勾股定理与立体图形表面最短路径 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理与立体图形表面最短路径 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 学习导航 沿表面行走的问题，先看允许经过哪些面，再展开并找准端点；用勾股定理计算后，还要检查路线是否能实际通过。 一、相邻两面的展开与边长还原 2 二、相对顶点的多种展开比较 7 三、沿侧面的两条绕行方向 12 四、必须经过指定位置的路线 17 五、无盖容器的内外壁路线 21 六、圆柱侧面与绕行圈数 26 七、A组 基础巩固 31 八、B组 难点突破 40 九、C组 综合应用 48 十、D组 中考衔接 56 知识关系 允许的面 → 端点位置 → 展开后的两段间隔 → 勾股计算 → 可达性与多路线比较 相邻两面看公共棱；相对顶点比较三类；侧面绕行比较两个方向；指定位置分段计算；内外壁跨口沿求和；圆柱先把圆周展开为直线。 一、相邻两面的展开与边长还原 【适用条件】路线只能经过两个相邻面时，沿公共棱把这两个面展平。展开不改变面内线段的长度； 连接展开后的起点和终点，若线段确实经过公共棱，则两点之间线段最短。 【边长还原】展开图中，垂直公共棱方向的两段距离通常相加；平行公共棱方向的间隔，要根据端点位置求差或保持原长。先标起点和终点，再找直角边，不能见到长、宽、高就任意相加。 【易错提醒】空间中穿过物体内部的线段，不是沿表面的路线。题目限定经过哪些面，就只比较这些允许的路线。 【坡面也能展开】若立体的相邻表面本来是长方形，即使它们倾斜，也可沿公共边展开。遇到屋顶一类问题，坡面的宽是斜边长，不能用水平宽或竖直高度代替；必要时先在横截面的直角三角形中求斜边。 例1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。一只蚂蚁从爬到，只经过前面与右面。求最短路程。 【解析】将前面与右面沿展开，得到两边长为和的长方形。 展开后的、为相对顶点，连接它们所得线段经过公共棱，故最短路程为。 变式1-1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。一只蚂蚁从爬到，只经过前面 与上面。求最短路程。 【解析】沿展开，长方形两边为和，最短路程为。 变式1-2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。一只蚂蚁从爬到，只经过前面与右面。求最短路程。 【解析】两面展开后，平行方向的间隔是，另一间隔是。最短路程为。 变式1-3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到只经过前面与右面的 最短路程为。求的长。 【解析】由展开图得，所以。 因为，，故。 二、相对顶点的多种展开比较 【适用条件】长方体两个相对顶点之间沿表面行走，没有指定必须经过哪两个面时，不能只画一种展开。将边长记为、、，要比较、、。每一类还可能在物体的不同一侧实现。 【为什么三类足够】在长方体—中，所在的三个面与所在的三个面，以、、、、、六条棱为界。从到的任一路线必经过其中一条棱上的某点。与在同一面内，与也在同一面内。把原路线的两部分分别换成面内线段、，总长不会增加。于是最短路线可在两个相邻面上实现；这六种相邻面配对的展开长度归为上述三类。 【怎样少算】三式平方都含，差别只有、、。所以最短的一类把两条较短的棱相加，另一条棱作另一条直角边。这个结论来自比较，不是凭图猜测。 例2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。一只蚂蚁沿长方体表面从爬到。求最短路程。 【解析】三类展开所得距离的平方分别为、、。 最小，所对应展开线段可行，故最短路程为。 变式2-1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到，只经过前面与右面时的最短路程记为，沿整个表面时的最短路程记为。求。 【解析】。全表面三类中，以与为直角边的一类最短，。因此。 【展开图】限定经过前面和右面的展开图 变式2-2、如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，，，。已知，长方体相交于同一顶点的三条棱之和为，且。求从到的表面最短路程。 【解析】、，故、。三条棱为、、，最短一类的直角边为和。最短路程为。 变式2-3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。若从到沿表面的最短路程为，求。 【解析】若，较短两棱为、，故，得，符合范围。 若，最短距离的平方不超过，不可能等于。所以。 三、沿侧面的两条绕行方向 【适用条件】题目不允许经过上、下底面时，把连续的侧面展开成一条长方形带。带的宽度由实际经过的各段底边相加得到，高度方向用两端点的高度差。 【方向比较】从起点所在竖直线到终点所在竖直线，沿底边通常有两种绕行方向。分别求其底边路程、，再比较与。 高度间隔相同时，只需比较与。 【易错提醒】端点在棱的中间时，某一面的有效宽度可能是整条棱减去已知一段；不能把每经过一个面就机械加上整条边。侧面展开的直线处在两端高度之间，可据此检查它未跑到上、下底面以外。 【多面连续展开】翻越横跨草地的长方体障碍时，实际路线还包括地面与两个竖直侧面。把这些长方形依次展开，按经过顺序逐段相加；木块顶面的宽已占用原地面的一段，不能把它额外重复加一次。 【知识图对应】图中的、、表示实际经过的三段宽度，表示两端点的高度差；三段不一定都是整条棱长。 例3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。从到只沿侧面行走，求最短路程。 【解析】绕左侧时，展开宽度为；绕右侧时，展开宽度为。 两种展开的高度均为，故绕左侧较短，最短路程为。 变式3-1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。从到只沿侧面行走，两种绕行方向各自的最短路程是否相等？求出最短路程。 【解析】两个方向经过的底边宽度均为，高度差均为，所以两种方向的最短路程相等，均为。 变式3-2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，。点可在线段上任意选取，包括端点。从到只沿侧面行走，求能够达到的最短路程，并确定此时的位置。 【解析】设，则。绕左侧的展开宽度为，绕右侧为。 高度均为，所以所有路线的长度不小于。当即与重合时，绕左侧达到这个值。故最短路程为，为。 变式3-3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。（1）路线按前面、右面、后面的顺序通过，求最短路程； （2）若可选择任一侧面方向，求最短路程。 【解析】（1）指定方向的展开宽度为，最短路程为。 （2）另一个方向的展开宽度为，小于，故最短路程为。 四、必须经过指定位置的路线 【指定点】若路线必须经过公共棱上的某个定点，展开后仍须经过这个点。应分别求起点到指定点、指定点到终点的最短距离后相加，不能直接用起终点连线代替。 【指定通行段】若公共棱只有一段允许通过，先判断起终点连线与公共棱的交点是否在该段上。在段上，直线最短仍可实现；不在段上，直接连线的长度只是不能直接取到的下界，必须进一步比较合法路线。 【验证直线路线】有时可以选定棱上的一个点，分别用勾股定理求两段长。若两段长之和恰好等于展开后起终点连线长，便由三角形两边之和大于第三边可知三点共线，这条路线确实最短。 例4、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点为的中点。从到的路线只经过前面和上面，且必须经过。求最短路程。 【解析】。在前面内，在上面内。两段线段分别最短且能相接，故总最短路程为。 变式4-1、如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，，，。在上取点、，使、。点只能从、中选取。从到只经过前面和上面，且必须经过所选的。应选择哪个位置才能使路线较短？求该最短路程。 【解析】当时，，，总长为。 展开后起终点间距离为，所以处已达到任何路线的下界。若选，分段总长为。故应选，最短路程为。 变式4-2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。 点、在线段上，，。从到只经过前面和上面，且只能在线段上跨过公共棱。如果最短路程为，求的取值范围。 【解析】沿展开前面和上面，起终点间距离为。在上取点，使，则，。两段之和恰等于展开后起终点间的距离，所以展开后的、、共线。 要达到题定的最短路程，路线必须是上述直线，因而跨棱点只能是。反过来，只要在线段上，该直线路线就符合通行条件。因此，得到。当时，当时，两端均允许通过。 变式4-3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点、分别为、的中点。从到的路线依次经过前面、右面、后面，且必须依次经过、。 求最短路程。 【解析】。分别在三个面内连线，，，。故总最短路程为。 五、无盖容器的内外壁路线 【适用条件】容器无盖且壁厚忽略不计，路线从外壁到内壁，只能从口沿跨过，并且不得经过底面。要把外壁和内壁在口沿两侧展开。 【距离关系】两端点到口沿的距离分别为、时，展开后垂直口沿的间隔为，不是。若题目给距底面高度、，容器高， 则这个间隔为。 【检查】同一块直壁上的两点，沿口沿方向的间隔直接求差。圆柱形容器还要比较两个沿圆周的方向。展开线段应穿过口沿，且两部分都在实际内、外壁上。 例5、一个无盖长方体容器的壁厚忽略不计。某一块长方形侧壁宽、高。点在这块壁的外侧，距左侧边、距口沿；点在这块壁的内侧，距左侧边、距口沿。从到只沿这块壁的内、外表面爬行，并从口沿跨过。求最短路程。 【解析】沿口沿展开，平行口沿方向间隔为，另一间隔为。展开后的连线能跨过口沿，故最短路程为。 变式5-1、一个无盖容器的壁厚忽略不计。点、位于同一块长方形侧壁的外侧和内侧，沿口沿方向的间隔为。点距口沿。只经过这块壁的内、外表面并跨过口沿，从到的最短路程为。求点到口沿的距离。 【解析】设所求距离为，则。由可知，所以，故。 变式5-2、一个高的无盖容器，壁厚忽略不计。一块侧壁宽。点在该壁外侧的左边缘，距底面；点在该壁内侧的右边缘，距底面。只经过这块壁的内、外表面，并从口沿跨过，求从到的最短路程。 【解析】两点距口沿分别为与。展开后两间隔为与，故最短路程为。 变式5-3、一个无盖圆柱形杯子的壁厚忽略不计，杯口周长为。点在外壁上，距口沿；点在内壁上，距口沿。沿竖直方向投影到杯口后，两投影点把杯口分成长度为与的两段。从到只沿内、外侧壁并从杯口跨过， 求最短路程。 【解析】内外壁展开后，竖直方向间隔为。绕两个方向的另一直角边分别为、，前者较短，故最短路程为。 六、圆柱侧面与绕行圈数 【侧面展开】圆柱侧面沿一条竖直线剪开展平，得到长方形。它的一边是圆柱高，另一边是底面周长。点在上、下圆周时，展开后竖直间隔等于圆柱高；点在侧面中间时用高度差。 【两种方向】若两点在圆周方向的位置将一周分为与，没有圈数限制时比较两个方向，选短者；两点位于相对位置时，两边均为半周长。此处只沿侧面，不允许从上、下底面抄近路。 【整圈限制】若规定始终沿同一方向绕行若干整圈，展开时要连续拼接相应数量的长方形。转过个整圈又回到同一条竖直线，沿圆周方向的总间隔是。不能把“绕两圈”算成“绕一圈后又反向回来”。 【知识图对应】图中为底面周长，连续两个长方形表示同向绕行两整圈，沿圆周方向的总间隔为，竖直间隔为。 例6、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，点在上底圆周上，且与正上方的点位于上底圆周的相对位置。只沿侧面从到，求最短路程。 【解析】两个方向沿圆周的间隔均为，展开后高度为，故最短路程为。 变式6-1、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，在其正上方的上底圆周上。点将上底圆周分成从出发长和的两段。只沿侧面从到， 求最短路程。 【解析】选择沿圆周间隔为的方向，展开后最短路程为。 变式6-2、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，点在其正上方的上底圆周上。一条路线沿侧面始终朝同一绕行方向前进，恰好绕圆柱一整圈后到达。求满足条件的最短路程。 【解析】连续展开一周，沿圆周方向间隔为，高度为，所以最短路程为。 变式6-3、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，点在其正上方的上底圆周上。一条路线只沿侧面，始终朝同一绕行方向前进，绕若干完整圈后到达。若路线总长不超过， 最多能完整绕几圈？ 【解析】设完整绕行的圈数为正整数。把侧面连续展开圈，端点间的两段间隔为和。任一路线的长度不小于， 直线展开路线能够达到这个长度。 当时，最短路程的平方为，所以完整绕圈的路线能满足不超过。当时，最短路程的平方为；圈数再多，展开宽度更大，也不能满足条件。因此最多完整绕圈。 七、A组 基础巩固 A1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到只经过前面和右面，展开后用于求最短路程的两条直角边分别为（ ）。 A．， B．， C．， D．， 【解析】前面与右面沿竖直公共棱展开，宽度为，高度为，选B。 A2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。只经过前面和上面，从到的最短路程为________。 【解析】两条直角边为与，故为。 A3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。沿表面从到的最短路程为________。 【解析】三类展开全相同，最短路程为。 A4、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到沿表面的最短路程为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】较短两棱为、，故最短路程为，选C。 A5、圆柱底面周长为，高为。从下底圆周一点到上底圆周与其相对位置的一点，只沿侧面的最短路程为________。 【解析】半周长为，最短路程为。 A6、一个无盖容器（壁厚忽略不计），同一块长方形侧壁外侧的点距口沿，内侧的点距口沿。两点沿口沿方向的间隔为。只沿该壁内外表面跨口沿行走，最短路程为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】跨口沿后的两条直角边为与，最短为，选D。 A7、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，。只经过前面和上面且必须经过，从到的最短路程为________。 【解析】就是，，，总长为。 A8、圆柱的底面周长为，高为。从下底圆周一点出发沿侧面朝同一方向绕一整圈，到达该点正上方的上底圆周点。求最短路程。 【解析】展开后直角边为与，最短路程为。 A9、一个无盖圆柱形杯（壁厚忽略不计）高，杯口周长。外壁点距底面，内壁点距底面。两点沿竖直方向投影到杯口后相对。只沿内外侧壁跨杯口从到，求最短路程。 【解析】跨口沿的间隔为，半周长为，故最短路程为。 八、B组 难点突破 B1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。从到只经过前面和右面的最短路程，与先沿爬到与同高处、再水平经过前面和右面的路线相比，少走多少？ 【解析】展开后的间隔为与，最短为。先竖直再水平的路线为，故少走。 B2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到的三类展开路线中，恰好有两类并列为最短路线。求， 并求最短路程。 【解析】三类展开的路程平方分别为、、。因，第二式比第三式大，所以第二类不可能是最短路线。 恰有两类并列最短，只能是第一类与第三类相等。因此，得。此时第一、第三类的路程平方均为，第二类为，确有且仅有两类并列最短，最短路程为。 B3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上。若只沿侧面绕左侧与绕右侧的最短路程相等，求。 【解析】设，两侧展开宽度为和。高度相同且宽度均为正，路程相等即，故，在线段上。 【展开图】另一方向的展开图 B4、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，点在上底圆周上，且与正上方的点相对。点在圆柱侧面上、点的正下方，距下底面。一条路线只沿侧面从到，且必须经过。（1）求最短路程； （2）若不必经过，最短路程是否相同？分别写出两种最短路程。 【解析】（1）从到的圆周间隔为半周，高度差为，最短为。到沿竖直线最短，为。两段能衔接，故总最短为。 （2）不必经过时，最短为。两者不同；必经的展开折线有转折，不在起终点连线上，所以比直线长。 B5、一个无盖容器（壁厚忽略不计），某一块长方形侧壁宽、高。点在该壁外侧左边缘，距口沿；点在内侧右边缘，距口沿。口沿上点距左侧边。从到只沿这块壁的内外表面，且必须从跨过口沿。 求最短路程。 【解析】外壁内，内壁内。两段分别取线段可达到总最短，故为。 B6、圆柱高，点在下底圆周，点在上底圆周。两点的竖直投影将底面圆周分成两段，其中较短一段长。沿侧面两种绕行方向的最短路程分别为与。求底面周长。 【解析】设底面周长为，则较长方向的圆周间隔为。 较长方向的圆周间隔为，因此周长为。较短方向，与条件相符。 B7、圆柱的底面周长为，高为。从下底圆周点到其正上方的上底圆周点，沿侧面同一方向恰好绕一圈的最短路程为，恰好绕两圈的最短路程为。求。 【解析】，，相减得。 【展开图】绕行两周的展开图 B8、一个无盖圆柱形杯（壁厚忽略不计），点在外壁，点在内壁，且两点到杯口的距离之和为。从到只沿内、外侧壁并跨过杯口。沿两个绕行方向各自的最短路程为与。求杯口周长，并判断两个投影点是否处于相对位置。 【解析】设点、到杯口的距离分别为、，则。 两方向的圆周间隔分别为、。因此杯口周长为；因两段不相等，投影点不在相对位置。 【展开图】另一方向的展开图 九、C组 综合应用 C1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到，一只蚂蚁可以沿全部表面爬行，另一只只能沿四个侧面爬行。（1）分别求两只蚂蚁的最短路程； （2）它们的爬行速度分别为和， 若同时出发并各走最短路线， 哪只先到？ 【解析】（1）全部表面的最短路程为；仅沿侧面的最短路程为。 （2）时间分别为和，平方分别为和，故只能沿侧面但速度较快的第二只先到。 C2、一个无盖长方体容器（壁厚忽略不计）高为。点在一块侧壁外侧，距底面；点在该侧壁内侧，距底面。两点沿口沿方向间隔为。只沿该侧壁内外表面并跨口沿的最短路程为。 （1）求； （2）若将点沿内壁竖直向上移动，求新的最短路程。 【解析】（1）展开后跨口沿的总间隔为，由得。两点在壁上且，故，得。 （2）点距底面改为，跨沿间隔为，所以最短路程为。 C3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。 点、在上，，。从到只经过前面和上面，且必须经过、两个点，先后顺序可以自行选择。求最短路程。 【解析】若先后，总路程至少为，各段取线段时可达到。，，，故最短为。 若先后，最短为。由于、且，后一顺序严格更长。因此应先后，最短为。 C4、圆柱形塔的底面周长为，高为。下底圆周点的正上方为上底圆周点，从上方看，上底圆周点位于从沿顺时针方向走处。路线只沿侧面。（1）不限绕行方向，求从到的最短路程； （2）要求始终顺时针绕行，先完整绕一圈后再到达，求最短路程。 【解析】（1）沿圆周两方向间隔为与，取，最短为。 （2）总圆周间隔为，最短为。 C5、如图，一个屋顶的前、后横截面为全等的等腰三角形与，其中，，；两个坡面、均为长方形。点是到的垂足。沿两个坡面从到的最短路程为。求屋顶横截面的高。 【解析】设每个坡面的斜宽为，即。将两个坡面沿展开，得到两边为与的长方形，所以，得。 在等腰中，，由三线合一得。故，所以。 C6、如图，长方形草地中，，。一根长方体木块横放在草地上，其长边与平行，长为，恰好从一侧延伸到一侧；横截面宽、高，木块左边缘距所在的边为。 一只蚂蚁从到，必须从木块左侧面上行，经顶面后从右侧面下行；不沿木块前后端面爬行，也不走出草地。 （1）当时，求最短路程； （2）若最短路程不超过，求的取值范围。 【解析】将左侧草地、木块左侧面、顶面、右侧面、右侧草地依次展平，所得长方形的一边为，另一边为。 （1）时，最短路程为。展开连线依次经过各条公共边，路线可行。 （2）因，由得，所以，即。因此。 C7、如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，，，。点在上，；点在上，，且。从到只沿侧面行走。 （1）求绕左侧和绕右侧最短路程相等时的； （2）若最短路程为，求所有可能的； （3）是否可能使最短路程为？给出计算依据。 【解析】（1）两方向展开宽度为与，高度均为，两宽均为正。路程相等时，故。 【展开图】右侧绕行的展开图 （2）较小宽度必须为。若左侧较短，得，此时右侧宽度为，成立；若右侧较短，得，此时左侧宽度为，也成立。因此或。 （3）若最短路程为，较小宽度必须为。但、，均不可能为，所以不可能。 十、D组 中考衔接 一、中考真题 D1、（2026年四川省南充市中考第14题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点爬到顶点，蚂蚁爬行的最短距离为________。 【解析】三类展开距离的平方分别为、、。 最小的是第一类，对应展开线段可行，所以最短距离为。 D2、（2025年四川省遂宁市中考第4题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点处，沿圆柱的侧面爬到点处。现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）。 【解析】沿剪开后，侧面展开成长方形，对应下边的一个端点。为上底面直径，所以对应上边的中点。 连接展开后的与，线段最短，因此应选B。其他选项分别把终点位置弄错、增加折返或保留曲线。 二、中考题型训练 以下为原创训练题，不是真实中考试题。 D3、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，圆柱高为。在下底圆周上，点、、、依次排列，相邻四段圆周的长依次为、、、。点在上底圆周上，位于的正上方。 圆柱侧面上，从、分别竖直向上到上底圆周的两条线，以及它们之间相应的上、下底圆周段，围成一条从下底圆周一直贯通到上底圆周的竖直窄带。该窄带及其边界均禁止通行，路线也不允许经过上、下底面。 （1）若没有这条禁行带，求从到沿侧面的最短路程； （2）存在禁行带时，求从到的最短路程。 【解析】（1）圆周两个方向的间隔为与。没有禁行带时取较短方向，最短为。 （2）长为的方向必经过从下到上贯通的禁行带，且不允许绕过上、下底面，因此只能选另一个方向。该方向可展开为宽、高的长方形，连线避开禁行带，所以最短为。 D4、（原创中考题型训练（非中考真题））一个长方体相交于同一顶点的三条棱长之和为，其中较短的两条棱长相差。一只蚂蚁从一个顶点沿表面爬到它的相对顶点，最短路程为。求三条棱长所有可能的组合。 【解析】设最长棱为，则较短两棱之和为。比较三类展开后，最短距离的平方是，因此。 由，化简得，所以。于是或，得或。若，另两棱之和为、之差为，得、；若，另两棱之和为、之差为，得、。 两组均为正数，且所设的确为最长棱，均可实现。因此三棱组合为、、或、、。 D5、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，、、。点在上，。从到只经过前面和上面，并且只能在线段上跨过公共棱。 （1）若不受通行段限制，求这两个面内的最短路程，并判断它在本题限制下能否达到； （2）求本题限制下的最短路程。 【解析】（1）两面展开成宽、高的长方形，起终点间距离为。在上取使，则、，两段之和恰等于起终点距离，故 、、共线。因为，该直线不从允许段通过，不能达到。 （2）经过的路线长为。 任取上不同于的点。因为在上，且、、在公共棱上依次排列，所以射线位于内部，并与线段交于，、、依次排列。由三角形边长关系，，所以。因此经过最短，所求为。 D6、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，、、。点是上面两条对角线的交点。 一只蚂蚁从到，可以选择只经过前面与上面，也可以选择只经过左面与上面；到达后，只在上面内爬到。 （1）求满足上述要求的最短路程； （2）若取消必须经过及允许面的限制，直接沿长方体整个表面从到，最短路程是否与（1）相同？给出计算依据。 【解析】先说明到上面四条边的距离。由、，得（ASA），所以。过分别作、，由、平行线给出的对应角及两个直角，得（AAS），故。两边相距，所以这两个距离均为。同理，过作、，得。 （1）到上面四条边的距离分别为、。前面与上面展开后，最短为；左面与上面展开后，最短为。因此先经过前面较短。 上面内，故必经的最短总长为。 （2）全部表面三类中，把与相加的一类最短，长度为。而，故两者不相同，取消限制后的路线较短。 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理与立体图形表面最短路径 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 学习导航 沿表面行走的问题，先看允许经过哪些面，再展开并找准端点；用勾股定理计算后，还要检查路线是否能实际通过。 一、相邻两面的展开与边长还原 2 二、相对顶点的多种展开比较 4 三、沿侧面的两条绕行方向 6 四、必须经过指定位置的路线 9 五、无盖容器的内外壁路线 11 六、圆柱侧面与绕行圈数 14 七、A组 基础巩固 17 八、B组 难点突破 22 九、C组 综合应用 26 十、D组 中考衔接 30 知识关系 允许的面 → 端点位置 → 展开后的两段间隔 → 勾股计算 → 可达性与多路线比较 相邻两面看公共棱；相对顶点比较三类；侧面绕行比较两个方向；指定位置分段计算；内外壁跨口沿求和；圆柱先把圆周展开为直线。 一、相邻两面的展开与边长还原 【适用条件】路线只能经过两个相邻面时，沿公共棱把这两个面展平。展开不改变面内线段的长度； 连接展开后的起点和终点，若线段确实经过公共棱，则两点之间线段最短。 【边长还原】展开图中，垂直公共棱方向的两段距离通常相加；平行公共棱方向的间隔，要根据端点位置求差或保持原长。先标起点和终点，再找直角边，不能见到长、宽、高就任意相加。 【易错提醒】空间中穿过物体内部的线段，不是沿表面的路线。题目限定经过哪些面，就只比较这些允许的路线。 【坡面也能展开】若立体的相邻表面本来是长方形，即使它们倾斜，也可沿公共边展开。遇到屋顶一类问题，坡面的宽是斜边长，不能用水平宽或竖直高度代替；必要时先在横截面的直角三角形中求斜边。 例1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。一只蚂蚁从爬到，只经过前面与右面。求最短路程。 变式1-1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。一只蚂蚁从爬到，只经过前面 与上面。求最短路程。 变式1-2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。一只蚂蚁从爬到，只经过前面与右面。求最短路程。 变式1-3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到只经过前面与右面的 最短路程为。求的长。 二、相对顶点的多种展开比较 【适用条件】长方体两个相对顶点之间沿表面行走，没有指定必须经过哪两个面时，不能只画一种展开。将边长记为、、，要比较、、。每一类还可能在物体的不同一侧实现。 【为什么三类足够】在长方体—中，所在的三个面与所在的三个面，以、、、、、六条棱为界。从到的任一路线必经过其中一条棱上的某点。与在同一面内，与也在同一面内。把原路线的两部分分别换成面内线段、，总长不会增加。于是最短路线可在两个相邻面上实现；这六种相邻面配对的展开长度归为上述三类。 【怎样少算】三式平方都含，差别只有、、。所以最短的一类把两条较短的棱相加，另一条棱作另一条直角边。这个结论来自比较，不是凭图猜测。 例2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。一只蚂蚁沿长方体表面从爬到。求最短路程。 变式2-1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到，只经过前面与右面时的最短路程记为，沿整个表面时的最短路程记为。求。 变式2-2、如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，，，。已知，长方体相交于同一顶点的三条棱之和为，且。求从到的表面最短路程。 变式2-3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。若从到沿表面的最短路程为，求。 三、沿侧面的两条绕行方向 【适用条件】题目不允许经过上、下底面时，把连续的侧面展开成一条长方形带。带的宽度由实际经过的各段底边相加得到，高度方向用两端点的高度差。 【方向比较】从起点所在竖直线到终点所在竖直线，沿底边通常有两种绕行方向。分别求其底边路程、，再比较与。 高度间隔相同时，只需比较与。 【易错提醒】端点在棱的中间时，某一面的有效宽度可能是整条棱减去已知一段；不能把每经过一个面就机械加上整条边。侧面展开的直线处在两端高度之间，可据此检查它未跑到上、下底面以外。 【多面连续展开】翻越横跨草地的长方体障碍时，实际路线还包括地面与两个竖直侧面。把这些长方形依次展开，按经过顺序逐段相加；木块顶面的宽已占用原地面的一段，不能把它额外重复加一次。 【知识图对应】图中的、、表示实际经过的三段宽度，表示两端点的高度差；三段不一定都是整条棱长。 例3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。从到只沿侧面行走，求最短路程。 变式3-1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。从到只沿侧面行走，两种绕行方向各自的最短路程是否相等？求出最短路程。 变式3-2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，。点可在线段上任意选取，包括端点。从到只沿侧面行走，求能够达到的最短路程，并确定此时的位置。 变式3-3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。（1）路线按前面、右面、后面的顺序通过，求最短路程； （2）若可选择任一侧面方向，求最短路程。 四、必须经过指定位置的路线 【指定点】若路线必须经过公共棱上的某个定点，展开后仍须经过这个点。应分别求起点到指定点、指定点到终点的最短距离后相加，不能直接用起终点连线代替。 【指定通行段】若公共棱只有一段允许通过，先判断起终点连线与公共棱的交点是否在该段上。在段上，直线最短仍可实现；不在段上，直接连线的长度只是不能直接取到的下界，必须进一步比较合法路线。 【验证直线路线】有时可以选定棱上的一个点，分别用勾股定理求两段长。若两段长之和恰好等于展开后起终点连线长，便由三角形两边之和大于第三边可知三点共线，这条路线确实最短。 例4、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点为的中点。从到的路线只经过前面和上面，且必须经过。求最短路程。 变式4-1、如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，，，。在上取点、，使、。点只能从、中选取。从到只经过前面和上面，且必须经过所选的。应选择哪个位置才能使路线较短？求该最短路程。 变式4-2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。 点、在线段上，，。从到只经过前面和上面，且只能在线段上跨过公共棱。如果最短路程为，求的取值范围。 变式4-3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点、分别为、的中点。从到的路线依次经过前面、右面、后面，且必须依次经过、。 求最短路程。 五、无盖容器的内外壁路线 【适用条件】容器无盖且壁厚忽略不计，路线从外壁到内壁，只能从口沿跨过，并且不得经过底面。要把外壁和内壁在口沿两侧展开。 【距离关系】两端点到口沿的距离分别为、时，展开后垂直口沿的间隔为，不是。若题目给距底面高度、，容器高， 则这个间隔为。 【检查】同一块直壁上的两点，沿口沿方向的间隔直接求差。圆柱形容器还要比较两个沿圆周的方向。展开线段应穿过口沿，且两部分都在实际内、外壁上。 例5、一个无盖长方体容器的壁厚忽略不计。某一块长方形侧壁宽、高。点在这块壁的外侧，距左侧边、距口沿；点在这块壁的内侧，距左侧边、距口沿。从到只沿这块壁的内、外表面爬行，并从口沿跨过。求最短路程。 变式5-1、一个无盖容器的壁厚忽略不计。点、位于同一块长方形侧壁的外侧和内侧，沿口沿方向的间隔为。点距口沿。只经过这块壁的内、外表面并跨过口沿，从到的最短路程为。求点到口沿的距离。 变式5-2、一个高的无盖容器，壁厚忽略不计。一块侧壁宽。点在该壁外侧的左边缘，距底面；点在该壁内侧的右边缘，距底面。只经过这块壁的内、外表面，并从口沿跨过，求从到的最短路程。 变式5-3、一个无盖圆柱形杯子的壁厚忽略不计，杯口周长为。点在外壁上，距口沿；点在内壁上，距口沿。沿竖直方向投影到杯口后，两投影点把杯口分成长度为与的两段。从到只沿内、外侧壁并从杯口跨过， 求最短路程。 六、圆柱侧面与绕行圈数 【侧面展开】圆柱侧面沿一条竖直线剪开展平，得到长方形。它的一边是圆柱高，另一边是底面周长。点在上、下圆周时，展开后竖直间隔等于圆柱高；点在侧面中间时用高度差。 【两种方向】若两点在圆周方向的位置将一周分为与，没有圈数限制时比较两个方向，选短者；两点位于相对位置时，两边均为半周长。此处只沿侧面，不允许从上、下底面抄近路。 【整圈限制】若规定始终沿同一方向绕行若干整圈，展开时要连续拼接相应数量的长方形。转过个整圈又回到同一条竖直线，沿圆周方向的总间隔是。不能把“绕两圈”算成“绕一圈后又反向回来”。 【知识图对应】图中为底面周长，连续两个长方形表示同向绕行两整圈，沿圆周方向的总间隔为，竖直间隔为。 例6、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，点在上底圆周上，且与正上方的点位于上底圆周的相对位置。只沿侧面从到，求最短路程。 变式6-1、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，在其正上方的上底圆周上。点将上底圆周分成从出发长和的两段。只沿侧面从到， 求最短路程。 变式6-2、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，点在其正上方的上底圆周上。一条路线沿侧面始终朝同一绕行方向前进，恰好绕圆柱一整圈后到达。求满足条件的最短路程。 变式6-3、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，点在其正上方的上底圆周上。一条路线只沿侧面，始终朝同一绕行方向前进，绕若干完整圈后到达。若路线总长不超过， 最多能完整绕几圈？ 七、A组 基础巩固 A1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到只经过前面和右面，展开后用于求最短路程的两条直角边分别为（ ）。 A．， B．， C．， D．， A2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。只经过前面和上面，从到的最短路程为________。 A3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。沿表面从到的最短路程为________。 A4、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到沿表面的最短路程为（ ）。 A． B． C． D． A5、圆柱底面周长为，高为。从下底圆周一点到上底圆周与其相对位置的一点，只沿侧面的最短路程为________。 A6、一个无盖容器（壁厚忽略不计），同一块长方形侧壁外侧的点距口沿，内侧的点距口沿。两点沿口沿方向的间隔为。只沿该壁内外表面跨口沿行走，最短路程为（ ）。 A． B． C． D． A7、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，。只经过前面和上面且必须经过，从到的最短路程为________。 A8、圆柱的底面周长为，高为。从下底圆周一点出发沿侧面朝同一方向绕一整圈，到达该点正上方的上底圆周点。求最短路程。 A9、一个无盖圆柱形杯（壁厚忽略不计）高，杯口周长。外壁点距底面，内壁点距底面。两点沿竖直方向投影到杯口后相对。只沿内外侧壁跨杯口从到，求最短路程。 八、B组 难点突破 B1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上，。从到只经过前面和右面的最短路程，与先沿爬到与同高处、再水平经过前面和右面的路线相比，少走多少？ B2、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到的三类展开路线中，恰好有两类并列为最短路线。求， 并求最短路程。 B3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。点在上，；点在上。若只沿侧面绕左侧与绕右侧的最短路程相等，求。 B4、圆柱的底面周长为，高为。点在下底圆周上，点在上底圆周上，且与正上方的点相对。点在圆柱侧面上、点的正下方，距下底面。一条路线只沿侧面从到，且必须经过。（1）求最短路程； （2）若不必经过，最短路程是否相同？分别写出两种最短路程。 B5、一个无盖容器（壁厚忽略不计），某一块长方形侧壁宽、高。点在该壁外侧左边缘，距口沿；点在内侧右边缘，距口沿。口沿上点距左侧边。从到只沿这块壁的内外表面，且必须从跨过口沿。 求最短路程。 B6、圆柱高，点在下底圆周，点在上底圆周。两点的竖直投影将底面圆周分成两段，其中较短一段长。沿侧面两种绕行方向的最短路程分别为与。求底面周长。 B7、圆柱的底面周长为，高为。从下底圆周点到其正上方的上底圆周点，沿侧面同一方向恰好绕一圈的最短路程为，恰好绕两圈的最短路程为。求。 B8、一个无盖圆柱形杯（壁厚忽略不计），点在外壁，点在内壁，且两点到杯口的距离之和为。从到只沿内、外侧壁并跨过杯口。沿两个绕行方向各自的最短路程为与。求杯口周长，并判断两个投影点是否处于相对位置。 九、C组 综合应用 C1、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。从到，一只蚂蚁可以沿全部表面爬行，另一只只能沿四个侧面爬行。（1）分别求两只蚂蚁的最短路程； （2）它们的爬行速度分别为和， 若同时出发并各走最短路线， 哪只先到？ C2、一个无盖长方体容器（壁厚忽略不计）高为。点在一块侧壁外侧，距底面；点在该侧壁内侧，距底面。两点沿口沿方向间隔为。只沿该侧壁内外表面并跨口沿的最短路程为。 （1）求； （2）若将点沿内壁竖直向上移动，求新的最短路程。 C3、如图，长方体—的底面为， 、、、为竖直棱， ，，。 点、在上，，。从到只经过前面和上面，且必须经过、两个点，先后顺序可以自行选择。求最短路程。 C4、圆柱形塔的底面周长为，高为。下底圆周点的正上方为上底圆周点，从上方看，上底圆周点位于从沿顺时针方向走处。路线只沿侧面。（1）不限绕行方向，求从到的最短路程； （2）要求始终顺时针绕行，先完整绕一圈后再到达，求最短路程。 C5、如图，一个屋顶的前、后横截面为全等的等腰三角形与，其中，，；两个坡面、均为长方形。点是到的垂足。沿两个坡面从到的最短路程为。求屋顶横截面的高。 C6、如图，长方形草地中，，。一根长方体木块横放在草地上，其长边与平行，长为，恰好从一侧延伸到一侧；横截面宽、高，木块左边缘距所在的边为。 一只蚂蚁从到，必须从木块左侧面上行，经顶面后从右侧面下行；不沿木块前后端面爬行，也不走出草地。 （1）当时，求最短路程； （2）若最短路程不超过，求的取值范围。 C7、如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，，，。点在上，；点在上，，且。从到只沿侧面行走。 （1）求绕左侧和绕右侧最短路程相等时的； （2）若最短路程为，求所有可能的； （3）是否可能使最短路程为？给出计算依据。 十、D组 中考衔接 一、中考真题 D1、（2026年四川省南充市中考第14题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点爬到顶点，蚂蚁爬行的最短距离为________。 D2、（2025年四川省遂宁市中考第4题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点处，沿圆柱的侧面爬到点处。现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）。 二、中考题型训练 以下为原创训练题，不是真实中考试题。 D3、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，圆柱高为。在下底圆周上，点、、、依次排列，相邻四段圆周的长依次为、、、。点在上底圆周上，位于的正上方。 圆柱侧面上，从、分别竖直向上到上底圆周的两条线，以及它们之间相应的上、下底圆周段，围成一条从下底圆周一直贯通到上底圆周的竖直窄带。该窄带及其边界均禁止通行，路线也不允许经过上、下底面。 （1）若没有这条禁行带，求从到沿侧面的最短路程； （2）存在禁行带时，求从到的最短路程。 D4、（原创中考题型训练（非中考真题））一个长方体相交于同一顶点的三条棱长之和为，其中较短的两条棱长相差。一只蚂蚁从一个顶点沿表面爬到它的相对顶点，最短路程为。求三条棱长所有可能的组合。 D5、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，、、。点在上，。从到只经过前面和上面，并且只能在线段上跨过公共棱。 （1）若不受通行段限制，求这两个面内的最短路程，并判断它在本题限制下能否达到； （2）求本题限制下的最短路程。 D6、（原创中考题型训练（非中考真题））如图，长方体—的底面为，、、、为竖直棱，、、。点是上面两条对角线的交点。 一只蚂蚁从到，可以选择只经过前面与上面，也可以选择只经过左面与上面；到达后，只在上面内爬到。 （1）求满足上述要求的最短路程； （2）若取消必须经过及允许面的限制，直接沿长方体整个表面从到，最短路程是否与（1）相同？给出计算依据。 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $