第三章 勾股定理 单元复习与检测——2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年新教材苏科版数学八年级上册单元复习与检测 第三章 勾股定理 目录 一、明确学习目标 2 二、理清章节脉络 2 三、梳理考点知识 3 知识点1：勾股定理 3 知识点2：勾股定理的证明 3 知识点3：勾股数 3 知识点4：勾股定理的逆定理 4 四 典型例题+变式训练 4 题型1 利用勾股定理求解直角三角形边长 4 题型2 勾股定理与数轴综合问题 6 题型3 利用勾股定理解决折叠问题 7 题型4 利用勾股定理求解图形面积 12 题型5 勾股定理的证明方法问题 14 题型6 利用所给图形或条件证明勾股定理 18 题型7 根据弦图计算 22 题型8 根据勾股定理求线段的平方和 24 题型9 利用勾股定理证明线段的平方关系 27 题型10 勾股数的概念判断 33 题型11 勾股定理解决网格问题 34 题型12 勾股定理的实际应用 36 题型13 利用勾股定理求解方位角有关问题 39 题型14 利用勾股定理求解最短路径问题 43 题型15 勾股定理逆定理的实际应用 47 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 51 一、明确学习目标 1. 掌握勾股定理的具体内容，探索用不同方法验证勾股定理； 2. 掌握勾股定理逆定理，会利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形； 3. 知道勾股数的意义，会判断一组数是否是勾股数； 4. 能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，感受“建模”、“转化”的数学思想； 二、理清章节脉络 三、梳理考点知识 知识点1：勾股定理 1.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.几何语言：在中， ； 3.使用条件：在直角三角形中才能使用。 4.勾股定理的常用变式： ,,。 知识点2：勾股定理的证明 1.勾股定理的证明思路：用两种不同的方法表示同一个图形的面积， 建立等式，化简整理得到。 2.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 知识点3：勾股数 1.勾股数的定义：三个正整数，，若满足，称，，为一组勾股数； 2.常用勾股数：；；；；9,40,41等； 3.用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 知识点4：勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理内容：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股定理逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 四 典型例题+变式训练 题型1 利用勾股定理求解直角三角形边长 【例题1】（26-27八年级上·甘肃·期中）在中， ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 【练基础】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知一个直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的第三条边的长为（     ） A．5 B． C．8 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 【练能力】（25-26八年级上·江苏常州·期中）某直角三角形三条边的平方和为288，则这个直角三角形的斜边长为__________． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，因此三边平方和等于两倍斜边的平方． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则， ∴， ∵， ∴，则． 故答案为：12． 题型2 勾股定理与数轴综合问题 【例题2】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 【练基础】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 【练能力】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴； 由作图方法可得， ∵点B表示的数为2，且点A在点B的左侧， ∴． 题型3 利用勾股定理解决折叠问题 【例题3】（26-27八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 【练基础】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，由长方形纸片沿对折，得垂直平分，则有；由沿折叠知，，则是等边三角形，，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形纸片沿对折， ∴垂直平分， ∴； ∵沿折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴； 由折叠知，， ∴； ∵， ∴， ∴． 【练能力】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 题型4 利用勾股定理求解图形面积 【例题4】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，两个较大正方形的面积分别为，，中间所夹三角形为直角三角形，则字母所代表的正方形的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中间所夹的三角形为直角三角形，根据勾股定理解答即可， 【详解】解：因为中间所夹的三角形为直角三角形， 两个已知正方形的面积是斜边的平方和长直角边的平方， 所以字母所代表的正方形的面积． 【练基础】（26-27八年级上·辽宁锦州·阶段检测）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（     ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】连接，利用勾股定理建立之间的等量关系，求解即可. 【详解】解：连接，由题意得，，，， ， 在中，，在中，， ，即， ，， ， . 【练能力】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 题型5 勾股定理的证明方法问题 【例题5】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 【练基础】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【答案】(图1) ；(图2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式等知识点，熟练掌握等面积法是解题的关键． 直接利用等面积法列出等式并整理即可解答． 【详解】解：如图1，根据矩形的面积公式得； 故答案为：(图1)； 如图2，，整理得： 故答案为：(图2)． 【练能力】（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （3）解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 题型6 利用所给图形或条件证明勾股定理 【例题6】（2026八年级上·全国·专题练习）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【分析】（1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质求出，再根据求解即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：方法一∶ ， 方法二： ， 证明: ，，证明如下： ， ， ． 【练基础】（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【分析】如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、．先根据证明，则可得，进而可得，同理可得，进而可得，从而可得． 【详解】证明：如图，过点C作的垂线，分别交于点J和点K，连接、、、． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【练能力】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． (2)由题意可知，， ， ∵， ∴，即． (3)如图所示：可解释的代数恒等式为． 题型7 根据弦图计算 【例题7】（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形求出与的值，利用完全平方公式化简得到，再代入计算求出的值即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a， 较短直角边长为b， 根据题意得，，， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即每个直角三角形的两直角边之和为5． 【练基础】（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】小正方形的边长为，根据正方形的面积公式可得，结合已知条件求出的值，由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小正方形的边长为， ∵小正方形面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得大正方形的边长的平方为19，即大正方形的边长为． 【练能力】（2026·浙江丽水·二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 题型8 根据勾股定理求线段的平方和 【例题8】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【练基础】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【练能力】（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 题型9 利用勾股定理证明线段的平方关系 【例题9】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 【练基础】（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）完成下面的问题： (1)问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； (2)问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）利用勾股定理与等量代换可得，结合为的中点可得米． 【详解】（1）证明：∵， ∴、、、都是直角三角形， 由勾股定理可得，，，，， ∴； （2）解：由题意可知，，，，都是直角三角形， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， 又∵为的中点，即， ∴， ∴米． 答：骑行小道的长为米． 【练能力】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． （1）延长至点，使，连接， 根据可得，则可得，，再证，则可得，进而可得 ； （3）延长到使，连接，．根据可得，则可得，，进而可得，则可得．再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ， 在中，，，是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边之间关系得：， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ； （3）， 如图，延长到使，连接， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型10 勾股数的概念判断 【例题10】（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）下列各组数是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先排除非正整数的选项，再验证剩余选项中两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A选项：，符合条件； B、C选项：，，均不符合条件； D选项：、不是正整数，不符合勾股数的要求； 故答案为A． 【练基础】（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．7，8，9 B．4，5，6 C．8，9，10 D．5，12，13 【答案】D 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意． 【练能力】（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）判断下列各组数，其中为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】勾股数就是能构成直角三角形三边的三个正整数‌，它们要同时满足“是正整数”和“符合勾股定理”这两个条件． 【详解】解：A、，，均为小数，均不是正整数，不是勾股数； B、，且，，均为正整数，是勾股数； C、，，，不是勾股数； D、，，均为分数，均不是正整数，不是勾股数． 题型11 勾股定理解决网格问题 【例题11】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由同圆半径相等得，在中用勾股定理求，则． 【详解】解：∵以点为圆心、为半径画弧交最上方的网格线于点， ∴． ∵，， ∴， ∴. 【练基础】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用网格通过割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：由题意可知， 由勾股定理得， 设边上的高为， ， ， ． 【练能力】（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小正方形的顶点称为格点， (1)请在网格图1中以格点为顶点画出一个有两边长为无理数的三角形； (2)请在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出它的面积________． (3)如图是5个边长为1的正方形，把它分割拼成一个边长为a的大正方形，在网格图3中以格点为顶点作出分割后拼成的大正方形，并直接写出a的值________． 【分析】（1）结合网格与勾股定理作图即可； （2）根据，，，结合网格作图即可；其面积等于一个大正方形的面积减去三个小直角三角形的面积，据此计算即可； （3）先根据面积关系可得，则可得的值，再结合网格与勾股定理作图即可． 【详解】（1）如图1，即为所求：（答案不唯一） （2）解：在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为，，的三角形：如图2，即为所求：（答案不唯一）；． 它的面积为． （3）解：由题意得：， 由平方根的性质得：或（不符合题意，舍去）， 在网格图3中以格点为顶点作出分割后拼成的大正方形：略． 题型12 勾股定理的实际应用 【例题12】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 【练基础】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【答案】树原来的高度19米． 【分析】利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 【练能力】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)点E即为所求， 【分析】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； （2）解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 题型13 利用勾股定理求解方位角有关问题 【例题13】（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解． （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 【练基础】（25-26八年级上·广东深圳·期中）年月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地点出发．我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达点和点，且相距海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向． 【答案】北偏西 【分析】本题考查了解决航海问题(勾股定理的应用)， 与方向角有关的计算题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别求出两船行走的路程，利用勾股定理的逆定理说明与上午8时两船与P点三个位置成直角三角形，以此求得该橡皮艇的航行方向． 【详解】解：∵上午6时出发，到上午8时，我国海警舰艇以每小时海里的速度，橡皮艇以每小时海里的速度， ∴我国海警舰艇行走的路程为海里， 橡皮艇行走的路程为海里， ∴， ∵上午8时两船分别到达点和点，且相距海里， ∴上午8时我国海警舰艇、橡皮艇与P，三个位置成直角三角形， ∴， ∵我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行， ， ∴该橡皮艇的航行方向为北偏西方向． 【练能力】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ． 题型14 利用勾股定理求解最短路径问题 【例题14】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（     ） A．10 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】结合题意，分三种情况讨论，然后比较即可获得答案． 【详解】解：∵长方体盒子中，且，N是的中点， ∴，， 分三种情况讨论： ①如图1， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：； ②如图2，过点作于点，则， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：； ③如图3， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：． ∵， ∴蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离为10． 【练基础】（26-27八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是多少？（取3） 【答案】 【分析】利用圆柱的侧面展开图，勾股定理，解答即可． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 【练能力】（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①如图，点P即为所求作的点； ②千米 (2)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①略 ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 题型15 勾股定理逆定理的实际应用 【例题15】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 【练基础】（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． (1)村庄会受水雾影响吗？为什么？ (2)若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 【分析】（1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形面积的两种求法求出，作比较即可解答； （2）设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响，先利用勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一求出，即可求出受影响的时间． 【详解】（1）会受影响，理由如下： 过点作于点， 根据题意可知，，， ，， ， ， ， ， ， 村庄会受水雾影响． （2）解：设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响， 则， 在中，由勾股定理可得， ， ， （分钟） 答：洒水车水雾影响该村庄持续的时间有分钟． 【练能力】（26-27八年级上·河南平顶山·阶段检测）中秋假日，小明带着自己的小狗来到湿地公园玩耍．公园内有一块四边形草坪ABCD，草坪内有一条小路AC．经测量，，，，，． (1)求草坪拐角的度数． (2)小明来到草坪站在点B处，小狗从点A开始以的速度沿A—C的方向奔跑，跑到C点时停止奔跑，则小狗跑多少秒时与小明的距离最近？ 【答案】(1) (2)小狗跑8秒时与小明的距离最近 【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，可得； （2）设小狗的位置为点E，由垂线段最短可知当时，有最小值，由等面积法求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即； （2）解：设小狗的位置为点E， 由垂线段最短可知当时，有最小值， 此时有， ∴， ∴， ∴， ， 答：小狗跑8秒时与小明的距离最近． 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分） 1．（26-27八年级上·全国·单元复习）选材新风向数学文化  清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．有下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，第⑥组勾股数为（     ） A．10，18，24 B．16，56，70 C．13，84，85 D．12，38，63 【答案】C 【分析】归纳已知勾股数的数字规律，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵ 第①至④组勾股数的第一个数依次为3，5，7，9，是从3开始的连续奇数， ∴ 第组勾股数的第一个数为， ∴ 第⑥组第一个数为． ∵ 每组勾股数的后两个数相差1，且第三个数最大， ∴ 设第⑥组第二个数为，第三个数为， 由勾股定理得 ， 即 ， 化简得 ， 解得 ， ∴ ， 即第⑥组勾股数为13，84，85． 2．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长为6，8， ∴斜边长为， ∴ 解得． 3．（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）已知一个直角三角形两边长为2和3，则第三边长为（     ） A． B． C．或 D．5 【答案】C 【分析】未明确直角三角形的斜边，需结合斜边最长的性质分类讨论． 【详解】解：直角三角形中斜边最长，分两种情况计算第三边． 当长为的边为斜边，长为的边为直角边时，第三边长为． 当长为和的边均为直角边时，第三边长为． 故第三边长为或． 4．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴阴影部分的面积是． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 6．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】利用图形的面积关系，通过等面积法推导出，据此判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理进行求解． 【详解】解：由题意可知：， 由勾股定理得：， ． 8．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得出的长，最后根据点的坐标及点的位置求出点表示的数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两直角边长分别为和， ， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点 ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点表示的数为． 9．（25-26八年级上·内蒙古包头·阶段检测）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 10．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为五十步，问田积几何？”译文：有一块长方形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为50步．这块田地的面积为______平方步． 【答案】 【分析】设长方形田地的宽为步，可得对角线长为步，利用勾股定理列方程求解宽，再计算面积即可． 【详解】解：设这块长方形田地的宽为步，则对角线长为步， ∵矩形的内角为直角，长、宽、对角线构成直角三角形， ∴由勾股定理得：， 解得， ∴这块田地的面积为平方步． 1．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，若，，则的面积为 _______ ． 【答案】 【分析】过D作于H，由角平分线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形面积关系列出方程求出，再由面积公式求出的面积． 【详解】解：过D作于H， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即代入得， 解得， ∴． 3．（22-23八年级上·福建宁德·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 4．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在边上．已知，，则的长为______． 【答案】 【分析】过作于点M，作于点N，由折叠性质可知，，，由角平分线的性质得出，再由勾股定理得，设，点到的距离为，再通过等面积法得出，，由列出方程即可求解． 【详解】解：如图，过作于点M，作于点N， ∴， ∵将沿折叠，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，点到的距离为，则， ∴，， ∴，， 即，， ∴， 解得：， ∴． 5．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作的垂线，与，的延长线分别交于点，．若，，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】根据已知条件先证明，得出的长度和，再由勾股定理得出的长度，设，则，利用勾股定理列出方程求解的值，得出的长度，最终利用勾股定理求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，． 6．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，点是边上的动点，当最小时的长度为_________． 【答案】4 【分析】作关于直线的对称角，过点作，交于，此时，最小，最小值为，，根据条件求出，即可得时，最小，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的值即可． 【详解】解：如图， 作关于直线的对称角，则， 过点作，交于，此时，最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴时，最小， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴当最小时的长度为4． 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 1．(本题10分)如图，在中，，，，过点B作，垂足为B，．连接，求的长． 【答案】 【分析】证明，得出，，根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理，得： ， ∴． 2．(本题12分)定义：若某三角形的三边长，，满足，则称该三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 【答案】(1)等边三角形不是“类勾股三角形”，理由如下： 设等边三角形的三边长分别为，，， 则， ， 等边三角形不是“类勾股三角形”； (2)的度数为 【分析】（1）先设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则，然后进行计算可得：，即可解答； （2）根据已知和“类勾股三角形”的定义可得，从而可得，进而可得是直角三角形，，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：等腰三角形是“类勾股三角形”，，， ， ， 是直角三角形，且， ， ． 3．(本题12分)【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】如图③，中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【分析】（1）将图②中的直角梯形面积用两种方式表示：一是利用梯形面积公式，二是将其分割为三个直角三角形的面积之和．通过建立等量关系并化简，即可推导出． （2）设为未知数，利用这一条件表示出斜边的长，然后在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，， ∴四边形是直角梯形， ∴． 又∵， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的长为x米， ∵，米， ∴米． 在中，由勾股定理得：， 即 解得 ∴（米）， ∴（米）． 答：新路比原路少1米． 4．(本题12分)已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 第2页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年新教材苏科版数学八年级上册单元复习与检测 第三章 勾股定理 目录 一、明确学习目标 2 二、理清章节脉络 2 三、梳理考点知识 3 知识点1：勾股定理 3 知识点2：勾股定理的证明 3 知识点3：勾股数 3 知识点4：勾股定理的逆定理 4 四 典型例题+变式训练 4 题型1 利用勾股定理求解直角三角形边长 4 题型2 勾股定理与数轴综合问题 5 题型3 利用勾股定理解决折叠问题 6 题型4 利用勾股定理求解图形面积 7 题型5 勾股定理的证明方法问题 8 题型6 利用所给图形或条件证明勾股定理 10 题型7 根据弦图计算 13 题型8 根据勾股定理求线段的平方和 14 题型9 利用勾股定理证明线段的平方关系 14 题型10 勾股数的概念判断 17 题型11 勾股定理解决网格问题 17 题型12 勾股定理的实际应用 18 题型13 利用勾股定理求解方位角有关问题 20 题型14 利用勾股定理求解最短路径问题 22 题型15 勾股定理逆定理的实际应用 23 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 25 一、明确学习目标 1. 掌握勾股定理的具体内容，探索用不同方法验证勾股定理； 2. 掌握勾股定理逆定理，会利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形； 3. 知道勾股数的意义，会判断一组数是否是勾股数； 4. 能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，感受“建模”、“转化”的数学思想； 二、理清章节脉络 三、梳理考点知识 知识点1：勾股定理 1.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.几何语言：在中， ； 3.使用条件：在直角三角形中才能使用。 4.勾股定理的常用变式： ,,。 知识点2：勾股定理的证明 1.勾股定理的证明思路：用两种不同的方法表示同一个图形的面积， 建立等式，化简整理得到。 2.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 知识点3：勾股数 1.勾股数的定义：三个正整数，，若满足，称，，为一组勾股数； 2.常用勾股数：；；；；9,40,41等； 3.用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）. 知识点4：勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理内容：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股定理逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形ABC 结论 直角三角形ABC 关系 四 典型例题+变式训练 题型1 利用勾股定理求解直角三角形边长 【例题1】（26-27八年级上·甘肃·期中）在中， ，则（　　） A． B． C． D． 【练基础】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知一个直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的第三条边的长为（     ） A．5 B． C．8 D．5或 【练能力】（25-26八年级上·江苏常州·期中）某直角三角形三条边的平方和为288，则这个直角三角形的斜边长为__________． 题型2 勾股定理与数轴综合问题 【例题2】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【练基础】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（     ） A． B． C．2 D． 【练能力】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C． D． 题型3 利用勾股定理解决折叠问题 【例题3】（26-27八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【练基础】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 【练能力】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 题型4 利用勾股定理求解图形面积 【例题4】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，两个较大正方形的面积分别为，，中间所夹三角形为直角三角形，则字母所代表的正方形的面积为（     ）． A． B． C． D． 【练基础】（26-27八年级上·辽宁锦州·阶段检测）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（     ） A．9 B．11 C．12 D．15 【练能力】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 题型5 勾股定理的证明方法问题 【例题5】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C．D． 【练基础】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是________________．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2） 【练能力】（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 题型6 利用所给图形或条件证明勾股定理 【例题6】（2026八年级上·全国·专题练习）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【练基础】（26-27八年级上·全国·课后作业）欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的一个证明，其思路是把直角三角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形，然后证明每个长方形的面积分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等．如图，在中，，由的三边分别向外作正方形，过点C作的垂线，分别交、于点J和点K，这样就把正方形分成两个长方形和．连结、．请试着利用该图形证明勾股定理． 【练能力】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 题型7 根据弦图计算 【例题7】（26-27八年级上·山东菏泽·阶段检测）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【练基础】（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【练能力】（2026·浙江丽水·二模）三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 题型8 根据勾股定理求线段的平方和 【例题8】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【练基础】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【练能力】（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 题型9 利用勾股定理证明线段的平方关系 【例题9】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【练基础】（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）完成下面的问题： (1)问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； (2)问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 【练能力】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】课外数学社团开展活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使．连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中，我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：_____； (2)如图3，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：； (3)如图4，在中，，为中点，连接，作交于点．试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型10 勾股数的概念判断 【例题10】（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）下列各组数是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【练基础】（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．7，8，9 B．4，5，6 C．8，9，10 D．5，12，13 【练能力】（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）判断下列各组数，其中为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型11 勾股定理解决网格问题 【例题11】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【练基础】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图是边长为1的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（     ） A．2.5 B． C．5 D． 【练能力】（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小正方形的顶点称为格点， (1)请在网格图1中以格点为顶点画出一个有两边长为无理数的三角形； (2)请在网格图2中以格点为顶点画出一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出它的面积________． (3)如图是5个边长为1的正方形，把它分割拼成一个边长为a的大正方形，在网格图3中以格点为顶点作出分割后拼成的大正方形，并直接写出a的值________． 题型12 勾股定理的实际应用 【例题12】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【练基础】（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【练能力】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 题型13 利用勾股定理求解方位角有关问题 【例题13】（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【练基础】（25-26八年级上·广东深圳·期中）年月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地点出发．我国海警舰艇以每小时海里的速度沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达点和点，且相距海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向． 【练能力】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 题型14 利用勾股定理求解最短路径问题 【例题14】（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（     ） A．10 B． C．9 D． 【练基础】（26-27八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是多少？（取3） 【练能力】（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 题型15 勾股定理逆定理的实际应用 【例题15】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【练基础】（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． (1)村庄会受水雾影响吗？为什么？ (2)若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 【练能力】（26-27八年级上·河南平顶山·阶段检测）中秋假日，小明带着自己的小狗来到湿地公园玩耍．公园内有一块四边形草坪ABCD，草坪内有一条小路AC．经测量，，，，，． (1)求草坪拐角的度数． (2)小明来到草坪站在点B处，小狗从点A开始以的速度沿A—C的方向奔跑，跑到C点时停止奔跑，则小狗跑多少秒时与小明的距离最近？ 五 限时单元检测（建议时间60分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分） 1．（26-27八年级上·全国·单元复习）选材新风向数学文化  清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．有下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，第⑥组勾股数为（     ） A．10，18，24 B．16，56，70 C．13，84，85 D．12，38，63 2．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）已知一个直角三角形两边长为2和3，则第三边长为（     ） A． B． C．或 D．5 4．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 第4题 第5题 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A．B．C．D． 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 第7题 第8题 8．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·内蒙古包头·阶段检测）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 第9题 第10题 10．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为五十步，问田积几何？”译文：有一块长方形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为50步．这块田地的面积为______平方步． 2．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，若，，则的面积为 _______ ． 第2题 第3题 3．（22-23八年级上·福建宁德·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 4．（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在边上．已知，，则的长为______． 第4题 第5题 5．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，平分交于点，过点作的垂线，与，的延长线分别交于点，．若，，则的长为_____ ． 6．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，点是边上的动点，当最小时的长度为_________． 第6题 三、解答题（本大题共4小题，共46分） 1．（本题10分）如图，在中，，，，过点B作，垂足为B，．连接，求的长． 2．（本题12分）定义：若某三角形的三边长，，满足，则称该三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 3．（本题12分）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】如图③，中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 4．（本题12分）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 第2页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $