第4章 第5节 三角函数的图象与性质(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的图象与性质”专题，依据课标要求梳理了定义域、值域、单调性、周期性、对称性等核心考点，通过表格对比正弦、余弦、正切函数性质，提炼五个关键点、对称性与周期等常用结论，对接高考评价体系，明确单调性、最值问题等高频考点分布，归纳定义域求解、参数范围确定等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点是高考真题深度融合与应试技巧指导，如以2024全国甲卷T13、2025全国二卷T13等真题为例，剖析“辅助角公式转化求最值”“结合周期求单调区间”等方法，培养数学思维与运算能力。设跟踪训练与限时规范训练，总结易错点，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第5节　三角函数的图象与性质 返回 ‹#› 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值．　2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质(如单调性、奇偶性、最值、图象与x轴交点等)． 课标解读 返回 ‹#› 1 再研教材 夯实基础 4 限时规范训练　 栏 目 导 引 3 考教衔接 精研教材 2 考点突破 通法悟道 返回 ‹#› 再研教材 夯实基础 1．正弦、余弦函数图象上的五个关键点 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)， ，(π，0)，，(2π，0)； (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：_____， ，________________，，(2π，1)． (0，1) (π，－1) 返回 ‹#› 2．正弦、余弦、正性质(k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ____________________ {x|x∈R，且x≠kπ＋ 返回 ‹#› 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 值域 _____________ _________________ R 最小正周期 ____ ____ __ 奇偶性 _________ _________ 奇函数 递增区间 [＋2kπ，] ________________ [－1，1] [－1，1] 2π 2π π 奇函数 偶函数 [－π＋2kπ，2kπ] 返回 ‹#› 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 递减区间 [＋2kπ，] _____________________ 无 对称中心 _______________ 对称轴方程 ___________ _________ 无 零点 kπ kπ＋ kπ x＝kπ＋ [2kπ，π＋2kπ] (kπ，0) x＝kπ 返回 ‹#› 1．对称性与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期； (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)； (2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． 返回 ‹#› 1．(人A必修一P214T16改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A.T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 解析：A　T＝＝π，A＝2－1＝1.故选A. A 返回 ‹#› 2．(人A必修一P203T3改编)已知函数f(x)＝sin (0＜φ＜2π)为偶函数，则φ＝(　　) A． B． C．π D． 解析：C　因为函数f(x)为偶函数，得＋kπ，k∈Z，所以φ＝π＋2kπ，k∈Z，又0＜φ＜2π，所以φ＝π.故选C. C 返回 ‹#› 3．(人A必修一P214T10改编)函数y＝cos ，x∈的值域是________． 解析：由x∈得x＋∈，所以y＝cos ∈. 答案： 返回 ‹#› 4．(北师大必修二P62例4改编)函数y＝tan 的定义域为________． 解析：由x－≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋kπ，k∈Z，故函数y＝tan 的定义域为. 答案： 返回 ‹#› 考点突破 通法悟道 考点一　三角函数的定义域和值域(师生共研) 例1　 (1)函数y＝lg sin x＋ 的定义域为__________________． 解析：要使函数有意义， 则有即 解得(k∈Z)，所以2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数的定义域为. 答案： 返回 ‹#› (2)(2024·全国甲卷T13)函数f(x)＝sin x－ cos x在[0，π]上的最大值是________． 解析：由题意知f(x)＝sin x－ cos x＝，当x∈[0，π]时，x－∈，所以sin ∈，于是f(x)∈，故f(x)在[0，π]上的最大值为2. 答案：2 返回 ‹#› (3)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________． 解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，sin x cos x＝，且－ ≤t≤ .所以y＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－ 时，ymin＝－ .所以函数的值域为. 答案： 返回 ‹#› 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． 2．三角函数值域的求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域． 返回 ‹#› 1．(一题多解)函数y＝ 的定义域为________． 解析：法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为[，2kπ＋](k∈Z)． 返回 ‹#› 法二：要使函数y＝ 有意义，则sin x－cos x≥0，即 sin ≥0，即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，即原函数的定义域为[，2kπ＋](k∈Z)． 答案：[，2kπ＋](k∈Z) 返回 ‹#› 2．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为________． 解析：由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝－sin 2x.当x∈时，2x∈，sin 2x∈，f(x)∈，所以f(x)min＝－. 答案：－ 返回 ‹#› 3．当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________． 解析：因为x∈，所以sinx∈.又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝22＋，所以当sin x＝时， ymin＝；当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为. 答案： 返回 ‹#› 考点二　三角函数的单调性(多维探究) 角度1　求三角函数的单调区间 例2　 (2025·全国二卷T15)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间． 解：(1)由题意f(0)＝cos φ＝，0≤φ<π，所以φ＝. 返回 ‹#› (2)由(1)可知f(x)＝cos ，所以g(x)＝f(x)＋f＝cos ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－＝ cos ，所以函数g(x)的值域为[ ，].令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数g(x)的单调递减区间为[＋kπ，]，k∈Z，函数g(x)的单调递增区间为[＋kπ，]，k∈Z. 返回 ‹#› 角度2　根据单调性求参数 例3　已知函数f(x)＝sin (ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若f(x)在(－m，m)上单调递增，则正数m的取值范围是____________． 返回 ‹#› 解析：因为函数f(x)＝sin (ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得ω＝2，即f(x)＝sin ，因为f(x)在(－m，m)上单调递增，且m>0，所以函数f(x)＝sin 的单调递增区间包含0，令－，得－，所以(－m，m)⊆，所以故m的取值范围为. 答案： 返回 ‹#› 1．已知三角函数解析式求单调区间的策略 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2．已知三角函数的单调区间求参数的策略 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 返回 ‹#› 1．函数f(x)＝sin 的单调递减区间为____________，在[0，π]上的单调递减区间为____________． 解析：f(x)＝sin 的单调递减区间是g(x)＝sin 的单调递增区间．由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为[，kπ＋]，k∈Z.令A＝[，kπ＋]，k∈Z，B＝[0，π]，所以A∩B＝∪，所以f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. 答案：[，kπ＋]，k∈Z　和 返回 ‹#› 2．若函数f(x)＝sin ωx＋ cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝，则ω＝________． 解析：由函数f(x)＝sin ωx＋ cos ωx＝，因为f(a)＝1，f(b)＝－1，所以＝，sin ＝－，又f(x) 在区间[a，b]上单调递减，ω>0，所以ωa＋＋2kπ，k∈Z，ωb＋＋2kπ，k∈Z，两式相减，可得ω(b－a)＝，因为b－a＝，所以ω＝. 答案： 返回 ‹#› 考点三　三角函数的周期性、对称性与奇偶性(师生共研) 例4　(1)(多选)(2025·安徽黄山模拟)已知函数f(x)＝ sin ωx－cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则(　　) A．ω＝2 B．函数f(x)为奇函数 C．函数f(x)的图象关于点对称 D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 AC 返回 ‹#› 解析：AC　f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin ωx－)＝2sin ，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin ，故A正确；显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；对于C，f ＝2sin [－]＝2sin (－π)＝0，所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确；对于D，f ＝＝2sin ＝－1，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误．故选AC. 返回 ‹#› (2)已知函数f(x)＝ cos (x＋θ)－sin (x＋θ)(≤θ≤)是奇函数，则θ＝________． 解析：f(x)＝ cos (x＋θ)－sin (x＋θ)＝2cos ，因为函数f(x)是奇函数，所以θ＋＋kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z，因为－，所以θ＝. 答案： 返回 ‹#› (3)已知函数f(x)＝sin 2x＋b cos 2x的图象关于直线x＝对称，则b的值为________． 解析：因为f(x)＝sin 2x＋b cos 2x＝ sin (2x＋φ)(其中tan φ＝b)，又函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以 ＝＋b cos ，所以1＋b2＝(1＋b)2，解得b＝1. 答案：1 返回 ‹#› 三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式； (2)周期的计算方法：利用函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解； (3)对称轴和对称中心的求法：求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝A sin (ωx＋φ)＋b或y＝A cos (ωx＋φ)＋b或y＝A tan (ωx＋φ)＋b的形式，再把(ωx＋φ)整体看成一个变量，若求f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω≠0)的图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω≠0)的图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x. 返回 ‹#› 1．(2025·全国一卷T4)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：B　正切函数y＝tan x图象的对称中心为，k∈Z.由点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，可知a－，k∈Z，即a＝，k∈Z.由a>0可得，当k＝0时，a取得最小值.故选B. B 返回 ‹#› 2．(多选)已知函数f(x)＝sin ＋1，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期T＝π B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点 AC 返回 ‹#› 解析：AC　因为f(x)＝sin ＋1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确；因为sin ＝0，所以函数f(x)的图象关于点对称，B错误；又sin ＝1，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确；令f(x)＝0得sin ＝－1，所以2x－＋2kπ，k∈Z，所以x＝－＋kπ，k∈Z，又x∈[0，2π]，所以x＝，所以f(x)在[0，2π]内有2个零点，D错误．故选AC. 返回 ‹#› 高考题　(2025·天津卷T8)f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在[－]上单调递增，且x＝为f(x)图象的一条对称轴，(，0)是f(x)图象的一个对称中心，当x∈[0，]时，f(x)的最小值为(　　) A.－　　　 B．－　　　 C．－1　　　 D．0 考教衔接 精研教材 A 返回 ‹#› 解析：A　因为f(x)在上单调递增，所以－，即0＜ω≤2.因为直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，为f(x)图象的一个对称中心，所以(k1∈N)，即ω＝2(1＋2k1)(k1∈N)，故ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ)，又f＝＝1(提示：是单调递增区间的右端点，故f，故＋2k2π(k2∈Z)，则φ＝＋2k2π(k2∈Z)．因为－π＜φ＜π，所以φ＝，即f(x)＝sin .当x∈时，2x＋∈，所以sin ∈.故当x∈时，f(x)的最小值为－.故选A. 返回 ‹#› 点评：高考题与教材题在三角函数性质考查上联系紧密，核心均围绕正弦型函数的单调性、对称轴、对称中心等性质，通过方程思想与不等式思想求解参数，高考题是教材题的综合应用与变式拓展，体现从基础巩固到能力提升的梯度差异． 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 限时规范 训练(三十四) 14 15 (建议用时：60分钟　分值：104分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分．   1．(2025·江西赣州一模)函数f(x)＝的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π C 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 解析：C　f(x)＝＝tan2x，x≠＋kπ(k∈Z)，又tan x≠±1，可得x≠π(k∈Z)，即f(x)＝tan 2x，且x≠＋kπ(k∈Z)，x≠π(k∈Z)，故T＝π.故选C. 14 15 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．函数f(x)＝ 的定义域为(　　) A．[＋2kπ，](k∈Z) B．[＋2kπ，](k∈Z) C．[＋2kπ，](k∈Z) D．[＋2kπ，](k∈Z) 解析：A　由题意，函数f(x)＝ 有意义，则满足－2cos x－1≥0，即cos x≤，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域为[＋2kπ，](k∈Z)．故选A. 14 15 A 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．(2025·河南焦作二模)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(<φ<)的图象关于直线x＝对称，则tan ＝(　　) A．2＋ B．2－ C．1－ D． －2 解析：D　由题可知2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ－，k∈Z，又－<φ<，所以φ＝－，所以tan ＝tan ＝－tan ＝－tan ＝－ －2.故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．函数y＝tan 且x≠0)的值域为(　　) A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 解析：B　因为－且x≠0，所以且－x≠，所以函数y＝tan 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选B. 14 15 B 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(2025·湖南永州模拟)已知函数f(x)＝sin (3x＋φ)(0<φ<2π)在区间上单调递增，则φ等于(　　) A． B． C． D．π 解析：D　根据题意，函数f(x)＝sin (3x＋φ)，其周期T＝，又由f(x)在区间上单调递增，而，必有3×＋φ＝2kπ－且3×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，变形可得φ＝2kπ－π，k∈Z，又由0<φ<2π，必有k＝1，此时φ＝π.故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷T9)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 14 15 BC 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：BC　对于A，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)，g(x)零点不同，故A错误；对于B，显然f(x)max＝g(x)max＝1，故B正确；对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，故C正确；对于D，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D错误．故选BC. 14 15 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(5分)函数f(x)＝3sin ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________． 解析：若f(x)＝3sin ＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.所以f(x)＝3sin ＋1＝3cos 2x＋1，由2x＝＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z. 答案：，k∈Z 14 15 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(13分)已知函数f(x)＝4sin ωx·sin －1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)图象的对称中心． 14 15 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 解：(1)f(x)＝4sin ωx(sin ωx＋－1＝2sin2ωx＋2sin ωx cos ωx－1＝1－cos 2ωx＋ sin 2ωx－1＝ sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin .因为函数f(x)的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin ，令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[＋kπ，](k∈Z)． (2)令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z. 14 15 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(2025·山东烟台二模)已知函数f(x)＝(ω>0)在上单调递增，且其图象关于点对称，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 14 15 C 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 解析：C　由函数f(x)＝sin (ω>0)在上单调递增，得≥2[－]＝π，解得0<ω≤2，由f(x)的图象关于点对称，得＝kπ，k∈N，解得ω＝3k＋，k∈N，于是k＝0，ω＝，f(x)＝，所以f＝sin ＝sin .故选C. 14 15 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(多选)(2025·湖南岳阳模拟)若函数f(x)＝sin (ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(0)＝ B．f(x)的图象关于点对称 C．f(x)在区间(0，π)上有2个极值点 D．f(x)在区间上单调递增 14 15 ABC 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解析：ABC　因为函数f(x)＝sin (ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝对称，可得ω·＋kπ，k∈Z，解得ω＝2＋6k，k∈Z，又ω∈N*，且ω≤6，所以ω＝2，即f(x)＝sin .对于A，f(0)＝sin ，故A正确；对于B，因为sin ＝0，所以f(x)的图象关于点对称，故B正确；对于C，因为x∈(0，π)，所以2x＋∈，令2x＋，解得x＝，令2x＋，解得x＝，所以极值点为，故C正确；对于D，因为x∈，所以2x＋∈，则函数不单调，故D错误．故选ABC. 14 15 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(5分)定义运算a*b为：a*b＝例如，1*2＝1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为________． 解析：由题意可得f(x)＝sin x*cos x，当x∈(＋2kπ，)，k∈Z时，sin x＞cos x，所以f(x)＝cos x，这时函数的值域为；当x∈[＋2kπ，]，k∈Z时，sin x≤cos x，所以f(x)＝sin x，这时函数的值域为.综上，函数的值域为. 答案： 14 15 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(13分)已知函数f(x)＝ sin . (1)求函数y＝2的最小正周期； (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值． 解：(1)因为f(x)＝ sin ，所以＝ sin [＋]＝ sin ＝－sin 2x－cos 2x，所以y＝2＝(－sin 2x－cos 2x)2＝1＋sin 4x，所以函数y＝2的最小正周期T＝. (2)当x∈时，，所以－1≤sin ，所以－ ≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－ . 14 15 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(15分)已知函数f(x)＝2sin x cos x＋ cos 2x. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝2sin x cos x＋ cos 2x＝sin 2x＋ cos 2x＝2(sin 2x＋ ＝2sin ，即f(x)＝2sin .令2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[，kπ＋]，k∈Z. 14 15 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 (2)由x∈，可得2x＋∈， 又函数f(x)在上单调递增，所以f(x)∈，f(x)在上单调递减，f(x)∈[1，2]， 所以若函数g(x)＝上有两个不同的零点， 即y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，如图所示， 所以实数k的取值范围为. 14 15 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(2025·内蒙古包头一模)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于点对称，则f(x)在区间上的最小值为(　　) A．－ B．－1 C．－2 D．0 13 15 B 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：B　由条件知A＝2，，sin ＝0，从而ω＝2，sin ＝0，所以φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，又因为，故k＝0，φ＝.这说明f(x)＝2sin ，该函数在上单调递增，在上单调递减．又f(0)＝1，f＝－1，所以f(x)在区间上的最小值为－1.故选B. 15 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15．(多选)(2025·北京市第二中学二模)关于函数f(x)＝sin 2x＋，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值为2 B．f是奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)在上单调递减 15 14 BCD 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15 14 解析：BCD　对于A，由于－1≤sin 2x≤1，所以f(x)的值可以为负数，故A错误；对于B，f＝sin ＋ ＝sin (2x＋π)＋＝－，所以f为奇函数，故B正确；对于C，f＝sin ＋＝sin (π－2x)＋＝sin 2x＋＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D，0<x<，则0<2x<，所以y＝sin 2x在区间上单调递增，令t＝sin 2x∈(0，1)，g(t)＝t＋(0<t<1)，由对勾函数的性质知，g(t)在(0，1)上单调递减，根据复合函数单调性同增异减可知f(x)＝sin 2x＋在上单调递减，故D正确．故选BCD. 返回 ‹#› 第5节　三角函数的图象与性质 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $