江苏南京市南京联合体2026～2027学年第一学期 九年级期中练习卷数学试题

2026~2027学年第一学期南京联合体期中练习卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.已知⊙0的半径为2cm,点P到圆心O的距离为2cm,则点P在⊙O() A.外 B.内 C.上 D.无法确定 【答案】C 【解析】点与圆位置关系：若点到圆心距离d=r,点在圆上：d>r点在圆外：d<r点在圆内。这里d =2cm,r=2cm,d=r,故点P在⊙O上。 2.若关于x的方程x2-2x+k=0有实数根，则k的值不可能是() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】D 【解析】一元二次方程有实数根，则判别式△≥0。△=(-2)2-4·1·k=4-≥0，解得k≤1.2>1， 所以k不可能取2。 3.三边长分别为3,4,5的三角形的内切圆的半径为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】边长3,4,5是直角三角形，面积S=1×3×4=6,周长L=3+4+5=12。三角形内切圆半径 2 公式：S=,代入得6=号×2n解得r=1 4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCA=50°，则∠B的度数为() A30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【解析】OA=OC,△OAC等腰，∠OCA=∠OAC=50°。∠AOC=180°-50°-50°=80°。 圆周角∠B=1∠AOC=1×80=40。 21 2 5.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强P(Pa)是气球体积V(m)的 反比例函数，其图象如图所示。当气球内的气压大于40000P时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的 体积应() 第1页共9页 A.不小于0.06m3 B.不大于0.06m3 p(Pa) c.不小于0.6m3 D.不大于0.6m3 16000 1.5 m (第5题) 【答案】C 【解析】设P=专，图象过(15,1000).代入：1600=专→k=2400.即P-2400。不爆排条 1.5 件：P≤40000， 24000≤40000，V>0,24000≤40000V→V≥0.6，体积不小于0.6m2。 6.关于x的一元二次方程ax2+bx=c(ac≠0)一个实数根为2026，则方程cx2+bx=a一定有实数根 () A.2026 1 B.2026 C.-2026 D.- 2026 【答案】D 【解析】把x=2026代入ax2+bx=c,得a·2026+b·2026=c。 两边同时除以2026：a+b 20262026 移项：c· 12 2026/ -61 2026 -a=0。 即= 1满足cm2+br=a, 2026 所以6是它的一个根。 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上) 7.已知反比例函数g=k的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 【答案】k<0 【解析】反比例函数y=飞 当k<0时，图象分布在第二、四象限。 8.某校图书馆9月份借阅图书500册，11月份借阅图书845册，设这两个月借阅图书的月平均增长率为x,根 据题意可列方程为 【答案】500(1+x)=845 【解析】增长率公式：基数×(1+增长率)”=末期量；9到11月间隔2个月，故500(1+x)=845。 9.设D1,2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根，则x1c2-c1-x=一。 【答案】-5 【解析】韦达定理：1+2=3，x1x=-2。原式=12-(m1+D2)=-2-3=-5。 10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB.若∠B=65°，则∠ADC=。 【答案】25 【解析】AB为直径，∠ADB=90°。∠ABD=65°，∠DAB=90°-65°=25°。 CD∥AB,内错角∠ADC=∠DAB=25°。 第2页共9页 (第10题) (第11题) 11.如图，AC,BC是⊙O的弦，PA,PB是⊙O的切线.若∠C=50°，则∠P=。 【答案】80 【解析】连接OA,OB,切线性质OA⊥PA,OB⊥PB,∠OAP=∠OBP=90°。 圆周角∠C=50°，圆心角∠AOB=2∠C=100°。 四边形OAPB内角和360°，∠P=360°-90°-90°-100°=80。 12.已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表： -2 -1 1 2 . 2 a b m . 若a>b,则mn.(填">""<"或"="号) 【答案】> 13.用半径为30cm,圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm 【答案】10 【解析1扇形长上=哥=12,0=。 圆锥底面周长等于扇形弧长：2元r=20r,得r=10。 14,如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(2,4)，（一1，-2）.若反比例函数y=飞的图象与线段 m AB只有1个公共点，则k的取值范围是· 【答案】2<k≤8 (第14题) (第16题) 第3页共9页 15.在平面直角坐标系中，0为原点，点A在第二象限，且OA=√2.若反比例函数y=二1的图象经过点 A,则k的取值范围是 【答案】0≤k<1 16.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2,P是△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA,则AP长 的最小值为 【答案】√0-√2 【解析】△ABC等腰直角，∠ACB=45°，即∠PCA+∠PCB=45°。 条件∠PBC=∠PCA,代入：∠PBC+∠PCB=5°， 在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=135°。 定弦BC=2,动点P满足∠BPC=135°，（定弦定角隐圆） APmin=√10-√2。 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10分)解方程：(1)x2+2c-3=0: (2)x(c-1)=-3(1-x). 【答案】(1)x1=1,c2=-3；(2)x1=1,x2=3 18.(6分)如图，在⊙O中，AB是非直径的弦，CD是直径，且CD平分AB,并交AB于点M, 求证：CD⊥AB. 【解析】连接OA,OB。OA=OB, △OAB等腰：CD平分AB,AM=B。 根据等腰三角形三线合一，OM⊥AB,M在CD上，所以CD⊥AB。 19.(7分)己知电路的电压UV、电流IA、电阻R2之间有如下关系：U=IR。该电路的电压U为220V。 (1)写出电流IA关于电阻R2的函数表达式： (2)如果该电路的电阻R由1102增大到2202，通过该电路的电流如何变化？ 第4页共9页 【答案】11=220(R>0):(2)电流由2A减小为1A R 【解析1(1)U=1=20,变形1=220，R>0。 R ②R=10,1=器=2A:R=20.1=器=14： 电阻增大，电流从2A减小到1A。 20.(7分)如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E,AB=CD。求证：AE=CE。 【解析】 证明：：AB=CD,,AB=CD,两边减去BD,AD=BC, ∴.∠C=∠A,△AEC中∠A=∠C, 故AE=CE。 21.(8分)如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度AB为6米，拱高（弧的中点到水面的距离） CD为1米。 (1)求主桥拱所在圆的半径； (2)若水面下降1米，则此时水面的宽度为米。 【答案】(1)5米；(2)8 【解析】(1)设圆心为O,半径R,CD垂直平分AB,交点D,AD=3,OD=R-1。 RtAOAD:OA=AD+OD2,R2=3+(R-1), R=9+R-2R+1,0=10-2R, 解得R=5米。 【解析】(2)当水面下降1后，设此时水面与圆弧交于点B、F,OD与EF交于点G,连接OF。因为 EF∥AB,且OD⊥AB,所以OD⊥EF,即∠OGF=90°。 此时0G=-1-1=5-2=3m,OF=r=5m。 在Rt△OGF中，由勾股定理得：FG=√OF-OG图 =√52-32=√/25-9=W16=4m 因为OD垂直平分EF,所以EF=2×FG=2×4=8m。 第5页共9页 22.(8分)某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件。经过市场调研发现，在一定范 围内调整售价： ①每涨价1元，每天要少卖出10件： ②每降价1元，每天可多卖出20件。 如果只能调整一次售价，如何调整恰使每天的利润为6250元？ 【答案】涨价5元，售价65元 【解析】利润=单件利润×销量。 情况一：涨价，设涨x元，单件利润(60+c一40)，销量(300-10x)。 (20+x)(300-10x=6250 (20+x)(30-x)=625→-x2+10x+600=625→x2-10m+25=0→(x-5)2=0→x=5 情况二：降价，设降y元，单件利润(20-y),销量(300+20)。 (20-y)(300+204)=6250 6000+4004-300y-20y=6250→-20y+100y-250=0→22-10y+25=0 △=100-200=-100<0，无实数解。 故只能涨价5元，售价60+5=65元。 28(8分)已知反比例函数头=兰≠0的图象经过点(1,2 (1)求该反比例函数的关系式。 (2)己知一次函数2=x+b, ①当b=1时，直接写出当h>时的x的取值范围； ②当c<-1时，对于x的每一个值，对应的总大于2，直接写出b的取值范围。 【答案】191=子：①a<-2或0<a<1:②6≤-1 【解标1①代入1,2引：2=气→k=2,1=2 ①6=1，功=D+1,解不等式2>0+1。移项2-0-1>0→2二-立>0→(+=2》>0→ -(m+2)二>0，解得x<-2或0<m<1。 ②b≤-1 第6页共9页 24.(8分)已知关于c的方程（c-2)(x-3)-k2=0。 (1)证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两根分别为C1,c2,且c1>x2,证明x1十22≤7。 【解析】 (1)整理：x2-5+6-=0,判别式 △=(-5)2-4·1(6-k)=25-24+462=1+4k 2≥0，△=1+>0恒成立， 故总有两个不等实根。 (2)韦达定理：1+2=5,1x2=6-k。 C1=5-x2.1+2x3=(5-x2）+20c2=5+D 要证5+02≤7即证c2≤2。 求根公式：女=5土写报，=5-牛E 2 2 √1+4≥1,5-√1+k2≤5-1=4， ≤号-2 等号k=0取到。 所以m1+2x2=5+x2≤5+2=7。 25.(1)作一条弦CD,使CD=AB,且CD⊥AB。 (2)作一条弦CD,使CD=AB,且AB与CD的夹角为60°。 (要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明) ① 【解析】 (1) (2 0 N 0 第7页共9页 26.(8分)如图，⊙O经过口ABCD的三个顶点A,B,D,且与BC相切，切点为B,并交CD边于点E。 (1)求证：∠ABD=∠EBC; (2)若AB=3W10,BE=6,则⊙O的半径为一· D B C 【解析】 (1)BC切圆于B,弦切角∠EBC=∠BAE。 ABCD平行四边形，AB∥CD,∠BAE=∠ABD, ∴.∠ABD=∠EBC。 (2)①先得AB=BD .·BC切⊙O于B,∴.OB⊥BC: 又AD∥BC,∴.OB⊥AD。 由垂径定理，OB垂直平分AD,即B是弧AD的中点，∴，AB=BD=3W/10。 ②再得AD=BE=6四边形ABED内接于⊙O,且AB∥DE,∴.四边形ABED是等腰梯形（圆内 接梯形必为等腰梯形)，∴.AD=BE=6。 ③用勾股定理求半径设半径为R,取AD的中点M,连接BM。 则AM=号AD=3,BM=VAB-AF=√90-可=9。 OB⊥AD且M为AD中点， ∴.O、M、B共线，OM=9-R。 在Rt△OMA中，OM+AMP=OA: (9-R)2+32=R 81-18R+R2+9=R2 18R=90 R=5 故半径为：5 第8页共9页 27.(10分)定义：△ABC内接于⊙O,I为△ABC的内心，若I关于该三角形某条边的对称点恰好在⊙O 上，则称△ABC为⊙O的"完美三角形". 0 (图1) (图2) 【初步认识】下列⊙O内接三角形一定是⊙O的"完美三角形"的有 (填序号)： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为30°的直角三角形。 【探索本质】如图1，△ABC是⊙O的"完美三角形"，其内心I关于BC的对称点D在⊙O上。 ①求∠BAC的度数； ②若BC=3,求⊙O的半径。 【理解应用】如图2，⊙O的半径为7，弦AB=24.C是⊙O上一点，△ABC为⊙O的"完美三角 形"，请直接写出AC所有可能的值。 【解析】 【初步认识】①③ 【探索本质】①由上述结论，D是I关于BC的对称点且在⊙O上，故∠BAC=60°。 ②BC所对圆周角为60°，由结论2：BC=√5R→3=√3R→ R=√月 【理解应用】 AC所有可能的值为9,15,21 第9页共9页2026~2027学年第一学期南京联合体期中练习卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.己知⊙O的半径为2cm,点P到圆心O的距离为2cm,则点P在⊙O(） A.外 B.内 C.上 D.无法确定 2.若关于x的方程x-2x+k=0有实数根，则飞的值不可能是() A.-1 B.0 C.1 D.2 3.三边长分别为3,4,5的三角形的内切圆的半径为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCA=50°，则∠B的度数为() A.30° B.40° C.50° D.60° 5.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强P(Pa)是气球体积V(m)的 反比例函数，其图象如图所示。当气球内的气压大于40000P时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的 体积应() pPa)↑ A.不小于0.06m3 B.不大于0.06m3 C.不小于0.6m3 D.不大于0.6m3 16000 o 1.5 V(m) (第5题) 6.关于x的一元二次方程ax2+bx=c(ac≠0)一个实数根为2026，则方程cx2+bx=a一定有实数根 () A.2026 B.206 C.-2026 D 二、填空题（每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7.己知反比例函数y=上的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 m 8.某校图书馆9月份借阅图书500册，11月份借阅图书845册，设这两个月借阅图书的月平均增长率为x,根 据题意可列方程为 0 第1页共5页 9.设01，D2是一元二次方程x2一3c一2=0的两个根，则c1c-1一2=一。 10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB.若∠B=65°，则∠ADC=一。 0 0 (第10题) (第11题) 11.如图，AC,BC是⊙O的弦，PA,PB是⊙O的切线.若∠C=50°，则∠P=。 12.已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表： x -2 -1 1 2 a 6 m 若a>b,则mn.(填">""<"或"="号)》 13.用半径为30cm,圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm. 14如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为2，，(-1，一2，若反比例函数=在的图象与线段 AB只有1个公共点，则k的取值范围是__。 (第14题) (第16题) 15.在平面直角坐标系中，0为原点，点A在第二象限，且OA=√2.若反比例函数y=-1的图象经过点 A,则k的取值范围是 16.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2,P是△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA,则AP长 的最小值为 第2页共5页 三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.（10分)解方程：(1)x2+2x-3=0; (2)c(x-1)=-3(1-x). 18.(6分)如图，在⊙O中，AB是非直径的弦，CD是直径，且CD平分AB,并交AB于点M, 求证：CD⊥AB. D 19.(7分)己知电路的电压UV、电流IA、电阻R2之间有如下关系：U=IR。该电路的电压U为220V。 (1)写出电流IA关于电阻R2的函数表达式 (2)如果该电路的电阻R由1102增大到2202，通过该电路的电流如何变化？ 20.(7分)如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E,AB=CD。求证：AE=CE。 21.(8分)如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度AB为6米，拱高（弧的中点到水面的距离） CD为1米。 (1)求主桥拱所在圆的半径； D (2)若水面下降1米，则此时水面的宽度为米。 第3页共5页 22.(8分)某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件。经过市场调研发现，在一定范 围内调整售价： ①每涨价1元，每天要少卖出10件： ②每降价1元，每天可多卖出20件。 如果只能调整一次售价，如何调整恰使每天的利润为6250元？ 23.(8分)已知反比例函数1=飞(k≠0)的图象经过点(1,2)。 m (1)求该反比例函数的关系式。 (2)已知一次函数2=x+b, ①当b=1时，直接写出当h>y2时的x的取值范围： ②当x<-1时，对于x的每一个值，对应的总大于2，直接写出b的取值范围。 24.(8分)已知关于x的方程（x-2)(x-3)-2=0。 (1)证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两根分别为c1,x2,且c1>c2,证明c1十2x2≤7。 25.(1)作一条弦CD,使CD=AB,且CD⊥AB。 (2)作一条弦CD,使CD=AB,且AB与CD的夹角为60°。 (要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明) 0 .0 ① 第4页共5页 26.(8分)如图，⊙O经过口ABCD的三个顶点A,B,D,且与BC相切，切点为B,并交CD边于点E。 (1)求证：∠ABD=∠EBC; (2)若AB=3W10,BE=6,则⊙O的半径为一。 ⊙ ● 27.(10分)定义：△ABC内接于⊙O,I为△ABC的内心，若I关于该三角形某条边的对称点恰好在⊙O 上，则称△ABC为⊙O的"完美三角形" (图1) (图2) 【初步认识】下列⊙O内接三角形一定是⊙O的"完美三角形"的有 (填序号)： ①等边三角形；②等腰直角三角形：③有一个角为30°的直角三角形。 【探索本质】如图1，△ABC是⊙O的"完美三角形"，其内心I关于BC的对称点D在⊙O上。 ①求∠BAC的度数； ②若BC=3,求⊙O的半径。 【理解应用】如图2，⊙O的半径为7√3，弦AB=24.C是⊙O上一点，△ABC为⊙O的"完美三角 形"，请直接写出AC所有可能的值。 第5页共5页