精品解析：广东东莞市虎门外国语学校2026-2027学年度第一学期10月九年级数学学情自测卷

2026-2027学年度第一学期10月教学质量自查（九年级数学） 本试卷共6页，23小题，满分120分（含卷面5分），考试用时120分钟． 注意事项 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生务必保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（ ） 0 1 2 13 A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 二、填空题（11-15每题3分，共15分） 11. 一元二次方程化成一般形式为__________． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则_________． 13. 若二次函数与轴有两个交点，则的取值范围是______． 14. 如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 15. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填序号）． 三、解答题（一）（共3小题，16、18题每题6分，17题8分，共20分） 16. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． 17. 我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米． （1）设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是 （用含x的代数式表示）； （2）求出车道的宽x是多少米？ 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 四、解答题（二）（共3小题，19题8分，20-21题各9分，共26分） 19. 已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 20. 综合与探究 问题情境：综合与实践小组的同学来到某知名醋厂研学，对该厂老陈醋的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该厂每日生产的这款老陈醋当日全部售完． 信息2：该厂这款老陈醋日产量（单位：吨）的范围是． 信息3：该款老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系如表所示． 日产量/吨 30 60 90 120 每吨的成本/千元 55 50 45 40 信息4：该款老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． 问题解决： （1）根据收集的信息，该老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为______（无需写自变量的取值范围）． （2）①该老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为______． ②当吨时，该款老陈醋每吨的售价是_______千元． （3）已知销售部计划将某日该款老陈醋的销售利润定额为1200千元，如果你是生产部经理，那么当日该产品的产量应该定为多少比较合理？为什么？ 21. 美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … （1）求与的函数表达式； （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； （3）若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 五、解答题（三）（共2小题，22题12分，23题12分，共24分） 22. 矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动，设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），当时，点，的位置如图所示． （1）当时，______；并求关于的函数解析式； （2）求的最大值； （3）填空：当时，的值为______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式；求直线的解析式； （2）如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期10月教学质量自查（九年级数学） 本试卷共6页，23小题，满分120分（含卷面5分），考试用时120分钟． 注意事项 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生务必保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有x，y两个未知数，故不是一元二次方程； B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程． 2. 如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不为，列不等式求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得． 3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 5. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． ∵ ， ∴ ． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 8. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 9. 根据表格，估计一元二次方程的一个解的范围（ ） 0 1 2 13 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较与10的大小，找到值跨越10的相邻区间即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个解的范围是． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先配方求出抛物线的顶点式得出顶点坐标，再根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标是． 当点A在抛物线的顶点时，最小，其最小值为1． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是1． 二、填空题（11-15每题3分，共15分） 11. 一元二次方程化成一般形式为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 移项得． 12. 若，是一元二次方程的两个根，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 13. 若二次函数与轴有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴， 解得. 14. 如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 15. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填序号）． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】先根据对称轴公式得到、的关系式，结合图像开口方向、轴交点位置判断，，符号，依次对五个结论逐一推导验证，判断对错． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， ，故结论③正确． 抛物线的图象的开口向上， ， ∵， ， ． 抛物线与轴交点在和之间， ，， ，故结论①正确． ， ， ， ，故结论②错误． 抛物线过， ， ， ， ． ， ， ， 不成立，故结论④错误． ， ， ， ， ，故结论⑤正确． 综上，正确结论有①③⑤． 三、解答题（一）（共3小题，16、18题每题6分，17题8分，共20分） 16. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 则， ∴； 【小问2详解】 解：， 即， 因式分解得， 故，． 17. 我市高铁片区计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米． （1）设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是 （用含x的代数式表示）； （2）求出车道的宽x是多少米？ 【答案】（1） （2）车道的宽x是3米 【解析】 【分析】利用停车位的横向长度=停车场外围的长-车道的宽度，即可用含x的代数式表示出停车位的横向长度； 根据停车位的面积为204平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出停车位的横向长度；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【小问1详解】 解：设车道的宽度是x，则停车位的横向长度是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去）； 答：车道的宽x是3米． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； （2） ，方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 四、解答题（二）（共3小题，19题8分，20-21题各9分，共26分） 19. 已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … ____ 2 ___ 2 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 【答案】（1） 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． （2）画出二次函数的图像如下： （3）减小， 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的函数值，画二次函数的图像，二次函数的图像和性质，正确的画出函数图像是解题的关键． （1）把自变量的值代入函数解析式进行求解即可； （2）描点，连线，作图即可； （3）直接根据图像作答即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①观察图像可知，当时，随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②观察图像可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 20. 综合与探究 问题情境：综合与实践小组的同学来到某知名醋厂研学，对该厂老陈醋的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该厂每日生产的这款老陈醋当日全部售完． 信息2：该厂这款老陈醋日产量（单位：吨）的范围是． 信息3：该款老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系如表所示． 日产量/吨 30 60 90 120 每吨的成本/千元 55 50 45 40 信息4：该款老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示． 问题解决： （1）根据收集的信息，该老陈醋每吨的生产成本（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为______（无需写自变量的取值范围）． （2）①该老陈醋每吨的售价（单位：千元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为______． ②当吨时，该款老陈醋每吨的售价是_______千元． （3）已知销售部计划将某日该款老陈醋的销售利润定额为1200千元，如果你是生产部经理，那么当日该产品的产量应该定为多少比较合理？为什么？ 【答案】（1） （2）①；② （3）解：当日该产品的产量应该定为吨比较合理，理由如下： 由题意可得，， ， 整理得：，， 解得：． 当时，总成本为（千元）；当时，总成本为（千元）， 当日该产品的产量应该定为吨，总成本更低，更合理． 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法求出生产成本  与日产量  的一次函数关系式． （2）①结合函数图象，使用待定系数法求出函数关系式；②代入计算的售价即可． （3）根据题意列出方程，求解出的值，再对比两种方案的总成本即可得出结论． 【小问1详解】 解：由表格数据可知， 与  满足一次函数关系，设 ． 代入 、，得， 解得， 所以函数关系式为． 【小问2详解】 解：① 由图象可设 ． 将，代入得， 解得：， 所以函数关系式为 ②当时，代入得，即售价为千元． 【小问3详解】 略 21. 美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … （1）求与的函数表达式； （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； （3）若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】（1） （2）不成功，理由如下： 已知，， 则， 对于，当， 解得， 守门员的最大防守高度为，， 故守门员不能防守成功． （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格中的对称点找到抛物线顶点，然后设顶点式求二次函数； （2）算出守门员在原地对应的水平距离，代入函数求值，和守门员的最大防守高度对比进行判断； （3）算出球的高度等于最大防守高度时的水平距离，求出足球的飞行时间，再根据守门员后退的最小距离算出守门员后退的最小速度． 【小问1详解】 解：据图表可知，当和时，， 则抛物线的对称轴为，抛物线顶点为， 则抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：根据题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 对于，当， 解得或， 由（1）知抛物线对称轴为，则舍去，此时，即足球的飞行距离为， 已知足球飞行的水平速度为， 则足球的飞行时间为， 守门员最少需要后退， 故守门员的最小后退速度为． 五、解答题（三）（共2小题，22题12分，23题12分，共24分） 22. 矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动，设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），当时，点，的位置如图所示． （1）当时，______；并求关于的函数解析式； （2）求的最大值； （3）填空：当时，的值为______． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得在上，在上，且可表示出，利用面积公式即可求解； （2）分三段讨论：①当时；②当时；③当时；求出在各自范围内的最大值，并比较即可； （3）在（2）的三段内，分别求出时，的值即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，， 当时，在上，；在上，， ∴； 【小问2详解】 解：分三段讨论： ①根据（1）可得，当时，，最大值为； ②当时，仍在上（），在上，如图， 到的距离为， 故，最大值为； ③当时，在上，在上，如图， 则， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，故当时，S随的增大而减小，当时，，故S最大值不超过17.5； 综上，； 【小问3详解】 解：∵， ∴①时：，解得：（负值已舍）； ②时：，解得：，但t的值不在范围内，故舍去； ③时：，即，解得：（不符合题意，舍去）或； 故或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式；求直线的解析式； （2）如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式：；直线： （2）最大值为4，此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）设点横坐标为，表示出、的长度，构建关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值以及对应点坐标． （3）先判断射线方向，算出平移后的抛物线解析式；由推出或者对应的对称直线，联立直线与新抛物线方程，求出交点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过，， ， 解得 抛物线解析式为， 当时，， ， 设直线解析式为， 直线过， ， 解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：设， 轴，在：上， ， 轴， （）， ， ∴ ， ， 当时，取得最大值， 把代入得 ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ∵， ∴， 将沿射线方向平移个单位，即将向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即 情况1：当点在轴的下方时，如图， ∵， ∴， 由直线解析式为，设： ， ， 解得， ， 联立 ， ， 解得（舍去） 当，，得 情况2：当点在轴的上方时，如图， ∵，， ∴， ∴直线与直线关于x轴对称， ∵直线为， ∴直线为， 联立， ， 解得（舍去） 当，， ∴ ， 符合条件的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $