上海市2026-2027学年六年级数学上学期期中模拟卷（沪教版2024五四制：有理数+简单的代数式+新教材衔接内容）（拔尖卷03）

2026-2027学年六年级数学上学期期中模拟卷 数　学　（拔尖卷） （考试时间：90分钟　试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等填写在试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在试卷上。 3．考试结束后，将本试卷交回。 4．测试范围：沪教版2024五四制六年级上册第 1~2 章（有理数、简单的代数式）。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在 −(−5)，−|−4|，(−2)²，−2²，0 这五个数中，负数共有（　　） A．1 个　　　B．2 个　　　C．3 个　　　D．4 个 【答案】B 【分析】先逐一化简，特别注意 −2² 与 (−2)² 的区别． 【详解】解：−(−5)=5；−|−4|=−4；(−2)²=4；−2²=−4；0 既不是正数也不是负数． 所以负数有 −|−4| 和 −2² 共 2 个． 故选：B． 2．若关于 x 的代数式 (2−k)x²+(k−1)x+3 中不含 x² 项，则 k 的值是（　　） A．−1　　　B．0　　　C．1　　　D．2 【答案】D 【分析】“不含 x² 项”即 x² 项的系数为 0． 【详解】解：因为代数式 (2−k)x²+(k−1)x+3 中不含 x² 项， 所以 2−k=0，解得 k=2． 3．计算 (−2)³÷()²×(−1)²⁰²⁶ 的结果是（　　） A．−32　　　B．32　　　C．−8　　　D．8 【答案】A 【分析】先算乘方（注意 ()² 是正数、(−1)²⁰²⁶=1），再按从左到右的顺序算乘除，最后确定符号． 【详解】解：原式=(−8)÷×1 =(−8)×4=−32． 故选：A． 4．若 ab＞0，且 a+b＜0，那么（　　） A．a、b 都是正数　　　　　　　　　　B．a、b 都是负数 C．a、b 一正一负，且负数的绝对值较大　D．a、b 一正一负，且正数的绝对值较大 【答案】B 【分析】由积的符号判断 a、b 同号还是异号，再由和的符号判断绝对值的大小． 【详解】解：由 ab＞0 知 a、b 同号（都正或都负）； 若 a、b 都是正数，则 a+b＞0，与 a+b＜0 矛盾，所以 a、b 都是负数（此时和的符号与绝对值较大的数的符号一致）． 故选：B． 5．已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值等于 2，则 (a+b)+cd+m 的值是（　　） A．3　　　B．3 或 −1　　　C．−1　　　D．1 或 −3 【答案】B 【分析】互为相反数的两数之和为 0，互为倒数的两数之积为 1，绝对值等于 2 的数有两个． 【详解】解：由题意得 a+b=0，cd=1，m=2 或 m=−2． 当 m=2 时，原式=0+1+2=3；当 m=−2 时，原式=0+1−2=−1． 故选：B． 6．对于任意有理数 a、b，我们定义新运算“⊕”：a⊕b=a×b−(a+b)．例如 2⊕(−3)=2×(−3)−(2+(−3))=−5．下列结论中，一定正确的是（　　） A．a⊕b=b⊕a　　　　　　　　B．a⊕0=a C．若 a⊕b=0，则 a=b=0　　　D．(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) 【答案】A 【分析】按定义把每个选项中的新运算展开成普通运算，再逐项判断或举反例． 【详解】解：A．a⊕b=ab−a−b，b⊕a=ba−b−a，乘法交换律与加法交换律保证两式相等，正确； B．a⊕0=a×0−(a+0)=−a，不一定等于 a，错误； C．当 a=b=2 时，a⊕b=4−4=0，但 a、b 都不为 0，错误； D．取 a=1，b=2，c=3：(a⊕b)⊕c=(2−3)⊕3=(−1)⊕3=−3−2=−5，a⊕(b⊕c)=1⊕(6−5)=1⊕1=1−2=−1，不相等，错误． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．−3 的相反数是______． 【答案】3 【详解】解：−3 的相反数是 3 ． 8．分解素因数：72=______． 【答案】2×2×2×3×3 【详解】解：72=2×36=2×2×18=2×2×2×9=2×2×2×3×3． 9．用最简分数表示：40 分=______小时． 【答案】 【详解】解：40÷60= = ，所以 40 分= 小时． 10．计算：(−3)²×()=______． 【答案】−6 【分析】先算乘方，再算乘法，注意结果的符号． 【详解】解：(−3)²×()=9×()=−6． 11．某车间生产一种零件要经过甲、乙两道工序，甲工序每 45 分钟检查一次，乙工序每 60 分钟检查一次．上午 8:00 两道工序同时检查，那么下一次同时检查的时刻是______． 【答案】11:00 【分析】下一次同时检查所经过的分钟数必须既是 45 的倍数又是 60 的倍数，取它们的最小公倍数． 【详解】解：45=3×3×5，60=2×2×3×5， 最小公倍数是 2×2×3×3×5=180（分钟），180 分钟=3 小时， 8:00 再过 3 小时是 11:00． 12．在分子是 10 的最简分数中，大于 且小于 的分数有______个． 【答案】2 【分析】设分数为 ，由不等式组求 b 的范围，再逐一检验是否最简． 【详解】解：由 ＜＜ 得 40＜3b 且 b＜20，即 13 ＜b＜20， 所以 b 可取 14、15、16、17、18、19； 要使 是最简分数，b 与 10 互素，只有 b=17 或 b=19， 即 和 ，共 2 个． 13．计算：1−2+3−4+5−6+…+99−100=______． 【答案】−50 【分析】把相邻两项两两分组，每组的结果都是 −1，再看一共有多少组． 【详解】解：原式=(1−2)+(3−4)+(5−6)+…+(99−100) =(−1)×50=−50． 14．若 |x|=4，|y|=3，且 |x−y|=x−y，则 x+y=______． 【答案】7 或 1 【分析】由 |x−y|=x−y 知 x−y≥0，即 x≥y，据此筛选 x、y 的取值． 【详解】解：由 |x|=4 得 x=4 或 −4；由 |y|=3 得 y=3 或 −3． 因为 x−y≥0，所以 x≥y，只有 x=4 符合要求（x=−4 时小于 3 和 −3 之一不成立，且 −4＜−3，故舍去）， 当 y=3 时 x+y=7；当 y=−3 时 x+y=1． 15．已知 x 为有理数，则 |x−2|+|x+3| 的最小值是______． 【答案】5 【分析】|x−2| 表示 x 到 2 的距离，|x+3|=|x−(−3)| 表示 x 到 −3 的距离，两距离之和不小于这两点之间的距离． 【详解】解：当 −3≤x≤2 时，|x−2|+|x+3|=(2−x)+(x+3)=5； 当 x＜−3 或 x＞2 时，这个和都大于 5， 所以最小值是 5． 16．在 1~100 的自然数中，既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数的数共有______个． 【答案】26 【分析】用“容斥原理”：先算 2、3、5 的倍数的个数，相加时去掉重复计算的，再加上重复去掉的． 【详解】解：2 的倍数有 50 个，3 的倍数有 33 个，5 的倍数有 20 个； 6 的倍数有 16 个，10 的倍数有 10 个，15 的倍数有 6 个，30 的倍数有 3 个， 所以 2 或 3 或 5 的倍数共有 50+33+20−16−10−6+3=74（个）， 因此符合条件的数有 100−74=26（个）． 17．若把一个代数式中任意两个字母互换，代数式的值都不变，则称这个代数式为“完全对称式”，如 a+b+c 就是完全对称式．下列代数式：①(a+b)²；②(a−b)²；③ab+bc+ca；④a²b+b²c+c²a 中，是完全对称式的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】按定义把式子中任意两个字母互换，看所得式子与原式是否相同． 【详解】解：①互换 a、b 得 (b+a)²=(a+b)²，不变； ②互换 a、b 得 (b−a)²=(a−b)²，不变； ③互换任意两个字母，ab+bc+ca 都不变； ④互换 a、b 得 b²a+a²c+c²b，与原式不同． 所以完全对称式是①②③． 18．一种圆环的外圆直径是 8 cm，环宽 1 cm．把 n 个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为 l cm，那么 l=______（用含 n 的式子表示）；当 n=100 时，l=______． 【答案】l=6n+2；602 【分析】先算出 1 个、2 个圆环扣在一起的长度，找出每多扣 1 个增加的长度，再写出含 n 的式子． 【详解】解：1 个圆环长 8 cm；每多扣 1 个，长度增加 8−2×1=6（cm）， 所以 l=8+6(n−1)=6n+2； 当 n=100 时，l=6×100+2=602（cm）． 三、解答题（本大题共10小题，满分64分．其中第19-22题每题5分，第23-25题每题6分，第26-27题每题8分，第28题10分．解答应写出文字说明、演算步骤） 19．（本题满分5分）计算： (1) 2(3a²−2ab)−3(2a²−3ab+1)； (2) 2x−{3y−[2x−(x+y)]}． 【答案】(1) 5ab−3；(2) 3x−4y 【分析】多层括号要从最里层往外逐层去，每去一层都要检查括号前的符号；系数乘以括号时不能漏项． 【详解】解：(1) 原式=6a²−4ab−6a²+9ab−3=5ab−3； (2) 原式=2x−{3y−[2x−x−y]}=2x−{3y−(x−y)} =2x−{3y−x+y}=2x−(−x+4y)=3x−4y． 20．（本题满分5分）计算：−3²÷|−9|×()³−(−1)²⁰²⁵×()÷()． 【答案】 【分析】按“先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号”的顺序计算；注意 −3²=−9（不是 9）、()³ 是负数、(−1)²⁰²⁵=−1． 【详解】解：原式=−9÷9×()−(−1)×()÷() =(−1)×()÷() = −(−1)= +1= ． 21．（本题满分5分）学校图书馆买来 120 本故事书、90 本科普书和 75 本连环画，要把它们分别平均分给若干个班，每个班分到的同一种书同样多且正好分完． (1) 最多可以分给多少个班？ (2) 按最多的班数分，每个班一共分到多少本书？ 【答案】(1) 15 个；(2) 19 本 【分析】班数必须同时是 120、90、75 的因数（三种书都要正好分完），要求班数最多，就是求这三个数的最大公因数． 【详解】解：(1) 120=2×2×2×3×5，90=2×3×3×5，75=3×5×5， 三个数公有的素因数只有 3 和 5，最大公因数为 3×5=15， 所以最多可以分给 15 个班； (2) 120÷15=8（本），90÷15=6（本），75÷15=5（本）， 8+6+5=19（本）． 答：最多可以分给 15 个班，每个班一共分到 19 本书． 22．（本题满分5分）先化简，再求值： (1) 2(x²−3xy)−(2x²−5xy−1)，其中 x=−3，y= ； (2) 已知 x²+x=3，求 2x²+2x−5 的值． 【答案】(1) −xy+1，值为 ；(2) 1 【分析】(1) 先去括号、合并同类项，二次项会相互抵消；(2) 不必求出 x，把 x²+x 看作一个整体代入即可． 【详解】解：(1) 原式=2x²−6xy−2x²+5xy+1=−xy+1， 当 x=−3、y= 时，原式=−(−3)×+1= +1= ； (2) 因为 x²+x=3，所以 2x²+2x−5=2(x²+x)−5=2×3−5=1． 23．（本题满分6分）已知两个一次式分别是 5m−6+3n 和 −7m+3n−12． (1) 求 5m−6+3n 与 −7m+3n−12 的和； (2) 当 m 为正整数时，5m−6+3n 减去 −7m+3n−12 的差能否被 6 整除？请说明理由． 【答案】(1) −2m+6n−18；(2) 能，理由见解析 【分析】先去括号、合并同类项，再对结果作因式分解判断整除性． 【详解】解：(1) (5m−6+3n)+(−7m+3n−12) =5m−6+3n−7m+3n−12=−2m+6n−18． (2) (5m−6+3n)−(−7m+3n−12) =5m−6+3n+7m−3n+12=12m+6=6(2m+1)． 因为 m 为正整数，所以 2m+1 为正整数， 所以 6(2m+1) 能被 6 整除，即它们的差能被 6 整除． 24．（本题满分6分）甲、乙、丙三人绕一个环形湖跑步，跑一圈甲用 6 分钟、乙用 8 分钟、丙用 12 分钟．三人同时同地同向出发． (1) 至少经过多少分钟，三人再一次在出发点相遇？ (2) 此时甲、乙、丙各跑了多少圈？ 【答案】(1) 24 分钟；(2) 甲 4 圈，乙 3 圈，丙 2 圈 【分析】三人再次在出发点相遇时，所经过的时间必须同时是 6、8、12 的倍数，求“至少”就是求这三个数的最小公倍数． 【详解】解：(1) 6=2×3，8=2×2×2，12=2×2×3， 最小公倍数是 2×2×2×3=24， 所以至少经过 24 分钟，三人再一次在出发点相遇； (2) 24÷6=4（圈），24÷8=3（圈），24÷12=2（圈）． 答：至少经过 24 分钟三人再次在出发点相遇，此时甲跑 4 圈、乙跑 3 圈、丙跑 2 圈． 25．（本题满分6分）数轴上点 A 表示 −8，点 B 表示 12．动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为 t 秒． (1) 当 t 为何值时，P、Q 两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (2) 当 t 为何值时，P、Q 两点相距 5 个单位长度？ 【答案】(1) t=4，相遇点表示的数是 0；(2) t=3 或 t=5 【分析】t 秒后，点 P 表示的数为 −8+2t，点 Q 表示的数为 12−3t；相遇即两数相等，相距 5 个单位即两数之差的绝对值为 5． 【详解】解：t 秒后，P 表示 −8+2t，Q 表示 12−3t． (1) 由 −8+2t=12−3t 得 5t=20，t=4， 此时 −8+2×4=0，即相遇点表示的数是 0； (2) 由 |(−8+2t)−(12−3t)|=5 得 |5t−20|=5， 所以 5t−20=5 或 5t−20=−5，解得 t=5 或 t=3． 答：t=4 秒时两点相遇，相遇点是 0；t=3 秒或 5 秒时两点相距 5 个单位长度． 26．（本题满分8分）阅读材料：规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 3÷3÷3，(−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2) 等．类比有理数的乘方，我们把 3÷3÷3 记作 ，读作“3 的圈 3 次方”；把 (−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2) 记作 (−2，读作“−2 的圈 4 次方”．一般地，我们把 n 个 a（a≠0）相除记作 ，读作“a 的圈 n 次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1) 直接写出计算结果：=______，(=______； (2) 负数的圈奇次方的结果是______（填“正数”或“负数”）； (3) 将运算结果直接写成乘方的形式：(=______； (4) 计算：(÷3²×(． 【答案】(1) ；9；(2) 负数；(3) (−2)³；(4) −48 【分析】n 个相同的数 a 相除，每除以一次 a 就相当于乘 ，所以圈 n 次方相当于 a 除以自身 1 次后再乘 (n−1) 个 ，即 a 的 1 次幂与 (n−1) 个 相乘，转化为乘方就是 a 的 2−n 次幂．据此把“圈 n 次方”逐个转化为乘方计算． 【详解】解：(1) =5÷5÷5=5××= ； (=()÷()÷()÷()=()×3×3×3=9； (2) 负数的圈奇次方转化为乘方后，相当于奇数个负数相乘（每多除一次多乘一个它的相反数），结果是负数； (3) (=()÷()÷()÷()÷()=()×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=(−2)³； (4) (=()×(−3)×(−3)×(−3)×(−3)=(−3)³=−27，(=()×(−4)×(−4)=16， 原式=(−27)÷9×16=−3×16=−48． 27．（本题满分8分）观察下列等式： 3²−1²=8=8×1；　5²−3²=16=8×2；　7²−5²=24=8×3；　9²−7²=32=8×4；…… (1) 按此规律，写出第 6 个等式； (2) 用含 n 的式子表示这个规律（n 为正整数）； (3) 计算：101²−99²+103²−101²+105²−103²+…+201²−199²． 【答案】(1) 13²−11²=48=8×6；(2) (2n+1)²−(2n−1)²=8n；(3) 30600 【分析】每个等式的左边都是相邻两个奇数的平方差，第 n 个等式是 (2n+1)²−(2n−1)²；(3) 中相邻两项的平方数互相抵消，也可以用 (2) 的规律把每一项写成 8 的倍数再求和． 【详解】解：(1) 第 6 个等式为 13²−11²=169−121=48=8×6； (2) 第 n 个等式为 (2n+1)²−(2n−1)²=8n（验证：由平方差公式得 (2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=4n×2=8n）； (3) 方法一：原式=(101²−99²)+(103²−101²)+…+(201²−199²)，中间各项互相抵消， 原式=201²−99²=40401−9801=30600； 方法二：由 (2)，101²−99²=8×50，103²−101²=8×51，……，201²−199²=8×100， 原式=8×(50+51+…+100)=8×(50+100)×=8×3825=30600． 28．（本题满分10分）阅读材料，回答下列问题． (1) 如图 1，已知在数轴上有一个表示数 a 的点 M，点 M 在数轴上移动 3 个单位长度后得到点 N，且点 N 表示的数是 5，那么 a 的值是______； (2) 如图 2，有一根木尺 PTSQ 放置在数轴上，它的两个顶点 T、S 分别落在数轴上的 A、B 两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点 T 移动到点 B 时，点 S 所对应的数为 24；当点 S 移动到点 A 时，点 T 所对应的数为 6（单位：cm）．利用所学知识可以求出点 A 表示的数为______，点 B 表示的数为______； (3) 借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才 8 岁；你若是我现在这么大，我就 20 岁啦．”请你仿照第 (2) 小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】(1) 2 或 8；(2) 点 A 表示 12，点 B 表示 18；(3) 小明 12 岁，表姐 16 岁 【分析】(1) 移动方向没有说明，要分向左、向右两种情况；(2) 木尺的长度不变，A 到 6 的距离、B 到 24 的距离都等于木尺的长，而 A 到 B 也等于木尺的长，所以 6 与 24 之间恰好是 3 个木尺长；(3) 把“年龄差”看作木尺的长，8 岁与 20 岁之间恰好是 3 个年龄差，仿照 (2) 画数轴示意图求解． 【详解】解：(1) 点 M 向右移动 3 个单位长度得到 5，则 a=5−3=2； 点 M 向左移动 3 个单位长度得到 5，则 a=5+3=8． 所以 a 的值是 2 或 8； (2) 由题意，6 到 A 的距离、B 到 24 的距离都等于木尺的长，且 A 到 B 的距离也等于木尺的长， 所以 6 与 24 之间恰好是 3 个木尺的长，木尺的长=(24−6)÷3=6（cm）， 所以点 A 表示的数为 6+6=12，点 B 表示的数为 24−6=18； (3) 仿照 (2)，把年龄差看作“木尺的长”，画数轴示意图：8 岁与 20 岁之间恰好是 3 个年龄差， 年龄差=(20−8)÷3=4（岁）， 小明的年龄=8+4=12（岁），表姐的年龄=20−4=16（岁）． 检验：表姐回到小明现在的年龄（12 岁）需倒退 4 年，那时小明 8 岁，符合“你才 8 岁”； 小明长到表姐现在的年龄（16 岁）需 4 年，那时表姐 20 岁，符合“我就 20 岁啦”． 答：小明 12 岁，表姐 16 岁． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年六年级数学上学期期中模拟卷 数　学　（拔尖卷） （考试时间：90分钟　试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等填写在试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在试卷上。 3．考试结束后，将本试卷交回。 4．测试范围：沪教版2024五四制六年级上册第 1~2 章（有理数、简单的代数式）。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在 −(−5)，−|−4|，(−2)²，−2²，0 这五个数中，负数共有（　　） A．1 个　　　B．2 个　　　C．3 个　　　D．4 个 2．若关于 x 的代数式 (2−k)x²+(k−1)x+3 中不含 x² 项，则 k 的值是（　　） A．−1　　　B．0　　　C．1　　　D．2 3．计算 (−2)³÷()²×(−1)²⁰²⁶ 的结果是（　　） A．−32　　　B．32　　　C．−8　　　D．8 4．若 ab＞0，且 a+b＜0，那么（　　） A．a、b 都是正数　　　　　　　　　　B．a、b 都是负数 C．a、b 一正一负，且负数的绝对值较大　D．a、b 一正一负，且正数的绝对值较大 5．已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值等于 2，则 (a+b)+cd+m 的值是（　　） A．3　　　B．3 或 −1　　　C．−1　　　D．1 或 −3 6．对于任意有理数 a、b，我们定义新运算“⊕”：a⊕b=a×b−(a+b)．例如 2⊕(−3)=2×(−3)−(2+(−3))=−5．下列结论中，一定正确的是（　　） A．a⊕b=b⊕a　　　　　　　　B．a⊕0=a C．若 a⊕b=0，则 a=b=0　　　D．(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．−3 的相反数是______． 8．分解素因数：72=______． 9．用最简分数表示：40 分=______小时． 10．计算：(−3)²×()=______． 11．某车间生产一种零件要经过甲、乙两道工序，甲工序每 45 分钟检查一次，乙工序每 60 分钟检查一次．上午 8:00 两道工序同时检查，那么下一次同时检查的时刻是______． 12．在分子是 10 的最简分数中，大于 且小于 的分数有______个． 13．计算：1−2+3−4+5−6+…+99−100=______． 14．若 |x|=4，|y|=3，且 |x−y|=x−y，则 x+y=______． 15．已知 x 为有理数，则 |x−2|+|x+3| 的最小值是______． 16．在 1~100 的自然数中，既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数的数共有______个． 17．若把一个代数式中任意两个字母互换，代数式的值都不变，则称这个代数式为“完全对称式”，如 a+b+c 就是完全对称式．下列代数式：①(a+b)²；②(a−b)²；③ab+bc+ca；④a²b+b²c+c²a 中，是完全对称式的是______（填序号）． 18．一种圆环的外圆直径是 8 cm，环宽 1 cm．把 n 个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为 l cm，那么 l=______（用含 n 的式子表示）；当 n=100 时，l=______． 三、解答题（本大题共10小题，满分64分．其中第19-22题每题5分，第23-25题每题6分，第26-27题每题8分，第28题10分．解答应写出文字说明、演算步骤） 19．（本题满分5分）计算： (1) 2(3a²−2ab)−3(2a²−3ab+1)； (2) 2x−{3y−[2x−(x+y)]}． 20．（本题满分5分）计算：−3²÷|−9|×()³−(−1)²⁰²⁵×()÷()． 21．（本题满分5分）学校图书馆买来 120 本故事书、90 本科普书和 75 本连环画，要把它们分别平均分给若干个班，每个班分到的同一种书同样多且正好分完． (1) 最多可以分给多少个班？ (2) 按最多的班数分，每个班一共分到多少本书？ 22．（本题满分5分）先化简，再求值： (1) 2(x²−3xy)−(2x²−5xy−1)，其中 x=−3，y= ； (2) 已知 x²+x=3，求 2x²+2x−5 的值． 23．（本题满分6分）已知两个一次式分别是 5m−6+3n 和 −7m+3n−12． (1) 求 5m−6+3n 与 −7m+3n−12 的和； (2) 当 m 为正整数时，5m−6+3n 减去 −7m+3n−12 的差能否被 6 整除？请说明理由． 24．（本题满分6分）甲、乙、丙三人绕一个环形湖跑步，跑一圈甲用 6 分钟、乙用 8 分钟、丙用 12 分钟．三人同时同地同向出发． (1) 至少经过多少分钟，三人再一次在出发点相遇？ (2) 此时甲、乙、丙各跑了多少圈？ 25．（本题满分6分）数轴上点 A 表示 −8，点 B 表示 12．动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为 t 秒． (1) 当 t 为何值时，P、Q 两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (2) 当 t 为何值时，P、Q 两点相距 5 个单位长度？ 26．（本题满分8分）阅读材料：规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 3÷3÷3，(−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2) 等．类比有理数的乘方，我们把 3÷3÷3 记作 ，读作“3 的圈 3 次方”；把 (−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2) 记作 (−2，读作“−2 的圈 4 次方”．一般地，我们把 n 个 a（a≠0）相除记作 ，读作“a 的圈 n 次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1) 直接写出计算结果：=______，(=______； (2) 负数的圈奇次方的结果是______（填“正数”或“负数”）； (3) 将运算结果直接写成乘方的形式：(=______； (4) 计算：(÷3²×(． 27．（本题满分8分）观察下列等式： 3²−1²=8=8×1；　5²−3²=16=8×2；　7²−5²=24=8×3；　9²−7²=32=8×4；…… (1) 按此规律，写出第 6 个等式； (2) 用含 n 的式子表示这个规律（n 为正整数）； (3) 计算：101²−99²+103²−101²+105²−103²+…+201²−199²． 28．（本题满分10分）阅读材料，回答下列问题． (1) 如图 1，已知在数轴上有一个表示数 a 的点 M，点 M 在数轴上移动 3 个单位长度后得到点 N，且点 N 表示的数是 5，那么 a 的值是______； (2) 如图 2，有一根木尺 PTSQ 放置在数轴上，它的两个顶点 T、S 分别落在数轴上的 A、B 两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点 T 移动到点 B 时，点 S 所对应的数为 24；当点 S 移动到点 A 时，点 T 所对应的数为 6（单位：cm）．利用所学知识可以求出点 A 表示的数为______，点 B 表示的数为______； (3) 借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才 8 岁；你若是我现在这么大，我就 20 岁啦．”请你仿照第 (2) 小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $