精品解析：贵州省铜仁第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

铜仁一中 2026—2027 学年第一学期高一数学 第一次月考试题 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 注意事项： 1. 答题前，请填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2. 请将答案填写在答题卡上. 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 下列关系中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系及实数集､有理数集､自然数集的性质直接求解. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 2. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：C 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得或， 因此“”是“”的充分不必要条件. 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】根据实数的运算性质，对任意，均有. 选项A，取，此时，不满足，故该命题为假命题； 选项B，由可得，不存在使得，故该命题为假命题； 选项C，恒成立，不存在使得，故该命题为假命题； 选项D，对任意，恒成立，故该命题为真命题. 5. 已知 ，且 ，，则下列不等式中，一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A，C根据不等式性质：不等式两边同乘或除以负数时不等号方向改变， 因为，，所以，,故A，C错误； 对于B，根据不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变， 因为，所以，故B正确； 对于D，取，得，，，则，故D错误. 6. 不等式 的解集是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】，即， 令，解得， 则二次函数 ，，抛物线开口向上， 所以不等式 的解集为 . 7. 若对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将左侧表达式变形后利用基本不等式可求出其最值，即得答案. 【详解】由题意可知，对任意，恒成立， 因此小于等于函数在区间上的最小值， 因为，所以， 则， 根据基本不等式得： ， 等号成立当且仅当，解得， 因此 ，即在上的最小值为3， 故，即的取值范围是. 8. 已知函数 ，，设则函数 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的性质将分为和，分别求各段最大值后比较得到函数的最大值. 【详解】当时，， 若，则，解得， 此时，该二次函数开口向上，对称轴为，在单调递减，在单调递增，又，，所以在的最大值为， 若，则，，无最大值； 当时，， 若，则，解得， 此时，该二次函数开口向上，对称轴为，在单调递减，且，所以在的最大值为， 若，则，，无最大值， 综上所述函数的最大值为. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错或不选得 0 分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 已知函数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可判断A，求出和的定义域即可判断B，根据二次函数的图像即可判断C，利用分段函数求即可判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为 由函数图象得到值域为，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，故D正确． 故选：AD． 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，且，1是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得，，再分析选项，即可判断出它们的真假. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，且，1是方程的两个根， 由根与系数的关系可得：，解得，， 所以，，故A错误； 对于B，由，即，而，则，即， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，则， 而，则，解得， 即不等式的解集是，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为12 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】借助基本不等式计算可得A、B、D，消元后构造函数，借助导数研究单调性后可得C. 【详解】选项A，由，，，则，∴， 当，时取“＝”，故的最大值为，A正确； 选项B，， 若用基本不等式，，取不到等号，B错误； 选项C，令，， 由在上单调递减，且当时，， 则当，，函数单调递增，当，，函数单调递减， 所以当，有最大值，C正确； 选项D， ， 当且仅当，即时取等号，所以D错误， 故选：AC． 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求出解集即可． 【详解】解：由题意可得，， ， ， 故函数的定义域为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目． 13. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，分和讨论即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以集合只有一个元素， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）求方程的解集； 【答案】（1） 定义域为，值域为. （2） 解集为. 【解析】 【分析】（1）分段函数定义域取各段定义域的并集，值域分别求出每段的取值范围后再取并集，即可得到完整结果； （2）按照分段函数的定义域区间分类解方程，求出根后验证是否落在对应区间内，符合条件的根共同组成方程的解集. 【小问1详解】 ， 由，得的定义域为； 当时，，故； 当时，，由，得的值域为. 【小问2详解】 ， 当时，，得，即，符合； 当时，，得（负值舍去）； 故方程 的解集为. 16. （1）已知，，求，的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由可得，， 故， 即， （2）由于，， 故. 17. 已知全集，集合，，. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求集合，根据集合的交集和并集运算即可求解； （2）由得，分和两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 所以， 由， 所以， 所以，； 【小问2详解】 ∵，∴ 又，， ①当时，，∴， ②当时，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 18. 某校计划利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米、底面积为24平方米、背面靠墙的长方体形状的校园警务室.背面无需新建墙体.甲工程队对前面新建墙体的报价为每平方米400元，对左、右两面新建墙体的报价均为每平方米300元，屋顶、地面及其他费用共计14400元.设左、右两面墙的长度均为米，且. （1）当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？求出最低报价. （2）乙工程队也参与竞标，其整体报价为元，其中.假定其他条件相同，对同一尺寸方案，当乙工程队的报价严格低于甲工程队时，乙工程队中标.若无论在内取何值，乙工程队都能中标，求实数的取值范围. 【答案】（1）当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低，最低报价为28800元； （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据题意建立甲工程队总报价关于的函数，再利用基本不等式求最小值及对应的值； （2）转化为恒成立问题，分离参数，换元后利用对勾函数求右侧函数在区间上的最小值，得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意，警务室底面面积为24平方米，左、右墙长为米，故前面墙的长度为米， 甲工程队总报价包含三部分：前面墙体费用为元，左右两面墙体费用为元，屋顶、地面等其他费用14400元， 因此总报价函数为：， 根据基本不等式，，当且仅当，解得，即（负根舍去）取等号， 所以， 故当时，甲工程队报价最低为28800元； 【小问2详解】 由（1）知甲工程队总报价为， 乙工程队报价为， “对任意，乙都能中标”等价于， 因为，故，得， 由于，所以，即原恒成立不等式等价于， 要使该式对所有成立，只需小于函数在区间上的最小值， 令，由得，且，代入，得， 记，，根据对勾函数性质，在上单调递增，因此在上单调递增， 故时，取得最小值为，所以，所以， 又，因此实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可； （2）转化为“对任意，都有恒成立”，结合均值不等式求的取值范围； （3），按的不同取值结合一元二次函数的单调性分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 “对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为对，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增，， 因为， 所以当，即时，在单调递增，所以， 所以恒成立，此时； 当，即时，， 由解得，此时； 当，即时，， 由得，此时； 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁一中 2026—2027 学年第一学期高一数学 第一次月考试题 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 注意事项： 1. 答题前，请填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2. 请将答案填写在答题卡上. 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 下列关系中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知 ，且 ，，则下列不等式中，一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 不等式 的解集是（　　） A. B. 或 C. D. 或 7. 若对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，，设则函数 的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错或不选得 0 分.） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 已知函数，则 10. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 11. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为12 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 函数的定义域为______． 13. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的定义域和值域； （2）求方程的解集； 16. （1）已知，，求，的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 17. 已知全集，集合，，. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 18. 某校计划利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米、底面积为24平方米、背面靠墙的长方体形状的校园警务室.背面无需新建墙体.甲工程队对前面新建墙体的报价为每平方米400元，对左、右两面新建墙体的报价均为每平方米300元，屋顶、地面及其他费用共计14400元.设左、右两面墙的长度均为米，且. （1）当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？求出最低报价. （2）乙工程队也参与竞标，其整体报价为元，其中.假定其他条件相同，对同一尺寸方案，当乙工程队的报价严格低于甲工程队时，乙工程队中标.若无论在内取何值，乙工程队都能中标，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $