勾股定理与全等三角形综合 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理与全等三角形综合 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 学习导航 先用全等找到相等的边或角，再确定直角三角形，利用勾股定理求长；遇到点的位置不确定时，分别作图并检查每种结果是否符合题意。 一、共顶点的等腰直角三角形 2 二、利用直角三角形全等求长 7 三、利用全等转化线段的和与差 12 四、等边三角形中的距离转移 18 五、A组 基础识别与计算 25 六、B组 条件转换与两步求解 31 七、C组 多条件与位置分类 38 八、D组 中考衔接 46 知识关系 寻找全等条件 → 写出对应边角 → 确定直角三角形 → 勾股计算 → 检查点的位置与所有可能结果 共顶点的等腰直角三角形：利用直角与等边找到全等；两个直角三角形：由斜边和直角边得到对应边；正方形中的45°角：两次全等转化线段和差；等边三角形：补一个等边三角形，再利用全等和勾股定理。 一、共顶点的等腰直角三角形 【先找对应，再用勾股】两个等腰直角三角形有共同顶点时，已知的两组相等边与两个直角常能给出SAS全等。关键不是把看似相同的边直接相等，而是先确定夹角相等，再按顶点顺序写出对应边、对应角。 【用全等找到直角边】原图里目标线段未必属于已知直角三角形。全等一方面把已知线段转成另一位置的线段，另一方面可把对应角转成新直角。新直角明确之后， 再用勾股定理。 【位置改变要重新辨角】点在线段内、越过一端或越过另一端，线段关系可能由和变差，相关角可能由锐角变补角。不能只搬用某一幅图中的长度关系。 【如】与都是等腰直角三角形，。点在的延长线上，点、在直线同侧，，。求。 由两个直角可得，结合、，得到（SAS）。于是，；又，所以。因此。原来分散在两处的、，通过全等成为同一个直角三角形的两条直角边。 例1、如图，与都是等腰直角三角形，，点在AB的延长线上，点、在直线的同侧。 已知，。 连接， 求的长。 【解析】由两个直角及点的位置，。 又、，故（SAS），得，。 ，所以。 在直角中，。 【解析图】例1 变式1-1、如图，与都是等腰直角三角形，，点在线段AB上，点、在直线的两侧。 已知，，点不与、重合。 连接， 求的周长。 【解析】由、及，得（SAS），所以，。 与在两侧，且各与成，故。 于是，所求周长为。 【解析图】变式1-1 变式1-2、如图，与都是等腰直角三角形，，点在BA的延长线上，点、在直线的两侧。 已知，。 连接， 求的长和的面积。 【解析】由、及，得（SAS），故，。 由及可得。 所以，。 【解析图】变式1-2 变式1-3、如图，与都是等腰直角三角形，，，。点在直线上且在线段外。 当在的延长线上时，点、在直线同侧； 当在的延长线上时，点、在直线两侧。求所有可能的长度。 变式1-3：点在的延长线上 变式1-3：点在的延长线上 【解析】分别考虑在外侧与外侧。 两种位置下，由、及，均有（SAS），所以。 由对应角及，均可得。 【解析图】变式1-3 在直角中，，所以。 若在的延长线上，则；若在的延长线上，则。 两种位置都符合题设，所以或。 【解析图】变式1-3 二、利用直角三角形全等求长 【HL的使用条件】比较两个直角三角形时，先说明直角所在顶点；若斜边及一条直角边分别相等，就可用HL判定全等。不能把两条直角边的位置认错。 【对应关系有时会交换方向】同一条水平线上的边，可能与另一个三角形的竖直边对应。全等给出这一新等长关系后，再过待求线段的端点作垂线，将高度差或高度和作为直角边。 【方程只来自具体图形】遇到边长未知，可用一个字母表示全等得到的两条相等边，再依据面积或勾股列式。若出现平方关系，可利用完全平方公式把它改写成“某个式子的平方等于一个数”，再直接开平方；最后检查长度与点的位置。 【如】点、、依次在同一直线上，，，、在同侧；，，。求。 直角与直角中，斜边、直角边，故两三角形全等（HL），从而。过作于，则， ，。在直角中，。 例2、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， ，。 求的长。 【解析】在与中，、，所以两三角形全等（HL），得。 过作于。 由四个直角，为长方形，故、。 于是，。 【解析图】例2 变式2-1、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线两侧， ，。 求的长。 【解析】由HL得，所以。 过作交直线于，有、。 因、在两侧，，所以。 【解析图】变式2-1 变式2-2、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， ，。 求的长。 【解析】由HL得。 设，因且在线段内部，。 过作于，得、。 ， 化简得，所以。 因为，故，。 【解析图】变式2-2 变式2-3、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， ， 四边形的面积为。 求的长。 【解析】由HL得。 设，由连接分成两个三角形，四边形面积为。 由，得。 因为，所以，。 过作于，则、，所以。 【解析图】变式2-3 三、利用全等转化线段的和与差 【两次全等各做一件事】正方形中遇到夹角为的两条线段，可把一段已知边长放到相邻边的延长线上。第一次全等把一条斜边和一个角对应过去；第二次全等把分散的两段长度集中成一个三角形的一条边。 【和差不能凭图背】辅助点在已知点外侧时，集中后的长度可能是和；辅助点落在两个点之间时，则要用差。第二次全等前，应根据角的大小确定辅助点处在何处。 【最后回到勾股】当集中出的线段是某直角三角形的斜边时，写出两直角边及斜边的实际长度。平方项相消后常得到一次方程，但必须保留原边长的范围检查。 【如】正方形中，点、分别在边、上，，，。求。 延长到，使。由、两个直角及，得（SAS），所以、。又，故。结合公共边，得（SAS），于是。若还要求正方形边长，可把放入直角继续用勾股定理。 例3、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，且。 已知，。 求与的长。 【解析】在射线上取点，使，且在外侧。 由、及两个直角，得（SAS），所以、。 由及，得。 再由SAS得，故。 设，则、、。 在中，，解得，所以、。 【解析图】例3 变式3-1、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，且。 已知，。 求的周长。 【解析】在射线上取点，使，且在外侧。 由、及两个直角，得（SAS），所以、。 由及，得。 再由SAS得，故。 设，由，得，故。 ， 。 因此周长为。 【解析图】变式3-1 变式3-2、如图， 正方形中， 点、 分别在边、上，且均不与顶点重合。 连接、、，。 已知，， 求正方形的边长。 【解析】在射线上取点，使，且在外侧。 由、及两个直角，得（SAS），所以、。 由及，得。 再由SAS得，故。 由、得。 设正方形边长为，则。 在直角中，，所以。 取正平方根得，故边长为。 【解析图】变式3-2 变式3-3、如图， 正方形中， 。点在的延长线上，；点在的延长线上，。 连接， 求与的长。 【解析】在射线上取点，使。 由、及两个直角，得（SAS）。 所以、。 又，得，所以在线段内，。 再由SAS得，故。 设，则、、。 由，得，符合。 故。 【解析图】变式3-3 四、等边三角形中的距离转移 【用等边三角形提供两组等边与夹角】在已知线段的一侧作等边三角形，可以增加一组相等边和一个角。结合原等边三角形的边角，用SAS把内部点到两个顶点的距离转移到同一个三角形中，再判断能否使用勾股定理或其逆定理。 【30度直角三角形性质的依据】设、。延长到，使。由SAS，，故且，于是为等边三角形。因此；另一条直角边可用勾股求出。 【反向也可这样证明】若直角三角形中，仍按上述方法取。全等给出，而，故为等边三角形，得到。 【内部点带来的角范围】若在等边内部，则、，故。遇到垂足位置的两个分支，可用这一范围排除不符合内部位置的结果。 【如】点在等边内部，，，。求。 在上作等边，使、在两侧。由于、，且，故（SAS），得到、。图中射线在内部，，所以。又，由勾股定理得。 例4、如图，为等边三角形，点在其内部。 ，，。 求的长。 【解析】在的与相反的一侧作等边，连接。 因为、，且， 所以（SAS），得。 又。 、、，由勾股逆定理，。 ，结合位置得。 过作，垂足在射线上且在外侧。 中，所以，由勾股定理。 ，于是。 故。 【解析图】例4 变式4-1、如图，为等边三角形，点在其内部。 已知，，的面积为。 求的长。 【解析】过作，垂足为。 由，得。 因为，由本节已证明的直角三角形性质，。 若在射线上，则。 但在等边内部，且，因此，矛盾。 所以在与相反的射线上，。 【解析图】变式4-1 在的与相反的一侧作等边，连接。 因为、，且， 所以（SAS），得。 又。 由全等得。 又，结合位置得。 故。 【解析图】变式4-1 变式4-2、如图，为等边三角形，点在其内部，。 已知，， 求的长。 【解析】取的中点，连接、。 由、及为公共边，得（SSS），所以。 同理，由可得。 过只有一条直线垂直于，所以、、共线； 因在三角形内部，在线段上。 在直角中，、，所以。 由得。 在直角中，，故。 【解析图】变式4-2 变式4-3、如图，为等边三角形，点在其内部。 ，，。过作，垂足为。 求的长。 【解析】在的与相反的一侧作等边，连接。 因为、，且， 所以（SAS），得。 又。 由得，因此， 由全等得。 【解析图】变式4-3 过作，垂足在射线上且在外侧。 则，所以，。 由，得。 ，所以。 【解析图】变式4-3 五、A组 基础识别与计算 A1、如图，与都是等腰直角三角形，，点在AB的延长线上，点、在直线的同侧。 连接。若、，则的长为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】由、及，得（SAS），所以。 由对应角和，可得。 ，故，选C。 【解析图】A1 A2、如图，与都是等腰直角三角形，，点在线段AB上，点、在直线的两侧。 连接。不与、重合。 已知、，的长为________。 【解析】由、及，得（SAS），所以。 由对应角和，可得。 ，所以，。 【解析图】A2 A3、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， 、。 则的长为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】在直角与中，由、，得两三角形全等（HL），所以。 过作，垂足为，由长方形的边长关系，、。 ，所以，选B。 【解析图】A3 A4、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， 、。的值为________。 【解析】在直角中，。 在直角与中，由、，得两三角形全等（HL），所以。 过作，垂足为，由长方形的边长关系，、。 ，所以，故。 【解析图】A4 A5、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，。 已知、。 求的长。 【解析】在射线上取点，使，且在外侧。 由、及两个直角，得（SAS），所以、。 由及，得。 再由SAS得，故。 设，则、、。 由，得，所以。 【解析图】A5 A6、如图，为等边三角形，点在其内部。 、、。则的度数为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】在的与相反的一侧作等边，连接。 因为、，且， 所以（SAS），得。 又。 、、，由逆定理得。 结合和点的位置，得， 由全等得到，选D。 【解析图】A6 六、B组 条件转换与两步求解 B1、如图，与都是等腰直角三角形，，点在线段AB上，点、在直线的两侧。 连接。不与、重合。 已知、， 求的长。 【解析】由、及，得（SAS），所以。 由对应角和，可得。 设，则且。 由，得，所以。 因为，，故，。 【解析图】B1 B2、如图，与都是等腰直角三角形，，点在BA的延长线上，点、在直线的两侧。 连接。 已知、， 求的长。 【解析】由、及，得（SAS），所以。 由对应角和，可得。 ，故、。 ，所以。 【解析图】B2 B3、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， 、。 求和的长。 【解析】在直角与中，由、，得两三角形全等（HL），所以。 过作，垂足为，由长方形的边长关系，、。 因且在线段内部，，故。 由，得，所以。 在直角中，。 【解析图】B3 B4、如图， 正方形的边长为。点在的延长线上，点在的延长线上，，。 连接， 求和的长。 【解析】在射线上取点，使。 由及两个直角，得（SAS），所以、。 由可得。 再由SAS得，所以。 设，则、、。 由，得。 因此，。 【解析图】B4 B5、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，。 已知、， 求、所有可能的长度。 【解析】在射线上取点，使，且在外侧。 由、及两个直角，得（SAS），所以、。 由及，得。 再由SAS得，故。 【解析图】B5 设、，则。 由，得，所以。 因此，即或。 结合，得或。 两组都在边上，均符合条件。 【解析图】B5 B6、如图，为等边三角形，点在其内部。 、、。 求的长和的面积。 【解析】在的与相反的一侧作等边，连接。 因为、，且， 所以（SAS），得。 又。 由全等得，结合，有。 故。 【解析图】B6 过作，垂足在射线上且在外侧。 ，故。 于是。 【解析图】B6 七、C组 多条件与位置分类 C1、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，。，的面积为。 求正方形的边长，并求、所有可能的长度。 【解析】在射线上取点，使，且在外侧。 由、及两个直角，得（SAS），所以、。 由及，得。 再由SAS得，故。 【解析图】C1 设、。 由面积得，由勾股得，故，即。 设边长为，则。 由得。 又，所以或。 结合，得或，对应或，均符合位置条件。 【解析图】C1 C2、如图， 正方形的边长为。点在边上，；点在边上，且不与端点重合。 连接、、， 已知。 求的长和的度数。 【解析】设，则、、。 在直角中，， 化简得，所以，符合。 在射线上取点，使，且在外侧。 由、及两个直角，得（SAS），所以、。 于是。 又，且为公共边，所以（SSS），得。 射线在内部，两角的和为，因此。 【解析图】C2 C3、如图，为等边三角形，点在其内部。 ，，。 求、所有可能的长度，并求的长。 【解析】在的与相反的一侧作等边，连接。 因为、，且， 所以（SAS），得。 又。 由全等得，从而。 设、，则，。 所以，。 故或，结合得或。 【解析图】C3 过作，垂足在射线上且在外侧。 有，。 故。 【解析图】C3 两组边长互换时，的两个底角均小于， 所以将它放在等边内部均可实现。 故两组都保留，。 【解析图】C3 C4、如图，与都是等腰直角三角形，，点在AB的延长线上，点、在直线的同侧。 连接。，的面积为。 求、所有可能的长度， 并求。 【解析】由、及，得（SAS），所以。 由对应角和，可得。 设、。 由面积得，由勾股得。 故，，所以，或。 解得或。 由于，两组均符合在外侧，且。 【解析图】C4 C5、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， ， 四边形的周长为。 求、的长。 【解析】在直角与中，由、，得两三角形全等（HL），所以。 过作，垂足为，由长方形的边长关系，、。 设、。 因为在线段内部，。 周长给出，即。 ，由， 化简得，所以。 于是或，得或。 若，则，符合；若，则，不符合的位置，舍去。 因此、。 【解析图】C5 C6、如图，点、、依次在一条直线上，，，，。、。点、可能在直线同侧，也可能在两侧。求所有可能的长度，并分别求的面积。 C6：点、在直线同侧 C6：点、在直线两侧 【解析】在直角与中，由、，得两三角形全等（HL），所以。 过作，垂足为，由长方形的边长关系，、。 设，由且在线段内部，有。 若、同侧，则，由，得，所以。 因为，有，故。 【解析图】C6 若、在两侧，则，由，得，所以。 因为，有，故。 两者均符合。 以为底，的高为，故面积为。 所以时面积为；时面积为。 【解析图】C6 八、D组 中考衔接 一、中考真题 D1、（2025·江苏南京·第15题·2分）如图，点、在矩形内，。若，， ，则的长为________。 【解析】在直角中，。 过作于，设，则。 由勾股定理，，。 两式相减得，故，从而、。 过作于。 由，得、，所以（AAS）。 故、。 过作，垂足在的延长线上。 由长方形的对边关系，，。 于是。 【解析图】D1 D2、（2026·安徽·第6题·4分）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与、相交于点、。若，则（　）。 A． B． C． D． 【解析】由、，得。 又，故直角与直角有斜边、公共直角边，两三角形全等（HL）。 所以。 直角中，，故。 由、得。 在直角中，。 由勾股定理，，即，解得。 因，所以，选A。 【解析图】D2 二、中考题型训练 以下为原创训练题，不是真实中考试题。 D3、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，与都是等腰直角三角形，，点在的延长线上，点、在直线的同侧。 连接。 已知，。 （1）求的长； （2）求的长与的面积。 【解析】由两个直角及点的位置，。 又、，所以（SAS）。 因此，，从而。 设，则，。 在直角中，。 又，且为等腰直角三角形，所以。 在直角中，。 比较得，所以。 因此，。 以为底，点到直线的距离为，故。 【解析图】D3 D4、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧。 连接、、， 且。 已知。 （1）求、的长； （2）求四边形的面积。 【解析】在直角与直角中，、，所以两三角形全等（HL），得。 因此直角为等腰直角三角形，。 由得。 在直角中，；又，故。 设。 过作，垂足为。 四边形为长方形，所以、。 而，故。 由勾股定理，，得，所以。 因此、。 连接，四边形面积为两三角形面积之和：。 【解析图】D4 D5、（原创中考题型训练（非中考真题））如图， 正方形中， 点、 分别在边、上， 均不与顶点重合。 连接、、，且。过作，垂足为。 已知，。 （1）求的长； （2）求的值。 【解析】在射线上取点，使且在外侧。 由、及两个直角，得（SAS），所以、。 由，得。 再由SAS得，所以，且两三角形面积相等。 点在上，，所以。 由得。 设、。 由得。 在直角中，。 整理得。 分别在直角、中使用勾股定理，得。 【解析图】D5 D6、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，为等边三角形，点在其内部，连接、、。 已知，， 。 求的度数及的长。 【解析】在的与相反的一侧作等边，连接。 由、及，得（SAS）。 因此、，且。 先说明图中角的关系。 设、。 因为在等边三角形内部，、，故。 射线、均在内部，所以与在直线同侧。 又，故射线在内部，得到。 【解析图】D6 过作，垂足为。 若在的延长线上，则，与矛盾；若在的延长线上，则，与矛盾。 因此在线段上。 设，两次使用勾股定理，得、。 两式相减得，所以。 因为，由直角三角形中一边等于斜边一半的性质，得，从而。 因此。 【解析图】D6 过作，垂足为。 由于，在射线上且位于外侧，。 于是，，。 故，所以。 【解析图】D6 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理与全等三角形综合 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 学习导航 先用全等找到相等的边或角，再确定直角三角形，利用勾股定理求长；遇到点的位置不确定时，分别作图并检查每种结果是否符合题意。 一、共顶点的等腰直角三角形 2 二、利用直角三角形全等求长 5 三、利用全等转化线段的和与差 8 四、等边三角形中的距离转移 11 五、A组 基础识别与计算 14 六、B组 条件转换与两步求解 17 七、C组 多条件与位置分类 20 八、D组 中考衔接 24 知识关系 寻找全等条件 → 写出对应边角 → 确定直角三角形 → 勾股计算 → 检查点的位置与所有可能结果 共顶点的等腰直角三角形：利用直角与等边找到全等；两个直角三角形：由斜边和直角边得到对应边；正方形中的45°角：两次全等转化线段和差；等边三角形：补一个等边三角形，再利用全等和勾股定理。 一、共顶点的等腰直角三角形 【先找对应，再用勾股】两个等腰直角三角形有共同顶点时，已知的两组相等边与两个直角常能给出SAS全等。关键不是把看似相同的边直接相等，而是先确定夹角相等，再按顶点顺序写出对应边、对应角。 【用全等找到直角边】原图里目标线段未必属于已知直角三角形。全等一方面把已知线段转成另一位置的线段，另一方面可把对应角转成新直角。新直角明确之后， 再用勾股定理。 【位置改变要重新辨角】点在线段内、越过一端或越过另一端，线段关系可能由和变差，相关角可能由锐角变补角。不能只搬用某一幅图中的长度关系。 【如】与都是等腰直角三角形，。点在的延长线上，点、在直线同侧，，。求。 由两个直角可得，结合、，得到（SAS）。于是，；又，所以。因此。原来分散在两处的、，通过全等成为同一个直角三角形的两条直角边。 例1、如图，与都是等腰直角三角形，，点在AB的延长线上，点、在直线的同侧。 已知，。 连接， 求的长。 变式1-1、如图，与都是等腰直角三角形，，点在线段AB上，点、在直线的两侧。 已知，，点不与、重合。 连接， 求的周长。 变式1-2、如图，与都是等腰直角三角形，，点在BA的延长线上，点、在直线的两侧。 已知，。 连接， 求的长和的面积。 变式1-3、如图，与都是等腰直角三角形，，，。点在直线上且在线段外。 当在的延长线上时，点、在直线同侧； 当在的延长线上时，点、在直线两侧。求所有可能的长度。 变式1-3：点在的延长线上 变式1-3：点在的延长线上 二、利用直角三角形全等求长 【HL的使用条件】比较两个直角三角形时，先说明直角所在顶点；若斜边及一条直角边分别相等，就可用HL判定全等。不能把两条直角边的位置认错。 【对应关系有时会交换方向】同一条水平线上的边，可能与另一个三角形的竖直边对应。全等给出这一新等长关系后，再过待求线段的端点作垂线，将高度差或高度和作为直角边。 【方程只来自具体图形】遇到边长未知，可用一个字母表示全等得到的两条相等边，再依据面积或勾股列式。若出现平方关系，可利用完全平方公式把它改写成“某个式子的平方等于一个数”，再直接开平方；最后检查长度与点的位置。 【如】点、、依次在同一直线上，，，、在同侧；，，。求。 直角与直角中，斜边、直角边，故两三角形全等（HL），从而。过作于，则， ，。在直角中，。 例2、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， ，。 求的长。 变式2-1、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线两侧， ，。 求的长。 变式2-2、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， ，。 求的长。 变式2-3、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， ， 四边形的面积为。 求的长。 三、利用全等转化线段的和与差 【两次全等各做一件事】正方形中遇到夹角为的两条线段，可把一段已知边长放到相邻边的延长线上。第一次全等把一条斜边和一个角对应过去；第二次全等把分散的两段长度集中成一个三角形的一条边。 【和差不能凭图背】辅助点在已知点外侧时，集中后的长度可能是和；辅助点落在两个点之间时，则要用差。第二次全等前，应根据角的大小确定辅助点处在何处。 【最后回到勾股】当集中出的线段是某直角三角形的斜边时，写出两直角边及斜边的实际长度。平方项相消后常得到一次方程，但必须保留原边长的范围检查。 【如】正方形中，点、分别在边、上，，，。求。 延长到，使。由、两个直角及，得（SAS），所以、。又，故。结合公共边，得（SAS），于是。若还要求正方形边长，可把放入直角继续用勾股定理。 例3、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，且。 已知，。 求与的长。 变式3-1、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，且。 已知，。 求的周长。 变式3-2、如图， 正方形中， 点、 分别在边、上，且均不与顶点重合。 连接、、，。 已知，， 求正方形的边长。 变式3-3、如图， 正方形中， 。点在的延长线上，；点在的延长线上，。 连接， 求与的长。 四、等边三角形中的距离转移 【用等边三角形提供两组等边与夹角】在已知线段的一侧作等边三角形，可以增加一组相等边和一个角。结合原等边三角形的边角，用SAS把内部点到两个顶点的距离转移到同一个三角形中，再判断能否使用勾股定理或其逆定理。 【30度直角三角形性质的依据】设、。延长到，使。由SAS，，故且，于是为等边三角形。因此；另一条直角边可用勾股求出。 【反向也可这样证明】若直角三角形中，仍按上述方法取。全等给出，而，故为等边三角形，得到。 【内部点带来的角范围】若在等边内部，则、，故。遇到垂足位置的两个分支，可用这一范围排除不符合内部位置的结果。 【如】点在等边内部，，，。求。 在上作等边，使、在两侧。由于、，且，故（SAS），得到、。图中射线在内部，，所以。又，由勾股定理得。 例4、如图，为等边三角形，点在其内部。 ，，。 求的长。 变式4-1、如图，为等边三角形，点在其内部。 已知，，的面积为。 求的长。 变式4-2、如图，为等边三角形，点在其内部，。 已知，， 求的长。 变式4-3、如图，为等边三角形，点在其内部。 ，，。过作，垂足为。 求的长。 五、A组 基础识别与计算 A1、如图，与都是等腰直角三角形，，点在AB的延长线上，点、在直线的同侧。 连接。若、，则的长为（ ）。 A． B． C． D． A2、如图，与都是等腰直角三角形，，点在线段AB上，点、在直线的两侧。 连接。不与、重合。 已知、，的长为________。 A3、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， 、。 则的长为（ ）。 A． B． C． D． A4、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， 、。的值为________。 A5、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，。 已知、。 求的长。 A6、如图，为等边三角形，点在其内部。 、、。则的度数为（ ）。 A． B． C． D． 六、B组 条件转换与两步求解 B1、如图，与都是等腰直角三角形，，点在线段AB上，点、在直线的两侧。 连接。不与、重合。 已知、， 求的长。 B2、如图，与都是等腰直角三角形，，点在BA的延长线上，点、在直线的两侧。 连接。 已知、， 求的长。 B3、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， 、。 求和的长。 B4、如图， 正方形的边长为。点在的延长线上，点在的延长线上，，。 连接， 求和的长。 B5、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，。 已知、， 求、所有可能的长度。 B6、如图，为等边三角形，点在其内部。 、、。 求的长和的面积。 七、C组 多条件与位置分类 C1、如图， 正方形中， 点在边上，点在边上，连接、、，。，的面积为。 求正方形的边长，并求、所有可能的长度。 C2、如图， 正方形的边长为。点在边上，；点在边上，且不与端点重合。 连接、、， 已知。 求的长和的度数。 C3、如图，为等边三角形，点在其内部。 ，，。 求、所有可能的长度，并求的长。 C4、如图，与都是等腰直角三角形，，点在AB的延长线上，点、在直线的同侧。 连接。，的面积为。 求、所有可能的长度， 并求。 C5、如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧， ， 四边形的周长为。 求、的长。 C6、如图，点、、依次在一条直线上，，，，。、。点、可能在直线同侧，也可能在两侧。求所有可能的长度，并分别求的面积。 C6：点、在直线同侧 C6：点、在直线两侧 八、D组 中考衔接 一、中考真题 D1、（2025·江苏南京·第15题·2分）如图，点、在矩形内，。若，， ，则的长为________。 D2、（2026·安徽·第6题·4分）两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与、相交于点、。若，则（　）。 A． B． C． D． 二、中考题型训练 以下为原创训练题，不是真实中考试题。 D3、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，与都是等腰直角三角形，，点在的延长线上，点、在直线的同侧。 连接。 已知，。 （1）求的长； （2）求的长与的面积。 D4、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，点、、依次在一条直线上，， ，， 。 点、在直线同侧。 连接、、， 且。 已知。 （1）求、的长； （2）求四边形的面积。 D5、（原创中考题型训练（非中考真题））如图， 正方形中， 点、 分别在边、上， 均不与顶点重合。 连接、、，且。过作，垂足为。 已知，。 （1）求的长； （2）求的值。 D6、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，为等边三角形，点在其内部，连接、、。 已知，， 。 求的度数及的长。 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