4.3 三角函数的图象与性质 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的图象与性质”专题，依据课标要求覆盖周期性、单调性、奇偶性、最值及对称性等核心考点，通过知识表格对比、真题解析（如2025新高考Ⅰ题4）归纳定义域值域、单调性判断等常考题型，对接高考评价体系，突出高频考点的针对性复习。 课件亮点在于“知识梳理+能力突破+素养提升”的三阶备考模式，如用整体思想求单调区间、数形结合解三角不等式，培养数学思维与几何直观素养。特设易错点警示（如正切函数定义域误区）和答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效规划复习，提升备考实效。

4.3　三角函数的图象与性质 第四章 2027 课标要求 1.能画出三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上,正切函数在区间 上的性质. 备考指导 本节重点是三角函数图象与性质的应用,尤其是周期性、单调性和对称性,是高考的热点.复习时要熟记正弦函数、余弦函数、正切函数图象的特点及其性质,注意整体思想在三角函数性质问题中的应用,提升数学运算素养,注重数形结合思想的运用. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 问题思考 正弦函数、余弦函数的最值是多少?在何处取得? (2)当x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,余弦函数y=cos x单调递增,函数值由-1增大到1; 当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,余弦函数y=cos x单调递减,函数值由1减小到-1. 当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,余弦函数y=cos x取得最大值1; 当且仅当x=(2k+1)π(k∈Z)时,余弦函数y=cos x取得最小值-1. 温馨提示周期函数的周期不止一个.例如,2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…都是正弦函数的周期.事实上,∀k∈Z,且k≠0,常数2kπ都是它的周期. 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性 若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)y=cos x是减函数.(　　) (2)若y=ksin x+1(k∈R),则y的最大值是k+1.(　　) (3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.(　　) (4)函数y=sin x图象的对称轴方程为 .(　　) (5)函数y=tan x在整个定义域上是增函数.(　　) × × √ × × D C 4.(2025新高考Ⅰ,4)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. B 由题意知,a-,k∈Z, 所以a=,k∈Z. 又a>0,所以当k=0时,a取最小值. 故a的最小值为.故选B. 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 三角函数的定义域、值域 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 C y=sin2x+sin x-1,令sin x=t,则有y=t2+t-1,t∈[-1,1],作出函数图象, 如图所示,从图象可以看出, 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.求与三角函数有关的函数的定义域通常要解三角不等式(组),解三角不等式(组)常借助三角函数的图象. 2.求三角函数的值域(最值)的4种类型及解法思路 形如y=asin x+bcos x+c 先化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值) 形如y=asin2x+bsin x+c 先设sin x=t,再化为关于t的二次函数求值域(最值) 形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 先设t=sin x±cos x,再化为关于t的二次函数求值域(最值) 形式比较复杂的三角函数 先考虑利用导数确定函数的单调性,再求值域(最值) 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练1 (1)已知f(x)的定义域为[0,1],则f(cos x)的定义域为　　　　　　　　　　. (2)函数y=sin x-cos x+sin xcos x(x∈[0,π])的值域为　　　　　　.  [-1,1] 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 三角函数的单调性 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.三角函数单调区间的求法 (1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的形式,根据y=sin x与y=cos x的单调区间列不等式去解答.列不等式的原则 ①一般当ω为负值时,应用诱导公式化为正值; ②把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体”; ③当A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sin x,y=cos x的单调区间对应的不等式方向相同(反). 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要作出图象,结合图象判定. 注意:求函数的单调区间首先要求函数的定义域,单调区间是定义域的一个子集. 2.已知函数在某区间上单调求参数ω的取值范围的解法:先确定已知函数的单调区间,再利用已知的单调区间为函数的单调区间的子集的关系求解. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 三角函数的周期性、奇偶性、图象的对称性 命题角度1 三角函数的周期性 A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 2或3 命题角度2 三角函数的奇偶性 例4　已知函数 是偶函数,则θ的值为　　　. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 命题角度3 三角函数图象的对称性 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.若求最小正周期,则可把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,最小正周期为 2.奇偶性的判断关键是解析式是否可化为y=Asin ωx或y=Acos ωx+b的形式. 3.求三角函数图象的对称轴及对称中心,须先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再把(ωx+φ)整体看成一个变量;若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称轴,则只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x;若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标,则只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)若φ∈R,则“φ=0”是“y=sin(x+φ)为奇函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 当φ=0时,y=sin(x+φ)=sin x为奇函数;当y=sin(x+φ)是奇函数时,φ=kπ,k∈Z,所以“φ=0”是“y=sin(x+φ)为奇函数”的充分不必要条件. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 ACD 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 数形结合思想在三角函数中的应用 1.判断方程的解(函数的零点)的个数 典例1　求方程 的解的个数. 解题心得求解此类含有三角式、指数式、对数式的方程问题,通常把这类方程分解成两个函数,把求方程的解转化为求两个函数图象的交点问题,利用函数图象的交点个数来确定方程的解的个数. 变式训练1 已知x∈(0,π],函数 在区间(0,π]上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　　.  解题心得对于可化为形如sin(ωx+φ)≥a或sin(ωx+φ)<a(ω>0)的正弦函数不等式,可把(ωx+φ)视为一个整体,借助于y=sin x(x∈R)的图象,首先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间,然后两边加上2kπ(k∈Z),把它扩展到整个定义域上,最后解关于x的不等式,便可求出x的解. 本 课 结 束 1.正弦函数的“五点(画图)法” (1)在正弦函数y=sin x(x∈[0,2π])的图象中,五个关键点是: (0,0),,(π,0),,(2π,0). (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是: (0,1),,(π,-1),,(2π,1). 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R {xkπ+,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递 增区间 (k∈Z) [2kπ-π,2kπ](k∈Z) (k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 单调递 减区间 (k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 无 图象的 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) 图象的 对称轴 x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) 无 当x(k∈Z)时,正弦函数y=sin x单调递增, 函数值由-1增大到1; 当x(k∈Z)时,正弦函数y=sin x单调递减, 函数值由1减小到-1. 当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最大值1; 当且仅当x=-+2kπ(k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最小值-1. 3.周期函数的定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)和y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的周期均为T=;函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期为T=. φ=+kπ(k∈Z); x=2kπ+(k∈Z) 2.函数y=tan的定义域是(　　) A. B. C. D. ∵x-≠kπ+,k∈Z,∴x≠kπ+,k∈Z. 3.函数y=2-cos(x∈R)的最大值和最小正周期分别是(　　) A.2,3π B.1,6π C.3,6π D.3,3π 由y=2-cos知,ymax=2-(-1)=3,最小正周期T==6π. 例1　(1)函数y=的定义域为(　　) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 由2sin x-1≥0,得sin x, 故2kπ+x≤2kπ+(k∈Z). (2)函数f(x)=3sin在定义域上的值域为(　　) A. B. C. D. 因为x,所以2x-, 所以sin(2x-), 所以3sin, 故函数f(x)在区间上的值域是 (3)函数y=sin2x+sin x-1的值域为(　　) A.[-1,1] B. C. D. 当t=-及t=1时,函数取最值,代入y=t2+t-1可得y 由题意,得0≤cos x≤1,即2kπ-x≤2kπ+,k∈Z. 令sin x-cos x=t,则t=sin ∵x∈[0,π],∴x-,∴t∈[-1,]. 又sin xcos x=,∴y=t+=-(t-1)2+1, 当t=1时,ymax=1;当t=-1时,ymin=-1. 故函数的值域为[-1,1]. (3)若函数f(x)=(1+tan x)cos x(x∈),则f(x)的最大值为　　　　. 由题意,得f(x)=cos x+sin x=2sin(x+). ∵x,∴x+, ∴当x+,即x=时,f(x)取得最大值2. 例2　(1)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的相邻两个交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+). 由函数y=f(x)的图象与直线y=2的相邻两个交点的距离为π, 知函数y=f(x)的最小正周期T=π, 又ω>0, 所以T==π,解得ω=2, 即f(x)=2sin 令2kπ-2x+2kπ+(k∈Z),得kπ-x≤kπ+(k∈Z). (2)已知ω>0,函数f(x)=sin在区间内单调递减,则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0,2] 由<x<π,得+<ωx+<πω+, 由题意,知[2kπ+,2kπ+](k∈Z), 所以所以4k+2k+(k∈Z), 所以满足条件的k的值为0,所以,故选A. 拓展延伸 本例(2)中,若已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)在区间(,π)内单调递增,则ω的取值范围是　　　　　.  [] 函数y=cos x的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ](k∈Z), 则(k∈Z),解得4k-2k-(k∈Z), 又由4k--(2k-)≤0(k∈Z),且2k->0(k∈Z),得k=1, 所以ω∈[]. (2)对于函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ为常数),其周期T=,利用 ωx+φ∈(-+kπ, +kπ)(k∈Z),解出x的取值范围,即为其单调区间. 对点训练2 (1)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω等于(　　) A. B. C.2 D.3 因为f(x)=sin ωx(ω>0)的图象过原点, 所以当0≤ωx,即0≤x时,y=sin ωx单调递增; 当x,即x时,y=sin ωx单调递减. 因为f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增, 在区间上单调递减,所以,所以ω= (2)函数f(x)=sin的单调递减区间为　　　　　　　　　　　. 由已知,得f(x)=-sin,欲求函数的单调递减区间, 只需求y=sin的单调递增区间. 由2kπ-2x-2kπ+(k∈Z), 得kπ-x≤kπ+(k∈Z). 故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). 例3　(1)函数y=-2cos2+1是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的非奇非偶函数 因为y=-cos=sin 2x, 所以函数y=-2cos2+1是最小正周期为π的奇函数. (2)若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为　　　　　.  由题意知1<<2,即|k|<π<2|k|. 又k∈N, 所以k=2或k=3. f(x)=2sin(x+θ+)(θ∈[-]) ∵函数f(x)为偶函数, ∴θ+=kπ+(k∈Z). 又θ∈[-], ∴θ+,解得θ= 经检验符合题意. 例5　(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象(　　) A.关于点(,0)对称 B.关于点(,0)对称 C.关于直线x=对称 D.关于直线x=对称 因为函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为4π, 而周期T==4π,所以ω=,即f(x)=2sin(). 令+kπ(k∈Z),解得x=+2kπ(k∈Z), 故f(x)图象的对称轴为直线x=+2kπ(k∈Z). 令=kπ(k∈Z),解得x=-+2kπ(k∈Z), 故f(x)图象的对称中心为点(-+2kπ,0)(k∈Z), 对比选项可知B正确. (2)已知函数y=sin(2x+φ)(-<φ<)的图象关于直线x=对称,则φ的值为　　　　　.  - 由题意得f=sin(+φ)=±1, 所以+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z). 因为φ∈(-),所以φ=- T=. 对点训练3 (1)下列函数:①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x-),其中最小正周期为π的是(　　) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π; ②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π; ③y=cos(2x+)的最小正周期T==π; ④y=tan(2x-)的最小正周期T=,故选A. (3)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),直线x=是其图象的一条对称轴,且点是离该对称轴最近的一个对称中心,则φ等于(　　) A. B. C. D. 设函数f(x)的周期为T,根据题意,, 解得T=2π,即ω=1. 又函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象过点, 所以sin=0,+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z). 当k=1时,φ=满足题意.故选B. (4)(多选)若函数f(x)=sin(2x+φ)对任意的x∈R,都有f(x)≤f,则(　　) A.函数f(x)的一个零点为x=- B.f(x)在区间内单调递减 C.f是偶函数 D.f(x)图象的一条对称轴为直线x=- 因为函数f(x)=sin(2x+φ)对任意的x∈R,都有f(x)≤f, 所以当x=时,函数取得最大值,故有2+φ=2kπ+,即φ=2kπ+,k∈Z. 取φ=,则f(x)=sin令x=-,得f=0,则f(x)的一个零点为x=-,故A正确; 当x时,2x+,f(x)单调递增,故B错误; f=sin=cos 2x,是偶函数,故C正确; 令x=-,得f=-1,为最小值, 故f(x)的图象一条对称轴为x=-,故D正确.故选ACD. sin x=(x∈[-3π,3π]) 解:如图,在同一直角坐标系Oxy中作函数y=sin x与y=的图象. 由图可看出两函数的图象有7个交点(xi,yi), 其中xi(xi∈[-3π,3π](i=1,2,3,…,7))是方程sin x=的解, 此方程再无其他的解. f(x)=2sin(x+)-a (,2) 令y1=2sin(x+),x∈(0,π],y2=a,作出y1=2sin(x+)的图象如图所示. 若f(x)=2sin(x+)-a在区间(0,π]上有两个不同的零点, 则y1=2sin(x+)的图象与直线y=a应有两个不同的交点, 所以<a<2. 2.解三角不等式 典例2　解不等式2sin(-2x+)>1. 解:原式可化为sin(2x-)<-,把2x-视为一个整体t,如图, 作出y=sin t在区间[0,2π]上的图象, 适合条件的t的取值范围是<t<, 即<2x-, 在整个定义域上,满足+2kπ<2x-+2kπ(k∈Z), 解得+kπ<x<+kπ(k∈Z). 变式训练2 函数y=的定义域为　　　　　 　　　　　　　　.  {xx≤2kπ+,k∈Z} 要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一平面直角坐标系Oxy中作出区间[0,2π]上函数y=sin x和函数y=cos x的图象,如图所示.在区间[0,2π]上,满足sin x=cos x的x为,再结合正弦函数、余弦函数的周期性,故原函数的定义域为{xx≤2kπ+,k∈Z}. $