勾股定理中的动点与存在性问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理中的动点与存在性问题 专题复习讲义 —学年苏科版八年级数学上册 教师版 内容导航 知识梳理 2 一、由定长求动点位置 4 二、用勾股定理表示等量关系 6 三、按直角顶点分类 8 四、按相等的两边分类 11 五、把运动时间转化为线段长度 14 组 基础巩固 17 组 方法突破 20 组 综合运用 24 组 中考衔接 29 动点的位置会改变，勾股定理中的直角条件不变。先用一个字母表示位置或时间，再把题设要求写成边长关系，最后把得到的每个值放回原图核验。 点在线段上、射线上或整条直线上，允许的位置不同；“运动到终点停止”与“任一点到终点时两点都停止”，对应的时间范围也不同。 条件与关系 题目条件或要求 可使用的关系 动点到定点的距离已知 在已有直角三角形中，用勾股定理求另一条直角边 两条线段相等 两条线段的平方相等，分别用勾股定理表示 三角形是直角三角形 按直角顶点分类，或先由位置排除不可能的顶点 三角形是等腰三角形 按三组相等边分类，留意是否指定腰或底边 两点同时运动 路程=速度×时间；经过转折点或有点停止时分段表示 知识梳理 一、定长与位置范围 如图，直线，点在直线上，。 由勾股定理，。因此，若，则。 当时，没有符合条件的点；当时，点与点重合；当时，直线上有分别位于点两侧的两个位置。若点只在线段或射线上运动，还要删去不在运动范围内的位置。 如、，则。不能只写“距为”，还要分别检查点两侧的位置是否允许。 二、相等线段与平方关系 两条线段长度都是非负数，所以与等价。若它们分别是两个直角三角形的斜边，可以先写出各自的平方，再列等式，不必急着写根号。 如、，、、，点在线段上。设，则。由，得，解得，且。 若某条线段的表示式只适用于一段位置，算得的值必须仍落在这一段内。 三、直角位置要分清 在能够组成三角形的前提下，若是直角三角形，直角可能在、或。对应的平方关系分别为、、。 由图中垂直、点的顺序或边长大小，能够排除的情况可先排除。如一个角已经是钝角，就不可能再出现直角。 如、、，由可知。其中最长边是斜边，不能把直角错放到或。 用平方等式得到位置后，还要检查三点能否组成三角形；两个点重合或三点在同一直线上的位置不能保留。 四、等腰要查三组相等边 若是等腰三角形，应分别检查、、。三种情况可能得到不同的位置，也可能有重复位置或没有符合条件的位置。 题目若指定为底边，只检查； 若指定为腰，检查或。 如三边长为、、，底边长是；若题目指定长度为的那条边是底边，这个三角形便不符合要求。三角形等腰与“某一边为腰”不是同一个条件。 五、运动要检查转折与停止 匀速运动时，路程=速度×时间。点沿一条线段运动，可用已知总长减去已走路程表示剩余长度；点转到另一条边后，要先减去走完前一段所用的时间。 如一条线段长，点以的速度运动，则时到达终点。若另一点直到才停止，且两点各自到终点后停止，那么这一段中，点的位置固定，不能再沿原方向继续计算。 整理出完全平方后，可直接开平方。如，得或；若表示长度，第二个值为负数，应舍去。 六、求得数值后的核验 位置范围：点是否在题目指定的线段、射线或直线上；端点是否允许重合。 时间范围：是否属于当前运动阶段；出发时刻是否包括；有点到终点后是否继续运动。 图形条件：三点能否组成三角形；指定的直角、腰或斜边是否对应正确。 最终结果：删去不符合条件的值，合并重复位置，写全所有可能值及单位。 一、由定长求动点位置 例 如图，点在线段上，，，，。点在线段上运动。若，求的所有可能值。 解析 由勾股定理，，所以。 点在左侧时，；在右侧时，。 两点都在线段上。 变式 如图，， ，。在线段上，满足的点有（　　）。 ．个 ．个 ．个 ．个 解析 若，由勾股定理得，所以。 但点在线段上，不能大于，故不存在这样的点。 变式 如图，点在射线上，且点在、之间，，，。点在射线上运动。 若，求的长。 解析 由勾股定理，，所以。 点在射线上，点位于、之间，因此。 变式 如图，，是的中点，，。点在线段上运动，且，则点的所有可能位置是________。 解析 。由勾股定理，，所以。 两侧距离为的点分别是、，两端点均在线段上。 二、用勾股定理表示等量关系 例 如图，在中，， ，。点在线段上运动。 若，求的长。 解析 设，则。由及勾股定理，。 展开并消去，得，所以。因，点在线段上。 变式 如图，，， 点、在直线的同侧， ，。 若线段上有点满足，求的取值范围。 解析 设，，则。由及勾股定理，，即。 由得，所以。 反之，当时，取，则，线段上可取到这个点，且由两边的平方关系可知。 因此的取值范围是。时，点与点重合，符合题意。 变式 如图，在中，，，。点在射线上运动，且。求的长及的面积。 解析 若点在线段上，则，而，与矛盾。因此在的延长线上。 设，则。由勾股定理，， 得，所以。 以为底，的高为，因此。 变式 如图，，， 点、在直线的两侧， ，，。在线段上，满足的点共有多少个？ 解析 设，则。若，由勾股定理得。 解得，而线段上的点应满足，故不存在这样的点。 三、按直角顶点分类 例 如图，在长方形中，，。点在线段上运动。若是直角三角形，求的所有可能值。 解析 设，，则，，。 ①若，则，得，即点与点重合。 ②若，同理得，即点与点重合。 ③若，则，整理得， 所以或。 上述四个值都在内， 且由勾股定理的逆定理可知对应三角形均为直角三角形。 变式 如图，在中，，，。点在射线上运动，且与点不重合。若是直角三角形，求的所有可能值。 解析 由勾股定理，。点在射线上且与不重合，，为锐角，不可能为直角。 若直角在，则，点与重合，。 若直角在，设。由及，得，解得。 ，对应点在的延长线上，符合题意。 变式 如图，在长方形中， ，。在线段上，能使成为直角三角形的点有（　　）。 ．个 ．个 ．个 ．个 解析 直角在或时，点分别与或重合，共个位置。 若直角在，设，由勾股定理得， 即，不可能成立。 变式 如图，，， 点、在直线的同一侧， ，，。点在线段上运动。若是直角三角形，求的所有可能值。 解析 过作，垂足为。由、可知； ，。因此。 设，，则，。 ①若直角在，，得，不在线段上。 ②若直角在，，得。 ③若直角在，，得，所以或。 后三个值均在内，由勾股定理的逆定理可知都符合题意。 四、按相等的两边分类 例 如图，在长方形中，，。点在线段上运动。若是等腰三角形，求的所有可能值。 解析 设，，则，。 ①时，，得。②时，，得。 ③时，，得。三个值均符合题意。 变式 如图，在长方形中， ，。在线段上，能使成为等腰三角形的点有（　　）。 ．个 ．个 ．个 ．个 解析 ，，所以不可能与另外一边相等。 只能有。设，，得，故只有个位置。 变式 如图，在中，，，。点在直线上运动，且与点不重合。若是等腰三角形，求点的所有可能位置，并求相应的长。 解析 由勾股定理，。按相等的两边分类。 ①时，，所以。点在的右侧时与重合，应舍去；在的左侧时符合题意。 ②时，，所以点在两侧各有一个位置。位于的延长线上时，；位于的延长线上时，。 ③时，若在的延长线上，，，不可能成立；若在的延长线上，， 由和知，也不可能成立。 故此时在线段上。设，，得。四个位置互不相同，且都能组成三角形。 变式 如图，在长方形中， ，。点在线段上运动，是以为腰的等腰三角形。求的所有可能值及的周长。 解析 为腰，只需考虑或，不能把单独列入。 时，，所以，，。 时，同理，，。因此两种位置的周长都为。 五、把运动时间转化为线段长度 例 如图，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动。任意一点到达自己的终点时，两点同时停止运动。设运动时间为。在出发后到停止运动的过程中，当时， 求的值。 解析 点先到达终点，所用时间为，因此。 由题意，，。由及勾股定理，，整理得。 所以或。出发时刻不在所求范围内，舍去，得。 变式 如图，在长方形中，，。点从出发，沿→→以的速度运动，到达时停止。设运动时间为。当时，求的所有可能值。 解析 ①点在上时，，。由勾股定理，，得，符合本段时间范围。 ②点在上时，，。由勾股定理，，所以，点与重合，。 因此的所有可能值为或。 变式 如图，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动。两点各自到达终点后停止，另一点继续按原速度运动。设运动时间为。当时，求的所有可能值。 解析 点用到达，点用到达，应按点是否停止分段。 ①时，，。由勾股定理，，整理得，所以或。只有符合本段范围。 ②时，点停在，，故，符合本段范围。 因此的所有可能值为或。 变式 如图，在长方形中，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动，两点到达终点时停止。设运动时间为。当时，的所有可能值为________。 解析 两点同时在时停止，故。过作，垂足为。 ，，，所以。 由勾股定理，，得或， 因此或，均符合范围。 A组 基础巩固 如图，在中，， ，。点在线段上， ，则的长为（　　）。 ． ． ． ． 解析 。由勾股定理，。 如图，点在线段上，，，，。在线段上有两个不同的点、，满足，则________。 解析 由勾股定理，。 左、右两侧对应点距分别为、，均在线段上，所以。 如图，在中，， ，。点在线段上，且，则________。 解析 设，则。由勾股定理，， 解得，符合题意。 如图，在长方形中，，，点是的中点，则的周长为________。 解析 。由勾股定理，，所以周长为。 如图，在中，， ，。点在射线上，且。求的长。 解析 。若点在线段上，则，不可能成为以为斜边的直角三角形。 故在的延长线上。设，则，。 由，，得。 如图，两条射线、互相垂直。点、同时从出发，分别沿、 以、的速度运动。 求运动时的长。 解析 运动时，，。由勾股定理，。 如图，在中，，，。点在线段上，的面积为。求的长。 解析 由的面积为，得，所以。 由勾股定理，。 B组 方法突破 如图，在长方形中，，。点从出发，沿→→→运动。当时，求点已经走过的路程的所有可能值。 解析 ①在上时，已走路程就是，为，且。 ②在上时，，而，不存在符合条件的位置。 ③在上时，设。由勾股定理，，所以，。 已走路程为。 如图，在中， ，，。点在线段上，且。求的长。 解析 作直线，垂足为。若在的延长线上，由勾股定理有，与已知矛盾；若在的延长线上，则，与矛盾。与或重合也不满足已知三边长，故在线段内。 设。由勾股定理，，得，。 设，则。由，，得。 ，故符合题意。 如图，在长方形中，，点在线段上，。若是直角三角形，则长方形的面积为（　　）。 ． ． ． ． 解析 位于、之间，所以不垂直，也不垂直；直角只能在。 设。由，得，所以，。 长方形面积为，选。 如图，在中，，。点在线段上运动，且与点不重合。若是等腰三角形，求面积的所有可能值。 解析 作，垂足为。，所以；。 设，，则。 ①时，，得或。 时与重合，舍去，留下。 ②时，。③时，，得。 三个位置均符合题意。由，依次得、、。 如图，，，。点在线段上，点在线段上，且。若， 求、的长。 解析 设，。则，。 。 所以或，得到、，或、。 第一组有，不合题意；第二组均在线段范围内。 如图，，，点、在直线的同一侧， ，，。 点在线段上。若是以为斜边的等腰直角三角形，求的长。 解析 若为以为斜边的等腰直角三角形，必有。设，由勾股定理，，得。 此时，。过作，垂足为，，，所以。 ，且。由勾股定理的逆定理，确为以为斜边的等腰直角三角形。 C组 综合运用 如图，在中，， ，。点在线段上运动， 且与点、均不重合。 （1）若是等腰三角形，求的所有可能值。 （2）若和均为等腰三角形，求的长。 解析 （1）。作，垂足为。由面积相等，；。 设，，则。 ①时，。 ②时，，得或；舍去。 ③时，，得。 三个值都符合范围。 （2）当时，，；这三条边的平方分别为、、，均不相等。 当时，，，与均不相等。 当时，，又由（1），所以，是等腰三角形。故只有。 如图，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动。两点各自到达终点后停止，另一点继续按原速度运动。设运动时间为。 （1）在出发后到两点都停止的过程中，求使成为直角三角形的的所有取值。 （2）当时，求的所有可能值。 解析 （1）点在时到，点在时到。先看，此时，，。 点在、之间，是钝角，因此不可能是直角三角形。也可用三边平方分类验证。 当时，停在，所在直线与所在直线垂直， 所以均为直角三角形。 （2）时，，整理得，所以或，均符合本段范围。 时，，得。此值在前一段已得到，只记录一次。故或。 如图，在长方形中，。点在线段上运动，且与点、均不重合。已知只存在一个点，使。 （1）求和的长。 （2）点在线段上运动。若是等腰三角形，求的所有可能值。 解析 （1）设，，。由，，整理得。 若，右边为正数，两个解均位于和之间；若，右边为负数，无解。 只有时，是唯一解。因此，。 （2）设，。，。 ①时，。②时，，得。③时，，得。 三个值均在线段范围内。 如图，在中，， ，。点在线段上，点在线段上，且，点与点不重合。 （1）若是等腰三角形，求的所有可能值。 （2）求（1）中的面积。 解析 （1）设。由在上且与不重合，。，。 由勾股定理，，，。 ①时，，得，舍去。 ②时，，得或，均不在所需范围内。 ③时，，整理得， 所以。只有符合。 （2）以为底，的高为。 因此。由，得。 如图，在中，， ，，是的中点。点在线段上运动，且。 （1）求的所有可能值。 （2）在（1）求得的位置中，点、、能组成三角形时，求的面积。 解析 （1）过分别作、，垂足为、。四边形是长方形，所以，。 因，，，故。因此，，得，。 设，。由勾股定理，，。 ，所以，整理得，故或。 （2）时，与重合，、、在同一直线上，不能组成三角形。 时，，。，和共用从到的高，面积相等，所以。 如图，在中，是的中点，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动。当点到达时，两点同时停止。设运动时间为。在出发后到停止运动的过程中，若是等腰三角形，求的所有可能值。 解析 点在时到，所以。 、在时重合，不能与组成三角形，应排除。 ，，。无论、先后次序如何，，，。 ①时，，得或，分别为出发时刻及两点重合时刻，均舍去。 ②时，，整理得，所以或，均符合条件。 ③时，，整理得， 故。只有在内。 以上三个时刻、均不重合，且都能与组成三角形。 D组 中考衔接 中考真题 【年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团中考第题（1）节选】 如图，在等腰直角三角形中，，，，点是的中点，点和点分别是线段和上的动点。 当点和点分别是和的中点时， 求的值。 解析 ，且，所以。 、分别为、的中点，所以，。由，得。 【年四川成都中考第题】 如图，在矩形中，，，分别以，两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点，则点到所在直线的距离为________。 解析 连接、，作，垂足为。由作弧条件，。 等腰三角形的底边上的高平分底边，所以。由勾股定理，。 点在矩形内部，所以点到所在直线的距离为。 【年天津中考第题】 如图，在矩形中，，，点在边上，且。 （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为________。 解析 （Ⅰ）由、，得。由勾股定理，。 （Ⅱ），，所以；，。 ，是的中点，所以。由勾股定理，，得。因此是等腰直角三角形，。作，垂足为，则。 由，得，所以。在中，。由勾股定理，，得。 此时，所以在线段上。只能位于与之间；射线向内部转与只有一个交点，故此值唯一。 中考题型训练（原创） 【原创中考题型训练】 如图，，，。点在线段上运动。若，则的面积为________。 解析 设，，则。由勾股定理和，得，整理得。 所以或。超出线段范围，舍去；，的面积为。 【原创中考题型训练】 如图，在中，，，。点在线段上运动。若，求的长。 解析 作、，垂足分别为、。 ，所以（），得。设。 把的面积分为与的面积之和， 得，所以。 是等腰直角三角形， 因此。 【原创中考题型训练】 如图，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动（）。当任一点到达终点时，两点同时停止。在出发后到停止的过程中，若某时刻，且的面积为， 求的所有可能值 及相应的运动时间。 解析 设符合条件时、，则、。由勾股定理和面积条件，得、。 ，所以；，所以或。 得到、，或、，两组都在线段范围内。 点的速度为， 所以第一组，；第二组，。第一组恰好是点到达的停止时刻，应保留；第二组两点均未到终点。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理中的动点与存在性问题 专题复习讲义 —学年苏科版八年级数学上册 学生版 内容导航 知识梳理 2 一、由定长求动点位置 4 二、用勾股定理表示等量关系 5 三、按直角顶点分类 6 四、按相等的两边分类 8 五、把运动时间转化为线段长度 9 组 基础巩固 10 组 方法突破 13 组 综合运用 15 组 中考衔接 18 动点的位置会改变，勾股定理中的直角条件不变。先用一个字母表示位置或时间，再把题设要求写成边长关系，最后把得到的每个值放回原图核验。 点在线段上、射线上或整条直线上，允许的位置不同；“运动到终点停止”与“任一点到终点时两点都停止”，对应的时间范围也不同。 条件与关系 题目条件或要求 可使用的关系 动点到定点的距离已知 在已有直角三角形中，用勾股定理求另一条直角边 两条线段相等 两条线段的平方相等，分别用勾股定理表示 三角形是直角三角形 按直角顶点分类，或先由位置排除不可能的顶点 三角形是等腰三角形 按三组相等边分类，留意是否指定腰或底边 两点同时运动 路程=速度×时间；经过转折点或有点停止时分段表示 知识梳理 一、定长与位置范围 如图，直线，点在直线上，。 由勾股定理，。因此，若，则。 当时，没有符合条件的点；当时，点与点重合；当时，直线上有分别位于点两侧的两个位置。若点只在线段或射线上运动，还要删去不在运动范围内的位置。 如、，则。不能只写“距为”，还要分别检查点两侧的位置是否允许。 二、相等线段与平方关系 两条线段长度都是非负数，所以与等价。若它们分别是两个直角三角形的斜边，可以先写出各自的平方，再列等式，不必急着写根号。 如、，、、，点在线段上。设，则。由，得，解得，且。 若某条线段的表示式只适用于一段位置，算得的值必须仍落在这一段内。 三、直角位置要分清 在能够组成三角形的前提下，若是直角三角形，直角可能在、或。对应的平方关系分别为、、。 由图中垂直、点的顺序或边长大小，能够排除的情况可先排除。如一个角已经是钝角，就不可能再出现直角。 如、、，由可知。其中最长边是斜边，不能把直角错放到或。 用平方等式得到位置后，还要检查三点能否组成三角形；两个点重合或三点在同一直线上的位置不能保留。 四、等腰要查三组相等边 若是等腰三角形，应分别检查、、。三种情况可能得到不同的位置，也可能有重复位置或没有符合条件的位置。 题目若指定为底边，只检查； 若指定为腰，检查或。 如三边长为、、，底边长是；若题目指定长度为的那条边是底边，这个三角形便不符合要求。三角形等腰与“某一边为腰”不是同一个条件。 五、运动要检查转折与停止 匀速运动时，路程=速度×时间。点沿一条线段运动，可用已知总长减去已走路程表示剩余长度；点转到另一条边后，要先减去走完前一段所用的时间。 如一条线段长，点以的速度运动，则时到达终点。若另一点直到才停止，且两点各自到终点后停止，那么这一段中，点的位置固定，不能再沿原方向继续计算。 整理出完全平方后，可直接开平方。如，得或；若表示长度，第二个值为负数，应舍去。 六、求得数值后的核验 位置范围：点是否在题目指定的线段、射线或直线上；端点是否允许重合。 时间范围：是否属于当前运动阶段；出发时刻是否包括；有点到终点后是否继续运动。 图形条件：三点能否组成三角形；指定的直角、腰或斜边是否对应正确。 最终结果：删去不符合条件的值，合并重复位置，写全所有可能值及单位。 一、由定长求动点位置 例 如图，点在线段上，，，，。点在线段上运动。若，求的所有可能值。 变式 如图，， ，。在线段上，满足的点有（　　）。 ．个 ．个 ．个 ．个 变式 如图，点在射线上，且点在、之间，，，。点在射线上运动。 若，求的长。 变式 如图，，是的中点，，。点在线段上运动，且，则点的所有可能位置是________。 二、用勾股定理表示等量关系 例 如图，在中，， ，。点在线段上运动。 若，求的长。 变式 如图，，， 点、在直线的同侧， ，。 若线段上有点满足，求的取值范围。 变式 如图，在中，，，。点在射线上运动，且。求的长及的面积。 变式 如图，，， 点、在直线的两侧， ，，。在线段上，满足的点共有多少个？ 三、按直角顶点分类 例 如图，在长方形中，，。点在线段上运动。若是直角三角形，求的所有可能值。 变式 如图，在中，，，。点在射线上运动，且与点不重合。若是直角三角形，求的所有可能值。 变式 如图，在长方形中， ，。在线段上，能使成为直角三角形的点有（　　）。 ．个 ．个 ．个 ．个 变式 如图，，， 点、在直线的同一侧， ，，。点在线段上运动。若是直角三角形，求的所有可能值。 四、按相等的两边分类 例 如图，在长方形中，，。点在线段上运动。若是等腰三角形，求的所有可能值。 变式 如图，在长方形中， ，。在线段上，能使成为等腰三角形的点有（　　）。 ．个 ．个 ．个 ．个 变式 如图，在中，，，。点在直线上运动，且与点不重合。若是等腰三角形，求点的所有可能位置，并求相应的长。 变式 如图，在长方形中， ，。点在线段上运动，是以为腰的等腰三角形。求的所有可能值及的周长。 五、把运动时间转化为线段长度 例 如图，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动。任意一点到达自己的终点时，两点同时停止运动。设运动时间为。在出发后到停止运动的过程中，当时， 求的值。 变式 如图，在长方形中，，。点从出发，沿→→以的速度运动，到达时停止。设运动时间为。当时，求的所有可能值。 变式 如图，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动。两点各自到达终点后停止，另一点继续按原速度运动。设运动时间为。当时，求的所有可能值。 变式 如图，在长方形中，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动，两点到达终点时停止。设运动时间为。当时，的所有可能值为________。 A组 基础巩固 如图，在中，， ，。点在线段上， ，则的长为（　　）。 ． ． ． ． 如图，点在线段上，，，，。在线段上有两个不同的点、，满足，则________。 如图，在中，， ，。点在线段上，且，则________。 如图，在长方形中，，，点是的中点，则的周长为________。 如图，在中，， ，。点在射线上，且。求的长。 如图，两条射线、互相垂直。点、同时从出发，分别沿、 以、的速度运动。 求运动时的长。 如图，在中，，，。点在线段上，的面积为。求的长。 B组 方法突破 如图，在长方形中，，。点从出发，沿→→→运动。当时，求点已经走过的路程的所有可能值。 如图，在中， ，，。点在线段上，且。求的长。 如图，在长方形中，，点在线段上，。若是直角三角形，则长方形的面积为（　　）。 ． ． ． ． 如图，在中，，。点在线段上运动，且与点不重合。若是等腰三角形，求面积的所有可能值。 如图，，，。点在线段上，点在线段上，且。若， 求、的长。 如图，，，点、在直线的同一侧， ，，。 点在线段上。若是以为斜边的等腰直角三角形，求的长。 C组 综合运用 如图，在中，， ，。点在线段上运动， 且与点、均不重合。 （1）若是等腰三角形，求的所有可能值。 （2）若和均为等腰三角形，求的长。 如图，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动。两点各自到达终点后停止，另一点继续按原速度运动。设运动时间为。 （1）在出发后到两点都停止的过程中，求使成为直角三角形的的所有取值。 （2）当时，求的所有可能值。 如图，在长方形中，。点在线段上运动，且与点、均不重合。已知只存在一个点，使。 （1）求和的长。 （2）点在线段上运动。若是等腰三角形，求的所有可能值。 如图，在中，， ，。点在线段上，点在线段上，且，点与点不重合。 （1）若是等腰三角形，求的所有可能值。 （2）求（1）中的面积。 如图，在中，， ，，是的中点。点在线段上运动，且。 （1）求的所有可能值。 （2）在（1）求得的位置中，点、、能组成三角形时，求的面积。 如图，在中，是的中点，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动。当点到达时，两点同时停止。设运动时间为。在出发后到停止运动的过程中，若是等腰三角形，求的所有可能值。 D组 中考衔接 中考真题 【年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团中考第题（1）节选】 如图，在等腰直角三角形中，，，，点是的中点，点和点分别是线段和上的动点。 当点和点分别是和的中点时， 求的值。 【年四川成都中考第题】 如图，在矩形中，，，分别以，两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点，则点到所在直线的距离为________。 【年天津中考第题】 如图，在矩形中，，，点在边上，且。 （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为________。 中考题型训练（原创） 【原创中考题型训练】 如图，，，。点在线段上运动。若，则的面积为________。 【原创中考题型训练】 如图，在中，，，。点在线段上运动。若，求的长。 【原创中考题型训练】 如图，，，。点从出发，沿以的速度运动；点同时从出发，沿以的速度运动（）。当任一点到达终点时，两点同时停止。在出发后到停止的过程中，若某时刻，且的面积为， 求的所有可能值 及相应的运动时间。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $