简单的三角恒等变换 课件-2027届高三数学一轮复习

简单的三角恒等变换 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 能运用和差角公式推导二倍角、半角、积化和差与和差化积公式； 2. 能进行三角函数式的化简、求值和证明； 3. 体会换元、转化与整体代换思想。 【教学重点】 · 三角函数式的化简与求值；二倍角及辅助角公式的综合应用。 【教学难点】 · 三角恒等变换中的角变换与结构变换；半角、和差化积公式的灵活选用。 第24课时 简单的三角恒等变换 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并 进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式）. 第24课时 简单的三角恒等变换 3 【近五年考频考点】及备考建议 三角恒等变换是高考高频考点（5年约5考），常以“给值求值、给角求值、综合应用”形式出现。 备考建议：以二倍角为枢纽构建公式网络；强化“变角、变名、变次、变结构”四步法，提升式子的整体处理能力。 第24课时 简单的三角恒等变换 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.公式 ___________. 2.公式____________________________________ 3.公式 . 4.常用公式变形 （1）降幂公式：,, . （2）升幂公式：, . 第24课时 简单的三角恒等变换 5 二、半角公式 ___,___, . 半角的正弦、余弦公式实际上是由倍角的余弦公式逆求得到的. 第24课时 简单的三角恒等变换 6 三、积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 ， ， ， . 第24课时 简单的三角恒等变换 7 2.和差化积公式 ， ， ， . 第24课时 简单的三角恒等变换 8 关键考点·核心突破 9 三角函数式的化简 例1（1） 的化简结果为( ). C A. B. C. D. 解析 原式 .故选C. （2）化简： ______. 解析 原式 . 第24课时 简单的三角恒等变换 10 感悟提升 三角函数式化简的解题策略 （1）从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手,进行适当变形,结合所得的“形” 的特征求解. （2）注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂的应用. 第24课时 简单的三角恒等变换 11 1.化简: ( ). B A. B. C. D. 解析 原式 .故选B. 第24课时 简单的三角恒等变换 12 2.若 ，化简： _________. 解析 因为 ，所以 ，所以， . . 第24课时 简单的三角恒等变换 13 三角函数式的求值 考向1 给角求值 例2（1）（苏教必修二P74T8改编） _ _. 解析 原式 . （2）（RB必修三P109练习B T4改编） ____. 解析 原式 . 第24课时 简单的三角恒等变换 14 考向2 给值求值 例3 （经典高考真题）已知,,则 ( ). B A. B. C. D. 解析 因为,,所以 , 所以 , 所以 .故选B. 第24课时 简单的三角恒等变换 15 考向3 给值求角 例4 已知 ， 均为锐角，，，则___， __. 解析 因为，所以 . 又因为 ， 均为锐角，，所以， ， 因此 ， 所以 . 因为 为锐角，所以 .又，所以 . 因为 为锐角，所以 . 又，所以 . 第24课时 简单的三角恒等变换 16 感悟提升 1.给角求值问题中，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细 观察后会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系.解题时，要利用观察到的关系， 结合公式转化为特殊角，从而求解特殊角的三角函数即可. 2.给值求值问题中，一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数 值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，最后代入即可. 3.给值求角问题中，一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.一 般遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数；已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数. （2）若角的范围是,，选正弦、余弦皆可；若角的范围是 ，选余弦较好； 若角的范围为, ，选正弦较好. 第24课时 简单的三角恒等变换 17 1. ________. 解析 原式 . 第24课时 简单的三角恒等变换 18 2.（经典高考真题）已知 为锐角,,则 ( ). D A. B. C. D. 解析 由 , 得 , 即, 为锐角, , . 第24课时 简单的三角恒等变换 19 3.（苏教必修二P87T12改编）已知 ,,且, ,则 ______. 解析 因为,所以 , 所以 . 又因为,所以 ， 所以 . 因为,所以 , 则，所以 . 第24课时 简单的三角恒等变换 20 三角恒等变换的综合应用 例5 已知函数 . （1）求 的值; （2）若锐角 满足,求 的值. 第24课时 简单的三角恒等变换 21 解析 （1）由题意得 , 故 . 第24课时 简单的三角恒等变换 22 （2）,,, , 又, , ,, , , . 第24课时 简单的三角恒等变换 感悟提升 1.解三角恒等变换问题的关键是变角、变函数名称、变结构，尤其要注意角之间的 关系与公式的逆用和变形使用. 2.形如,可化为 的形式，从而可进一步研 究函数的周期性、单调性、最值与图象对称性. 第24课时 简单的三角恒等变换 24 已知函数 . （1）求在, 上的最值; （2）若,,,求 的值. 第24课时 简单的三角恒等变换 25 解析 （1）由题意得 . 因为,,所以,,所以, , 所以,,即函数在,上的最大值为,最小值为 . （2）因为,,,所以,所以 , , 所以 . 第24课时 简单的三角恒等变换 26 积化和差与和差化积公式 例6 （一题练透）求下列各式的值： （1） ； （2） ; （3） ； （4） ； （5） . 第24课时 简单的三角恒等变换 27 解析 （1）由积化和差公式，得 . （2）由积化和差公式，得 . 第24课时 简单的三角恒等变换 28 （3）由和差化积公式，得 . （4）由和差化积公式，得 . （5）由和差化积公式，得 . 第24课时 简单的三角恒等变换 感悟提升 利用积化和差与和差化积公式做题时不要急于套用公式，应先思考题目条件与 公式的契合度，再选择最恰当的公式.多做一些针对性的练习来加深对公式的理解并 提高应用能力，比如，在解与三角函数相关的综合题中强化运用.要注意与其他三角 函数公式结合使用，不能孤立地看待，比如，结合诱导公式、二倍角公式等. 第24课时 简单的三角恒等变换 30 1.（经典高考真题）已知,，则 ( ). （注意：此题与本课时例3同题，但此处运用积化和差公式求解） B A. B. C. D. 解析 由积化和差公式，可得 ， 即 ， 解得 ， 所以 .故选B. 第24课时 简单的三角恒等变换 31 2.已知,，则 ______. 解析 由和差化积公式，得 ， ， 所以 ， 所以 . 第24课时 简单的三角恒等变换 32 万能公式 深挖教材 在高中数学苏教版教材必修第二册第79页中有这样一个问题：设 ，求证：，， . 例题中描述的三个公式被称为万能公式，总结如下：在三角函数中，可以通过半角 代换将角的三角函数转换成关于正切的函数，即 ， ， ，也就是说，通过以上三个式子，可以将角的三角 函数化成同名同角 的式子，我们称以上三个式子为三角函数的万能公式. 第24课时 简单的三角恒等变换 33 典例（1）（2025·全国二卷）已知 ，，则 ( ). D A. B. C. D. 解析 因为 ，，所以 . 由万能公式可得， ， 从而 .故选D. 第24课时 简单的三角恒等变换 34 （2）已知函数，若对任意， 恒成立， 则实数 的取值范围是________. 解析 由题可知对任意， 恒成立. 令，则，，由万能公式可得 ， 整理可得，即 . 又因为（三角放缩，证明略），所以 ， 所以 ， 故实数的取值范围是 . 第24课时 简单的三角恒等变换 35 THANKS 36 $