精品解析：山东威海市乳山市银滩高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二数学10月份月考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，若，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求得的坐标，利用，求得，求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以存在唯一实数，使得， 所以，即， 所以，解得，所以. 故选：C. 2. 对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中， 满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 3. 已知复数满足，则在复平面内的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据复数的几何意义即可得解. 【详解】设，由， 得在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则表示点到原点的距离， 又圆心到原点的距离为， 所以圆上的点到原点的距离的最小值为. 4. 已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定点，再根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】由直线，得， 令，解得，即， 所以所求圆的方程为. 故选：C. 5. 空间四边形中，，，，点，分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，然后利用数量积的运算律求出的长度. 【详解】由题意知， 又， ， ，即的长为. 故选：C. 6. 过点的直线与线段AB相交，，，则直线斜率取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】如图所示： 则直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与线段AB相交， 结合图象，可得直线斜率的取值范围是. 7. 过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到半径，求出的范围，再由原点在圆外，得到原点到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围. 【详解】圆，即 圆心为，半径，且，∴ 又因为过原点可作两条直线与圆相切，所以原点在圆外， ∴，解得且 故选：B. 8. 已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设，根据向量数量积的运算得到点的轨迹为圆，再根据直线与圆有公共点时圆心到直线的距离不大于半径，及点到直线的距离公式即可求出的取值范围． 【详解】设，由，， 则，， 则，即， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又直线上存在点，即该直线与圆有公共点， 即圆心到该直线的距离，即，即，解得， 所以的取值范围为． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，由此判断A，C选项；对于B，D选项，借助复数与共轭复数乘法运算和模长的运算计算出结果即可做出判断. 【详解】复数的虚部不为0，所以不能比较大小，所以A选项错误； 设，，则， ，则， 所以，B选项正确； 若，，当均不为0时，均为虚部不为0的复数，所以不能比较大小，C选项错误； 设，，则， 则， ，，， 所以，D选项正确. 故选：BD. 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则直线关于直线对称的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直线相互平行的充要条件为“交叉相乘再相减为0”，且不重合.直线相互垂直的充要条件为“对应相乘再相加为0”.直线不经过第四象限，可以先化为斜截式，判断斜率与截距求解.注意到时，直线与直线相互平行，则对称的直线方程可以根据直线之间的距离求解. 【详解】选项A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以， 故的充要条件是， A不正确； 选项B，若，则，解得，B正确； 选项C，若直线不经过第四象限，则解得，C正确； 选项D，若，则直线，即， 显然直线与直线平行， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则直线和到直线的距离相等， 则，解得， 所以时，直线关于直线对称的直线方程为，即，D正确． 11. 在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. 存在两点，使得 B. C. 与所成的最大角为 D. 直线与平面所成角为的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角、线面角的向量求法逐项判断即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， ， 由在线段上，得，则，， 由在线段上，得，则，， 对于A，当时，，即， 而，则，A正确； 对于B，，，， 则，B正确； 对于C，，， 当时，， 此时与所成的角为，C错误； 对于D，， 因为轴垂直平面， 所以可取平面的法向量为， 则 ，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角为的最大值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义代入公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为 ， 故答案为：. 13. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解. 【详解】当直线经过原点时，直线方程为：即，满足题意； 当直线不经过原点时，设直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为即； 综上所述，直线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的切线长的计算得出当最短时，四边形的面积最小，此时的长度是圆心到直线的距离，进而求解. 【详解】由题意有：圆，半径为， 所以四边形的面积为：， 当最小时，四边形的面积最小， 又点到直线的距离为：， 所以， 所以四边形的面积最小值为， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知点，点，为直线上一动点，求的最小值并求此时点坐标 【答案】（1）①；② （2）最小值为，此时点坐标为 【解析】 【分析】（1）先由两点坐标求斜率得直线方程，再求中点和垂直平分线斜率，推导垂直平分线方程； （2）通过对称点将同侧点的距离和转化为两点间线段长度求最小值，联立方程得对应点坐标. 【详解】（1）①已知，，所以， 代入点斜式方程得，化为一般式得； ②由中点坐标公式得的中点坐标：， 垂直平分线与垂直，故其斜率为， 代入点斜式方程得，化为一般式得. （2）设直线，则、在直线同侧， 设关于的对称点为，由对称性质可得： 直线与垂直，故，即， 的中点在上，故，即， 联立，解得，即, 由对称性质知，故， 当且仅当为与的交点时等号成立, ，即的最小值为； 直线的斜率，方程为，即， 联立，两式相减得，即，代入得， 故此时. 16. 在平面直角坐标系中，已知. （1）求的外接圆方程 （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）若圆与（1）中的外接圆关于直线对称．求圆的方程． 【答案】（1）（或） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入点的坐标，通过待定系数法求外接圆方程； （2）结合切线性质分情况求切线方程； （3）利用点关于直线对称的性质求对称圆方程即可. 【小问1详解】 设外接圆的一般方程为，将三点坐标分别代入： 代入得：①， 代入得：②，①-②得，解得， 代入②得，代入得：，解得， 故外接圆方程为， 或外接圆标准方程为. 【小问2详解】 设的圆心为， 先判断点与圆的位置关系：， 故在圆外，存在两条切线：①斜率不存在时，切线为，圆心到直线距离为 ，符合要求； ②斜率存在时，设切线方程为 ，整理为， 由圆心到切线距离等于半径得：，平方化简得， 解得，代入得切线方程， 综上，切线方程为和； 【小问3详解】 两圆对称则半径相等，故，仅需求关于直线的对称点， 设，由对称性质：线段与对称轴垂直，故，即； 又中点在对称轴上，代入得，联立解得， 即，因此圆的方程为. 17. 如图，在三棱柱中，平面，D为的中点．若，，，求： （1）直线与平面所成角的正弦值； （2）点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解； （2）利用点到平面距离的向量公式求解. 【小问1详解】 由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知， 所以点到平面的距离. 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）由向量的数量积为0，确定的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以，因为 ， 故平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 点是内一动点且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时， ， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角得余弦值为. 19. 已知圆过点，，且圆心在直线上，点在直线上运动． （1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程． （2）求的最小值． （3）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明直线的斜率为定值，并求出的斜率． 【答案】（1） （2） （3）证明：设直线与：交于，与：交于， 因为点是线段的中点，且在上，所以， 化简得，即， 直线的斜率为， 将代入得， 故直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意条件，光线反射的性质以及对称关系，求解方程即可； （2）将所求的最值转化为只含有一个变量的方程，利用二次函数的性质求解最小值； （3）先找出的表达式，转化为单一未知量，化简求解. 【小问1详解】 设圆心，由圆过，得，即， 又圆心在直线上，所以，故圆心为，半径， 故圆的方程为， 反射光线恰好平分圆的圆周，即反射光线所在直线经过圆心. 设点关于直线的对称点为， 则解得即. 反射光线所在直线经过和圆心，其斜率为， 所以反射光线所在直线方程为，即. 【小问2详解】 设，因为在直线上，所以， ， 将代入得， 当时，取得最小值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学10月份月考试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，若，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6 2. 对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 3. 已知复数满足，则在复平面内的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 空间四边形中，，，，点，分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线与线段AB相交，，，则直线斜率取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则直线关于直线对称的直线方程为 11. 在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. 存在两点，使得 B. C. 与所成的最大角为 D. 直线与平面所成角为的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在上的投影向量的坐标为__________. 13. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 14. 已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，， ①求边所在的直线方程； ②求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）已知点，点，为直线上一动点，求的最小值并求此时点坐标 16. 在平面直角坐标系中，已知. （1）求的外接圆方程 （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）若圆与（1）中的外接圆关于直线对称．求圆的方程． 17. 如图，在三棱柱中，平面，D为的中点．若，，，求： （1）直线与平面所成角的正弦值； （2）点到平面的距离． 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 19. 已知圆过点，，且圆心在直线上，点在直线上运动． （1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程． （2）求的最小值． （3）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明直线的斜率为定值，并求出的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $