精品解析：浙江省杭州市行知中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区行知中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C. 任意三角形的两边，其差小于第三边 D. 在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 3. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 5. 将二次函数图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（ ） A. 36 B. 5 C. 2 D. 6 7. 如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 有最大值，有最小值 C. 有最大值，有最小值 D. 有最大值，有最小值 8. 如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，点在上位于直径两侧，且，连结交于点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一个仅装有球的不透明布袋里共有个球，只有颜色不同，若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是______  ． 12. 抛物线与x轴的交点个数为______  个． 13. 一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为____________．（结果保留） 14. 若，则的值为_____． 15. 如图，点为正八边形的中心，则的度数为______． 16. 已知二次函数图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是______  ． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）． （1）转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率； （2）转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 18. 某二次函数图像上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 m （1）求此二次函数的表达式：______； （2）的值是______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）画出绕点B顺时针旋转后得到； （2）点的坐标为______； （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 20. 如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． （1）证明：； （2）若，，求弦长． 21. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示． 求演员弹跳离地面的最大高度； 已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 22. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 23. 在二次函数中． （1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． （2）若点在抛物线上，令，求证：． （3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 24. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区行知中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系即可得． 【详解】∵， ∴这点在圆外， 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C. 任意三角形的两边，其差小于第三边 D. 在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类． 不可能事件即在一定条件下一定不会发生的事件． 【详解】解：A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意； B、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意； C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意； D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意； 故选：D． 3. 如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：A． 4. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 抛物线方程为顶点形式，直接读取顶点坐标． 【详解】解：∵是顶点形式， ∴顶点坐标为， 故选：B． 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 6. 已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（ ） A. 36 B. 5 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例中项的概念，熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两外项的乘积，计算即可． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为c， 则， ∵， ∴． 故选：D． 7. 如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 有最大值，有最小值 C. 有最大值，有最小值 D. 有最大值，有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图象，应用数形结合的思想求解是解题的关键． 直接根据函数的图象确定顶点坐标、开口方向及对称轴，得取值范围内的最大值为，由对称性可知时，由图知时，，故时，函数有最大值，有最小值． 【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为， ∵此抛物线开口向下， ∴此函数有最大值，最大值为； ∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值， 当时，， ∴当时，，即函数有最大值，有最小值． 故选：C． 8. 如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 设，则，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， 设，则． ， ∴， 解得， ， ，， ． 故选：D． 9. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ， ． 故选：A． 10. 如图，是的直径，点在上位于直径两侧，且，连结交于点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由圆周角定理可求，由等边对等角，三角形内角和求，，则，由圆周角定理求，由等边对等角可求，由三角形内角和定理得，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的度数为， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一个仅装有球的不透明布袋里共有个球，只有颜色不同，若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 由概率公式，已知总数，求可能性的个数，将概率乘以球的总数即可． 【详解】解：这个布袋里红球的个数是个． 故答案为：． 12. 抛物线与x轴的交点个数为______  个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 计算判别式，根据的值判断交点个数． 【详解】解：由二次函数得，，，， 则， 所以抛物线与轴有2个交点． 故答案为：2． 13. 一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求解即可得． 【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径为2， 这个扇形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题关键． 14. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，由题可得，然后代入分式化简解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点为正八边形的中心，则的度数为______． 【答案】##22.5度 【解析】 【分析】连接OA、OB，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：作正八边形的外接圆，连接OA、OB，如图： ∴， 由圆周角定理得： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的圆心角的求法、圆周角定理是解题的关键． 16. 已知二次函数的图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 根据对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ， 解得． ∴二次函数为． 当时，取得最大值4； 当时，； 当时，； 时，． ∵即的解相当于与直线的交点， 当即时，在范围内有解， 的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）． （1）转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率； （2）转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，可知共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4， 转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种， 指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率 18. 某二次函数图像上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 m （1）求此二次函数的表达式：______； （2）的值是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上的点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的顶点坐标． （1）根据表格中的点的坐标特点先确定定点的坐标，设顶点式即可求解； （2）将代入抛物线的解析式中可得． 【小问1详解】 解：观察表格中的x、y的值，可知、是对称点， 所以抛物线的对称轴是直线， 所以顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入解析式中，可得， 解得， 所以该二次函数的表达式为，即． 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ． 故答案为：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）画出绕点B顺时针旋转后得到； （2）点坐标为______； （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质作图； （2）根据图形得出点的坐标； （3）根据勾股定理求出BC的长，再根据弧长公式求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 由图可知：； 【小问3详解】 由勾股定理，得， 点C经过的路径长 20. 如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． （1）证明：； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查垂径定理及推论，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由为的直径，是弦，且，根据垂径定理，即可根据圆周角定理证明； （2）由垂径定理得，由，，求得，则，所以，则，求得． 【小问1详解】 证明：为的直径，是弦，且， ， ； 【小问2详解】 解：为的直径，是弦，且于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦的长为． 21. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示． 求演员弹跳离地面的最大高度； 已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 【答案】(1) ；（2）能成功；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度； （2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断. 【详解】(1)y=-x2+3x+1=-+ ∵-＜0， ∴函数的最大值是． 答：演员弹跳的最大高度是米． (2)当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC， 所以这次表演成功． 【点睛】此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题． 22. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）①；② （2）每组手办降价5元时利润可以为3500元 （3）当时，有利润的最大值为3600元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【小问1详解】 解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． 【小问3详解】 每天的利润为， 则 ， 当时，有利润的最大值为3600元． 23. 在二次函数中． （1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值． （2）若点在抛物线上，令，求证：． （3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； （3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； 【小问2详解】 证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． 【小问3详解】 ，都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用． 24. 如图1，点，，都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①8；②，见解析 【解析】 【分析】（1）由平分，得，则； （2）①连接，设，则，．可证明，则在中由勾股定理得，，解得，（不合题意，舍去），即半径为； ②，理由如下：过点作于点，可证明，则．而，则四边形是矩形，则． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∴， 即是等腰三角形； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 设，则，． 由（1）知， 又， ∴， ∴在中，，即， 解得，（不合题意，舍去）， 即的半径为； ②． 理由如下： 如图，过点作于点， ∵是直径， ∴． ∵平分，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $