第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角和弧度制、三角函数的概念”核心考点，依据课标要求梳理角的概念、弧度制及三角函数定义三大模块，对接高考评价体系分析三角函数定义应用（占比约40%）、象限角判断（占比约30%）等高频考点，归纳选择填空常考题型如终边相同角求解、扇形面积计算等，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题改编训练+通法悟道”策略，如思维激活环节改编教材例题，限时训练融入高仿真模拟题，通过“终边相同角集合参数赋值法”“扇形面积最值二次函数转化”等技巧培养数学抽象与数学运算素养，典型题例如利用终边上点坐标求三角函数值，助力学生掌握解题通法，教师可据此精准复习，提升高考冲刺效率。

第1节　任意角和弧度制、三角函数的概念 第四章　三角函数与解三角形 返回 ‹#› 1．了解任意角的概念和弧度制．　2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．　3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 课标解读 返回 ‹#› 1 再研教材 夯实基础 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 考点突破 通法悟道 返回 ‹#› 再研教材 夯实基础 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所成的图形； (2)分类： (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_____________________________________________． 端点 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 返回 ‹#› 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示； (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ 弧长公式 l＝________________________ 扇形面积公式 S＝_________________________ 半径长 αR(0＜α＜2π) αR2(0＜α＜2π) 返回 ‹#› 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么sin α＝__，cos α＝__，tan α＝_____________； (2)定义的推广：设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O 的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)； y (x≠0) x 返回 ‹#› (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 返回 ‹#› 1．象限角 返回 ‹#› 2．轴线角 3．若角α∈，则sin α<α<tan α. 返回 ‹#› 1．(人A必修一P170例1改编)角－863°的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　－863°＝－2×360°－143°，则－863°和－143°的终边相同，故角－863°的终边在第三象限．故选C. C 返回 ‹#› 2．(人A必修一P180例3改编)若sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ所在的象限是 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　若sin θ＜0，则角θ在第三或第四象限或在y轴负半轴上，若tan θ＜0，则角θ在第二或第四象限，所以当sin θ＜0且tan θ＜0时，角θ在第四象限．故选D. D 返回 ‹#› 3．(人A必修一P175T6改编)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________． 解析：单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×，由弧长公式得l＝. 答案： 返回 ‹#› 4．(苏教必修一P181T1改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________． 解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝. 答案：－ 返回 ‹#› 考点突破 通法悟道 考点一　象限角与终边相同的角(自主练透) 1．集合{α≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是 (　　) C 返回 ‹#› 解析：C　当k取偶数时，如k＝0，此时，故角的终边在第一象限或y轴正半轴；当k取奇数时，如k＝1，此时，故角的终边在第三象限或y轴的负半轴．综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上．故选C. 返回 ‹#› 2．若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角 D 返回 ‹#› 解析：D　因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角，D正确．故选D. 返回 ‹#› 3．(多选)有一个小于360°的正角α，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角可以为(　　) A．60° B．90° C．120° D．300° 解析：ACD　由题意知，6α＝2k×180°且k∈Z，则α＝，又0°<α<360°，所以当k＝1时，α＝60°；k＝2时，α＝120°；k＝3时，α＝180°；k＝4时，α＝240°；k＝5时，α＝300°.故选ACD. ACD 返回 ‹#› 4．已知α为第三象限角，则是第________象限角，2α是________角． 解析：因为α是第三象限角，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，而2α的终边落在第一、第二象限或y轴的非负半轴上． 答案：二、四　第一、第二象限或y轴的非负半轴上的 返回 ‹#› 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置；对于终边所在位置可以采用如下方法： 若θ分别为第一、二、三、四 象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示． 返回 ‹#› 考点二　扇形的弧长及面积公式(师生共研) 例1　 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0)． (1)若扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 返回 ‹#› 解：(1)由题意得 解得(舍去)，或故扇形的圆心角为. (2)由已知，得l＋2R＝20.所以S＝R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.故当扇形的圆心角为2弧度时，这个扇形的面积最大． 返回 ‹#› 有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； (2)求扇形面积最大值的问题，常转化为二次函数的最值问题； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 返回 ‹#› 1．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长之比为(　　) A. B． C． D． C 返回 ‹#› 解析：C　设扇形的半径为r，如图，取AB的中点D，连接OD，圆心角α为，则∠AOD＝，所以弦长AB＝2AD＝2r sin r.又弧长r，所以弦长AB与弧长之比为.故选C. 返回 ‹#› 2．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________． 返回 ‹#› 解析：由条件可知，弧长，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为，中间等边△ABC的面积S＝.所以莱洛三角形的面积是3×＝2π－2. 答案：2π－2 返回 ‹#› 考点三　三角函数的定义及应用(多维探究) 角度1　利用三角函数的定义求值 例2　(1)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为(　　) A．－6 B．6 C．0 D．－3 C 返回 ‹#› 解析：C　由题知，cos α≠0，设角α的终边上一点为(a，－3a)(a≠0)，则r＝.当a>0时，r＝a，sin α＝－，cos α＝，所以10sin α＋＝0.当a<0时，r＝－a，sin α＝，cos α＝－，所以10sin α＋＝0.故选C. 返回 ‹#› (2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为 (　　) A．－ B．－ C． D． 解析：C　由题意得点P(－8m，－3)，r＝，所以cos α＝，解得m＝±.又cos α＝－<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝.故选C. C 返回 ‹#› 角度2　三角函数值符号的判断 例3　(1)点P(sin 100°，cos 100°)落在(　　) A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 解析：D　因为100°是第二象限角，所以sin 100°＞0，cos 100°＜0，所以点P(sin 100°，cos 100°)落在第四象限内．故选D. D 返回 ‹#› (2)(多选)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是(　　) A．cos (－α)>0 B．tan >0 C．sin 2α<0 D．sin (－α)>0 解析：BC　因为＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，所以－π－2kπ<－α<－－2kπ(k∈Z)，所以－α是第三象限角，所以sin (－α)<0，cos (－α)<0，故A、D错误；因为＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，所以＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，此时是第一象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，此时是第三象限角，所以是第一或第三象限角，所以>0，故B正确；因为＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，所以π＋4kπ<2α<2π＋4kπ(k∈Z)，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上，所以sin 2α<0，故C正确．故选BC. BC 返回 ‹#› 1．三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值． (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值． 2．三角函数值符号的判断 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解． 返回 ‹#› 1．已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是 (　　) A．－2 B． C．－2或 D．1 解析：B　由题设可知，，且2a＋1>0，即a>－，所以，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝.又a>－，所以a＝.故选B. B 返回 ‹#› 2．sin 2cos 3tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析：A　因为＜2＜3＜π＜4＜，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2cos 3tan 4＜0.故选A. A 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 限时规范 训练(三十) 14 15 (建议用时：45分钟　分值：78分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．将－1845° 改写成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A．－10π＋ B．－10π－ C．－12π＋ D．－12π＋ 解析：C　因为－1845°＝－6×360°＋315° ，所以－1845° 转化成弧度为－12π＋.故选C. C 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．下列选项中正确的是(　　) A．sin 300°>0 B．cos (－305°)<0 C．tan >0 D．sin 10<0 解析：D　300°＝360°－60° ，则300°是第四象限角，故sin 300°<0，A错误；－305°＝－360°＋55° ，则－305°是第一象限角，故cos (－305°)>0，B错误；－＝－8π＋，则－ 是第二象限角，故tan <0，C错误；3π<10<，则10是第三象限角，故sin 10<0，D正确．故选D. 14 15 D 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．已知点P(sin θ，cos θ)是角－的终边上一点，则tan θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：B　因为P(sin θ，cos θ) 是角－ 的终边上一点，所以cos ＝sin θ＝，sin ＝cos θ＝－，则tan θ＝.故选B. 14 15 B 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．在平面直角坐标系中，单位圆O上一点P从(0，1)出发，按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析：A　由题意得，∠QOx＝，所以Q(，sin )，其中cos ，sin ，即点Q的坐标为.故选A. 14 15 A 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，若大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2 cm，则小轮每秒转过的弧长是(　　) A．10π cm B．5π cm C． cm D． cm 解析：C　由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为＝5，因此小轮每秒转的弧度数为，所以小轮每秒转过的弧长是.故选C. 14 15 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：B　设扇形AOB的半径为r，则扇形AOB的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝r tan α，则△POB的面积为r·r tan α，由题意， 得r tan α＝2×αr2，所以tan α＝2α，所以. 故选B. 14 15 B 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(多选)已知角θ的终边经过点，且角θ与角α的终边关于x轴对称，则(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，tan α)在第四象限 14 15 ACD 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 解析：ACD　因为角θ的终边经过点，所以sin θ＝－，A正确；因为角θ与角α的终边关于x轴对称，所以角α的终边经过点，则α为第二象限角，但α不一定为钝角，B错误；cos α＝－，C正确；因为tan θ＝＞0，tan α＝－＜0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确．故选ACD. 14 15 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若α 是第一象限角，则－α 是第四象限角 B．若α ，β 是第一象限角，且α<β ，则sin α<sin β C．若扇形的圆心角为，弧长为π ，则该扇形的面积为 D．若扇形的圆心角为，圆心角所对的弦长为4，则该扇形的弧长为 14 15 AD 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 解析：AD　对于A，若α 为第一象限角，则α∈，k∈Z，所以－α∈，k∈Z，所以－α是第四象限角，故A正确；对于B，若α＝，满足α ，β 是第一象限角，且α<β ，但sin α>sin β ，故B错误；对于C，设扇形所在圆的半径为r，则·r＝π ，解得r＝3，所以该扇形的面积S＝，故C错误；对于D，若扇形的圆心角为，圆心角所对的弦长为4，则扇形所在圆的半径r＝＝4，所以该扇形的弧长l＝，故D正确．故选AD. 14 15 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则sin α＝________． 解析：因为P在单位圆上，所以2＋m2＝1，所以m2＝1－，所以m＝±，又终边在第三象限，所以m<0，所以m＝－，所以P，所以sin α＝m＝－. 答案：－ 14 15 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(5分)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________． 解析：因为在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以所求角的集合为{α＜α＜2kπ＋，k∈Z}． 答案：{α＜α＜2kπ＋，k∈Z} 14 15 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右，点Q沿着圆周按逆时针方向以相同大小的速度运动，当点Q再次运动到点A时，P，Q停止运动．在运动过程中，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是(　　) A．S1＝S2 B．S1≤S2 C．S1≥S2 D．先S1＜S2再S1＞S2 14 15 A 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解析：A　设线段OP与圆O交于点B，连接OA(图略)，因为直线l与圆O相切，所以OA⊥AP，所以S△AOP＝OA·AP.又因为S扇形AOQ＝＝AP，所以S扇形AOQ＝S△AOP，所以S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，S1＝S2.故选A. 14 15 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(多选)小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图(1))产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图(2)所示，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝OA＝4，则(　　) A.∠AOB＝ B. 弧AB的长为 C. 扇形OAB的周长为＋4 D.扇形OAB的面积为 14 15 BD 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：BD　对于A，∠AOB＝，故A错误；对于B，弧长l＝αr＝，故B正确；对于C，扇形OAB的周长为＋8，故C错误；对于D，扇形OAB的面积S＝，故D正确．故选BD. 14 15 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(5分)已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0，2π)，则角α的取值范围是_____________________________． 14 15 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解析：因为点P在第一象限，所以即由tan α＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α＞cos α，由正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是∪. 答案：∪ 14 15 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．如图，已知曲边四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝2 cm，OA＝5 cm，若sin 37°≈，π≈3.14，则曲边四边形ABCD的面积近似为(结果保留1位小数)(　　) A．6.8 cm2 B．9.8 cm2 C．14.8 cm2 D．22.4 cm2 13 15 C 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：C　显然△AOB 为等腰三角形，OA＝OB＝5，又因为AB＝8，则cos ∠OAB＝，sin ∠OAB＝，即∠OAB≈37° ，于是∠AOB≈106°＝，所以曲边四边形ABCD 的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝×(52－32)≈14.8(cm2)．故选C. 15 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15．(5分)如图，在平面直角坐标系Oxy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)处，此时圆上一点P的位置在(0，0)处，圆在x轴上沿x轴正方向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2，1)处时，的坐标为____________． 15 14 返回 ‹#› 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 15 14 解析：如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－，所以PB＝sin ＝－cos 2，CB＝cos ＝sin 2，所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，所以＝(2－sin 2，1－cos 2)． 答案：(2－sin 2，1－cos 2) 返回 ‹#› 第1节　任意角和弧度制、三角函数的概念 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $