精品解析：贵州遵义航天高级中学2026-2027学年高一上学期第一次测试数学试卷

遵义航天高级中学2029届高一上学期第一次测试题 数 学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别化简集合与集合，再根据交集的定义求解两集合的公共元素即可. 【详解】 由，得，解得或，因此，又，所以. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”． 3. 若，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对A，因为，所以，又，所以.故A一定不成立； 对B，因为，所以，又，所以.故B一定成立； 对C，取，，，，则满足，，但，，所以不成立.故C不一定成立； 对D，因为，所以，又，根据“糖水不等式”， ，故D一定不成立. 4. 已知函数满足，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元，以替换原式中的得到第二个方程，联立两个关于的方程，通过消元法解出的解析式． 【详解】①， 将换成得②， ①得③， ②③得， 即，解得． 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】设，． 由得，解得， 记． 由，知，等价于且， 解得，记． 因为，所以能推出，即是的必要条件； 又而，所以不能推出，即不是的充分条件． 所以“”是“”的必要不充分条件． 6. 已知的定义域为，求的定义域（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域约束、二次根式与分式有意义的条件列不等式组，求解解集的交集即可得到结果. 【详解】的定义域为，要使函数有意义，需同时满足且，解得 ，故的定义域为. 7. 已知，是关于的方程的两个根，且，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦达定理得，，再由条件得，再分和两种情况讨论求解，再验证结果是否符合条件. 【详解】因为是方程的根， 方程判别式，恒有实根. 由韦达定理得两根满足，， 又因为，分两种情况讨论： ①当时，将代入原方程得，解得。 此时原方程为，两根为和， 代入已知等式验证：，满足条件； ②当时，由得， 又因为，代入得，解得. 此时原方程为，两根均为， 代入已知等式验证：，满足条件. 综上，的值为或. 8. 用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则的子集个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由集合新定义可知或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，再根据子集的定义求解即可. 【详解】根据定义可知，又，所以可得或； 由方程可得或或， 当时，方程只有一个实数根， 此时，符合题意； 当时，必有， 此时方程已经有两个不相等的实数根， 显然都不是方程的根， 则方程有两个相等的实数根，且异于， 此时，可得或，经检验均满足题意. 综上所述，，则的子集个数为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，真命题的有（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若，则 C. 已知，则（） D. 函数的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A选项直接判断两个函数的定义域不同可得；对B选项先计算，再计算可得；对C选项直接用换元求函数解析式可得；对D选项由二次函数性质及不等式性质计算可得. 【详解】选项A：两个函数为同一函数要求定义域、对应法则均相同. 函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与函数定义域不同，不是同一函数，A错误； 选项B：因为，所以， 因此，B正确； 选项C：令，则，且即， 代入原式得，故，C正确； 选项D：，故，则， 因此，值域为，D错误. 10. 若关于的不等式的解集为，，，，均为实数，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则的解集为 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次函数与二次不等式之间的关系，结合题意推出，及，，之间的关系， 再逐一判断即可. 【详解】令，方程的根为，由韦达定理得，. 由不等式的解集为，函数的图像开口向上，. 选项A：若，由，，，A错误. 选项B：若，，，， 不等式为，由 ，，， 的解集为，B正确. 选项C：由选项B知，，C正确. 选项D：由题知方程有不相等的两个根，， 由，，，，D正确. 11. 已知，均为正数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接根据题设判断即可；对于B，利用已知不等式进行放缩可求得的范围，进而判断即可；对于C，举特例判断即可；对于D，由再结合基本不等式求解判断即可. 【详解】对于A，由于，均为正数，且， 则，故A正确； 对于B，由A知，且为正数，则，即， 而，且为正数，则，即， 所以，故B正确； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，由，且，均为正数， 则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知， ，且，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】化简，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由题得. 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：9 13. 已知函数，的值域为，则符合条件的集合有________个． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数值为和对应的自变量取值，再根据值域要求确定集合的元素限制，计数符合条件的子集个数. 【详解】令，，， 令，，或， 由的值域为，中一定有，与至少有一个， 满足条件的可能为，，，共个. 14. 设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，即，所以， 所以， 依题意， 而，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 或，或 （2） 【解析】 【分析】（1）代入后依次按补集、并集的定义计算即可； （2）将转化为，分集合为空集、非空集两种情况求解参数范围. 【小问1详解】 已知集合，， 若，则， 所以或，或. 【小问2详解】 若，则， 当时，即，满足，符合题意； 当时，即，若，则； 综上所述，的取值范围为. 16. 已知二次函数满足，． （1）求二次函数的解析式； （2）求关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式. （2）分情况讨论，结合一元二次不等式解集的情况求解. 【小问1详解】 因为函数为二次函数，且，所以可设，. 由， 整理得，，所以，解得. 所以. 【小问2详解】 . 当时，原不等式可化为，无解； 当时，不等式可化为，因为，所以； 当时，不等式可化为，因为，所以. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 2026年10月20日-23日第18届CME深圳国际消费电子展如期进行，某公司携高端智能产品亮相展会．该产品年固定研发成本为万，每台产品生产成本为元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志．设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． （1）求年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2） 当年产量为万台时利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）直接利用利润公式推导出分段利润函数即可； （2）由（1）得到分段利润函数，分别计算两段区间的利润最大值，比较后得到全局最优解. 【小问1详解】 由题意，总销售收入为万元，总成本为固定研发成本加生产总成本，即万元， 因此利润，， 已知， 当时，总收入为，利润； 当时，总收入为， 利润， 综上所述，利润的函数解析式为， 【小问2详解】 由（1）可知，利润的函数解析式为， 当时，利润，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为， 最大值在端点处取得，由于，， 所以在时，最大利润为万元； 当时，利润， 由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 所以在时，最大利润为万元； 显然，所以当，即年产量为万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为万元. 18. 对于四个正数，，，，如果，则称为与的“中介比”． （1）求与的“中介比”，并比较、中介比、三者的大小； （2）设，，，均为正数，且，判断，，的大小关系，并证明你的结论； （3）设正整数，满足．记与的“中介比”为，与的中介比为，若且对，，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2），证明如下： 因为，，，均为正数，且， 两边同乘，可得，即； ， 因为且，所以，即； ， 因为且，所以，即； 综上所述，； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题目“中介比”的定义直接计算，然后将计算出的结果与原来的两个分数比较大小即可； （2）作差法证明大小即可； （3）首先根据“中介比”的定义表示出和，然后代入中，求出的代数关系，再结合，求出的具体表达式，最后将恒成立问题转化为函数最值问题求解的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以令，， 由题意得它们的中介比为， 所以、中介比、三者的大小为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意，是与的中介比，所以， 是与的中介比，所以， 已知，即， ， 即，又，所以，即， 又，可设， 则恒成立，将代入不等式中， ，即，因为， 所以不等式转化为对任意恒成立， 令，由均值不等式可知：， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 要使恒成立，只需，即， 故的取值范围是． 19. 符号表示不大于的最大整数（），例如：，，． （1）解下列两个方程，； （2）设方程：的解集为，集合，，求实数的取值范围； （3）求方程的实数解． 【答案】（1）； （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）根据对符号的定义理解可得答案； （2）将化为，再分三种情况去绝对值解不等式可得集合，然后根据解得集合，再根据，列式可求得的范围； （3）先判断出，再将平方得，再结合，可得不等式，解不等式可得或或或，分别代入方程可解得答案． 【小问1详解】 由，得；由，得，即； 【小问2详解】 ，即， 当时，即，解得， 当时，即，无解， 当时，即，解得， 综上，； 因为， 又，所以， 因为，所以，解得； 故的取值范围为； 【小问3详解】 因，又时，方程不成立， 所以，所以， 所以，即， 即，即， 所以或且，所以或， 所以或或或， 当时，原方程化为，得； 当时，原方程化为，得； 当时，原方程化为，得； 当时，原方程化为，得； 经检验，这四个值都是原方程的解，故方程的实数解为： 或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2029届高一上学期第一次测试题 数 学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码． 2．选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知的定义域为，求的定义域（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是关于的方程的两个根，且，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 8. 用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则的子集个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，真命题的有（ ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若，则 C. 已知，则（） D. 函数的值域为 10. 若关于的不等式的解集为，，，，均为实数，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则的解集为 C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知，均为正数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知， ，且，则的最小值为________． 13. 已知函数，的值域为，则符合条件的集合有________个． 14. 设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知二次函数满足，． （1）求二次函数的解析式； （2）求关于的不等式． 17. 2026年10月20日-23日第18届CME深圳国际消费电子展如期进行，某公司携高端智能产品亮相展会．该产品年固定研发成本为万，每台产品生产成本为元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志．设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． （1）求年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）； （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 18. 对于四个正数，，，，如果，则称为与的“中介比”． （1）求与的“中介比”，并比较、中介比、三者的大小； （2）设，，，均为正数，且，判断，，的大小关系，并证明你的结论； （3）设正整数，满足．记与的“中介比”为，与的中介比为，若且对，，恒成立，求的取值范围． 19. 符号表示不大于的最大整数（），例如：，，． （1）解下列两个方程，； （2）设方程：的解集为，集合，，求实数的取值范围； （3）求方程的实数解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $