三角函数的图象与性质 课件-2027届高三数学一轮复习

三角函数的图像和性质 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 能用五点法画出正弦、余弦、正切函数的图象； 2. 掌握三角函数的周期性、单调性、奇偶性与最值； 3. 能借助图象研究三角函数的性质。 【教学重点】 · 正、余弦、正切函数的图象特征与性质（定义域、值域、周期、单调性、奇偶性、对称性）。 【教学难点】 · 复合三角函数（如 y=Asin(ωx+φ)）单调区间与对称性的分析。 第25课时 三角函数的图象与性质 1.能画出三角函数的图象. 2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在 上的性质. 第25课时 三角函数的图象与性质 3 【近五年考频考点】及备考建议 三角函数图象与性质是高考必考内容（5年约5考），多与图象变换、解三角形综合。 备考建议：以“五点法”为根基，熟记三类函数性质表；重视周期、单调区间与对称中心/对称轴的求解通法。 第25课时 三角函数的图象与性质 一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1.在正弦函数，的图象上，五个关键点分别是， ， ，， . 2.在余弦函数，的图象上，五个关键点分别是， ， ，， . 函数，和， 图象上的五个关键点的横坐 标是零点和极值点（最值点）. 第25课时 三角函数的图象与性质 5 二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中的 ） 函数 图象 定义域 值域 _______ _______ 最小正周期 ____ ___ 奇偶性 ________ ________ 奇函数 单调递增区间 ______________ 奇函数 偶函数 第25课时 三角函数的图象与性质 6 函数 单调递减区间 ______________ 对称中心 _______ 对称轴方程 ________ 微思考 能否认为函数 在它的定义域内为增函数？ 答案 不能，应该说函数在区间 内为增函数，且这 些区间是不连续的. （1）写单调区间时，不要忘记 . （2） 无单调递减区间. （3）正切函数的图象是由直线 隔开的无穷多条曲线组成的. 续表 第25课时 三角函数的图象与性质 7 关键考点·核心突破 8 三角函数的定义域和值域 题组1 （北师大必修二P39A组T3改编）求下列函数的定义域： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 第25课时 三角函数的图象与性质 9 解析 （1）由 ， 得 ， 所以， ， 所以函数的定义域为 . （2）由，得 ， 所以函数的定义域为 . 第25课时 三角函数的图象与性质 10 （3）要使函数有意义，必须使 .在同一 坐标系中画出和在 上的图象，如 图所示.在内，满足的的值为， ， （4）要使函数有意义，则 即 再结合正弦、余弦函数的最小正周期都是 ，所以函数的定义域为 ， . 第25课时 三角函数的图象与性质 11 解得，所以 ， ，所以函 数的定义域为 . 第25课时 三角函数的图象与性质 题组2 （必修一214 10改编）求下列函数的值域： （1） ； （2）， ； （3）， ； （4） ； （5） . 第25课时 三角函数的图象与性质 13 解析 （1） ， ， ， ， 故的值域为 . （2）令 ， 则 第25课时 三角函数的图象与性质 14 . ， ， ， ，故所求的值域为 . （3）由题意，得 . 令，， ， ， 第25课时 三角函数的图象与性质 当时，取得最小值，最小值为，当时， 取得最大值，最大值为4， 函数的值域为 . （4）设，则 ， 则，且 ， . 当时， ； 当时， . 故函数的值域为 . 第25课时 三角函数的图象与性质 （5），且 ， ， ， ， ， ， 故的值域为 . 第25课时 三角函数的图象与性质 感悟提升 1.三角函数定义域的求法 根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数的性质及图象 求解. 注意：涉及与正切函数有关的定义域时，要注意正切函数本身的定义域. 第25课时 三角函数的图象与性质 18 2.求解三角函数值域（最值）常见的问题类型 （1）形如先化为 的形式，再求值域 （最值）. （2）形如可先设，化为关于 的二次函数求值域 （最值）. （3）形如可先设，化为关于 的 二次函数求值域（最值）. 第25课时 三角函数的图象与性质 19 三角函数的周期性、奇偶性与图象对称性 例1（1）（2025·全国一卷）若点是函数 图象的一个对 称中心，则 的最小值为( ). C A. B. C. D. 解析 根据正切函数的性质， 图象的对称中心的横坐标满足 ，，即图象的对称中心是， ， 又，所以当时，取得最小值 .故选C. 第25课时 三角函数的图象与性质 20 （2）（多选题）已知函数 ，则( ). AC A.的最小正周期 B.的图象关于点 对称 C.的图象关于直线 对称 D.若是偶函数，且，则 第25课时 三角函数的图象与性质 21 解析 ，的最小正周期 ，A正确. ，的图象关于点 对称，B错误. ，的图象关于直线 对称，C正确. 由题意得为偶函数，则 ， ，解得 ，.又，或 ，D错误. 故选AC. 第25课时 三角函数的图象与性质 22 感悟提升 1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为或 的形 式，而偶函数一般可化为 的形式. 2.最小正周期的计算方法：利用函数， 的最小正周期为，函数的最小正周期为 求解. 3.对称轴、对称中心的求法：对于可化为 (或 )形式的函数，令 (或 )即可. 第25课时 三角函数的图象与性质 23 1.（2024·新高考Ⅱ卷，多选题）对于函数和 ，下列说 法正确的有( ). BC A.与有相同的零点 B.与 有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与 的图象有相同的对称轴 第25课时 三角函数的图象与性质 24 解析 对于A，令，解得， ， 令，解得， ， 因此，， 的零点不同，故A错误； 对于B，显然 ，故B正确； 对于C，根据最小正周期公式可知，，的最小正周期均为 ，故C正确； 对于D，图象的对称轴方程满足，解得， ， 图象的对称轴方程满足，解得， ， 因此，， 图象的对称轴不同，故D错误.故选BC. 第25课时 三角函数的图象与性质 25 2.（2025·天津卷）函数在 上单调 递增，且直线为图象的一条对称轴，点是 图象的一个对称中心， 当时， 的最小值为( ). A A. B. C. D.0 第25课时 三角函数的图象与性质 26 解析 设的最小正周期为，根据题意，有， . 由正弦函数图象的对称性可知，即， ， 又在上单调递增，，则，得 ， ，则， . ， 当，时， ， . 当时， ， 由正弦函数的单调性可知 .故选A. 第25课时 三角函数的图象与性质 27 三角函数的单调性 例2（1）（北师大必修二74 11改编）求下列函数的单调区间： ① ； ② ； ③ . 第25课时 三角函数的图象与性质 28 解析 ①对于函数 ， 令， ， 解得， ， 故函数的单调递增区间为，， ； 令， ， 解得， ， 故函数的单调递减区间为，， . 第25课时 三角函数的图象与性质 29 ②对于函数 ， 令 ， ， 解得， ， 故函数的单调递增区间为，， ； 令 ， ， 解得， ， 故函数的单调递减区间为，， . ③由 ，，得， ， 函数的单调递增区间为， ，无单调递减区间. 第25课时 三角函数的图象与性质 30 （2）（经典高考真题）若在上是减函数，则 的最大值是 __. 解析 ， 由 ， 得 ， ， 因此， ， ，的最大值为 . 第25课时 三角函数的图象与性质 31 （3）（经典高考真题）已知，函数在 上单调递减， 则 的取值范围是( ). A A. B. C.， D. 解析 由题意，可得 ， ， ， . 解得， ， 的取值范围是 .故选A. 第25课时 三角函数的图象与性质 32 感悟提升 1.形如的函数的单调区间的求法：将 看作一个整体， 结合函数的性质求解，若，则先利用诱导公式将 的系数化为正数. 2.已知单调区间求参数范围的两种方法 （1）求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组） 求解. （2）由所给区间求出整体角的范围，再由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单 调区间的子集，列不等式（组）求解. 第25课时 三角函数的图象与性质 33 1.（经典高考真题）已知函数 ，则( ). C A.在上单调递减 B.在 上单调递增 C.在上单调递减 D.在 上单调递增 第25课时 三角函数的图象与性质 34 解析 依题意可知 . 对于A，因为，所以 ，所以函数 在 上单调递增，所以A不正确； 对于B，因为，所以，所以函数在 上 不单调，所以B不正确； 对于C，因为，所以，所以函数在 上单调递减， 所以C正确； 对于D，因为，所以，所以函数在 上不单 调，所以D不正确.故选C. 第25课时 三角函数的图象与性质 35 2.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，若 在上单调递增，则实数 的取值范围是_______. 解析 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， 所以，解得，即.因为在 上单调递增， 且，所以函数 的单调递增区间包含0，则令 ，得 ， 所以，所以解得 ， 故实数的取值范围为 . 第25课时 三角函数的图象与性质 36 THANKS 37 $