勾股定理中的辅助线与求长问题专题复习讲义2026—2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理中的辅助线与求长问题 2026—2027学年苏科版八年级数学上册专题复习 教师详解版 学习导航 先确定所求线段应放进哪个直角三角形，再决定补垂线、连接已有点，还是利用中点与角平分线构造全等。算出候选长度后，还要核对点的位置与题目范围。 一、补出直角边整理线段和差 2 二、作公共高把三边条件放进两个直角三角形 4 三、用同一个未知量表示有关线段 7 四、连接已有点寻找公共边和隐藏的直角 10 五、遇到中点先考虑把中线延长一倍 14 六、利用角平分线构造全等三角形 16 七、A组 基础巩固 20 八、B组 难点突破 23 九、C组 综合应用 28 十、D组 近期中考真题 34 一、补出直角边整理线段和差 【适用条件】已知两条线段都垂直于同一直线时，它们互相平行。两端点间的斜线不一定是现成直角三角形的边，可以从一个端点向另一条垂线作垂线， 补出所需的两条直角边。 【选择依据】先看所求斜线两端点在两个互相垂直方向上各相差多少。 沿一个方向的间隔往往等于已知底边；另一个方向的间隔，可能是两段长度之和，也可能是两段长度之差。 【必要说明】新增线段与已知线段相等，不能只凭图像判断。例如过作由平行线的性质，为公共边，所以得到这里用的是全等三角形，不需要特殊四边形定理。 【例如】补出的直角三角形两条直角边分别为与则斜边长为如果两段在底边两侧，另一条直角边应写成两段的和。 【易错提醒】“在某条直线同侧”只确定相对于这一条直线的位置，不一定能确定两个端点谁更高。由平方求出长度差后，要逐一检查两种点序。 例1、如图，点在直线的同侧。已知求的长。 【解析】过作于连接由平行线的性质及公共边得所以 故 变式1-1、如图，点在直线的两侧。已知求的长。 【解析】过作于连接由平行线与全等得 与在的两侧，故因此 变式1-2、如图，点在直线的同侧。已知求所有可能的长度。 【解析】过作于由全等可得于是 若在线段上，则若在的延长线上，则两种位置都满足在直线同侧。 所以的长为或 点 D 在线段 CE 上 点 D 在 CE 的延长线上 变式1-3、如图，点在直线的同侧。已知为的中点。求的长。 【解析】过作于由全等得故 所以 二、作公共高把三边条件放进两个直角三角形 【适用条件】三角形没有给出直角，但已知三边，或已知两边与到第三边所在直线的距离，可以作高，把已知斜边放入两个直角三角形。 【选择依据】所求点在某一边上时，优先向这条边所在直线作高。这样原两侧边与目标线段共用同一条高，求出高与垂足位置后即可继续计算。 【常用步骤】若且在线段上，设则两个勾股式给出公共的与展开后的都可以消去，剩下的是一元一次方程。 【例如】高足在边内。由得于是这时求边上另一个点到的距离，只需再求它到的距离。 【易错提醒】高足在边内，底边是两段之和；高足在边外，底边是两段之差。若先假设高足在边内，却算出负的“长度”，不能保留这个负数；应检查高足是否在延长线上。只给高与两侧边时，还可能有两种底边长。 例2、在中，点在线段上，求的长。 【解析】作于设由得符合高足在边内的位置。 故 变式2-1、在中，点到直线的距离为求所有可能的长度。 【解析】作直线于则由勾股定理得 若在线段内，若在同侧，因此或 高足在边内 高足在边外 变式2-2、在中，为的中点。 求的长。 【解析】作于设由得所以 故中线不自动与垂直，也不等于的一半。 变式2-3、在中，点在线段上，求的长。 【解析】作直线于若先假定在线段上，设由得说明该位置不成立。 高足在外侧时，设由得高足在外侧不可能，因为那时与已知相反。 在线段上，故 三、用同一个未知量表示有关线段 【适用条件】已有直角三角形时，未必还要加辅助线。题中两条长度相等、和为定值或差为定值，可以先把它们用同一个未知量表示，再代入勾股定理。 【选择依据】尽量设题目直接要求的线段为同时写出与它在同一直线上的另一段，以及作为斜边的那一段。线段的和、差与点的顺序必须一致。 【例如】两条直角边为斜边比长则展开后消去，得斜边为这不是把误当成 【常用步骤】先列出全部长度表达式，再列一个正确的勾股式。展开时保留中间的乘积项；求出后检查长度是否为正、分点是否落在题目规定的线段或射线上。 【易错提醒】等式算出的数值只是候选结果。点在延长线上时，原来的“整段减去一段”可能要改成相加；若点与题目排除的端点重合，也要舍去。 例3、在中，点在线段上，且比长求的长。 【解析】设则 由得即所以 符合点的位置，故 变式3-1、在中，点在线段上，且求的长。 【解析】设则由得 因此且故 变式3-2、在中，点在射线上，且不与重合，比长求的长。 【解析】若在线段上，设则由得符合点的位置。 若在的延长线上，设则由得不合条件。 因此 变式3-3、在中，点在直线上，且不与重合，求的长。 【解析】若在线段上，设则由得此时与重合，题目已排除。 若在的外侧，设则由得符合位置。 若在的外侧，设则由也只得不符合位置。因此 四、连接已有点寻找公共边和隐藏的直角 【适用条件】图中已有两个直角或几组已知边长，却不在同一个三角形中，先考虑连接已有的点。新线可能成为两个直角三角形的公共斜边，也可能把三条已知边放进同一个三角形。 【选择依据】两个直角三角形若共用斜边，且各有一条直角边相等，则由勾股定理相减可得另两条直角边相等。没有公共边时，这一推理不能直接使用。 【例如】两直角三角形共用斜边已知两条直角边都是则另两条直角边的平方都等于它们的长度相等。公共斜边本身未必需要算出来。 【先判直角再求长】新连线的长度求出后，若三边满足“较短两边的平方和等于最长边的平方”，才可用逆定理确定新的直角。之后作垂线、整理线段和差时，必须依赖这个已经证明的垂直关系。 【合并等式的工具】若几个直角三角形含有相同的边，先把勾股式相加或相减，可能直接消去暂时求不出的线段。例如于时，四个小三角形给出求其中一条边可以直接用这个等式；若还要求通常仍要确定的位置及各自的长度。 【易错提醒】辅助线不是越多越好。先看所连的线能否同时进入两条有用等式；还要分清新直角所对的是哪条边，不能看图把某个角直接当作直角。 例4、在中，点在线段上，过作交于点求和的长。 【解析】由勾股定理得又连接使两个直角三角形共用斜边。 在和中，且公共，由勾股定理相减得所以 设则由得所以 变式4-1、如图，在四边形中，点分居直线两侧。已知求的长。 【解析】连接由得又所以 作于过作于设由得故 由平行线与全等得在两侧，故 于是 变式4-2、在中，点在直线上，过作交直线于点求和所有可能的长度。 【解析】连接由及两个直角三角形共斜边，仍可得 当在线段上时，与典例相同，得 当在的延长线上时，在的延长线上。设则由得故 因此两组结果为或 点 D 在线段 AB 上 点 D 在 AB 的延长线上 变式4-3、如图，在四边形中，点分居直线两侧，求的长。 【解析】连接由SSS得所以连接交于由公共及夹角相等，得 故设由得于是 因此这里先证全等得到直角，不能直接把未给出的交角当作直角。 五、遇到中点先考虑把中线延长一倍 【适用条件】已知两条边和第三边上的中线时，这三个已知量通常不在同一个三角形中。延长中线一倍，可以用全等把一条原边转移过去。 【必要证明】若是的中点，延长到使连接因为得所以新三角形的三边便是和 【选择依据】先检查这三条边能否由逆定理判出直角；如果不能，仍可在新三角形中作高求长。若只求中线的范围，则可直接在新三角形中用三角形三边关系。并不是每道中点题都一定要倍长。 【例如】时，新三角形三边为可以判出直角。若只知道则即 【易错提醒】不能直接说“中线等于一半”。本节的中线属于一般三角形，只有另有直角且中点在斜边上时，才能使用斜边中线性质。 例5、在中，是边上的中线，求的度数和的长。 【解析】延长到使连接由SAS得所以 故 在中，为中点，所以 变式5-1、在中，为的中点。求的取值范围。 【解析】延长到使连接由全等得 在中，所以两个端点都不能取，否则三个点在一条直线上，不能组成三角形。 变式5-2、在中，为的中点，求的长。 【解析】延长到使连接由得三边不能直接判出直角，作于 设由得故 故 变式5-3、在中，为的中点，为的中点，连接求的长。 【解析】延长到使连接由全等得由逆定理得再由得且 延长到使连接由SAS得所以故共线， 过作于由平行线与全等得所以 在中，为的中点，因此 六、利用角平分线构造全等三角形 【适用条件】在角平分线一侧有一个直角三角形时，可以在另一边上截取等长线段，与角平分线组成全等三角形，把直角与边长转移过去。 【必要证明】在中，平分在上取使连接因为公共、由SAS得所以 【选择依据】这样既把原来的转移为又把转成若已知，可在新直角三角形中先求 若原三边已知，则反过来求底边上的分段。 【例如】时，新三角形中故即随后结合原直角三角形列式，就能求两条原边。 【另一种作法】从角平分线上的点向角的两边作垂线，两个小直角三角形有相等的锐角和公共斜边，可由全等得到两条垂线段相等。若有两条角平分线相交，分别利用这两组全等，可把三个方向上的距离联系起来；仍要把新线段与原边上的分段逐一对应。 【外角情况】若平分的是外角，所截取的等长线段可能在原边的延长线上。此时新线段可能等于两条原边之和，不再是它们之差；全等与点序都要重新核对。 【易错提醒】本节不用角平分线分边成比例的结论。每次都由等边、等角和公共边证全等，再使用已经得到的直角与等长。 【综合时用到的已学关系】同一个三角形换一条边作底，面积不变，因此“原底×原高＝新底×新高”。例如底、高为的三角形，改用长为的边作底，对应高为图中高足在边外时，面积公式仍然成立。 【特殊角的前提】在直角三角形中，一个锐角为它所对的直角边等于斜边的一半。可把这条短直角边经过直角顶点延长一倍，连接新端点与另一端点；用SAS证两小三角形全等后，拼成的三角形顶角为且两腰相等，因而是等边三角形，得到两倍关系。没有直角前提时，不能直接使用。 例6、在中，平分点在上，求和的长。 【解析】在上取点使连接由SAS得所以 在中，即又设由得 所以 变式6-1、在中，平分交于点求与的长。 【解析】在上取点使连接由全等得且 设则由得 所以 变式6-2、在中，延长到点平分交直线于点求与的长。 【解析】在射线上取点使连接由SAS得所以 在的外侧，设则由得 故 变式6-3、在中，分别平分点在上，点在上，两条角平分线相交于点 求的长。 【解析】作垂足分别为由两条角平分线，分别得 因此记为并且 由公共斜边及得所以平分直角两个小三角形都是等腰直角三角形，故 从得即 最后在中， 七、A组 基础巩固 1、如图，点在直线同侧，的长为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】过作于由全等得故选C。 2、在中，于的长为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】设由得 所以选B。 3、在中，点在线段上，则________。 【解析】设则由得 4、在中，为的中点。则________。 【解析】作于由得所以故 5、如图，垂足为求的长。 【解析】四个直角三角形给出故 6、在中，点在线段上，比长设可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】直角在斜边是所以选D。 7、在中，平分交于点求的长。 【解析】在上取点使连接由SAS得所以 设则由得故 8、在中，为的中点，求的长。 【解析】延长到使连接由全等得 由得故 八、B组 难点突破 1、在中，点在线段上，且不与重合，则________。 【解析】作于由两个勾股式得因为所以 在两侧的候选位置中，一个是点已排除；另一个满足 2、如图，点在直线同侧，且与的长分别为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】过作于由全等得所以 故与联立，得选A。 3、在中，于点在直线上，且不与重合。求的长。 【解析】设则由得 作于设由得故 两个直角三角形共用故由于与在两侧。因此 4、在中，为的中点，点在射线上，且求的长。 【解析】延长到使连接由全等得由逆定理得由得且 设无论在哪一侧，都有由得所以 故在之间， 5、如图，于点在线段内部。点在线段上，已知求与的长。 【解析】由得 又相减得因所以 两式联立，得这些长度均为正且顺序符合题意。 6、在中，点在线段上，延长到点使连接求的长。 【解析】作于由等腰三角形三线合一，所以 作于由对顶角相等及两个直角，得所以 在靠近的一侧，故因此 7、在中，为的中点，点为的中点。求与的长。 【解析】延长到使连接由全等得作于 设由得故与重合， 延长到使连接由SAS得所以且 故 8、如图，四边形的对角线垂直相交于点已知求与的长。 【解析】四个直角三角形的勾股式相加减，得所以 要求还需分别求与设则由得 于是在上，所以 九、C组 综合应用 1、在中，为的中点。点在线段内部，过作的垂线，与直线交于点 当严格在线段内部时，求的取值范围。 在的条件下，若求的长。 【解析】先设在线段内部，记作垂足分别为在处成直角，为斜边的中点，所以在等腰中，由三线合一得再由勾股定理得 分别在含的直角三角形中列式，即使在两侧、在两侧，仍有又整理得 故反过来，任取这个范围内的令则在线段上取对应点上面的等式逆向成立，故由逆定理，所以这个就是所作垂线与的交点。范围充分且必要。 由得与联立，得两者符合的范围。 因此 2、在中，为的中点，点在射线上，且所有可能的长度为________。 【解析】作于作于因为且两个直角三角形在处的角相等，由全等得且在两侧。 设由有得从而 所以在的两侧各有一个候选点：朝方向的点满足远离方向的点满足 前一位置在内部，后一位置在的延长线上，两者均在射线上，故或 点 P 在线段 AM 上 点 P 在 AM 的延长线上 3、在中，点满足求所有可能的长度。 【解析】作于由两个勾股式得作于设由得故 过作于由全等得若在两侧，因此 若在同侧，则所以 两种位置都满足点到的已知距离。因此或 点 A、D 在 BC 两侧 点 A、D 在 BC 同侧 4、在中，点在线段内部，过作交线段于点若与的长分别为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】设则连接 由两个以为斜边的直角三角形，得又由得消去平方项，得 把代入后一式，整理得因为所以 符合两点的位置。故选A。 5、在中，平分交于点延长到点平分交直线于点 已知求与的长。 【解析】所以在两侧。设则 由得整理得 是锐角的一半，小于所以舍去得 设在上取使连接由全等得所以 两式整理得代入得因得因此 6、在中，分别为的中点，与相交于点且 已知求的长。 【解析】连接因为所以与面积相等，与面积也相等；相减得 又所以以为底时高相同，故 同理，由比较及的面积，得又故以为底时高相同，所以这里的两倍关系已经证明，不能直接把中线当作平均分成三段。 故 十、D组 近期中考真题 1、（2025年湖南长沙中考第21题节选）如图，正方形中，点分别在上，且连接若求的长。 【解析】过作于利用正方形所给的四条边相等、四个直角，及公共边由角边角得所以 所以在中， 2、（2025年江苏连云港中考第8题）如图，在中，平分为垂足， 则的值为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】设由直角三角形性质，由勾股定理，过作于由角平分线及两个直角三角形全等得记为 在中，分别以为底计算面积，得即所以 又把分别以为底计算面积，得 因此选A。垂足虽在线段外，仍是对应的高。 3、（2025年黑龙江省龙东地区中考第9题）如图，在中，点分别在边和上，且连接点分别是的中点，连接则的长度为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】延长到使由及对顶角相等，得故且于是 延长到使由SAS得所以且 公共，且由SAS得故 又所以选A。 第一次倍长 第二次倍长 4、（2025年山西省中考第15题）如图，在四边形中，点在边上，连接且点在的延长线上，连接若则线段的长为________。 【解析】连接作于作于由平分及两个直角，得所以 设由平行线及公共边得所以用面积分割得又故 在中，故解得因此在右侧， 由及公共直角边得故是直线上两个不同点，所以在线段上。 因此 用面积联系线段 利用等腰关系求长 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理中的辅助线与求长问题 2026—2027学年苏科版八年级数学上册专题复习 学生版 学习导航 先确定所求线段应放进哪个直角三角形，再决定补垂线、连接已有点，还是利用中点与角平分线构造全等。算出候选长度后，还要核对点的位置与题目范围。 一、补出直角边整理线段和差 2 二、作公共高把三边条件放进两个直角三角形 4 三、用同一个未知量表示有关线段 7 四、连接已有点寻找公共边和隐藏的直角 10 五、遇到中点先考虑把中线延长一倍 13 六、利用角平分线构造全等三角形 16 七、A组 基础巩固 19 八、B组 难点突破 23 九、C组 综合应用 27 十、D组 近期中考真题 31 一、补出直角边整理线段和差 【适用条件】已知两条线段都垂直于同一直线时，它们互相平行。两端点间的斜线不一定是现成直角三角形的边，可以从一个端点向另一条垂线作垂线， 补出所需的两条直角边。 【选择依据】先看所求斜线两端点在两个互相垂直方向上各相差多少。 沿一个方向的间隔往往等于已知底边；另一个方向的间隔，可能是两段长度之和，也可能是两段长度之差。 【必要说明】新增线段与已知线段相等，不能只凭图像判断。例如过作由平行线的性质，为公共边，所以得到这里用的是全等三角形，不需要特殊四边形定理。 【例如】补出的直角三角形两条直角边分别为与则斜边长为如果两段在底边两侧，另一条直角边应写成两段的和。 【易错提醒】“在某条直线同侧”只确定相对于这一条直线的位置，不一定能确定两个端点谁更高。由平方求出长度差后，要逐一检查两种点序。 例1、如图，点在直线的同侧。已知求的长。 变式1-1、如图，点在直线的两侧。已知求的长。 变式1-2、如图，点在直线的同侧。已知求所有可能的长度。 变式1-3、如图，点在直线的同侧。已知为的中点。求的长。 二、作公共高把三边条件放进两个直角三角形 【适用条件】三角形没有给出直角，但已知三边，或已知两边与到第三边所在直线的距离，可以作高，把已知斜边放入两个直角三角形。 【选择依据】所求点在某一边上时，优先向这条边所在直线作高。这样原两侧边与目标线段共用同一条高，求出高与垂足位置后即可继续计算。 【常用步骤】若且在线段上，设则两个勾股式给出公共的与展开后的都可以消去，剩下的是一元一次方程。 【例如】高足在边内。由得于是这时求边上另一个点到的距离，只需再求它到的距离。 【易错提醒】高足在边内，底边是两段之和；高足在边外，底边是两段之差。若先假设高足在边内，却算出负的“长度”，不能保留这个负数；应检查高足是否在延长线上。只给高与两侧边时，还可能有两种底边长。 例2、在中，点在线段上，求的长。 变式2-1、在中，点到直线的距离为求所有可能的长度。 变式2-2、在中，为的中点。 求的长。 变式2-3、在中，点在线段上，求的长。 三、用同一个未知量表示有关线段 【适用条件】已有直角三角形时，未必还要加辅助线。题中两条长度相等、和为定值或差为定值，可以先把它们用同一个未知量表示，再代入勾股定理。 【选择依据】尽量设题目直接要求的线段为同时写出与它在同一直线上的另一段，以及作为斜边的那一段。线段的和、差与点的顺序必须一致。 【例如】两条直角边为斜边比长则展开后消去，得斜边为这不是把误当成 【常用步骤】先列出全部长度表达式，再列一个正确的勾股式。展开时保留中间的乘积项；求出后检查长度是否为正、分点是否落在题目规定的线段或射线上。 【易错提醒】等式算出的数值只是候选结果。点在延长线上时，原来的“整段减去一段”可能要改成相加；若点与题目排除的端点重合，也要舍去。 例3、在中，点在线段上，且比长求的长。 变式3-1、在中，点在线段上，且求的长。 变式3-2、在中，点在射线上，且不与重合，比长求的长。 变式3-3、在中，点在直线上，且不与重合，求的长。 四、连接已有点寻找公共边和隐藏的直角 【适用条件】图中已有两个直角或几组已知边长，却不在同一个三角形中，先考虑连接已有的点。新线可能成为两个直角三角形的公共斜边，也可能把三条已知边放进同一个三角形。 【选择依据】两个直角三角形若共用斜边，且各有一条直角边相等，则由勾股定理相减可得另两条直角边相等。没有公共边时，这一推理不能直接使用。 【例如】两直角三角形共用斜边已知两条直角边都是则另两条直角边的平方都等于它们的长度相等。公共斜边本身未必需要算出来。 【先判直角再求长】新连线的长度求出后，若三边满足“较短两边的平方和等于最长边的平方”，才可用逆定理确定新的直角。之后作垂线、整理线段和差时，必须依赖这个已经证明的垂直关系。 【合并等式的工具】若几个直角三角形含有相同的边，先把勾股式相加或相减，可能直接消去暂时求不出的线段。例如于时，四个小三角形给出求其中一条边可以直接用这个等式；若还要求通常仍要确定的位置及各自的长度。 【易错提醒】辅助线不是越多越好。先看所连的线能否同时进入两条有用等式；还要分清新直角所对的是哪条边，不能看图把某个角直接当作直角。 例4、在中，点在线段上，过作交于点求和的长。 变式4-1、如图，在四边形中，点分居直线两侧。已知求的长。 变式4-2、在中，点在直线上，过作交直线于点求和所有可能的长度。 变式4-3、如图，在四边形中，点分居直线两侧，求的长。 五、遇到中点先考虑把中线延长一倍 【适用条件】已知两条边和第三边上的中线时，这三个已知量通常不在同一个三角形中。延长中线一倍，可以用全等把一条原边转移过去。 【必要证明】若是的中点，延长到使连接因为得所以新三角形的三边便是和 【选择依据】先检查这三条边能否由逆定理判出直角；如果不能，仍可在新三角形中作高求长。若只求中线的范围，则可直接在新三角形中用三角形三边关系。并不是每道中点题都一定要倍长。 【例如】时，新三角形三边为可以判出直角。若只知道则即 【易错提醒】不能直接说“中线等于一半”。本节的中线属于一般三角形，只有另有直角且中点在斜边上时，才能使用斜边中线性质。 例5、在中，是边上的中线，求的度数和的长。 变式5-1、在中，为的中点。求的取值范围。 变式5-2、在中，为的中点，求的长。 变式5-3、在中，为的中点，为的中点，连接求的长。 六、利用角平分线构造全等三角形 【适用条件】在角平分线一侧有一个直角三角形时，可以在另一边上截取等长线段，与角平分线组成全等三角形，把直角与边长转移过去。 【必要证明】在中，平分在上取使连接因为公共、由SAS得所以 【选择依据】这样既把原来的转移为又把转成若已知，可在新直角三角形中先求 若原三边已知，则反过来求底边上的分段。 【例如】时，新三角形中故即随后结合原直角三角形列式，就能求两条原边。 【另一种作法】从角平分线上的点向角的两边作垂线，两个小直角三角形有相等的锐角和公共斜边，可由全等得到两条垂线段相等。若有两条角平分线相交，分别利用这两组全等，可把三个方向上的距离联系起来；仍要把新线段与原边上的分段逐一对应。 【外角情况】若平分的是外角，所截取的等长线段可能在原边的延长线上。此时新线段可能等于两条原边之和，不再是它们之差；全等与点序都要重新核对。 【易错提醒】本节不用角平分线分边成比例的结论。每次都由等边、等角和公共边证全等，再使用已经得到的直角与等长。 【综合时用到的已学关系】同一个三角形换一条边作底，面积不变，因此“原底×原高＝新底×新高”。例如底、高为的三角形，改用长为的边作底，对应高为图中高足在边外时，面积公式仍然成立。 【特殊角的前提】在直角三角形中，一个锐角为它所对的直角边等于斜边的一半。可把这条短直角边经过直角顶点延长一倍，连接新端点与另一端点；用SAS证两小三角形全等后，拼成的三角形顶角为且两腰相等，因而是等边三角形，得到两倍关系。没有直角前提时，不能直接使用。 例6、在中，平分点在上，求和的长。 变式6-1、在中，平分交于点求与的长。 变式6-2、在中，延长到点平分交直线于点 求与的长。 变式6-3、在中，分别平分点在上，点在上，两条角平分线相交于点 求的长。 七、A组 基础巩固 1、如图，点在直线同侧，的长为（ ）。 A． B． C． D． 2、在中，于的长为（ ）。 A． B． C． D． 3、在中，点在线段上，则________。 4、在中，为的中点。则________。 5、如图，垂足为求的长。 6、在中，点在线段上，比长设可列方程为（ ）。 A． B． C． D． 7、在中，平分交于点求的长。 8、在中，为的中点，求的长。 八、B组 难点突破 1、在中，点在线段上，且不与重合，则________。 2、如图，点在直线同侧，且与的长分别为（ ）。 A． B． C． D． 3、在中，于点在直线上，且不与重合。求的长。 4、在中，为的中点，点在射线上，且求的长。 5、如图，于点在线段内部。点在线段上，已知求与的长。 6、在中，点在线段上，延长到点使连接求的长。 7、在中，为的中点，点为的中点。求与的长。 8、如图，四边形的对角线垂直相交于点已知求与的长。 九、C组 综合应用 1、在中，为的中点。点在线段内部，过作的垂线，与直线交于点 当严格在线段内部时，求的取值范围。 在的条件下，若求的长。 2、在中，为的中点，点在射线上，且所有可能的长度为________。 3、在中，点满足求所有可能的长度。 4、在中，点在线段内部，过作交线段于点若 与的长分别为（ ）。 A． B． C． D． 5、在中，平分交于点延长到点平分交直线于点 已知求与的长。 6、在中，分别为的中点，与相交于点且 已知求的长。 十、D组 近期中考真题 1、（2025年湖南长沙中考第21题节选）如图，正方形中，点分别在上，且连接若求的长。 2、（2025年江苏连云港中考第8题）如图，在中，平分为垂足， 则的值为（ ）。 A． B． C． D． 3、（2025年黑龙江省龙东地区中考第9题）如图，在中，点分别在边和上，且连接点分别是的中点，连接则的长度为（ ）。 A． B． C． D． 4、（2025年山西省中考第15题）如图，在四边形中，点在边上，连接且点在的延长线上，连接若则线段的长为________。 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $