专题三· 期中综合复习· 满分压轴讲义（三角形实数勾股定理） ·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（三角形实数勾股定理） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用角平分线、垂直平分线、全等三角形与旋转等知识解决压轴探究题 · 掌握新定义型问题（智慧三角形、周长平分线等）的转化方法与分类讨论思想 · 能处理折叠、旋转、动点背景下的线段最值与存在性问题，做到推理严谨 · 把实数估算、平方根立方根运算与几何综合题结合，灵活运用数形结合思想 · 提升综合解答题的规范书写，掌握辅助线构造（倍长中线、旋转、作垂线）的策略 📚 知识梳理 ☆ 1.全等与旋转综合 旋转性质：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应角相等 旋转构造全等：把分散条件通过旋转集中，证明三角形全等转移线段 多结论判断题：逐条转化为代数或几何关系验证，注意排除干扰结论 动点轨迹：通过全等确定动点运动路径（射线/直线），再求最值 概念辨析例题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，D 为 AC 上一点，将 △BCD 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到 △ACE，若 BC=6，求 AE 的长。 答案：3 解析：旋转得 △BCD≌△ACE，AE=BD，∠ACE=∠BCD=90°，且 ∠CAE=∠CBD=30°。在 Rt△ABC 中，∠B=30°，BC=6，则 AC=BC·tan30°=2…由旋转前后对应边关系可求 AE。 ☆ 2.角平分线与线段最值 角平分线性质：到角两边距离相等，常作垂线构造等距关系 垂线段最短：点到直线所有连线中垂线段最短，用于动点最值 内心到三边距离相等：面积法 S=·周长·r 求内切圆半径 角平分线+垂直平分线联合：同时用两种性质转移线段 概念辨析例题：点 M 在 ∠AOB 的平分线上，点 M 到边 OA 的距离为 3，点 N 是边 OB 上任意一点，则 MN 的最小值是（　　） 答案：3 解析：角平分线上的点到两边距离相等，点 M 到 OB 的距离也为 3；N 在 OB 上，垂线段最短，故 MN≥3，最小值为 3。 ☆ 3.勾股定理与折叠最值 折叠：折叠前后全等，对应边相等，设未知数在直角三角形列勾股方程 最短路径：作对称点化折为直，两点间线段最短，再用勾股计算 代数式最小值：+ 构造成两线段和最短 智慧三角形等新定义：理解定义，转化为直角三角形中线、勾股关系 概念辨析例题：求代数式 + 的最小值。 答案：5 解析：构造直角三角形： 可看作两直角边为 x、1 的斜边， 可看作两直角边为 4-x、2 的斜边，问题转化为求两线段和最小，作对称点后由勾股定理得最小值为 =5。 ☆ 4.实数综合与新定义 无理数整数部分与小数部分：夹逼法确定整数部分，小数部分=无理数-整数部分 新定义运算：按定义规则列式，转化为熟悉的估算、平方根问题 完全平方公式估算近似值：忽略微小项，比较平方接近程度判精确度 数轴绝对值：|a-b| 表示 a、b 两点间距离，用几何意义求最值 概念辨析例题：已知 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2+b2+2ab 的值。 答案：7 解析：因为 4<7<9，所以 2<<3，a=2，b=。则 a2+b2+2ab=(a+b)2=(2+=(=7。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 旋转全等 旋转前后图形全等 对应边、对应角准确找 垂线段最短 点到直线垂线段最短 用于动点最值 内心 到三边距离相等 面积法 S=·周长·r 折叠 折叠前后全等 设未知数列勾股方程 最短路径 对称化折为直 勾股计算具体长度 无理数小数部分 小数部分=数-整数部分 夹逼法定整数部分 ⚠️ 核心考点 【考点1】角平分线的性质与应用 · 角平分线点到两边距离相等，作垂线构造等距关系求面积、线段 · 面积法：S=×周长×r（r 为内心到边距离）快速求周长 · 角平分线+中线：先用中线求面积，再用角平分线性质求边长 · 与三角形面积、周长结合，注意等高三角形面积比=底边比 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为70，，，则的长为（    ） A．10 B．3 C．6 D．5 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）点M在的平分线上，点M到边的距离等于3，点N是边上的任意一点，则下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，是角平分线，，则的长为______． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为_______． 【考点2】线段垂直平分线与尺规作图 · 垂直平分线点到两端距离相等，转移线段集中求周长 · 尺规作图三种基本作图：垂直平分线、角平分线、垂线，熟记作图步骤 · 判断尺规作法正误：看是否符合各作图的弧线交点特征 · 垂直平分线+折叠：折痕即垂直平分线，对应点关于折痕对称 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是__________． 【考点3】全等三角形的判定与性质 · 综合证明先找隐含条件，SSS/SAS/ASA/AAS/HL 择优选择 · 直角+垂直模型（一线三垂直）常证 AAS/HL 全等 · 全等转移线段角，为等腰、垂直、面积等结论服务 · 推理填空补全依据：平行线性质、对顶角、全等性质准确填写 10．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，四边形是长方形，，垂足为，且，交于点，连接．若，，则的面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．12 11．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：； ； ； ，其中正确的是：（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 13．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知：如图，点C、D在上，且，，．求证：．    14．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，，，求证：．请将下面的推理过程及依据补充完整． 证明：， （________） 在与中，，（________） ，． （________） （________） 在与中，，，（________） （________） 15．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，，，．求证：． 16．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在中，于点． (1)过顶点画出的高线； (2)若交于，当时，求证：． 17．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图1，在中，，点是边上一点（不与点，重合），以为边在的右侧作，使，，连接．设，．    (1)求证：； (2)探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)若，求证：． 18．（23-24九年级上·北京密云·期末）如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、. (1)依据题意，补全图形； (2)直接写出的度数； (3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 【考点4】全等综合与旋转探究 · 旋转构造全等：将分散线段通过旋转集中，证全等转移 · 动点轨迹：证全等确定动点沿定直线运动，垂线段最短求最值 · 新定义（智慧三角形、周长平分线、底余等腰）：先翻译定义再建模 · 多结论问题逐条验证，注意排除法，分类讨论不重不漏 19．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，设，，且是定值．点是上一点，点为中点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则度数为（   ）    A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，中，垂直的角平分线于为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ）    A．18 B．16 C．15 D．12 22．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在三角形中，，，，那么______．（结果保留根号） 23．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是______； （2）若，且，则______． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）； (2)如图，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． 请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 求证：． (3)如图，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接，若，，请直接写出的长． 25．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______． 26．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【新知学习】 如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【概念理解】 （1）下列三个三角形，是智慧三角形的是______（填序号）； 【灵活应用】 （2）如图，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； 【深入探究】 （3）如图，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为______时，为“智慧三角形”． 27．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）【问题情景】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （）由已知和作图能得到，其依据是________，请选择正确的一项． ．    ．    ．    ． （）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 【初步运用】 （）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）如图，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： ①  ②  ③  ④ 所有正确选项的序号是________． 【考点5】平方根、立方根与实数运算 · 平方根解方程有 ±，立方根解方程唯一，注意系数先化简 · 混合计算：绝对值、算术平方根、立方根逐项化简再合并 · 完全平方公式估算近似值：忽略微小项比较精确度 · 实数的绝对值、大小比较、数轴表示综合运用 28．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 29．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 30．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 31．（2025七年级上·北京·专题练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 【考点6】三角形三边关系与中线 · 三边关系求范围：|a-b|<c<a+b，结合整数条件枚举 · 倍长中线构造全等，转移边后用三边关系求中线范围 · 中线平分面积，等高三角形面积比=底边比 · 三角形周长问题用线段转化化简 32．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段检测）在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 33．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为边的中线，的周长比的周长大，，则___________． 34．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【考点7】勾股定理与折叠 · 折叠前后全等，对应边相等，设未知数列勾股方程 · 折痕为对应点连线垂直平分线，利用对称性质 · 双折叠问题：逐步利用折叠对应关系建立方程组 · 勾股+等边对等角+外角：角度与边长互相推导 35．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，四边形是长方形，连接，点在边上，将沿着翻折，的对应边落在对角线上，将沿着翻折，点的对应点恰好与点重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 36．（2023·重庆长寿·中考真题）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点是上的点，若，，则的值为______．    38．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点A与点E重合，则的长为______． 39．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点D与B重合，折痕为．若，，则长为________． 40．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，点在边上，点和在边上，且，当_____时，的最小值是13． 【考点8】勾股定理的应用与最值 · 实际应用（折断树、云梯、旗杆、信号）：构造直角三角形列式 · 正方形面积=边2，勾股定理得斜边平方=两直角边平方和 · 代数式最值：构造成两斜边和，三点共线时最小，勾股求解 · 动点最值：垂线段最短+勾股，注意分类讨论 41．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（　  　） A．1+ B．1+ C． D． 42．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的边长是____． 43．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，的面积为15，则的周长的最小值为________． 44．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 45．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先整体读题，把每问条件标注在图上，利用前问结论推后问 · 旋转、折叠、对称都抓住“对应相等”，设未知数列方程是通用方法 · 新定义题先花时间理解定义，把新概念翻译成熟悉的数学模型 · 最值问题优先考虑垂线段最短、两点间线段最短两种基本模型 · 书写压轴题保持“先证明再计算”，辅助线、依据写清楚，步骤完整 【作业1】．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在，，，，…（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业2】．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段检测）无理数的大小在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【作业3】．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，且，是两个连续的整数，则的平方根是（    ） A．3 B． C．4 D． 【作业4】．（22-23七年级上·山东滨州·期末）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【作业5】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【作业6】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若，，则___________（填“”、“”或“”）． 【作业7】．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O沿逆时针方向旋转得到线段，则此时点的坐标为______． 【作业8】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）______，比较大小：______． 【作业9】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是_________． 【作业10】．（23-24八年级上·河南郑州·期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为______． 【作业11】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）在和中，，，且．若，点D在边上运动，则周长的最小值为______．    【作业12】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）求x的值：． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长可升降伸缩的云梯，最多可伸长至20，如图，云梯斜靠在一面墙上，墙面垂直地面，即，这时云梯长，底端距墙脚的距离． (1)求这架云梯顶端距地面的距离的高度？ (2)消防员接到命令，云梯底端不动，要求将云梯伸长，使顶端上升到距点的处，云梯的长度是否足够消防员到达处？请说明理由． 【作业15】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（三角形实数勾股定理） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 综合运用角平分线、垂直平分线、全等三角形与旋转等知识解决压轴探究题 · 掌握新定义型问题（智慧三角形、周长平分线等）的转化方法与分类讨论思想 · 能处理折叠、旋转、动点背景下的线段最值与存在性问题，做到推理严谨 · 把实数估算、平方根立方根运算与几何综合题结合，灵活运用数形结合思想 · 提升综合解答题的规范书写，掌握辅助线构造（倍长中线、旋转、作垂线）的策略 📚 知识梳理 ☆ 1.全等与旋转综合 旋转性质：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应角相等 旋转构造全等：把分散条件通过旋转集中，证明三角形全等转移线段 多结论判断题：逐条转化为代数或几何关系验证，注意排除干扰结论 动点轨迹：通过全等确定动点运动路径（射线/直线），再求最值 概念辨析例题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，D 为 AC 上一点，将 △BCD 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到 △ACE，若 BC=6，求 AE 的长。 答案：3 解析：旋转得 △BCD≌△ACE，AE=BD，∠ACE=∠BCD=90°，且 ∠CAE=∠CBD=30°。在 Rt△ABC 中，∠B=30°，BC=6，则 AC=BC·tan30°=2…由旋转前后对应边关系可求 AE。 ☆ 2.角平分线与线段最值 角平分线性质：到角两边距离相等，常作垂线构造等距关系 垂线段最短：点到直线所有连线中垂线段最短，用于动点最值 内心到三边距离相等：面积法 S=·周长·r 求内切圆半径 角平分线+垂直平分线联合：同时用两种性质转移线段 概念辨析例题：点 M 在 ∠AOB 的平分线上，点 M 到边 OA 的距离为 3，点 N 是边 OB 上任意一点，则 MN 的最小值是（　　） 答案：3 解析：角平分线上的点到两边距离相等，点 M 到 OB 的距离也为 3；N 在 OB 上，垂线段最短，故 MN≥3，最小值为 3。 ☆ 3.勾股定理与折叠最值 折叠：折叠前后全等，对应边相等，设未知数在直角三角形列勾股方程 最短路径：作对称点化折为直，两点间线段最短，再用勾股计算 代数式最小值：+ 构造成两线段和最短 智慧三角形等新定义：理解定义，转化为直角三角形中线、勾股关系 概念辨析例题：求代数式 + 的最小值。 答案：5 解析：构造直角三角形： 可看作两直角边为 x、1 的斜边， 可看作两直角边为 4-x、2 的斜边，问题转化为求两线段和最小，作对称点后由勾股定理得最小值为 =5。 ☆ 4.实数综合与新定义 无理数整数部分与小数部分：夹逼法确定整数部分，小数部分=无理数-整数部分 新定义运算：按定义规则列式，转化为熟悉的估算、平方根问题 完全平方公式估算近似值：忽略微小项，比较平方接近程度判精确度 数轴绝对值：|a-b| 表示 a、b 两点间距离，用几何意义求最值 概念辨析例题：已知 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2+b2+2ab 的值。 答案：7 解析：因为 4<7<9，所以 2<<3，a=2，b=。则 a2+b2+2ab=(a+b)2=(2+=(=7。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 旋转全等 旋转前后图形全等 对应边、对应角准确找 垂线段最短 点到直线垂线段最短 用于动点最值 内心 到三边距离相等 面积法 S=·周长·r 折叠 折叠前后全等 设未知数列勾股方程 最短路径 对称化折为直 勾股计算具体长度 无理数小数部分 小数部分=数-整数部分 夹逼法定整数部分 ⚠️ 核心考点 【考点1】角平分线的性质与应用 · 角平分线点到两边距离相等，作垂线构造等距关系求面积、线段 · 面积法：S=×周长×r（r 为内心到边距离）快速求周长 · 角平分线+中线：先用中线求面积，再用角平分线性质求边长 · 与三角形面积、周长结合，注意等高三角形面积比=底边比 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，的面积为70，，，则的长为（    ） A．10 B．3 C．6 D．5 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，， ， ， ， ， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）点M在的平分线上，点M到边的距离等于3，点N是边上的任意一点，则下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】该题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离，均为3；再根据垂线段最短，点到上任意一点的距离不小于该距离． 【详解】解：∵在的平分线上，且到的距离为3， ∴到的距离为3（角平分线上的点到角两边距离相等）． ∵是上的任意一点， ∴（垂线段最短）． 故选：B． 3．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、角平分线的性质定理 【分析】根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴可能的值10， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，是角平分线，，则的长为______． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点D作，垂足分别为点E，F，设点A到的距离为h，先根据角平分线的性质得到，则利用三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点E，F，设点A到的距离为h， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在四边形中，平分，则面积的最大值为_______． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键． 延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当G点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故答案为：． 【考点2】线段垂直平分线与尺规作图 · 垂直平分线点到两端距离相等，转移线段集中求周长 · 尺规作图三种基本作图：垂直平分线、角平分线、垂线，熟记作图步骤 · 判断尺规作法正误：看是否符合各作图的弧线交点特征 · 垂直平分线+折叠：折痕即垂直平分线，对应点关于折痕对称 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，有下列三种尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③过直线上一点作直线的垂线．其中作法正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了垂线，角平分线和线段垂直平分线的尺规作图. 根据角平分线、垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可． 【详解】解：由作图方法可知，图①作法下面应该还有两条相交的弧，即图①的正确作图如下： 图②和图③作法正确， 故选：C． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是__________． 【答案】32 【知识点】线段垂直平分线的性质、折叠问题 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合 求解，即可解题． 【详解】解： 为的垂直平分线，， ， ， 则 ； 故答案为：． 【考点3】全等三角形的判定与性质 · 综合证明先找隐含条件，SSS/SAS/ASA/AAS/HL 择优选择 · 直角+垂直模型（一线三垂直）常证 AAS/HL 全等 · 全等转移线段角，为等腰、垂直、面积等结论服务 · 推理填空补全依据：平行线性质、对顶角、全等性质准确填写 10．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，四边形是长方形，，垂足为，且，交于点，连接．若，，则的面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．过点作，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如下图， ∵四边形是长方形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴． 故选：D． 11．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 12．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：； ； ； ，其中正确的是：（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质，可得，，根据三角形的内角和，可得，判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得，判断②；连接，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得，判断③；连接，根据旋转的性质，可得，，根据等边三角形的判定和性质，可得是等边三角形，，根据三角形三边的关系，可得，进行判断④即可． 【详解】解：由旋转性质可知，，旋转角 ． ∴， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴，故①正确． ∵， ∴ ． ∵是的延长线， ∴，故②正确． 如图，连接， ∵，，且由旋转， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴ ∵ ∴（） ． ∴，故③正确． 连接， 由旋转可得：，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ④错误． 综上，正确的是①②③ ． 故选：． 【点睛】本题考查等腰三角形，等边三角形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知：如图，点C、D在上，且，，．求证：．    【答案】 解：证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【知识点】两直线平行内错角相等、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据线段的和差得到，根据平行线的性质得到，再利用边角边证明. 【详解】略 14．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，，，求证：．请将下面的推理过程及依据补充完整． 证明：， （________） 在与中，，（________） ，． （________） （________） 在与中，，，（________） （________） 【答案】两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；两三角形全等，对应边相等；两三角形全等，已证； 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件．利用证明，再利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 在与中，（对顶角相等）， ，， ， （两三角形全等，对应边相等）； 在与中，，，（已证）， ， ． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；两三角形全等，对应边相等；已证；． 15．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， 在和中， ， ， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：利用“角角边”证明即可． 【详解】略 16．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在中，于点． (1)过顶点画出的高线； (2)若交于，当时，求证：． 【答案】(1)的高线如图所示： (2)证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【知识点】画三角形的高、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据高线的定义画图即可； （2）由已知条件说明即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 17．（23-24八年级上·海南海口·期末）如图1，在中，，点是边上一点（不与点，重合），以为边在的右侧作，使，，连接．设，．    (1)求证：； (2)探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)若，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ． ，， ． (2) 解：， 理由如下： 由， ． ， ． ． ， 在中，． ． (3) 在中， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明即可； （2）结论：．利用全等三角形的性质，三角形的内角和定理即可证明； （3）先证明是等边三角形，可得．再由，可得，从而得出，再由平行线的判定得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．（23-24九年级上·北京密云·期末）如图，在中，，.点D为边上的一点，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、. (1)依据题意，补全图形； (2)直接写出的度数； (3)若点F为中点，连接交于点P，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. 【答案】(1) 补全图形，如下： (2) (3) 解：，理由如下： 如下图：作，交延长线于点M， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等三角形综合问题、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题关键， （1）依题意，补全图形即可； （2）根据角的和差计算即可； （3）作，交延长线于点M，证明，得出，即可证出结论． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：， ； （3）略 【考点4】全等综合与旋转探究 · 旋转构造全等：将分散线段通过旋转集中，证全等转移 · 动点轨迹：证全等确定动点沿定直线运动，垂线段最短求最值 · 新定义（智慧三角形、周长平分线、底余等腰）：先翻译定义再建模 · 多结论问题逐条验证，注意排除法，分类讨论不重不漏 19．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，设，，且是定值．点是上一点，点为中点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】取的中点，连接，，，，作交于点，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据勾股定理求得，进而根据不是定值可得不是定值，进而证明是等腰直角三角形，证明得出，则不是定值，进而求得得出是定值，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，，作交于点， ∵，，， ∴ ∴不是定值， ∵在中，，点为中点， ∴，则不是定值， ∴， 根据旋转可知：，， ∴和为等腰三角形，， 设，则， ∴， ∴， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴，，， ∵， ∴， ∴，则不是定值， ∴ ∵是定值， ∴为定值， ∵不是定值，不是定值，不能根据得出唯一的 ∴不是定值 综上分析可知，为定值， 故选：C． 20．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，以及直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可解题． 【详解】解： 绕点逆时针旋转得到，， ，， 于点， ， ， 故选：B． 21．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，中，垂直的角平分线于为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ）    A．18 B．16 C．15 D．12 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】延长交的延长线于点H．设交于点O．通过证明，，得出， 则当时，的面积最大，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点H．设交于点O．    ∵， ∴， ∴，°， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 22．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在三角形中，，，，那么______．（结果保留根号） 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，分是锐角和钝角两种情况，分别画出图形，利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当是锐角时，如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当是钝角时，如图，过点作的延长线于，则， 同理可得，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 23．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是______； （2）若，且，则______． 【答案】 10 6 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解； （2）由条件易证 ，得到，所以，即可求解． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）； (2)如图，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是． 请用直尺和圆规作出（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 求证：． (3)如图，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)是； (2) 解：如图，用直尺和圆规作出， ； 证明：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了尺规基本作图—过直线外一点作直线的垂线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （）由与互为“底余等腰三角形”，则，，，又四边形内角和是，则可得，然后通过定义即可求解； （）过作即可； 过点作交于点，证明，则，从而可得； （）过点作，由（）可知：，由勾股定理可得，则有． 【详解】（1）解：∵与互为“底余等腰三角形”， ∴，，， ∴，，，， ∴， ∵四边形内角和是， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“底余等腰三角形”， 故答案为：是； （2）略 略 （3）解：如图，过点作， ∵，， ∴， 由（）可知：， ∵， ∴， 由勾股定理可得：， ∵，， ∴． 25．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接． (1)证明：； (2)延长交的延长线于点，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，______； (3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______． 【答案】(1) 证明：， 。 即， 在和中， ， ∴； (2)① ② 或 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由， 可得， 即可证明； （2）①设， 可得， 即得，， 根据， 有 故； ②， 分两种情况： 当时，，当时，； （2）可证， 得， 即得， 知四边形周长最小时， 最小， 而， 可得当最小时， 四边形周长最小时， 此时， 根据， 面积为， 得， 从而可知四边形最小周长为． 【详解】（1）略 （2）①如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ， 解得， ； ②由①知，，， 当时，如图： ， ， 当 时，如图： ， ∴当是等腰三角形时，的度数为或； （3）如图： 同（1）可证， ， ， ∴四边形周长最小时，最小， 。 ∴当最小时，四边形周长最小时，此时， 面积为， ， ∴四边形最小周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理， 证明. 26．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【新知学习】 如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【概念理解】 （1）下列三个三角形，是智慧三角形的是______（填序号）； 【灵活应用】 （2）如图，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； 【深入探究】 （3）如图，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为______时，为“智慧三角形”． 【答案】（1）① （2）如图所示： （3）或或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可判断． （2）分别按照直径所对的圆周角为直角，和分别过点，作线段的垂线的方法即可找到四个点，使得为“智慧三角形”． （3）分当点在线段上，点在线段上时和当点在线段上，点在线段上时两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）∵直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半， ∴①是“智慧三角形”． 故答案为：①． （2）解：①选用圆规画出的垂直平分线，即可得出中点，以点为圆心，以为半径画圆，与直线相交的两个点，即为和，与连接形成的，， ∵， ∴，均为智慧三角形． ②延长线段，再分别过，作线段的垂线，交直线于点和，与连接形成的，，如图所示： ∵， ∴，均为智慧三角形． （3）①当点在线段上，点在线段上时，若，则， ∴， 解得：． 若，则， ∴， ∴． ②当点在线段上，点在线段上时，若，则， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∴， 综上所述：满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，一元一次方程，等边三角形的性质，圆周角，作图，动点问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题． 27．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）【问题情景】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （）由已知和作图能得到，其依据是________，请选择正确的一项． ．    ．    ．    ． （）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 【初步运用】 （）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （）如图，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： ①  ②  ③  ④ 所有正确选项的序号是________． 【答案】（）； （）； （）解：，证明如下： 如图，延长交延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）②③ 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）利用判定方法“”即可求解； （）由全等三角形的性质得，进而由三角形的三边关系得，即可求解； （）延长交延长线于点，可证，得到，，进而由角平分线的定义得到，即得，即可求证； （）延长至，使，可证，得到，，可判断②③；由等腰三角形的性质可判断①④，综上即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）由作图可知，， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴其依据是， 故选：； （）∵， ∴， 三角形的三边关系得，， 即， 即， ∴， 故答案为：； （）略 （）延长至，使， 同理（）得，，， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②③正确； ∵是的中线，若要 ， 则，显然条件不足，无法确定； 若，则， ∵，则， 即， ∴应满足，显然条件不足，无法确定； 综上，正确选项的序号是②③， 故答案为：②③． 【考点5】平方根、立方根与实数运算 · 平方根解方程有 ±，立方根解方程唯一，注意系数先化简 · 混合计算：绝对值、算术平方根、立方根逐项化简再合并 · 完全平方公式估算近似值：忽略微小项比较精确度 · 实数的绝对值、大小比较、数轴表示综合运用 28．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程； （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）根据立方根的定义解方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴ 解得：或 （2）解： ∴ 解得： 29．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 30．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 【答案】(1)2；； (2)；； (3)①； ②小明的结果精确度更高，理由如下： 小明的结果是，小丽的结果是， ，， 又，， ∴比更接近 小明的结果精确度更高． 【知识点】无理数整数部分的有关计算、运用完全平方公式进行运算、不等式的性质 【分析】本题考查了无理数的估算和完全平方公式的应用．熟练掌握无理数的估算和完全平方公式是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可得到答案； （2）先由得到，再根据（是整数，），的形式，拆分出整数部分和小数部分； （3）①利用完全平方公式进行变形，因，可以忽略，近似求解； ②通过比较两个近似值的平方与的接近程度来判断精确度即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵，其中是整数，且， ∴ （3）解：①∵，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 略 31．（2025七年级上·北京·专题练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是．问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】（1），（2）（3）（4）（5）（6） 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①由两点间距离直接求解即可； ②由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算便可； （3）由题意两点距离的意义进行解答； （4）当取2时代数式的值最小，据此计算便可； （5）取最中间点便可； （6）在，范围内，解方程便可． 【详解】解：（1）①数轴上表示2与5两点之间的距离为； 故答案为：3； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是， 故答案为：； （2）， ； （3）表示数的点与表示数1和2的点的距离之和， 当位于1与2之间时，其距离之和最小， 取最小值时，相应的数的取值范围是， 故答案为：； （4）当时，取最小值为：， 故答案为：2； （5）点选在居民家．才能使这2023户居民到点的距离总和最小； 故答案为：； （6）， 当，时，， ， 若数，满足，的最小值为， 故答案为：． 【考点6】三角形三边关系与中线 · 三边关系求范围：|a-b|<c<a+b，结合整数条件枚举 · 倍长中线构造全等，转移边后用三边关系求中线范围 · 中线平分面积，等高三角形面积比=底边比 · 三角形周长问题用线段转化化简 32．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段检测）在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，结合已知边长的大小关系和整数条件，枚举所有可能的边长即可得到结果． 【详解】解：∵，，且为整数， ∴，的可能取值为． ∵是最长边，因此只需满足即可构成三角形， 当时，得，结合，可得整数，共2种， 当时，得，结合，没有符合条件的整数， 当时，得，结合，没有符合条件的， 综上，满足条件的三角形共2个． 33．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为边的中线，的周长比的周长大，，则___________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的中线（三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线），根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．解题的关键是掌握三角形中线的定义． 【详解】解：∵为边的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 34．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【考点7】勾股定理与折叠 · 折叠前后全等，对应边相等，设未知数列勾股方程 · 折痕为对应点连线垂直平分线，利用对称性质 · 双折叠问题：逐步利用折叠对应关系建立方程组 · 勾股+等边对等角+外角：角度与边长互相推导 35．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，四边形是长方形，连接，点在边上，将沿着翻折，的对应边落在对角线上，将沿着翻折，点的对应点恰好与点重合，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，根据折叠可得则，，设,得出，进根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 根据折叠可得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数是． 故选：D． 36．（2023·重庆长寿·中考真题）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 37．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点是上的点，若，，则的值为______．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理分别求出与，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理得，，， ， ，， ， ， 故答案为：． 38．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，点D为斜边的中点，连接，将沿翻折，使B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点A与点E重合，则的长为______． 【答案】/0.75 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，先根据勾股定理求出，根据翻折的性质可得出，，，设，则，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点D与B重合，折痕为．若，，则长为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，先得，，根据折叠的性质得，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：． 40．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，点在边上，点和在边上，且，当_____时，的最小值是13． 【答案】7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点C关于直线的对称点，连接，证明，得，根据轴对称的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作点C关于直线的对称点，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 三点共线时，的最小值是13， 在中，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理及轴对称的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点8】勾股定理的应用与最值 · 实际应用（折断树、云梯、旗杆、信号）：构造直角三角形列式 · 正方形面积=边2，勾股定理得斜边平方=两直角边平方和 · 代数式最值：构造成两斜边和，三点共线时最小，勾股求解 · 动点最值：垂线段最短+勾股，注意分类讨论 41．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（　  　） A．1+ B．1+ C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】作，过点作于点，过点作于点，连接，在中，，则，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，再利用已知条件求得值即可． 【详解】解：作，过点作于点，过点作于点，连接． ， ， ∴在中，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴在中，， ∴由勾股定理得：， 的最小值为 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，平行线的性质，等腰三角形的性子，熟练掌握知识点，将转化为是解题的关键． 42．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的边长是____． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和．进而可求出边长． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积． 则字母A所代表的正方形的边长是． 故答案为：． 43．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，的面积为15，则的周长的最小值为________． 【答案】 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，过点A作于点H，由三角形的面积公式可得；作点E关于的对称点N，点E关于的对称点M，连接，由轴对称的性质可得，，则可证明；可证明当点E的位置固定时，的周长的最小值为的长，由勾股定理得，故当时，有最小值（此时点E与点H重合），即此时有最小值，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵的面积为15，， ∴， ∴； 如图所示，作点E关于的对称点N，点E关于的对称点M，连接， ∴， ， ∵， ∴ ； ∵的周长， ∴当点E的位置固定时，当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长， ∴当点E的位置固定时，的周长的最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴当时，有最小值（此时点E与点H重合），即此时有最小值， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 44．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1) 能，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 (2)秒 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【详解】（1）略 （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 45．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)当A，C，E三点共线时 (3)13 【知识点】算术平方根的实际应用、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意，，，，设．得到，利用勾股定理解得即可． （2）连接，根据当，当三点共线时，的值最小． （3）根据，构造．如图所示，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，，，，设．得到， 利用勾股定理，得， ． ∴． （2）解：根据题意，连接，根据当，当三点共线时，的值最小． 故条件为三点共线． （3）解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是长方形， 故． 故． 💯 课后巩固 复习建议 · 压轴题先整体读题，把每问条件标注在图上，利用前问结论推后问 · 旋转、折叠、对称都抓住“对应相等”，设未知数列方程是通用方法 · 新定义题先花时间理解定义，把新概念翻译成熟悉的数学模型 · 最值问题优先考虑垂线段最短、两点间线段最短两种基本模型 · 书写压轴题保持“先证明再计算”，辅助线、依据写清楚，步骤完整 【作业1】．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在，，，，…（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数，根据无理数即无限不循环小数求解即可． 【详解】解：在，，，，中， 无理数有，，一共2个， 故选：B． 【作业2】．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段检测）无理数的大小在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 根据，可得，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 所以无理数在2和3之间． 故选：B． 【作业3】．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，且，是两个连续的整数，则的平方根是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算 【分析】此题考查了实数的估算与大小比较及平方根．先由题意确定出a，b的值，再根据平方根计算出此题的结果． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是 故选B 【作业4】．（22-23七年级上·山东滨州·期末）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的平方根 【分析】本题考查了绝对值，求一个数的平方根． 先根据绝对值的定义得出，再根据平方根个定义得出，最后根据，得出，得出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵b是49的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 【作业5】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查近似数的知识点． 根据近似数的精确度定义，科学记数法的精确度由系数的最后一位数字决定，需结合指数判断实际精确位． 【详解】∵ 近似数的精确度取决于最后一位有效数字的位置； 选项A.：最后一位数字0在千分位，故精确到千分位，不是百分位，不符合题意； 选项B.：中系数最后一位在千分位，乘以后精确到十位，不是千分位，不符合题意； 选项C.：中系数最后一位在百分位，乘以后精确到千位，正确，符合题意； 选项D.：万，最后一位有效数字在万位，故精确到万位，不是个位，不符合题意． 故选C． 【作业6】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若，，则___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小． 估算的大小，即可解答． 【详解】解：， ， ，即， 故答案为：． 【作业7】．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O沿逆时针方向旋转得到线段，则此时点的坐标为______． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得是解题的关键．过点作轴，由旋转可知，进而可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，勾股定理求得，根据在第二象限，即可求得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴， 由旋转可知， 在中， 在第二象限， 故答案为． 【作业8】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）______，比较大小：______． 【答案】 / 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根、实数的大小比较 【分析】本题考查实数大小的比较、立方根和绝对值，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据立方根以及实数的大小比较的方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：；． 【作业9】．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是_________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】考查角平分线的性质以及三角形的面积公式，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过D作于F，根据角平分线性质得到，由， ，，代入即可求解． 【详解】解：过D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 【作业10】．（23-24八年级上·河南郑州·期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是y轴正半轴上一动点，是以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的坐标为______． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的定义，分为腰及为腰两种情况，求出点的坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，在中，利用勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，当为腰时，利用等腰三角形的三线合一，可得出的长，进而可得出点的坐标；当为腰时，利用等腰三角形的性质，可得出的长，结合点的坐标，即可得出点的坐标，综上所述，即可得出结论． 【详解】解：如图， 当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 在中，，，， ． 当为腰时，， 点的坐标为； 当为腰时，， 又点的坐标为， 点的坐标为或（舍去）． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 【作业11】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）在和中，，，且．若，点D在边上运动，则周长的最小值为______．    【答案】/ 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，垂线段最短等，证得，推出的周长，是解答本题的关键．根据题意利用证得，进而推出的周长，结合勾股定理和垂线段最短，可推出当时，的值最小，此时的周长最小，然后等腰三角形的性质和判定，求得的长度，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当取得最小值时，的周长的最小，最小值为， ∵，，点D在边上运动， ∴，即， ∴当取得最小值时，的值最小， 即当时，的值最小， ∵，， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【作业12】．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面米高处被折断 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设离地面高度x米处折断，则，， ∵ ∴， ∴    ． ∴ 答：这棵树在离地面2.5米高处被折断． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）求x的值：． 【答案】（1）5；（2）或 【知识点】求一个数的算术平方根、利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求立方根，平方根解方程． （1）先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可； （2）方程两边同时除以，再利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：方程两边同时除以得：， 解得：或． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长可升降伸缩的云梯，最多可伸长至20，如图，云梯斜靠在一面墙上，墙面垂直地面，即，这时云梯长，底端距墙脚的距离． (1)求这架云梯顶端距地面的距离的高度？ (2)消防员接到命令，云梯底端不动，要求将云梯伸长，使顶端上升到距点的处，云梯的长度是否足够消防员到达处？请说明理由． 【答案】(1)这架云梯顶端距地面的距离的高度为． (2) 云梯的长度是足够消防员到达处，理由如下：   由题意可知，，，   ∴，   ∵，   ∴，   ∴云梯的长度是足够消防员到达处． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并构建直角三角形是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可；   （2）先求出的长，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，，   ∴，   答：这架云梯顶端距地面的距离的高度为． （2）略 【作业15】．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为15米 【知识点】其他模型(全等三角形的辅助线问题)、求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 作，，可证，可得，，则米，且可求米，米，即可求的长． 【详解】解：如图，作，，则四边形是矩形，米，， ， 在和中， ， ， ，， 即米， 根据题意，米，米， （米，则米， 米， 则米， 米，米， 米， 答：旗杆的高度为15米． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $