精品解析：湖北省武汉市硚口区2025-2026学年九年级上学期12月质量检测数学试卷

2025-2026学年武汉市硚口区九年级（上）12月质量检测数学试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 3. 直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 工人师傅用直角曲尺检查某些工件是否恰好为半圆形，下列四种圆弧形工件，能判断其为半圆形的是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，连接，，若，则的大小是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D，E分别在和上，，M为边上一点（不与点B，C重合），连接交于点N，则错误的结论为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，用一张半径为，圆心角为的扇形纸片，围成一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，该生日帽的底面半径是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，，点E在边上，交于点F，若，则的值是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 如图是“停车让行”标志，其形状为正八边形，则正八边形的中心角的大小是___________度． 12. 如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=_________度． 13. 如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经助攻冲到点B，此时甲有两种进攻方式：①直接射门；②将球传给乙，让乙射门．仅从射门角度的大小考虑，应选择第_____________种进攻方式比较好（填写序号）． 14. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是__________． 15. 如图，在等腰中，，点D在边上，，，将线段绕点D逆时针旋转得线段，交边于点F，连接，若与相似，则的值是_________． 16. 抛物线（b，c是常数）经过，两点，其中．下列五个结论：①；②当时，随的增大而增大；③若抛物线过点，则；④关于x的方程有实数根；⑤若，设抛物线顶点坐标为，则．其中正确的是_____________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 如图，直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA＝OB，CA＝CB，求证：直线AB是⊙O的切线． 18. 如图，已知． （1）求证：； （2）求证：． 19. 如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． （1）证明：； （2）当，时，求的半径． 20. 如图1， 在中，，作，垂足为点D． （1）求证：； （2）如图2，矩形的顶点E，F分别在，上，顶点H，G在上，与交于点I． ①求证：； ②若，，，直接写出的值． 21. 如图，内接于． （1）求证：为矩形； （2）点E在上，，过点E作，垂足为点F． ①求证：； ②若，，直接写出的面积． 22. 某课外兴趣小组开展了以“销售中的数学”为主题的综合实践活动． 【收集信息】 信息一：某店销售一款冬季手套，每双进价为元，销售期为天． 信息二：每双手套的当天售价（单位：元）与第天（，且为整数）的关系为： ． 信息三：当天销量 (单位：双)与第天之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 第天 当天销量 【建立模型】（1）求与的函数关系式； （2）设当天的利润为 (单位：元)，直接写出； ①当时，与的函数关系式； ②当时，与的函数关系式． 【应用模型】（3）销售这款手套第几天时，当天的利润最大?最大利润是多少元? （4）在这天销售中，直接写出当天利润不低于元的天数． 23. 如图（1），在中，点在边上，连接，． （1）求证：． （2）若，求的值； （3）如图(2)，点在的延长线上，的延长线交于点．若，，求的值(用含的式子表示)． 24. 如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的动点． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）过点P作x轴的平行线，交直线于点E． ①若，求点P的坐标； ②直接写出的最大值． （3）如图(2)，D为抛物线的顶点，过点P作的平行线交抛物线于另一点G，连接，，满足，若点M在直线上运动，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网6组卷网 2025-2026学年武汉市硚口区九年级（上）12月质量检测数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。 1.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是() B D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键.把一个图形绕着某一个点旋 转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对 称中心，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意： D、是中心对称图形，故本选项符合题意： 故选：D 2.若o0的半径为 6cm PO=8cm ⊙0 山，则点P与 的位置关系是() 第1页/共39页 学科网 命组卷网 ⊙0 ⊙0 ⊙0 A.点P在 外 B.点P在 上 C.点P在 内 D.不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于 半径时，点在圆上：当点到圆心距离大于半径时，点在圆外.根据点到圆心的距离即可得出答案. 【详解】解：，点P到圆心的距离8cm大于圆的半径6cm, 点P在圆外. 故选：A, ⊙0 3.直线1与半径为r的相交，且点O到直线1的距离为5，则r的值可以是() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d,半径为”，当 d>'时，直线与圆相离；当d=「 a<r ”时，直线与圆相切；当 时，直线与圆相交 ⊙0 【详解】解：，直线1与半径为r的相交，且点O到直线1的距离为5， .r>5 3<5,4<5,5=5,6>5 ∴.A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D 4.工人师傅用直角曲尺检查某些工件是否恰好为半圆形，下列四种圆弧形工件，能判断其为半圆形的是( 第2页/共39页 命学科网命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角对四个工件进行分析即可得到答案. 本题主要考查了圆周角定理找准圆周角是解题关键， 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴.只有B选项正确，其他均不正确. 故选：B. 5.将抛物线y=(x-向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为《 ) A.y=x2-2 B.y=x2-1 c.y=(x-2)}-2 D.y=x2+2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数平移规则“左加右减，上加下减”，先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单 位长度，计算新解析式 本题主要考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题关键. 【详解】·原抛物线为y=(x-1) 向左平移1个单位长度，得y=[(x+)-了=2， 再向下平移2个单位长度，得y=-2 ·所得抛物线解析式为y=r之-2 故选：A. 第3页/共39页 命学科网组卷网 ABCD ⊙0 OBOD∠BOD=150°，∠C 6.如图，四边形 内接于 ，连接 若 ,则的大小是() A750 B.800 c1050 D1000 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半、 圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键、 先通过“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”求出∠A,再通过“圆内接四边形对角互补”得出∠C即可. 【详解】解：：BD=BD,∠B0D=1500 :∠A=3<0D=75 2 ABCD ⊙0 ,四边形 内接于 ∴.∠A+∠C=180°， .∠C=180°-75°=105° 故选：C 7.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB和AC上，DE∥BC,M为BC边上一点（不与点B,C重 合)，连接AM交DE于点N,则错误的结论为() 第4页/共39页 6学科网组卷网 DN NE AD AN A.MC BM B.BD NM c DN NE D. BM MC 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线 段成比例和相似三角形的判定和性质： 根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质，逐项判断，即可得到答案， 【详解】解：：DE∥BC, AD AN :.△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC,△ADE△ABC,BDNM,故B正确，不符合题意： DN AN AN NE 、DE_AE .BMAM'AMMC,BC=AC,故C正确，不符合题意； DN NE ∴.BMMC, 故D正确，不符合题意：A错误，符合题意： 故选：A 8.如图，用一张半径为30m,圆心角为120°的扇形纸片，围成一个圆锥形的生日帽.在不考虑接缝的情 况下，该生日帽的底面半径是() 120° 第5页/共39页 6学科网 6组卷网 6cm 8cm C.10em 12cm A. B. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥底面圆的半径，弧长公式，掌握弧长公式，以及圆锥底面圆的周长等于扇形的 弧长是解题的关键.设底面半径是cm,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列式进行求解即可. 【详解】解：设底面半径是rCm, 120元×30=2πr 根据题意得： 180 解得r=10」 故选：C, EF 9.如图，菱形ABCD中，∠D=60°，点E在边CD上，BE交AC于点F,若∠BEC=45°，则BF的 值是() B 2-V2 v2-1 2-V3 5-1 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先结合菱形的性质，得出AB=CB,AD‖CB,ABII DC,再结合∠D=6O°，故 C7-1 BC 2 受月飞度花夜利r=C-CT-兰C,又因方∠mC行用。0等角三角，是 2 第6页/共39页 6学科网 命组卷网 EF CE 一CE=B-G3'BC结合BDC,明RAFECF,最后把数代入奶进行化简 21 即可作答. 【详解】解：过点B作BT⊥DC的延长线，如图所示： B E ,四边形ABCD是菱形， AB=CB,ADII CB,ABII DC :∠D=60°， :∠BCT=∠D=60° BT⊥DC的延长线， ∴.∠CBT=30° BT=BC2-CT2= BC2-IBc2 -BC 4 2 .∠BEC=45°，BT⊥DC的延长线， ∴.△ETB是等腰直角三角形， :B=B7= BC 2 第7页/共39页 命学科网组卷网 则CB=7-cT= PBC-In IBC-3-18c 2 :B∥DC ∠BAF=∠ECF,∠ABF=∠CEF ABAFONECF, V3-1 EF CE BC 2 3-1 ·BFAB BC 2, 故选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，30度角的直角三角形，等腰三角 形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键. 10,在边形48CD,DIC,1B=CD,O0,边形16CD条边都和切：连接D 中， ⊙0 的半径为2，CD=5,则BD 的值是(). 0 B A.V39 B.V47 c23 D.3V5 【答案】B 【解析】 【分析】设切点依次为点E、R、G、H,连接OA,OE,OB,OF,OC,OG,OD,OH,分别 过点A、D作BC的垂线，垂足为M、N,由切线长定理可以推出，AD+BC=AB+CD=I0.根据 第8页/共39页 6学科网命组卷网 内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形ABCD的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算 出下底BC=8,BN=5,最后使用勾股定理算出BD的值. 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H,连接OA,OE,OB,OF,OC,OG,OD, OH BC n⊙0 ,分别过点A、D作C的垂线，垂足为MN,设©0半径为”， B M F ⊙0 ABCD 与四边形 各边都相切，由切线长定理可知，AE=AH,BE=BFCF=CG DG=DH .AD BC AH DH BF CF, AE BE CG+DG, =AB+CD, ..AB=CD=5. .AD+BC=10. 由切线的性质可知，OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD, :S边形m=Saw+Sam+Sam+Saaw, ABr+crrr 2 2 2 2 第9页/共39页 6学科网命组卷网 -(AB+BC+CD+4D) 1 =2×2×20 =20 ABCD ADIBC AB=CD ,在四边形 中， .四边形ABCD是等腰梯形， 设梯形ABCD的高为h, 则w24D+8Ch,间20=×10 解得，h=4. .AM⊥BC,DN⊥BC, :AM DN =h =4, 在直角△ABM中，BM=VAB2-AM2=VS2-42=3 同理，CW=3, AM⊥BC ADIBC ∴.∠DAM=∠AMN=90°， ,DN⊥BC, .∠DWNM=90°， ∴四边形AMND是矩形， 第10页/供39页 6学科网 命组卷网 .AD=MN AD BC AD BM MN CN 10. ∴.MW+3+MW+3=10,解得，MN=2, .BN=M+MW=3+2=5, 在直角△DBN中，D=VBN2+DW2=V52+42=V4 故选：B, 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线 相关的定理是解题关键. 第Ⅱ卷（非选择题共0分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上. 11.如图是“停车让行”标志，其形状为正八边形，则正八边形的中心角的大小是 度· 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查正多边形的概念，掌握好相关知识是关键。 根据正八边形的对称性进行计算即可. 【详解】解：根据正八边形的对称性，其中心角的大小为360°÷8=45° 故答案为：45 12.如图，PA,PB是⊙O是切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= 度 第11页/共39页 学科网命组卷网 B 【答案】50 【解析】 【分析】首先利用切线长定理可得PA=PB,再根据∠OBA=∠BAC=25°，得出∠ABP的度数，再根据三角形 内角和求出. 【详解】，PA,PB是⊙O是切线，A,B为切点， .PA=PB,∠OBP=90°， OA-OB .∠OBA=LBAC-25°， ∴.∠ABP-90°-25=65°， .PA=PB. .∠BAP=∠ABP=65°. ∴.∠P-180°-65°-65=50°， 故答案为：50， PO 13.如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门 ，当他带球冲到点A时，同伴乙已经助攻冲到点B, 此时甲有两种进攻方式：①直接射门；②将球传给乙，让乙射门.仅从射门角度的大小考虑，应选择第 种进攻方式比较好（填写序号）· 0 B 【答案】② 第12页/共39页 学科网 命组卷网 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和三角形外角的性质. 设AP与O0 Oc 的交点为C,连接，由圆周角定理可得 LPCQ=∠B 于PCP是△1C0的外角，则 ；由于 ∠PCQ=∠B>∠A 由射门的角度越大，越有利于进球即可解答 【详解1解：设4P与o0的交店为C,连接2C,则2PCQ2小 ∠PCQ=∠B 由圆周角定理知： 所以∠B>∠A; 因此选择第二种射门方式更好. ⊙ 故答案为：② 14.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA,OB的夹角为150°，OA的长为3dm,扇面AC的长 2dm 为 ,则扇面的面积是 dm2 B D 10π 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，熟练掌握相关公式是关键. 第13页/供39页 命学科网 命组卷网 运用扇形面积公式计算出大扇形OAB和小扇形OCD的面积，相减得出结果. 【详解】解：，OA=3dm,AC=2dm, .OC=OA-AC=3-2=1dm, 由扇形面积公式可得，S形0B m0N_150:32_15rdmr 360° 360°4 nm0C2150°元.125 S扇形0CD= 360°-12 dm2 360° S扇形OMB-S扇形OCD _15元_5π_10rdm' ∴.扇面的面积 4123 10π 故答案为：3· 15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5,点D在边BC上，BD=2,CD=4,将线段DA绕点D 逆时针旋转得线段DE,DE交边AB于点F,连接AE,若△AEF与△BDF相似，则AE的值是 D 617 【答案】2或5 【解析】 【分析】分两种情况讨论，①当∠EAF=∠B时，作AG⊥BC,垂足为G,DH⊥AE,垂足为H,证明 第14页/供39页 学科网命组卷网 四边形AHDG是矩形，则A=DG.由旋转的性质可得，DA=DE,结合等腰三角形的性质和勾股定 理，计算出DG,再计算出AE即可；②当∠AEF=∠B时，类比①证出△DEH∽△ABG,由相似三角 形的性质，计算出EH,进而求出AE, 【详解】解：①当∠EAF=∠B时，如图，作AG⊥BC,垂足为G,DH⊥AE,垂足为H, B D G 由旋转的性质可得，DA=DE, ,DH⊥AE, ·∠AHD=∠EHD=90°， EH -HA-TAE .∠EAF=∠B, .EA∥BD. .∠EHD=∠HDG=90°. BD=2,CD=4, .BC=BD+DC=2+4=6, AB=AC,AG⊥BC, BG-CG-1BC-3 ∠4GD=90, :.DG=BG-BD=3-2=1. .'∠AHD=∠HDG=∠AGD=90°， 第15页/供39页 6学科网6组卷网 .四边形AHDG是矩形， :HA=DG =1, .AE=2M=2, .∠EAF=∠B,∠AFE=∠BFD, .△AEFABDF,满足题意； ②当∠E=∠B时，如图，作AG⊥BC,垂足为G,DH⊥AE,垂足为H, H 由①可知，BG=3,DG=1,AE=2EH, 在直角△ABG中，AG=VAB2-BG=V52-32=4 在直角△ADG中，AD=VAG2+DG=V4+1P=V7 由旋转的性质可知， DE AD =17 .∠DHE=∠AGB=90°，∠E=∠B .△DEH∽△ABG, DE EH 17 EH ∴.AB-BG,即53， :m=37 5, :B=2m=67 5, ∠E=∠B,∠AFE=∠BFD, .△AEFADBF,满足题意. 第16页/供39页 6学科网 6组卷网 6V17 综上所述，AE=2或5· 6V17 故答案为：2或5· 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股 定理，平行线的判定与性质，正确分类讨论并构造相似三角形是解题关键. 16抛物线厂-+bx+cb,c是常数)经过4(m,0）,B(m,0)两点，其中l≤m<2<n<3.下列 3 x< 11=1 五个结论：①c<0:②当2时，y随x的增大而增大；③若抛物线过点（山，-），则mn:④关 7 于x的方程-+bx+c=1有实数根：回若m=1,设抛物线顶点坐标为，)，则4不5+1<3 .其中正 确的是 (填写序号)· ①②③⑤ 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线经过点1(m,0)和B(m,0), 利用根与系数的关系得出b和c的表达式，结合m和n 的范围判断各结论 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的基本性质是解题关键 【详解】由于抛物线=-r+hx+c经过1(m,0)和Bm,0）,所以m和n是方程-2+bx+c=0的根， 即r-bx-c=0 的根. 根据根与系数的关系，有m+n=b,mn=-c. 由l≤m<2<n<3,得m+n>0,mn>0, 第17页/共39页 6学科网6组卷网 所以c=-mn<0 .① ,故正确： 抛物线的对称轴为x=白=力 2a2 由于b=m+n>3. b.3 3 所以2>2，因此当<2时，函数递增，放②正确： 若抛物线过点（-），代入得1=-1+b+c,即b+c=0,c=-b,又mm=-c=b,所以 1+1=m+n=b=1 m'n mn b,故③正确： 方程-x+b+cl即-x+bx+c-10,判别式△+4(c-) 取m=1n=2.5, 则b=3.5,c=-2.5, A=2.25+4x(25-)=1225-14=-1:75<0无实根，故④错误 若m=1,则2<n<3, 顶点坐标8= 60+四1-m-_-n 22· 4 4 s+i-+m+0-n(+3) 2 4 4 由2n<3,得4<㎡<9，所7<3+㎡<12， 故4<s+1<了，故⑤正确。 第18页/供39页 6学科网 命组卷网 ①②③⑤ 故答案为： 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程. 17.如图，直线AB经过⊙O上的一点C,并且OA=OB,CA=CB,求证：直线AB是⊙O的切线. B 【答案】 证明：连接OC, A B C .OA=OB,CA-CB, ∴.△OAB是等腰三角形， 又OC是底边AB上的中线， .OC⊥AB, ∴AB是⊙O的切线. 第19页/共39页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】连接OC,如图，由于OA=OB,CA=CB,根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB,然后根据切线的 判定定理即可得到直线AB是⊙O的切线. 【详解】略 【点睛】考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线， 已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直， △ABC∽△EDC 18.如图，已知 D (1)求证：∠ACE=∠BCD: (2)求证：△ACEABCD 【答案】(1) 证明： △ABC∽△EDC ∠ACB=∠ECD 则∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE .∠ACE=∠BCD: (2) 证明：：△ABC∽△EDC AC CB .EC CD, 第20页/共39页 6学科网 组卷网 AC EC .CB CD, 由(1)得∠ACE=∠BCD. :△ACEABCD 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键 △ABCP△EDC,∠ACB=∠ECD (1)根据 ,故 ,整理得∠HCE=∠BCD 即可作答 AC EC (2)由△ABC∽△EDC,得CBCD,再结合∠ACE=∠BCD,故△ACEP△BCD,即可作答. 【小问1详解】 略， 【小问2详解】 略。 中，AB是直径， ⊙0 CD」 19.如图，在 D是弦， AB⊥CD 于点五，连接1C,D D (1)证明：∠ACD=∠ADC: (2)当E=9CD=6. ⊙0 时，求 的半径 【答案】(1) 在O0中， 是直径，CD AB⊥CD 是弦， 第21页/供39页 可学科网丽组卷网 ..AC=AD ∴.∠ACD=∠ADC (2)5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 (1)由垂径定理可得 AC=AD ,再由圆周角定理即可得证： (2)连接OC,设的半径为r,由垂径定理可得CE=DE=3,从而得出OE=9-r,再由勾股定理计 算即可. 【小问1详解】 解：略。 【小问2详解】 解：由(I)可知CE=DE=3 连接OC, D B 设半径r,则OE=9-r 在Rta0CE中，32+(9-r2=r2 9+81-18r=0 解得r=5 20.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AD⊥BC,垂足为点D. 第22页/供39页 6学科网命组卷网 D C 图1 图2 (1)求证： AD2=BD.CD (2)如图2，矩形EFGH的顶点E,F分别在AB,AC上，顶点H,G在BC上，AD与EF交于点 I. AI HG ①求证：AD一BC: ②若AD=4,BD=8,EF=2EH,直接写出EF的值. 【答案】(1) 证明：：AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90°， ∴.∠DAC+∠C=90° '∠BAC=90°， .∠DAC+∠BAD=90°， .∠BAD=∠C, .△ABDACAD AD CD ·D=AD AD'=BD.CD (2) ①证明：：四边形EFGH是矩形， 第23页/供39页 6学科网列组卷网 ,EF=HGEF‖HG .△AEF△ABC AI EF .AD BC, AI HG 0= BC: 40 ②9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判 定定理与性质是解题关键， (I)通过两角相等证明△ABD∽△CAD,根据相似三角形的性质得证； (2)①证明△AEF∽△ABC,由相似三角形对应线段成比例的性质和矩形的性质得证： 设EH=x,则EF=2EH=2x,由(1)可程D、A =2 BD .证明四边形EHDI是矩形，则 ID=H=X,进一步得到AI=4-x,根据①中的比例式计算出x的值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②设EH=x,则EF=2EH=2x, AD2=BD.CD 由(1)可知， :42=8.0m .CD=2, .BC=BD+CD=8+2=10. 第24页/供39页 6学科网 组卷网 ,四边形EFGH是矩形， .∠EHG=∠HEF=90°， .∠ADB=90°， ∴四边形EHDI是矩形， :ID EH x, :AI AD-ID 4-x. AI EF 由①可知，ADBC, 4-X=2x .410, 解得，x20 9 :F=2x= 40 9. 口ABCD ⊙0 21.如图， 内接于 (I)求证：口ABCD为矩形： (2)点B在⊙0上，A花=CB,过点B作EFLAR,垂足为点凡 ①求证：EF=BF: ②若BF=1, AF=5 2,直接写出ABCD的面积. 第25页/供39页 命学科网命组卷网 【答案】(1) 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∠A=∠C, 由圆内接四边形的性质可知，∠A+∠C=180°， .∠A=∠C=90° ABCD是矩形： (2) ①证明：如图，连接AC,BE, ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90° AC。⊙0 弦是 的直径， .AE=CE AE=90°， .∠ABE=45°， EF⊥AB, .∠EFB=∠EFA=90°， ∴.△EFB是等腰直角三角形， ..EF=BF 第26页/供39页 6学科网 命组卷网 21 ②4 【解析】 【分析】(1)由圆内接四边形的性质和平行四边形的性质，可证明∠A=90°，从而得证； (2)①连接AC,BE,由圆周角定理可得，弦AC是⊙0的直径.因为AE-CE,可得A正=90°，从 而得到∠ABE=45°，结合EF⊥AB，,可以判断出△EFB是等腰直角三角形，因此EF=BF; ②过点E作CB的垂线，交CB的延长线于点H,连接EA,EC,容易证明四边形EFBH是正方形，进 一步证明△AEF≌ACEH(AAS) 从而计算出BC的值，最后使用平行四边形的面积公式即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 解：①证明：略. ②如图，过点E作CB的垂线，交CB的延长线于点H,连接EA,EC, A D .∠ABC=90°， .∠HBF=180°-∠ABC=90°， .EH⊥CH, .∠H=90°， 第27页/共39页 6学科网6组卷网 .∠EFB=90° ∴.四边形EFBH是矩形， EF =BF. ∴矩形EFBH是正方形， .Ell EF HB BF =1, BE=BE .∠BAE=∠BCE 在△AEF和△CEH 和 中， ∠EAF=∠ECH ∠AFE=∠H=90° EF EH :.△AEF≌ACEH(AAS) :M=1r=5 , ·BC=CH-B=2-1s 2 :B=F+那=5 7 +1- 2, .Sn AB BC= 7.321 2、24. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，圆内接四边形的性质，正方形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质和圆周角定理，熟练掌握相关的知识是解题关键. 22.某课外兴趣小组开展了以“销售中的数学”为主题的综合实践活动 【收集信息】 信息一：某店销售一款冬季手套，每双进价为20元，销售期为30天 第28页/供39页 6学科网 命组卷网 信息二：每双手套的当天售价y(单位：元)与第x天(1≤x≤30，且x为整数)的关系为： x+29,(1≤x≤10，且x为整数) 40,(11≤x≤30，且x为整数) 信息三：当天销量m(单位：双)与第x天之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 第x天 当天销量 55 负 【建立模型】(1)求m与x的函数关系式： (2)设当天的利润为W(单位：元)，直接写出； ①当1≤x≤10时，w与x的函数关系式： ②当11≤x≤30时，w与x的函数关系式. 【应用模型】(3)销售这款手套第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？ (4)在这30天销售中，直接写出当天利润不低于728元的天数. 【答案】(1)m=-2x+62(1≤x≤30，且x为整数)： (2)①w=-2x+44x+558:@w=40x+1240 (3)第11天利润最大，最大利润为800元： (4)8天. 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题的关键. (1)一次函数关系需用两点确定，取表格中相邻两天的太m值代入m=x+b,解方程组得k、b: (2)利润=每双利润×销量，每双利润=售价×进价，分别代入不同区间的售价表达式和销量关系式，展 开得w与x的函数关系式： (3)分两段分析二次函数和一次函数的最值：二次函数在对称轴左侧递增，故区间端点取最大值；一次 函数递减，故区间左端点取最大值，比较得整体最大值： 第29页/供39页 命学科网命组卷网 (4)分两段解不等式：二次不等式化简后求根，结合区间得解集；一次不等式化简后求边界值，结合区 间得解集，统计符合条件的整数天数并相加 【详解】解：(1)当天销量m(单位：双)与第x天之间满足一次函数关系 :设m与的函数关系式为m=c+6k≠0) 将x=1,m=60和x=2,m=58代入得： k+b=60① 2k+b=58② 两式相减得k=一2， 将k=-2代入①中得：b=62, ∴.m与x的函数关系式为m=-2x+62(1≤x≤30，且x为整数)； (2)①当1≤x≤10时，每双利洞为”-20=(x+29)-20=x+9,销量为m=2x+62, 故：w=(x+9(-2x+62)=-2x2+44x+558 ②当11≤x≤30时，每双利润为40-20=20，销量为m=-2x+62, 故：w=20-(-2x+62)=-40x+1240 (3)①当1≤x≤10时， w=-2x2+44x+558 =-2(x2-22x+112-112)+558 =-2(x-11)/+558+2×112 =-2(x-11)2+800 对称轴为：x=11, 第30页/共39页 命学科网命组卷网 开口向下，在区间内w随x增大而增大，故x=10时，Wx=-2(10-11+800=-2+800=798, ②当11≤x≤30时，w=-40x+1240,在区间内w随x增大而减小， 故七=11时，”x=-40×11+1240=800 798<800」 ∴第11天利润最大，最大利润为800元： (4)①当1sx≤ 0时，据题意：-2r+44x+558≥728 化简得0-22x+85s0 (x-5)(x-17≤0 解得5≤x≤17，结合区间得5≤x≤10，共6天(x=5,6,7,8,9,10): ②当11≤x≤30时，据题意：-40x+1240≥728， -40x≥-512 x≤12.8 结合区间得 1≤x≤12+2(x=11,12) ,共天 “总天数为6+2=8天. 23.如图(1)，在△ABC中，点D在边AB上，连接CD,∠ACD=∠ABC D 图1 图2 第31页/供39页 6学科网命组卷网 (1)求证： AC2=AD·AB CD (2)若AC=BD,求CB的值： (3)如图（②），点E在CA的延长线上，CD的延长线交BE于点F.若CE=BD,AC=nMD(n>2) EF 求EB的值（用含n的式子表示）. 【答案】(1) 证明：：∠ACD=∠ABC,∠A=∠A ∴.△ABC∽△ACD AC_AD AB AC .AC2=AD·AB 5-1 (2)2 1 (3)n+1 【解析】 【分析】(I)证明△ABC∽△ACD,根据相似性质即可求解； (2)根据(1)证明的相似，根据题目给的条件，构造等量关系求解： (3)构造辅助线，证明△BCD≌△CKE,进而可得到△EKFABCF,通过性质可得到对应关系. 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题关键， 【小问1详解】 略 第32页/供39页 6学科网命组卷网 【小问2详解】 解：设4C=BD=xAD=y .△ABC∽△ACD .AC=AD_CD_ ·ABAC CB x, AC2=AD.AB ..x2=(x+y)y .y2+y-x2=0 y=5-1y-1-5 x2或x2（舍去)， CD 5-1 CB 2· √5-1 故答案为： 2 【小问3详解】 解：过点E作EK∥BC,交CF的延长线于点K, D ∠K=∠DCB 第33页/供39页 学科网丽组卷网 在△BCD和△CKE中， ∠K=DCB ∠ACD=∠ABC CE=BD :.aBCD≌aCKE(AAS) ∴.BC=KCCD=EK .:EK∥BC .∴△EKFABCF AC=nAD :D1 AC n, EF EK CD AD 1 BF BCBC AC n, EF 1 EB n+1. 24如图(1)，抛物线'=-？+2x+3与x轴交于A,B两点4在B的左边.与y轴交于点C,连接 BC ,点P是第一象限内抛物线上的动点， y D 图1 图2 第34页/供39页 6学科网列组卷网 (1)直接写出点A,B,C的坐标： (2)过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E. ①若PE=2,求点P的坐标； ②直接写出PE的最大值、 (3)如图(2)，D为抛物线的顶点，过点P作BC的平行线PG交抛物线于另一点G,连接DG,DP, 满足∠PDG=90°，若点M在直线PG上运动，求OM的最小值. 【答案】(1) A(-1,0),B(3,0),C(0,3) 9 (2)①P1,4)或P(2,3)②4 (3)22 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，相似的性质和判定，解题的关键是根据相似的性质求出直线 PG 的解析式： (1)分别令x=0.y=0 可得解： （2)①先求出直线BC的解析式，设P心，-+21+3)，B(x,+21+3》,根据PE=2列方程求解即可 ②路8-+-气--0r<到天e80司 (3)过D作DH∥x轴于H,过G作GM⊥DH于M,过P作PN⊥MH于N,则 ∠N=∠GMD=90°，设P飞，-+21+3)，则N(,4),设直线PG的解析式为y=-x-1+3+3, 证明△MDGANPD,可得-3=-l,即可求出直线PG的解析式，设M(,-+4),求出OM2的 第35页/供39页 6学科网命组卷网 OM' 最小值，进而求出 的最小值. 【小问1详解】 解：当术=0 y=3 时， 9 .C(0,3) 当少0 -x2+2x+3=0 时， 解得：一，为=3 .A(-1,0),B(3,0) ∴.A(-1,0),B(3,0),C(0,3) 【小问2详解】 BC 解：①设直线 的解析式为少=：+b 3k+b=0 把B3,0,C0,3)代入得b=3 [k=-1 解得b=3, “直线BC的解析式为y=-x+3 BC 设P飞，+21+3列，则E(x,子+21+3)， 把Bx,+21+3)代入y=-x+3得+21+3=-xg+3 解得：=1-21 ∴.PE=t-(t2-21=-+3t PE=2, 第36页/共39页 6学科网命组卷网 .t-(2-21)=2 解得：t=1或t=2, .P1,4)P(2,3) 或 a==-+0<) -1<0 3 f= PE=9 ∴.当2时，PE有最大值，此时 4, 9 .PE的最大值为4； 【小问3详解】 解：过D作DH∥x轴于H,过G作GM⊥DH于M,过P作PN⊥MH于N,则∠N=∠GMD=9O°， y M D H W G B 图2 设P,-+21+3列，则N飞，4) .BC∥PG “设直线PG的解析式为y=-x+b 第37页/供39页 6学科网列组卷网 把P代入得 +2+3=-+6 解得=-+3+3 ∴.y=-x-t2+3t+3 联立得r+2x+3=-x-2+3+3 整理得-+x-3)=0 解得x=t或x=-t+3, 当x=1+3时，y=-(-+3)-+3+3=-子+4 .G(-1+3,-2+41）) M(3-4,4) GM=4-(+4)=-4+4,MD=1-2,DN=t-1,P=4-（-+21+3=1-21+l, .∠N=∠GMD=90°，∠PDG=90° ∴.∠MGD+∠MDG=∠MDG+∠NDP ∴.∠MGD=∠MDG ∴.AMDG∽ANPD GM MD DN NP, ∴.GM.NP=DN.MD (2-4t+4(2-2+1=(t-1(t-2） 第38页/供39页 6学科网命组卷网 .(t-22(t-1)2=(t-1)-2）. ∴(t-10(t-2[(t-10(t-2）-1]=0 (t-10(t-2)(2-31+1=0 1=l或1=2或-31+1=0 或 当=时.PL,4), ,此时P与D重合，不符合题意， 当1=2时，G1,4),此时G与D重合，不符合题意， t-3+1=0,即-3=-1， ∴直线PG的解析式为y=-x-1+3+3=-x+4 设M(s,-8+4),则0M2=s+(-s+4}=2x2-8s+16=2(5-2}+8 .2>0 时，OM 当5=2 取最小值，OM2 的最小值=8 OM的最小值为2V2 第39页/共39页