江苏南京市联合体2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷

南京市联合体2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【答案】 1. C  2. D  3. A  4. B  5. B  6. C  7. B  8. D  9.   10.   11. 7  12. 2  13.   14. 13  15. 40  16. 30  17. 6  18.   19. 解：， ， 或， 解得：或；  ， ， 或 解得：或  20. 【小题1】 证明：在一元二次方程中， ，，， 对任意实数m，，即， 方程总有两个实数根． 【小题2】 解：将方程左边因式分解，得， 解得，， 方程两个根的差为2， ，即， 化简得， 或， 解得或   21. 解：函数的图象经过点， ， ， 即反比例函数的关系式为： 又点在上， ， ， 把，代入，得， 解得， 一次函数的关系式为； 在中，令，则， 与y轴的交点为， 即 ； 由图象可知：使的x的取值范围是或  22. 证明：连接OB，OD， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ，且OB是半径， 是的切线； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 弦于点M，，AC为的直径， ，， ，， ， 是等边三角形， ，   23. 【小题1】 解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点， ， 解得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 反比例函数表达式为 将点和点代入一次函数，得 解得 一次函数的表达式为 【小题2】 解：对于函数，令，得，解得， 点C的坐标为， ， ， 设D点纵坐标为t， ，解得或 点D在直线AC上， 或， 解得或， 点D的坐标为或   24. 解： 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：，  整理得：，  解得：，不符合题意，舍去 答：每件工艺品售价应为55元. 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：，  整理得：， ， 无解，  答：利润不能到2000元.  25. 【小题1】 5 【小题2】 由得停止加热点坐标为， 降温时，水温是通电时间的反比例函数， 设降温过程中，即时，水温y关于通电时间x的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， 在水温下降的过程中，水温y关于通电时间x的函数表达式为； 【小题3】 在升温段，即时， 水温从升到时所用时间为， 当时，水温不低于， 在降温段，即时， 当时，， 当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， 水温不低于的时长为   26. 【小题1】 点C的坐标为 【小题2】 根据题意，得点，因为点，正好落在反比例函数的图像上，所以，所以， 【小题3】 存在． 由易知，点， 设点， 如图1，当MN为▱的对角线时， 由平行四边形的对角线互相平分可知， ，MN的中点重合，即， 解得，代入， 得， 所以点， 因为， 所以， 所以点； 如图2，当为▱的对角线时， 同理可得，点，； 如图3，当为▱的对角线时， 同理可得，点， 综上所述，存在点，或点，或点，，使得以，，M，N为顶点的四边形为平行四边形．   27. 【小题1】 在上任取一点不与点A，B重合，连接PC，，，， 【小题2】 【小题3】 如图②，由折叠知，又M是AD的中点，可得，故点在以AD为直径的圆上，由模型可知，当点在BM上时，长度取得最小值，在边长为2的菱形ABCD中，，M是AD边的中点，，，故的最小值为 【小题4】   【解析】 1. 解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选： 根据一元二次方程的定义判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 2. 解：矩形的长和宽是方程的两个根，设长为a，宽为b， ，， 则该矩形的周长为，面积为 故选： 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，即为长与宽之和与之积，进而求出矩形周长与面积即可． 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 3. 解：闭合电路的电流单位：与电路的电阻单位：是反比例函数关系， ， ， ， 故选： 先根据等量关系“电流”，即可求解． 本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流”是解决此题的关键． 4. 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意、设出未知数、表示出相关的量、找到等量关系列方程是解答本题的关键． 设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则垂直于墙的一边长为，然后根据羊舍的面积为列关于x的一元二次方程即可． 【解答】 解：设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则垂直于墙的一边长为 由题意得： 故选 5. 【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，表示三角形的底和高是正确解答的关键． 当自变量为x时，求出AB的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】 解：由题意可知，，AB边上的高为x， ， 故选 6. 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．由，得到，再根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】 解：由作图过程可知， ， 由三角形的外角性质得 7. 解：由图象可知，当时，x的取值范围是或， 故选： 根据图象即可． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合． 8. 【分析】 本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 如图，取AD的中点M，连接BD，HM，由题意点H在以M为圆心，MD为半径的上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小即可. 【解答】 解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM， ， ， 点H在以M为圆心，MD为半径的上， 当M、H、B共线时，BH的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为 故选： 9. 解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为： 10. 解：在反比例函数图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ， 11. 、n是一元二次方程的两个实数根，，，，， 12. 解：设圆锥的底面半径为r  由题意得：， 解得： 13. 方程， 移项，得，配方，得， ， 14. 如图，过点O分别作于点F，于点G，于点是的内切圆， ，，与相切，设切点为M，，的周长是4，，  设，，  则，，，，，  化简得①的面积是30，，，②  由①②得， 15. 解：连接BD ，如图，  为 的直径，  ，  ， ，  ，  ，  ， 故答案为 16. 如解图，连接 点P是矩形OABC的对称中心， ，，，，，， 17. 解：根据题意，设火焰的像高是物距小孔到蜡烛的距离的反比例函数解析式为， 由图像可知：当时，， ， 解得，， 反比例函数解析式为， 当火焰的像高为4cm，即时，，解得， 当火焰的像高不低于4cm时，小孔到蜡烛的距离至多是6厘米; 故答案为 18. 【分析】 本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题． 【解答】 解：如图，连接OD，OC， ， ， ， 点D的运动轨迹为以AO为直径的，连接CK， 当点D在CK的延长线上时，CD的值最大， 为弧AB中点， ， 在中，，，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为 19. 详细解答和解析过程见【答案】 20.   计算方程的判别式，证明其恒非负，即可证得方程总有两个实数根；   通过因式分解得到方程的两根，结合两根差为2的条件列绝对值方程，求解得到m的值． 21. 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想． 先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B的坐标是，利用待定系数法求一次函数的解析式； 在一次函数的解析式中，令，得出对应的的值，即得出直线与y轴交点C的坐标，从而求出的面积； 当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围或 22. 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； 根据已知条件得到是等边三角形，得，接着证明是等边三角形，根据扇形的面积公式和面积的和差即可得到结论． 23.  解答和解析过程见【答案】  解答和解析过程见【答案】 24. 本题主要考查的是一元二次方程的应用的有关知识. 根据题意列出算式进行计算即可； 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据题意列出方程求解即可. 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据题意列出方程求解即可。 解：元； 答：每天的销售利润为1600元． 见答案； 见答案. 25.   由时间=温差升温速度，求出加热至时间； 【详解】解：升温总温差：， 用时：；   由得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出k，最后写出解析式；   分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 26.  解：如图1，过点C作轴于点D，则， ， ，， ， ， 在和中， ≌， ，， ， 点坐标为：  见答案  见答案 27.  略   取BC的中点O，连接AO与半圆交于点P，如图①，由模型可知，此时AP最短，，，BC为直径，，，  略   ①如图③，在正方形ABCD中，，，，在和中，≌，，在和中，，，，，取AB的中点O，连接OH，OD，则，在中，，根据三角形的三边关系，，当O，D，H三点共线时，DH的长度最小，DH最小值 ②作关于x轴的对称，连接分别交和于，N，交x轴于P，如图④，则此时最小，点A坐标为，点坐标点，，，的最小值为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市联合体2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若矩形的长和宽是方程的两个根，则该矩形的周长和面积分别是      A. 3和 B. 和3 C. 和6 D. 6和 3.已知经过闭合电路的电流单位：与电路的电阻单位：成反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为      5 … a … … … b … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A. B. C. D. 4.一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则根据题意可得方程为(    ) A. B. C. D. 5.如图，平行于y轴的直线分别交与的图象部分于点A、B，点C是y轴上的动点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接若，，则的度数是     A. B. C. D. 7.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是    A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第二部分（非选择题 共104分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.若关于x的一元二次方程为常数有两个相等的实数根，则_____. 10.在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是          . 11.若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________. 12.一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为_______. 13.用配方法解方程，配方得，常数m的值是          . 14.如图，在中，，点D，E分别在BC，AC上，DE与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则AB的长为          . 15.如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数为          . 16.如图，点P是矩形OABC的对称中心，反比例函数的图像经过点P，交BC于点Q，另一条反比例函数的图像经过点B，若，，则          . 17.某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验。当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，绘制了火焰的像高单位：与物距小孔到蜡烛的距离单位：的函数图象如图2所示，为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是          厘米 18.如图，AB是的直径，，C为弧AB中点，点P是上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为____. 三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.本小题6分计算： ；     20.本小题6分已知关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根； 若该方程两根之差为2，求此时m的值． 21.本小题分如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点、 求反比例函数和一次函数的解析式 若一次函数的图象交y轴于点C，求的面积 直接写出：当 x 满足什么条件时，. 22.本小题分已知AC为的直径，PA与相切于点A，弦于点M， 求证：PB为的切线； 若，，求图中阴影部分面积． 23.本小题分如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点 求一次函数和反比例函数的表达式； 连接OA、OB，在直线AC上是否存在点D，使的面积是面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 24.本小题12分某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． 若销售单价为每件60元，每天的销售利润为________元； 要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ 公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 25.本小题12分图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． 将水从加热到需要          ； 在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式； 加热一次，水温不低于的时间有多长？ 26.本小题12分如图，在平面直角坐标系中有，，，点，， 直接写出点C的坐标． 将沿x轴的正方向平移t个单位长度，若B，C两点的对应点，正好落在反比例函数在第一象限内的图像上，求t，k的值． 在的条件下，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点N，使得以，，M，N为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 27.本小题12分如图①，P是外的一点，直线PO分别交于点A，B，则PA是点P到上的点的最短距离. 如图②，在上取一点不与点A，B重合，连接PC，求证： 如图③，在中，，，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是          . 如图④，在边长为2的菱形ABCD中，，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将沿MN所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值. ①如图⑤，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，连接若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是          ; ②如图⑥，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，2为半径作、，M，N分别是、上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于          . 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市联合体2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选： 根据一元二次方程的定义判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 2.若矩形的长和宽是方程的两个根，则该矩形的周长和面积分别是      A. 3和 B. 和3 C. 和6 D. 6和 【答案】D  【解析】解：矩形的长和宽是方程的两个根，设长为a，宽为b， ，， 则该矩形的周长为，面积为 故选： 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，即为长与宽之和与之积，进而求出矩形周长与面积即可． 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 3.已知经过闭合电路的电流单位：与电路的电阻单位：成反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为      5 … a … … … b … 1 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：闭合电路的电流单位：与电路的电阻单位：是反比例函数关系， ， ， ， 故选： 先根据等量关系“电流”，即可求解． 本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流”是解决此题的关键． 4.一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m的木门，当羊舍的面积是时，设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则根据题意可得方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意、设出未知数、表示出相关的量、找到等量关系列方程是解答本题的关键． 设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则垂直于墙的一边长为，然后根据羊舍的面积为列关于x的一元二次方程即可． 【解答】 解：设所围的羊舍与墙平行的边长为xm，则垂直于墙的一边长为 由题意得： 故选 5.如图，平行于y轴的直线分别交与的图象部分于点A、B，点C是y轴上的动点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，表示三角形的底和高是正确解答的关键． 当自变量为x时，求出AB的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】 解：由题意可知，，AB边上的高为x， ， 故选 6.如图，在中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接若，，则的度数是     A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．由，得到，再根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】 解：由作图过程可知， ， 由三角形的外角性质得 7.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】解：由图象可知，当时，x的取值范围是或， 故选： 根据图象即可． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合． 8.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是    A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 如图，取AD的中点M，连接BD，HM，由题意点H在以M为圆心，MD为半径的上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小即可. 【解答】 解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM， ， ， 点H在以M为圆心，MD为半径的上， 当M、H、B共线时，BH的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为 故选： 第二部分（非选择题 共104分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.若关于x的一元二次方程为常数有两个相等的实数根，则_____. 【答案】  【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为： 10.在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是          . 【答案】  【解析】解：在反比例函数图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ， 11.若m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________. 【答案】7  【解析】、n是一元二次方程的两个实数根，，，，， 12.一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为_______. 【答案】2  【解析】解：设圆锥的底面半径为r  由题意得：， 解得： 13.用配方法解方程，配方得，常数m的值是          . 【答案】  【解析】方程， 移项，得，配方，得， ， 14.如图，在中，，点D，E分别在BC，AC上，DE与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则AB的长为          . 【答案】13  【解析】如图，过点O分别作于点F，于点G，于点是的内切圆， ，，与相切，设切点为M，，的周长是4，，  设，，  则，，，，，  化简得①的面积是30，，，②  由①②得， 15.如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数为          . 【答案】40  【解析】解：连接BD ，如图，  为 的直径，  ，  ， ，  ，  ，  ， 故答案为 16.如图，点P是矩形OABC的对称中心，反比例函数的图像经过点P，交BC于点Q，另一条反比例函数的图像经过点B，若，，则          . 【答案】30  【解析】如解图，连接 点P是矩形OABC的对称中心， ，，，，，， 17.某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验。当像距小孔到像的距离和物高蜡烛火焰高度不变时，绘制了火焰的像高单位：与物距小孔到蜡烛的距离单位：的函数图象如图2所示，为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是          厘米 【答案】6  【解析】解：根据题意，设火焰的像高是物距小孔到蜡烛的距离的反比例函数解析式为， 由图像可知：当时，， ， 解得，， 反比例函数解析式为， 当火焰的像高为4cm，即时，，解得， 当火焰的像高不低于4cm时，小孔到蜡烛的距离至多是6厘米; 故答案为 18.如图，AB是的直径，，C为弧AB中点，点P是上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为____. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题． 【解答】 解：如图，连接OD，OC， ， ， ， 点D的运动轨迹为以AO为直径的，连接CK， 当点D在CK的延长线上时，CD的值最大， 为弧AB中点， ， 在中，，，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为 三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.计算： ；     【答案】解：， ， 或， 解得：或；  ， ， 或 解得：或  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.已知关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根； 若该方程两根之差为2，求此时m的值． 【答案】【小题1】 证明：在一元二次方程中， ，，， 对任意实数m，，即， 方程总有两个实数根． 【小题2】 解：将方程左边因式分解，得， 解得，， 方程两个根的差为2， ，即， 化简得， 或， 解得或   【解析】  计算方程的判别式，证明其恒非负，即可证得方程总有两个实数根；   通过因式分解得到方程的两根，结合两根差为2的条件列绝对值方程，求解得到m的值． 21.如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点、 求反比例函数和一次函数的解析式 若一次函数的图象交y轴于点C，求的面积 直接写出：当 x 满足什么条件时，. 【答案】解：函数的图象经过点， ， ， 即反比例函数的关系式为： 又点在上， ， ， 把，代入，得， 解得， 一次函数的关系式为； 在中，令，则， 与y轴的交点为， 即 ； 由图象可知：使的x的取值范围是或  【解析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想． 先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B的坐标是，利用待定系数法求一次函数的解析式； 在一次函数的解析式中，令，得出对应的的值，即得出直线与y轴交点C的坐标，从而求出的面积； 当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围或 22.已知AC为的直径，PA与相切于点A，弦于点M， 求证：PB为的切线； 若，，求图中阴影部分面积． 【答案】证明：连接OB，OD， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ，且OB是半径， 是的切线； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 弦于点M，，AC为的直径， ，， ，， ， 是等边三角形， ，   【解析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； 根据已知条件得到是等边三角形，得，接着证明是等边三角形，根据扇形的面积公式和面积的和差即可得到结论． 23.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点 求一次函数和反比例函数的表达式； 连接OA、OB，在直线AC上是否存在点D，使的面积是面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】【小题1】 解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点， ， 解得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 反比例函数表达式为 将点和点代入一次函数，得 解得 一次函数的表达式为 【小题2】 解：对于函数，令，得，解得， 点C的坐标为， ， ， 设D点纵坐标为t， ，解得或 点D在直线AC上， 或， 解得或， 点D的坐标为或   【解析】 解答和解析过程见【答案】  解答和解析过程见【答案】 24.某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． 若销售单价为每件60元，每天的销售利润为________元； 要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ 公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】解： 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：，  整理得：，  解得：，不符合题意，舍去 答：每件工艺品售价应为55元. 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件， 依题意得：，  整理得：， ， 无解，  答：利润不能到2000元.  【解析】本题主要考查的是一元二次方程的应用的有关知识. 根据题意列出算式进行计算即可； 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据题意列出方程求解即可. 设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是件，根据题意列出方程求解即可。 解：元； 答：每天的销售利润为1600元． 见答案； 见答案. 25.图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． 将水从加热到需要          ； 在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式； 加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】【小题1】 5 【小题2】 由得停止加热点坐标为， 降温时，水温是通电时间的反比例函数， 设降温过程中，即时，水温y关于通电时间x的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， 在水温下降的过程中，水温y关于通电时间x的函数表达式为； 【小题3】 在升温段，即时， 水温从升到时所用时间为， 当时，水温不低于， 在降温段，即时， 当时，， 当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， 水温不低于的时长为   【解析】  由时间=温差升温速度，求出加热至时间； 【详解】解：升温总温差：， 用时：；   由得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出k，最后写出解析式；   分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 26.如图，在平面直角坐标系中有，，，点，， 直接写出点C的坐标． 将沿x轴的正方向平移t个单位长度，若B，C两点的对应点，正好落在反比例函数在第一象限内的图像上，求t，k的值． 在的条件下，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点N，使得以，，M，N为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】【小题1】 点C的坐标为 【小题2】 根据题意，得点，因为点，正好落在反比例函数的图像上，所以，所以， 【小题3】 存在． 由易知，点， 设点， 如图1，当MN为▱的对角线时， 由平行四边形的对角线互相平分可知， ，MN的中点重合，即， 解得，代入， 得， 所以点， 因为， 所以， 所以点； 如图2，当为▱的对角线时， 同理可得，点，； 如图3，当为▱的对角线时， 同理可得，点， 综上所述，存在点，或点，或点，，使得以，，M，N为顶点的四边形为平行四边形．   【解析】 解：如图1，过点C作轴于点D，则， ， ，， ， ， 在和中， ≌， ，， ， 点坐标为：  见答案  见答案 27.如图①，P是外的一点，直线PO分别交于点A，B，则PA是点P到上的点的最短距离. 如图②，在上取一点不与点A，B重合，连接PC，求证： 如图③，在中，，，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是          . 如图④，在边长为2的菱形ABCD中，，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将沿MN所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值. ①如图⑤，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，连接若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是          ; ②如图⑥，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，2为半径作、，M，N分别是、上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于          . 【答案】【小题1】 在上任取一点不与点A，B重合，连接PC，，，， 【小题2】 【小题3】 如图②，由折叠知，又M是AD的中点，可得，故点在以AD为直径的圆上，由模型可知，当点在BM上时，长度取得最小值，在边长为2的菱形ABCD中，，M是AD边的中点，，，故的最小值为 【小题4】   【解析】 略   取BC的中点O，连接AO与半圆交于点P，如图①，由模型可知，此时AP最短，，，BC为直径，，，  略   ①如图③，在正方形ABCD中，，，，在和中，≌，，在和中，，，，，取AB的中点O，连接OH，OD，则，在中，，根据三角形的三边关系，，当O，D，H三点共线时，DH的长度最小，DH最小值 ②作关于x轴的对称，连接分别交和于，N，交x轴于P，如图④，则此时最小，点A坐标为，点坐标点，，，的最小值为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $南京市联合体2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题共16分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列属于一元二次方程的是() A.x+y=1 B.2x+1=4 C.x2+x=2 D.x2+1=2 2.若矩形的长和宽是方程4x2-12x+3=0的两个根，则该矩形的周长和面积分别是() A.3 B.和3 C.和6 D.6和 3.己知经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：2)成反比例函数关系.根据下表判断α和b 的大小关系为() I/A 5 … … b … 个y R/0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A.a>b B.a≥b C.a<b D.a≤b 4.一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便 进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m的木门，当羊舍的面积是160m2时，设所围的羊舍与墙平行的边长为 x,则根据题意可得方程为() 2m A.x(34-x)=160 B.34+2=x,x=160 2 C.34xx=160 2 D.x(18-x)=160 第1页，共9页 5,如图，平行于y轴的直线分别交y=1与y=2的图象（部分）于点A、B,点C是y轴上的动点，则△ABC 的面积为() A y=- A.k1-k2 B.2k1-k2) C.k2-k1 D.2k2-k) 6.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°，∠C=36°， 则∠DAC的度数是() A.70° B.44 C.34 D.24 7.如图，一次函数y1=k1x+b(k1>0)的图象与反比例函数y2=k2(k2>0)的图象相交于A,B两点，点A 的横坐标为1，点B的横坐标为-2，当y1<y2时，x的取值范围是() A.x<-2或x>1 B.x<-2或0<x<1 C.-2<x<0或x>1 D.-2<x<0或0<x<1 第2页，共9页 8.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2V61,AD=10,C是弧BD上的一个动点，连接 AC,过D点作DH L AC于H,连接BH,在点C移动的过程中，BH的最小值是() D A.5 B.6 C.7 D.8 第二部分（非选择题共104分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.若关于x的一元二次方程x2+kx+9=0(k为常数)有两个相等的实数根，则k=一一一 10.在反比例函数y=-3的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围 是 11.若、n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，则m+(n-2)2的值为 12.一圆锥的侧面展开图为一圆心角为120的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为 13.用配方法解方程x2-4x-3=0,配方得(x+m)2=7,常数m的值是 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别在BC,AC上，DE与△ABC的内切圆O相切.若△ABC 的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为__ 0 E D 15.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠DAC=25°，AD=CD,则∠BAC的度数为°. B 0 第3页，共9页 16如图，点P是矩形OABC的对称中心，反比例函数y=(k>0,x>0)的图像经过点P,交BC于点O, 另一条反比例函数y1=k1>0,x>0)的图像经过点B,若SaP80=?BQ:QC=3:1,则k+k=一 0 C 17.某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验。当像距（小孔到像的距离） 和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高y(单位：c)与物距（小孔到蜡烛的距离）x(单位：cm的 函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm,求小孔到蜡烛的距离至多 是厘米 小孔 蜡烛 0 4367 图1 图2 18.如图，AB是⊙O的直径，AB=4V2,C为弧AB中点，点P是⊙0上一个动点，取弦AP的中点D, 则CD的最大值为一一 D 三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.(本小题6分)计算： (1)3x2+2x-1=0: (2)(2x+1)2=-3(2x+1) 第4页，共9页 20.(本小题6分)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=0. (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若该方程两根之差为2，求此时m的值. 21.(本小题8分)如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A(-2,1)、 B(a,-2). 0 (1)求反比例函数和一次函数的解析式 (2)若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C,求△AOC的面积 (3)直接写出：当x满足什么条件时，y1>y2 第5页，共9页 22.(本小题8分)已知AC为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A,弦BD1AC于点M,PA=PB. A (1)求证：PB为⊙O的切线： (2)若∠P=60°，0M=√2，求图中阴影部分面积. 23.(本小题8分)如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y-婴的图像交于点A(1,2m)和点B3n 6,2),与x轴交于点C. B C\ (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)连接OA、OB,在直线AC上是否存在点D,使△OCD的面积是△AOB面积的？若存在，求出点D的 坐标；若不存在，请说明理由. 第6页，共9页 24.(本小题12分)某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据 市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件， 但要求销售单价不得超过65元. (1)若销售单价为每件60元，每天的销售利润为 元； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？ (3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由 25.(本小题12分)图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升16°C,加热到100°C时，停止加热， 水温开始下降，此时水温y(C)是通电时间x(mi)的反比例函数.若在水温为20°C时开始加热，水温y与 通电时间x之间的函数关系如图2所示. Ay/C 100 20 x/min (1)将水从20C加热到100°C需要 min; (②)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式： (3)加热一次，水温不低于50℃的时间有多长？ 第7页，共9页 26.(本小题12分)如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠BAC=90°，AB=AC,点A(-3,0),B(0,1), C(m,n). B (1)直接写出点C的坐标. (2)将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位长度，若B,C两点的对应点B',C'正好落在反比例函数y= 在第一象限内的图像上，求t,k的值. (3)在(2)的条件下，问是否存在x轴上的点M和反比例函数y=图像上的点N,使得以B',C',M,V为 顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理 由. 27.(本小题12分)如图①，P是⊙0外的一点，直线PO分别交⊙0于点A,B,则PA是点P到⊙0上的 点的最短距离 (1)如图②，在⊙0上取一点C(不与点A,B重合)，连接PC,OC.求证：PA<PC. (2)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是CD上的一 个动点，连接AP,则AP的最小值是一· (3)如图④，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMW 沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C,请求出A'B长度的最小值 (4)①如图⑤，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G,连接BE 交AG于点H,连接DH若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是； 第8页，共9页 ②如图⑥，平面直角坐标系中，分别以点A(-2,3),B(3,④为圆心，以1,2为半径作⊙A、⊙B,M,N 分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于一 C D B 0 A P B 0 A P P C B ① ② ③ A E D D 夕 G A M M N At-. 7 0 P N x B C ④ ⑤ ⑥ 第9页，共9页