4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角和弧度制、三角函数的概念”核心考点，依据课标要求明确弧度与角度互化、三角函数定义理解、象限符号判断等考查要求。通过知识筛查系统整合定义公式、常用结论及特殊角值，结合高考评价体系分析终边相同的角、扇形面积最值等高频考点，归纳角的象限判定、定义求函数值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导+素养提升”的复习模式，如以终边在直线3x+4y=0上求三角函数值为例，通过分情况讨论坐标符号突破考点，培养数学思维与推理能力。特设易错点分析（如小于90°角非锐角）和答题模板（象限角集合表示），学生可通过对点训练熟练解题，教师能据此构建高效复习课堂，助力高考冲刺。

4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 第四章 2027 课标要求 1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 备考指导 本节内容是三角函数的基础,复习时要熟记三角函数的定义、各象限符号值特点以及特殊角的三角函数值,注意角度与弧度的互化.特别地,理解并掌握终边相同的角的集合有助于记忆后面三角函数的性质. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.任意角 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)分类:我们规定,一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角. 这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 2.弧度制 (1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示. (2)公式 3.任意角的三角函数 温馨提示1.各象限三角函数值符号的记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.即第一象限正弦函数值、余弦函数值和正切函数值均为正,第二象限正弦函数值为正,第三象限正切函数值为正,第四象限余弦函数值为正. 2.利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数:设点Q(x,y)是角α终边上任意一点,则点Q与原点O的距离 1.象限角 2.轴线角 4.特殊角的三角函数值 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)若sin α>0,则α是第一、第二象限的角.(　　) (3)相等的角的终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(　　) (4)锐角是第一象限角,反之亦然.(　　) (5)三角形的内角必是第一、二象限角.(　　) × × × × × D B 4.在平面直角坐标系中,角θ以Ox(O为原点)为始边,终边经过点(-3,4),则 cos θ=(　　) A. B. C.- D.- C 5.若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ的终边一定落在第　　　象限.  四 由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限. 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 角的表示及象限的判定 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (3)已知角α为第三象限角,则2α的终边在　　　　　　　　　　　　　.  第一或第二象限或y轴的非负半轴 由α是第三象限角,得 则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). 故角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 拓展延伸 例1(1)改为求“终边在射线 ”上的角α的集合. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况. 2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所在的象限即可. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 二或第四 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 利用三角函数定义求三角函数值 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin α+5cos α+4tan α=　　　　. -2或-4 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得用定义法求三角函数值的两种情况: (1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求三角函数值; (2)已知角α的终边所在的直线方程,注意角α的终边位置有两个,对应的三角函数值有两组. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 B < 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 扇形弧长、面积公式的应用 例3　(1)已知扇形的圆心角是 ,弧长是π cm,则扇形的面积是　　cm2. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角α=　　　　　 (α>0)弧度时,其面积最大,最大面积是　　　　　.  2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练3 (1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角(正角)是　　　　　弧度,扇形的面积是　 .  π-2 设扇形的圆心角为θ,则扇形的周长是2r+rθ. 依题意,2r+rθ=πr,所以θ=π-2. 故扇形的面积 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α(α>0)的大小为　　　　,α所在的扇形弧长l为　　　　,弧所在的弓形的面积S为　　　　　　.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 挖掘隐含条件寻找等量关系 典例　如图,在平面直角坐标系Oxy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为　　　　　　　　　　.  审题要点1.已知条件: 滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径为1. 2.隐含条件:点P转动的弧长是2. 3.等量关系:点P转动的弧长等于弧长所对的圆心角. 4.解题思路:求点P的坐标可借助已知的坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义可求出. 答案:(2-sin 2,1-cos 2) 解析:如图,作CQ∥x轴,PQ⊥CQ,Q为垂足. 反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解三角形等知识来解决. 2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口. 本 课 结 束 角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°= rad,②1 rad=° 弧长公式 l=|α|r 扇形面积公式 S=lr=|α|r2 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数,记作tan α 定义域 R R 函数值 在各象 限的符 号 一 + + + 二 + - - 三 - - + 四 - + - r=|OQ|=,sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). 3.若α∈(0,),则tan α>α>sin α. 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 角α的 弧度数 0 π sin α 0 1 0 cos α 1 0 - - - -1 tan α 0 1 - -1 - 0 2.下列各角与60°角终边相同的角是(　　) A. B. C.- D.- ∵60°=,与终边相同的角可以写成β=+k·2π(k∈Z), ∴当k=-1时,β=- 3.已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A.8 B. C.8或 D.8或4 设圆心角的弧度数是θ(0<θ<2π),半径是r cm, 则解得(舍去)或 故扇形圆心角的弧度数为 设点P(-3,4),因为|OP|==5,所以cos θ==- 例1　(1)终边在直线y=x上的角的集合为　　　　　　　　　　; ∵在区间(0,2π)内终边在直线y=x上的角是, 与角终边相同的角分别为 2kπ+(k∈Z),2kπ+=(2k+1)π+(k∈Z), ∴终边在直线y=x上的角的集合为 (2)若角θ的终边与角的终边相同,则在区间[0,2π)内,终边与角的终边相同的角为　　　　　　　;  ∵θ=+2kπ(k∈Z),(k∈Z). 依题意,0<2π(k∈Z),解得-k<(k∈Z). 即k=0,1,2, 即在区间[0,2π)内终边与角终边相同的角为 π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z), y=x(x≤0) 解 由题意知角的终边在第三象限,在区间(0,2π)内满足条件的角为,与终边相同的角为2kπ+(k∈Z),故角α的集合为{,k∈Z}. 3.确定角kα,(k≥2,且k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,最后根据k的可能取值讨论确定角kα或的终边所在位置. 对点训练1 (1)给出下列四个命题:①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中是真命题的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 -是第三象限角,故①是假命题;=π+,从而是第三象限角,故②是真命题;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③是真命题;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④是真命题. (2)集合中的角的终边所表示的范围(阴影部分)是(　　) 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+2nπ+, 此时α表示的范围与表示的范围一样. 当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+2nπ+π+, 此时α表示的范围与π+π+表示的范围一样. (3)已知α是第三象限角,则是第　　　　象限角.  方法一(角的集合表示): 因为2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z), 所以kπ+<kπ+(k∈Z). 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+<2nπ+是第二象限角; 当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+<2nπ+是第四象限角. 综上可知,当α是第三象限角时,是第二或第四象限角. 方法二(象限等分法): 如图,求所在的象限,需将每个象限两等分,再逆时针循环标1,2,3,4. 因为α是第三象限角,所以图中标记为数字3的象限就是所在的象限,所以是第二或第四象限角. 例2　(1)如图,在平面直角坐标系Oxy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cos α的值为(　　) A. B.- C. D.- 因为点A的纵坐标为,且点A在第二象限,又因为圆O为单位圆, 所以点A的横坐标为- 由三角函数的定义可得cos α=- 由题意,设点P(-4a,3a)为角α终边上的任意一点, r=|OP|=|5a|(a≠0)(O为坐标原点). 当a>0时,r=5a,sin α=,cos α=-,tan α=-, 5sin α+5cos α+4tan α=3-4-3=-4; 当a<0时,r=-5a,sin α=-,cos α=,tan α=-, 5sin α+5cos α+4tan α=-3+4-3=-2. 综上,可知5sin α+5cos α+4tan α的值为-4或-2. 对点训练2 (1)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为(　　) A.- B. C.- D. ∵r=, ∴cos α==-, ,且m>0,∴m= (2)若θ是第二象限角,则　　　　　0.(填“>”“<”或“=”)  ∵θ是第二象限角,∴-1<cos θ<0,0<sin θ<1, ∴sin(cos θ)<0,cos(sin θ)>0,<0. 因为扇形的圆心角为,弧长是π cm, 所以其所在圆的半径r==3, 因此该扇形的面积S=lr=π×3= 设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S. (方法一)∵c=2r+l,∴r=(l<c), ∴S=rl=l=-, ∴当l=时,Smax=,此时α==2. (方法二)S=rl=(c-l)×l,当且仅当c-l=l, 即l=时,等号成立,此时r=,α==2. (方法三)c=2r+l=2r+rα, 故r=,S=r2=, 当且仅当=α,即α=2时,等号成立. (π-2)r2 S=r2θ=(π-2)r2. 50 因为在△AOB中,AB=OA=OB=10,所以△AOB为等边三角形. 因此弦AB所对的圆心角为 l=10=, S弓=S扇-S△AOB=10-102×sin-=50 根据题意得劣弧的长为2,故∠DCP=2. 则在△PCQ中,∠PCQ=2-,CQ=cos=sin 2,PQ=sin=-cos 2, 所以点P的横坐标为2-CQ=2-sin 2,纵坐标为1+PQ=1-cos 2, 所以点P的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).故=(2-sin 2,1-cos 2). $