任意角、弧度制和三角函数的概念 课件-2027届高三数学一轮复习

任意角、弧度制和三角函数的概念 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 了解任意角、正角、负角、零角的概念，掌握终边相同角的集合表示； 2. 理解弧度制的定义，能熟练进行角度与弧度的互化； 3. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 4. 了解三角函数线的几何意义。 【教学重点】 · 弧度制与角度制的互化；任意角三角函数的定义及符号判断。 【教学难点】 · 任意角的概念（象限角、轴线角）；三角函数定义从锐角到任意角的推广。 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 【新课标要求】 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的意义；了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（必修课程“三角函数”主题）。 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 【近五年考频考点】及备考建议 角度与弧度互化、三角函数的定义与符号判断为高频基础考点（5年约3考），常与三角函数图象、诱导公式综合考查。 备考建议：熟记 0°、30°、45°、60°、90° 等特殊角的弧度数；重视单位圆与三角函数线的几何直观，强化“定义—符号—应用”的递进训练。 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 一、角的概念的推广 1.定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所成的图形. 2.分类 端点 按旋转方向 ______、______、______ 按终边位置 ________和轴线角 正角 负角 零角 象限角 3.相反角：我们把射线绕端点 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为 相反角.角 的相反角记为____. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 5 4.终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 ， }. _ _________ （1）锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) × （2）小于 的角都是锐角.( ) × （3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( ) √ （4）第一象限角可以是负角.( ) √ 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 6 （1）象限角 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 7 （2）轴线角 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 8 二、弧度制的定义和公式 1.定义：把长度等于________的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符 号 表示. 2.公式（弧长用表示，半径用 表示） 角 的弧度数公式 角度与弧度的换算 ， 弧长公式 _____ 扇形面积公式 （1）角度制与弧度制可利用 进行互化，在同一个式子中，采用 的度量制必须一致，不可混用； 半径长 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 9 （2）注意扇形圆心角弧度数的取值范围是 ，实际问题中注意根据这一 范围进行取舍. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 10 三、任意角的三角函数 1.任意角的三角函数的定义（推广） 设是角 终边上异于原点的任意一点，其到原点的距离为，则 ， ， . 2.三角函数值在各象限内的符号为正的情况：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数的定义域 三角函数 定义域 ， 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 11 关键考点·核心突破 12 角的概念及其表示 例1（1）（苏教必修一P176T11改编）已知， 的终边分别在如图所示的阴影部 分（包括边界）所表示的范围内，则角 （图1）用集合表示为__________________ ______________________________，角 （图2）用集合表示为 __________________________________________________ , ,} 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 13 解析 由题图1可知，这是对顶角区域的表示问题，结合图象可知终边落在阴影部分 的角的集合可表示为 或 , , }. 如题图2，在 的范围内，阴影部分为 ，终边落在阴影部 分的角的集合可表示为 , }. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 14 （2）（北师大必修二P8A组T6改编）已知角 的终边在第三象限，则 是第_______ ___象限角， 的终边在_______________________________， 是第____象限 角， 是第____象限角. 二、四 第一、二象限或轴的非负半轴上 一 四 解析 因为 为第三象限角，所以 , ， 所以 , . 当时， , ，终边在第二象限; 当时， , ，终边在第四象限. 故 的终边在第二或第四象限. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 15 由上可知 , ， 所以 的终边在第一或第二象限，也可能在 轴的非负半轴上. 因为 , ，即 , ， 所以 是第一象限角. 因为 , ， 所以 , ， 所以 是第四象限角. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 16 （3）（苏教必修一P175T1,P176T2改编）设， ， ， . ①将, 用弧度制表示出来，并指出它们分别是第几象限角； 解析 ，在第二象限； ，在第一象限. 故是第二象限角， 是第一象限角. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 17 ②将,用角度制表示出来，并在 之间找出与它们终边重合的所有角. 解析 ，与的终边重合的角是 ， 由，解得或 ， 所以在 范围内与的终边重合的角是 和 . ，与的终边重合的角是 ， 由，解得或 ， 所以在 范围内与的终边重合的角是 . 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 18 感悟提升 1.求指定范围内与已知角终边相同的角的方法：先写出与这个角的终边相同的所有 角的集合，然后通过对集合中的参数 赋值，求得所需的角. 2.（1）确定角 ，的终边位置的方法：先写出角 或的范围，然后根据的可能取值确定角 或 的终边所在的 位置. （2）确定角的终边所在位置的方法：若 分别为第一、二、 三、四象限角，则角 的终边所在象限如图所示. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 19 1.若角 的终边与角 的终边相同，则( ). C A. 是第一象限角 B. 是第二象限角 C. 是第二象限角 D. 的终边在第三、第四象限或在 轴的非正半轴上 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 20 解析 因为角 的终边与角 的终边相同，而 ，与角 的终边相同，是第三象限角，所以 ， . 对于A，可得 ，，此时 的终边 在第二象限，所以 是第二象限角，A错误. 对于B，可得 ，.当为偶数时， 的终边在 第二象限；当为奇数时，的终边在第四象限.故 是第二或第四象限角，B错误. 对于C，可得 ， ，所以 的终边在第二象限，所以 是第二象限角，C正确. 对于D，因为 ，所以 ，，所以 是 第二象限角，D错误.故选C. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 21 2.如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）内的角 的取值集合为_____________ ______________________. ， 解析 由于终边在直线上的角的集合为 ， ，且 终边在轴非正半轴上的角的集合为 ， ，因此由题图可知，终 边落在阴影部分内的角 的集合为 ， . 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 22 弧度制及其应用 例2 已知扇形的圆心角是 ，半径为，弧长为 . （1）若，，求扇形的弧长 . （2）（一题多法）若扇形的周长是 ，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇 形的面积最大？ （3）若， ，求扇形的弧所在的弓形的面积. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 23 解析 （1）因为， ， 所以 . （2）（法一）由题意知 ， 所以 ， 则 ， 当时，，此时 ， 则 ， 所以当扇形的圆心角为2弧度时，这个扇形的面积最大. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 24 （法二）由题意知 ， ， 当且仅当，即时，取得最大值，最大值为 . 此时扇形的圆心角 . （3）由题意知， ， 所以 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 感悟提升 弧度制的应用 （1）在弧度制下计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. （2）对于扇形面积的最值问题，在弧度制下，可转化为关于 的不等式求解， 或利用二次函数的性质求解. （3）熟记下列公式：①；②；③.其中 是扇形的半 径，是弧长， 为圆心角， 是扇形的面积. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 26 （数学文化题）扇面书画在中国传统绘画中由来已久.如图，该折扇扇面书画的外弧 长为48，内弧长为18，且该扇面所在扇形的圆心角约为 ，则该扇面书画的面积 约为( ).（参考数据： ） B A.990 B.495 C.330 D.300 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 27 解析 如图，设该扇面书画的外弧半径为，弧长为，则，设内弧半径为 ， 弧长为，则，且，则， ，解得 ， ， 所以扇面书画的面积约为 . 故选B. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 28 三角函数的定义 例3（1）已知角 的终边过点，则_ __，_____ 解析 ，其中为坐标原点，所以 ， . 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 29 （2）（经典高考真题）若，则 的终边在( ). A A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 解析 易知 的终边在第一、二象限时， 的值为正，在第三、四象限时， 的值为负； 的终边在第一、四象限时， 的值为正，在第二、三象限时， 的值为负. 因为，所以 在第一、三象限.故选A. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 30 感悟提升 1.已知角 终边上一点的坐标，利用三角函数的定义，可以求出 的三角函数值. 2.利用角的终边所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角 的终边在坐标轴上的情况. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 31 1.已知角 的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线 上，则 ( ). D A. B. C. D. 解析 在角 的终边所在的直线上任取一点 ，则 .由三角函数的定义，知， ，故 .故选D. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 32 2.若 是第三象限角，则( ). C A.且 B.且 C.且 D.且 解析 因为 是第三象限角，所以 ， ， 所以 ，，所以 是第二或第四象限角. 当是第二象限角时，， ； 当是第四象限角时，， .故排除D. 易知 ，，所以 的终边在第一、第二象限或 轴 的非负半轴上，则，当 的终边在轴的非负半轴上时， 无意义， 故排除A，B. 故选C. 第21课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 33 THANKS 34 $