函数中的构造问题 课件-2027届高三数学一轮复习

函数中的构造问题 2027年高考数学 · 一轮复习 1 一、教学目标 1. 掌握通过“移项构造辅助函数”将不等式、恒成立问题转化为函数单调性问题的通法； 2. 会根据式子结构特征选择构造对象，体会“同构”思想； 3. 能综合运用导数工具处理构造后的函数，完成证明或求参。 二、教学重点 1. 将待证不等式移项为 F(x)=f(x)-g(x)>0，利用 F(x) 单调性证明； 2. 观察结构进行“同构”变形，化为同一函数不同自变量。 三、教学难点 1. 构造对象与构造时机的选取； 2. 同构识别（指数、对数、乘积结构的整体代换）。 进阶课03 函数中的构造问题 【新课标要求】 1. 能利用导数证明某些不等式，体会“构造—求导—判单调性”的通用策略； 2. 在构造与同构的过程中，发展数学抽象、逻辑推理与转化与化归素养； 3. 经历从特殊到一般的探究，提升解决综合性问题的能力。 进阶课03 函数中的构造问题 【近五年考频考点】及备考建议 【考频统计】构造证明不等式是导数解答题的高频热点，近五年全国卷多次出现，常作为压轴题第(2)问，分值约6~12分。 【高频考点】 1. 单变量不等式：移项构造 F(x)，证 F(x) 单调且最值满足； 2. 同构型：将两端化为同一函数（如 x· 型），比较自变量大小； 3. 指对混合不等式的放缩与构造。 【备考建议】 1. 证明不等式首选“移项构造”，将问题转为函数最值（恒正/恒负）； 2. 见 a·与 b·ln b 等结构，优先考虑同构（令 t=ln x 等整体代换）； 3. 构造后严格求导判单调，必要时二次求导。 进阶课03 函数中的构造问题 第四单元 一元函数的导数及其应用 进阶课03 函数中的构造问题 5 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题的形式出现，有 时候也会在解答题中出现.通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比 较大小、解不等式、恒成立等问题. 进阶课03 函数中的构造问题 6 通过变量构造具体函数 典例1 若 ，则( ). A A. B. C. D. 解析 由 ， 得，即 . 设，则 . 由指数函数的性质易知在上单调递增，则，得 ，所以 ，所以 . 故选A. 进阶课03 函数中的构造问题 7 感悟提升 根据所给代数式（等式、不等式）中数学运算的相同点或者结构形式的相同点， 构造具体的函数，利用导数研究函数的性质并解决问题. 已知，， ，则( ). A A. B. C. D. 进阶课03 函数中的构造问题 8 解析 设，则 . 令，得；令，得 . 故在上单调递增，在 上单调递减. 由题意可知，，，因为 ， 所以 . 故选A. 进阶课03 函数中的构造问题 9 抽象函数的构造 考向1 利用与 构造函数 典例2 设是定义在上的偶函数，且，当时，有 恒成立，则不等式 的解集为___________________. 进阶课03 函数中的构造问题 10 解析 构造，则 . 当时，，可以推出当时，，在 上 单调递增. 因为为偶函数，所以 为奇函数， 所以在 上也单调递增. 根据可得 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象（图略）， 根据图象可知的解集为 . 感悟提升 1.若出现的形式，则构造函数 . 2.若出现的形式，则构造函数 . 进阶课03 函数中的构造问题 11 考向2 利用与 构造函数 典例3 已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且 恒成立， 其中 是自然对数的底数，则( ). B A. B. C. D. 进阶课03 函数中的构造问题 12 解析 设，则 . 因为，所以 ， 所以，则 为增函数， 则，即 .故选B. 感悟提升 1.若出现的形式，则构造函数 2.若出现的形式，则构造函数 . 进阶课03 函数中的构造问题 13 考向3 利用与， 构造函数 典例4 （多选题）已知定义在上的函数，是 的导函数，且恒有 成立，则( ). CD A. B. C. D. 进阶课03 函数中的构造问题 14 解析 令， ， 则 . 由，且恒有 ， 得，即函数在 上单调递减. 由，得，即，可得 . 又由，得，即，可得 .故选CD. 进阶课03 函数中的构造问题 15 感悟提升 函数与， 相结合构造 可导函数的几种常见形式 （1）， . （2）， . （3）， . （4）， . 进阶课03 函数中的构造问题 16 1.已知定义在上的奇函数的导函数为，当时， ， 且，则不等式的解集为( ) D A. B. C. D. 进阶课03 函数中的构造问题 17 解析 令，则 ， 因为当时，，即，所以在 上单调递减. 因为是奇函数，是奇函数，且定义域均为，所以 是偶函数， 又在上单调递减，所以在 上单调递增. 当时，不等式可转化为，又 ，则等价于 ，所以 ； 当时，不等式可转化为，又 ，则等价于 ，所以 . 综上所述，不等式的解集为 . 故选D. 进阶课03 函数中的构造问题 18 2.已知函数的导函数为，若对任意，都有 ，且 ，则不等式 的解集为( ). A A. B. C. D. 解析 构造函数 ， 则 . 因为，所以 恒成立， 故在上单调递减，可变形为 . 又，所以，解，得 .故选A. 进阶课03 函数中的构造问题 19 3.已知函数的定义域为，且对任意 ，都有 ，则关于的不等式的解集为______ 解析 令，，则 . 依题意知，， 是减函数. ， ， 故可化为 ， 即，故 ， 原不等式的解集为 . 进阶课03 函数中的构造问题 20 同构法构造函数 考向1 与 同构 典例5 设实数，若对任意，不等式恒成立，求 的最 小值. 进阶课03 函数中的构造问题 21 解析 由，得，即 ，也即 . 由同构，可得 设，则对任意恒成立，所以 在 上单调递增. 由可得.当时， 显然成立， 当时，，也即，所以 . 令，则 . 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减. 因此，，故.故 的最小值为 . 进阶课03 函数中的构造问题 22 考向2 与 同构 典例6 设实数，若对任意，不等式恒成立，则 的最大 值为___. 解析 ，因为， ，所以 ，令，则，所以在 上单调 递增，所以 ， 即， . 进阶课03 函数中的构造问题 23 考向3 与 同构 典例7 已知，且对任意恒成立，则实数 的取 值范围为_ _______ 进阶课03 函数中的构造问题 24 解析 因为，所以 ，所以 ， 即对任意恒成立.设，则 .因为当 时，，在上单调递增，所以当时， . 因为，当时，对任意显然恒成立，当 时，，所以 恒成立， 令，则，即在上单调递增，故 ，实 数的取值范围为 . 进阶课03 函数中的构造问题 25 考向4 与 同构 典例8 若对任意，不等式恒成立，则 的最大值是___. 解析 由，可得 ，即 ， 令，则，因为在上是增函数，所以 ， 即 . 令，则 . 当时，， 单调递减； 当时，， 单调递增. 故，即，即的最大值是 . 进阶课03 函数中的构造问题 26 感悟提升 常见的同构函数：①；②；③；④ . 其中①④可以借助，②③可以借助 进行指数 和对数的互化. 进阶课03 函数中的构造问题 27 1.已知，若在上存在使得不等式成立，则 的最小 值为___. 解析 ， 原不等式为 . 且， ， 设，，则 ， 在 上单调递增， 进阶课03 函数中的构造问题 28 ，即，即存在，使， . 设，则.当时，，当 时， ， 在上单调递减，在 上单调递增， ， . 故的最小值为 . 进阶课03 函数中的构造问题 29 2.若对任意恒成立，求实数 的取值范围. 解析 由，得，即，即. 当时， 显然成立. 当时，令，则恒成立，由函数 的单调性 可知恒成立，即，所以 . 故实数的取值范围为 . 进阶课03 函数中的构造问题 30 THANKS 31 $