长度，当x为自然数时，y随着x增大而增大，则n的取值范围是； 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①④ 【解析】 【分析】先根据抛物线的对称轴与已知交点推导系数关系，再逐一验证每个结论的正确性． 【详解】解：由抛物线顶点坐标为，得对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于，根据抛物线的对称性，另一交点为， ∴抛物线可写为交点式，即，， ∵顶点在轴下方（）且抛物线与轴有两个交点， ∴开口向上，； ① ∵， ∴，故①正确； ② 即，化简得， ∵，两边除以得， 解得或， 与题目中或的范围不符，故②错误； ③开口向上的抛物线，点离对称轴越远，函数值越大， 若且，则， 平方展开得， 整理得， ∵即， ∴， 与结论不符，故③错误； ④对任意恒成立，代入抛物线表达式得， 整理得对任意恒成立； ∵， ∴二次函数开口向上， ∵， 解得， 顶点纵坐标为时的函数值，代入得， ∵， ∴，即的最大值为，故④正确； ⑤ 抛物线向右平移个单位后，对称轴为直线， 要使为自然数时随增大而增大，需满足对任意自然数，，最小的两个自然数为和，需满足，即到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 即， 化简得， 平方得， 展开解得， 与题目中的范围不符，故⑤错误； 综上，正确的结论为①④． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解下列方程． （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：         ， ； 【小问2详解】 解：     或  ，． 18. 为落实新课程教学要求，提高学生科学素养，我市某中学2023年投资20万元新增一批电脑，计划以后两年以相同的增长率进行投资，2025年投资万元． （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从2023年到2025年，该学校三年为新增电脑共投资多少万元？ 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． （1）设年平均增长率为，根据投资金额列出方程求解即可； （2）根据增长率求出2024年的投资金额，然后求出总和即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为，根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴该学校为新增电脑投资的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：2024年投资为（万元）， （万元）， ∴该学校三年为新增电脑共投资万元． 19. 如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为． （1）求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）BF=2 （2）∠AEB=135° 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据AE=1，可得，根据勾股定理逆定理9=32=CE2得出，根据等腰直角三角形可求，再求，根据旋转性质，可得即可． 【小问1详解】 解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， ∴BE=BF ，∠EBF=∠ABC=90° ∴△BEF为等腰直角三角形， 设 BE=BF =x，则x2+x2=（2）2 ， 解得： x=2； 【小问2详解】 解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF， ∴∠AEB= ∠BFC ，AE=CF=1， 在△CEF中，EF =2，CF=1，EC=3， ∵CF2+EF2=12+（2）2=9，CE2=9， ∴CF2+EF2=CE2， ∴△CEF为直角三角形，∠EFC=90°， ∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=135°， ∴∠AEB=135°． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键． 20. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为________； （2）表格中空白处的值________，________； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图； （4）当时，，则的取值范围为________． 【答案】（1） （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）由（1）分别把、代入解析式求出，即可； （3）根据表格数据，分别描点、连线画出函数图象； （4）根据图象和取值范围，运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把，，分别代入， 得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：依题意，把代入，得， 即； 把代入，得， 即； 【小问3详解】 解： ∴顶点坐标为，对称轴方程为． 画出二次函数的图象略； 【小问4详解】 解：观察（3）的函数图象：当时，则， ∵当时，， ∴结合函数图象，得． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过五条． （1）在图1中，先画出绕点顺时针旋转得到的（点的对应点为点，点的对应点为点）；再画出点的对应点； （2）在图2中，为一点，先画；再在上画点，使得． 【答案】（1）如图，，点即为所求； （2）如图，，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）将A，B分别绕点C顺时针旋转得到点D，E，然后连接，，即可；取格点F，连接交于点G，连接并延长交于点即可． （2）取的中点D，与网格线的交点为O，连接并延长交网格线于点Q，连接，即可；取格点E，连接交于点F，连接并延长交于点M即可． 【小问1详解】 解：作图略； 由网格得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：作图略； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 如图，过点F作于点G，取格点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M即为所求． 22. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线，且：，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线，且：．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当，时，若点F坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点A的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若C的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点F在和之间（包括这两点），其中，，，直接写出a的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物线在同一平面内） 【答案】（1） （2）解：不能，理由如下： ，点F坐标为， ， 将和代入， 得：， 解得， ， 点A的坐标为，， ， 将代入， 得：， 此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出的解析式，然后求出对应的函数值，即可判断； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点F在和之间（包括这两点），得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：当，时，：， 点F坐标为， ， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：正方形中，，， ， 抛物线开口向下， ， 越小开口越大，越大开口越小，点F在和之间， 由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大， 设的表达式为， 将代入，得：， 解得； 当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小， 设的表达式为， 将代入，得：， 解得， 综上可得，． 23. 如图，D为等边的延长线上一点，连接，在的右侧作等边， （1）如图，连接，先拿尺测量的度数，并证明你的结论； （2）如图，点A关于直线的对称点为F，连接，点G是的中点，连接， ①试用等式表示，，之间的数量关系，并证明； ②连接，的面积为，的面积为，若，直接写出的值． 【答案】（1）证明：，理由如下： 、是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ； （2）①证明：，理由如下： 设，， 以点为原点，所在直线为轴，过点向上作轴，建立平面直角坐标系， 点在轴负半轴，， ，，， 过点作轴，垂足为，连接， 是等边三角形， ，是等边三角形的高， 由勾股定理，得 ， （负值已舍去）， ∵点在轴上方、轴左侧，横坐标为负， ， 由（1）可得，，，， ∴， ， ， 过点作轴，垂足为， ∵ ， ， 由勾股定理，得 ， （负值已舍去）， ∵点在轴上方、轴右侧， ， 点是点关于直线的对称点 直线垂直平分线段， 设与交于点，则点P既是的中点，也是的中点， 根据中点坐标公式，得 ， 设，则 ，， 代入，，得 ，， 解得， ， 是的中点，由中点坐标公式，得 ，， ， 由勾股定理，得 ， ，， ； ② 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形三边相等、内角都是的性质，寻找相等的边和角，证明，借助全等三角形对应角相等实现角度转移，结合，相加求出的度数． （2）① 采用坐标法解题，先建立平面直角坐标系；利用等边三角形三线合一、勾股定理求出点坐标；再借助前面证得的全等三角形，结合含直角三角形性质求出点坐标；根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点连线，得到中点，利用中点公式求出，再由中点公式得到；最后用勾股定理（两点距离）分别表示、，对比得到三者平方数量关系． ② 使用初中常用的矩形割补法求面积，把三角形放在矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形面积；再直接以为底、的纵坐标为高写出面积；根据题目给出的面积3倍关系列等式，化简得到齐次方程，设比值换元，解一元二次方程并舍去负根，算出与的比值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②解：如图 ∵的底，点到直线的距离等于点的纵坐标， ∴， 以点A，G，E分别作水平、竖直直线，围成包含这三点的矩形，则的面积矩形面积减去周围三个直角三角形面积， ∵矩形的面积为 ， 三个直角三角形面积分别为 ， ， ， ∴， 由，得 两边同时去掉，得 ， 整理，得 ， 方程两边同时除以 ， 设，则 ， 解得 ． ． 24. 已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图，连接，，为抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； （3）如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，设，点在第二象限的抛物线上，过点作不平行于轴且与抛物线仅有一个公共点的直线分别交直线，于，两点，当为何值时，恒成立． 【答案】（1），，． （2）或． （3）． 【解析】 【分析】（1）令解一元二次方程求、的横坐标，令求的纵坐标； （2）在中，两直角边之比为，故以为一条直角边、为另一条直角边作，由相似把换成，求直线与抛物线的交点即得点； （3）由“与抛物线只有一个公共点”用根的判别式写出的解析式，把、的横坐标用的横坐标与表示；再作对称轴、轴，用全等三角形把化为，由它对任意成立定出． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴令，得， ∴， ∴或． ∵点在点的左侧， ∴，． ∵抛物线与轴交于点， ∴令，得， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，， ∴与轴所成的角为， 过点作，使，连接（如图）， ∵，而与轴成角， ∴与轴也成角，即、两点的横坐标之差与纵坐标之差相等， 设这个差为，由得， ∴或． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上． 当时，设直线的解析式为， ∵，都在该直线上， ∴，， ∴两式相减得，即，， ∴直线为． ∵点既在抛物线上，又在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵对应的是点，舍去， ∴，此时， ∴． 当时，同理设可求直线为． ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵对应点，舍去， ∴，此时， ∴． ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线． ∵关于直线的对称点是， ∴． 设，其中． 设直线的解析式为， 把、的坐标代入得，， ∴，即直线为． ∵在对称轴上，、关于对称轴对称， ∴直线与直线关于直线对称， ∴直线为． ∵点在第二象限的抛物线上， ∴设，其中． 设直线的解析式为，它不平行于轴． ∵与抛物线只有一个公共点，且点在这个公共点上， ∴方程有两个相等的实数根，且根为， ∴， ∴，， ∴，，即直线为． ∵点是与的交点， ∴，即， ∴． ∵点是与的交点， ∴，即， ∴． 过点作对称轴于点，过点作轴于点（如图）， ∵直线、关于直线对称，且轴与对称轴平行， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵、分别是点到对称轴、点到轴的水平距离， ∴． ∵由图，在对称轴的左侧，在轴的左侧，即，， ∴． ∴． ∵上式对任意都成立， ∴两边同乘，得， ∴左边，右边， ∴比较的系数得， ∴． 当时，，而， ∴，，恒成立． ∴的值为． 【点睛】考查二次函数、全等三角形与一元二次方程的综合．第（2）问的解题关键是由把化成直线与的夹角，再与抛物线联立求交点，注意有两个解，不要漏；第（3）问的解题关键是用全等三角形把化成，再由它对任意成立比较系数求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $