精品解析：广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2026-2027学年高一第一学期第一次月考数学试卷

惠阳华附2026-2027学年高一第一学期第一次月考 一、单选题（每题5分，本题满分40分） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，又，所以. 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变即可 【详解】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变， 所以命题的否定形式为：，. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时可推出； 当时，，不一定得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质进行分析判定. 【详解】由已知得当时，故A错误； 两边同时加上c，不等号的方向不变，故,故B正确； 两边同时加上a，不等号的方向不变，故故C错误； 等价于即即,由于当时当时，,故D错误. 故选：B. 5. 若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 16 C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合基本不等式求出最小值． 【详解】∵， ∴. 又， ∴，当且仅当时取等号， ∴. 故选：B 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用已知不等式的解集为，得到，同时得到的两个根，再利用根与系数的关系得到，，再代入求解即可 【详解】的解集为，，的两个根为，，， 所以不等式， 即， 解得. 故选：B. 7. 若关于在上是单调递增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数在区间上的单调性可出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 由于该二次函数在区间上单调递增，则，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用二次函数在区间上的单调性求参数，一般要分析二次函数图象的开口方向和对称轴，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 8. 已知,则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式作出的图象，由图象得到的单调性，列出关于的不等式求解出的范围即为不等式解集. 【详解】的图象如下图所示： 由图象可知：在上单调递增， 因为，所以， 所以即，所以解集为：. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的单调性解不等式，着重考查了数形结合思想，难度一般.已知函数的单调性，可将函数值之间的不等关系转变为自变量之间的不等关系，从而求解出相应自变量的取值范围. 二、多选题（每题6分，多选、漏选不得分，本题满分18分） 9. 下列选项的两个函数为同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同一函数定义可知：表达式一样，且定义域一样即为同一函数. 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 的解集为 D. ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，代入计算函数值即可判断；对于B，分为和分别解出即可判断；对于C，分为和分别解不等式即可判断；对于D，求出的值域即可判断． 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确． 11. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 是R上的增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用高斯函数的定义算出的值，即可判断A项的正误；由高斯函数的定义，证出，即可判断出B项的正误；由B项的分析可知是周期为1的周期函数，然后分析在上的解析式，即可判断C项的正误；通过举反例加以说明，即可判断D项的正误． 【详解】对于A，由题意得，所以A错误； 对于B，，所以B正确； 对于C，由，可知是周期为1的周期函数， 在上的值域就是在上的值域， 当时，；当时，， 可知在上的值域为，即的最小值为0，所以C正确； 对于D，，而， 所以，所以在R上不是增函数，所以D错误． 故选：BC． 三、填空题（每题5分，本题满分15分） 12. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由解析式知，可得且， 所以函数的定义域为. 13. 已知，则＝________. 【答案】 【解析】 【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解. 【详解】因为，所以， 所以，其中. ∴. 故答案为： 14. 当时，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为 ，将原式乘以 （乘 1 法）展开，凑出可用基本不等式求和的最小值的结构，最后检验取等条件. 【详解】. 因为 ，所以 ，，由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，. 所以 ，即原式的最小值为 . 四、解答题（本题满分77分） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若，由，解得， 则，所以或， 因为， 则. 【小问2详解】 由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又，， 所以，解得， 综上，实数a的取值范围是． 16. 已知函数.完成下面两个问题： （1）画出函数的图象，并写出其单调增区间： （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1） ，图象如下： 单调增区间为和. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的性质将原函数写成分段函数的形式，利用二次函数的图象和性质画出图象，根据图象即可得到函数的单调增区间； （2）由（1）中的图象，判定在区间的函数的单调增减区间，进而计算比较，得到最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）中的图象可知，函数在上单调增，在上单调减，在上单调增，， 故在区间上的最大值为. 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18. 已知函数，. （1）当时，求的解集. （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （3）设，解关于的不等式. 【答案】（1）或； （2） （3） 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将代入，得到，由得到，求解这个一元二次不等式即可； （2）分和两种情况讨论求解，当时，结合二次函数的图象求解； （3）分和两种情况讨论求解，当时，将转化为，求出的两个根为，按照根的大小讨论求解. 【小问1详解】 ，，，， 的解集为或； 【小问2详解】 当时，变为， 满足不等式对一切实数恒成立，满足题意； 当时，要使对一切实数恒成立， 则有，即，解得. 综上，不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是； 【小问3详解】 当时，转化为； 当时，转化为， 则有， 的两个根为， 当时，即，的解集为； 当时，即，的解集为； 当时，即，的解集为； 综上可知， 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 19. 已知函数，若，且当时，． （1）求、的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2）在上单调递减， 证明：、，， ， 由，得，，， 则，即，所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定函数解析式，结合两个条件求出、的值，进而求得的解析式. （2）判断（1）中函数在上的单调性，再利用单调性定义推理得证. （3）由给定不等式可得，再利用建立不等式并借助单调性化简，再分离参数，借助基本不等式求出最值即可求出范围. 【小问1详解】 函数，当时，由，得，则， 由，得，即，则，所以，， 函数的解析式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，当时，，函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 由任意的都有恒成立，得，， 则任意的都有，且恒成立， 因此对任意的恒成立， 而，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳华附2026-2027学年高一第一学期第一次月考 一、单选题（每题5分，本题满分40分） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 16 C. 9 D. 18 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 若关于在上是单调递增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知,则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，多选、漏选不得分，本题满分18分） 9. 下列选项的两个函数为同一函数的有（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 的解集为 D. ，则 11. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 是R上的增函数 三、填空题（每题5分，本题满分15分） 12. 函数的定义域为_________． 13. 已知，则＝________. 14. 当时，的最小值为______． 四、解答题（本题满分77分） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数.完成下面两个问题： （1）画出函数的图象，并写出其单调增区间： （2）求函数在区间上的最大值. 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数，. （1）当时，求的解集. （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （3）设，解关于的不等式. 19. 已知函数，若，且当时，． （1）求、的值，并写出的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $