2026-2027学年人教版数学九年级上册期中复习卷6

人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 2．（3分）一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3 3．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3 4．（3分）如图，点P是反比例函数y=的图象上任一点，PA垂直在轴，垂足为A，设△OAP的面积为S，则S的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 5．（3分）在用求根公式x=求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到x=，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 6．（3分）某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件．经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） B．y＝（60﹣x﹣40）（300﹣20x） C．y＝（60﹣40）（300+20x） D．y＝（60﹣x）（300+20x） 7．（3分）已知反比例函数y=（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程x2+x﹣1＝0的实根可看成函数y＝x+1与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程x3-x=1的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如果函数y=(k-3)+kx+1是关于x的二次函数，则k＝　　　　 ． 10．（3分）已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为　　　　 ． 11．（3分）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22=　　　　 ． 12．（3分）已知反比例函数y=，则当1≤x≤3时，的最小值是　　　　 ． 13．（3分）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣3，当x＞1时，y随x的增大而增大．则m的取值范围为　　　　 ． 14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　　　　 个人． 15．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、DE，在运动过程中，△DEH的面积的最小值是　　　　 ． 16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0），与y轴交于C（0，4），AD⊥AC与抛物线交于D，点E在直线CD上．若∠DEA＝2∠DCA，则点E的坐标是　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程： （1）（x﹣2）2＝x﹣2； （2）2x2﹣4x+1＝0． 18．（6分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 19．（6分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 20．（6分）如图，反比例函数y=(x＞0)的图象经过点A（4，3）． （1）求反比例函数的解析式； （2）过O点作∠AOM的平分线，交反比例函数的图象于点B，过点A作y轴的平行线，交OB的延长线于点C，交x轴于点D，求点B的坐标． 21．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 22．（6分）在电学中，两个定值电阻R1，R2并联时，总电阻R并满足公式：=+． （1）①现有两个电阻R1＝20Ω，R2＝30Ω，将它们并联，求电路的总电阻R并；②若两个电阻满足R1+R2＝5R1R2，求并联电路的总电阻R并． （2）设R1＞R2＞0，试比较R并和R2的大小关系，并说明理由． 23．（8分）广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数y=图象上的点A(，1)为顶点，作菱形AOCD，点D在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC． （1）求反比例函数的解析式； （2）则菱形AOCD的边长为　　　　 ； （3）求图中阴影部分的周长（结果保留π）． 24．（8分）数学应用：电子托盘秤工作原理．素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ．素材2：物体质量y（单位：kg）与可变电阻R1（单位：kΩ）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 25．（10分）如图，直线AB：y1＝ax+b与反比例函数y2=(x＜0)交于点A（﹣2，4），B（﹣4，m），连接AO，BO． （1）求反比例函数及直线AB的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）在直线l：x＝1上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OAB？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标． 26．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数y=-在第二象限图象上的一点，连接OA、OC、AC，若∠AOC＝90°，求sin∠OAC的值； （3）如图3，将反比例函数y=在第一象限的图象，绕坐标原点O逆时针旋转45°后得到的图形记作曲线l，过E(-4，4)、F(2，2)的直线，与曲线l相交于点M、N，求△OMN的面积． 27．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“相反点”． （1）若点（3，a）和（m，n）都是相反点，则a＝　　　　 ，m+n＝　　　　 ． （2）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； （3）小芳在研究抛物线C1：y＝ax2+bx﹣4（a≠0）时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2）．请你帮她求出a，b的值． （4）在（3）的条件下将抛物线C1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，若C2上有两个“相反点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2）（其中x1＜x2，且MN=2）． ①求m的值； ②当x1≤x≤x2时，直接写出C2中y的最大值与最小值的差． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 参考答案与解析 1．（3分）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 【答案】B 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2．故选：B． （来源：2026•道里区模拟） 2．（3分）一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3 【答案】D 【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数为﹣1，常数项为3．故选：D． （来源：2026春•南通期末） 3．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3 【答案】B 【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选：B． （来源：2026•鼓楼区校级一模） 4．（3分）如图，点P是反比例函数y=的图象上任一点，PA垂直在轴，垂足为A，设△OAP的面积为S，则S的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解答】解：设点P的坐标为（x，y）． ∵P（x，y）在反比例函数y=的图象上， ∴xy＝1， ∴△OPM的面积=xy=，故选：D． （来源：2026•湘桥区模拟） 5．（3分）在用求根公式x=求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到x=，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】B 【解答】解：由题意得，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴该一元二次方程为2x2﹣3x﹣1＝0，故选：B． （来源：2026春•朝阳区校级期末） 6．（3分）某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件．经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） B．y＝（60﹣x﹣40）（300﹣20x） C．y＝（60﹣40）（300+20x） D．y＝（60﹣x）（300+20x） 【答案】A 【解答】解：根据每天利润等于单件利润乘以销售量列二次函数解析式可得：y＝（60﹣x﹣40）（300+20x）故选：A． （来源：2026春•沈丘县月考） 7．（3分）已知反比例函数y=（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解： ∵反比例函数y=（b≠0）的图象位于一、三象限， ∴b＞0； ∵A、B的抛物线都是开口向下， ∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的． ∵C、D的抛物线都是开口向上， ∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D． （来源：2026•蚌埠二模） 8．（3分）著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程x2+x﹣1＝0的实根可看成函数y＝x+1与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程x3-x=1的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：由题意得，方程x3-x=1的实数根可以看作是函数y=x2-1与函数y=的图象交点的横坐标， ∵函数y=x2-1经过（﹣1，-），（﹣2，-），（﹣3，0），函数y=经过（﹣1，﹣1），（﹣2，-），（﹣3，-）， ∴由函数图象可知，两个函数在第三象限一定有2个交点，在第一象限有1个交点， ∴两个函数一共有3个交点， ∴方程x3-x=1的实数根有3个，故选：C． （来源：2025•湖北模拟） 9．（3分）如果函数y=(k-3)+kx+1是关于x的二次函数，则k＝ ． 【答案】0 【解答】解： ∵函数y=(k-3)+kx+1是关于x的二次函数，根据二次函数的定义，得，解方程k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3．由k﹣3≠0得k≠3，因此k＝0．故答案为：0． （来源：2026•七星关区校级模拟） 10．（3分）已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为 ． 【答案】﹣7 【解答】解：把2代入方程有：5×4+2k﹣6＝0解得：k＝﹣7．故答案为：﹣7． （来源：2026•徐州模拟） 11．（3分）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22= ． 【答案】23 【解答】解： ∵方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝1， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2＝23．故答案为：23． （来源：2026•明水县二模） 12．（3分）已知反比例函数y=，则当1≤x≤3时，的最小值是 ． 【答案】 【解答】解：将反比例函数y=代入中，可得：=， ∵1≤x≤3，当x增大时，x2也随之增大，则随之减小，因此，在x＝3时取得最小值，代入计算，得=，故答案为：． （来源：2026•临平区二模） 13．（3分）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣3，当x＞1时，y随x的增大而增大．则m的取值范围为 ． 【答案】m≥﹣1 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-=-m， ∵当x≥1时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤1， ∴m≥﹣1，故答案为m≥﹣1． （来源：2026秋•西湖区校级月考） 14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人． 【答案】10 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．依题意，得1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．答：每轮传染中平均每人传染了10人．故答案为：10． （来源：2026秋•南岗区校级月考） 15．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、DE，在运动过程中，△DEH的面积的最小值是 ． 【答案】 【解答】解：延长AD和GH，交于点M，连接FH，由平移可知，FH∥BE，FH＝BE，CF∥GH，CF＝GH． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠FCG＝∠G＝90°．又 ∵BE＝CF， ∴FH＝CF， ∴四边形CFHG为正方形．令BE＝CF＝x（0≤x≤2），则CG＝GH＝x．又 ∵AB＝2，BC＝3， ∴S矩形ABGM＝2（x+3）＝2x+6，S△DMH=x(2-x)=-x2+x，S梯形ABED==x+3，S△EGH=⋅x⋅3=x， ∴S△DEH＝2x+6﹣（-x2+x）﹣（x+3）-x=(x-)2+， ∴当x=时，S△DEH取得最小值．故答案为：． （来源：2026•钟楼区二模） 16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0），与y轴交于C（0，4），AD⊥AC与抛物线交于D，点E在直线CD上．若∠DEA＝2∠DCA，则点E的坐标是 ． 【答案】（﹣1，1）或（-，-） 【解答】解：由题意，分以下两种情形：①如图，E在CD上，过O（0，0）点作线段AC的中垂线交AC于点H， ∵B（﹣1，0）和C（0，4）在抛物线y＝x2+bx+c上， ∴c＝4，1﹣b+4＝0．则b＝5． ∴y＝x2+5x+4．令y＝0，则x2+5x+4＝0， ∴x＝﹣1，或x＝﹣4． ∵B（﹣1，0）， ∴A（﹣4，0）． ∵直线AC过点A（﹣4，0），C（0，4），设直线AC：y＝kx+b1，又 ∵y＝kx+b1过A（﹣4，0），C（0，4）， ∴， ∴b1＝4，k＝1， ∴直线AC：y＝x+4．设直线AD：y＝k′x+m， ∵直线AD过点A（﹣4，0）和点D， ∴﹣4k′+m＝0， ∴k′=， ∴直线AD：y=x+m，设D(x，x+m)， ∵AD⊥AC， ∴在△ACD中，CD2﹣AD2＝AC2， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴OA＝OC＝4， ∴AC2＝32， ∴CD2-AD2=(x-0)2+(+m-4)2-(x+4)2-(+m-0)2=x2+-2m(x+4)+16-x2-8x-16- ＝﹣2m（x+4）﹣8x＝32， ∴+m=-x-4，这说明D点的纵坐标为yD＝﹣x﹣4，即直线AD：y＝﹣x﹣4．联立方程组， ∴x2+6x+8＝0，解得x＝﹣4（即A点）或x＝﹣2， ∴D（﹣2，﹣2）．设直线CD：y＝k1x+m1，将C（0，4），D（﹣2，﹣2）代入y＝k1x+m1得k1＝3，m1＝4， ∴直线CD：y＝3x+4． ∵∠DEA＝∠DCA+∠CAE＝2∠DCA， ∴∠DCA＝∠CAE． ∴CE＝AE．由题意，设直线OH：y＝kx+b， ∵y＝kx+b过点O（0，0）， ∵∠AOH＝∠COH＝45°， ∵平分线OH上的点，横、纵坐标相等， ∴直线OH：y＝﹣x（因为在第二象限）．联立方程组， ∴x＝﹣1． ∴E（﹣1，1）．②E在CD的延长线上，即E'与E关于AH对称， ∴AE＝AE'，则∠DE'A＝∠DEA＝2∠DCA，符合题意．作AH⊥CD于H， ∵直线CD：y＝3x+4， ∴可设AH为y=-x+n．又 ∵A（﹣4，0）， ∴+n＝0． ∴n=-． ∴AH为y=-x-．联立方程组， ∴． ∴H（-，-）， ∵H是E（﹣1，1）与E'的中点， ∴E'（-，-）．综上，E为（﹣1，1）或（-，-）．故答案为：（﹣1，1）或（-，-）． （来源：2026•南充模拟） 17．（6分）解方程： （1）（x﹣2）2＝x﹣2； （2）2x2﹣4x+1＝0． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意， ∵（x﹣2）2＝x﹣2， ∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或 x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3； （2）由题意得，2x2﹣4x＝﹣1， ∴x2﹣2x=-， ∴x2﹣2x+1=， ∴（x﹣1）2=． ∴x﹣1＝±． ∴x1=，x2=． （来源：2026春•瑞安市期中） 18．（6分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程， ∴m2﹣1＝0，解得m＝±1； （2） ∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程， ∴m2﹣1≠0，解得m≠±1． （来源：2024秋•宽甸县校级期中） 19．（6分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】见解析 【解答】解： （1）将x＝1代入原方程可得1+（m+2）+2m＝0，解得：m＝﹣1． （2）由题意可知：Δ＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，不论m取何实数，该方程总有两个实数根． （来源：2026春•贵池区期末） 20．（6分）如图，反比例函数y=(x＞0)的图象经过点A（4，3）． （1）求反比例函数的解析式； （2）过O点作∠AOM的平分线，交反比例函数的图象于点B，过点A作y轴的平行线，交OB的延长线于点C，交x轴于点D，求点B的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由条件可知=3． ∴k＝12． ∴反比例函数的解析式为y=． （2）由条件可知OD＝4，AD＝3．由勾股定理，可得AO==5． ∵AC∥y轴， ∴∠ACO＝∠COM． ∵OC平分∠AOM， ∴∠AOC＝∠COM． ∴∠AOC＝∠ACO． ∴AC＝AO＝5． ∴CD＝5+3＝8． ∴点C的坐标为（4，8）．设OC所在直线的解析式为y＝mx（m≠0）．将点C（4，8）代入y＝mx（m≠0），得4m＝8， ∴m＝2． ∴OC所在直线的解析式为y＝2x．令=2x，解得x=或x=-（舍去）．经检验，x=是原方程的解， ∴y=2． ∴点B的坐标为(， 2)． （来源：2026•卢氏县二模） 21．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）， ∴，解得， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=-x2+x； （2）y=-x2+x=-(x2-3x+-) =-(x-)2+， ∴抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标(，)． （来源：2026春•鼓楼区校级期末） 22．（6分）在电学中，两个定值电阻R1，R2并联时，总电阻R并满足公式：=+． （1）①现有两个电阻R1＝20Ω，R2＝30Ω，将它们并联，求电路的总电阻R并；②若两个电阻满足R1+R2＝5R1R2，求并联电路的总电阻R并． （2）设R1＞R2＞0，试比较R并和R2的大小关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）①=+===， ∴R并＝12Ω；②=+===5， ∴R并＝0.2（Ω）； （2）R并＜R2.理由如下：=+，设R1＞R2＞0， ∴＞， ∴R并＜R2． （来源：2026春•临海市期末） 23．（8分）广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数y=图象上的点A(，1)为顶点，作菱形AOCD，点D在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC． （1）求反比例函数的解析式； （2）则菱形AOCD的边长为 ； （3）求图中阴影部分的周长（结果保留π）． 【答案】2 【解答】解： （1）由条件可知1=， ∴k=， ∴y=； （2）由勾股定理可得OA==2， ∴菱形AOCD的边长为2；故答案为：2． （3）连接AC，由轴对称知，C(，-1)， ∴AC＝1﹣（﹣1）＝2， ∴OA＝AC＝OC＝2， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴C阴影=AD+CD+CAC=2AD+ =2×2+ =4+． （来源：2026•南宁模拟） 24．（8分）数学应用：电子托盘秤工作原理．素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ．素材2：物体质量y（单位：kg）与可变电阻R1（单位：kΩ）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由图3可知，可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量y（单位：kg）之间的关系为一次函数关系，设y＝kR1+b（m≠0），把（0，3.2），（32，0）代入解析式得：，解得， ∴y＝﹣0.1R1+3.2，当y＝1.2时，R1＝20，此时R＝R1+R2＝20+10＝30（kΩ）， （2）设电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I=，由（1）知，把（30，0.2）代入解析式可得：k＝IR＝30×0.2＝6， ∴电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I=； （3） ∵I=， ∴R=， ∴R随I的增大而减小， ∵0.15≤I≤0.5， ∴当I＝0.15时，R取得最大值，最大值为40，此时R1取得最大值30；当I＝0.5时，R取得最小值，最小值为12，此时R1取得最小值2， ∵R1＝﹣10x+32， ∴R1随x的增大而减小， ∴当R1取得最小值2时，x取得最大值3，答：该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． （来源：2026•船营区校级模拟） 25．（10分）如图，直线AB：y1＝ax+b与反比例函数y2=(x＜0)交于点A（﹣2，4），B（﹣4，m），连接AO，BO． （1）求反比例函数及直线AB的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）在直线l：x＝1上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OAB？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）把A（﹣2，4），代入y2=得k＝（﹣2）×4＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为y2=，把B（﹣4，m）代入y2=得m＝2， ∴B（﹣4，2），把A（﹣2，4），B（﹣4，2）分别代入y1＝ax+b（a≠0）得，解得， ∴一次函数解析式为y1＝x+6； （2）如图：设直线y＝x+6交y轴于C，在一次函数y＝x+6中，令x＝0，得y＝6， ∴C（0，6）， ∴S△OAB＝S△OBC﹣S△OAC=×6×4-×6×2＝6， ∴△OAB的面积为6； （3）存在．过点O作OP1∥AB，交直线x＝1于一点，则这个点即为点P．由平行线之间的距离处处相等，可以得出S△OAB＝S△PAB． ∵直线y＝x+6平行直线OP1 ∴直线OP1的直线解析式为y＝x． ∴当x＝1时，y＝1，此时点P1（1，1）；设直线AB交直线x＝1于点D，把x＝1代入y＝x+6，得y＝7 ∴D（1，7）， ∴P1D＝7﹣1＝6， ∴P2D＝P1D＝6， ∴P2（1，13），综上所述，P1（1，1）或P2（1，13）． （来源：2026•安徽校级模拟） 26．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数y=-在第二象限图象上的一点，连接OA、OC、AC，若∠AOC＝90°，求sin∠OAC的值； （3）如图3，将反比例函数y=在第一象限的图象，绕坐标原点O逆时针旋转45°后得到的图形记作曲线l，过E(-4，4)、F(2，2)的直线，与曲线l相交于点M、N，求△OMN的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． ∴1×2a＝（5﹣a）×3， ∴a＝3， ∴点A（1，6），把点A（1，6）代入y=得6=， ∴k＝6； （2） ∵点C为反比例函数y=-的图象上第二象限的点， ∴设C（m，-），过C作CM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N， ∴∠OMC＝∠ANO＝∠AOC＝90°， ∴∠COM+∠OCM＝∠COM+∠AON＝90°， ∴∠COM＝∠OAM， ∴△COM∽△OAN， ∴==， ∴=， ∴m＝﹣2（正值舍去）， ∴C（﹣2，） ∴OC=，OA=， ∴AC==， ∴sin∠OAC==； （3） ∵点E(-4，4)、F(2，2)， ∴OE⊥OF，建立如图新的坐标系，OF为x′轴，OE为y′轴，在新的坐标系中，E（0，8），F（4，0）， ∴直线EF解析式为y′＝﹣2x′+8，由，解得或， ∴M（1，6），N（3，2）， ∴S△OMN＝S△OFM﹣S△OFN=×4×6-×4×2＝8， （来源：2026•武宣县二模） 27．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“相反点”． （1）若点（3，a）和（m，n）都是相反点，则a＝ ，m+n＝ ． （2）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； （3）小芳在研究抛物线C1：y＝ax2+bx﹣4（a≠0）时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2）．请你帮她求出a，b的值． （4）在（3）的条件下将抛物线C1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，若C2上有两个“相反点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2）（其中x1＜x2，且MN=2）．①求m的值；②当x1≤x≤x2时，直接写出C2中y的最大值与最小值的差． 【答案】﹣3 【解答】解： （1） ∵点（3，a）是相反点，依据“相反点”的定义得：3+a＝0，解得：a＝﹣3， ∵点（m，n）是相反点，依据“相反点”的定义得：m+n＝0，故答案为：﹣3；0； （2）直线L的解析式为y＝﹣x；理由如下：设（x，y）是“相反点”，依据“相反点”的定义得：x+y＝0， ∴y＝﹣x， ∴所有相反点都满足y＝﹣x， ∴直线L的解析式为y＝﹣x； （3）由（2）知，相反点在y＝﹣x上，联立得：，整理得：ax2+（b+1）x﹣4＝0， ∵抛物线C1的图象上有且只有一个“相反点”， ∴Δ＝（b+1）2﹣4a×（﹣4）＝（b+1）2+16a＝0，将x＝2代入ax2+（b+1）x﹣4＝0得：4a+2（b+1）﹣4＝0， ∴b＝1﹣2a，将b＝1﹣2 a代入（b+1）2+16a＝0得：（1﹣2a+1）2+16a＝0，解得：a＝﹣1， ∴b＝1﹣2×（﹣1）＝3； （4）①由（3）可知，抛物线C1：y＝﹣x2+3x﹣4， ∴平移后抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+3x﹣4+m，根据题意得：，整理得：x2﹣4x+（4﹣m）＝0， ∵抛物线C2上有两个“相反点”， ∴设方程有两个不等实根x1、x2，由韦达定理得：x1+x2＝4、x1x2＝4﹣m， ∵M（x1，y1），N（x2，y2）是相反点， ∴y1＝﹣x1、y2＝﹣x2， ∴MN==|x2-x1|=2， ∴|x2﹣x1|＝2， ∴(x2-x1)2=4， ∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4(4-m)=4m， ∴4m＝4，解得：m＝1；②C2中y的最大值与最小值的差为．理由如下：由①知，m＝1，则抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+3x﹣3， ∴该抛物线对称轴为直线x=-=，将m＝1代入x2﹣4x+（4﹣m）＝0得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3， ∴当1≤x≤3时，在对称轴x=处有最大值，最大值为：-()2+3×-3=-，将x＝1代入C2的解析式得：﹣1+3﹣3＝﹣1，将x＝3代入C2的解析式得：﹣9+3×3﹣3＝﹣3， ∴C2中y的最大值与最小值的差为：--(-3)=． （来源：2026•石家庄校级一模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 2．（3分）一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3 3．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3 4．（3分）如图，点P是反比例函数y=的图象上任一点，PA垂直在轴，垂足为A，设△OAP的面积为S，则S的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 5．（3分）在用求根公式x=求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到x=，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 6．（3分）某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件．经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） B．y＝（60﹣x﹣40）（300﹣20x） C．y＝（60﹣40）（300+20x） D．y＝（60﹣x）（300+20x） 7．（3分）已知反比例函数y=（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程x2+x﹣1＝0的实根可看成函数y＝x+1与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程x3-x=1的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如果函数y=(k-3)+kx+1是关于x的二次函数，则k＝　　　　 ． 10．（3分）已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为　　　　 ． 11．（3分）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22=　　　　 ． 12．（3分）已知反比例函数y=，则当1≤x≤3时，的最小值是　　　　 ． 13．（3分）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣3，当x＞1时，y随x的增大而增大．则m的取值范围为　　　　 ． 14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　　　　 个人． 15．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、DE，在运动过程中，△DEH的面积的最小值是　　　　 ． 16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0），与y轴交于C（0，4），AD⊥AC与抛物线交于D，点E在直线CD上．若∠DEA＝2∠DCA，则点E的坐标是　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程： （1）（x﹣2）2＝x﹣2； （2）2x2﹣4x+1＝0． 18．（6分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 19．（6分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 20．（6分）如图，反比例函数y=(x＞0)的图象经过点A（4，3）． （1）求反比例函数的解析式； （2）过O点作∠AOM的平分线，交反比例函数的图象于点B，过点A作y轴的平行线，交OB的延长线于点C，交x轴于点D，求点B的坐标． 21．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 22．（6分）在电学中，两个定值电阻R1，R2并联时，总电阻R并满足公式：=+． （1）①现有两个电阻R1＝20Ω，R2＝30Ω，将它们并联，求电路的总电阻R并；②若两个电阻满足R1+R2＝5R1R2，求并联电路的总电阻R并． （2）设R1＞R2＞0，试比较R并和R2的大小关系，并说明理由． 23．（8分）广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数y=图象上的点A(，1)为顶点，作菱形AOCD，点D在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC． （1）求反比例函数的解析式； （2）则菱形AOCD的边长为　　　　 ； （3）求图中阴影部分的周长（结果保留π）． 24．（8分）数学应用：电子托盘秤工作原理．素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ．素材2：物体质量y（单位：kg）与可变电阻R1（单位：kΩ）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 25．（10分）如图，直线AB：y1＝ax+b与反比例函数y2=(x＜0)交于点A（﹣2，4），B（﹣4，m），连接AO，BO． （1）求反比例函数及直线AB的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）在直线l：x＝1上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OAB？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标． 26．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数y=-在第二象限图象上的一点，连接OA、OC、AC，若∠AOC＝90°，求sin∠OAC的值； （3）如图3，将反比例函数y=在第一象限的图象，绕坐标原点O逆时针旋转45°后得到的图形记作曲线l，过E(-4，4)、F(2，2)的直线，与曲线l相交于点M、N，求△OMN的面积． 27．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“相反点”． （1）若点（3，a）和（m，n）都是相反点，则a＝　　　　 ，m+n＝　　　　 ． （2）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； （3）小芳在研究抛物线C1：y＝ax2+bx﹣4（a≠0）时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2）．请你帮她求出a，b的值． （4）在（3）的条件下将抛物线C1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，若C2上有两个“相反点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2）（其中x1＜x2，且MN=2）． ①求m的值； ②当x1≤x≤x2时，直接写出C2中y的最大值与最小值的差． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷6 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 参考答案与解析 1．（3分）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 【答案】B 【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2．故选：B． （来源：2026•道里区模拟） 2．（3分）一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣3 B．2，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3 【答案】D 【解答】解：一元二次方程2x2﹣x+3＝0的一次项系数为﹣1，常数项为3．故选：D． （来源：2026春•南通期末） 3．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3 【答案】B 【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选：B． （来源：2026•鼓楼区校级一模） 4．（3分）如图，点P是反比例函数y=的图象上任一点，PA垂直在轴，垂足为A，设△OAP的面积为S，则S的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解答】解：设点P的坐标为（x，y）． ∵P（x，y）在反比例函数y=的图象上， ∴xy＝1， ∴△OPM的面积=xy=，故选：D． （来源：2026•湘桥区模拟） 5．（3分）在用求根公式x=求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到x=，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】B 【解答】解：由题意得，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴该一元二次方程为2x2﹣3x﹣1＝0，故选：B． （来源：2026春•朝阳区校级期末） 6．（3分）某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件．经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） B．y＝（60﹣x﹣40）（300﹣20x） C．y＝（60﹣40）（300+20x） D．y＝（60﹣x）（300+20x） 【答案】A 【解答】解：根据每天利润等于单件利润乘以销售量列二次函数解析式可得：y＝（60﹣x﹣40）（300+20x）故选：A． （来源：2026春•沈丘县月考） 7．（3分）已知反比例函数y=（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解： ∵反比例函数y=（b≠0）的图象位于一、三象限， ∴b＞0； ∵A、B的抛物线都是开口向下， ∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的． ∵C、D的抛物线都是开口向上， ∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D． （来源：2026•蚌埠二模） 8．（3分）著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”比如方程x2+x﹣1＝0的实根可看成函数y＝x+1与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断方程x3-x=1的实数根有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：由题意得，方程x3-x=1的实数根可以看作是函数y=x2-1与函数y=的图象交点的横坐标， ∵函数y=x2-1经过（﹣1，-），（﹣2，-），（﹣3，0），函数y=经过（﹣1，﹣1），（﹣2，-），（﹣3，-）， ∴由函数图象可知，两个函数在第三象限一定有2个交点，在第一象限有1个交点， ∴两个函数一共有3个交点， ∴方程x3-x=1的实数根有3个，故选：C． （来源：2025•湖北模拟） 9．（3分）如果函数y=(k-3)+kx+1是关于x的二次函数，则k＝ ． 【答案】0 【解答】解： ∵函数y=(k-3)+kx+1是关于x的二次函数，根据二次函数的定义，得，解方程k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3．由k﹣3≠0得k≠3，因此k＝0．故答案为：0． （来源：2026•七星关区校级模拟） 10．（3分）已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为 ． 【答案】﹣7 【解答】解：把2代入方程有：5×4+2k﹣6＝0解得：k＝﹣7．故答案为：﹣7． （来源：2026•徐州模拟） 11．（3分）已知方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22= ． 【答案】23 【解答】解： ∵方程x2+5x+1＝0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝1， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2＝23．故答案为：23． （来源：2026•明水县二模） 12．（3分）已知反比例函数y=，则当1≤x≤3时，的最小值是 ． 【答案】 【解答】解：将反比例函数y=代入中，可得：=， ∵1≤x≤3，当x增大时，x2也随之增大，则随之减小，因此，在x＝3时取得最小值，代入计算，得=，故答案为：． （来源：2026•临平区二模） 13．（3分）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣3，当x＞1时，y随x的增大而增大．则m的取值范围为 ． 【答案】m≥﹣1 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-=-m， ∵当x≥1时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤1， ∴m≥﹣1，故答案为m≥﹣1． （来源：2026秋•西湖区校级月考） 14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人． 【答案】10 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．依题意，得1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．答：每轮传染中平均每人传染了10人．故答案为：10． （来源：2026秋•南岗区校级月考） 15．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、DE，在运动过程中，△DEH的面积的最小值是 ． 【答案】 【解答】解：延长AD和GH，交于点M，连接FH，由平移可知，FH∥BE，FH＝BE，CF∥GH，CF＝GH． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠FCG＝∠G＝90°．又 ∵BE＝CF， ∴FH＝CF， ∴四边形CFHG为正方形．令BE＝CF＝x（0≤x≤2），则CG＝GH＝x．又 ∵AB＝2，BC＝3， ∴S矩形ABGM＝2（x+3）＝2x+6，S△DMH=x(2-x)=-x2+x，S梯形ABED==x+3，S△EGH=⋅x⋅3=x， ∴S△DEH＝2x+6﹣（-x2+x）﹣（x+3）-x=(x-)2+， ∴当x=时，S△DEH取得最小值．故答案为：． （来源：2026•钟楼区二模） 16．（3分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0），与y轴交于C（0，4），AD⊥AC与抛物线交于D，点E在直线CD上．若∠DEA＝2∠DCA，则点E的坐标是 ． 【答案】（﹣1，1）或（-，-） 【解答】解：由题意，分以下两种情形：①如图，E在CD上，过O（0，0）点作线段AC的中垂线交AC于点H， ∵B（﹣1，0）和C（0，4）在抛物线y＝x2+bx+c上， ∴c＝4，1﹣b+4＝0．则b＝5． ∴y＝x2+5x+4．令y＝0，则x2+5x+4＝0， ∴x＝﹣1，或x＝﹣4． ∵B（﹣1，0）， ∴A（﹣4，0）． ∵直线AC过点A（﹣4，0），C（0，4），设直线AC：y＝kx+b1，又 ∵y＝kx+b1过A（﹣4，0），C（0，4）， ∴， ∴b1＝4，k＝1， ∴直线AC：y＝x+4．设直线AD：y＝k′x+m， ∵直线AD过点A（﹣4，0）和点D， ∴﹣4k′+m＝0， ∴k′=， ∴直线AD：y=x+m，设D(x，x+m)， ∵AD⊥AC， ∴在△ACD中，CD2﹣AD2＝AC2， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴OA＝OC＝4， ∴AC2＝32， ∴CD2-AD2=(x-0)2+(+m-4)2-(x+4)2-(+m-0)2=x2+-2m(x+4)+16-x2-8x-16- ＝﹣2m（x+4）﹣8x＝32， ∴+m=-x-4，这说明D点的纵坐标为yD＝﹣x﹣4，即直线AD：y＝﹣x﹣4．联立方程组， ∴x2+6x+8＝0，解得x＝﹣4（即A点）或x＝﹣2， ∴D（﹣2，﹣2）．设直线CD：y＝k1x+m1，将C（0，4），D（﹣2，﹣2）代入y＝k1x+m1得k1＝3，m1＝4， ∴直线CD：y＝3x+4． ∵∠DEA＝∠DCA+∠CAE＝2∠DCA， ∴∠DCA＝∠CAE． ∴CE＝AE．由题意，设直线OH：y＝kx+b， ∵y＝kx+b过点O（0，0）， ∵∠AOH＝∠COH＝45°， ∵平分线OH上的点，横、纵坐标相等， ∴直线OH：y＝﹣x（因为在第二象限）．联立方程组， ∴x＝﹣1． ∴E（﹣1，1）．②E在CD的延长线上，即E'与E关于AH对称， ∴AE＝AE'，则∠DE'A＝∠DEA＝2∠DCA，符合题意．作AH⊥CD于H， ∵直线CD：y＝3x+4， ∴可设AH为y=-x+n．又 ∵A（﹣4，0）， ∴+n＝0． ∴n=-． ∴AH为y=-x-．联立方程组， ∴． ∴H（-，-）， ∵H是E（﹣1，1）与E'的中点， ∴E'（-，-）．综上，E为（﹣1，1）或（-，-）．故答案为：（﹣1，1）或（-，-）． （来源：2026•南充模拟） 17．（6分）解方程： （1）（x﹣2）2＝x﹣2； （2）2x2﹣4x+1＝0． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意， ∵（x﹣2）2＝x﹣2， ∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或 x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3； （2）由题意得，2x2﹣4x＝﹣1， ∴x2﹣2x=-， ∴x2﹣2x+1=， ∴（x﹣1）2=． ∴x﹣1＝±． ∴x1=，x2=． （来源：2026春•瑞安市期中） 18．（6分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程， ∴m2﹣1＝0，解得m＝±1； （2） ∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程， ∴m2﹣1≠0，解得m≠±1． （来源：2024秋•宽甸县校级期中） 19．（6分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】见解析 【解答】解： （1）将x＝1代入原方程可得1+（m+2）+2m＝0，解得：m＝﹣1． （2）由题意可知：Δ＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，不论m取何实数，该方程总有两个实数根． （来源：2026春•贵池区期末） 20．（6分）如图，反比例函数y=(x＞0)的图象经过点A（4，3）． （1）求反比例函数的解析式； （2）过O点作∠AOM的平分线，交反比例函数的图象于点B，过点A作y轴的平行线，交OB的延长线于点C，交x轴于点D，求点B的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由条件可知=3． ∴k＝12． ∴反比例函数的解析式为y=． （2）由条件可知OD＝4，AD＝3．由勾股定理，可得AO==5． ∵AC∥y轴， ∴∠ACO＝∠COM． ∵OC平分∠AOM， ∴∠AOC＝∠COM． ∴∠AOC＝∠ACO． ∴AC＝AO＝5． ∴CD＝5+3＝8． ∴点C的坐标为（4，8）．设OC所在直线的解析式为y＝mx（m≠0）．将点C（4，8）代入y＝mx（m≠0），得4m＝8， ∴m＝2． ∴OC所在直线的解析式为y＝2x．令=2x，解得x=或x=-（舍去）．经检验，x=是原方程的解， ∴y=2． ∴点B的坐标为(， 2)． （来源：2026•卢氏县二模） 21．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）抛物线y＝ax2+bx经过点A（1，3）和点B（3，0）， ∴，解得， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=-x2+x； （2）y=-x2+x=-(x2-3x+-) =-(x-)2+， ∴抛物线的对称轴为直线x=，顶点坐标(，)． （来源：2026春•鼓楼区校级期末） 22．（6分）在电学中，两个定值电阻R1，R2并联时，总电阻R并满足公式：=+． （1）①现有两个电阻R1＝20Ω，R2＝30Ω，将它们并联，求电路的总电阻R并；②若两个电阻满足R1+R2＝5R1R2，求并联电路的总电阻R并． （2）设R1＞R2＞0，试比较R并和R2的大小关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）①=+===， ∴R并＝12Ω；②=+===5， ∴R并＝0.2（Ω）； （2）R并＜R2.理由如下：=+，设R1＞R2＞0， ∴＞， ∴R并＜R2． （来源：2026春•临海市期末） 23．（8分）广西侗族视鱼为图腾，常见于鼓楼雕刻与服饰刺绣中．“双鱼共头”等图案象征多子多福、吉祥如意，承载着族群繁衍与团结的文化信仰．如图，设计“鱼形”图案时，先在图纸上建立平面直角坐标系，再以反比例函数y=图象上的点A(，1)为顶点，作菱形AOCD，点D在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC． （1）求反比例函数的解析式； （2）则菱形AOCD的边长为 ； （3）求图中阴影部分的周长（结果保留π）． 【答案】2 【解答】解： （1）由条件可知1=， ∴k=， ∴y=； （2）由勾股定理可得OA==2， ∴菱形AOCD的边长为2；故答案为：2． （3）连接AC，由轴对称知，C(，-1)， ∴AC＝1﹣（﹣1）＝2， ∴OA＝AC＝OC＝2， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴C阴影=AD+CD+CAC=2AD+ =2×2+ =4+． （来源：2026•南宁模拟） 24．（8分）数学应用：电子托盘秤工作原理．素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）成反比例，其中R＝R1+R2，已知R2＝10kΩ．素材2：物体质量y（单位：kg）与可变电阻R1（单位：kΩ）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA． （1）当放置物体质量为1.2kg时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA），直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由图3可知，可变电阻R1（单位：kΩ）与物体质量y（单位：kg）之间的关系为一次函数关系，设y＝kR1+b（m≠0），把（0，3.2），（32，0）代入解析式得：，解得， ∴y＝﹣0.1R1+3.2，当y＝1.2时，R1＝20，此时R＝R1+R2＝20+10＝30（kΩ）， （2）设电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I=，由（1）知，把（30，0.2）代入解析式可得：k＝IR＝30×0.2＝6， ∴电流I（mA）与总电阻R（单位：kΩ）的函数解析式为I=； （3） ∵I=， ∴R=， ∴R随I的增大而减小， ∵0.15≤I≤0.5， ∴当I＝0.15时，R取得最大值，最大值为40，此时R1取得最大值30；当I＝0.5时，R取得最小值，最小值为12，此时R1取得最小值2， ∵R1＝﹣10x+32， ∴R1随x的增大而减小， ∴当R1取得最小值2时，x取得最大值3，答：该电子秤所称物品质量的最大值为3kg． （来源：2026•船营区校级模拟） 25．（10分）如图，直线AB：y1＝ax+b与反比例函数y2=(x＜0)交于点A（﹣2，4），B（﹣4，m），连接AO，BO． （1）求反比例函数及直线AB的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）在直线l：x＝1上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OAB？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）把A（﹣2，4），代入y2=得k＝（﹣2）×4＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为y2=，把B（﹣4，m）代入y2=得m＝2， ∴B（﹣4，2），把A（﹣2，4），B（﹣4，2）分别代入y1＝ax+b（a≠0）得，解得， ∴一次函数解析式为y1＝x+6； （2）如图：设直线y＝x+6交y轴于C，在一次函数y＝x+6中，令x＝0，得y＝6， ∴C（0，6）， ∴S△OAB＝S△OBC﹣S△OAC=×6×4-×6×2＝6， ∴△OAB的面积为6； （3）存在．过点O作OP1∥AB，交直线x＝1于一点，则这个点即为点P．由平行线之间的距离处处相等，可以得出S△OAB＝S△PAB． ∵直线y＝x+6平行直线OP1 ∴直线OP1的直线解析式为y＝x． ∴当x＝1时，y＝1，此时点P1（1，1）；设直线AB交直线x＝1于点D，把x＝1代入y＝x+6，得y＝7 ∴D（1，7）， ∴P1D＝7﹣1＝6， ∴P2D＝P1D＝6， ∴P2（1，13），综上所述，P1（1，1）或P2（1，13）． （来源：2026•安徽校级模拟） 26．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数y=-在第二象限图象上的一点，连接OA、OC、AC，若∠AOC＝90°，求sin∠OAC的值； （3）如图3，将反比例函数y=在第一象限的图象，绕坐标原点O逆时针旋转45°后得到的图形记作曲线l，过E(-4，4)、F(2，2)的直线，与曲线l相交于点M、N，求△OMN的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）在第一象限的图象经过点A（1，2a）、B（5﹣a，3）． ∴1×2a＝（5﹣a）×3， ∴a＝3， ∴点A（1，6），把点A（1，6）代入y=得6=， ∴k＝6； （2） ∵点C为反比例函数y=-的图象上第二象限的点， ∴设C（m，-），过C作CM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N， ∴∠OMC＝∠ANO＝∠AOC＝90°， ∴∠COM+∠OCM＝∠COM+∠AON＝90°， ∴∠COM＝∠OAM， ∴△COM∽△OAN， ∴==， ∴=， ∴m＝﹣2（正值舍去）， ∴C（﹣2，） ∴OC=，OA=， ∴AC==， ∴sin∠OAC==； （3） ∵点E(-4，4)、F(2，2)， ∴OE⊥OF，建立如图新的坐标系，OF为x′轴，OE为y′轴，在新的坐标系中，E（0，8），F（4，0）， ∴直线EF解析式为y′＝﹣2x′+8，由，解得或， ∴M（1，6），N（3，2）， ∴S△OMN＝S△OFM﹣S△OFN=×4×6-×4×2＝8， （来源：2026•武宣县二模） 27．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“相反点”． （1）若点（3，a）和（m，n）都是相反点，则a＝ ，m+n＝ ． （2）小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； （3）小芳在研究抛物线C1：y＝ax2+bx﹣4（a≠0）时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2）．请你帮她求出a，b的值． （4）在（3）的条件下将抛物线C1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，若C2上有两个“相反点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2）（其中x1＜x2，且MN=2）．①求m的值；②当x1≤x≤x2时，直接写出C2中y的最大值与最小值的差． 【答案】﹣3 【解答】解： （1） ∵点（3，a）是相反点，依据“相反点”的定义得：3+a＝0，解得：a＝﹣3， ∵点（m，n）是相反点，依据“相反点”的定义得：m+n＝0，故答案为：﹣3；0； （2）直线L的解析式为y＝﹣x；理由如下：设（x，y）是“相反点”，依据“相反点”的定义得：x+y＝0， ∴y＝﹣x， ∴所有相反点都满足y＝﹣x， ∴直线L的解析式为y＝﹣x； （3）由（2）知，相反点在y＝﹣x上，联立得：，整理得：ax2+（b+1）x﹣4＝0， ∵抛物线C1的图象上有且只有一个“相反点”， ∴Δ＝（b+1）2﹣4a×（﹣4）＝（b+1）2+16a＝0，将x＝2代入ax2+（b+1）x﹣4＝0得：4a+2（b+1）﹣4＝0， ∴b＝1﹣2a，将b＝1﹣2 a代入（b+1）2+16a＝0得：（1﹣2a+1）2+16a＝0，解得：a＝﹣1， ∴b＝1﹣2×（﹣1）＝3； （4）①由（3）可知，抛物线C1：y＝﹣x2+3x﹣4， ∴平移后抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+3x﹣4+m，根据题意得：，整理得：x2﹣4x+（4﹣m）＝0， ∵抛物线C2上有两个“相反点”， ∴设方程有两个不等实根x1、x2，由韦达定理得：x1+x2＝4、x1x2＝4﹣m， ∵M（x1，y1），N（x2，y2）是相反点， ∴y1＝﹣x1、y2＝﹣x2， ∴MN==|x2-x1|=2， ∴|x2﹣x1|＝2， ∴(x2-x1)2=4， ∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4(4-m)=4m， ∴4m＝4，解得：m＝1；②C2中y的最大值与最小值的差为．理由如下：由①知，m＝1，则抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+3x﹣3， ∴该抛物线对称轴为直线x=-=，将m＝1代入x2﹣4x+（4﹣m）＝0得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3， ∴当1≤x≤3时，在对称轴x=处有最大值，最大值为：-()2+3×-3=-，将x＝1代入C2的解析式得：﹣1+3﹣3＝﹣1，将x＝3代入C2的解析式得：﹣9+3×3﹣3＝﹣3， ∴C2中y的最大值与最小值的差为：--(-3)=． （来源：2026•石家庄校级一模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $