第4章 第4节 简单的三角恒等变换-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“简单的三角恒等变换”专题，依据高考评价体系梳理半角公式、辅助角公式、积化和差等核心考点，明确化简、求值、几何应用三大考查方向，归纳给角求值、给值求角等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法总结+素养提升”策略，如通过例2“sin20°(√3+1/tan40°)”解析非特殊角转化技巧，培养数学思维，结合“三看原则”指导学生掌握变角、变名方法，助力学生高效突破高频考点，为教师提供系统复习指导。

第四节　简单的三角恒等变换 第四章　三角函数、解三角形 能运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆). 学习要求 必备知识　自主梳理 内容索引 关键能力　重点探究 3 必备知识　自主梳理 知识梳理 知识点一　半角公式 1.sin=±; 2.cos=±; 3.tan=±==. 以上称之为半角公式,符号由所在象限决定. 知识点二　辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=,tan φ=,或asin α+bcos α=cos(α-θ),其中sin θ=,cos θ=, tan θ=. 常用结论 sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β); cos2α-cos2β=-sin(α+β)sin(α-β); cos2α-sin2β=cos(α+β)cos(α-β). 自我评价 1.已知cos θ=-,<θ<3π,则sin=(　　) A.　　　 B.- C. D.- 解析:因为<θ<3π,所以<<, 所以sin<0. 因为cos θ=1-2sin2, 所以sin=-=-=-. D 2.化简:·=(　　) A.-sin α B.-cos α C.sin α D.cos α 解析:原式= ==cos α . D 3.(多选)化简:sin x+cos x=(　　) A.sin(x+) B.sin(x+) C.cos(x-) D.cos(x-) 解析:sin x+cos x=(sin x+cos x)=sin(x+)=cos[-(x+)]=cos(x-). AC 4.-=　　　　　.  解析:原式== ==4. 4 关键能力　重点探究 考点一　三角函数式的化简 [例1]　(1)(2026·江苏南京模拟)若<θ<π ,则=(　　) A.1　　　　　　　　　　 B.cos 2θ C.-cos 2θ D.-1 B [解析]　因为<θ<π, 所以cos θ<0,sin θ>0, 所以 = = = =cos2θ-sin2θ=cos 2θ. (2)(-tan)·(1+tan α·tan)=　　　　.  [解析]　原式=(-)·(1+·) =· =·=. 方法总结 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征. 2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点. 跟踪训练 1.2+=(　　) A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2+2cos 2 D.2sin 2+4cos 2 B 解析:2+ =2+ =2+ =2|sin 2+cos 2|+2|cos 2|. ∵<2<π,∴cos 2<0. ∵sin 2+cos 2=sin(2+),<2+<π, ∴sin 2+cos 2>0, ∴原式=2(sin 2+cos 2)-2cos 2=2sin 2. 2.=　　　　　.  解析:原式=====. 考点二　三角函数式的求值 角度1　给角求值 [例2]　(2026·辽宁沈阳模拟)sin 20°(+)=　　　　　.  [解析]　sin 20°(+)=sin 20°(+)=×2(sin 40° +cos 40°)=×2sin 70°====1. 1 方法总结 三角函数“给角求值”问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角之间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题.另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值. 角度2　给值求值 [例3]　(2026·山东日照模拟)已知α是第一象限角,且sin α+cos α=3cos αtan α,则sin(α+)=(　　) A.- B.- C. D. D [解析]　因为sin α+cos α=3cos αtan α=3sin α, 所以cos α=2sin α,等号左右两边平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α), 所以5cos2α=4. 又因为α是第一象限角, 所以cos α=, 则sin(α+)=cos α=. 三角函数“给值求值”问题的解题策略 在“给值求值”问题中给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系. 方法总结 角度3　给值求角 [例4]　设α∈(0,),β∈(0,),且tan α=tan β+,则(　　) A.3α-β= B.2α-β= C.3α+β= D.2α+β= B [解析]　因为tan α=tan β+, 所以=+, 所以sin αcos β=sin βcos α+cos α, 所以sin(α-β)=cos α=sin(-α). 因为α∈(0,),β∈(0,) 所以-<α-β<,0<-α<, 所以α-β=-α, 所以2α-β=. 三角函数“给值求角”问题的解题策略 “给值求角”问题的实质是转化为“给值求值”问题,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).在选取函数时,遵循以下原则: 1.已知正切函数值,选正切函数. 2.已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数;若角的范围是 (-,),则选正弦函数. 方法总结 3.(2026·福建厦门模拟)若sin θ(tan 80°-)=sin 80°,θ为锐角,则sin(θ+30°)=(　　) A. B. C. D. 跟踪训练 B 解析:由sin θ(tan 80°-)=sin 80°,得sin θ(-)=sin 80°, 所以sin θ()=sin 80°,即sin θ×=sin 80°, 即sin θ×=sin 80°, 所以sin θ×2sin 20°=sin 80°×cos 80°=sin 160°=sin 20°,所以sin θ=. 又θ为锐角,所以cos θ=, 所以sin(θ+30°)=sin θcos 30°+cos θsin 30°=×+×=. 4.已知A,B均为钝角,且sin2+cos(A+)=,sin B=,则A+B=(　　) A. B. C. D. C 解析:因为sin2+cos(A+)=,所以+cos A-sin A=,即-sin A=,解得sin A=.因为A为钝角,所以cos A=-= -=-. 由sin B=,且B为钝角,得cos B=-=-=-,所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=(-)×(-)-×=.又A,B都为钝角,即A,B∈(,π),所以A+B∈(π,2π),所以A+B=. 考点三　三角恒等变换在几何中的综合应用 [例5]　某城市一扇形空地的平面图如图所示,为了方便市民休闲健身,现计划在该扇形空地建设公园.经过测量,扇形空地的半径为600 m, ∠AOB=120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区,且OC=OD. (1)求扇形空地的面积; [解]　扇形空地面积S=×6002× =120 000π(m2). (2)求矩形场地CDEF的最大面积. [解]　如图,记 的中点为G,连接OG,分别与EF,CD交于点M,N,连接OF, 设∠FOG=α, 则EF=2OFsin α, CF=MN=OM-ON=OM- =OFcos α-. 所以矩形面积S1=EF·CF =2OFsin α·(OFcos α-) =6002×(2sin αcos α-) =6002×(2sin αcos α-) =360 000×(sin 2α+cos 2α-) =360 000×[sin(2α+30°)-], 所以当α=30°时,矩形场地CDEF的面积取得最大值,且最大值为 120 000 m2. 跟踪训练 5.古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数,,,….如图,cos∠BAD=(　　) A.B. C. D. 解析:记∠BAC=α,∠CAD=β,由题意知cos α==,sin α==, cos β==,sin β==,所以cos∠BAD=cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β =×-×=. B 积化和差、和差化积公式 教材延展 知识背景 (源于人教A版必修第一册P225例8及P226练习T4,T5) 积化和差公式 1.cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]. 2.sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 3.sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]. 4.cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 知识背景 和差化积公式 1.cos α+cos β=2coscos. 2.cos α-cos β=-2sinsin. 3.sin α+sin β=2sincos. 4.sin α-sin β=2cossin. [例1]　已知sin α+sin β=m,tan(α-β)=,且α-β为第一象限角,则cos α-cos β=(　　) A.-3m B.- C.3m D. B [解析]　sin α+sin β=2sincos=m, 设cos α-cos β=-2sinsin=x, 则-tan=.因为α-β为第一象限角,所以是第一或第三象限角, 所以<0, tan(α-β)===,设=t<0, 整理为3t2-8t-3=0,解得t=3(舍)或t=-, 则=-,x=-,所以cos α-cos β=-. [例2]　求值:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. [解]　sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50° =(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°) =-sin 50°+cos 40°=-sin 50°+sin 50°=. 跟踪训练 1.求值:sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. 解:原式=cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°=cos 10°·cos 50°cos 70° =[(cos 60°+cos 40°)·cos 70°]=cos 70°+cos 40°cos 70° =cos 70°+(cos 110°+cos 30°)=cos 70°+cos 110°+=. 2.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求sin(α+β)的值. 解:∵cos α-cos β=, ∴-2sinsin=. ① 又∵sin α-sin β=-, ∴2cossin=-. ② ∵sin≠0,∴由①②得,-tan=-,即tan=. ∴sin(α+β)====. $